Theorem slwpgp 19579

Description: A Sylow 𝑃-subgroup is a 𝑃-group. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
slwpgp.1	⊢ 𝑆 = (𝐺 ↾s 𝐻)

Assertion

Ref	Expression
slwpgp	⊢ (𝐻 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) → 𝑃 pGrp 𝑆)

Proof of Theorem slwpgp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2739	. . 3 ⊢ 𝐻 = 𝐻
2		slwsubg 19576	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) → 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3		slwpgp.1	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝐺 ↾s 𝐻)
4	3	slwispgp 19577	. . . 4 ⊢ ((𝐻 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ((𝐻 ⊆ 𝐻 ∧ 𝑃 pGrp 𝑆) ↔ 𝐻 = 𝐻))
5	2, 4	mpdan 693	. . 3 ⊢ (𝐻 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) → ((𝐻 ⊆ 𝐻 ∧ 𝑃 pGrp 𝑆) ↔ 𝐻 = 𝐻))
6	1, 5	mpbiri 259	. 2 ⊢ (𝐻 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) → (𝐻 ⊆ 𝐻 ∧ 𝑃 pGrp 𝑆))
7	6	simprd 496	1 ⊢ (𝐻 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) → 𝑃 pGrp 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ⊆ wss 3883   class class class wbr 5072  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356   ↾_s cress 17191  SubGrpcsubg 19087   pGrp cpgp 19492   pSyl cslw 19493

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fv 6493  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-subg 19090  df-slw 19497

This theorem is referenced by:  slwhash  19590  sylow2  19592  sylow3lem6  19598