Theorem sinhval 16190

Description: Value of the hyperbolic sine of a complex number. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
sinhval	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘(i · 𝐴)) / i) = (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2))

Proof of Theorem sinhval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ixi 11892	. . . . . . . . 9 ⊢ (i · i) = -1
2	1	oveq1i 7441	. . . . . . . 8 ⊢ ((i · i) · 𝐴) = (-1 · 𝐴)
3		ax-icn 11214	. . . . . . . . 9 ⊢ i ∈ ℂ
4		mulass 11243	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((i · i) · 𝐴) = (i · (i · 𝐴)))
5	3, 3, 4	mp3an12 1453	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · i) · 𝐴) = (i · (i · 𝐴)))
6		mulm1 11704	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-1 · 𝐴) = -𝐴)
7	2, 5, 6	3eqtr3a 2801	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (i · 𝐴)) = -𝐴)
8	7	fveq2d 6910	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · (i · 𝐴))) = (exp‘-𝐴))
9	3, 3	mulneg1i 11709	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-i · i) = -(i · i)
10	1	negeqi 11501	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -(i · i) = --1
11		negneg1e1 12384	. . . . . . . . . . 11 ⊢ --1 = 1
12	10, 11	eqtri 2765	. . . . . . . . . 10 ⊢ -(i · i) = 1
13	9, 12	eqtri 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ (-i · i) = 1
14	13	oveq1i 7441	. . . . . . . 8 ⊢ ((-i · i) · 𝐴) = (1 · 𝐴)
15		negicn 11509	. . . . . . . . 9 ⊢ -i ∈ ℂ
16		mulass 11243	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-i ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((-i · i) · 𝐴) = (-i · (i · 𝐴)))
17	15, 3, 16	mp3an12 1453	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((-i · i) · 𝐴) = (-i · (i · 𝐴)))
18		mullid 11260	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
19	14, 17, 18	3eqtr3a 2801	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-i · (i · 𝐴)) = 𝐴)
20	19	fveq2d 6910	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(-i · (i · 𝐴))) = (exp‘𝐴))
21	8, 20	oveq12d 7449	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · (i · 𝐴))) − (exp‘(-i · (i · 𝐴)))) = ((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)))
22	21	oveq1d 7446	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘(i · (i · 𝐴))) − (exp‘(-i · (i · 𝐴)))) / (2 · i)) = (((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)) / (2 · i)))
23		mulcl 11239	. . . . . 6 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
24	3, 23	mpan 690	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
25		sinval 16158	. . . . 5 ⊢ ((i · 𝐴) ∈ ℂ → (sin‘(i · 𝐴)) = (((exp‘(i · (i · 𝐴))) − (exp‘(-i · (i · 𝐴)))) / (2 · i)))
26	24, 25	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(i · 𝐴)) = (((exp‘(i · (i · 𝐴))) − (exp‘(-i · (i · 𝐴)))) / (2 · i)))
27		irec 14240	. . . . . . . 8 ⊢ (1 / i) = -i
28	27	negeqi 11501	. . . . . . 7 ⊢ -(1 / i) = --i
29	3	negnegi 11579	. . . . . . 7 ⊢ --i = i
30	28, 29	eqtri 2765	. . . . . 6 ⊢ -(1 / i) = i
31	30	oveq1i 7441	. . . . 5 ⊢ (-(1 / i) · (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2)) = (i · (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2))
32		ine0 11698	. . . . . . . 8 ⊢ i ≠ 0
33	3, 32	reccli 11997	. . . . . . 7 ⊢ (1 / i) ∈ ℂ
34		efcl 16118	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) ∈ ℂ)
35		negcl 11508	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
36		efcl 16118	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-𝐴 ∈ ℂ → (exp‘-𝐴) ∈ ℂ)
37	35, 36	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘-𝐴) ∈ ℂ)
38	34, 37	subcld 11620	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) ∈ ℂ)
39	38	halfcld 12511	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2) ∈ ℂ)
40		mulneg12 11701	. . . . . . 7 ⊢ (((1 / i) ∈ ℂ ∧ (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2) ∈ ℂ) → (-(1 / i) · (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2)) = ((1 / i) · -(((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2)))
41	33, 39, 40	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-(1 / i) · (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2)) = ((1 / i) · -(((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2)))
42		2cnd 12344	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
43		2ne0 12370	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ≠ 0
44	43	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 2 ≠ 0)
45	38, 42, 44	divnegd 12056	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2) = (-((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2))
46	34, 37	negsubdi2d 11636	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) = ((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)))
47	46	oveq1d 7446	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2) = (((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)) / 2))
48	45, 47	eqtrd 2777	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2) = (((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)) / 2))
49	48	oveq2d 7447	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 / i) · -(((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2)) = ((1 / i) · (((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)) / 2)))
50	37, 34	subcld 11620	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)) ∈ ℂ)
51	50	halfcld 12511	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)) / 2) ∈ ℂ)
52	3	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → i ∈ ℂ)
53	32	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → i ≠ 0)
54	51, 52, 53	divrec2d 12047	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)) / 2) / i) = ((1 / i) · (((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)) / 2)))
55	50, 42, 52, 44, 53	divdiv1d 12074	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)) / 2) / i) = (((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)) / (2 · i)))
56	49, 54, 55	3eqtr2d 2783	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 / i) · -(((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2)) = (((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)) / (2 · i)))
57	41, 56	eqtrd 2777	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-(1 / i) · (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2)) = (((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)) / (2 · i)))
58	31, 57	eqtr3id 2791	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2)) = (((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)) / (2 · i)))
59	22, 26, 58	3eqtr4d 2787	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(i · 𝐴)) = (i · (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2)))
60	59	oveq1d 7446	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘(i · 𝐴)) / i) = ((i · (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2)) / i))
61	39, 52, 53	divcan3d 12048	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2)) / i) = (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2))
62	60, 61	eqtrd 2777	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘(i · 𝐴)) / i) = (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  0cc0 11155  1c1 11156  ici 11157   · cmul 11160   − cmin 11492  -cneg 11493   / cdiv 11920  2c2 12321  expce 16097  sincsin 16099

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-ico 13393  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-hash 14370  df-shft 15106  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-ef 16103  df-sin 16105

This theorem is referenced by:  resinhcl  16192  tanhlt1  16196  sinhpcosh  49259