Theorem efeq1 24675

Description: A complex number whose exponential is one is an integer multiple of 2πi. (Contributed by NM, 17-Aug-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
efeq1	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘𝐴) = 1 ↔ (𝐴 / (i · (2 · π))) ∈ ℤ))

Proof of Theorem efeq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		halfcl 11583	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)
2		ax-icn 10311	. . . . 5 ⊢ i ∈ ℂ
3		ine0 10789	. . . . 5 ⊢ i ≠ 0
4		divcl 11016	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 / 2) ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0) → ((𝐴 / 2) / i) ∈ ℂ)
5	2, 3, 4	mp3an23 1581	. . . 4 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → ((𝐴 / 2) / i) ∈ ℂ)
6	1, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 / 2) / i) ∈ ℂ)
7		sineq0 24673	. . 3 ⊢ (((𝐴 / 2) / i) ∈ ℂ → ((sin‘((𝐴 / 2) / i)) = 0 ↔ (((𝐴 / 2) / i) / π) ∈ ℤ))
8	6, 7	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘((𝐴 / 2) / i)) = 0 ↔ (((𝐴 / 2) / i) / π) ∈ ℤ))
9		sinval 15224	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 / 2) / i) ∈ ℂ → (sin‘((𝐴 / 2) / i)) = (((exp‘(i · ((𝐴 / 2) / i))) − (exp‘(-i · ((𝐴 / 2) / i)))) / (2 · i)))
10	6, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘((𝐴 / 2) / i)) = (((exp‘(i · ((𝐴 / 2) / i))) − (exp‘(-i · ((𝐴 / 2) / i)))) / (2 · i)))
11		divcan2 11018	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 / 2) ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0) → (i · ((𝐴 / 2) / i)) = (𝐴 / 2))
12	2, 3, 11	mp3an23 1581	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → (i · ((𝐴 / 2) / i)) = (𝐴 / 2))
13	1, 12	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · ((𝐴 / 2) / i)) = (𝐴 / 2))
14	13	fveq2d 6437	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · ((𝐴 / 2) / i))) = (exp‘(𝐴 / 2)))
15		mulneg1 10790	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ ((𝐴 / 2) / i) ∈ ℂ) → (-i · ((𝐴 / 2) / i)) = -(i · ((𝐴 / 2) / i)))
16	2, 6, 15	sylancr 581	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-i · ((𝐴 / 2) / i)) = -(i · ((𝐴 / 2) / i)))
17	13	negeqd 10595	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(i · ((𝐴 / 2) / i)) = -(𝐴 / 2))
18	16, 17	eqtrd 2861	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-i · ((𝐴 / 2) / i)) = -(𝐴 / 2))
19	18	fveq2d 6437	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(-i · ((𝐴 / 2) / i))) = (exp‘-(𝐴 / 2)))
20	14, 19	oveq12d 6923	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · ((𝐴 / 2) / i))) − (exp‘(-i · ((𝐴 / 2) / i)))) = ((exp‘(𝐴 / 2)) − (exp‘-(𝐴 / 2))))
21	20	oveq1d 6920	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘(i · ((𝐴 / 2) / i))) − (exp‘(-i · ((𝐴 / 2) / i)))) / (2 · i)) = (((exp‘(𝐴 / 2)) − (exp‘-(𝐴 / 2))) / (2 · i)))
22	10, 21	eqtrd 2861	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘((𝐴 / 2) / i)) = (((exp‘(𝐴 / 2)) − (exp‘-(𝐴 / 2))) / (2 · i)))
23	22	eqeq1d 2827	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘((𝐴 / 2) / i)) = 0 ↔ (((exp‘(𝐴 / 2)) − (exp‘-(𝐴 / 2))) / (2 · i)) = 0))
