MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sylow2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sylow2 19242
Description: Sylow's second theorem. See also sylow2b 19239 for the "hard" part of the proof. Any two Sylow 𝑃-subgroups are conjugate to one another, and hence the same size, namely 𝑃↑(𝑃 pCnt ∣ 𝑋 ∣ ) (see fislw 19241). This is part of Metamath 100 proof #72. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sylow2.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
sylow2.f (𝜑𝑋 ∈ Fin)
sylow2.h (𝜑𝐻 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
sylow2.k (𝜑𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
sylow2.a + = (+g𝐺)
sylow2.d = (-g𝐺)
Assertion
Ref Expression
sylow2 (𝜑 → ∃𝑔𝑋 𝐻 = ran (𝑥𝐾 ↦ ((𝑔 + 𝑥) 𝑔)))
Distinct variable groups:   𝑥,   𝑥,𝑔, +   𝑔,𝐺,𝑥   𝑔,𝐻,𝑥   𝑔,𝐾,𝑥   𝜑,𝑔   𝑔,𝑋,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑃(𝑥,𝑔)   (𝑔)

Proof of Theorem sylow2
StepHypRef Expression
1 sylow2.f . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
21adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑔𝑋𝐻 ⊆ ran (𝑥𝐾 ↦ ((𝑔 + 𝑥) 𝑔)))) → 𝑋 ∈ Fin)
3 sylow2.k . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
4 slwsubg 19226 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) → 𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺))
53, 4syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺))
6 simprl 768 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑔𝑋𝐻 ⊆ ran (𝑥𝐾 ↦ ((𝑔 + 𝑥) 𝑔)))) → 𝑔𝑋)
7 sylow2.x . . . . . . 7 𝑋 = (Base‘𝐺)
8 sylow2.a . . . . . . 7 + = (+g𝐺)
9 sylow2.d . . . . . . 7 = (-g𝐺)
10 eqid 2740 . . . . . . 7 (𝑥𝐾 ↦ ((𝑔 + 𝑥) 𝑔)) = (𝑥𝐾 ↦ ((𝑔 + 𝑥) 𝑔))
117, 8, 9, 10conjsubg 18877 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑔𝑋) → ran (𝑥𝐾 ↦ ((𝑔 + 𝑥) 𝑔)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
125, 6, 11syl2an2r 682 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑔𝑋𝐻 ⊆ ran (𝑥𝐾 ↦ ((𝑔 + 𝑥) 𝑔)))) → ran (𝑥𝐾 ↦ ((𝑔 + 𝑥) 𝑔)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
137subgss 18767 . . . . 5 (ran (𝑥𝐾 ↦ ((𝑔 + 𝑥) 𝑔)) ∈ (SubGrp‘𝐺) → ran (𝑥𝐾 ↦ ((𝑔 + 𝑥) 𝑔)) ⊆ 𝑋)
1412, 13syl 17 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑔𝑋𝐻 ⊆ ran (𝑥𝐾 ↦ ((𝑔 + 𝑥) 𝑔)))) → ran (𝑥𝐾 ↦ ((𝑔 + 𝑥) 𝑔)) ⊆ 𝑋)
152, 14ssfid 9030 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑔𝑋𝐻 ⊆ ran (𝑥𝐾 ↦ ((𝑔 + 𝑥) 𝑔)))) → ran (𝑥𝐾 ↦ ((𝑔 + 𝑥) 𝑔)) ∈ Fin)
16 simprr 770 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑔𝑋𝐻 ⊆ ran (𝑥𝐾 ↦ ((𝑔 + 𝑥) 𝑔)))) → 𝐻 ⊆ ran (𝑥𝐾 ↦ ((𝑔 + 𝑥) 𝑔)))
17 sylow2.h . . . . . . 7 (𝜑𝐻 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
187, 1, 17slwhash 19240 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘𝐻) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋))))
197, 1, 3slwhash 19240 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘𝐾) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋))))
2018, 19eqtr4d 2783 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘𝐻) = (♯‘𝐾))
21 slwsubg 19226 . . . . . . . . 9 (𝐻 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) → 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺))
2217, 21syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺))
237subgss 18767 . . . . . . . 8 (𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐻𝑋)
2422, 23syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐻𝑋)
251, 24ssfid 9030 . . . . . 6 (𝜑𝐻 ∈ Fin)
267subgss 18767 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐾𝑋)
275, 26syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐾𝑋)
281, 27ssfid 9030 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ Fin)
