MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sylow3lem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sylow3lem6 19665
Description: Lemma for sylow3 19666, second part. Using the lemma sylow2a 19652, show that the number of sylow subgroups is equivalent mod 𝑃 to the number of fixed points under the group action. But 𝐾 is the unique element of the set of Sylow subgroups that is fixed under the group action, so there is exactly one fixed point and so ((♯‘(𝑃 pSyl 𝐺)) mod 𝑃) = 1. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sylow3.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
sylow3.g (𝜑𝐺 ∈ Grp)
sylow3.xf (𝜑𝑋 ∈ Fin)
sylow3.p (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
sylow3lem5.a + = (+g𝐺)
sylow3lem5.d = (-g𝐺)
sylow3lem5.k (𝜑𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
sylow3lem5.m = (𝑥𝐾, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)))
sylow3lem6.n 𝑁 = {𝑥𝑋 ∣ ∀𝑦𝑋 ((𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑠 ↔ (𝑦 + 𝑥) ∈ 𝑠)}
Assertion
Ref Expression
sylow3lem6 (𝜑 → ((♯‘(𝑃 pSyl 𝐺)) mod 𝑃) = 1)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,   𝑥,𝑠,𝑦,𝑧,   𝐾,𝑠,𝑥,𝑦,𝑧   𝑧,𝑁   𝑥,𝑋,𝑦,𝑧   𝐺,𝑠,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑠,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥, + ,𝑦,𝑧   𝑃,𝑠,𝑥,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   + (𝑠)   (𝑠)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑠)   𝑋(𝑠)

Proof of Theorem sylow3lem6
Dummy variables 𝑤 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2735 . . . . 5 (Base‘(𝐺s 𝐾)) = (Base‘(𝐺s 𝐾))
2 sylow3.x . . . . . 6 𝑋 = (Base‘𝐺)
3 sylow3.g . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
4 sylow3.xf . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
5 sylow3.p . . . . . 6 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
6 sylow3lem5.a . . . . . 6 + = (+g𝐺)
7 sylow3lem5.d . . . . . 6 = (-g𝐺)
8 sylow3lem5.k . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
9 sylow3lem5.m . . . . . 6 = (𝑥𝐾, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)))
102, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9sylow3lem5 19664 . . . . 5 (𝜑 ∈ ((𝐺s 𝐾) GrpAct (𝑃 pSyl 𝐺)))
11 eqid 2735 . . . . . . 7 (𝐺s 𝐾) = (𝐺s 𝐾)
1211slwpgp 19646 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) → 𝑃 pGrp (𝐺s 𝐾))
138, 12syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑃 pGrp (𝐺s 𝐾))
14 slwsubg 19643 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) → 𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺))
158, 14syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺))
1611subgbas 19161 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐾 = (Base‘(𝐺s 𝐾)))
1715, 16syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐾 = (Base‘(𝐺s 𝐾)))
182subgss 19158 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐾𝑋)
1915, 18syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐾𝑋)
204, 19ssfid 9299 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ Fin)
2117, 20eqeltrrd 2840 . . . . 5 (𝜑 → (Base‘(𝐺s 𝐾)) ∈ Fin)
22 pwfi 9355 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑋 ∈ Fin)
234, 22sylib 218 . . . . . 6 (𝜑 → 𝒫 𝑋 ∈ Fin)
24 slwsubg 19643 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) → 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺))
