MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sinhval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sinhval 16097
Description: Value of the hyperbolic sine of a complex number. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
sinhval (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((sinβ€˜(i Β· 𝐴)) / i) = (((expβ€˜π΄) βˆ’ (expβ€˜-𝐴)) / 2))

Proof of Theorem sinhval
StepHypRef Expression
1 ixi 11843 . . . . . . . . 9 (i Β· i) = -1
21oveq1i 7419 . . . . . . . 8 ((i Β· i) Β· 𝐴) = (-1 Β· 𝐴)
3 ax-icn 11169 . . . . . . . . 9 i ∈ β„‚
4 mulass 11198 . . . . . . . . 9 ((i ∈ β„‚ ∧ i ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ ((i Β· i) Β· 𝐴) = (i Β· (i Β· 𝐴)))
53, 3, 4mp3an12 1452 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((i Β· i) Β· 𝐴) = (i Β· (i Β· 𝐴)))
6 mulm1 11655 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (-1 Β· 𝐴) = -𝐴)
72, 5, 63eqtr3a 2797 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (i Β· (i Β· 𝐴)) = -𝐴)
87fveq2d 6896 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜(i Β· (i Β· 𝐴))) = (expβ€˜-𝐴))
93, 3mulneg1i 11660 . . . . . . . . . 10 (-i Β· i) = -(i Β· i)
101negeqi 11453 . . . . . . . . . . 11 -(i Β· i) = --1
11 negneg1e1 12330 . . . . . . . . . . 11 --1 = 1
1210, 11eqtri 2761 . . . . . . . . . 10 -(i Β· i) = 1
139, 12eqtri 2761 . . . . . . . . 9 (-i Β· i) = 1
1413oveq1i 7419 . . . . . . . 8 ((-i Β· i) Β· 𝐴) = (1 Β· 𝐴)
15 negicn 11461 . . . . . . . . 9 -i ∈ β„‚
16 mulass 11198 . . . . . . . . 9 ((-i ∈ β„‚ ∧ i ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ ((-i Β· i) Β· 𝐴) = (-i Β· (i Β· 𝐴)))
1715, 3, 16mp3an12 1452 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((-i Β· i) Β· 𝐴) = (-i Β· (i Β· 𝐴)))
18 mullid 11213 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (1 Β· 𝐴) = 𝐴)
1914, 17, 183eqtr3a 2797 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (-i Β· (i Β· 𝐴)) = 𝐴)
2019fveq2d 6896 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜(-i Β· (i Β· 𝐴))) = (expβ€˜π΄))
218, 20oveq12d 7427 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((expβ€˜(i Β· (i Β· 𝐴))) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· (i Β· 𝐴)))) = ((expβ€˜-𝐴) βˆ’ (expβ€˜π΄)))
2221oveq1d 7424 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (((expβ€˜(i Β· (i Β· 𝐴))) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· (i Β· 𝐴)))) / (2 Β· i)) = (((expβ€˜-𝐴) βˆ’ (expβ€˜π΄)) / (2 Β· i)))
23 mulcl 11194 . . . . . 6 ((i ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (i Β· 𝐴) ∈ β„‚)
243, 23mpan 689 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (i Β· 𝐴) ∈ β„‚)
25 sinval 16065 . . . . 5 ((i Β· 𝐴) ∈ β„‚ β†’ (sinβ€˜(i Β· 𝐴)) = (((expβ€˜(i Β· (i Β· 𝐴))) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· (i Β· 𝐴)))) / (2 Β· i)))
2624, 25syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (sinβ€˜(i Β· 𝐴)) = (((expβ€˜(i Β· (i Β· 𝐴))) βˆ’ (expβ€˜(-i Β· (i Β· 𝐴)))) / (2 Β· i)))
27 irec 14165 . . . . . . . 8 (1 / i) = -i
2827negeqi 11453 . . . . . . 7 -(1 / i) = --i
293negnegi 11530 . . . . . . 7 --i = i
3028, 29eqtri 2761 . . . . . 6 -(1 / i) = i
3130oveq1i 7419 . . . . 5 (-(1 / i) Β· (((expβ€˜π΄) βˆ’ (expβ€˜-𝐴)) / 2)) = (i Β· (((expβ€˜π΄) βˆ’ (expβ€˜-𝐴)) / 2))
32 ine0 11649 . . . . . . . 8 i β‰  0
333, 32reccli 11944 . . . . . . 7 (1 / i) ∈ β„‚
34 efcl 16026 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜π΄) ∈ β„‚)
35 negcl 11460 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ -𝐴 ∈ β„‚)
36 efcl 16026 . . . . . . . . . 10 (-𝐴 ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜-𝐴) ∈ β„‚)
3735, 36syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜-𝐴) ∈ β„‚)
3834, 37subcld 11571 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((expβ€˜π΄) βˆ’ (expβ€˜-𝐴)) ∈ β„‚)
