MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sylow2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sylow2 19537
Description: Sylow's second theorem. See also sylow2b 19534 for the "hard" part of the proof. Any two Sylow 𝑃-subgroups are conjugate to one another, and hence the same size, namely 𝑃↑(𝑃 pCnt ∣ 𝑋 ∣ ) (see fislw 19536). This is part of Metamath 100 proof #72. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sylow2.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
sylow2.f (𝜑𝑋 ∈ Fin)
sylow2.h (𝜑𝐻 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
sylow2.k (𝜑𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
sylow2.a + = (+g𝐺)
sylow2.d = (-g𝐺)
Assertion
Ref Expression
sylow2 (𝜑 → ∃𝑔𝑋 𝐻 = ran (𝑥𝐾 ↦ ((𝑔 + 𝑥) 𝑔)))
Distinct variable groups:   𝑥,   𝑥,𝑔, +   𝑔,𝐺,𝑥   𝑔,𝐻,𝑥   𝑔,𝐾,𝑥   𝜑,𝑔   𝑔,𝑋,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑃(𝑥,𝑔)   (𝑔)

Proof of Theorem sylow2
StepHypRef Expression
1 sylow2.f . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
21adantr 479 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑔𝑋𝐻 ⊆ ran (𝑥𝐾 ↦ ((𝑔 + 𝑥) 𝑔)))) → 𝑋 ∈ Fin)
3 sylow2.k . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
4 slwsubg 19521 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) → 𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺))
53, 4syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺))
6 simprl 767 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑔𝑋𝐻 ⊆ ran (𝑥𝐾 ↦ ((𝑔 + 𝑥) 𝑔)))) → 𝑔𝑋)
7 sylow2.x . . . . . . 7 𝑋 = (Base‘𝐺)
8 sylow2.a . . . . . . 7 + = (+g𝐺)
9 sylow2.d . . . . . . 7 = (-g𝐺)
10 eqid 2730 . . . . . . 7 (𝑥𝐾 ↦ ((𝑔 + 𝑥) 𝑔)) = (𝑥𝐾 ↦ ((𝑔 + 𝑥) 𝑔))
117, 8, 9, 10conjsubg 19166 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑔𝑋) → ran (𝑥𝐾 ↦ ((𝑔 + 𝑥) 𝑔)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
125, 6, 11syl2an2r 681 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑔𝑋𝐻 ⊆ ran (𝑥𝐾 ↦ ((𝑔 + 𝑥) 𝑔)))) → ran (𝑥𝐾 ↦ ((𝑔 + 𝑥) 𝑔)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
137subgss 19045 . . . . 5 (ran (𝑥𝐾 ↦ ((𝑔 + 𝑥) 𝑔)) ∈ (SubGrp‘𝐺) → ran (𝑥𝐾 ↦ ((𝑔 + 𝑥) 𝑔)) ⊆ 𝑋)
1412, 13syl 17 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑔𝑋𝐻 ⊆ ran (𝑥𝐾 ↦ ((𝑔 + 𝑥) 𝑔)))) → ran (𝑥𝐾 ↦ ((𝑔 + 𝑥) 𝑔)) ⊆ 𝑋)
152, 14ssfid 9271 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑔𝑋𝐻 ⊆ ran (𝑥𝐾 ↦ ((𝑔 + 𝑥) 𝑔)))) → ran (𝑥𝐾 ↦ ((𝑔 + 𝑥) 𝑔)) ∈ Fin)
16 simprr 769 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑔𝑋𝐻 ⊆ ran (𝑥𝐾 ↦ ((𝑔 + 𝑥) 𝑔)))) → 𝐻 ⊆ ran (𝑥𝐾 ↦ ((𝑔 + 𝑥) 𝑔)))
17 sylow2.h . . . . . . 7 (𝜑𝐻 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
187, 1, 17slwhash 19535 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘𝐻) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋))))
197, 1, 3slwhash 19535 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘𝐾) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋))))
2018, 19eqtr4d 2773 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘𝐻) = (♯‘𝐾))
21 slwsubg 19521 . . . . . . . . 9 (𝐻 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) → 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺))
2217, 21syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺))
237subgss 19045 . . . . . . . 8 (𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐻𝑋)
