Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sylow3lem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sylow3lem6 18770
 Description: Lemma for sylow3 18771, second part. Using the lemma sylow2a 18757, show that the number of sylow subgroups is equivalent mod 𝑃 to the number of fixed points under the group action. But 𝐾 is the unique element of the set of Sylow subgroups that is fixed under the group action, so there is exactly one fixed point and so ((♯‘(𝑃 pSyl 𝐺)) mod 𝑃) = 1. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sylow3.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
sylow3.g (𝜑𝐺 ∈ Grp)
sylow3.xf (𝜑𝑋 ∈ Fin)
sylow3.p (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
sylow3lem5.a + = (+g𝐺)
sylow3lem5.d = (-g𝐺)
sylow3lem5.k (𝜑𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
sylow3lem5.m = (𝑥𝐾, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)))
sylow3lem6.n 𝑁 = {𝑥𝑋 ∣ ∀𝑦𝑋 ((𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑠 ↔ (𝑦 + 𝑥) ∈ 𝑠)}
Assertion
Ref Expression
sylow3lem6 (𝜑 → ((♯‘(𝑃 pSyl 𝐺)) mod 𝑃) = 1)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,   𝑥,𝑠,𝑦,𝑧,   𝐾,𝑠,𝑥,𝑦,𝑧   𝑧,𝑁   𝑥,𝑋,𝑦,𝑧   𝐺,𝑠,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑠,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥, + ,𝑦,𝑧   𝑃,𝑠,𝑥,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   + (𝑠)   (𝑠)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑠)   𝑋(𝑠)

Proof of Theorem sylow3lem6
Dummy variables 𝑤 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2798 . . . . 5 (Base‘(𝐺s 𝐾)) = (Base‘(𝐺s 𝐾))
2 sylow3.x . . . . . 6 𝑋 = (Base‘𝐺)
3 sylow3.g . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
4 sylow3.xf . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
5 sylow3.p . . . . . 6 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
6 sylow3lem5.a . . . . . 6 + = (+g𝐺)
7 sylow3lem5.d . . . . . 6 = (-g𝐺)
8 sylow3lem5.k . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
9 sylow3lem5.m . . . . . 6 = (𝑥𝐾, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)))
102, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9sylow3lem5 18769 . . . . 5 (𝜑 ∈ ((𝐺s 𝐾) GrpAct (𝑃 pSyl 𝐺)))
11 eqid 2798 . . . . . . 7 (𝐺s 𝐾) = (𝐺s 𝐾)
1211slwpgp 18751 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) → 𝑃 pGrp (𝐺s 𝐾))
138, 12syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑃 pGrp (𝐺s 𝐾))
14 slwsubg 18748 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) → 𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺))
158, 14syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺))
1611subgbas 18296 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐾 = (Base‘(𝐺s 𝐾)))
1715, 16syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐾 = (Base‘(𝐺s 𝐾)))
182subgss 18293 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐾𝑋)
1915, 18syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐾𝑋)
204, 19ssfid 8743 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ Fin)
2117, 20eqeltrrd 2891 . . . . 5 (𝜑 → (Base‘(𝐺s 𝐾)) ∈ Fin)
22 pwfi 8821 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑋 ∈ Fin)
234, 22sylib 221 . . . . . 6 (𝜑 → 𝒫 𝑋 ∈ Fin)
24 slwsubg 18748 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) → 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺))
252subgss 18293 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑥𝑋)
2624, 25syl 17 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) → 𝑥𝑋)
2724, 26elpwd 4508 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋)
2827ssriv 3921 . . . . . 6 (𝑃 pSyl 𝐺) ⊆ 𝒫 𝑋
