Theorem sinhval 16098

Description: Value of the hyperbolic sine of a complex number. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
sinhval	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘(i · 𝐴)) / i) = (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2))

Proof of Theorem sinhval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ixi 11783	. . . . . . . . 9 ⊢ (i · i) = -1
2	1	oveq1i 7379	. . . . . . . 8 ⊢ ((i · i) · 𝐴) = (-1 · 𝐴)
3		ax-icn 11103	. . . . . . . . 9 ⊢ i ∈ ℂ
4		mulass 11132	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((i · i) · 𝐴) = (i · (i · 𝐴)))
5	3, 3, 4	mp3an12 1453	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · i) · 𝐴) = (i · (i · 𝐴)))
6		mulm1 11595	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-1 · 𝐴) = -𝐴)
7	2, 5, 6	3eqtr3a 2788	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (i · 𝐴)) = -𝐴)
8	7	fveq2d 6844	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · (i · 𝐴))) = (exp‘-𝐴))
9	3, 3	mulneg1i 11600	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-i · i) = -(i · i)
10	1	negeqi 11390	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -(i · i) = --1
11		negneg1e1 12151	. . . . . . . . . . 11 ⊢ --1 = 1
12	10, 11	eqtri 2752	. . . . . . . . . 10 ⊢ -(i · i) = 1
13	9, 12	eqtri 2752	. . . . . . . . 9 ⊢ (-i · i) = 1
14	13	oveq1i 7379	. . . . . . . 8 ⊢ ((-i · i) · 𝐴) = (1 · 𝐴)
15		negicn 11398	. . . . . . . . 9 ⊢ -i ∈ ℂ
16		mulass 11132	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-i ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((-i · i) · 𝐴) = (-i · (i · 𝐴)))
17	15, 3, 16	mp3an12 1453	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((-i · i) · 𝐴) = (-i · (i · 𝐴)))
18		mullid 11149	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
19	14, 17, 18	3eqtr3a 2788	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-i · (i · 𝐴)) = 𝐴)
20	19	fveq2d 6844	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(-i · (i · 𝐴))) = (exp‘𝐴))
21	8, 20	oveq12d 7387	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · (i · 𝐴))) − (exp‘(-i · (i · 𝐴)))) = ((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)))
22	21	oveq1d 7384	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘(i · (i · 𝐴))) − (exp‘(-i · (i · 𝐴)))) / (2 · i)) = (((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)) / (2 · i)))
23		mulcl 11128	. . . . . 6 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
24	3, 23	mpan 690	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
25		sinval 16066	. . . . 5 ⊢ ((i · 𝐴) ∈ ℂ → (sin‘(i · 𝐴)) = (((exp‘(i · (i · 𝐴))) − (exp‘(-i · (i · 𝐴)))) / (2 · i)))
26	24, 25	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(i · 𝐴)) = (((exp‘(i · (i · 𝐴))) − (exp‘(-i · (i · 𝐴)))) / (2 · i)))
27		irec 14142	. . . . . . . 8 ⊢ (1 / i) = -i
28	27	negeqi 11390	. . . . . . 7 ⊢ -(1 / i) = --i
29	3	negnegi 11468	. . . . . . 7 ⊢ --i = i
30	28, 29	eqtri 2752	. . . . . 6 ⊢ -(1 / i) = i
31	30	oveq1i 7379	. . . . 5 ⊢ (-(1 / i) · (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2)) = (i · (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2))
32		ine0 11589	. . . . . . . 8 ⊢ i ≠ 0
33	3, 32	reccli 11888	. . . . . . 7 ⊢ (1 / i) ∈ ℂ
34		efcl 16024	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) ∈ ℂ)
35		negcl 11397	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
36		efcl 16024	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-𝐴 ∈ ℂ → (exp‘-𝐴) ∈ ℂ)
37	35, 36	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘-𝐴) ∈ ℂ)
38	34, 37	subcld 11509	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) ∈ ℂ)
39	38	halfcld 12403	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2) ∈ ℂ)
40		mulneg12 11592	. . . . . . 7 ⊢ (((1 / i) ∈ ℂ ∧ (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2) ∈ ℂ) → (-(1 / i) · (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2)) = ((1 / i) · -(((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2)))
41	33, 39, 40	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-(1 / i) · (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2)) = ((1 / i) · -(((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2)))
42		2cnd 12240	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
43		2ne0 12266	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ≠ 0
44	43	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 2 ≠ 0)
45	38, 42, 44	divnegd 11947	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2) = (-((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2))
46	34, 37	negsubdi2d 11525	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) = ((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)))
47	46	oveq1d 7384	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2) = (((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)) / 2))
48	45, 47	eqtrd 2764	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2) = (((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)) / 2))
49	48	oveq2d 7385	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 / i) · -(((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2)) = ((1 / i) · (((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)) / 2)))
50	37, 34	subcld 11509	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)) ∈ ℂ)
51	50	halfcld 12403	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)) / 2) ∈ ℂ)
52	3	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → i ∈ ℂ)
53	32	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → i ≠ 0)
54	51, 52, 53	divrec2d 11938	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)) / 2) / i) = ((1 / i) · (((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)) / 2)))
55	50, 42, 52, 44, 53	divdiv1d 11965	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)) / 2) / i) = (((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)) / (2 · i)))
56	49, 54, 55	3eqtr2d 2770	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 / i) · -(((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2)) = (((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)) / (2 · i)))
57	41, 56	eqtrd 2764	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-(1 / i) · (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2)) = (((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)) / (2 · i)))
58	31, 57	eqtr3id 2778	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2)) = (((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)) / (2 · i)))
59	22, 26, 58	3eqtr4d 2774	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(i · 𝐴)) = (i · (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2)))
60	59	oveq1d 7384	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘(i · 𝐴)) / i) = ((i · (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2)) / i))
61	39, 52, 53	divcan3d 11939	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2)) / i) = (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2))
62	60, 61	eqtrd 2764	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘(i · 𝐴)) / i) = (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  ℂcc 11042  0cc0 11044  1c1 11045  ici 11046   · cmul 11049   − cmin 11381  -cneg 11382   / cdiv 11811  2c2 12217  expce 16003  sincsin 16005

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-inf2 9570  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8648  df-pm 8779  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9369  df-inf 9370  df-oi 9439  df-card 9868  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-rp 12928  df-ico 13288  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-fl 13730  df-seq 13943  df-exp 14003  df-fac 14215  df-hash 14272  df-shft 15009  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-limsup 15413  df-clim 15430  df-rlim 15431  df-sum 15629  df-ef 16009  df-sin 16011

This theorem is referenced by:  resinhcl  16100  tanhlt1  16104  sinhpcosh  49702