Theorem sinhval 16058

Description: Value of the hyperbolic sine of a complex number. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
sinhval	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘(i · 𝐴)) / i) = (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2))

Proof of Theorem sinhval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ixi 11741	. . . . . . . . 9 ⊢ (i · i) = -1
2	1	oveq1i 7351	. . . . . . . 8 ⊢ ((i · i) · 𝐴) = (-1 · 𝐴)
3		ax-icn 11060	. . . . . . . . 9 ⊢ i ∈ ℂ
4		mulass 11089	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((i · i) · 𝐴) = (i · (i · 𝐴)))
5	3, 3, 4	mp3an12 1453	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · i) · 𝐴) = (i · (i · 𝐴)))
6		mulm1 11553	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-1 · 𝐴) = -𝐴)
7	2, 5, 6	3eqtr3a 2790	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (i · 𝐴)) = -𝐴)
8	7	fveq2d 6821	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · (i · 𝐴))) = (exp‘-𝐴))
9	3, 3	mulneg1i 11558	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-i · i) = -(i · i)
10	1	negeqi 11348	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -(i · i) = --1
11		negneg1e1 12109	. . . . . . . . . . 11 ⊢ --1 = 1
12	10, 11	eqtri 2754	. . . . . . . . . 10 ⊢ -(i · i) = 1
13	9, 12	eqtri 2754	. . . . . . . . 9 ⊢ (-i · i) = 1
14	13	oveq1i 7351	. . . . . . . 8 ⊢ ((-i · i) · 𝐴) = (1 · 𝐴)
15		negicn 11356	. . . . . . . . 9 ⊢ -i ∈ ℂ
16		mulass 11089	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-i ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((-i · i) · 𝐴) = (-i · (i · 𝐴)))
17	15, 3, 16	mp3an12 1453	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((-i · i) · 𝐴) = (-i · (i · 𝐴)))
18		mullid 11106	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
19	14, 17, 18	3eqtr3a 2790	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-i · (i · 𝐴)) = 𝐴)
20	19	fveq2d 6821	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(-i · (i · 𝐴))) = (exp‘𝐴))
21	8, 20	oveq12d 7359	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · (i · 𝐴))) − (exp‘(-i · (i · 𝐴)))) = ((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)))
22	21	oveq1d 7356	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘(i · (i · 𝐴))) − (exp‘(-i · (i · 𝐴)))) / (2 · i)) = (((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)) / (2 · i)))
23		mulcl 11085	. . . . . 6 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
24	3, 23	mpan 690	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
25		sinval 16026	. . . . 5 ⊢ ((i · 𝐴) ∈ ℂ → (sin‘(i · 𝐴)) = (((exp‘(i · (i · 𝐴))) − (exp‘(-i · (i · 𝐴)))) / (2 · i)))
26	24, 25	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(i · 𝐴)) = (((exp‘(i · (i · 𝐴))) − (exp‘(-i · (i · 𝐴)))) / (2 · i)))
27		irec 14103	. . . . . . . 8 ⊢ (1 / i) = -i
28	27	negeqi 11348	. . . . . . 7 ⊢ -(1 / i) = --i
29	3	negnegi 11426	. . . . . . 7 ⊢ --i = i
30	28, 29	eqtri 2754	. . . . . 6 ⊢ -(1 / i) = i
31	30	oveq1i 7351	. . . . 5 ⊢ (-(1 / i) · (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2)) = (i · (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2))
32		ine0 11547	. . . . . . . 8 ⊢ i ≠ 0
33	3, 32	reccli 11846	. . . . . . 7 ⊢ (1 / i) ∈ ℂ
34		efcl 15984	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) ∈ ℂ)
35		negcl 11355	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
36		efcl 15984	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-𝐴 ∈ ℂ → (exp‘-𝐴) ∈ ℂ)
37	35, 36	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘-𝐴) ∈ ℂ)
38	34, 37	subcld 11467	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) ∈ ℂ)
39	38	halfcld 12361	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2) ∈ ℂ)
40		mulneg12 11550	. . . . . . 7 ⊢ (((1 / i) ∈ ℂ ∧ (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2) ∈ ℂ) → (-(1 / i) · (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2)) = ((1 / i) · -(((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2)))
41	33, 39, 40	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-(1 / i) · (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2)) = ((1 / i) · -(((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2)))
42		2cnd 12198	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
43		2ne0 12224	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ≠ 0
44	43	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 2 ≠ 0)
45	38, 42, 44	divnegd 11905	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2) = (-((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2))
46	34, 37	negsubdi2d 11483	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) = ((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)))
47	46	oveq1d 7356	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2) = (((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)) / 2))
48	45, 47	eqtrd 2766	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2) = (((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)) / 2))
49	48	oveq2d 7357	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 / i) · -(((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2)) = ((1 / i) · (((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)) / 2)))
50	37, 34	subcld 11467	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)) ∈ ℂ)
51	50	halfcld 12361	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)) / 2) ∈ ℂ)
52	3	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → i ∈ ℂ)
53	32	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → i ≠ 0)
54	51, 52, 53	divrec2d 11896	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)) / 2) / i) = ((1 / i) · (((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)) / 2)))
55	50, 42, 52, 44, 53	divdiv1d 11923	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)) / 2) / i) = (((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)) / (2 · i)))
56	49, 54, 55	3eqtr2d 2772	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 / i) · -(((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2)) = (((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)) / (2 · i)))
57	41, 56	eqtrd 2766	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-(1 / i) · (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2)) = (((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)) / (2 · i)))
58	31, 57	eqtr3id 2780	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2)) = (((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)) / (2 · i)))
59	22, 26, 58	3eqtr4d 2776	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(i · 𝐴)) = (i · (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2)))
60	59	oveq1d 7356	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘(i · 𝐴)) / i) = ((i · (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2)) / i))
61	39, 52, 53	divcan3d 11897	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2)) / i) = (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2))
62	60, 61	eqtrd 2766	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘(i · 𝐴)) / i) = (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341  ℂcc 10999  0cc0 11001  1c1 11002  ici 11003   · cmul 11006   − cmin 11339  -cneg 11340   / cdiv 11769  2c2 12175  expce 15963  sincsin 15965

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-inf2 9526  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078  ax-pre-sup 11079

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-int 4893  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-se 5565  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-isom 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-er 8617  df-pm 8748  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-sup 9321  df-inf 9322  df-oi 9391  df-card 9827  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-div 11770  df-nn 12121  df-2 12183  df-3 12184  df-n0 12377  df-z 12464  df-uz 12728  df-rp 12886  df-ico 13246  df-fz 13403  df-fzo 13550  df-fl 13691  df-seq 13904  df-exp 13964  df-fac 14176  df-hash 14233  df-shft 14969  df-cj 15001  df-re 15002  df-im 15003  df-sqrt 15137  df-abs 15138  df-limsup 15373  df-clim 15390  df-rlim 15391  df-sum 15589  df-ef 15969  df-sin 15971

This theorem is referenced by:  resinhcl  16060  tanhlt1  16064  sinhpcosh  49772