MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sinhval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sinhval 16041
Description: Value of the hyperbolic sine of a complex number. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
sinhval (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((sinβ€˜(i Β· 𝐴)) / i) = (((expβ€˜π΄) βˆ’ (expβ€˜-𝐴)) / 2))

Proof of Theorem sinhval
StepHypRef Expression
1 ixi 11789 . . . . . . . . 9 (i Β· i) = -1
21oveq1i 7368 . . . . . . . 8 ((i Β· i) Β· 𝐴) = (-1 Β· 𝐴)
3 ax-icn 11115 . . . . . . . . 9 i ∈ β„‚
4 mulass 11144 . . . . . . . . 9 ((i ∈ β„‚ ∧ i ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ ((i Β· i) Β· 𝐴) = (i Β· (i Β· 𝐴)))
53, 3, 4mp3an12 1452 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((i Β· i) Β· 𝐴) = (i Β· (i Β· 𝐴)))
6 mulm1 11601 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (-1 Β· 𝐴) = -𝐴)
72, 5, 63eqtr3a 2797 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (i Β· (i Β· 𝐴)) = -𝐴)
87fveq2d 6847 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜(i Β· (i Β· 𝐴))) = (expβ€˜-𝐴))
93, 3mulneg1i 11606 . . . . . . . . . 10 (-i Β· i) = -(i Β· i)
101negeqi 11399 . . . . . . . . . . 11 -(i Β· i) = --1
11 negneg1e1 12276 . . . . . . . . . . 11 --1 = 1
1210, 11eqtri 2761 . . . . . . . . . 10 -(i Β· i) = 1
139, 12eqtri 2761 . . . . . . . . 9 (-i Β· i) = 1
1413oveq1i 7368 . . . . . . . 8 ((-i Β· i) Β· 𝐴) = (1 Β· 𝐴)
15 negicn 11407 . . . . . . . . 9 -i ∈ β„‚
16 mulass 11144 . . . . . . . . 9 ((-i ∈ β„‚ ∧ i ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ ((-i Β· i) Β· 𝐴) = (-i Β· (i Β· 𝐴)))
1715, 3, 16mp3an12 1452 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((-i Β· i) Β· 𝐴) = (-i Β· (i Β· 𝐴)))
18 mulid2 11159 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (1 Β· 𝐴) = 𝐴)
1914, 17, 183eqtr3a 2797 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (-i Β· (i Β· 𝐴)) = 𝐴)
2019fveq2d 6847 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜(-i Β· (i Β· 𝐴))) = (expβ€˜π΄))
218, 20oveq12d 7376 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((expβ€˜(i Β· (i Β· 𝐴))) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· (i Β· 𝐴)))) = ((expβ€˜-𝐴) βˆ’ (expβ€˜π΄)))
2221oveq1d 7373 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (((expβ€˜(i Β· (i Β· 𝐴))) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· (i Β· 𝐴)))) / (2 Β· i)) = (((expβ€˜-𝐴) βˆ’ (expβ€˜π΄)) / (2 Β· i)))
23 mulcl 11140 . . . . . 6 ((i ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (i Β· 𝐴) ∈ β„‚)
243, 23mpan 689 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (i Β· 𝐴) ∈ β„‚)
25 sinval 16009 . . . . 5 ((i Β· 𝐴) ∈ β„‚ β†’ (sinβ€˜(i Β· 𝐴)) = (((expβ€˜(i Β· (i Β· 𝐴))) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· (i Β· 𝐴)))) / (2 Β· i)))
2624, 25syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (sinβ€˜(i Β· 𝐴)) = (((expβ€˜(i Β· (i Β· 𝐴))) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· (i Β· 𝐴)))) / (2 Β· i)))
27 irec 14111 . . . . . . . 8 (1 / i) = -i
2827negeqi 11399 . . . . . . 7 -(1 / i) = --i
293negnegi 11476 . . . . . . 7 --i = i
3028, 29eqtri 2761 . . . . . 6 -(1 / i) = i
3130oveq1i 7368 . . . . 5 (-(1 / i) Β· (((expβ€˜π΄) βˆ’ (expβ€˜-𝐴)) / 2)) = (i Β· (((expβ€˜π΄) βˆ’ (expβ€˜-𝐴)) / 2))
32 ine0 11595 . . . . . . . 8 i β‰  0
333, 32reccli 11890 . . . . . . 7 (1 / i) ∈ β„‚
34 efcl 15970 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜π΄) ∈ β„‚)
35 negcl 11406 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ -𝐴 ∈ β„‚)
36 efcl 15970 . . . . . . . . . 10 (-𝐴 ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜-𝐴) ∈ β„‚)
3735, 36syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜-𝐴) ∈ β„‚)
3834, 37subcld 11517 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((expβ€˜π΄) βˆ’ (expβ€˜-𝐴)) ∈ β„‚)
3938halfcld 12403 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (((expβ€˜π΄) βˆ’ (expβ€˜-𝐴)) / 2) ∈ β„‚)
