MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sylow3lem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sylow3lem6 18247
Description: Lemma for sylow3 18248, second part. Using the lemma sylow2a 18234, show that the number of sylow subgroups is equivalent mod 𝑃 to the number of fixed points under the group action. But 𝐾 is the unique element of the set of Sylow subgroups that is fixed under the group action, so there is exactly one fixed point and so ((♯‘(𝑃 pSyl 𝐺)) mod 𝑃) = 1. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sylow3.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
sylow3.g (𝜑𝐺 ∈ Grp)
sylow3.xf (𝜑𝑋 ∈ Fin)
sylow3.p (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
sylow3lem5.a + = (+g𝐺)
sylow3lem5.d = (-g𝐺)
sylow3lem5.k (𝜑𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
sylow3lem5.m = (𝑥𝐾, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)))
sylow3lem6.n 𝑁 = {𝑥𝑋 ∣ ∀𝑦𝑋 ((𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑠 ↔ (𝑦 + 𝑥) ∈ 𝑠)}
Assertion
Ref Expression
sylow3lem6 (𝜑 → ((♯‘(𝑃 pSyl 𝐺)) mod 𝑃) = 1)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,   𝑥,𝑠,𝑦,𝑧,   𝐾,𝑠,𝑥,𝑦,𝑧   𝑧,𝑁   𝑥,𝑋,𝑦,𝑧   𝐺,𝑠,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑠,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥, + ,𝑦,𝑧   𝑃,𝑠,𝑥,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   + (𝑠)   (𝑠)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑠)   𝑋(𝑠)

Proof of Theorem sylow3lem6
Dummy variables 𝑤 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2771 . . . . 5 (Base‘(𝐺s 𝐾)) = (Base‘(𝐺s 𝐾))
2 sylow3.x . . . . . 6 𝑋 = (Base‘𝐺)
3 sylow3.g . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
4 sylow3.xf . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
5 sylow3.p . . . . . 6 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
6 sylow3lem5.a . . . . . 6 + = (+g𝐺)
7 sylow3lem5.d . . . . . 6 = (-g𝐺)
8 sylow3lem5.k . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
9 sylow3lem5.m . . . . . 6 = (𝑥𝐾, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)))
102, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9sylow3lem5 18246 . . . . 5 (𝜑 ∈ ((𝐺s 𝐾) GrpAct (𝑃 pSyl 𝐺)))
11 eqid 2771 . . . . . . 7 (𝐺s 𝐾) = (𝐺s 𝐾)
1211slwpgp 18228 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) → 𝑃 pGrp (𝐺s 𝐾))
138, 12syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑃 pGrp (𝐺s 𝐾))
14 slwsubg 18225 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) → 𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺))
158, 14syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺))
1611subgbas 17799 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐾 = (Base‘(𝐺s 𝐾)))
1715, 16syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐾 = (Base‘(𝐺s 𝐾)))
182subgss 17796 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐾𝑋)
1915, 18syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐾𝑋)
20 ssfi 8334 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑋) → 𝐾 ∈ Fin)
214, 19, 20syl2anc 573 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ Fin)
2217, 21eqeltrrd 2851 . . . . 5 (𝜑 → (Base‘(𝐺s 𝐾)) ∈ Fin)
23 pwfi 8415 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑋 ∈ Fin)
244, 23sylib 208 . . . . . 6 (𝜑 → 𝒫 𝑋 ∈ Fin)
25 slwsubg 18225 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) → 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺))
262subgss 17796 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑥𝑋)
2725, 26syl 17 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) → 𝑥𝑋)
28 selpw 4304 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑋𝑥𝑋)
2927, 28sylibr 224 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋)
