Theorem slwpgp 19133

Description: A Sylow 𝑃-subgroup is a 𝑃-group. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
slwpgp.1	⊢ 𝑆 = (𝐺 ↾s 𝐻)

Assertion

Ref	Expression
slwpgp	⊢ (𝐻 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) → 𝑃 pGrp 𝑆)

Proof of Theorem slwpgp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2738	. . 3 ⊢ 𝐻 = 𝐻
2		slwsubg 19130	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) → 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3		slwpgp.1	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝐺 ↾s 𝐻)
4	3	slwispgp 19131	. . . 4 ⊢ ((𝐻 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ((𝐻 ⊆ 𝐻 ∧ 𝑃 pGrp 𝑆) ↔ 𝐻 = 𝐻))
5	2, 4	mpdan 683	. . 3 ⊢ (𝐻 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) → ((𝐻 ⊆ 𝐻 ∧ 𝑃 pGrp 𝑆) ↔ 𝐻 = 𝐻))
6	1, 5	mpbiri 257	. 2 ⊢ (𝐻 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) → (𝐻 ⊆ 𝐻 ∧ 𝑃 pGrp 𝑆))
7	6	simprd 495	1 ⊢ (𝐻 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) → 𝑃 pGrp 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3883   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ↾_s cress 16867  SubGrpcsubg 18664   pGrp cpgp 19049   pSyl cslw 19050

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fv 6426  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-subg 18667  df-slw 19054

This theorem is referenced by:  slwhash  19144  sylow2  19146  sylow3lem6  19152