MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sylow2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sylow2 18746
Description: Sylow's second theorem. See also sylow2b 18743 for the "hard" part of the proof. Any two Sylow 𝑃-subgroups are conjugate to one another, and hence the same size, namely 𝑃↑(𝑃 pCnt ∣ 𝑋 ∣ ) (see fislw 18745). This is part of Metamath 100 proof #72. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sylow2.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
sylow2.f (𝜑𝑋 ∈ Fin)
sylow2.h (𝜑𝐻 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
sylow2.k (𝜑𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
sylow2.a + = (+g𝐺)
sylow2.d = (-g𝐺)
Assertion
Ref Expression
sylow2 (𝜑 → ∃𝑔𝑋 𝐻 = ran (𝑥𝐾 ↦ ((𝑔 + 𝑥) 𝑔)))
Distinct variable groups:   𝑥,   𝑥,𝑔, +   𝑔,𝐺,𝑥   𝑔,𝐻,𝑥   𝑔,𝐾,𝑥   𝜑,𝑔   𝑔,𝑋,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑃(𝑥,𝑔)   (𝑔)

Proof of Theorem sylow2
StepHypRef Expression
1 sylow2.f . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
21adantr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑔𝑋𝐻 ⊆ ran (𝑥𝐾 ↦ ((𝑔 + 𝑥) 𝑔)))) → 𝑋 ∈ Fin)
3 sylow2.k . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
4 slwsubg 18730 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) → 𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺))
53, 4syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺))
6 simprl 770 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑔𝑋𝐻 ⊆ ran (𝑥𝐾 ↦ ((𝑔 + 𝑥) 𝑔)))) → 𝑔𝑋)
7 sylow2.x . . . . . . 7 𝑋 = (Base‘𝐺)
8 sylow2.a . . . . . . 7 + = (+g𝐺)
9 sylow2.d . . . . . . 7 = (-g𝐺)
10 eqid 2801 . . . . . . 7 (𝑥𝐾 ↦ ((𝑔 + 𝑥) 𝑔)) = (𝑥𝐾 ↦ ((𝑔 + 𝑥) 𝑔))
117, 8, 9, 10conjsubg 18385 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑔𝑋) → ran (𝑥𝐾 ↦ ((𝑔 + 𝑥) 𝑔)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
125, 6, 11syl2an2r 684 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑔𝑋𝐻 ⊆ ran (𝑥𝐾 ↦ ((𝑔 + 𝑥) 𝑔)))) → ran (𝑥𝐾 ↦ ((𝑔 + 𝑥) 𝑔)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
137subgss 18275 . . . . 5 (ran (𝑥𝐾 ↦ ((𝑔 + 𝑥) 𝑔)) ∈ (SubGrp‘𝐺) → ran (𝑥𝐾 ↦ ((𝑔 + 𝑥) 𝑔)) ⊆ 𝑋)
1412, 13syl 17 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑔𝑋𝐻 ⊆ ran (𝑥𝐾 ↦ ((𝑔 + 𝑥) 𝑔)))) → ran (𝑥𝐾 ↦ ((𝑔 + 𝑥) 𝑔)) ⊆ 𝑋)
152, 14ssfid 8729 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑔𝑋𝐻 ⊆ ran (𝑥𝐾 ↦ ((𝑔 + 𝑥) 𝑔)))) → ran (𝑥𝐾 ↦ ((𝑔 + 𝑥) 𝑔)) ∈ Fin)
16 simprr 772 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑔𝑋𝐻 ⊆ ran (𝑥𝐾 ↦ ((𝑔 + 𝑥) 𝑔)))) → 𝐻 ⊆ ran (𝑥𝐾 ↦ ((𝑔 + 𝑥) 𝑔)))
17 sylow2.h . . . . . . 7 (𝜑𝐻 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
187, 1, 17slwhash 18744 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘𝐻) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋))))
197, 1, 3slwhash 18744 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘𝐾) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋))))
2018, 19eqtr4d 2839 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘𝐻) = (♯‘𝐾))
21 slwsubg 18730 . . . . . . . . 9 (𝐻 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) → 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺))
2217, 21syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺))