24		efcl 15185	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → (exp‘(𝐴 / 2)) ∈ ℂ)
25	1, 24	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(𝐴 / 2)) ∈ ℂ)
26	1	negcld 10700	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(𝐴 / 2) ∈ ℂ)
27		efcl 15185	. . . . . 6 ⊢ (-(𝐴 / 2) ∈ ℂ → (exp‘-(𝐴 / 2)) ∈ ℂ)
28	26, 27	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘-(𝐴 / 2)) ∈ ℂ)
29	25, 28	subcld 10713	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(𝐴 / 2)) − (exp‘-(𝐴 / 2))) ∈ ℂ)
30		2cn 11426	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
31	30, 2	mulcli 10364	. . . . 5 ⊢ (2 · i) ∈ ℂ
32		2ne0 11462	. . . . . 6 ⊢ 2 ≠ 0
33	30, 2, 32, 3	mulne0i 10995	. . . . 5 ⊢ (2 · i) ≠ 0
34		diveq0 11020	. . . . 5 ⊢ ((((exp‘(𝐴 / 2)) − (exp‘-(𝐴 / 2))) ∈ ℂ ∧ (2 · i) ∈ ℂ ∧ (2 · i) ≠ 0) → ((((exp‘(𝐴 / 2)) − (exp‘-(𝐴 / 2))) / (2 · i)) = 0 ↔ ((exp‘(𝐴 / 2)) − (exp‘-(𝐴 / 2))) = 0))
35	31, 33, 34	mp3an23 1581	. . . 4 ⊢ (((exp‘(𝐴 / 2)) − (exp‘-(𝐴 / 2))) ∈ ℂ → ((((exp‘(𝐴 / 2)) − (exp‘-(𝐴 / 2))) / (2 · i)) = 0 ↔ ((exp‘(𝐴 / 2)) − (exp‘-(𝐴 / 2))) = 0))
36	29, 35	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((((exp‘(𝐴 / 2)) − (exp‘-(𝐴 / 2))) / (2 · i)) = 0 ↔ ((exp‘(𝐴 / 2)) − (exp‘-(𝐴 / 2))) = 0))
37		efne0 15199	. . . . . . . 8 ⊢ (-(𝐴 / 2) ∈ ℂ → (exp‘-(𝐴 / 2)) ≠ 0)
38	26, 37	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘-(𝐴 / 2)) ≠ 0)
39	25, 28, 28, 38	divsubdird 11166	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘(𝐴 / 2)) − (exp‘-(𝐴 / 2))) / (exp‘-(𝐴 / 2))) = (((exp‘(𝐴 / 2)) / (exp‘-(𝐴 / 2))) − ((exp‘-(𝐴 / 2)) / (exp‘-(𝐴 / 2)))))
40		efsub 15202	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 / 2) ∈ ℂ ∧ -(𝐴 / 2) ∈ ℂ) → (exp‘((𝐴 / 2) − -(𝐴 / 2))) = ((exp‘(𝐴 / 2)) / (exp‘-(𝐴 / 2))))
41	1, 26, 40	syl2anc 579	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘((𝐴 / 2) − -(𝐴 / 2))) = ((exp‘(𝐴 / 2)) / (exp‘-(𝐴 / 2))))
42	1, 1	subnegd 10720	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 / 2) − -(𝐴 / 2)) = ((𝐴 / 2) + (𝐴 / 2)))
43		2halves 11586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 / 2) + (𝐴 / 2)) = 𝐴)
44	42, 43	eqtrd 2861	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 / 2) − -(𝐴 / 2)) = 𝐴)
45	44	fveq2d 6437	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘((𝐴 / 2) − -(𝐴 / 2))) = (exp‘𝐴))
46	41, 45	eqtr3d 2863	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(𝐴 / 2)) / (exp‘-(𝐴 / 2))) = (exp‘𝐴))
47	28, 38	dividd 11125	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘-(𝐴 / 2)) / (exp‘-(𝐴 / 2))) = 1)
48	46, 47	oveq12d 6923	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘(𝐴 / 2)) / (exp‘-(𝐴 / 2))) − ((exp‘-(𝐴 / 2)) / (exp‘-(𝐴 / 2)))) = ((exp‘𝐴) − 1))
49	39, 48	eqtrd 2861	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘(𝐴 / 2)) − (exp‘-(𝐴 / 2))) / (exp‘-(𝐴 / 2))) = ((exp‘𝐴) − 1))
50	49	eqeq1d 2827	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((((exp‘(𝐴 / 2)) − (exp‘-(𝐴 / 2))) / (exp‘-(𝐴 / 2))) = 0 ↔ ((exp‘𝐴) − 1) = 0))