2422, 23syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐻𝑋)
251, 24ssfid 9271 . . . . . 6 (𝜑𝐻 ∈ Fin)
267subgss 19045 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐾𝑋)
275, 26syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐾𝑋)
281, 27ssfid 9271 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ Fin)
29 hashen 14313 . . . . . 6 ((𝐻 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ Fin) → ((♯‘𝐻) = (♯‘𝐾) ↔ 𝐻𝐾))
3025, 28, 29syl2anc 582 . . . . 5 (𝜑 → ((♯‘𝐻) = (♯‘𝐾) ↔ 𝐻𝐾))
3120, 30mpbid 231 . . . 4 (𝜑𝐻𝐾)
327, 8, 9, 10conjsubgen 19167 . . . . 5 ((𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑔𝑋) → 𝐾 ≈ ran (𝑥𝐾 ↦ ((𝑔 + 𝑥) 𝑔)))
335, 6, 32syl2an2r 681 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑔𝑋𝐻 ⊆ ran (𝑥𝐾 ↦ ((𝑔 + 𝑥) 𝑔)))) → 𝐾 ≈ ran (𝑥𝐾 ↦ ((𝑔 + 𝑥) 𝑔)))
34 entr 9006 . . . 4 ((𝐻𝐾𝐾 ≈ ran (𝑥𝐾 ↦ ((𝑔 + 𝑥) 𝑔))) → 𝐻 ≈ ran (𝑥𝐾 ↦ ((𝑔 + 𝑥) 𝑔)))
3531, 33, 34syl2an2r 681 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑔𝑋𝐻 ⊆ ran (𝑥𝐾 ↦ ((𝑔 + 𝑥) 𝑔)))) → 𝐻 ≈ ran (𝑥𝐾 ↦ ((𝑔 + 𝑥) 𝑔)))
36 fisseneq 9261 . . 3 ((ran (𝑥𝐾 ↦ ((𝑔 + 𝑥) 𝑔)) ∈ Fin ∧ 𝐻 ⊆ ran (𝑥𝐾 ↦ ((𝑔 + 𝑥) 𝑔)) ∧ 𝐻 ≈ ran (𝑥𝐾 ↦ ((𝑔 + 𝑥) 𝑔))) → 𝐻 = ran (𝑥𝐾 ↦ ((𝑔 + 𝑥) 𝑔)))
3715, 16, 35, 36syl3anc 1369 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑔𝑋𝐻 ⊆ ran (𝑥𝐾 ↦ ((𝑔 + 𝑥) 𝑔)))) → 𝐻 = ran (𝑥𝐾 ↦ ((𝑔 + 𝑥) 𝑔)))
38 eqid 2730 . . . . 5 (𝐺s 𝐻) = (𝐺s 𝐻)
3938slwpgp 19524 . . . 4 (𝐻 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) → 𝑃 pGrp (𝐺s 𝐻))
4017, 39syl 17 . . 3 (𝜑𝑃 pGrp (𝐺s 𝐻))
417, 1, 22, 5, 8, 40, 19, 9sylow2b 19534 . 2 (𝜑 → ∃𝑔𝑋 𝐻 ⊆ ran (𝑥𝐾 ↦ ((𝑔 + 𝑥) 𝑔)))
4237, 41reximddv 3169 1 (𝜑 → ∃𝑔𝑋 𝐻 = ran (𝑥𝐾 ↦ ((𝑔 + 𝑥) 𝑔)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1539  wcel 2104  wrex 3068  wss 3949   class class class wbr 5149  cmpt 5232  ran crn 5678  cfv 6544  (class class class)co 7413  cen 8940  Fincfn 8943  cexp 14033  chash 14296   pCnt cpc 16775  Basecbs 17150  s cress 17179  +gcplusg 17203  -gcsg 18859  SubGrpcsubg 19038   pGrp cpgp 19437   pSyl cslw 19438
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-inf2 9640  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-disj 5115  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-2o 8471  df-oadd 8474  df-omul 8475  df-er 8707  df-ec 8709  df-qs 8713  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9509  df-dju 9900  df-card 9938  df-acn 9941  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11452  df-neg 11453  df-div 11878  df-nn 12219  df-2 12281  df-3 12282  df-n0 12479  df-xnn0 12551  df-z 12565  df-uz 12829  df-q 12939  df-rp 12981  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-mod 13841  df-seq 13973  df-exp 14034  df-fac 14240  df-bc 14269  df-hash 14297  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-sum 15639  df-dvds 16204  df-gcd 16442  df-prm 16615  df-pc 16776  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-0g 17393  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-submnd 18708  df-grp 18860  df-minusg 18861  df-sbg 18862  df-mulg 18989  df-subg 19041  df-eqg 19043  df-ghm 19130  df-ga 19197  df-od 19439  df-pgp 19441  df-slw 19442
This theorem is referenced by:  sylow3lem3  19540  sylow3lem6  19543
  Copyright terms: Public domain W3C validator