MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sylow3lem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sylow3lem6 18686
Description: Lemma for sylow3 18687, second part. Using the lemma sylow2a 18673, show that the number of sylow subgroups is equivalent mod 𝑃 to the number of fixed points under the group action. But 𝐾 is the unique element of the set of Sylow subgroups that is fixed under the group action, so there is exactly one fixed point and so ((♯‘(𝑃 pSyl 𝐺)) mod 𝑃) = 1. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sylow3.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
sylow3.g (𝜑𝐺 ∈ Grp)
sylow3.xf (𝜑𝑋 ∈ Fin)
sylow3.p (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
sylow3lem5.a + = (+g𝐺)
sylow3lem5.d = (-g𝐺)
sylow3lem5.k (𝜑𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
sylow3lem5.m = (𝑥𝐾, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)))
sylow3lem6.n 𝑁 = {𝑥𝑋 ∣ ∀𝑦𝑋 ((𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑠 ↔ (𝑦 + 𝑥) ∈ 𝑠)}
Assertion
Ref Expression
sylow3lem6 (𝜑 → ((♯‘(𝑃 pSyl 𝐺)) mod 𝑃) = 1)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,   𝑥,𝑠,𝑦,𝑧,   𝐾,𝑠,𝑥,𝑦,𝑧   𝑧,𝑁   𝑥,𝑋,𝑦,𝑧   𝐺,𝑠,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑠,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥, + ,𝑦,𝑧   𝑃,𝑠,𝑥,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   + (𝑠)   (𝑠)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑠)   𝑋(𝑠)

Proof of Theorem sylow3lem6
Dummy variables 𝑤 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2818 . . . . 5 (Base‘(𝐺s 𝐾)) = (Base‘(𝐺s 𝐾))
2 sylow3.x . . . . . 6 𝑋 = (Base‘𝐺)
3 sylow3.g . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
4 sylow3.xf . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
5 sylow3.p . . . . . 6 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
6 sylow3lem5.a . . . . . 6 + = (+g𝐺)
7 sylow3lem5.d . . . . . 6 = (-g𝐺)
8 sylow3lem5.k . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
9 sylow3lem5.m . . . . . 6 = (𝑥𝐾, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)))
102, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9sylow3lem5 18685 . . . . 5 (𝜑 ∈ ((𝐺s 𝐾) GrpAct (𝑃 pSyl 𝐺)))
11 eqid 2818 . . . . . . 7 (𝐺s 𝐾) = (𝐺s 𝐾)
1211slwpgp 18667 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) → 𝑃 pGrp (𝐺s 𝐾))
138, 12syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑃 pGrp (𝐺s 𝐾))
14 slwsubg 18664 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) → 𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺))
158, 14syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺))
1611subgbas 18221 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐾 = (Base‘(𝐺s 𝐾)))
1715, 16syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐾 = (Base‘(𝐺s 𝐾)))
182subgss 18218 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐾𝑋)
1915, 18syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐾𝑋)
204, 19ssfid 8729 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ Fin)
2117, 20eqeltrrd 2911 . . . . 5 (𝜑 → (Base‘(𝐺s 𝐾)) ∈ Fin)
22 pwfi 8807 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑋 ∈ Fin)
234, 22sylib 219 . . . . . 6 (𝜑 → 𝒫 𝑋 ∈ Fin)
24 slwsubg 18664 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) → 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺))
252subgss 18218 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑥𝑋)