3029ssriv 3756 . . . . . 6 (𝑃 pSyl 𝐺) ⊆ 𝒫 𝑋
31 ssfi 8334 . . . . . 6 ((𝒫 𝑋 ∈ Fin ∧ (𝑃 pSyl 𝐺) ⊆ 𝒫 𝑋) → (𝑃 pSyl 𝐺) ∈ Fin)
3224, 30, 31sylancl 574 . . . . 5 (𝜑 → (𝑃 pSyl 𝐺) ∈ Fin)
33 eqid 2771 . . . . 5 {𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ∣ ∀𝑔 ∈ (Base‘(𝐺s 𝐾))(𝑔 𝑠) = 𝑠} = {𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ∣ ∀𝑔 ∈ (Base‘(𝐺s 𝐾))(𝑔 𝑠) = 𝑠}
34 eqid 2771 . . . . 5 {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ ({𝑧, 𝑤} ⊆ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ ∃ ∈ (Base‘(𝐺s 𝐾))( 𝑧) = 𝑤)} = {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ ({𝑧, 𝑤} ⊆ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ ∃ ∈ (Base‘(𝐺s 𝐾))( 𝑧) = 𝑤)}
351, 10, 13, 22, 32, 33, 34sylow2a 18234 . . . 4 (𝜑𝑃 ∥ ((♯‘(𝑃 pSyl 𝐺)) − (♯‘{𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ∣ ∀𝑔 ∈ (Base‘(𝐺s 𝐾))(𝑔 𝑠) = 𝑠})))
36 eqcom 2778 . . . . . . . . . . . . . 14 (ran (𝑧𝑠 ↦ ((𝑔 + 𝑧) 𝑔)) = 𝑠𝑠 = ran (𝑧𝑠 ↦ ((𝑔 + 𝑧) 𝑔)))
3719adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → 𝐾𝑋)
3837sselda 3752 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝑔𝐾) → 𝑔𝑋)
3938biantrurd 522 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝑔𝐾) → (𝑠 = ran (𝑧𝑠 ↦ ((𝑔 + 𝑧) 𝑔)) ↔ (𝑔𝑋𝑠 = ran (𝑧𝑠 ↦ ((𝑔 + 𝑧) 𝑔)))))
4036, 39syl5bb 272 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝑔𝐾) → (ran (𝑧𝑠 ↦ ((𝑔 + 𝑧) 𝑔)) = 𝑠 ↔ (𝑔𝑋𝑠 = ran (𝑧𝑠 ↦ ((𝑔 + 𝑧) 𝑔)))))
41 simpr 471 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝑔𝐾) → 𝑔𝐾)
42 simplr 752 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝑔𝐾) → 𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
43 simpr 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 = 𝑔𝑦 = 𝑠) → 𝑦 = 𝑠)
44 simpl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 = 𝑔𝑦 = 𝑠) → 𝑥 = 𝑔)
4544oveq1d 6806 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 = 𝑔𝑦 = 𝑠) → (𝑥 + 𝑧) = (𝑔 + 𝑧))
4645, 44oveq12d 6809 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 = 𝑔𝑦 = 𝑠) → ((𝑥 + 𝑧) 𝑥) = ((𝑔 + 𝑧) 𝑔))
4743, 46mpteq12dv 4867 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 = 𝑔𝑦 = 𝑠) → (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)) = (𝑧𝑠 ↦ ((𝑔 + 𝑧) 𝑔)))
4847rneqd 5489 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 = 𝑔𝑦 = 𝑠) → ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)) = ran (𝑧𝑠 ↦ ((𝑔 + 𝑧) 𝑔)))
49 vex 3354 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑠 ∈ V
5049mptex 6628 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧𝑠 ↦ ((𝑔 + 𝑧) 𝑔)) ∈ V
5150rnex 7245 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ran (𝑧𝑠 ↦ ((𝑔 + 𝑧) 𝑔)) ∈ V
5248, 9, 51ovmpt2a 6936 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑔𝐾𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → (𝑔 𝑠) = ran (𝑧𝑠 ↦ ((𝑔 + 𝑧) 𝑔)))
5341, 42, 52syl2anc 573 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝑔𝐾) → (𝑔 𝑠) = ran (𝑧𝑠 ↦ ((𝑔 + 𝑧) 𝑔)))
5453eqeq1d 2773 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝑔𝐾) → ((𝑔 𝑠) = 𝑠 ↔ ran (𝑧𝑠 ↦ ((𝑔 + 𝑧) 𝑔)) = 𝑠))
55 slwsubg 18225 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) → 𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺))
5655ad2antlr 706 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝑔𝐾) → 𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺))
57 eqid 2771 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧𝑠 ↦ ((𝑔 + 𝑧) 𝑔)) = (𝑧𝑠 ↦ ((𝑔 + 𝑧) 𝑔))
58 sylow3lem6.n . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑁 = {𝑥𝑋 ∣ ∀𝑦𝑋 ((𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑠 ↔ (𝑦 + 𝑥) ∈ 𝑠)}
592, 6, 7, 57, 58conjnmzb 17896 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑔𝑁 ↔ (𝑔𝑋𝑠 = ran (𝑧𝑠 ↦ ((𝑔 + 𝑧) 𝑔)))))