29 ssfi 8740 . . . . . 6 ((𝒫 𝑋 ∈ Fin ∧ (𝑃 pSyl 𝐺) ⊆ 𝒫 𝑋) → (𝑃 pSyl 𝐺) ∈ Fin)
3023, 28, 29sylancl 589 . . . . 5 (𝜑 → (𝑃 pSyl 𝐺) ∈ Fin)
31 eqid 2798 . . . . 5 {𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ∣ ∀𝑔 ∈ (Base‘(𝐺s 𝐾))(𝑔 𝑠) = 𝑠} = {𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ∣ ∀𝑔 ∈ (Base‘(𝐺s 𝐾))(𝑔 𝑠) = 𝑠}
32 eqid 2798 . . . . 5 {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ ({𝑧, 𝑤} ⊆ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ ∃ ∈ (Base‘(𝐺s 𝐾))( 𝑧) = 𝑤)} = {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ ({𝑧, 𝑤} ⊆ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ ∃ ∈ (Base‘(𝐺s 𝐾))( 𝑧) = 𝑤)}
331, 10, 13, 21, 30, 31, 32sylow2a 18757 . . . 4 (𝜑𝑃 ∥ ((♯‘(𝑃 pSyl 𝐺)) − (♯‘{𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ∣ ∀𝑔 ∈ (Base‘(𝐺s 𝐾))(𝑔 𝑠) = 𝑠})))
34 eqcom 2805 . . . . . . . . . . . . . 14 (ran (𝑧𝑠 ↦ ((𝑔 + 𝑧) 𝑔)) = 𝑠𝑠 = ran (𝑧𝑠 ↦ ((𝑔 + 𝑧) 𝑔)))
3519adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → 𝐾𝑋)
3635sselda 3917 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝑔𝐾) → 𝑔𝑋)
3736biantrurd 536 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝑔𝐾) → (𝑠 = ran (𝑧𝑠 ↦ ((𝑔 + 𝑧) 𝑔)) ↔ (𝑔𝑋𝑠 = ran (𝑧𝑠 ↦ ((𝑔 + 𝑧) 𝑔)))))
3834, 37syl5bb 286 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝑔𝐾) → (ran (𝑧𝑠 ↦ ((𝑔 + 𝑧) 𝑔)) = 𝑠 ↔ (𝑔𝑋𝑠 = ran (𝑧𝑠 ↦ ((𝑔 + 𝑧) 𝑔)))))
39 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝑔𝐾) → 𝑔𝐾)
40 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝑔𝐾) → 𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
41 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 = 𝑔𝑦 = 𝑠) → 𝑦 = 𝑠)
42 simpl 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 = 𝑔𝑦 = 𝑠) → 𝑥 = 𝑔)
4342oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 = 𝑔𝑦 = 𝑠) → (𝑥 + 𝑧) = (𝑔 + 𝑧))
4443, 42oveq12d 7163 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 = 𝑔𝑦 = 𝑠) → ((𝑥 + 𝑧) 𝑥) = ((𝑔 + 𝑧) 𝑔))
4541, 44mpteq12dv 5119 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 = 𝑔𝑦 = 𝑠) → (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)) = (𝑧𝑠 ↦ ((𝑔 + 𝑧) 𝑔)))
4645rneqd 5778 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 = 𝑔𝑦 = 𝑠) → ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)) = ran (𝑧𝑠 ↦ ((𝑔 + 𝑧) 𝑔)))
47 vex 3445 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑠 ∈ V
4847mptex 6973 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧𝑠 ↦ ((𝑔 + 𝑧) 𝑔)) ∈ V
4948rnex 7612 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ran (𝑧𝑠 ↦ ((𝑔 + 𝑧) 𝑔)) ∈ V
5046, 9, 49ovmpoa 7295 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑔𝐾𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → (𝑔 𝑠) = ran (𝑧𝑠 ↦ ((𝑔 + 𝑧) 𝑔)))
5139, 40, 50syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝑔𝐾) → (𝑔 𝑠) = ran (𝑧𝑠 ↦ ((𝑔 + 𝑧) 𝑔)))
5251eqeq1d 2800 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝑔𝐾) → ((𝑔 𝑠) = 𝑠 ↔ ran (𝑧𝑠 ↦ ((𝑔 + 𝑧) 𝑔)) = 𝑠))
53 slwsubg 18748 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) → 𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺))
5453ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝑔𝐾) → 𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺))
55 eqid 2798 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧𝑠 ↦ ((𝑔 + 𝑧) 𝑔)) = (𝑧𝑠 ↦ ((𝑔 + 𝑧) 𝑔))
56 sylow3lem6.n . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑁 = {𝑥𝑋 ∣ ∀𝑦𝑋 ((𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑠 ↔ (𝑦 + 𝑥) ∈ 𝑠)}
572, 6, 7, 55, 56conjnmzb 18406 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑔𝑁 ↔ (𝑔𝑋𝑠 = ran (𝑧𝑠 ↦ ((𝑔 + 𝑧) 𝑔)))))
5854, 57syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝑔𝐾) → (𝑔𝑁 ↔ (𝑔𝑋𝑠 = ran (𝑧𝑠 ↦ ((𝑔 + 𝑧) 𝑔)))))
