Theorem efeq1 26862

Description: A complex number whose exponential is one is an integer multiple of 2πi. (Contributed by NM, 17-Aug-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
efeq1	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘𝐴) = 1 ↔ (𝐴 / (i · (2 · π))) ∈ ℤ))

Proof of Theorem efeq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		halfcl 12576	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)
2		ax-icn 11263	. . . . 5 ⊢ i ∈ ℂ
3		ine0 11755	. . . . 5 ⊢ i ≠ 0
4		divcl 11984	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 / 2) ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0) → ((𝐴 / 2) / i) ∈ ℂ)
5	2, 3, 4	mp3an23 1482	. . . 4 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → ((𝐴 / 2) / i) ∈ ℂ)
6	1, 5	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 / 2) / i) ∈ ℂ)
7		sineq0 26858	. . 3 ⊢ (((𝐴 / 2) / i) ∈ ℂ → ((sin‘((𝐴 / 2) / i)) = 0 ↔ (((𝐴 / 2) / i) / π) ∈ ℤ))
8	6, 7	syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘((𝐴 / 2) / i)) = 0 ↔ (((𝐴 / 2) / i) / π) ∈ ℤ))
9		sinval 16296	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 / 2) / i) ∈ ℂ → (sin‘((𝐴 / 2) / i)) = (((exp‘(i · ((𝐴 / 2) / i))) − (exp‘( -i · ((𝐴 / 2) / i)))) / (2 · i)))
10	6, 9	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘((𝐴 / 2) / i)) = (((exp‘(i · ((𝐴 / 2) / i))) − (exp‘( -i · ((𝐴 / 2) / i)))) / (2 · i)))
11		divcan2 11986	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 / 2) ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0) → (i · ((𝐴 / 2) / i)) = (𝐴 / 2))
12	2, 3, 11	mp3an23 1482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → (i · ((𝐴 / 2) / i)) = (𝐴 / 2))
13	1, 12	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · ((𝐴 / 2) / i)) = (𝐴 / 2))
14	13	fveq2d 6890	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · ((𝐴 / 2) / i))) = (exp‘(𝐴 / 2)))
15		mulneg1 11756	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ ((𝐴 / 2) / i) ∈ ℂ) → ( -i · ((𝐴 / 2) / i)) = -(i · ((𝐴 / 2) / i)))
16	2, 6, 15	sylancr 599	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ( -i · ((𝐴 / 2) / i)) = -(i · ((𝐴 / 2) / i)))
17	13	negeqd 11555	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(i · ((𝐴 / 2) / i)) = -(𝐴 / 2))
18	16, 17	eqtrd 2795	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ( -i · ((𝐴 / 2) / i)) = -(𝐴 / 2))
19	18	fveq2d 6890	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘( -i · ((𝐴 / 2) / i))) = (exp‘ -(𝐴 / 2)))
20	14, 19	oveq12d 7439	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · ((𝐴 / 2) / i))) − (exp‘( -i · ((𝐴 / 2) / i)))) = ((exp‘(𝐴 / 2)) − (exp‘ -(𝐴 / 2))))
21	20	oveq1d 7436	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘(i · ((𝐴 / 2) / i))) − (exp‘( -i · ((𝐴 / 2) / i)))) / (2 · i)) = (((exp‘(𝐴 / 2)) − (exp‘ -(𝐴 / 2))) / (2 · i)))
22	10, 21	eqtrd 2795	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘((𝐴 / 2) / i)) = (((exp‘(𝐴 / 2)) − (exp‘ -(𝐴 / 2))) / (2 · i)))
23	22	eqeq1d 2762	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘((𝐴 / 2) / i)) = 0 ↔ (((exp‘(𝐴 / 2)) − (exp‘ -(𝐴 / 2))) / (2 · i)) = 0))
24	1	efcld 16255	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(𝐴 / 2)) ∈ ℂ)
25	1	negcld 11660	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(𝐴 / 2) ∈ ℂ)
26	25	efcld 16255	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘ -(𝐴 / 2)) ∈ ℂ)
27	24, 26	subcld 11673	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(𝐴 / 2)) − (exp‘ -(𝐴 / 2))) ∈ ℂ)
28		2mulicn 12574	. . . . 5 ⊢ (2 · i) ∈ ℂ
29		2muline0 12575	. . . . 5 ⊢ (2 · i) ≠ 0
30		diveq0 11988	. . . . 5 ⊢ ((((exp‘(𝐴 / 2)) − (exp‘ -(𝐴 / 2))) ∈ ℂ ∧ (2 · i) ∈ ℂ ∧ (2 · i) ≠ 0) → ((((exp‘(𝐴 / 2)) − (exp‘ -(𝐴 / 2))) / (2 · i)) = 0 ↔ ((exp‘(𝐴 / 2)) − (exp‘ -(𝐴 / 2))) = 0))
31	28, 29, 30	mp3an23 1482	. . . 4 ⊢ (((exp‘(𝐴 / 2)) − (exp‘ -(𝐴 / 2))) ∈ ℂ → ((((exp‘(𝐴 / 2)) − (exp‘ -(𝐴 / 2))) / (2 · i)) = 0 ↔ ((exp‘(𝐴 / 2)) − (exp‘ -(𝐴 / 2))) = 0))
32	27, 31	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((((exp‘(𝐴 / 2)) − (exp‘ -(𝐴 / 2))) / (2 · i)) = 0 ↔ ((exp‘(𝐴 / 2)) − (exp‘ -(𝐴 / 2))) = 0))
33	25	efne0d 16269	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘ -(𝐴 / 2)) ≠ 0)
34	24, 26, 26, 33	divsubdird 12136	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘(𝐴 / 2)) − (exp‘ -(𝐴 / 2))) / (exp‘ -(𝐴 / 2))) = (((exp‘(𝐴 / 2)) / (exp‘ -(𝐴 / 2))) − ((exp‘ -(𝐴 / 2)) / (exp‘ -(𝐴 / 2)))))
35		efsub 16274	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 / 2) ∈ ℂ ∧ -(𝐴 / 2) ∈ ℂ) → (exp‘((𝐴 / 2) − -(𝐴 / 2))) = ((exp‘(𝐴 / 2)) / (exp‘ -(𝐴 / 2))))
