MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sinhval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sinhval 16099
Description: Value of the hyperbolic sine of a complex number. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
sinhval (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((sinβ€˜(i Β· 𝐴)) / i) = (((expβ€˜π΄) βˆ’ (expβ€˜-𝐴)) / 2))

Proof of Theorem sinhval
StepHypRef Expression
1 ixi 11845 . . . . . . . . 9 (i Β· i) = -1
21oveq1i 7421 . . . . . . . 8 ((i Β· i) Β· 𝐴) = (-1 Β· 𝐴)
3 ax-icn 11171 . . . . . . . . 9 i ∈ β„‚
4 mulass 11200 . . . . . . . . 9 ((i ∈ β„‚ ∧ i ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ ((i Β· i) Β· 𝐴) = (i Β· (i Β· 𝐴)))
53, 3, 4mp3an12 1451 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((i Β· i) Β· 𝐴) = (i Β· (i Β· 𝐴)))
6 mulm1 11657 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (-1 Β· 𝐴) = -𝐴)
72, 5, 63eqtr3a 2796 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (i Β· (i Β· 𝐴)) = -𝐴)
87fveq2d 6895 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜(i Β· (i Β· 𝐴))) = (expβ€˜-𝐴))
93, 3mulneg1i 11662 . . . . . . . . . 10 (-i Β· i) = -(i Β· i)
101negeqi 11455 . . . . . . . . . . 11 -(i Β· i) = --1
11 negneg1e1 12332 . . . . . . . . . . 11 --1 = 1
1210, 11eqtri 2760 . . . . . . . . . 10 -(i Β· i) = 1
139, 12eqtri 2760 . . . . . . . . 9 (-i Β· i) = 1
1413oveq1i 7421 . . . . . . . 8 ((-i Β· i) Β· 𝐴) = (1 Β· 𝐴)
15 negicn 11463 . . . . . . . . 9 -i ∈ β„‚
16 mulass 11200 . . . . . . . . 9 ((-i ∈ β„‚ ∧ i ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ ((-i Β· i) Β· 𝐴) = (-i Β· (i Β· 𝐴)))
1715, 3, 16mp3an12 1451 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((-i Β· i) Β· 𝐴) = (-i Β· (i Β· 𝐴)))
18 mullid 11215 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (1 Β· 𝐴) = 𝐴)
1914, 17, 183eqtr3a 2796 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (-i Β· (i Β· 𝐴)) = 𝐴)
2019fveq2d 6895 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜(-i Β· (i Β· 𝐴))) = (expβ€˜π΄))
218, 20oveq12d 7429 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((expβ€˜(i Β· (i Β· 𝐴))) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· (i Β· 𝐴)))) = ((expβ€˜-𝐴) βˆ’ (expβ€˜π΄)))
2221oveq1d 7426 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (((expβ€˜(i Β· (i Β· 𝐴))) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· (i Β· 𝐴)))) / (2 Β· i)) = (((expβ€˜-𝐴) βˆ’ (expβ€˜π΄)) / (2 Β· i)))
23 mulcl 11196 . . . . . 6 ((i ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (i Β· 𝐴) ∈ β„‚)
243, 23mpan 688 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (i Β· 𝐴) ∈ β„‚)
25 sinval 16067 . . . . 5 ((i Β· 𝐴) ∈ β„‚ β†’ (sinβ€˜(i Β· 𝐴)) = (((expβ€˜(i Β· (i Β· 𝐴))) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· (i Β· 𝐴)))) / (2 Β· i)))
2624, 25syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (sinβ€˜(i Β· 𝐴)) = (((expβ€˜(i Β· (i Β· 𝐴))) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· (i Β· 𝐴)))) / (2 Β· i)))
27 irec 14167 . . . . . . . 8 (1 / i) = -i
2827negeqi 11455 . . . . . . 7 -(1 / i) = --i
293negnegi 11532 . . . . . . 7 --i = i
3028, 29eqtri 2760 . . . . . 6 -(1 / i) = i
3130oveq1i 7421 . . . . 5 (-(1 / i) Β· (((expβ€˜π΄) βˆ’ (expβ€˜-𝐴)) / 2)) = (i Β· (((expβ€˜π΄) βˆ’ (expβ€˜-𝐴)) / 2))
32 ine0 11651 . . . . . . . 8 i β‰  0
333, 32reccli 11946 . . . . . . 7 (1 / i) ∈ β„‚
34 efcl 16028 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜π΄) ∈ β„‚)
35 negcl 11462 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ -𝐴 ∈ β„‚)
36 efcl 16028 . . . . . . . . . 10 (-𝐴 ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜-𝐴) ∈ β„‚)
3735, 36syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜-𝐴) ∈ β„‚)
3834, 37subcld 11573 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((expβ€˜π΄) βˆ’ (expβ€˜-𝐴)) ∈ β„‚)
