Theorem efeq1 26849

Description: A complex number whose exponential is one is an integer multiple of 2πi. (Contributed by NM, 17-Aug-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
efeq1	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘𝐴) = 1 ↔ (𝐴 / (i · (2 · π))) ∈ ℤ))

Proof of Theorem efeq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		halfcl 12565	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)
2		ax-icn 11252	. . . . 5 ⊢ i ∈ ℂ
3		ine0 11744	. . . . 5 ⊢ i ≠ 0
4		divcl 11973	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 / 2) ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0) → ((𝐴 / 2) / i) ∈ ℂ)
5	2, 3, 4	mp3an23 1482	. . . 4 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → ((𝐴 / 2) / i) ∈ ℂ)
6	1, 5	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 / 2) / i) ∈ ℂ)
7		sineq0 26845	. . 3 ⊢ (((𝐴 / 2) / i) ∈ ℂ → ((sin‘((𝐴 / 2) / i)) = 0 ↔ (((𝐴 / 2) / i) / π) ∈ ℤ))
8	6, 7	syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘((𝐴 / 2) / i)) = 0 ↔ (((𝐴 / 2) / i) / π) ∈ ℤ))
9		sinval 16283	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 / 2) / i) ∈ ℂ → (sin‘((𝐴 / 2) / i)) = (((exp‘(i · ((𝐴 / 2) / i))) − (exp‘(-i · ((𝐴 / 2) / i)))) / (2 · i)))
10	6, 9	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘((𝐴 / 2) / i)) = (((exp‘(i · ((𝐴 / 2) / i))) − (exp‘(-i · ((𝐴 / 2) / i)))) / (2 · i)))
11		divcan2 11975	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 / 2) ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0) → (i · ((𝐴 / 2) / i)) = (𝐴 / 2))
12	2, 3, 11	mp3an23 1482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → (i · ((𝐴 / 2) / i)) = (𝐴 / 2))
13	1, 12	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · ((𝐴 / 2) / i)) = (𝐴 / 2))
14	13	fveq2d 6887	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · ((𝐴 / 2) / i))) = (exp‘(𝐴 / 2)))
15		mulneg1 11745	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ ((𝐴 / 2) / i) ∈ ℂ) → (-i · ((𝐴 / 2) / i)) = -(i · ((𝐴 / 2) / i)))
16	2, 6, 15	sylancr 599	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-i · ((𝐴 / 2) / i)) = -(i · ((𝐴 / 2) / i)))
17	13	negeqd 11544	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(i · ((𝐴 / 2) / i)) = -(𝐴 / 2))
18	16, 17	eqtrd 2796	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-i · ((𝐴 / 2) / i)) = -(𝐴 / 2))
19	18	fveq2d 6887	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(-i · ((𝐴 / 2) / i))) = (exp‘-(𝐴 / 2)))
20	14, 19	oveq12d 7436	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · ((𝐴 / 2) / i))) − (exp‘(-i · ((𝐴 / 2) / i)))) = ((exp‘(𝐴 / 2)) − (exp‘-(𝐴 / 2))))
21	20	oveq1d 7433	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘(i · ((𝐴 / 2) / i))) − (exp‘(-i · ((𝐴 / 2) / i)))) / (2 · i)) = (((exp‘(𝐴 / 2)) − (exp‘-(𝐴 / 2))) / (2 · i)))
22	10, 21	eqtrd 2796	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘((𝐴 / 2) / i)) = (((exp‘(𝐴 / 2)) − (exp‘-(𝐴 / 2))) / (2 · i)))
