Theorem sinhval 16363

Description: Value of the hyperbolic sine of a complex number. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
sinhval	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘(i · 𝐴)) / i) = (((exp‘𝐴) − (exp‘ -𝐴)) / 2))

Proof of Theorem sinhval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ixi 11983	. . . . . . . . 9 ⊢ (i · i) = -1
2	1	oveq1i 7459	. . . . . . . 8 ⊢ ((i · i) · 𝐴) = ( -1 · 𝐴)
3		ax-icn 11296	. . . . . . . . 9 ⊢ i ∈ ℂ
4		mulass 11325	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((i · i) · 𝐴) = (i · (i · 𝐴)))
5	3, 3, 4	mp3an12 1481	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · i) · 𝐴) = (i · (i · 𝐴)))
6		mulm1 11794	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ( -1 · 𝐴) = -𝐴)
7	2, 5, 6	3eqtr3a 2822	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (i · 𝐴)) = -𝐴)
8	7	fveq2d 6918	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · (i · 𝐴))) = (exp‘ -𝐴))
9	3, 3	mulneg1i 11799	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( -i · i) = -(i · i)
10	1	negeqi 11587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -(i · i) = - -1
11		negneg1e1 12347	. . . . . . . . . . 11 ⊢ - -1 = 1
12	10, 11	eqtri 2786	. . . . . . . . . 10 ⊢ -(i · i) = 1
13	9, 12	eqtri 2786	. . . . . . . . 9 ⊢ ( -i · i) = 1
14	13	oveq1i 7459	. . . . . . . 8 ⊢ (( -i · i) · 𝐴) = (1 · 𝐴)
15		negicn 11595	. . . . . . . . 9 ⊢ -i ∈ ℂ
16		mulass 11325	. . . . . . . . 9 ⊢ (( -i ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (( -i · i) · 𝐴) = ( -i · (i · 𝐴)))
17	15, 3, 16	mp3an12 1481	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (( -i · i) · 𝐴) = ( -i · (i · 𝐴)))
18		mullid 11344	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
19	14, 17, 18	3eqtr3a 2822	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ( -i · (i · 𝐴)) = 𝐴)
20	19	fveq2d 6918	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘( -i · (i · 𝐴))) = (exp‘𝐴))
21	8, 20	oveq12d 7467	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · (i · 𝐴))) − (exp‘( -i · (i · 𝐴)))) = ((exp‘ -𝐴) − (exp‘𝐴)))
22	21	oveq1d 7464	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘(i · (i · 𝐴))) − (exp‘( -i · (i · 𝐴)))) / (2 · i)) = (((exp‘ -𝐴) − (exp‘𝐴)) / (2 · i)))
23		mulcl 11321	. . . . . 6 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
24	3, 23	mpan 703	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
25		sinval 16331	. . . . 5 ⊢ ((i · 𝐴) ∈ ℂ → (sin‘(i · 𝐴)) = (((exp‘(i · (i · 𝐴))) − (exp‘( -i · (i · 𝐴)))) / (2 · i)))
26	24, 25	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(i · 𝐴)) = (((exp‘(i · (i · 𝐴))) − (exp‘( -i · (i · 𝐴)))) / (2 · i)))
27		irec 14383	. . . . . . . 8 ⊢ (1 / i) = -i
28	27	negeqi 11587	. . . . . . 7 ⊢ -(1 / i) = - -i
29	3	negnegi 11665	. . . . . . 7 ⊢ - -i = i
30	28, 29	eqtri 2786	. . . . . 6 ⊢ -(1 / i) = i
31	30	oveq1i 7459	. . . . 5 ⊢ ( -(1 / i) · (((exp‘𝐴) − (exp‘ -𝐴)) / 2)) = (i · (((exp‘𝐴) − (exp‘ -𝐴)) / 2))
32		ine0 11788	. . . . . . . 8 ⊢ i ≠ 0
33	3, 32	reccli 12085	. . . . . . 7 ⊢ (1 / i) ∈ ℂ
34		efcl 16289	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) ∈ ℂ)
35		negcl 11594	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
36		efcl 16289	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( -𝐴 ∈ ℂ → (exp‘ -𝐴) ∈ ℂ)
37	35, 36	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘ -𝐴) ∈ ℂ)
38	34, 37	subcld 11706	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘𝐴) − (exp‘ -𝐴)) ∈ ℂ)
39	38	halfcld 12629	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘𝐴) − (exp‘ -𝐴)) / 2) ∈ ℂ)
40		mulneg12 11791	. . . . . . 7 ⊢ (((1 / i) ∈ ℂ ∧ (((exp‘𝐴) − (exp‘ -𝐴)) / 2) ∈ ℂ) → ( -(1 / i) · (((exp‘𝐴) − (exp‘ -𝐴)) / 2)) = ((1 / i) · -(((exp‘𝐴) − (exp‘ -𝐴)) / 2)))
41	33, 39, 40	sylancr 599	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ( -(1 / i) · (((exp‘𝐴) − (exp‘ -𝐴)) / 2)) = ((1 / i) · -(((exp‘𝐴) − (exp‘ -𝐴)) / 2)))
42		2cnd 12459	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
43		2ne0 12487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ≠ 0
44	43	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 2 ≠ 0)
45	38, 42, 44	divnegd 12144	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(((exp‘𝐴) − (exp‘ -𝐴)) / 2) = ( -((exp‘𝐴) − (exp‘ -𝐴)) / 2))
46	34, 37	negsubdi2d 11722	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -((exp‘𝐴) − (exp‘ -𝐴)) = ((exp‘ -𝐴) − (exp‘𝐴)))
47	46	oveq1d 7464	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ( -((exp‘𝐴) − (exp‘ -𝐴)) / 2) = (((exp‘ -𝐴) − (exp‘𝐴)) / 2))
48	45, 47	eqtrd 2798	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(((exp‘𝐴) − (exp‘ -𝐴)) / 2) = (((exp‘ -𝐴) − (exp‘𝐴)) / 2))
49	48	oveq2d 7465	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 / i) · -(((exp‘𝐴) − (exp‘ -𝐴)) / 2)) = ((1 / i) · (((exp‘ -𝐴) − (exp‘𝐴)) / 2)))
50	37, 34	subcld 11706	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘ -𝐴) − (exp‘𝐴)) ∈ ℂ)
51	50	halfcld 12629	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘ -𝐴) − (exp‘𝐴)) / 2) ∈ ℂ)
52	3	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → i ∈ ℂ)
53	32	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → i ≠ 0)
54	51, 52, 53	divrec2d 12135	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((((exp‘ -𝐴) − (exp‘𝐴)) / 2) / i) = ((1 / i) · (((exp‘ -𝐴) − (exp‘𝐴)) / 2)))
55	50, 42, 52, 44, 53	divdiv1d 12162	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((((exp‘ -𝐴) − (exp‘𝐴)) / 2) / i) = (((exp‘ -𝐴) − (exp‘𝐴)) / (2 · i)))
56	49, 54, 55	3eqtr2d 2804	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 / i) · -(((exp‘𝐴) − (exp‘ -𝐴)) / 2)) = (((exp‘ -𝐴) − (exp‘𝐴)) / (2 · i)))
57	41, 56	eqtrd 2798	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ( -(1 / i) · (((exp‘𝐴) − (exp‘ -𝐴)) / 2)) = (((exp‘ -𝐴) − (exp‘𝐴)) / (2 · i)))
58	31, 57	eqtr3id 2812	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (((exp‘𝐴) − (exp‘ -𝐴)) / 2)) = (((exp‘ -𝐴) − (exp‘𝐴)) / (2 · i)))
59	22, 26, 58	3eqtr4d 2808	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(i · 𝐴)) = (i · (((exp‘𝐴) − (exp‘ -𝐴)) / 2)))
60	59	oveq1d 7464	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘(i · 𝐴)) / i) = ((i · (((exp‘𝐴) − (exp‘ -𝐴)) / 2)) / i))
61	39, 52, 53	divcan3d 12136	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · (((exp‘𝐴) − (exp‘ -𝐴)) / 2)) / i) = (((exp‘𝐴) − (exp‘ -𝐴)) / 2))
62	60, 61	eqtrd 2798	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘(i · 𝐴)) / i) = (((exp‘𝐴) − (exp‘ -𝐴)) / 2))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ‘cfv 6564  (class class class)co 7449  ℂcc 11235  0cc0 11237  1c1 11238  ici 11239   · cmul 11242   − cmin 11578   -cneg 11579   / cdiv 12011  2c2 12435  expce 16268  sincsin 16270