252subgss 19158 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑥𝑋)
2624, 25syl 17 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) → 𝑥𝑋)
2724, 26elpwd 4611 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋)
2827ssriv 3999 . . . . . 6 (𝑃 pSyl 𝐺) ⊆ 𝒫 𝑋
29 ssfi 9212 . . . . . 6 ((𝒫 𝑋 ∈ Fin ∧ (𝑃 pSyl 𝐺) ⊆ 𝒫 𝑋) → (𝑃 pSyl 𝐺) ∈ Fin)
3023, 28, 29sylancl 586 . . . . 5 (𝜑 → (𝑃 pSyl 𝐺) ∈ Fin)
31 eqid 2735 . . . . 5 {𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ∣ ∀𝑔 ∈ (Base‘(𝐺s 𝐾))(𝑔 𝑠) = 𝑠} = {𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ∣ ∀𝑔 ∈ (Base‘(𝐺s 𝐾))(𝑔 𝑠) = 𝑠}
32 eqid 2735 . . . . 5 {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ ({𝑧, 𝑤} ⊆ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ ∃ ∈ (Base‘(𝐺s 𝐾))( 𝑧) = 𝑤)} = {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ ({𝑧, 𝑤} ⊆ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ ∃ ∈ (Base‘(𝐺s 𝐾))( 𝑧) = 𝑤)}
331, 10, 13, 21, 30, 31, 32sylow2a 19652 . . . 4 (𝜑𝑃 ∥ ((♯‘(𝑃 pSyl 𝐺)) − (♯‘{𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ∣ ∀𝑔 ∈ (Base‘(𝐺s 𝐾))(𝑔 𝑠) = 𝑠})))
34 eqcom 2742 . . . . . . . . . . . . . 14 (ran (𝑧𝑠 ↦ ((𝑔 + 𝑧) 𝑔)) = 𝑠𝑠 = ran (𝑧𝑠 ↦ ((𝑔 + 𝑧) 𝑔)))
3519adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → 𝐾𝑋)
3635sselda 3995 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝑔𝐾) → 𝑔𝑋)
3736biantrurd 532 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝑔𝐾) → (𝑠 = ran (𝑧𝑠 ↦ ((𝑔 + 𝑧) 𝑔)) ↔ (𝑔𝑋𝑠 = ran (𝑧𝑠 ↦ ((𝑔 + 𝑧) 𝑔)))))
3834, 37bitrid 283 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝑔𝐾) → (ran (𝑧𝑠 ↦ ((𝑔 + 𝑧) 𝑔)) = 𝑠 ↔ (𝑔𝑋𝑠 = ran (𝑧𝑠 ↦ ((𝑔 + 𝑧) 𝑔)))))
39 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝑔𝐾) → 𝑔𝐾)
40 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝑔𝐾) → 𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
41 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 = 𝑔𝑦 = 𝑠) → 𝑦 = 𝑠)
42 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 = 𝑔𝑦 = 𝑠) → 𝑥 = 𝑔)
4342oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 = 𝑔𝑦 = 𝑠) → (𝑥 + 𝑧) = (𝑔 + 𝑧))
4443, 42oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 = 𝑔𝑦 = 𝑠) → ((𝑥 + 𝑧) 𝑥) = ((𝑔 + 𝑧) 𝑔))
4541, 44mpteq12dv 5239 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 = 𝑔𝑦 = 𝑠) → (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)) = (𝑧𝑠 ↦ ((𝑔 + 𝑧) 𝑔)))
4645rneqd 5952 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 = 𝑔𝑦 = 𝑠) → ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)) = ran (𝑧𝑠 ↦ ((𝑔 + 𝑧) 𝑔)))
47 vex 3482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑠 ∈ V
4847mptex 7243 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧𝑠 ↦ ((𝑔 + 𝑧) 𝑔)) ∈ V
4948rnex 7933 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ran (𝑧𝑠 ↦ ((𝑔 + 𝑧) 𝑔)) ∈ V
5046, 9, 49ovmpoa 7588 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑔𝐾𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → (𝑔 𝑠) = ran (𝑧𝑠 ↦ ((𝑔 + 𝑧) 𝑔)))
5139, 40, 50syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝑔𝐾) → (𝑔 𝑠) = ran (𝑧𝑠 ↦ ((𝑔 + 𝑧) 𝑔)))
5251eqeq1d 2737 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝑔𝐾) → ((𝑔 𝑠) = 𝑠 ↔ ran (𝑧𝑠 ↦ ((𝑔 + 𝑧) 𝑔)) = 𝑠))
53 slwsubg 19643 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) → 𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺))
