Theorem efeq1 26588

Description: A complex number whose exponential is one is an integer multiple of 2πi. (Contributed by NM, 17-Aug-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
efeq1	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘𝐴) = 1 ↔ (𝐴 / (i · (2 · π))) ∈ ℤ))

Proof of Theorem efeq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		halfcl 12518	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)
2		ax-icn 11243	. . . . 5 ⊢ i ∈ ℂ
3		ine0 11725	. . . . 5 ⊢ i ≠ 0
4		divcl 11955	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 / 2) ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0) → ((𝐴 / 2) / i) ∈ ℂ)
5	2, 3, 4	mp3an23 1453	. . . 4 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → ((𝐴 / 2) / i) ∈ ℂ)
6	1, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 / 2) / i) ∈ ℂ)
7		sineq0 26584	. . 3 ⊢ (((𝐴 / 2) / i) ∈ ℂ → ((sin‘((𝐴 / 2) / i)) = 0 ↔ (((𝐴 / 2) / i) / π) ∈ ℤ))
8	6, 7	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘((𝐴 / 2) / i)) = 0 ↔ (((𝐴 / 2) / i) / π) ∈ ℤ))
9		sinval 16170	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 / 2) / i) ∈ ℂ → (sin‘((𝐴 / 2) / i)) = (((exp‘(i · ((𝐴 / 2) / i))) − (exp‘(-i · ((𝐴 / 2) / i)))) / (2 · i)))
10	6, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘((𝐴 / 2) / i)) = (((exp‘(i · ((𝐴 / 2) / i))) − (exp‘(-i · ((𝐴 / 2) / i)))) / (2 · i)))
11		divcan2 11957	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 / 2) ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0) → (i · ((𝐴 / 2) / i)) = (𝐴 / 2))
12	2, 3, 11	mp3an23 1453	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → (i · ((𝐴 / 2) / i)) = (𝐴 / 2))
13	1, 12	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · ((𝐴 / 2) / i)) = (𝐴 / 2))
14	13	fveq2d 6924	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · ((𝐴 / 2) / i))) = (exp‘(𝐴 / 2)))
15		mulneg1 11726	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ ((𝐴 / 2) / i) ∈ ℂ) → (-i · ((𝐴 / 2) / i)) = -(i · ((𝐴 / 2) / i)))
16	2, 6, 15	sylancr 586	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-i · ((𝐴 / 2) / i)) = -(i · ((𝐴 / 2) / i)))
17	13	negeqd 11530	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(i · ((𝐴 / 2) / i)) = -(𝐴 / 2))
18	16, 17	eqtrd 2780	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-i · ((𝐴 / 2) / i)) = -(𝐴 / 2))
19	18	fveq2d 6924	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(-i · ((𝐴 / 2) / i))) = (exp‘-(𝐴 / 2)))
20	14, 19	oveq12d 7466	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · ((𝐴 / 2) / i))) − (exp‘(-i · ((𝐴 / 2) / i)))) = ((exp‘(𝐴 / 2)) − (exp‘-(𝐴 / 2))))
21	20	oveq1d 7463	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘(i · ((𝐴 / 2) / i))) − (exp‘(-i · ((𝐴 / 2) / i)))) / (2 · i)) = (((exp‘(𝐴 / 2)) − (exp‘-(𝐴 / 2))) / (2 · i)))
22	10, 21	eqtrd 2780	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘((𝐴 / 2) / i)) = (((exp‘(𝐴 / 2)) − (exp‘-(𝐴 / 2))) / (2 · i)))
23	22	eqeq1d 2742	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘((𝐴 / 2) / i)) = 0 ↔ (((exp‘(𝐴 / 2)) − (exp‘-(𝐴 / 2))) / (2 · i)) = 0))
24		efcl 16130	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → (exp‘(𝐴 / 2)) ∈ ℂ)
25	1, 24	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(𝐴 / 2)) ∈ ℂ)
26	1	negcld 11634	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(𝐴 / 2) ∈ ℂ)
27		efcl 16130	. . . . . 6 ⊢ (-(𝐴 / 2) ∈ ℂ → (exp‘-(𝐴 / 2)) ∈ ℂ)
28	26, 27	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘-(𝐴 / 2)) ∈ ℂ)
29	25, 28	subcld 11647	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(𝐴 / 2)) − (exp‘-(𝐴 / 2))) ∈ ℂ)
30		2cn 12368	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
31	30, 2	mulcli 11297	. . . . 5 ⊢ (2 · i) ∈ ℂ
32		2ne0 12397	. . . . . 6 ⊢ 2 ≠ 0
33	30, 2, 32, 3	mulne0i 11933	. . . . 5 ⊢ (2 · i) ≠ 0
34		diveq0 11959	. . . . 5 ⊢ ((((exp‘(𝐴 / 2)) − (exp‘-(𝐴 / 2))) ∈ ℂ ∧ (2 · i) ∈ ℂ ∧ (2 · i) ≠ 0) → ((((exp‘(𝐴 / 2)) − (exp‘-(𝐴 / 2))) / (2 · i)) = 0 ↔ ((exp‘(𝐴 / 2)) − (exp‘-(𝐴 / 2))) = 0))
35	31, 33, 34	mp3an23 1453	. . . 4 ⊢ (((exp‘(𝐴 / 2)) − (exp‘-(𝐴 / 2))) ∈ ℂ → ((((exp‘(𝐴 / 2)) − (exp‘-(𝐴 / 2))) / (2 · i)) = 0 ↔ ((exp‘(𝐴 / 2)) − (exp‘-(𝐴 / 2))) = 0))
36	29, 35	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((((exp‘(𝐴 / 2)) − (exp‘-(𝐴 / 2))) / (2 · i)) = 0 ↔ ((exp‘(𝐴 / 2)) − (exp‘-(𝐴 / 2))) = 0))
37		efne0 16145	. . . . . . . 8 ⊢ (-(𝐴 / 2) ∈ ℂ → (exp‘-(𝐴 / 2)) ≠ 0)
38	26, 37	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘-(𝐴 / 2)) ≠ 0)
39	25, 28, 28, 38	divsubdird 12109	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘(𝐴 / 2)) − (exp‘-(𝐴 / 2))) / (exp‘-(𝐴 / 2))) = (((exp‘(𝐴 / 2)) / (exp‘-(𝐴 / 2))) − ((exp‘-(𝐴 / 2)) / (exp‘-(𝐴 / 2)))))