23	22	eqeq1d 2763	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘((𝐴 / 2) / i)) = 0 ↔ (((exp‘(𝐴 / 2)) − (exp‘-(𝐴 / 2))) / (2 · i)) = 0))
24		efcl 16241	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → (exp‘(𝐴 / 2)) ∈ ℂ)
25	1, 24	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(𝐴 / 2)) ∈ ℂ)
26	1	negcld 11649	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(𝐴 / 2) ∈ ℂ)
27		efcl 16241	. . . . . 6 ⊢ (-(𝐴 / 2) ∈ ℂ → (exp‘-(𝐴 / 2)) ∈ ℂ)
28	26, 27	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘-(𝐴 / 2)) ∈ ℂ)
29	25, 28	subcld 11662	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(𝐴 / 2)) − (exp‘-(𝐴 / 2))) ∈ ℂ)
30		2cn 12411	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
31	30, 2	mulcli 11309	. . . . 5 ⊢ (2 · i) ∈ ℂ
32		2ne0 12442	. . . . . 6 ⊢ 2 ≠ 0
33	30, 2, 32, 3	mulne0i 11952	. . . . 5 ⊢ (2 · i) ≠ 0
34		diveq0 11977	. . . . 5 ⊢ ((((exp‘(𝐴 / 2)) − (exp‘-(𝐴 / 2))) ∈ ℂ ∧ (2 · i) ∈ ℂ ∧ (2 · i) ≠ 0) → ((((exp‘(𝐴 / 2)) − (exp‘-(𝐴 / 2))) / (2 · i)) = 0 ↔ ((exp‘(𝐴 / 2)) − (exp‘-(𝐴 / 2))) = 0))
35	31, 33, 34	mp3an23 1482	. . . 4 ⊢ (((exp‘(𝐴 / 2)) − (exp‘-(𝐴 / 2))) ∈ ℂ → ((((exp‘(𝐴 / 2)) − (exp‘-(𝐴 / 2))) / (2 · i)) = 0 ↔ ((exp‘(𝐴 / 2)) − (exp‘-(𝐴 / 2))) = 0))
36	29, 35	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((((exp‘(𝐴 / 2)) − (exp‘-(𝐴 / 2))) / (2 · i)) = 0 ↔ ((exp‘(𝐴 / 2)) − (exp‘-(𝐴 / 2))) = 0))
37		efne0 16257	. . . . . . . 8 ⊢ (-(𝐴 / 2) ∈ ℂ → (exp‘-(𝐴 / 2)) ≠ 0)
38	26, 37	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘-(𝐴 / 2)) ≠ 0)
39	25, 28, 28, 38	divsubdird 12125	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘(𝐴 / 2)) − (exp‘-(𝐴 / 2))) / (exp‘-(𝐴 / 2))) = (((exp‘(𝐴 / 2)) / (exp‘-(𝐴 / 2))) − ((exp‘-(𝐴 / 2)) / (exp‘-(𝐴 / 2)))))
40		efsub 16261	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 / 2) ∈ ℂ ∧ -(𝐴 / 2) ∈ ℂ) → (exp‘((𝐴 / 2) − -(𝐴 / 2))) = ((exp‘(𝐴 / 2)) / (exp‘-(𝐴 / 2))))
41	1, 26, 40	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘((𝐴 / 2) − -(𝐴 / 2))) = ((exp‘(𝐴 / 2)) / (exp‘-(𝐴 / 2))))
42	1, 1	subnegd 11669	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 / 2) − -(𝐴 / 2)) = ((𝐴 / 2) + (𝐴 / 2)))
43		2halves 12557	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 / 2) + (𝐴 / 2)) = 𝐴)
44	42, 43	eqtrd 2796	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 / 2) − -(𝐴 / 2)) = 𝐴)
45	44	fveq2d 6887	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘((𝐴 / 2) − -(𝐴 / 2))) = (exp‘𝐴))
46	41, 45	eqtr3d 2798	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(𝐴 / 2)) / (exp‘-(𝐴 / 2))) = (exp‘𝐴))
47	28, 38	dividd 12084	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘-(𝐴 / 2)) / (exp‘-(𝐴 / 2))) = 1)
48	46, 47	oveq12d 7436	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘(𝐴 / 2)) / (exp‘-(𝐴 / 2))) − ((exp‘-(𝐴 / 2)) / (exp‘-(𝐴 / 2)))) = ((exp‘𝐴) − 1))
49	39, 48	eqtrd 2796	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘(𝐴 / 2)) − (exp‘-(𝐴 / 2))) / (exp‘-(𝐴 / 2))) = ((exp‘𝐴) − 1))
