Theorem sinhval 16070

Description: Value of the hyperbolic sine of a complex number. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
sinhval	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘(i · 𝐴)) / i) = (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2))

Proof of Theorem sinhval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ixi 11757	. . . . . . . . 9 ⊢ (i · i) = -1
2	1	oveq1i 7365	. . . . . . . 8 ⊢ ((i · i) · 𝐴) = (-1 · 𝐴)
3		ax-icn 11076	. . . . . . . . 9 ⊢ i ∈ ℂ
4		mulass 11105	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((i · i) · 𝐴) = (i · (i · 𝐴)))
5	3, 3, 4	mp3an12 1453	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · i) · 𝐴) = (i · (i · 𝐴)))
6		mulm1 11569	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-1 · 𝐴) = -𝐴)
7	2, 5, 6	3eqtr3a 2792	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (i · 𝐴)) = -𝐴)
8	7	fveq2d 6835	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · (i · 𝐴))) = (exp‘-𝐴))
9	3, 3	mulneg1i 11574	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-i · i) = -(i · i)
10	1	negeqi 11364	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -(i · i) = --1
11		negneg1e1 12125	. . . . . . . . . . 11 ⊢ --1 = 1
12	10, 11	eqtri 2756	. . . . . . . . . 10 ⊢ -(i · i) = 1
13	9, 12	eqtri 2756	. . . . . . . . 9 ⊢ (-i · i) = 1
14	13	oveq1i 7365	. . . . . . . 8 ⊢ ((-i · i) · 𝐴) = (1 · 𝐴)
15		negicn 11372	. . . . . . . . 9 ⊢ -i ∈ ℂ
16		mulass 11105	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-i ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((-i · i) · 𝐴) = (-i · (i · 𝐴)))
17	15, 3, 16	mp3an12 1453	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((-i · i) · 𝐴) = (-i · (i · 𝐴)))
18		mullid 11122	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
19	14, 17, 18	3eqtr3a 2792	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-i · (i · 𝐴)) = 𝐴)
20	19	fveq2d 6835	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(-i · (i · 𝐴))) = (exp‘𝐴))
21	8, 20	oveq12d 7373	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · (i · 𝐴))) − (exp‘(-i · (i · 𝐴)))) = ((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)))
22	21	oveq1d 7370	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘(i · (i · 𝐴))) − (exp‘(-i · (i · 𝐴)))) / (2 · i)) = (((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)) / (2 · i)))
23		mulcl 11101	. . . . . 6 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
24	3, 23	mpan 690	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
25		sinval 16038	. . . . 5 ⊢ ((i · 𝐴) ∈ ℂ → (sin‘(i · 𝐴)) = (((exp‘(i · (i · 𝐴))) − (exp‘(-i · (i · 𝐴)))) / (2 · i)))
26	24, 25	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(i · 𝐴)) = (((exp‘(i · (i · 𝐴))) − (exp‘(-i · (i · 𝐴)))) / (2 · i)))
27		irec 14115	. . . . . . . 8 ⊢ (1 / i) = -i
28	27	negeqi 11364	. . . . . . 7 ⊢ -(1 / i) = --i
29	3	negnegi 11442	. . . . . . 7 ⊢ --i = i
30	28, 29	eqtri 2756	. . . . . 6 ⊢ -(1 / i) = i
31	30	oveq1i 7365	. . . . 5 ⊢ (-(1 / i) · (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2)) = (i · (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2))
32		ine0 11563	. . . . . . . 8 ⊢ i ≠ 0
33	3, 32	reccli 11862	. . . . . . 7 ⊢ (1 / i) ∈ ℂ
34		efcl 15996	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) ∈ ℂ)
35		negcl 11371	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
36		efcl 15996	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-𝐴 ∈ ℂ → (exp‘-𝐴) ∈ ℂ)
37	35, 36	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘-𝐴) ∈ ℂ)
38	34, 37	subcld 11483	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) ∈ ℂ)
39	38	halfcld 12377	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2) ∈ ℂ)
40		mulneg12 11566	. . . . . . 7 ⊢ (((1 / i) ∈ ℂ ∧ (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2) ∈ ℂ) → (-(1 / i) · (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2)) = ((1 / i) · -(((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2)))
41	33, 39, 40	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-(1 / i) · (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2)) = ((1 / i) · -(((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2)))
42		2cnd 12214	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
43		2ne0 12240	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ≠ 0
44	43	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 2 ≠ 0)
45	38, 42, 44	divnegd 11921	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2) = (-((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2))
46	34, 37	negsubdi2d 11499	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) = ((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)))
47	46	oveq1d 7370	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2) = (((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)) / 2))
48	45, 47	eqtrd 2768	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2) = (((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)) / 2))
49	48	oveq2d 7371	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 / i) · -(((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2)) = ((1 / i) · (((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)) / 2)))
50	37, 34	subcld 11483	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)) ∈ ℂ)
51	50	halfcld 12377	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)) / 2) ∈ ℂ)
52	3	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → i ∈ ℂ)
53	32	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → i ≠ 0)
54	51, 52, 53	divrec2d 11912	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)) / 2) / i) = ((1 / i) · (((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)) / 2)))
55	50, 42, 52, 44, 53	divdiv1d 11939	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)) / 2) / i) = (((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)) / (2 · i)))
56	49, 54, 55	3eqtr2d 2774	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 / i) · -(((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2)) = (((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)) / (2 · i)))
57	41, 56	eqtrd 2768	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-(1 / i) · (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2)) = (((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)) / (2 · i)))
58	31, 57	eqtr3id 2782	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2)) = (((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)) / (2 · i)))
59	22, 26, 58	3eqtr4d 2778	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(i · 𝐴)) = (i · (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2)))
60	59	oveq1d 7370	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘(i · 𝐴)) / i) = ((i · (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2)) / i))
61	39, 52, 53	divcan3d 11913	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2)) / i) = (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2))
62	60, 61	eqtrd 2768	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘(i · 𝐴)) / i) = (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355  ℂcc 11015  0cc0 11017  1c1 11018  ici 11019   · cmul 11022   − cmin 11355  -cneg 11356   / cdiv 11785  2c2 12191  expce 15975  sincsin 15977

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-inf2 9542  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094  ax-pre-sup 11095

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-isom 6498  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-er 8631  df-pm 8762  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-sup 9337  df-inf 9338  df-oi 9407  df-card 9843  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-div 11786  df-nn 12137  df-2 12199  df-3 12200  df-n0 12393  df-z 12480  df-uz 12743  df-rp 12897  df-ico 13258  df-fz 13415  df-fzo 13562  df-fl 13703  df-seq 13916  df-exp 13976  df-fac 14188  df-hash 14245  df-shft 14981  df-cj 15013  df-re 15014  df-im 15015  df-sqrt 15149  df-abs 15150  df-limsup 15385  df-clim 15402  df-rlim 15403  df-sum 15601  df-ef 15981  df-sin 15983

This theorem is referenced by:  resinhcl  16072  tanhlt1  16076  sinhpcosh  49901