Theorem slwpgp 19644

Description: A Sylow 𝑃-subgroup is a 𝑃-group. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
slwpgp.1	⊢ 𝑆 = (𝐺 ↾s 𝐻)

Assertion

Ref	Expression
slwpgp	⊢ (𝐻 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) → 𝑃 pGrp 𝑆)

Proof of Theorem slwpgp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. . 3 ⊢ 𝐻 = 𝐻
2		slwsubg 19641	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) → 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3		slwpgp.1	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝐺 ↾s 𝐻)
4	3	slwispgp 19642	. . . 4 ⊢ ((𝐻 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ((𝐻 ⊆ 𝐻 ∧ 𝑃 pGrp 𝑆) ↔ 𝐻 = 𝐻))
5	2, 4	mpdan 697	. . 3 ⊢ (𝐻 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) → ((𝐻 ⊆ 𝐻 ∧ 𝑃 pGrp 𝑆) ↔ 𝐻 = 𝐻))
6	1, 5	mpbiri 260	. 2 ⊢ (𝐻 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) → (𝐻 ⊆ 𝐻 ∧ 𝑃 pGrp 𝑆))
7	6	simprd 499	1 ⊢ (𝐻 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) → 𝑃 pGrp 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ⊆ wss 3902   class class class wbr 5097  ‘cfv 6516  (class class class)co 7391   ↾_s cress 17257  SubGrpcsubg 19153   pGrp cpgp 19557   pSyl cslw 19558

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-id 5538  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fv 6524  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-subg 19156  df-slw 19562

This theorem is referenced by:  slwhash  19655  sylow2  19657  sylow3lem6  19663