51	29, 28, 38	diveq0ad 11137	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((((exp‘(𝐴 / 2)) − (exp‘-(𝐴 / 2))) / (exp‘-(𝐴 / 2))) = 0 ↔ ((exp‘(𝐴 / 2)) − (exp‘-(𝐴 / 2))) = 0))
52		efcl 15185	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) ∈ ℂ)
53		ax-1cn 10310	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
54		subeq0 10628	. . . . 5 ⊢ (((exp‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((exp‘𝐴) − 1) = 0 ↔ (exp‘𝐴) = 1))
55	52, 53, 54	sylancl 580	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘𝐴) − 1) = 0 ↔ (exp‘𝐴) = 1))
56	50, 51, 55	3bitr3d 301	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘(𝐴 / 2)) − (exp‘-(𝐴 / 2))) = 0 ↔ (exp‘𝐴) = 1))
57	23, 36, 56	3bitrd 297	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘((𝐴 / 2) / i)) = 0 ↔ (exp‘𝐴) = 1))
58		2cnne0 11568	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
59	2, 3	pm3.2i 464	. . . . . 6 ⊢ (i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0)
60		divdiv32 11059	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0)) → ((𝐴 / 2) / i) = ((𝐴 / i) / 2))
61	58, 59, 60	mp3an23 1581	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 / 2) / i) = ((𝐴 / i) / 2))
62	61	oveq1d 6920	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((𝐴 / 2) / i) / π) = (((𝐴 / i) / 2) / π))
63		divcl 11016	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0) → (𝐴 / i) ∈ ℂ)
64	2, 3, 63	mp3an23 1581	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / i) ∈ ℂ)
65		picn 24611	. . . . . . . 8 ⊢ π ∈ ℂ
66		pire 24610	. . . . . . . . 9 ⊢ π ∈ ℝ
67		pipos 24612	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < π
68	66, 67	gt0ne0ii 10888	. . . . . . . 8 ⊢ π ≠ 0
69	65, 68	pm3.2i 464	. . . . . . 7 ⊢ (π ∈ ℂ ∧ π ≠ 0)
70		divdiv1 11062	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 / i) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (π ∈ ℂ ∧ π ≠ 0)) → (((𝐴 / i) / 2) / π) = ((𝐴 / i) / (2 · π)))
71	58, 69, 70	mp3an23 1581	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 / i) ∈ ℂ → (((𝐴 / i) / 2) / π) = ((𝐴 / i) / (2 · π)))
72	64, 71	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((𝐴 / i) / 2) / π) = ((𝐴 / i) / (2 · π)))
73	30, 65	mulcli 10364	. . . . . . 7 ⊢ (2 · π) ∈ ℂ
74	30, 65, 32, 68	mulne0i 10995	. . . . . . 7 ⊢ (2 · π) ≠ 0
75	73, 74	pm3.2i 464	. . . . . 6 ⊢ ((2 · π) ∈ ℂ ∧ (2 · π) ≠ 0)
76		divdiv1 11062	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0) ∧ ((2 · π) ∈ ℂ ∧ (2 · π) ≠ 0)) → ((𝐴 / i) / (2 · π)) = (𝐴 / (i · (2 · π))))
77	59, 75, 76	mp3an23 1581	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 / i) / (2 · π)) = (𝐴 / (i · (2 · π))))
78	72, 77	eqtrd 2861	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((𝐴 / i) / 2) / π) = (𝐴 / (i · (2 · π))))
79	62, 78	eqtrd 2861	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((𝐴 / 2) / i) / π) = (𝐴 / (i · (2 · π))))
80	79	eleq1d 2891	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((((𝐴 / 2) / i) / π) ∈ ℤ ↔ (𝐴 / (i · (2 · π))) ∈ ℤ))