6056, 59syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝑔𝐾) → (𝑔𝑁 ↔ (𝑔𝑋𝑠 = ran (𝑧𝑠 ↦ ((𝑔 + 𝑧) 𝑔)))))
6140, 54, 603bitr4d 300 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝑔𝐾) → ((𝑔 𝑠) = 𝑠𝑔𝑁))
6261ralbidva 3134 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → (∀𝑔𝐾 (𝑔 𝑠) = 𝑠 ↔ ∀𝑔𝐾 𝑔𝑁))
63 dfss3 3741 . . . . . . . . . . 11 (𝐾𝑁 ↔ ∀𝑔𝐾 𝑔𝑁)
6462, 63syl6bbr 278 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → (∀𝑔𝐾 (𝑔 𝑠) = 𝑠𝐾𝑁))
6517adantr 466 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → 𝐾 = (Base‘(𝐺s 𝐾)))
6665raleqdv 3293 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → (∀𝑔𝐾 (𝑔 𝑠) = 𝑠 ↔ ∀𝑔 ∈ (Base‘(𝐺s 𝐾))(𝑔 𝑠) = 𝑠))
67 eqid 2771 . . . . . . . . . . . . 13 (Base‘(𝐺s 𝑁)) = (Base‘(𝐺s 𝑁))
683ad2antrr 705 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝐾𝑁) → 𝐺 ∈ Grp)
6958, 2, 6nmzsubg 17836 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐺 ∈ Grp → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
7068, 69syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝐾𝑁) → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
71 eqid 2771 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐺s 𝑁) = (𝐺s 𝑁)
7271subgbas 17799 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑁 = (Base‘(𝐺s 𝑁)))
7370, 72syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝐾𝑁) → 𝑁 = (Base‘(𝐺s 𝑁)))
744ad2antrr 705 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝐾𝑁) → 𝑋 ∈ Fin)
752subgss 17796 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑁𝑋)
7670, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝐾𝑁) → 𝑁𝑋)
77 ssfi 8334 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑁𝑋) → 𝑁 ∈ Fin)
7874, 76, 77syl2anc 573 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝐾𝑁) → 𝑁 ∈ Fin)
7973, 78eqeltrrd 2851 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝐾𝑁) → (Base‘(𝐺s 𝑁)) ∈ Fin)
808ad2antrr 705 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝐾𝑁) → 𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
81 simpr 471 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝐾𝑁) → 𝐾𝑁)
8271subgslw 18231 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ 𝐾𝑁) → 𝐾 ∈ (𝑃 pSyl (𝐺s 𝑁)))
8370, 80, 81, 82syl3anc 1476 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝐾𝑁) → 𝐾 ∈ (𝑃 pSyl (𝐺s 𝑁)))
84 simplr 752 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝐾𝑁) → 𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
8555ad2antlr 706 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝐾𝑁) → 𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺))
8658, 2, 6ssnmz 17837 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑠𝑁)
8785, 86syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝐾𝑁) → 𝑠𝑁)
8871subgslw 18231 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ 𝑠𝑁) → 𝑠 ∈ (𝑃 pSyl (𝐺s 𝑁)))
8970, 84, 87, 88syl3anc 1476 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝐾𝑁) → 𝑠 ∈ (𝑃 pSyl (𝐺s 𝑁)))
902fvexi 6341 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑋 ∈ V
9158, 90rabex2 4948 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑁 ∈ V
9271, 6ressplusg 16194 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ V → + = (+g‘(𝐺s 𝑁)))
9391, 92ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 + = (+g‘(𝐺s 𝑁))
94 eqid 2771 . . . . . . . . . . . . 13 (-g‘(𝐺s 𝑁)) = (-g‘(𝐺s 𝑁))
9567, 79, 83, 89, 93, 94sylow2 18241 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝐾𝑁) → ∃𝑔 ∈ (Base‘(𝐺s 𝑁))𝐾 = ran (𝑧𝑠 ↦ ((𝑔 + 𝑧)(-g‘(𝐺s 𝑁))𝑔)))
9658, 2, 6, 71nmznsg 17839 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑠 ∈ (NrmSGrp‘(𝐺s 𝑁)))
9785, 96syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝐾𝑁) → 𝑠 ∈ (NrmSGrp‘(𝐺s 𝑁)))