40		efsub 16148	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 / 2) ∈ ℂ ∧ -(𝐴 / 2) ∈ ℂ) → (exp‘((𝐴 / 2) − -(𝐴 / 2))) = ((exp‘(𝐴 / 2)) / (exp‘-(𝐴 / 2))))
41	1, 26, 40	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘((𝐴 / 2) − -(𝐴 / 2))) = ((exp‘(𝐴 / 2)) / (exp‘-(𝐴 / 2))))
42	1, 1	subnegd 11654	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 / 2) − -(𝐴 / 2)) = ((𝐴 / 2) + (𝐴 / 2)))
43		2halves 12521	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 / 2) + (𝐴 / 2)) = 𝐴)
44	42, 43	eqtrd 2780	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 / 2) − -(𝐴 / 2)) = 𝐴)
45	44	fveq2d 6924	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘((𝐴 / 2) − -(𝐴 / 2))) = (exp‘𝐴))
46	41, 45	eqtr3d 2782	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(𝐴 / 2)) / (exp‘-(𝐴 / 2))) = (exp‘𝐴))
47	28, 38	dividd 12068	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘-(𝐴 / 2)) / (exp‘-(𝐴 / 2))) = 1)
48	46, 47	oveq12d 7466	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘(𝐴 / 2)) / (exp‘-(𝐴 / 2))) − ((exp‘-(𝐴 / 2)) / (exp‘-(𝐴 / 2)))) = ((exp‘𝐴) − 1))
49	39, 48	eqtrd 2780	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘(𝐴 / 2)) − (exp‘-(𝐴 / 2))) / (exp‘-(𝐴 / 2))) = ((exp‘𝐴) − 1))
50	49	eqeq1d 2742	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((((exp‘(𝐴 / 2)) − (exp‘-(𝐴 / 2))) / (exp‘-(𝐴 / 2))) = 0 ↔ ((exp‘𝐴) − 1) = 0))
51	29, 28, 38	diveq0ad 12080	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((((exp‘(𝐴 / 2)) − (exp‘-(𝐴 / 2))) / (exp‘-(𝐴 / 2))) = 0 ↔ ((exp‘(𝐴 / 2)) − (exp‘-(𝐴 / 2))) = 0))
52		efcl 16130	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) ∈ ℂ)
53		ax-1cn 11242	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
54		subeq0 11562	. . . . 5 ⊢ (((exp‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((exp‘𝐴) − 1) = 0 ↔ (exp‘𝐴) = 1))
55	52, 53, 54	sylancl 585	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘𝐴) − 1) = 0 ↔ (exp‘𝐴) = 1))
56	50, 51, 55	3bitr3d 309	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘(𝐴 / 2)) − (exp‘-(𝐴 / 2))) = 0 ↔ (exp‘𝐴) = 1))
57	23, 36, 56	3bitrd 305	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘((𝐴 / 2) / i)) = 0 ↔ (exp‘𝐴) = 1))
58		2cnne0 12503	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
59	2, 3	pm3.2i 470	. . . . . 6 ⊢ (i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0)
60		divdiv32 12002	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0)) → ((𝐴 / 2) / i) = ((𝐴 / i) / 2))
61	58, 59, 60	mp3an23 1453	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 / 2) / i) = ((𝐴 / i) / 2))
62	61	oveq1d 7463	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((𝐴 / 2) / i) / π) = (((𝐴 / i) / 2) / π))
63		divcl 11955	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0) → (𝐴 / i) ∈ ℂ)
64	2, 3, 63	mp3an23 1453	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / i) ∈ ℂ)
65		picn 26519	. . . . . . . 8 ⊢ π ∈ ℂ
66		pire 26518	. . . . . . . . 9 ⊢ π ∈ ℝ
67		pipos 26520	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < π
68	66, 67	gt0ne0ii 11826	. . . . . . . 8 ⊢ π ≠ 0
69	65, 68	pm3.2i 470	. . . . . . 7 ⊢ (π ∈ ℂ ∧ π ≠ 0)
70		divdiv1 12005	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 / i) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (π ∈ ℂ ∧ π ≠ 0)) → (((𝐴 / i) / 2) / π) = ((𝐴 / i) / (2 · π)))
71	58, 69, 70	mp3an23 1453	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 / i) ∈ ℂ → (((𝐴 / i) / 2) / π) = ((𝐴 / i) / (2 · π)))
72	64, 71	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((𝐴 / i) / 2) / π) = ((𝐴 / i) / (2 · π)))
73	30, 65	mulcli 11297	. . . . . . 7 ⊢ (2 · π) ∈ ℂ
74	30, 65, 32, 68	mulne0i 11933	. . . . . . 7 ⊢ (2 · π) ≠ 0
75	73, 74	pm3.2i 470	. . . . . 6 ⊢ ((2 · π) ∈ ℂ ∧ (2 · π) ≠ 0)
76		divdiv1 12005	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0) ∧ ((2 · π) ∈ ℂ ∧ (2 · π) ≠ 0)) → ((𝐴 / i) / (2 · π)) = (𝐴 / (i · (2 · π))))
77	59, 75, 76	mp3an23 1453	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 / i) / (2 · π)) = (𝐴 / (i · (2 · π))))
78	72, 77	eqtrd 2780	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((𝐴 / i) / 2) / π) = (𝐴 / (i · (2 · π))))
79	62, 78	eqtrd 2780	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((𝐴 / 2) / i) / π) = (𝐴 / (i · (2 · π))))
80	79	eleq1d 2829	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((((𝐴 / 2) / i) / π) ∈ ℤ ↔ (𝐴 / (i · (2 · π))) ∈ ℤ))
81	8, 57, 80	3bitr3d 309	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘𝐴) = 1 ↔ (𝐴 / (i · (2 · π))) ∈ ℤ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  0cc0 11184  1c1 11185  ici 11186   + caddc 11187   · cmul 11189   − cmin 11520  -cneg 11521   / cdiv 11947  2c2 12348  ℤcz 12639  expce 16109  sincsin 16111  πcpi 16114