5453ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝑔𝐾) → 𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺))
55 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧𝑠 ↦ ((𝑔 + 𝑧) 𝑔)) = (𝑧𝑠 ↦ ((𝑔 + 𝑧) 𝑔))
56 sylow3lem6.n . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑁 = {𝑥𝑋 ∣ ∀𝑦𝑋 ((𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑠 ↔ (𝑦 + 𝑥) ∈ 𝑠)}
572, 6, 7, 55, 56conjnmzb 19284 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑔𝑁 ↔ (𝑔𝑋𝑠 = ran (𝑧𝑠 ↦ ((𝑔 + 𝑧) 𝑔)))))
5854, 57syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝑔𝐾) → (𝑔𝑁 ↔ (𝑔𝑋𝑠 = ran (𝑧𝑠 ↦ ((𝑔 + 𝑧) 𝑔)))))
5938, 52, 583bitr4d 311 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝑔𝐾) → ((𝑔 𝑠) = 𝑠𝑔𝑁))
6059ralbidva 3174 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → (∀𝑔𝐾 (𝑔 𝑠) = 𝑠 ↔ ∀𝑔𝐾 𝑔𝑁))
61 dfss3 3984 . . . . . . . . . . 11 (𝐾𝑁 ↔ ∀𝑔𝐾 𝑔𝑁)
6260, 61bitr4di 289 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → (∀𝑔𝐾 (𝑔 𝑠) = 𝑠𝐾𝑁))
6317adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → 𝐾 = (Base‘(𝐺s 𝐾)))
6463raleqdv 3324 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → (∀𝑔𝐾 (𝑔 𝑠) = 𝑠 ↔ ∀𝑔 ∈ (Base‘(𝐺s 𝐾))(𝑔 𝑠) = 𝑠))
65 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . 13 (Base‘(𝐺s 𝑁)) = (Base‘(𝐺s 𝑁))
663ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝐾𝑁) → 𝐺 ∈ Grp)
6756, 2, 6nmzsubg 19196 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐺 ∈ Grp → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
6866, 67syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝐾𝑁) → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
69 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐺s 𝑁) = (𝐺s 𝑁)
7069subgbas 19161 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑁 = (Base‘(𝐺s 𝑁)))
7168, 70syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝐾𝑁) → 𝑁 = (Base‘(𝐺s 𝑁)))
724ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝐾𝑁) → 𝑋 ∈ Fin)
732subgss 19158 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑁𝑋)
7468, 73syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝐾𝑁) → 𝑁𝑋)
7572, 74ssfid 9299 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝐾𝑁) → 𝑁 ∈ Fin)
7671, 75eqeltrrd 2840 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝐾𝑁) → (Base‘(𝐺s 𝑁)) ∈ Fin)
778ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝐾𝑁) → 𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
78 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝐾𝑁) → 𝐾𝑁)
7969subgslw 19649 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ 𝐾𝑁) → 𝐾 ∈ (𝑃 pSyl (𝐺s 𝑁)))
8068, 77, 78, 79syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝐾𝑁) → 𝐾 ∈ (𝑃 pSyl (𝐺s 𝑁)))
81 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝐾𝑁) → 𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
8253ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝐾𝑁) → 𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺))
8356, 2, 6ssnmz 19197 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑠𝑁)
8482, 83syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝐾𝑁) → 𝑠𝑁)
8569subgslw 19649 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ 𝑠𝑁) → 𝑠 ∈ (𝑃 pSyl (𝐺s 𝑁)))
8668, 81, 84, 85syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝐾𝑁) → 𝑠 ∈ (𝑃 pSyl (𝐺s 𝑁)))
872fvexi 6921 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑋 ∈ V
8856, 87rabex2 5347 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑁 ∈ V
8969, 6ressplusg 17336 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ V → + = (+g‘(𝐺s 𝑁)))
9088, 89ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 + = (+g‘(𝐺s 𝑁))
91 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . 13 (-g‘(𝐺s 𝑁)) = (-g‘(𝐺s 𝑁))
9265, 76, 80, 86, 90, 91sylow2 19659 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝐾𝑁) → ∃𝑔 ∈ (Base‘(𝐺s 𝑁))𝐾 = ran (𝑧𝑠 ↦ ((𝑔 + 𝑧)(-g‘(𝐺s 𝑁))𝑔)))
9356, 2, 6, 69nmznsg 19199 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑠 ∈ (NrmSGrp‘(𝐺s 𝑁)))
9482, 93syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝐾𝑁) → 𝑠 ∈ (NrmSGrp‘(𝐺s 𝑁)))
95 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧𝑠 ↦ ((𝑔 + 𝑧)(-g‘(𝐺s 𝑁))𝑔)) = (𝑧𝑠 ↦ ((𝑔 + 𝑧)(-g‘(𝐺s 𝑁))𝑔))
9665, 90, 91, 95conjnsg 19285 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑠 ∈ (NrmSGrp‘(𝐺s 𝑁)) ∧ 𝑔 ∈ (Base‘(𝐺s 𝑁))) → 𝑠 = ran (𝑧𝑠 ↦ ((𝑔 + 𝑧)(-g‘(𝐺s 𝑁))𝑔)))
9794, 96sylan 580 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑔 ∈ (Base‘(𝐺s 𝑁))) → 𝑠 = ran (𝑧𝑠 ↦ ((𝑔 + 𝑧)(-g‘(𝐺s 𝑁))𝑔)))
98 eqeq2 2747 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 = ran (𝑧𝑠 ↦ ((𝑔 + 𝑧)(-g‘(𝐺s 𝑁))𝑔)) → (𝑠 = 𝐾𝑠 = ran (𝑧𝑠 ↦ ((𝑔 + 𝑧)(-g‘(𝐺s 𝑁))𝑔))))
9997, 98syl5ibrcom 247 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑔 ∈ (Base‘(𝐺s 𝑁))) → (𝐾 = ran (𝑧𝑠 ↦ ((𝑔 + 𝑧)(-g‘(𝐺s 𝑁))𝑔)) → 𝑠 = 𝐾))
10099rexlimdva 3153 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝐾𝑁) → (∃𝑔 ∈ (Base‘(𝐺s 𝑁))𝐾 = ran (𝑧𝑠 ↦ ((𝑔 + 𝑧)(-g‘(𝐺s 𝑁))𝑔)) → 𝑠 = 𝐾))
10192, 100mpd 15 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝐾𝑁) → 𝑠 = 𝐾)
102 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝑠 = 𝐾) → 𝑠 = 𝐾)
10315ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝑠 = 𝐾) → 𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺))
104102, 103eqeltrd 2839 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝑠 = 𝐾) → 𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺))
105104, 83syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝑠 = 𝐾) → 𝑠𝑁)
106102, 105eqsstrrd 4035 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝑠 = 𝐾) → 𝐾𝑁)
107101, 106impbida 801 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → (𝐾𝑁𝑠 = 𝐾))
10862, 64, 1073bitr3d 309 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → (∀𝑔 ∈ (Base‘(𝐺s 𝐾))(𝑔 𝑠) = 𝑠𝑠 = 𝐾))
109108rabbidva 3440 . . . . . . . 8 (𝜑 → {𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ∣ ∀𝑔 ∈ (Base‘(𝐺s 𝐾))(𝑔 𝑠) = 𝑠} = {𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ∣ 𝑠 = 𝐾})
110 rabsn 4726 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) → {𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ∣ 𝑠 = 𝐾} = {𝐾})
1118, 110syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → {𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ∣ 𝑠 = 𝐾} = {𝐾})
112109, 111eqtrd 2775 . . . . . . 7 (𝜑 → {𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ∣ ∀𝑔 ∈ (Base‘(𝐺s 𝐾))(𝑔 𝑠) = 𝑠} = {𝐾})
113112fveq2d 6911 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘{𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ∣ ∀𝑔 ∈ (Base‘(𝐺s 𝐾))(𝑔 𝑠) = 𝑠}) = (♯‘{𝐾}))
114 hashsng 14405 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) → (♯‘{𝐾}) = 1)
1158, 114syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘{𝐾}) = 1)