40 mulneg12 11598 . . . . . . 7 (((1 / i) ∈ β„‚ ∧ (((expβ€˜π΄) βˆ’ (expβ€˜-𝐴)) / 2) ∈ β„‚) β†’ (-(1 / i) Β· (((expβ€˜π΄) βˆ’ (expβ€˜-𝐴)) / 2)) = ((1 / i) Β· -(((expβ€˜π΄) βˆ’ (expβ€˜-𝐴)) / 2)))
4133, 39, 40sylancr 588 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (-(1 / i) Β· (((expβ€˜π΄) βˆ’ (expβ€˜-𝐴)) / 2)) = ((1 / i) Β· -(((expβ€˜π΄) βˆ’ (expβ€˜-𝐴)) / 2)))
42 2cnd 12236 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ 2 ∈ β„‚)
43 2ne0 12262 . . . . . . . . . . 11 2 β‰  0
4443a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ 2 β‰  0)
4538, 42, 44divnegd 11949 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ -(((expβ€˜π΄) βˆ’ (expβ€˜-𝐴)) / 2) = (-((expβ€˜π΄) βˆ’ (expβ€˜-𝐴)) / 2))
4634, 37negsubdi2d 11533 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ -((expβ€˜π΄) βˆ’ (expβ€˜-𝐴)) = ((expβ€˜-𝐴) βˆ’ (expβ€˜π΄)))
4746oveq1d 7373 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (-((expβ€˜π΄) βˆ’ (expβ€˜-𝐴)) / 2) = (((expβ€˜-𝐴) βˆ’ (expβ€˜π΄)) / 2))
4845, 47eqtrd 2773 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ -(((expβ€˜π΄) βˆ’ (expβ€˜-𝐴)) / 2) = (((expβ€˜-𝐴) βˆ’ (expβ€˜π΄)) / 2))
4948oveq2d 7374 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((1 / i) Β· -(((expβ€˜π΄) βˆ’ (expβ€˜-𝐴)) / 2)) = ((1 / i) Β· (((expβ€˜-𝐴) βˆ’ (expβ€˜π΄)) / 2)))
5037, 34subcld 11517 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((expβ€˜-𝐴) βˆ’ (expβ€˜π΄)) ∈ β„‚)
5150halfcld 12403 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (((expβ€˜-𝐴) βˆ’ (expβ€˜π΄)) / 2) ∈ β„‚)
523a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ i ∈ β„‚)
5332a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ i β‰  0)
5451, 52, 53divrec2d 11940 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((((expβ€˜-𝐴) βˆ’ (expβ€˜π΄)) / 2) / i) = ((1 / i) Β· (((expβ€˜-𝐴) βˆ’ (expβ€˜π΄)) / 2)))
5550, 42, 52, 44, 53divdiv1d 11967 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((((expβ€˜-𝐴) βˆ’ (expβ€˜π΄)) / 2) / i) = (((expβ€˜-𝐴) βˆ’ (expβ€˜π΄)) / (2 Β· i)))
5649, 54, 553eqtr2d 2779 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((1 / i) Β· -(((expβ€˜π΄) βˆ’ (expβ€˜-𝐴)) / 2)) = (((expβ€˜-𝐴) βˆ’ (expβ€˜π΄)) / (2 Β· i)))
5741, 56eqtrd 2773 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (-(1 / i) Β· (((expβ€˜π΄) βˆ’ (expβ€˜-𝐴)) / 2)) = (((expβ€˜-𝐴) βˆ’ (expβ€˜π΄)) / (2 Β· i)))
5831, 57eqtr3id 2787 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (i Β· (((expβ€˜π΄) βˆ’ (expβ€˜-𝐴)) / 2)) = (((expβ€˜-𝐴) βˆ’ (expβ€˜π΄)) / (2 Β· i)))
5922, 26, 583eqtr4d 2783 . . 3 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (sinβ€˜(i Β· 𝐴)) = (i Β· (((expβ€˜π΄) βˆ’ (expβ€˜-𝐴)) / 2)))
6059oveq1d 7373 . 2 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((sinβ€˜(i Β· 𝐴)) / i) = ((i Β· (((expβ€˜π΄) βˆ’ (expβ€˜-𝐴)) / 2)) / i))
6139, 52, 53divcan3d 11941 . 2 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((i Β· (((expβ€˜π΄) βˆ’ (expβ€˜-𝐴)) / 2)) / i) = (((expβ€˜π΄) βˆ’ (expβ€˜-𝐴)) / 2))
6260, 61eqtrd 2773 1 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((sinβ€˜(i Β· 𝐴)) / i) = (((expβ€˜π΄) βˆ’ (expβ€˜-𝐴)) / 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  β„‚cc 11054  0cc0 11056  1c1 11057  ici 11058   Β· cmul 11061   βˆ’ cmin 11390  -cneg 11391   / cdiv 11817  2c2 12213  expce 15949  sincsin 15951
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-pm 8771  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9383  df-inf 9384  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-ico 13276  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-fl 13703  df-seq 13913  df-exp 13974  df-fac 14180  df-hash 14237  df-shft 14958  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-limsup 15359  df-clim 15376  df-rlim 15377  df-sum 15577  df-ef 15955  df-sin 15957
This theorem is referenced by:  resinhcl  16043  tanhlt1  16047  sinhpcosh  47271
  Copyright terms: Public domain W3C validator