29 hashen 14072 . . . . . 6 ((𝐻 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ Fin) → ((♯‘𝐻) = (♯‘𝐾) ↔ 𝐻𝐾))
3025, 28, 29syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → ((♯‘𝐻) = (♯‘𝐾) ↔ 𝐻𝐾))
3120, 30mpbid 231 . . . 4 (𝜑𝐻𝐾)
327, 8, 9, 10conjsubgen 18878 . . . . 5 ((𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑔𝑋) → 𝐾 ≈ ran (𝑥𝐾 ↦ ((𝑔 + 𝑥) 𝑔)))
335, 6, 32syl2an2r 682 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑔𝑋𝐻 ⊆ ran (𝑥𝐾 ↦ ((𝑔 + 𝑥) 𝑔)))) → 𝐾 ≈ ran (𝑥𝐾 ↦ ((𝑔 + 𝑥) 𝑔)))
34 entr 8784 . . . 4 ((𝐻𝐾𝐾 ≈ ran (𝑥𝐾 ↦ ((𝑔 + 𝑥) 𝑔))) → 𝐻 ≈ ran (𝑥𝐾 ↦ ((𝑔 + 𝑥) 𝑔)))
3531, 33, 34syl2an2r 682 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑔𝑋𝐻 ⊆ ran (𝑥𝐾 ↦ ((𝑔 + 𝑥) 𝑔)))) → 𝐻 ≈ ran (𝑥𝐾 ↦ ((𝑔 + 𝑥) 𝑔)))
36 fisseneq 9022 . . 3 ((ran (𝑥𝐾 ↦ ((𝑔 + 𝑥) 𝑔)) ∈ Fin ∧ 𝐻 ⊆ ran (𝑥𝐾 ↦ ((𝑔 + 𝑥) 𝑔)) ∧ 𝐻 ≈ ran (𝑥𝐾 ↦ ((𝑔 + 𝑥) 𝑔))) → 𝐻 = ran (𝑥𝐾 ↦ ((𝑔 + 𝑥) 𝑔)))
3715, 16, 35, 36syl3anc 1370 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑔𝑋𝐻 ⊆ ran (𝑥𝐾 ↦ ((𝑔 + 𝑥) 𝑔)))) → 𝐻 = ran (𝑥𝐾 ↦ ((𝑔 + 𝑥) 𝑔)))
38 eqid 2740 . . . . 5 (𝐺s 𝐻) = (𝐺s 𝐻)
3938slwpgp 19229 . . . 4 (𝐻 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) → 𝑃 pGrp (𝐺s 𝐻))
4017, 39syl 17 . . 3 (𝜑𝑃 pGrp (𝐺s 𝐻))
417, 1, 22, 5, 8, 40, 19, 9sylow2b 19239 . 2 (𝜑 → ∃𝑔𝑋 𝐻 ⊆ ran (𝑥𝐾 ↦ ((𝑔 + 𝑥) 𝑔)))
4237, 41reximddv 3206 1 (𝜑 → ∃𝑔𝑋 𝐻 = ran (𝑥𝐾 ↦ ((𝑔 + 𝑥) 𝑔)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1542  wcel 2110  wrex 3067  wss 3892   class class class wbr 5079  cmpt 5162  ran crn 5591  cfv 6432  (class class class)co 7272  cen 8722  Fincfn 8725  cexp 13793  chash 14055   pCnt cpc 16548  Basecbs 16923  s cress 16952  +gcplusg 16973  -gcsg 18590  SubGrpcsubg 18760   pGrp cpgp 19145   pSyl cslw 19146
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7583  ax-inf2 9387  ax-cnex 10938  ax-resscn 10939  ax-1cn 10940  ax-icn 10941  ax-addcl 10942  ax-addrcl 10943  ax-mulcl 10944  ax-mulrcl 10945  ax-mulcom 10946  ax-addass 10947  ax-mulass 10948  ax-distr 10949  ax-i2m1 10950  ax-1ne0 10951  ax-1rid 10952  ax-rnegex 10953  ax-rrecex 10954  ax-cnre 10955  ax-pre-lttri 10956  ax-pre-lttrn 10957  ax-pre-ltadd 10958  ax-pre-mulgt0 10959  ax-pre-sup 10960
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-disj 5045  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-se 5546  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-isom 6441  df-riota 7229  df-ov 7275  df-oprab 7276  df-mpo 7277  df-om 7708  df-1st 7825  df-2nd 7826  df-frecs 8089  df-wrecs 8120  df-recs 8194  df-rdg 8233  df-1o 8289  df-2o 8290  df-oadd 8293  df-omul 8294  df-er 8490  df-ec 8492  df-qs 8496  df-map 8609  df-en 8726  df-dom 8727  df-sdom 8728  df-fin 8729  df-sup 9189  df-inf 9190  df-oi 9257  df-dju 9670  df-card 9708  df-acn 9711  df-pnf 11022  df-mnf 11023  df-xr 11024  df-ltxr 11025  df-le 11026  df-sub 11218  df-neg 11219  df-div 11644  df-nn 11985  df-2 12047  df-3 12048  df-n0 12245  df-xnn0 12317  df-z 12331  df-uz 12594  df-q 12700  df-rp 12742  df-fz 13251  df-fzo 13394  df-fl 13523  df-mod 13601  df-seq 13733  df-exp 13794  df-fac 13999  df-bc 14028  df-hash 14056  df-cj 14821  df-re 14822  df-im 14823  df-sqrt 14957  df-abs 14958  df-clim 15208  df-sum 15409  df-dvds 15975  df-gcd 16213  df-prm 16388  df-pc 16549  df-sets 16876  df-slot 16894  df-ndx 16906  df-base 16924  df-ress 16953  df-plusg 16986  df-0g 17163  df-mgm 18337  df-sgrp 18386  df-mnd 18397  df-submnd 18442  df-grp 18591  df-minusg 18592  df-sbg 18593  df-mulg 18712  df-subg 18763  df-eqg 18765  df-ghm 18843  df-ga 18907  df-od 19147  df-pgp 19149  df-slw 19150
This theorem is referenced by:  sylow3lem3  19245  sylow3lem6  19248
  Copyright terms: Public domain W3C validator