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7781  ax-inf2 9677  ax-cnex 11293  ax-resscn 11294  ax-1cn 11295  ax-icn 11296  ax-addcl 11297  ax-addrcl 11298  ax-mulcl 11299  ax-mulrcl 11300  ax-mulcom 11301  ax-addass 11302  ax-mulass 11303  ax-distr 11304  ax-i2m1 11305  ax-1ne0 11306  ax-1rid 11307  ax-rnegex 11308  ax-rrecex 11309  ax-cnre 11310  ax-pre-lttri 11311  ax-pre-lttrn 11312  ax-pre-ltadd 11313  ax-pre-mulgt0 11314  ax-pre-sup 11315

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-se 5610  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6328  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6518  df-fun 6566  df-fn 6567  df-f 6568  df-f1 6569  df-fo 6570  df-f1o 6571  df-fv 6572  df-isom 6573  df-riota 7406  df-ov 7452  df-oprab 7453  df-mpo 7454  df-om 7910  df-1st 8033  df-2nd 8034  df-frecs 8335  df-wrecs 8366  df-recs 8415  df-rdg 8454  df-1o 8512  df-er 8753  df-pm 8886  df-en 9010  df-dom 9011  df-sdom 9012  df-fin 9013  df-sup 9469  df-inf 9470  df-oi 9539  df-card 10055  df-pnf 11382  df-mnf 11383  df-xr 11384  df-ltxr 11385  df-le 11386  df-sub 11580  df-neg 11581  df-div 12012  df-nn 12374  df-2 12443  df-3 12444  df-n0 12645  df-z 12732  df-uz 13004  df-rp 13159  df-ico 13520  df-fz 13678  df-fzo 13827  df-fl 13970  df-seq 14183  df-exp 14243  df-fac 14457  df-hash 14514  df-shft 15261  df-cj 15307  df-re 15308  df-im 15309  df-sqrt 15443  df-abs 15444  df-limsup 15679  df-clim 15696  df-rlim 15697  df-sum 15895  df-ef 16274  df-sin 16276

This theorem is used by:  resinhcl  16365  tanhlt1  16369  sinhpcosh  51232