Theorem sinhval 16091

Description: Value of the hyperbolic sine of a complex number. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
sinhval	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘(i · 𝐴)) / i) = (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2))

Proof of Theorem sinhval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ixi 11778	. . . . . . . . 9 ⊢ (i · i) = -1
2	1	oveq1i 7378	. . . . . . . 8 ⊢ ((i · i) · 𝐴) = (-1 · 𝐴)
3		ax-icn 11097	. . . . . . . . 9 ⊢ i ∈ ℂ
4		mulass 11126	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((i · i) · 𝐴) = (i · (i · 𝐴)))
5	3, 3, 4	mp3an12 1454	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · i) · 𝐴) = (i · (i · 𝐴)))
6		mulm1 11590	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-1 · 𝐴) = -𝐴)
7	2, 5, 6	3eqtr3a 2796	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (i · 𝐴)) = -𝐴)
8	7	fveq2d 6846	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · (i · 𝐴))) = (exp‘-𝐴))
9	3, 3	mulneg1i 11595	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-i · i) = -(i · i)
10	1	negeqi 11385	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -(i · i) = --1
11		negneg1e1 12146	. . . . . . . . . . 11 ⊢ --1 = 1
12	10, 11	eqtri 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ -(i · i) = 1
13	9, 12	eqtri 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (-i · i) = 1
14	13	oveq1i 7378	. . . . . . . 8 ⊢ ((-i · i) · 𝐴) = (1 · 𝐴)
15		negicn 11393	. . . . . . . . 9 ⊢ -i ∈ ℂ
16		mulass 11126	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-i ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((-i · i) · 𝐴) = (-i · (i · 𝐴)))
17	15, 3, 16	mp3an12 1454	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((-i · i) · 𝐴) = (-i · (i · 𝐴)))
18		mullid 11143	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
19	14, 17, 18	3eqtr3a 2796	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-i · (i · 𝐴)) = 𝐴)
20	19	fveq2d 6846	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(-i · (i · 𝐴))) = (exp‘𝐴))
21	8, 20	oveq12d 7386	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · (i · 𝐴))) − (exp‘(-i · (i · 𝐴)))) = ((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)))
22	21	oveq1d 7383	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘(i · (i · 𝐴))) − (exp‘(-i · (i · 𝐴)))) / (2 · i)) = (((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)) / (2 · i)))
23		mulcl 11122	. . . . . 6 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
24	3, 23	mpan 691	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
25		sinval 16059	. . . . 5 ⊢ ((i · 𝐴) ∈ ℂ → (sin‘(i · 𝐴)) = (((exp‘(i · (i · 𝐴))) − (exp‘(-i · (i · 𝐴)))) / (2 · i)))
26	24, 25	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(i · 𝐴)) = (((exp‘(i · (i · 𝐴))) − (exp‘(-i · (i · 𝐴)))) / (2 · i)))
27		irec 14136	. . . . . . . 8 ⊢ (1 / i) = -i
28	27	negeqi 11385	. . . . . . 7 ⊢ -(1 / i) = --i
29	3	negnegi 11463	. . . . . . 7 ⊢ --i = i
30	28, 29	eqtri 2760	. . . . . 6 ⊢ -(1 / i) = i
31	30	oveq1i 7378	. . . . 5 ⊢ (-(1 / i) · (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2)) = (i · (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2))
32		ine0 11584	. . . . . . . 8 ⊢ i ≠ 0
33	3, 32	reccli 11883	. . . . . . 7 ⊢ (1 / i) ∈ ℂ
34		efcl 16017	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) ∈ ℂ)
35		negcl 11392	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
36		efcl 16017	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-𝐴 ∈ ℂ → (exp‘-𝐴) ∈ ℂ)
37	35, 36	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘-𝐴) ∈ ℂ)
38	34, 37	subcld 11504	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) ∈ ℂ)
39	38	halfcld 12398	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2) ∈ ℂ)
40		mulneg12 11587	. . . . . . 7 ⊢ (((1 / i) ∈ ℂ ∧ (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2) ∈ ℂ) → (-(1 / i) · (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2)) = ((1 / i) · -(((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2)))
41	33, 39, 40	sylancr 588	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-(1 / i) · (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2)) = ((1 / i) · -(((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2)))
42		2cnd 12235	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
43		2ne0 12261	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ≠ 0
44	43	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 2 ≠ 0)
45	38, 42, 44	divnegd 11942	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2) = (-((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2))
46	34, 37	negsubdi2d 11520	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) = ((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)))
47	46	oveq1d 7383	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2) = (((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)) / 2))
48	45, 47	eqtrd 2772	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2) = (((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)) / 2))
49	48	oveq2d 7384	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 / i) · -(((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2)) = ((1 / i) · (((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)) / 2)))
50	37, 34	subcld 11504	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)) ∈ ℂ)
51	50	halfcld 12398	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)) / 2) ∈ ℂ)
52	3	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → i ∈ ℂ)
53	32	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → i ≠ 0)
54	51, 52, 53	divrec2d 11933	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)) / 2) / i) = ((1 / i) · (((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)) / 2)))
55	50, 42, 52, 44, 53	divdiv1d 11960	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)) / 2) / i) = (((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)) / (2 · i)))
56	49, 54, 55	3eqtr2d 2778	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 / i) · -(((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2)) = (((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)) / (2 · i)))
57	41, 56	eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-(1 / i) · (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2)) = (((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)) / (2 · i)))
58	31, 57	eqtr3id 2786	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2)) = (((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)) / (2 · i)))
59	22, 26, 58	3eqtr4d 2782	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(i · 𝐴)) = (i · (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2)))
60	59	oveq1d 7383	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘(i · 𝐴)) / i) = ((i · (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2)) / i))
61	39, 52, 53	divcan3d 11934	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2)) / i) = (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2))
62	60, 61	eqtrd 2772	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘(i · 𝐴)) / i) = (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  ℂcc 11036  0cc0 11038  1c1 11039  ici 11040   · cmul 11043   − cmin 11376  -cneg 11377   / cdiv 11806  2c2 12212  expce 15996  sincsin 15998

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-pm 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9357  df-inf 9358  df-oi 9427  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-rp 12918  df-ico 13279  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-fl 13724  df-seq 13937  df-exp 13997  df-fac 14209  df-hash 14266  df-shft 15002  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-limsup 15406  df-clim 15423  df-rlim 15424  df-sum 15622  df-ef 16002  df-sin 16004

This theorem is referenced by:  resinhcl  16093  tanhlt1  16097  sinhpcosh  50096