3938halfcld 12459 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (((expβ€˜π΄) βˆ’ (expβ€˜-𝐴)) / 2) ∈ β„‚)
40 mulneg12 11654 . . . . . . 7 (((1 / i) ∈ β„‚ ∧ (((expβ€˜π΄) βˆ’ (expβ€˜-𝐴)) / 2) ∈ β„‚) β†’ (-(1 / i) Β· (((expβ€˜π΄) βˆ’ (expβ€˜-𝐴)) / 2)) = ((1 / i) Β· -(((expβ€˜π΄) βˆ’ (expβ€˜-𝐴)) / 2)))
4133, 39, 40sylancr 587 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (-(1 / i) Β· (((expβ€˜π΄) βˆ’ (expβ€˜-𝐴)) / 2)) = ((1 / i) Β· -(((expβ€˜π΄) βˆ’ (expβ€˜-𝐴)) / 2)))
42 2cnd 12292 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ 2 ∈ β„‚)
43 2ne0 12318 . . . . . . . . . . 11 2 β‰  0
4443a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ 2 β‰  0)
4538, 42, 44divnegd 12005 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ -(((expβ€˜π΄) βˆ’ (expβ€˜-𝐴)) / 2) = (-((expβ€˜π΄) βˆ’ (expβ€˜-𝐴)) / 2))
4634, 37negsubdi2d 11589 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ -((expβ€˜π΄) βˆ’ (expβ€˜-𝐴)) = ((expβ€˜-𝐴) βˆ’ (expβ€˜π΄)))
4746oveq1d 7426 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (-((expβ€˜π΄) βˆ’ (expβ€˜-𝐴)) / 2) = (((expβ€˜-𝐴) βˆ’ (expβ€˜π΄)) / 2))
4845, 47eqtrd 2772 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ -(((expβ€˜π΄) βˆ’ (expβ€˜-𝐴)) / 2) = (((expβ€˜-𝐴) βˆ’ (expβ€˜π΄)) / 2))
4948oveq2d 7427 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((1 / i) Β· -(((expβ€˜π΄) βˆ’ (expβ€˜-𝐴)) / 2)) = ((1 / i) Β· (((expβ€˜-𝐴) βˆ’ (expβ€˜π΄)) / 2)))
5037, 34subcld 11573 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((expβ€˜-𝐴) βˆ’ (expβ€˜π΄)) ∈ β„‚)
5150halfcld 12459 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (((expβ€˜-𝐴) βˆ’ (expβ€˜π΄)) / 2) ∈ β„‚)
523a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ i ∈ β„‚)
5332a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ i β‰  0)
5451, 52, 53divrec2d 11996 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((((expβ€˜-𝐴) βˆ’ (expβ€˜π΄)) / 2) / i) = ((1 / i) Β· (((expβ€˜-𝐴) βˆ’ (expβ€˜π΄)) / 2)))
5550, 42, 52, 44, 53divdiv1d 12023 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((((expβ€˜-𝐴) βˆ’ (expβ€˜π΄)) / 2) / i) = (((expβ€˜-𝐴) βˆ’ (expβ€˜π΄)) / (2 Β· i)))
5649, 54, 553eqtr2d 2778 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((1 / i) Β· -(((expβ€˜π΄) βˆ’ (expβ€˜-𝐴)) / 2)) = (((expβ€˜-𝐴) βˆ’ (expβ€˜π΄)) / (2 Β· i)))
5741, 56eqtrd 2772 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (-(1 / i) Β· (((expβ€˜π΄) βˆ’ (expβ€˜-𝐴)) / 2)) = (((expβ€˜-𝐴) βˆ’ (expβ€˜π΄)) / (2 Β· i)))
5831, 57eqtr3id 2786 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (i Β· (((expβ€˜π΄) βˆ’ (expβ€˜-𝐴)) / 2)) = (((expβ€˜-𝐴) βˆ’ (expβ€˜π΄)) / (2 Β· i)))
5922, 26, 583eqtr4d 2782 . . 3 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (sinβ€˜(i Β· 𝐴)) = (i Β· (((expβ€˜π΄) βˆ’ (expβ€˜-𝐴)) / 2)))
6059oveq1d 7426 . 2 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((sinβ€˜(i Β· 𝐴)) / i) = ((i Β· (((expβ€˜π΄) βˆ’ (expβ€˜-𝐴)) / 2)) / i))
6139, 52, 53divcan3d 11997 . 2 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((i Β· (((expβ€˜π΄) βˆ’ (expβ€˜-𝐴)) / 2)) / i) = (((expβ€˜π΄) βˆ’ (expβ€˜-𝐴)) / 2))
6260, 61eqtrd 2772 1 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((sinβ€˜(i Β· 𝐴)) / i) = (((expβ€˜π΄) βˆ’ (expβ€˜-𝐴)) / 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  β„‚cc 11110  0cc0 11112  1c1 11113  ici 11114   Β· cmul 11117   βˆ’ cmin 11446  -cneg 11447   / cdiv 11873  2c2 12269  expce 16007  sincsin 16009
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-rp 12977  df-ico 13332  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-fl 13759  df-seq 13969  df-exp 14030  df-fac 14236  df-hash 14293  df-shft 15016  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-limsup 15417  df-clim 15434  df-rlim 15435  df-sum 15635  df-ef 16013  df-sin 16015
This theorem is referenced by:  resinhcl  16101  tanhlt1  16105  sinhpcosh  47863
  Copyright terms: Public domain W3C validator