2624, 25syl 17 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) → 𝑥𝑋)
2724, 26elpwd 4546 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋)
2827ssriv 3968 . . . . . 6 (𝑃 pSyl 𝐺) ⊆ 𝒫 𝑋
29 ssfi 8726 . . . . . 6 ((𝒫 𝑋 ∈ Fin ∧ (𝑃 pSyl 𝐺) ⊆ 𝒫 𝑋) → (𝑃 pSyl 𝐺) ∈ Fin)
3023, 28, 29sylancl 586 . . . . 5 (𝜑 → (𝑃 pSyl 𝐺) ∈ Fin)
31 eqid 2818 . . . . 5 {𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ∣ ∀𝑔 ∈ (Base‘(𝐺s 𝐾))(𝑔 𝑠) = 𝑠} = {𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ∣ ∀𝑔 ∈ (Base‘(𝐺s 𝐾))(𝑔 𝑠) = 𝑠}
32 eqid 2818 . . . . 5 {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ ({𝑧, 𝑤} ⊆ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ ∃ ∈ (Base‘(𝐺s 𝐾))( 𝑧) = 𝑤)} = {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ ({𝑧, 𝑤} ⊆ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ ∃ ∈ (Base‘(𝐺s 𝐾))( 𝑧) = 𝑤)}
331, 10, 13, 21, 30, 31, 32sylow2a 18673 . . . 4 (𝜑𝑃 ∥ ((♯‘(𝑃 pSyl 𝐺)) − (♯‘{𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ∣ ∀𝑔 ∈ (Base‘(𝐺s 𝐾))(𝑔 𝑠) = 𝑠})))
34 eqcom 2825 . . . . . . . . . . . . . 14 (ran (𝑧𝑠 ↦ ((𝑔 + 𝑧) 𝑔)) = 𝑠𝑠 = ran (𝑧𝑠 ↦ ((𝑔 + 𝑧) 𝑔)))
3519adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → 𝐾𝑋)
3635sselda 3964 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝑔𝐾) → 𝑔𝑋)
3736biantrurd 533 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝑔𝐾) → (𝑠 = ran (𝑧𝑠 ↦ ((𝑔 + 𝑧) 𝑔)) ↔ (𝑔𝑋𝑠 = ran (𝑧𝑠 ↦ ((𝑔 + 𝑧) 𝑔)))))
3834, 37syl5bb 284 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝑔𝐾) → (ran (𝑧𝑠 ↦ ((𝑔 + 𝑧) 𝑔)) = 𝑠 ↔ (𝑔𝑋𝑠 = ran (𝑧𝑠 ↦ ((𝑔 + 𝑧) 𝑔)))))
39 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝑔𝐾) → 𝑔𝐾)
40 simplr 765 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝑔𝐾) → 𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
41 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 = 𝑔𝑦 = 𝑠) → 𝑦 = 𝑠)
42 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 = 𝑔𝑦 = 𝑠) → 𝑥 = 𝑔)
4342oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 = 𝑔𝑦 = 𝑠) → (𝑥 + 𝑧) = (𝑔 + 𝑧))
4443, 42oveq12d 7163 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 = 𝑔𝑦 = 𝑠) → ((𝑥 + 𝑧) 𝑥) = ((𝑔 + 𝑧) 𝑔))
4541, 44mpteq12dv 5142 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 = 𝑔𝑦 = 𝑠) → (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)) = (𝑧𝑠 ↦ ((𝑔 + 𝑧) 𝑔)))
4645rneqd 5801 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 = 𝑔𝑦 = 𝑠) → ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)) = ran (𝑧𝑠 ↦ ((𝑔 + 𝑧) 𝑔)))
47 vex 3495 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑠 ∈ V
4847mptex 6977 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧𝑠 ↦ ((𝑔 + 𝑧) 𝑔)) ∈ V
4948rnex 7606 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ran (𝑧𝑠 ↦ ((𝑔 + 𝑧) 𝑔)) ∈ V
5046, 9, 49ovmpoa 7294 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑔𝐾𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → (𝑔 𝑠) = ran (𝑧𝑠 ↦ ((𝑔 + 𝑧) 𝑔)))
5139, 40, 50syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝑔𝐾) → (𝑔 𝑠) = ran (𝑧𝑠 ↦ ((𝑔 + 𝑧) 𝑔)))
5251eqeq1d 2820 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝑔𝐾) → ((𝑔 𝑠) = 𝑠 ↔ ran (𝑧𝑠 ↦ ((𝑔 + 𝑧) 𝑔)) = 𝑠))
53 slwsubg 18664 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) → 𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺))
5453ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝑔𝐾) → 𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺))