36	1, 25, 35	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘((𝐴 / 2) − -(𝐴 / 2))) = ((exp‘(𝐴 / 2)) / (exp‘ -(𝐴 / 2))))
37	1, 1	subnegd 11680	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 / 2) − -(𝐴 / 2)) = ((𝐴 / 2) + (𝐴 / 2)))
38		2halves 12568	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 / 2) + (𝐴 / 2)) = 𝐴)
39	37, 38	eqtrd 2795	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 / 2) − -(𝐴 / 2)) = 𝐴)
40	39	fveq2d 6890	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘((𝐴 / 2) − -(𝐴 / 2))) = (exp‘𝐴))
41	36, 40	eqtr3d 2797	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(𝐴 / 2)) / (exp‘ -(𝐴 / 2))) = (exp‘𝐴))
42	26, 33	dividd 12095	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘ -(𝐴 / 2)) / (exp‘ -(𝐴 / 2))) = 1)
43	41, 42	oveq12d 7439	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘(𝐴 / 2)) / (exp‘ -(𝐴 / 2))) − ((exp‘ -(𝐴 / 2)) / (exp‘ -(𝐴 / 2)))) = ((exp‘𝐴) − 1))
44	34, 43	eqtrd 2795	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘(𝐴 / 2)) − (exp‘ -(𝐴 / 2))) / (exp‘ -(𝐴 / 2))) = ((exp‘𝐴) − 1))
45	44	eqeq1d 2762	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((((exp‘(𝐴 / 2)) − (exp‘ -(𝐴 / 2))) / (exp‘ -(𝐴 / 2))) = 0 ↔ ((exp‘𝐴) − 1) = 0))
46	27, 26, 33	diveq0ad 12107	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((((exp‘(𝐴 / 2)) − (exp‘ -(𝐴 / 2))) / (exp‘ -(𝐴 / 2))) = 0 ↔ ((exp‘(𝐴 / 2)) − (exp‘ -(𝐴 / 2))) = 0))
47		efcl 16254	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) ∈ ℂ)
48		ax-1cn 11262	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
49		subeq0 11588	. . . . 5 ⊢ (((exp‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((exp‘𝐴) − 1) = 0 ↔ (exp‘𝐴) = 1))
50	47, 48, 49	sylancl 598	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘𝐴) − 1) = 0 ↔ (exp‘𝐴) = 1))
51	45, 46, 50	3bitr3d 312	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘(𝐴 / 2)) − (exp‘ -(𝐴 / 2))) = 0 ↔ (exp‘𝐴) = 1))
52	23, 32, 51	3bitrd 308	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘((𝐴 / 2) / i)) = 0 ↔ (exp‘𝐴) = 1))
53		2cnne0 12559	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
54	2, 3	pm3.2i 476	. . . . . 6 ⊢ (i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0)
55		divdiv32 12029	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0)) → ((𝐴 / 2) / i) = ((𝐴 / i) / 2))
56	53, 54, 55	mp3an23 1482	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 / 2) / i) = ((𝐴 / i) / 2))
57	56	oveq1d 7436	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((𝐴 / 2) / i) / π) = (((𝐴 / i) / 2) / π))
58		divcl 11984	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0) → (𝐴 / i) ∈ ℂ)
59	2, 3, 58	mp3an23 1482	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / i) ∈ ℂ)
60		picn 26791	. . . . . . . 8 ⊢ π ∈ ℂ
61		pine0 26795	. . . . . . . 8 ⊢ π ≠ 0
62	60, 61	pm3.2i 476	. . . . . . 7 ⊢ (π ∈ ℂ ∧ π ≠ 0)
63		divdiv1 12032	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 / i) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (π ∈ ℂ ∧ π ≠ 0)) → (((𝐴 / i) / 2) / π) = ((𝐴 / i) / (2 · π)))
64	53, 62, 63	mp3an23 1482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 / i) ∈ ℂ → (((𝐴 / i) / 2) / π) = ((𝐴 / i) / (2 · π)))
65	59, 64	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((𝐴 / i) / 2) / π) = ((𝐴 / i) / (2 · π)))
66		2picn 26792	. . . . . . 7 ⊢ (2 · π) ∈ ℂ
67		2cn 12422	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
68		2ne0 12453	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ≠ 0
69	67, 60, 68, 61	mulne0i 11963	. . . . . . 7 ⊢ (2 · π) ≠ 0
70	66, 69	pm3.2i 476	. . . . . 6 ⊢ ((2 · π) ∈ ℂ ∧ (2 · π) ≠ 0)
71		divdiv1 12032	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0) ∧ ((2 · π) ∈ ℂ ∧ (2 · π) ≠ 0)) → ((𝐴 / i) / (2 · π)) = (𝐴 / (i · (2 · π))))
72	54, 70, 71	mp3an23 1482	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 / i) / (2 · π)) = (𝐴 / (i · (2 · π))))
73	65, 72	eqtrd 2795	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((𝐴 / i) / 2) / π) = (𝐴 / (i · (2 · π))))
74	57, 73	eqtrd 2795	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((𝐴 / 2) / i) / π) = (𝐴 / (i · (2 · π))))
75	74	eleq1d 2845	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((((𝐴 / 2) / i) / π) ∈ ℤ ↔ (𝐴 / (i · (2 · π))) ∈ ℤ))
76	8, 52, 75	3bitr3d 312	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘𝐴) = 1 ↔ (𝐴 / (i · (2 · π))) ∈ ℤ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  ℂcc 11202  0cc0 11204  1c1 11205  ici 11206   + caddc 11207   · cmul 11209   − cmin 11545   -cneg 11546   / cdiv 11977  2c2 12401  ℤcz 12697  expce 16233  sincsin 16235  πcpi 16238