50	49	eqeq1d 2763	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((((exp‘(𝐴 / 2)) − (exp‘-(𝐴 / 2))) / (exp‘-(𝐴 / 2))) = 0 ↔ ((exp‘𝐴) − 1) = 0))
51	29, 28, 38	diveq0ad 12096	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((((exp‘(𝐴 / 2)) − (exp‘-(𝐴 / 2))) / (exp‘-(𝐴 / 2))) = 0 ↔ ((exp‘(𝐴 / 2)) − (exp‘-(𝐴 / 2))) = 0))
52		efcl 16241	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) ∈ ℂ)
53		ax-1cn 11251	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
54		subeq0 11577	. . . . 5 ⊢ (((exp‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((exp‘𝐴) − 1) = 0 ↔ (exp‘𝐴) = 1))
55	52, 53, 54	sylancl 598	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘𝐴) − 1) = 0 ↔ (exp‘𝐴) = 1))
56	50, 51, 55	3bitr3d 312	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘(𝐴 / 2)) − (exp‘-(𝐴 / 2))) = 0 ↔ (exp‘𝐴) = 1))
57	23, 36, 56	3bitrd 308	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘((𝐴 / 2) / i)) = 0 ↔ (exp‘𝐴) = 1))
58		2cnne0 12548	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
59	2, 3	pm3.2i 476	. . . . . 6 ⊢ (i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0)
60		divdiv32 12018	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0)) → ((𝐴 / 2) / i) = ((𝐴 / i) / 2))
61	58, 59, 60	mp3an23 1482	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 / 2) / i) = ((𝐴 / i) / 2))
62	61	oveq1d 7433	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((𝐴 / 2) / i) / π) = (((𝐴 / i) / 2) / π))
63		divcl 11973	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0) → (𝐴 / i) ∈ ℂ)
64	2, 3, 63	mp3an23 1482	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / i) ∈ ℂ)
65		picn 26778	. . . . . . . 8 ⊢ π ∈ ℂ
66		pire 26776	. . . . . . . . 9 ⊢ π ∈ ℝ
67		pipos 26780	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < π
68	66, 67	gt0ne0ii 11845	. . . . . . . 8 ⊢ π ≠ 0
69	65, 68	pm3.2i 476	. . . . . . 7 ⊢ (π ∈ ℂ ∧ π ≠ 0)
70		divdiv1 12021	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 / i) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (π ∈ ℂ ∧ π ≠ 0)) → (((𝐴 / i) / 2) / π) = ((𝐴 / i) / (2 · π)))
71	58, 69, 70	mp3an23 1482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 / i) ∈ ℂ → (((𝐴 / i) / 2) / π) = ((𝐴 / i) / (2 · π)))
72	64, 71	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((𝐴 / i) / 2) / π) = ((𝐴 / i) / (2 · π)))
73	30, 65	mulcli 11309	. . . . . . 7 ⊢ (2 · π) ∈ ℂ
74	30, 65, 32, 68	mulne0i 11952	. . . . . . 7 ⊢ (2 · π) ≠ 0
75	73, 74	pm3.2i 476	. . . . . 6 ⊢ ((2 · π) ∈ ℂ ∧ (2 · π) ≠ 0)
76		divdiv1 12021	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0) ∧ ((2 · π) ∈ ℂ ∧ (2 · π) ≠ 0)) → ((𝐴 / i) / (2 · π)) = (𝐴 / (i · (2 · π))))
77	59, 75, 76	mp3an23 1482	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 / i) / (2 · π)) = (𝐴 / (i · (2 · π))))
78	72, 77	eqtrd 2796	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((𝐴 / i) / 2) / π) = (𝐴 / (i · (2 · π))))
79	62, 78	eqtrd 2796	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((𝐴 / 2) / i) / π) = (𝐴 / (i · (2 · π))))
