MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sinhval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sinhval 16036
Description: Value of the hyperbolic sine of a complex number. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
sinhval (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘(i · 𝐴)) / i) = (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2))

Proof of Theorem sinhval
StepHypRef Expression
1 ixi 11784 . . . . . . . . 9 (i · i) = -1
21oveq1i 7367 . . . . . . . 8 ((i · i) · 𝐴) = (-1 · 𝐴)
3 ax-icn 11110 . . . . . . . . 9 i ∈ ℂ
4 mulass 11139 . . . . . . . . 9 ((i ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((i · i) · 𝐴) = (i · (i · 𝐴)))
53, 3, 4mp3an12 1451 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · i) · 𝐴) = (i · (i · 𝐴)))
6 mulm1 11596 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (-1 · 𝐴) = -𝐴)
72, 5, 63eqtr3a 2800 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (i · (i · 𝐴)) = -𝐴)
87fveq2d 6846 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · (i · 𝐴))) = (exp‘-𝐴))
93, 3mulneg1i 11601 . . . . . . . . . 10 (-i · i) = -(i · i)
101negeqi 11394 . . . . . . . . . . 11 -(i · i) = --1
11 negneg1e1 12271 . . . . . . . . . . 11 --1 = 1
1210, 11eqtri 2764 . . . . . . . . . 10 -(i · i) = 1
139, 12eqtri 2764 . . . . . . . . 9 (-i · i) = 1
1413oveq1i 7367 . . . . . . . 8 ((-i · i) · 𝐴) = (1 · 𝐴)
15 negicn 11402 . . . . . . . . 9 -i ∈ ℂ
16 mulass 11139 . . . . . . . . 9 ((-i ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((-i · i) · 𝐴) = (-i · (i · 𝐴)))
1715, 3, 16mp3an12 1451 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → ((-i · i) · 𝐴) = (-i · (i · 𝐴)))
18 mulid2 11154 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
1914, 17, 183eqtr3a 2800 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (-i · (i · 𝐴)) = 𝐴)
2019fveq2d 6846 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(-i · (i · 𝐴))) = (exp‘𝐴))
218, 20oveq12d 7375 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · (i · 𝐴))) − (exp‘(-i · (i · 𝐴)))) = ((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)))
2221oveq1d 7372 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘(i · (i · 𝐴))) − (exp‘(-i · (i · 𝐴)))) / (2 · i)) = (((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)) / (2 · i)))
23 mulcl 11135 . . . . . 6 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
243, 23mpan 688 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
25 sinval 16004 . . . . 5 ((i · 𝐴) ∈ ℂ → (sin‘(i · 𝐴)) = (((exp‘(i · (i · 𝐴))) − (exp‘(-i · (i · 𝐴)))) / (2 · i)))
2624, 25syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(i · 𝐴)) = (((exp‘(i · (i · 𝐴))) − (exp‘(-i · (i · 𝐴)))) / (2 · i)))
27 irec 14105 . . . . . . . 8 (1 / i) = -i
2827negeqi 11394 . . . . . . 7 -(1 / i) = --i
293negnegi 11471 . . . . . . 7 --i = i
3028, 29eqtri 2764 . . . . . 6 -(1 / i) = i
3130oveq1i 7367 . . . . 5 (-(1 / i) · (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2)) = (i · (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2))
32 ine0 11590 . . . . . . . 8 i ≠ 0
333, 32reccli 11885 . . . . . . 7 (1 / i) ∈ ℂ
34 efcl 15965 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) ∈ ℂ)
35 negcl 11401 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
36 efcl 15965 . . . . . . . . . 10 (-𝐴 ∈ ℂ → (exp‘-𝐴) ∈ ℂ)
3735, 36syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘-𝐴) ∈ ℂ)
3834, 37subcld 11512 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) ∈ ℂ)
3938halfcld 12398 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2) ∈ ℂ)
40 mulneg12 11593 . . . . . . 7 (((1 / i) ∈ ℂ ∧ (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2) ∈ ℂ) → (-(1 / i) · (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2)) = ((1 / i) · -(((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2)))
4133, 39, 40sylancr 587 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (-(1 / i) · (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2)) = ((1 / i) · -(((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2)))
42 2cnd 12231 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
43 2ne0 12257 . . . . . . . . . . 11 2 ≠ 0
4443a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → 2 ≠ 0)
4538, 42, 44divnegd 11944 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → -(((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2) = (-((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2))
4634, 37negsubdi2d 11528 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → -((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) = ((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)))
4746oveq1d 7372 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → (-((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2) = (((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)) / 2))
4845, 47eqtrd 2776 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → -(((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2) = (((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)) / 2))
4948oveq2d 7373 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → ((1 / i) · -(((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2)) = ((1 / i) · (((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)) / 2)))
5037, 34subcld 11512 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)) ∈ ℂ)
5150halfcld 12398 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)) / 2) ∈ ℂ)
523a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → i ∈ ℂ)
5332a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → i ≠ 0)
5451, 52, 53divrec2d 11935 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → ((((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)) / 2) / i) = ((1 / i) · (((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)) / 2)))
5550, 42, 52, 44, 53divdiv1d 11962 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → ((((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)) / 2) / i) = (((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)) / (2 · i)))
5649, 54, 553eqtr2d 2782 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → ((1 / i) · -(((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2)) = (((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)) / (2 · i)))
5741, 56eqtrd 2776 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (-(1 / i) · (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2)) = (((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)) / (2 · i)))
5831, 57eqtr3id 2790 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (i · (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2)) = (((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)) / (2 · i)))
5922, 26, 583eqtr4d 2786 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(i · 𝐴)) = (i · (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2)))
6059oveq1d 7372 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘(i · 𝐴)) / i) = ((i · (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2)) / i))
6139, 52, 53divcan3d 11936 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2)) / i) = (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2))
6260, 61eqtrd 2776 1 (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘(i · 𝐴)) / i) = (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  0cc0 11051  1c1 11052  ici 11053   · cmul 11056  cmin 11385  -cneg 11386   / cdiv 11812  2c2 12208  expce 15944  sincsin 15946
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-ico 13270  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-seq 13907  df-exp 13968  df-fac 14174  df-hash 14231  df-shft 14952  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-limsup 15353  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-ef 15950  df-sin 15952
This theorem is referenced by:  resinhcl  16038  tanhlt1  16042  sinhpcosh  47175
  Copyright terms: Public domain W3C validator