Theorem sinhval 16328

Description: Value of the hyperbolic sine of a complex number. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
sinhval	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘(i · 𝐴)) / i) = (((exp‘𝐴) − (exp‘ -𝐴)) / 2))

Proof of Theorem sinhval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ixi 11949	. . . . . . . . 9 ⊢ (i · i) = -1
2	1	oveq1i 7431	. . . . . . . 8 ⊢ ((i · i) · 𝐴) = ( -1 · 𝐴)
3		ax-icn 11263	. . . . . . . . 9 ⊢ i ∈ ℂ
4		mulass 11292	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((i · i) · 𝐴) = (i · (i · 𝐴)))
5	3, 3, 4	mp3an12 1480	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · i) · 𝐴) = (i · (i · 𝐴)))
6		mulm1 11761	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ( -1 · 𝐴) = -𝐴)
7	2, 5, 6	3eqtr3a 2819	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (i · 𝐴)) = -𝐴)
8	7	fveq2d 6890	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · (i · 𝐴))) = (exp‘ -𝐴))
9	3, 3	mulneg1i 11766	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( -i · i) = -(i · i)
10	1	negeqi 11554	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -(i · i) = - -1
11		negneg1e1 12313	. . . . . . . . . . 11 ⊢ - -1 = 1
12	10, 11	eqtri 2783	. . . . . . . . . 10 ⊢ -(i · i) = 1
13	9, 12	eqtri 2783	. . . . . . . . 9 ⊢ ( -i · i) = 1
14	13	oveq1i 7431	. . . . . . . 8 ⊢ (( -i · i) · 𝐴) = (1 · 𝐴)
15		negicn 11562	. . . . . . . . 9 ⊢ -i ∈ ℂ
16		mulass 11292	. . . . . . . . 9 ⊢ (( -i ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (( -i · i) · 𝐴) = ( -i · (i · 𝐴)))
17	15, 3, 16	mp3an12 1480	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (( -i · i) · 𝐴) = ( -i · (i · 𝐴)))
18		mullid 11311	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
19	14, 17, 18	3eqtr3a 2819	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ( -i · (i · 𝐴)) = 𝐴)
20	19	fveq2d 6890	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘( -i · (i · 𝐴))) = (exp‘𝐴))
21	8, 20	oveq12d 7439	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · (i · 𝐴))) − (exp‘( -i · (i · 𝐴)))) = ((exp‘ -𝐴) − (exp‘𝐴)))
22	21	oveq1d 7436	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘(i · (i · 𝐴))) − (exp‘( -i · (i · 𝐴)))) / (2 · i)) = (((exp‘ -𝐴) − (exp‘𝐴)) / (2 · i)))
23		mulcl 11288	. . . . . 6 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
24	3, 23	mpan 703	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
25		sinval 16296	. . . . 5 ⊢ ((i · 𝐴) ∈ ℂ → (sin‘(i · 𝐴)) = (((exp‘(i · (i · 𝐴))) − (exp‘( -i · (i · 𝐴)))) / (2 · i)))
26	24, 25	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(i · 𝐴)) = (((exp‘(i · (i · 𝐴))) − (exp‘( -i · (i · 𝐴)))) / (2 · i)))
27		irec 14349	. . . . . . . 8 ⊢ (1 / i) = -i
28	27	negeqi 11554	. . . . . . 7 ⊢ -(1 / i) = - -i
29	3	negnegi 11632	. . . . . . 7 ⊢ - -i = i
30	28, 29	eqtri 2783	. . . . . 6 ⊢ -(1 / i) = i
31	30	oveq1i 7431	. . . . 5 ⊢ ( -(1 / i) · (((exp‘𝐴) − (exp‘ -𝐴)) / 2)) = (i · (((exp‘𝐴) − (exp‘ -𝐴)) / 2))
32		ine0 11755	. . . . . . . 8 ⊢ i ≠ 0
33	3, 32	reccli 12051	. . . . . . 7 ⊢ (1 / i) ∈ ℂ
34		efcl 16254	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) ∈ ℂ)
35		negcl 11561	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
36		efcl 16254	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( -𝐴 ∈ ℂ → (exp‘ -𝐴) ∈ ℂ)
37	35, 36	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘ -𝐴) ∈ ℂ)
38	34, 37	subcld 11673	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘𝐴) − (exp‘ -𝐴)) ∈ ℂ)
39	38	halfcld 12595	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘𝐴) − (exp‘ -𝐴)) / 2) ∈ ℂ)
40		mulneg12 11758	. . . . . . 7 ⊢ (((1 / i) ∈ ℂ ∧ (((exp‘𝐴) − (exp‘ -𝐴)) / 2) ∈ ℂ) → ( -(1 / i) · (((exp‘𝐴) − (exp‘ -𝐴)) / 2)) = ((1 / i) · -(((exp‘𝐴) − (exp‘ -𝐴)) / 2)))
