MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sinhval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sinhval 15502
Description: Value of the hyperbolic sine of a complex number. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
sinhval (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘(i · 𝐴)) / i) = (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2))

Proof of Theorem sinhval
StepHypRef Expression
1 ixi 11263 . . . . . . . . 9 (i · i) = -1
21oveq1i 7160 . . . . . . . 8 ((i · i) · 𝐴) = (-1 · 𝐴)
3 ax-icn 10590 . . . . . . . . 9 i ∈ ℂ
4 mulass 10619 . . . . . . . . 9 ((i ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((i · i) · 𝐴) = (i · (i · 𝐴)))
53, 3, 4mp3an12 1444 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · i) · 𝐴) = (i · (i · 𝐴)))
6 mulm1 11075 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (-1 · 𝐴) = -𝐴)
72, 5, 63eqtr3a 2885 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (i · (i · 𝐴)) = -𝐴)
87fveq2d 6673 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · (i · 𝐴))) = (exp‘-𝐴))
93, 3mulneg1i 11080 . . . . . . . . . 10 (-i · i) = -(i · i)
101negeqi 10873 . . . . . . . . . . 11 -(i · i) = --1
11 negneg1e1 11749 . . . . . . . . . . 11 --1 = 1
1210, 11eqtri 2849 . . . . . . . . . 10 -(i · i) = 1
139, 12eqtri 2849 . . . . . . . . 9 (-i · i) = 1
1413oveq1i 7160 . . . . . . . 8 ((-i · i) · 𝐴) = (1 · 𝐴)
15 negicn 10881 . . . . . . . . 9 -i ∈ ℂ
16 mulass 10619 . . . . . . . . 9 ((-i ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((-i · i) · 𝐴) = (-i · (i · 𝐴)))
1715, 3, 16mp3an12 1444 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → ((-i · i) · 𝐴) = (-i · (i · 𝐴)))
18 mulid2 10634 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
1914, 17, 183eqtr3a 2885 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (-i · (i · 𝐴)) = 𝐴)
2019fveq2d 6673 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(-i · (i · 𝐴))) = (exp‘𝐴))
218, 20oveq12d 7168 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · (i · 𝐴))) − (exp‘(-i · (i · 𝐴)))) = ((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)))
2221oveq1d 7165 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘(i · (i · 𝐴))) − (exp‘(-i · (i · 𝐴)))) / (2 · i)) = (((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)) / (2 · i)))
23 mulcl 10615 . . . . . 6 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
243, 23mpan 686 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
25 sinval 15470 . . . . 5 ((i · 𝐴) ∈ ℂ → (sin‘(i · 𝐴)) = (((exp‘(i · (i · 𝐴))) − (exp‘(-i · (i · 𝐴)))) / (2 · i)))
2624, 25syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(i · 𝐴)) = (((exp‘(i · (i · 𝐴))) − (exp‘(-i · (i · 𝐴)))) / (2 · i)))
27 irec 13559 . . . . . . . 8 (1 / i) = -i
2827negeqi 10873 . . . . . . 7 -(1 / i) = --i
293negnegi 10950 . . . . . . 7 --i = i
3028, 29eqtri 2849 . . . . . 6 -(1 / i) = i
3130oveq1i 7160 . . . . 5 (-(1 / i) · (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2)) = (i · (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2))
32 ine0 11069 . . . . . . . 8 i ≠ 0
333, 32reccli 11364 . . . . . . 7 (1 / i) ∈ ℂ
34 efcl 15431 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) ∈ ℂ)
35 negcl 10880 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
36 efcl 15431 . . . . . . . . . 10 (-𝐴 ∈ ℂ → (exp‘-𝐴) ∈ ℂ)
3735, 36syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘-𝐴) ∈ ℂ)
3834, 37subcld 10991 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) ∈ ℂ)
3938halfcld 11876 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2) ∈ ℂ)
40 mulneg12 11072 . . . . . . 7 (((1 / i) ∈ ℂ ∧ (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2) ∈ ℂ) → (-(1 / i) · (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2)) = ((1 / i) · -(((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2)))
4133, 39, 40sylancr 587 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (-(1 / i) · (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2)) = ((1 / i) · -(((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2)))
42 2cnd 11709 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
43 2ne0 11735 . . . . . . . . . . 11 2 ≠ 0
4443a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → 2 ≠ 0)
4538, 42, 44divnegd 11423 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → -(((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2) = (-((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2))
4634, 37negsubdi2d 11007 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → -((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) = ((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)))
4746oveq1d 7165 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → (-((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2) = (((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)) / 2))
4845, 47eqtrd 2861 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → -(((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2) = (((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)) / 2))
4948oveq2d 7166 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → ((1 / i) · -(((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2)) = ((1 / i) · (((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)) / 2)))
5037, 34subcld 10991 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)) ∈ ℂ)
5150halfcld 11876 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)) / 2) ∈ ℂ)
523a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → i ∈ ℂ)
5332a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → i ≠ 0)
5451, 52, 53divrec2d 11414 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → ((((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)) / 2) / i) = ((1 / i) · (((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)) / 2)))
5550, 42, 52, 44, 53divdiv1d 11441 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → ((((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)) / 2) / i) = (((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)) / (2 · i)))
5649, 54, 553eqtr2d 2867 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → ((1 / i) · -(((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2)) = (((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)) / (2 · i)))
5741, 56eqtrd 2861 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (-(1 / i) · (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2)) = (((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)) / (2 · i)))
5831, 57syl5eqr 2875 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (i · (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2)) = (((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)) / (2 · i)))
5922, 26, 583eqtr4d 2871 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(i · 𝐴)) = (i · (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2)))
6059oveq1d 7165 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘(i · 𝐴)) / i) = ((i · (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2)) / i))
6139, 52, 53divcan3d 11415 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2)) / i) = (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2))
6260, 61eqtrd 2861 1 (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘(i · 𝐴)) / i) = (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1530  wcel 2107  wne 3021  cfv 6354  (class class class)co 7150  cc 10529  0cc0 10531  1c1 10532  ici 10533   · cmul 10536  cmin 10864  -cneg 10865   / cdiv 11291  2c2 11686  expce 15410  sincsin 15412
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455  ax-inf2 9098  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609  ax-addf 10610  ax-mulf 10611
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-isom 6363  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7574  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-oadd 8102  df-er 8284  df-pm 8404  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-sup 8900  df-inf 8901  df-oi 8968  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-rp 12385  df-ico 12739  df-fz 12888  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-seq 13365  df-exp 13425  df-fac 13629  df-hash 13686  df-shft 14421  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-limsup 14823  df-clim 14840  df-rlim 14841  df-sum 15038  df-ef 15416  df-sin 15418
This theorem is referenced by:  resinhcl  15504  tanhlt1  15508  sinhpcosh  44741
  Copyright terms: Public domain W3C validator