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-inf2 9646  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281  ax-pre-sup 11282  ax-addf 11283

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-isom 6548  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-of 7694  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-supp 8181  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8721  df-map 8853  df-pm 8854  df-ixp 8930  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-fin 8981  df-fsupp 9358  df-fi 9407  df-sup 9438  df-inf 9439  df-oi 9508  df-card 10024  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-div 11978  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-4 12411  df-5 12412  df-6 12413  df-7 12414  df-8 12415  df-9 12416  df-n0 12611  df-z 12698  df-dec 12819  df-uz 12970  df-q 13080  df-rp 13125  df-xneg 13245  df-xadd 13246  df-xmul 13247  df-ioo 13484  df-ioc 13485  df-ico 13486  df-icc 13487  df-fz 13644  df-fzo 13793  df-fl 13936  df-mod 14014  df-seq 14149  df-exp 14209  df-fac 14422  df-bc 14451  df-hash 14479  df-shft 15226  df-cj 15272  df-re 15273  df-im 15274  df-sqrt 15408  df-abs 15409  df-limsup 15644  df-clim 15661  df-rlim 15662  df-sum 15860  df-ef 16239  df-sin 16241  df-cos 16242  df-pi 16244  df-struct 17331  df-sets 17348  df-slot 17366  df-ndx 17378  df-base 17394  df-ress 17415  df-plusg 17447  df-mulr 17448  df-starv 17449  df-sca 17450  df-vsca 17451  df-ip 17452  df-tset 17453  df-ple 17454  df-ds 17456  df-unif 17457  df-hom 17458  df-cco 17459  df-rest 17599  df-topn 17600  df-0g 17618  df-gsum 17619  df-topgen 17620  df-pt 17621  df-prds 17624  df-xrs 17680  df-qtop 17685  df-imas 17686  df-xps 17688  df-mre 17762  df-mrc 17763  df-acs 17765  df-mgm 18822  df-sgrp 18914  df-mnd 18930  df-submnd 18985  df-mulg 19284  df-cntz 19537  df-cmn 20002  df-psmet 21676  df-xmet 21677  df-met 21678  df-bl 21679  df-mopn 21680  df-fbas 21681  df-fg 21682  df-cnfld 21685  df-top 23218  df-topon 23235  df-topsp 23257  df-bases 23270  df-cld 23343  df-ntr 23344  df-cls 23345  df-nei 23422  df-lp 23460  df-perf 23461  df-cn 23551  df-cnp 23552  df-haus 23639  df-tx 23887  df-hmeo 24080  df-fil 24171  df-fm 24263  df-flim 24264  df-flf 24265  df-xms 24645  df-ms 24646  df-tms 24647  df-cncf 25205  df-limc 26192  df-dv 26193

This theorem is used by:  efif1olem4  26879  eflogeq  26936  root1eq1  27089  ang180lem1  27143  cos9thpiminplylem3  34463  ef11d  43484  proot1ex  44292