Theorem slwpgp 19579

Description: A Sylow 𝑃-subgroup is a 𝑃-group. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
slwpgp.1	⊢ 𝑆 = (𝐺 ↾s 𝐻)

Assertion

Ref	Expression
slwpgp	⊢ (𝐻 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) → 𝑃 pGrp 𝑆)

Proof of Theorem slwpgp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . 3 ⊢ 𝐻 = 𝐻
2		slwsubg 19576	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) → 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3		slwpgp.1	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝐺 ↾s 𝐻)
4	3	slwispgp 19577	. . . 4 ⊢ ((𝐻 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ((𝐻 ⊆ 𝐻 ∧ 𝑃 pGrp 𝑆) ↔ 𝐻 = 𝐻))
5	2, 4	mpdan 688	. . 3 ⊢ (𝐻 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) → ((𝐻 ⊆ 𝐻 ∧ 𝑃 pGrp 𝑆) ↔ 𝐻 = 𝐻))
6	1, 5	mpbiri 258	. 2 ⊢ (𝐻 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) → (𝐻 ⊆ 𝐻 ∧ 𝑃 pGrp 𝑆))
7	6	simprd 495	1 ⊢ (𝐻 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) → 𝑃 pGrp 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3890   class class class wbr 5086  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360   ↾_s cress 17191  SubGrpcsubg 19087   pGrp cpgp 19492   pSyl cslw 19493

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fv 6500  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-subg 19090  df-slw 19497

This theorem is referenced by:  slwhash  19590  sylow2  19592  sylow3lem6  19598