237subgss 18275 . . . . . . . 8 (𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐻𝑋)
2422, 23syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐻𝑋)
251, 24ssfid 8729 . . . . . 6 (𝜑𝐻 ∈ Fin)
267subgss 18275 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐾𝑋)
275, 26syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐾𝑋)
281, 27ssfid 8729 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ Fin)
29 hashen 13707 . . . . . 6 ((𝐻 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ Fin) → ((♯‘𝐻) = (♯‘𝐾) ↔ 𝐻𝐾))
3025, 28, 29syl2anc 587 . . . . 5 (𝜑 → ((♯‘𝐻) = (♯‘𝐾) ↔ 𝐻𝐾))
3120, 30mpbid 235 . . . 4 (𝜑𝐻𝐾)
327, 8, 9, 10conjsubgen 18386 . . . . 5 ((𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑔𝑋) → 𝐾 ≈ ran (𝑥𝐾 ↦ ((𝑔 + 𝑥) 𝑔)))
335, 6, 32syl2an2r 684 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑔𝑋𝐻 ⊆ ran (𝑥𝐾 ↦ ((𝑔 + 𝑥) 𝑔)))) → 𝐾 ≈ ran (𝑥𝐾 ↦ ((𝑔 + 𝑥) 𝑔)))
34 entr 8548 . . . 4 ((𝐻𝐾𝐾 ≈ ran (𝑥𝐾 ↦ ((𝑔 + 𝑥) 𝑔))) → 𝐻 ≈ ran (𝑥𝐾 ↦ ((𝑔 + 𝑥) 𝑔)))
3531, 33, 34syl2an2r 684 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑔𝑋𝐻 ⊆ ran (𝑥𝐾 ↦ ((𝑔 + 𝑥) 𝑔)))) → 𝐻 ≈ ran (𝑥𝐾 ↦ ((𝑔 + 𝑥) 𝑔)))
36 fisseneq 8717 . . 3 ((ran (𝑥𝐾 ↦ ((𝑔 + 𝑥) 𝑔)) ∈ Fin ∧ 𝐻 ⊆ ran (𝑥𝐾 ↦ ((𝑔 + 𝑥) 𝑔)) ∧ 𝐻 ≈ ran (𝑥𝐾 ↦ ((𝑔 + 𝑥) 𝑔))) → 𝐻 = ran (𝑥𝐾 ↦ ((𝑔 + 𝑥) 𝑔)))
3715, 16, 35, 36syl3anc 1368 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑔𝑋𝐻 ⊆ ran (𝑥𝐾 ↦ ((𝑔 + 𝑥) 𝑔)))) → 𝐻 = ran (𝑥𝐾 ↦ ((𝑔 + 𝑥) 𝑔)))
38 eqid 2801 . . . . 5 (𝐺s 𝐻) = (𝐺s 𝐻)
3938slwpgp 18733 . . . 4 (𝐻 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) → 𝑃 pGrp (𝐺s 𝐻))
4017, 39syl 17 . . 3 (𝜑𝑃 pGrp (𝐺s 𝐻))
417, 1, 22, 5, 8, 40, 19, 9sylow2b 18743 . 2 (𝜑 → ∃𝑔𝑋 𝐻 ⊆ ran (𝑥𝐾 ↦ ((𝑔 + 𝑥) 𝑔)))
4237, 41reximddv 3237 1 (𝜑 → ∃𝑔𝑋 𝐻 = ran (𝑥𝐾 ↦ ((𝑔 + 𝑥) 𝑔)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2112  wrex 3110  wss 3884   class class class wbr 5033  cmpt 5113  ran crn 5524  cfv 6328  (class class class)co 7139  cen 8493  Fincfn 8496  cexp 13429  chash 13690   pCnt cpc 16166  Basecbs 16478  s cress 16479  +gcplusg 16560  -gcsg 18100  SubGrpcsubg 18268   pGrp cpgp 18649   pSyl cslw 18650
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-inf2 9092  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-disj 4999  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-omul 8094  df-er 8276  df-ec 8278  df-qs 8282  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-dju 9318  df-card 9356  df-acn 9359  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-xnn0 11960  df-z 11974  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-fl 13161  df-mod 13237  df-seq 13369  df-exp 13430  df-fac 13634  df-bc 13663  df-hash 13691  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-clim 14840  df-sum 15038  df-dvds 15603  df-gcd 15837  df-prm 16009  df-pc 16167  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-0g 16710  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-submnd 17952  df-grp 18101  df-minusg 18102  df-sbg 18103  df-mulg 18220  df-subg 18271  df-eqg 18273  df-ghm 18351  df-ga 18415  df-od 18651  df-pgp 18653  df-slw 18654
This theorem is referenced by:  sylow3lem3  18749  sylow3lem6  18752
  Copyright terms: Public domain W3C validator