98 eqid 2771 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧𝑠 ↦ ((𝑔 + 𝑧)(-g‘(𝐺s 𝑁))𝑔)) = (𝑧𝑠 ↦ ((𝑔 + 𝑧)(-g‘(𝐺s 𝑁))𝑔))
9967, 93, 94, 98conjnsg 17897 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑠 ∈ (NrmSGrp‘(𝐺s 𝑁)) ∧ 𝑔 ∈ (Base‘(𝐺s 𝑁))) → 𝑠 = ran (𝑧𝑠 ↦ ((𝑔 + 𝑧)(-g‘(𝐺s 𝑁))𝑔)))
10097, 99sylan 569 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑔 ∈ (Base‘(𝐺s 𝑁))) → 𝑠 = ran (𝑧𝑠 ↦ ((𝑔 + 𝑧)(-g‘(𝐺s 𝑁))𝑔)))
101 eqeq2 2782 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 = ran (𝑧𝑠 ↦ ((𝑔 + 𝑧)(-g‘(𝐺s 𝑁))𝑔)) → (𝑠 = 𝐾𝑠 = ran (𝑧𝑠 ↦ ((𝑔 + 𝑧)(-g‘(𝐺s 𝑁))𝑔))))
102100, 101syl5ibrcom 237 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑔 ∈ (Base‘(𝐺s 𝑁))) → (𝐾 = ran (𝑧𝑠 ↦ ((𝑔 + 𝑧)(-g‘(𝐺s 𝑁))𝑔)) → 𝑠 = 𝐾))
103102rexlimdva 3179 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝐾𝑁) → (∃𝑔 ∈ (Base‘(𝐺s 𝑁))𝐾 = ran (𝑧𝑠 ↦ ((𝑔 + 𝑧)(-g‘(𝐺s 𝑁))𝑔)) → 𝑠 = 𝐾))
10495, 103mpd 15 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝐾𝑁) → 𝑠 = 𝐾)
105 simpr 471 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝑠 = 𝐾) → 𝑠 = 𝐾)
10615ad2antrr 705 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝑠 = 𝐾) → 𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺))
107105, 106eqeltrd 2850 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝑠 = 𝐾) → 𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺))
108107, 86syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝑠 = 𝐾) → 𝑠𝑁)
109105, 108eqsstr3d 3789 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝑠 = 𝐾) → 𝐾𝑁)
110104, 109impbida 802 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → (𝐾𝑁𝑠 = 𝐾))
11164, 66, 1103bitr3d 298 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → (∀𝑔 ∈ (Base‘(𝐺s 𝐾))(𝑔 𝑠) = 𝑠𝑠 = 𝐾))
112111rabbidva 3338 . . . . . . . 8 (𝜑 → {𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ∣ ∀𝑔 ∈ (Base‘(𝐺s 𝐾))(𝑔 𝑠) = 𝑠} = {𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ∣ 𝑠 = 𝐾})
113 rabsn 4392 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) → {𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ∣ 𝑠 = 𝐾} = {𝐾})
1148, 113syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → {𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ∣ 𝑠 = 𝐾} = {𝐾})
115112, 114eqtrd 2805 . . . . . . 7 (𝜑 → {𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ∣ ∀𝑔 ∈ (Base‘(𝐺s 𝐾))(𝑔 𝑠) = 𝑠} = {𝐾})
116115fveq2d 6334 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘{𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ∣ ∀𝑔 ∈ (Base‘(𝐺s 𝐾))(𝑔 𝑠) = 𝑠}) = (♯‘{𝐾}))
117 hashsng 13354 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) → (♯‘{𝐾}) = 1)
1188, 117syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘{𝐾}) = 1)
119116, 118eqtrd 2805 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘{𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ∣ ∀𝑔 ∈ (Base‘(𝐺s 𝐾))(𝑔 𝑠) = 𝑠}) = 1)
120119oveq2d 6807 . . . 4 (𝜑 → ((♯‘(𝑃 pSyl 𝐺)) − (♯‘{𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ∣ ∀𝑔 ∈ (Base‘(𝐺s 𝐾))(𝑔 𝑠) = 𝑠})) = ((♯‘(𝑃 pSyl 𝐺)) − 1))
12135, 120breqtrd 4812 . . 3 (𝜑𝑃 ∥ ((♯‘(𝑃 pSyl 𝐺)) − 1))
122 prmnn 15588 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
1235, 122syl 17 . . . 4 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
124 hashcl 13342 . . . . . 6 ((𝑃 pSyl 𝐺) ∈ Fin → (♯‘(𝑃 pSyl 𝐺)) ∈ ℕ0)
12532, 124syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘(𝑃 pSyl 𝐺)) ∈ ℕ0)
126125nn0zd 11680 . . . 4 (𝜑 → (♯‘(𝑃 pSyl 𝐺)) ∈ ℤ)
127 1zzd 11608 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
128 moddvds 15193 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (♯‘(𝑃 pSyl 𝐺)) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (((♯‘(𝑃 pSyl 𝐺)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ ((♯‘(𝑃 pSyl 𝐺)) − 1)))