3938halfcld 12457 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (((expβ€˜π΄) βˆ’ (expβ€˜-𝐴)) / 2) ∈ β„‚)
40 mulneg12 11652 . . . . . . 7 (((1 / i) ∈ β„‚ ∧ (((expβ€˜π΄) βˆ’ (expβ€˜-𝐴)) / 2) ∈ β„‚) β†’ (-(1 / i) Β· (((expβ€˜π΄) βˆ’ (expβ€˜-𝐴)) / 2)) = ((1 / i) Β· -(((expβ€˜π΄) βˆ’ (expβ€˜-𝐴)) / 2)))
4133, 39, 40sylancr 588 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (-(1 / i) Β· (((expβ€˜π΄) βˆ’ (expβ€˜-𝐴)) / 2)) = ((1 / i) Β· -(((expβ€˜π΄) βˆ’ (expβ€˜-𝐴)) / 2)))
42 2cnd 12290 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ 2 ∈ β„‚)
43 2ne0 12316 . . . . . . . . . . 11 2 β‰  0
4443a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ 2 β‰  0)
4538, 42, 44divnegd 12003 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ -(((expβ€˜π΄) βˆ’ (expβ€˜-𝐴)) / 2) = (-((expβ€˜π΄) βˆ’ (expβ€˜-𝐴)) / 2))
4634, 37negsubdi2d 11587 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ -((expβ€˜π΄) βˆ’ (expβ€˜-𝐴)) = ((expβ€˜-𝐴) βˆ’ (expβ€˜π΄)))
4746oveq1d 7424 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (-((expβ€˜π΄) βˆ’ (expβ€˜-𝐴)) / 2) = (((expβ€˜-𝐴) βˆ’ (expβ€˜π΄)) / 2))
4845, 47eqtrd 2773 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ -(((expβ€˜π΄) βˆ’ (expβ€˜-𝐴)) / 2) = (((expβ€˜-𝐴) βˆ’ (expβ€˜π΄)) / 2))
4948oveq2d 7425 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((1 / i) Β· -(((expβ€˜π΄) βˆ’ (expβ€˜-𝐴)) / 2)) = ((1 / i) Β· (((expβ€˜-𝐴) βˆ’ (expβ€˜π΄)) / 2)))
5037, 34subcld 11571 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((expβ€˜-𝐴) βˆ’ (expβ€˜π΄)) ∈ β„‚)
5150halfcld 12457 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (((expβ€˜-𝐴) βˆ’ (expβ€˜π΄)) / 2) ∈ β„‚)
523a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ i ∈ β„‚)
5332a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ i β‰  0)
5451, 52, 53divrec2d 11994 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((((expβ€˜-𝐴) βˆ’ (expβ€˜π΄)) / 2) / i) = ((1 / i) Β· (((expβ€˜-𝐴) βˆ’ (expβ€˜π΄)) / 2)))
5550, 42, 52, 44, 53divdiv1d 12021 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((((expβ€˜-𝐴) βˆ’ (expβ€˜π΄)) / 2) / i) = (((expβ€˜-𝐴) βˆ’ (expβ€˜π΄)) / (2 Β· i)))
5649, 54, 553eqtr2d 2779 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((1 / i) Β· -(((expβ€˜π΄) βˆ’ (expβ€˜-𝐴)) / 2)) = (((expβ€˜-𝐴) βˆ’ (expβ€˜π΄)) / (2 Β· i)))
5741, 56eqtrd 2773 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (-(1 / i) Β· (((expβ€˜π΄) βˆ’ (expβ€˜-𝐴)) / 2)) = (((expβ€˜-𝐴) βˆ’ (expβ€˜π΄)) / (2 Β· i)))
5831, 57eqtr3id 2787 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (i Β· (((expβ€˜π΄) βˆ’ (expβ€˜-𝐴)) / 2)) = (((expβ€˜-𝐴) βˆ’ (expβ€˜π΄)) / (2 Β· i)))
5922, 26, 583eqtr4d 2783 . . 3 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (sinβ€˜(i Β· 𝐴)) = (i Β· (((expβ€˜π΄) βˆ’ (expβ€˜-𝐴)) / 2)))
6059oveq1d 7424 . 2 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((sinβ€˜(i Β· 𝐴)) / i) = ((i Β· (((expβ€˜π΄) βˆ’ (expβ€˜-𝐴)) / 2)) / i))
6139, 52, 53divcan3d 11995 . 2 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((i Β· (((expβ€˜π΄) βˆ’ (expβ€˜-𝐴)) / 2)) / i) = (((expβ€˜π΄) βˆ’ (expβ€˜-𝐴)) / 2))
6260, 61eqtrd 2773 1 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((sinβ€˜(i Β· 𝐴)) / i) = (((expβ€˜π΄) βˆ’ (expβ€˜-𝐴)) / 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„‚cc 11108  0cc0 11110  1c1 11111  ici 11112   Β· cmul 11115   βˆ’ cmin 11444  -cneg 11445   / cdiv 11871  2c2 12267  expce 16005  sincsin 16007
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-ico 13330  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-hash 14291  df-shft 15014  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-limsup 15415  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-ef 16011  df-sin 16013
This theorem is referenced by:  resinhcl  16099  tanhlt1  16103  sinhpcosh  47785
  Copyright terms: Public domain W3C validator