55 eqid 2818 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧𝑠 ↦ ((𝑔 + 𝑧) 𝑔)) = (𝑧𝑠 ↦ ((𝑔 + 𝑧) 𝑔))
56 sylow3lem6.n . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑁 = {𝑥𝑋 ∣ ∀𝑦𝑋 ((𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑠 ↔ (𝑦 + 𝑥) ∈ 𝑠)}
572, 6, 7, 55, 56conjnmzb 18331 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑔𝑁 ↔ (𝑔𝑋𝑠 = ran (𝑧𝑠 ↦ ((𝑔 + 𝑧) 𝑔)))))
5854, 57syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝑔𝐾) → (𝑔𝑁 ↔ (𝑔𝑋𝑠 = ran (𝑧𝑠 ↦ ((𝑔 + 𝑧) 𝑔)))))
5938, 52, 583bitr4d 312 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝑔𝐾) → ((𝑔 𝑠) = 𝑠𝑔𝑁))
6059ralbidva 3193 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → (∀𝑔𝐾 (𝑔 𝑠) = 𝑠 ↔ ∀𝑔𝐾 𝑔𝑁))
61 dfss3 3953 . . . . . . . . . . 11 (𝐾𝑁 ↔ ∀𝑔𝐾 𝑔𝑁)
6260, 61syl6bbr 290 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → (∀𝑔𝐾 (𝑔 𝑠) = 𝑠𝐾𝑁))
6317adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → 𝐾 = (Base‘(𝐺s 𝐾)))
6463raleqdv 3413 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → (∀𝑔𝐾 (𝑔 𝑠) = 𝑠 ↔ ∀𝑔 ∈ (Base‘(𝐺s 𝐾))(𝑔 𝑠) = 𝑠))
65 eqid 2818 . . . . . . . . . . . . 13 (Base‘(𝐺s 𝑁)) = (Base‘(𝐺s 𝑁))
663ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝐾𝑁) → 𝐺 ∈ Grp)
6756, 2, 6nmzsubg 18255 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐺 ∈ Grp → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
6866, 67syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝐾𝑁) → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
69 eqid 2818 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐺s 𝑁) = (𝐺s 𝑁)
7069subgbas 18221 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑁 = (Base‘(𝐺s 𝑁)))
7168, 70syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝐾𝑁) → 𝑁 = (Base‘(𝐺s 𝑁)))
724ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝐾𝑁) → 𝑋 ∈ Fin)
732subgss 18218 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑁𝑋)
7468, 73syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝐾𝑁) → 𝑁𝑋)
7572, 74ssfid 8729 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝐾𝑁) → 𝑁 ∈ Fin)
7671, 75eqeltrrd 2911 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝐾𝑁) → (Base‘(𝐺s 𝑁)) ∈ Fin)
778ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝐾𝑁) → 𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
78 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝐾𝑁) → 𝐾𝑁)
7969subgslw 18670 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ 𝐾𝑁) → 𝐾 ∈ (𝑃 pSyl (𝐺s 𝑁)))
8068, 77, 78, 79syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝐾𝑁) → 𝐾 ∈ (𝑃 pSyl (𝐺s 𝑁)))
81 simplr 765 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝐾𝑁) → 𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
8253ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝐾𝑁) → 𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺))
8356, 2, 6ssnmz 18256 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑠𝑁)
8482, 83syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝐾𝑁) → 𝑠𝑁)
8569subgslw 18670 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ 𝑠𝑁) → 𝑠 ∈ (𝑃 pSyl (𝐺s 𝑁)))
8668, 81, 84, 85syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝐾𝑁) → 𝑠 ∈ (𝑃 pSyl (𝐺s 𝑁)))
872fvexi 6677 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑋 ∈ V
8856, 87rabex2 5228 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑁 ∈ V
8969, 6ressplusg 16600 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ V → + = (+g‘(𝐺s 𝑁)))
9088, 89ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 + = (+g‘(𝐺s 𝑁))
91 eqid 2818 . . . . . . . . . . . . 13 (-g‘(𝐺s 𝑁)) = (-g‘(𝐺s 𝑁))
9265, 76, 80, 86, 90, 91sylow2 18680 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝐾𝑁) → ∃𝑔 ∈ (Base‘(𝐺s 𝑁))𝐾 = ran (𝑧𝑠 ↦ ((𝑔 + 𝑧)(-g‘(𝐺s 𝑁))𝑔)))
9356, 2, 6, 69nmznsg 18258 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑠 ∈ (NrmSGrp‘(𝐺s 𝑁)))
9482, 93syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝐾𝑁) → 𝑠 ∈ (NrmSGrp‘(𝐺s 𝑁)))
95 eqid 2818 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧𝑠 ↦ ((𝑔 + 𝑧)(-g‘(𝐺s 𝑁))𝑔)) = (𝑧𝑠 ↦ ((𝑔 + 𝑧)(-g‘(𝐺s 𝑁))𝑔))
9665, 90, 91, 95conjnsg 18332 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑠 ∈ (NrmSGrp‘(𝐺s 𝑁)) ∧ 𝑔 ∈ (Base‘(𝐺s 𝑁))) → 𝑠 = ran (𝑧𝑠 ↦ ((𝑔 + 𝑧)(-g‘(𝐺s 𝑁))𝑔)))
9794, 96sylan 580 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑔 ∈ (Base‘(𝐺s 𝑁))) → 𝑠 = ran (𝑧𝑠 ↦ ((𝑔 + 𝑧)(-g‘(𝐺s 𝑁))𝑔)))
98 eqeq2 2830 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 = ran (𝑧𝑠 ↦ ((𝑔 + 𝑧)(-g‘(𝐺s 𝑁))𝑔)) → (𝑠 = 𝐾𝑠 = ran (𝑧𝑠 ↦ ((𝑔 + 𝑧)(-g‘(𝐺s 𝑁))𝑔))))
9997, 98syl5ibrcom 248 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑔 ∈ (Base‘(𝐺s 𝑁))) → (𝐾 = ran (𝑧𝑠 ↦ ((𝑔 + 𝑧)(-g‘(𝐺s 𝑁))𝑔)) → 𝑠 = 𝐾))
10099rexlimdva 3281 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝐾𝑁) → (∃𝑔 ∈ (Base‘(𝐺s 𝑁))𝐾 = ran (𝑧𝑠 ↦ ((𝑔 + 𝑧)(-g‘(𝐺s 𝑁))𝑔)) → 𝑠 = 𝐾))
10192, 100mpd 15 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝐾𝑁) → 𝑠 = 𝐾)
102 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝑠 = 𝐾) → 𝑠 = 𝐾)
10315ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝑠 = 𝐾) → 𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺))
104102, 103eqeltrd 2910 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝑠 = 𝐾) → 𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺))
105104, 83syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝑠 = 𝐾) → 𝑠𝑁)
106102, 105eqsstrrd 4003 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝑠 = 𝐾) → 𝐾𝑁)
107101, 106impbida 797 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → (𝐾𝑁𝑠 = 𝐾))
10862, 64, 1073bitr3d 310 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → (∀𝑔 ∈ (Base‘(𝐺s 𝐾))(𝑔 𝑠) = 𝑠𝑠 = 𝐾))
109108rabbidva 3476 . . . . . . . 8 (𝜑 → {𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ∣ ∀𝑔 ∈ (Base‘(𝐺s 𝐾))(𝑔 𝑠) = 𝑠} = {𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ∣ 𝑠 = 𝐾})
110 rabsn 4649 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) → {𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ∣ 𝑠 = 𝐾} = {𝐾})
1118, 110syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → {𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ∣ 𝑠 = 𝐾} = {𝐾})
112109, 111eqtrd 2853 . . . . . . 7 (𝜑 → {𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ∣ ∀𝑔 ∈ (Base‘(𝐺s 𝐾))(𝑔 𝑠) = 𝑠} = {𝐾})
113112fveq2d 6667 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘{𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ∣ ∀𝑔 ∈ (Base‘(𝐺s 𝐾))(𝑔 𝑠) = 𝑠}) = (♯‘{𝐾}))
114 hashsng 13718 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) → (♯‘{𝐾}) = 1)
1158, 114syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘{𝐾}) = 1)
116113, 115eqtrd 2853 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘{𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ∣ ∀𝑔 ∈ (Base‘(𝐺s 𝐾))(𝑔 𝑠) = 𝑠}) = 1)