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262  ax-addf 11263

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-supp 8202  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-map 8886  df-pm 8887  df-ixp 8956  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fsupp 9432  df-fi 9480  df-sup 9511  df-inf 9512  df-oi 9579  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-q 13014  df-rp 13058  df-xneg 13175  df-xadd 13176  df-xmul 13177  df-ioo 13411  df-ioc 13412  df-ico 13413  df-icc 13414  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-fl 13843  df-mod 13921  df-seq 14053  df-exp 14113  df-fac 14323  df-bc 14352  df-hash 14380  df-shft 15116  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-limsup 15517  df-clim 15534  df-rlim 15535  df-sum 15735  df-ef 16115  df-sin 16117  df-cos 16118  df-pi 16120  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-hom 17335  df-cco 17336  df-rest 17482  df-topn 17483  df-0g 17501  df-gsum 17502  df-topgen 17503  df-pt 17504  df-prds 17507  df-xrs 17562  df-qtop 17567  df-imas 17568  df-xps 17570  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-submnd 18819  df-mulg 19108  df-cntz 19357  df-cmn 19824  df-psmet 21379  df-xmet 21380  df-met 21381  df-bl 21382  df-mopn 21383  df-fbas 21384  df-fg 21385  df-cnfld 21388  df-top 22921  df-topon 22938  df-topsp 22960  df-bases 22974  df-cld 23048  df-ntr 23049  df-cls 23050  df-nei 23127  df-lp 23165  df-perf 23166  df-cn 23256  df-cnp 23257  df-haus 23344  df-tx 23591  df-hmeo 23784  df-fil 23875  df-fm 23967  df-flim 23968  df-flf 23969  df-xms 24351  df-ms 24352  df-tms 24353  df-cncf 24923  df-limc 25921  df-dv 25922

This theorem is referenced by:  efif1olem4  26605  eflogeq  26662  root1eq1  26816  ang180lem1  26870  ef11d  42327  proot1ex  43157