80	79	eleq1d 2846	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((((𝐴 / 2) / i) / π) ∈ ℤ ↔ (𝐴 / (i · (2 · π))) ∈ ℤ))
81	8, 57, 80	3bitr3d 312	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘𝐴) = 1 ↔ (𝐴 / (i · (2 · π))) ∈ ℤ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  ℂcc 11191  0cc0 11193  1c1 11194  ici 11195   + caddc 11196   · cmul 11198   − cmin 11534  -cneg 11535   / cdiv 11966  2c2 12390  ℤcz 12686  expce 16220  sincsin 16222  πcpi 16225

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-inf2 9635  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270  ax-pre-sup 11271  ax-addf 11272

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-of 7691  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8171  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-2o 8470  df-er 8710  df-map 8842  df-pm 8843  df-ixp 8919  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-fsupp 9347  df-fi 9396  df-sup 9427  df-inf 9428  df-oi 9497  df-card 10013  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-div 11967  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-4 12400  df-5 12401  df-6 12402  df-7 12403  df-8 12404  df-9 12405  df-n0 12600  df-z 12687  df-dec 12808  df-uz 12959  df-q 13069  df-rp 13114  df-xneg 13234  df-xadd 13235  df-xmul 13236  df-ioo 13473  df-ioc 13474  df-ico 13475  df-icc 13476  df-fz 13633  df-fzo 13782  df-fl 13925  df-mod 14003  df-seq 14138  df-exp 14198  df-fac 14411  df-bc 14440  df-hash 14468  df-shft 15213  df-cj 15259  df-re 15260  df-im 15261  df-sqrt 15395  df-abs 15396  df-limsup 15631  df-clim 15648  df-rlim 15649  df-sum 15847  df-ef 16226  df-sin 16228  df-cos 16229  df-pi 16231  df-struct 17318  df-sets 17335  df-slot 17353  df-ndx 17365  df-base 17381  df-ress 17402  df-plusg 17434  df-mulr 17435  df-starv 17436  df-sca 17437  df-vsca 17438  df-ip 17439  df-tset 17440  df-ple 17441  df-ds 17443  df-unif 17444  df-hom 17445  df-cco 17446  df-rest 17586  df-topn 17587  df-0g 17605  df-gsum 17606  df-topgen 17607  df-pt 17608  df-prds 17611  df-xrs 17667  df-qtop 17672  df-imas 17673  df-xps 17675  df-mre 17749  df-mrc 17750  df-acs 17752  df-mgm 18809  df-sgrp 18901  df-mnd 18917  df-submnd 18972  df-mulg 19271  df-cntz 19524  df-cmn 19989  df-psmet 21663  df-xmet 21664  df-met 21665  df-bl 21666  df-mopn 21667  df-fbas 21668  df-fg 21669  df-cnfld 21672  df-top 23205  df-topon 23222  df-topsp 23244  df-bases 23257  df-cld 23330  df-ntr 23331  df-cls 23332  df-nei 23409  df-lp 23447  df-perf 23448  df-cn 23538  df-cnp 23539  df-haus 23626  df-tx 23874  df-hmeo 24067  df-fil 24158  df-fm 24250  df-flim 24251  df-flf 24252  df-xms 24632  df-ms 24633  df-tms 24634  df-cncf 25192  df-limc 26179  df-dv 26180

This theorem is used by:  efif1olem4  26866  eflogeq  26923  root1eq1  27076  ang180lem1  27130  cos9thpiminplylem3  34409  ef11d  43370  proot1ex  44182