41	33, 39, 40	sylancr 599	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ( -(1 / i) · (((exp‘𝐴) − (exp‘ -𝐴)) / 2)) = ((1 / i) · -(((exp‘𝐴) − (exp‘ -𝐴)) / 2)))
42		2cnd 12425	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
43		2ne0 12453	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ≠ 0
44	43	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 2 ≠ 0)
45	38, 42, 44	divnegd 12110	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(((exp‘𝐴) − (exp‘ -𝐴)) / 2) = ( -((exp‘𝐴) − (exp‘ -𝐴)) / 2))
46	34, 37	negsubdi2d 11689	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -((exp‘𝐴) − (exp‘ -𝐴)) = ((exp‘ -𝐴) − (exp‘𝐴)))
47	46	oveq1d 7436	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ( -((exp‘𝐴) − (exp‘ -𝐴)) / 2) = (((exp‘ -𝐴) − (exp‘𝐴)) / 2))
48	45, 47	eqtrd 2795	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(((exp‘𝐴) − (exp‘ -𝐴)) / 2) = (((exp‘ -𝐴) − (exp‘𝐴)) / 2))
49	48	oveq2d 7437	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 / i) · -(((exp‘𝐴) − (exp‘ -𝐴)) / 2)) = ((1 / i) · (((exp‘ -𝐴) − (exp‘𝐴)) / 2)))
50	37, 34	subcld 11673	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘ -𝐴) − (exp‘𝐴)) ∈ ℂ)
51	50	halfcld 12595	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘ -𝐴) − (exp‘𝐴)) / 2) ∈ ℂ)
52	3	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → i ∈ ℂ)
53	32	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → i ≠ 0)
54	51, 52, 53	divrec2d 12101	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((((exp‘ -𝐴) − (exp‘𝐴)) / 2) / i) = ((1 / i) · (((exp‘ -𝐴) − (exp‘𝐴)) / 2)))
55	50, 42, 52, 44, 53	divdiv1d 12128	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((((exp‘ -𝐴) − (exp‘𝐴)) / 2) / i) = (((exp‘ -𝐴) − (exp‘𝐴)) / (2 · i)))
56	49, 54, 55	3eqtr2d 2801	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 / i) · -(((exp‘𝐴) − (exp‘ -𝐴)) / 2)) = (((exp‘ -𝐴) − (exp‘𝐴)) / (2 · i)))
57	41, 56	eqtrd 2795	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ( -(1 / i) · (((exp‘𝐴) − (exp‘ -𝐴)) / 2)) = (((exp‘ -𝐴) − (exp‘𝐴)) / (2 · i)))
58	31, 57	eqtr3id 2809	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (((exp‘𝐴) − (exp‘ -𝐴)) / 2)) = (((exp‘ -𝐴) − (exp‘𝐴)) / (2 · i)))
59	22, 26, 58	3eqtr4d 2805	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(i · 𝐴)) = (i · (((exp‘𝐴) − (exp‘ -𝐴)) / 2)))
60	59	oveq1d 7436	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘(i · 𝐴)) / i) = ((i · (((exp‘𝐴) − (exp‘ -𝐴)) / 2)) / i))
61	39, 52, 53	divcan3d 12102	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · (((exp‘𝐴) − (exp‘ -𝐴)) / 2)) / i) = (((exp‘𝐴) − (exp‘ -𝐴)) / 2))
62	60, 61	eqtrd 2795	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘(i · 𝐴)) / i) = (((exp‘𝐴) − (exp‘ -𝐴)) / 2))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  ℂcc 11202  0cc0 11204  1c1 11205  ici 11206   · cmul 11209   − cmin 11545   -cneg 11546   / cdiv 11977  2c2 12401  expce 16233  sincsin 16235

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-inf2 9646  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281  ax-pre-sup 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-isom 6548  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8480  df-er 8721  df-pm 8854  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-fin 8981  df-sup 9438  df-inf 9439  df-oi 9508  df-card 10024  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-div 11978  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-n0 12611  df-z 12698  df-uz 12970  df-rp 13125  df-ico 13486  df-fz 13644  df-fzo 13793  df-fl 13936  df-seq 14149  df-exp 14209  df-fac 14422  df-hash 14479  df-shft 15226  df-cj 15272  df-re 15273  df-im 15274  df-sqrt 15408  df-abs 15409  df-limsup 15644  df-clim 15661  df-rlim 15662  df-sum 15860  df-ef 16239  df-sin 16241

This theorem is used by:  resinhcl  16330  tanhlt1  16334  sinhpcosh  51002