5938, 52, 583bitr4d 314 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝑔𝐾) → ((𝑔 𝑠) = 𝑠𝑔𝑁))
6059ralbidva 3161 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → (∀𝑔𝐾 (𝑔 𝑠) = 𝑠 ↔ ∀𝑔𝐾 𝑔𝑁))
61 dfss3 3905 . . . . . . . . . . 11 (𝐾𝑁 ↔ ∀𝑔𝐾 𝑔𝑁)
6260, 61bitr4di 292 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → (∀𝑔𝐾 (𝑔 𝑠) = 𝑠𝐾𝑁))
6317adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → 𝐾 = (Base‘(𝐺s 𝐾)))
6463raleqdv 3365 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → (∀𝑔𝐾 (𝑔 𝑠) = 𝑠 ↔ ∀𝑔 ∈ (Base‘(𝐺s 𝐾))(𝑔 𝑠) = 𝑠))
65 eqid 2798 . . . . . . . . . . . . 13 (Base‘(𝐺s 𝑁)) = (Base‘(𝐺s 𝑁))
663ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝐾𝑁) → 𝐺 ∈ Grp)
6756, 2, 6nmzsubg 18330 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐺 ∈ Grp → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
6866, 67syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝐾𝑁) → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
69 eqid 2798 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐺s 𝑁) = (𝐺s 𝑁)
7069subgbas 18296 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑁 = (Base‘(𝐺s 𝑁)))
7168, 70syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝐾𝑁) → 𝑁 = (Base‘(𝐺s 𝑁)))
724ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝐾𝑁) → 𝑋 ∈ Fin)
732subgss 18293 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑁𝑋)
7468, 73syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝐾𝑁) → 𝑁𝑋)
7572, 74ssfid 8743 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝐾𝑁) → 𝑁 ∈ Fin)
7671, 75eqeltrrd 2891 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝐾𝑁) → (Base‘(𝐺s 𝑁)) ∈ Fin)
778ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝐾𝑁) → 𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
78 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝐾𝑁) → 𝐾𝑁)
7969subgslw 18754 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ 𝐾𝑁) → 𝐾 ∈ (𝑃 pSyl (𝐺s 𝑁)))
8068, 77, 78, 79syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝐾𝑁) → 𝐾 ∈ (𝑃 pSyl (𝐺s 𝑁)))
81 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝐾𝑁) → 𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
8253ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝐾𝑁) → 𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺))
8356, 2, 6ssnmz 18331 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑠𝑁)
8482, 83syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝐾𝑁) → 𝑠𝑁)
8569subgslw 18754 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ 𝑠𝑁) → 𝑠 ∈ (𝑃 pSyl (𝐺s 𝑁)))
8668, 81, 84, 85syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝐾𝑁) → 𝑠 ∈ (𝑃 pSyl (𝐺s 𝑁)))
872fvexi 6669 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑋 ∈ V
8856, 87rabex2 5205 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑁 ∈ V
8969, 6ressplusg 16624 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ V → + = (+g‘(𝐺s 𝑁)))
9088, 89ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 + = (+g‘(𝐺s 𝑁))
91 eqid 2798 . . . . . . . . . . . . 13 (-g‘(𝐺s 𝑁)) = (-g‘(𝐺s 𝑁))
9265, 76, 80, 86, 90, 91sylow2 18764 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝐾𝑁) → ∃𝑔 ∈ (Base‘(𝐺s 𝑁))𝐾 = ran (𝑧𝑠 ↦ ((𝑔 + 𝑧)(-g‘(𝐺s 𝑁))𝑔)))
9356, 2, 6, 69nmznsg 18333 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑠 ∈ (NrmSGrp‘(𝐺s 𝑁)))
9482, 93syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝐾𝑁) → 𝑠 ∈ (NrmSGrp‘(𝐺s 𝑁)))
95 eqid 2798 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧𝑠 ↦ ((𝑔 + 𝑧)(-g‘(𝐺s 𝑁))𝑔)) = (𝑧𝑠 ↦ ((𝑔 + 𝑧)(-g‘(𝐺s 𝑁))𝑔))
9665, 90, 91, 95conjnsg 18407 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑠 ∈ (NrmSGrp‘(𝐺s 𝑁)) ∧ 𝑔 ∈ (Base‘(𝐺s 𝑁))) → 𝑠 = ran (𝑧𝑠 ↦ ((𝑔 + 𝑧)(-g‘(𝐺s 𝑁))𝑔)))