116113, 115eqtrd 2775 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘{𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ∣ ∀𝑔 ∈ (Base‘(𝐺s 𝐾))(𝑔 𝑠) = 𝑠}) = 1)
117116oveq2d 7447 . . . 4 (𝜑 → ((♯‘(𝑃 pSyl 𝐺)) − (♯‘{𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ∣ ∀𝑔 ∈ (Base‘(𝐺s 𝐾))(𝑔 𝑠) = 𝑠})) = ((♯‘(𝑃 pSyl 𝐺)) − 1))
11833, 117breqtrd 5174 . . 3 (𝜑𝑃 ∥ ((♯‘(𝑃 pSyl 𝐺)) − 1))
119 prmnn 16708 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
1205, 119syl 17 . . . 4 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
121 hashcl 14392 . . . . . 6 ((𝑃 pSyl 𝐺) ∈ Fin → (♯‘(𝑃 pSyl 𝐺)) ∈ ℕ0)
12230, 121syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘(𝑃 pSyl 𝐺)) ∈ ℕ0)
123122nn0zd 12637 . . . 4 (𝜑 → (♯‘(𝑃 pSyl 𝐺)) ∈ ℤ)
124 1zzd 12646 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
125 moddvds 16298 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (♯‘(𝑃 pSyl 𝐺)) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (((♯‘(𝑃 pSyl 𝐺)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ ((♯‘(𝑃 pSyl 𝐺)) − 1)))
126120, 123, 124, 125syl3anc 1370 . . 3 (𝜑 → (((♯‘(𝑃 pSyl 𝐺)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ ((♯‘(𝑃 pSyl 𝐺)) − 1)))
127118, 126mpbird 257 . 2 (𝜑 → ((♯‘(𝑃 pSyl 𝐺)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
128 prmuz2 16730 . . 3 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ‘2))
129 eluz2b2 12961 . . . 4 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑃 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑃))
130 nnre 12271 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℝ)
131 1mod 13940 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃) → (1 mod 𝑃) = 1)
132130, 131sylan 580 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑃) → (1 mod 𝑃) = 1)
133129, 132sylbi 217 . . 3 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → (1 mod 𝑃) = 1)
1345, 128, 1333syl 18 . 2 (𝜑 → (1 mod 𝑃) = 1)
135127, 134eqtrd 2775 1 (𝜑 → ((♯‘(𝑃 pSyl 𝐺)) mod 𝑃) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  wrex 3068  {crab 3433  Vcvv 3478  wss 3963  𝒫 cpw 4605  {csn 4631  {cpr 4633   class class class wbr 5148  {copab 5210  cmpt 5231  ran crn 5690  cfv 6563  (class class class)co 7431  cmpo 7433  Fincfn 8984  cr 11152  1c1 11154   < clt 11293  cmin 11490  cn 12264  2c2 12319  0cn0 12524  cz 12611  cuz 12876   mod cmo 13906  chash 14366  cdvds 16287  cprime 16705  Basecbs 17245  s cress 17274  +gcplusg 17298  Grpcgrp 18964  -gcsg 18966  SubGrpcsubg 19151  NrmSGrpcnsg 19152   pGrp cpgp 19559   pSyl cslw 19560
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-disj 5116  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-oadd 8509  df-omul 8510  df-er 8744  df-ec 8746  df-qs 8750  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-dju 9939  df-card 9977  df-acn 9980  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fac 14310  df-bc 14339  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-sum 15720  df-dvds 16288  df-gcd 16529  df-prm 16706  df-pc 16871  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-mulg 19099  df-subg 19154  df-nsg 19155  df-eqg 19156  df-ghm 19244  df-ga 19321  df-od 19561  df-pgp 19563  df-slw 19564
This theorem is referenced by:  sylow3  19666
  Copyright terms: Public domain W3C validator