117116oveq2d 7161 . . . 4 (𝜑 → ((♯‘(𝑃 pSyl 𝐺)) − (♯‘{𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ∣ ∀𝑔 ∈ (Base‘(𝐺s 𝐾))(𝑔 𝑠) = 𝑠})) = ((♯‘(𝑃 pSyl 𝐺)) − 1))
11833, 117breqtrd 5083 . . 3 (𝜑𝑃 ∥ ((♯‘(𝑃 pSyl 𝐺)) − 1))
119 prmnn 16006 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
1205, 119syl 17 . . . 4 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
121 hashcl 13705 . . . . . 6 ((𝑃 pSyl 𝐺) ∈ Fin → (♯‘(𝑃 pSyl 𝐺)) ∈ ℕ0)
12230, 121syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘(𝑃 pSyl 𝐺)) ∈ ℕ0)
123122nn0zd 12073 . . . 4 (𝜑 → (♯‘(𝑃 pSyl 𝐺)) ∈ ℤ)
124 1zzd 12001 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
125 moddvds 15606 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (♯‘(𝑃 pSyl 𝐺)) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (((♯‘(𝑃 pSyl 𝐺)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ ((♯‘(𝑃 pSyl 𝐺)) − 1)))
126120, 123, 124, 125syl3anc 1363 . . 3 (𝜑 → (((♯‘(𝑃 pSyl 𝐺)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ ((♯‘(𝑃 pSyl 𝐺)) − 1)))
127118, 126mpbird 258 . 2 (𝜑 → ((♯‘(𝑃 pSyl 𝐺)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
128 prmuz2 16028 . . 3 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ‘2))
129 eluz2b2 12309 . . . 4 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑃 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑃))
130 nnre 11633 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℝ)
131 1mod 13259 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃) → (1 mod 𝑃) = 1)
132130, 131sylan 580 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑃) → (1 mod 𝑃) = 1)
133129, 132sylbi 218 . . 3 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → (1 mod 𝑃) = 1)
1345, 128, 1333syl 18 . 2 (𝜑 → (1 mod 𝑃) = 1)
135127, 134eqtrd 2853 1 (𝜑 → ((♯‘(𝑃 pSyl 𝐺)) mod 𝑃) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wral 3135  wrex 3136  {crab 3139  Vcvv 3492  wss 3933  𝒫 cpw 4535  {csn 4557  {cpr 4559   class class class wbr 5057  {copab 5119  cmpt 5137  ran crn 5549  cfv 6348  (class class class)co 7145  cmpo 7147  Fincfn 8497  cr 10524  1c1 10526   < clt 10663  cmin 10858  cn 11626  2c2 11680  0cn0 11885  cz 11969  cuz 12231   mod cmo 13225  chash 13678  cdvds 15595  cprime 16003  Basecbs 16471  s cress 16472  +gcplusg 16553  Grpcgrp 18041  -gcsg 18043  SubGrpcsubg 18211  NrmSGrpcnsg 18212   pGrp cpgp 18583   pSyl cslw 18584
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-disj 5023  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-omul 8096  df-er 8278  df-ec 8280  df-qs 8284  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-dju 9318  df-card 9356  df-acn 9359  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-fl 13150  df-mod 13226  df-seq 13358  df-exp 13418  df-fac 13622  df-bc 13651  df-hash 13679  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-clim 14833  df-sum 15031  df-dvds 15596  df-gcd 15832  df-prm 16004  df-pc 16162  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-0g 16703  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-submnd 17945  df-grp 18044  df-minusg 18045  df-sbg 18046  df-mulg 18163  df-subg 18214  df-nsg 18215  df-eqg 18216  df-ghm 18294  df-ga 18358  df-od 18585  df-pgp 18587  df-slw 18588
This theorem is referenced by:  sylow3  18687
  Copyright terms: Public domain W3C validator