9794, 96sylan 583 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑔 ∈ (Base‘(𝐺s 𝑁))) → 𝑠 = ran (𝑧𝑠 ↦ ((𝑔 + 𝑧)(-g‘(𝐺s 𝑁))𝑔)))
98 eqeq2 2810 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 = ran (𝑧𝑠 ↦ ((𝑔 + 𝑧)(-g‘(𝐺s 𝑁))𝑔)) → (𝑠 = 𝐾𝑠 = ran (𝑧𝑠 ↦ ((𝑔 + 𝑧)(-g‘(𝐺s 𝑁))𝑔))))
9997, 98syl5ibrcom 250 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑔 ∈ (Base‘(𝐺s 𝑁))) → (𝐾 = ran (𝑧𝑠 ↦ ((𝑔 + 𝑧)(-g‘(𝐺s 𝑁))𝑔)) → 𝑠 = 𝐾))
10099rexlimdva 3244 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝐾𝑁) → (∃𝑔 ∈ (Base‘(𝐺s 𝑁))𝐾 = ran (𝑧𝑠 ↦ ((𝑔 + 𝑧)(-g‘(𝐺s 𝑁))𝑔)) → 𝑠 = 𝐾))
10192, 100mpd 15 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝐾𝑁) → 𝑠 = 𝐾)
102 simpr 488 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝑠 = 𝐾) → 𝑠 = 𝐾)
10315ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝑠 = 𝐾) → 𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺))
104102, 103eqeltrd 2890 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝑠 = 𝐾) → 𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺))
105104, 83syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝑠 = 𝐾) → 𝑠𝑁)
106102, 105eqsstrrd 3956 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝑠 = 𝐾) → 𝐾𝑁)
107101, 106impbida 800 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → (𝐾𝑁𝑠 = 𝐾))
10862, 64, 1073bitr3d 312 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → (∀𝑔 ∈ (Base‘(𝐺s 𝐾))(𝑔 𝑠) = 𝑠𝑠 = 𝐾))
109108rabbidva 3426 . . . . . . . 8 (𝜑 → {𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ∣ ∀𝑔 ∈ (Base‘(𝐺s 𝐾))(𝑔 𝑠) = 𝑠} = {𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ∣ 𝑠 = 𝐾})
110 rabsn 4620 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) → {𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ∣ 𝑠 = 𝐾} = {𝐾})
1118, 110syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → {𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ∣ 𝑠 = 𝐾} = {𝐾})
112109, 111eqtrd 2833 . . . . . . 7 (𝜑 → {𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ∣ ∀𝑔 ∈ (Base‘(𝐺s 𝐾))(𝑔 𝑠) = 𝑠} = {𝐾})
113112fveq2d 6659 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘{𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ∣ ∀𝑔 ∈ (Base‘(𝐺s 𝐾))(𝑔 𝑠) = 𝑠}) = (♯‘{𝐾}))
114 hashsng 13746 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) → (♯‘{𝐾}) = 1)
1158, 114syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘{𝐾}) = 1)
116113, 115eqtrd 2833 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘{𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ∣ ∀𝑔 ∈ (Base‘(𝐺s 𝐾))(𝑔 𝑠) = 𝑠}) = 1)
117116oveq2d 7161 . . . 4 (𝜑 → ((♯‘(𝑃 pSyl 𝐺)) − (♯‘{𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ∣ ∀𝑔 ∈ (Base‘(𝐺s 𝐾))(𝑔 𝑠) = 𝑠})) = ((♯‘(𝑃 pSyl 𝐺)) − 1))
11833, 117breqtrd 5060 . . 3 (𝜑𝑃 ∥ ((♯‘(𝑃 pSyl 𝐺)) − 1))
119 prmnn 16028 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
1205, 119syl 17 . . . 4 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
121 hashcl 13733 . . . . . 6 ((𝑃 pSyl 𝐺) ∈ Fin → (♯‘(𝑃 pSyl 𝐺)) ∈ ℕ0)
12230, 121syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘(𝑃 pSyl 𝐺)) ∈ ℕ0)
123122nn0zd 12093 . . . 4 (𝜑 → (♯‘(𝑃 pSyl 𝐺)) ∈ ℤ)
124 1zzd 12021 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
125 moddvds 15630 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (♯‘(𝑃 pSyl 𝐺)) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (((♯‘(𝑃 pSyl 𝐺)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ ((♯‘(𝑃 pSyl 𝐺)) − 1)))
126120, 123, 124, 125syl3anc 1368 . . 3 (𝜑 → (((♯‘(𝑃 pSyl 𝐺)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ ((♯‘(𝑃 pSyl 𝐺)) − 1)))