81	8, 57, 80	3bitr3d 301	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘𝐴) = 1 ↔ (𝐴 / (i · (2 · π))) ∈ ℤ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   = wceq 1656   ∈ wcel 2164   ≠ wne 2999  ‘cfv 6123  (class class class)co 6905  ℂcc 10250  0cc0 10252  1c1 10253  ici 10254   + caddc 10255   · cmul 10257   − cmin 10585  -cneg 10586   / cdiv 11009  2c2 11406  ℤcz 11704  expce 15164  sincsin 15166  πcpi 15169

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-inf2 8815  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329  ax-pre-sup 10330  ax-addf 10331  ax-mulf 10332

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-fal 1670  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-int 4698  df-iun 4742  df-iin 4743  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-se 5302  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-isom 6132  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-of 7157  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-supp 7560  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-1o 7826  df-2o 7827  df-oadd 7830  df-er 8009  df-map 8124  df-pm 8125  df-ixp 8176  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-fin 8226  df-fsupp 8545  df-fi 8586  df-sup 8617  df-inf 8618  df-oi 8684  df-card 9078  df-cda 9305  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-div 11010  df-nn 11351  df-2 11414  df-3 11415  df-4 11416  df-5 11417  df-6 11418  df-7 11419  df-8 11420  df-9 11421  df-n0 11619  df-z 11705  df-dec 11822  df-uz 11969  df-q 12072  df-rp 12113  df-xneg 12232  df-xadd 12233  df-xmul 12234  df-ioo 12467  df-ioc 12468  df-ico 12469  df-icc 12470  df-fz 12620  df-fzo 12761  df-fl 12888  df-mod 12964  df-seq 13096  df-exp 13155  df-fac 13354  df-bc 13383  df-hash 13411  df-shft 14184  df-cj 14216  df-re 14217  df-im 14218  df-sqrt 14352  df-abs 14353  df-limsup 14579  df-clim 14596  df-rlim 14597  df-sum 14794  df-ef 15170  df-sin 15172  df-cos 15173  df-pi 15175  df-struct 16224  df-ndx 16225  df-slot 16226  df-base 16228  df-sets 16229  df-ress 16230  df-plusg 16318  df-mulr 16319  df-starv 16320  df-sca 16321  df-vsca 16322  df-ip 16323  df-tset 16324  df-ple 16325  df-ds 16327  df-unif 16328  df-hom 16329  df-cco 16330  df-rest 16436  df-topn 16437  df-0g 16455  df-gsum 16456  df-topgen 16457  df-pt 16458  df-prds 16461  df-xrs 16515  df-qtop 16520  df-imas 16521  df-xps 16523  df-mre 16599  df-mrc 16600  df-acs 16602  df-mgm 17595  df-sgrp 17637  df-mnd 17648  df-submnd 17689  df-mulg 17895  df-cntz 18100  df-cmn 18548  df-psmet 20098  df-xmet 20099  df-met 20100  df-bl 20101  df-mopn 20102  df-fbas 20103  df-fg 20104  df-cnfld 20107  df-top 21069  df-topon 21086  df-topsp 21108  df-bases 21121  df-cld 21194  df-ntr 21195  df-cls 21196  df-nei 21273  df-lp 21311  df-perf 21312  df-cn 21402  df-cnp 21403  df-haus 21490  df-tx 21736  df-hmeo 21929  df-fil 22020  df-fm 22112  df-flim 22113  df-flf 22114  df-xms 22495  df-ms 22496  df-tms 22497  df-cncf 23051  df-limc 24029  df-dv 24030

This theorem is referenced by:  efif1olem4  24691  eflogeq  24747  root1eq1  24898  ang180lem1  24949  proot1ex  38615