129123, 126, 127, 128syl3anc 1476 . . 3 (𝜑 → (((♯‘(𝑃 pSyl 𝐺)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ ((♯‘(𝑃 pSyl 𝐺)) − 1)))
130121, 129mpbird 247 . 2 (𝜑 → ((♯‘(𝑃 pSyl 𝐺)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
131 prmuz2 15608 . . 3 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ‘2))
132 eluz2b2 11962 . . . 4 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑃 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑃))
133 nnre 11227 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℝ)
134 1mod 12903 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃) → (1 mod 𝑃) = 1)
135133, 134sylan 569 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑃) → (1 mod 𝑃) = 1)
136132, 135sylbi 207 . . 3 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → (1 mod 𝑃) = 1)
1375, 131, 1363syl 18 . 2 (𝜑 → (1 mod 𝑃) = 1)
138130, 137eqtrd 2805 1 (𝜑 → ((♯‘(𝑃 pSyl 𝐺)) mod 𝑃) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wral 3061  wrex 3062  {crab 3065  Vcvv 3351  wss 3723  𝒫 cpw 4297  {csn 4316  {cpr 4318   class class class wbr 4786  {copab 4846  cmpt 4863  ran crn 5250  cfv 6029  (class class class)co 6791  cmpt2 6793  Fincfn 8107  cr 10135  1c1 10137   < clt 10274  cmin 10466  cn 11220  2c2 11270  0cn0 11492  cz 11577  cuz 11886   mod cmo 12869  chash 13314  cdvds 15182  cprime 15585  Basecbs 16057  s cress 16058  +gcplusg 16142  Grpcgrp 17623  -gcsg 17625  SubGrpcsubg 17789  NrmSGrpcnsg 17790   pGrp cpgp 18146   pSyl cslw 18147
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7094  ax-inf2 8700  ax-cnex 10192  ax-resscn 10193  ax-1cn 10194  ax-icn 10195  ax-addcl 10196  ax-addrcl 10197  ax-mulcl 10198  ax-mulrcl 10199  ax-mulcom 10200  ax-addass 10201  ax-mulass 10202  ax-distr 10203  ax-i2m1 10204  ax-1ne0 10205  ax-1rid 10206  ax-rnegex 10207  ax-rrecex 10208  ax-cnre 10209  ax-pre-lttri 10210  ax-pre-lttrn 10211  ax-pre-ltadd 10212  ax-pre-mulgt0 10213  ax-pre-sup 10214
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-disj 4755  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5821  df-ord 5867  df-on 5868  df-lim 5869  df-suc 5870  df-iota 5992  df-fun 6031  df-fn 6032  df-f 6033  df-f1 6034  df-fo 6035  df-f1o 6036  df-fv 6037  df-isom 6038  df-riota 6752  df-ov 6794  df-oprab 6795  df-mpt2 6796  df-om 7211  df-1st 7313  df-2nd 7314  df-wrecs 7557  df-recs 7619  df-rdg 7657  df-1o 7711  df-2o 7712  df-oadd 7715  df-omul 7716  df-er 7894  df-ec 7896  df-qs 7900  df-map 8009  df-en 8108  df-dom 8109  df-sdom 8110  df-fin 8111  df-sup 8502  df-inf 8503  df-oi 8569  df-card 8963  df-acn 8966  df-cda 9190  df-pnf 10276  df-mnf 10277  df-xr 10278  df-ltxr 10279  df-le 10280  df-sub 10468  df-neg 10469  df-div 10885  df-nn 11221  df-2 11279  df-3 11280  df-n0 11493  df-xnn0 11564  df-z 11578  df-uz 11887  df-q 11990  df-rp 12029  df-fz 12527  df-fzo 12667  df-fl 12794  df-mod 12870  df-seq 13002  df-exp 13061  df-fac 13258  df-bc 13287  df-hash 13315  df-cj 14040  df-re 14041  df-im 14042  df-sqrt 14176  df-abs 14177  df-clim 14420  df-sum 14618  df-dvds 15183  df-gcd 15418  df-prm 15586  df-pc 15742  df-ndx 16060  df-slot 16061  df-base 16063  df-sets 16064  df-ress 16065  df-plusg 16155  df-0g 16303  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-submnd 17537  df-grp 17626  df-minusg 17627  df-sbg 17628  df-mulg 17742  df-subg 17792  df-nsg 17793  df-eqg 17794  df-ghm 17859  df-ga 17923  df-od 18148  df-pgp 18150  df-slw 18151
This theorem is referenced by:  sylow3  18248
  Copyright terms: Public domain W3C validator