127118, 126mpbird 260 . 2 (𝜑 → ((♯‘(𝑃 pSyl 𝐺)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
128 prmuz2 16050 . . 3 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ‘2))
129 eluz2b2 12329 . . . 4 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑃 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑃))
130 nnre 11650 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℝ)
131 1mod 13286 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃) → (1 mod 𝑃) = 1)
132130, 131sylan 583 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑃) → (1 mod 𝑃) = 1)
133129, 132sylbi 220 . . 3 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → (1 mod 𝑃) = 1)
1345, 128, 1333syl 18 . 2 (𝜑 → (1 mod 𝑃) = 1)
135127, 134eqtrd 2833 1 (𝜑 → ((♯‘(𝑃 pSyl 𝐺)) mod 𝑃) = 1)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106  ∃wrex 3107  {crab 3110  Vcvv 3442   ⊆ wss 3883  𝒫 cpw 4500  {csn 4528  {cpr 4530   class class class wbr 5034  {copab 5096   ↦ cmpt 5114  ran crn 5524  ‘cfv 6332  (class class class)co 7145   ∈ cmpo 7147  Fincfn 8510  ℝcr 10543  1c1 10545   < clt 10682   − cmin 10877  ℕcn 11643  2c2 11698  ℕ0cn0 11903  ℤcz 11989  ℤ≥cuz 12251   mod cmo 13252  ♯chash 13706   ∥ cdvds 15619  ℙcprime 16025  Basecbs 16495   ↾s cress 16496  +gcplusg 16577  Grpcgrp 18115  -gcsg 18117  SubGrpcsubg 18286  NrmSGrpcnsg 18287   pGrp cpgp 18667   pSyl cslw 18668 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5158  ax-sep 5171  ax-nul 5178  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7454  ax-inf2 9106  ax-cnex 10600  ax-resscn 10601  ax-1cn 10602  ax-icn 10603  ax-addcl 10604  ax-addrcl 10605  ax-mulcl 10606  ax-mulrcl 10607  ax-mulcom 10608  ax-addass 10609  ax-mulass 10610  ax-distr 10611  ax-i2m1 10612  ax-1ne0 10613  ax-1rid 10614  ax-rnegex 10615  ax-rrecex 10616  ax-cnre 10617  ax-pre-lttri 10618  ax-pre-lttrn 10619  ax-pre-ltadd 10620  ax-pre-mulgt0 10621  ax-pre-sup 10622 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3444  df-sbc 3723  df-csb 3831  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4805  df-int 4843  df-iun 4887  df-disj 5000  df-br 5035  df-opab 5097  df-mpt 5115  df-tr 5141  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6334  df-fn 6335  df-f 6336  df-f1 6337  df-fo 6338  df-f1o 6339  df-fv 6340  df-isom 6341  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7574  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7948  df-recs 8009  df-rdg 8047  df-1o 8103  df-2o 8104  df-oadd 8107  df-omul 8108  df-er 8290  df-ec 8292  df-qs 8296  df-map 8409  df-en 8511  df-dom 8512  df-sdom 8513  df-fin 8514  df-sup 8908  df-inf 8909  df-oi 8976  df-dju 9332  df-card 9370  df-acn 9373  df-pnf 10684  df-mnf 10685  df-xr 10686  df-ltxr 10687  df-le 10688  df-sub 10879  df-neg 10880  df-div 11305  df-nn 11644  df-2 11706  df-3 11707  df-n0 11904  df-xnn0 11976  df-z 11990  df-uz 12252  df-q 12357  df-rp 12398  df-fz 12906  df-fzo 13049  df-fl 13177  df-mod 13253  df-seq 13385  df-exp 13446  df-fac 13650  df-bc 13679  df-hash 13707  df-cj 14470  df-re 14471  df-im 14472  df-sqrt 14606  df-abs 14607  df-clim 14857  df-sum 15055  df-dvds 15620  df-gcd 15854  df-prm 16026  df-pc 16184  df-ndx 16498  df-slot 16499  df-base 16501  df-sets 16502  df-ress 16503  df-plusg 16590  df-0g 16727  df-mgm 17864  df-sgrp 17913  df-mnd 17924  df-submnd 17969  df-grp 18118  df-minusg 18119  df-sbg 18120  df-mulg 18238  df-subg 18289  df-nsg 18290  df-eqg 18291  df-ghm 18369  df-ga 18433  df-od 18669  df-pgp 18671  df-slw 18672 This theorem is referenced by:  sylow3  18771
 Copyright terms: Public domain W3C validator