MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sylow3lem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sylow3lem6 19541
Description: Lemma for sylow3 19542, second part. Using the lemma sylow2a 19528, show that the number of sylow subgroups is equivalent mod 𝑃 to the number of fixed points under the group action. But 𝐾 is the unique element of the set of Sylow subgroups that is fixed under the group action, so there is exactly one fixed point and so ((♯‘(𝑃 pSyl 𝐺)) mod 𝑃) = 1. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sylow3.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
sylow3.g (𝜑𝐺 ∈ Grp)
sylow3.xf (𝜑𝑋 ∈ Fin)
sylow3.p (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
sylow3lem5.a + = (+g𝐺)
sylow3lem5.d = (-g𝐺)
sylow3lem5.k (𝜑𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
sylow3lem5.m = (𝑥𝐾, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)))
sylow3lem6.n 𝑁 = {𝑥𝑋 ∣ ∀𝑦𝑋 ((𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑠 ↔ (𝑦 + 𝑥) ∈ 𝑠)}
Assertion
Ref Expression
sylow3lem6 (𝜑 → ((♯‘(𝑃 pSyl 𝐺)) mod 𝑃) = 1)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,   𝑥,𝑠,𝑦,𝑧,   𝐾,𝑠,𝑥,𝑦,𝑧   𝑧,𝑁   𝑥,𝑋,𝑦,𝑧   𝐺,𝑠,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑠,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥, + ,𝑦,𝑧   𝑃,𝑠,𝑥,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   + (𝑠)   (𝑠)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑠)   𝑋(𝑠)

Proof of Theorem sylow3lem6
Dummy variables 𝑤 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2730 . . . . 5 (Base‘(𝐺s 𝐾)) = (Base‘(𝐺s 𝐾))
2 sylow3.x . . . . . 6 𝑋 = (Base‘𝐺)
3 sylow3.g . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
4 sylow3.xf . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
5 sylow3.p . . . . . 6 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
6 sylow3lem5.a . . . . . 6 + = (+g𝐺)
7 sylow3lem5.d . . . . . 6 = (-g𝐺)
8 sylow3lem5.k . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
9 sylow3lem5.m . . . . . 6 = (𝑥𝐾, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)))
102, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9sylow3lem5 19540 . . . . 5 (𝜑 ∈ ((𝐺s 𝐾) GrpAct (𝑃 pSyl 𝐺)))
11 eqid 2730 . . . . . . 7 (𝐺s 𝐾) = (𝐺s 𝐾)
1211slwpgp 19522 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) → 𝑃 pGrp (𝐺s 𝐾))
138, 12syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑃 pGrp (𝐺s 𝐾))
14 slwsubg 19519 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) → 𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺))
158, 14syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺))
1611subgbas 19046 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐾 = (Base‘(𝐺s 𝐾)))
1715, 16syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐾 = (Base‘(𝐺s 𝐾)))
182subgss 19043 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐾𝑋)
1915, 18syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐾𝑋)
204, 19ssfid 9269 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ Fin)
2117, 20eqeltrrd 2832 . . . . 5 (𝜑 → (Base‘(𝐺s 𝐾)) ∈ Fin)
22 pwfi 9180 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑋 ∈ Fin)
234, 22sylib 217 . . . . . 6 (𝜑 → 𝒫 𝑋 ∈ Fin)
24 slwsubg 19519 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) → 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺))
252subgss 19043 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑥𝑋)
2624, 25syl 17 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) → 𝑥𝑋)
2724, 26elpwd 4607 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋)
2827ssriv 3985 . . . . . 6 (𝑃 pSyl 𝐺) ⊆ 𝒫 𝑋
29 ssfi 9175 . . . . . 6 ((𝒫 𝑋 ∈ Fin ∧ (𝑃 pSyl 𝐺) ⊆ 𝒫 𝑋) → (𝑃 pSyl 𝐺) ∈ Fin)
3023, 28, 29sylancl 584 . . . . 5 (𝜑 → (𝑃 pSyl 𝐺) ∈ Fin)
31 eqid 2730 . . . . 5 {𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ∣ ∀𝑔 ∈ (Base‘(𝐺s 𝐾))(𝑔 𝑠) = 𝑠} = {𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ∣ ∀𝑔 ∈ (Base‘(𝐺s 𝐾))(𝑔 𝑠) = 𝑠}
32 eqid 2730 . . . . 5 {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ ({𝑧, 𝑤} ⊆ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ ∃ ∈ (Base‘(𝐺s 𝐾))( 𝑧) = 𝑤)} = {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ ({𝑧, 𝑤} ⊆ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ ∃ ∈ (Base‘(𝐺s 𝐾))( 𝑧) = 𝑤)}
331, 10, 13, 21, 30, 31, 32sylow2a 19528 . . . 4 (𝜑𝑃 ∥ ((♯‘(𝑃 pSyl 𝐺)) − (♯‘{𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ∣ ∀𝑔 ∈ (Base‘(𝐺s 𝐾))(𝑔 𝑠) = 𝑠})))
34 eqcom 2737 . . . . . . . . . . . . . 14 (ran (𝑧𝑠 ↦ ((𝑔 + 𝑧) 𝑔)) = 𝑠𝑠 = ran (𝑧𝑠 ↦ ((𝑔 + 𝑧) 𝑔)))
3519adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → 𝐾𝑋)
3635sselda 3981 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝑔𝐾) → 𝑔𝑋)
3736biantrurd 531 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝑔𝐾) → (𝑠 = ran (𝑧𝑠 ↦ ((𝑔 + 𝑧) 𝑔)) ↔ (𝑔𝑋𝑠 = ran (𝑧𝑠 ↦ ((𝑔 + 𝑧) 𝑔)))))
3834, 37bitrid 282 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝑔𝐾) → (ran (𝑧𝑠 ↦ ((𝑔 + 𝑧) 𝑔)) = 𝑠 ↔ (𝑔𝑋𝑠 = ran (𝑧𝑠 ↦ ((𝑔 + 𝑧) 𝑔)))))
39 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝑔𝐾) → 𝑔𝐾)
40 simplr 765 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝑔𝐾) → 𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
41 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 = 𝑔𝑦 = 𝑠) → 𝑦 = 𝑠)
42 simpl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 = 𝑔𝑦 = 𝑠) → 𝑥 = 𝑔)
4342oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 = 𝑔𝑦 = 𝑠) → (𝑥 + 𝑧) = (𝑔 + 𝑧))
4443, 42oveq12d 7429 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 = 𝑔𝑦 = 𝑠) → ((𝑥 + 𝑧) 𝑥) = ((𝑔 + 𝑧) 𝑔))
4541, 44mpteq12dv 5238 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 = 𝑔𝑦 = 𝑠) → (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)) = (𝑧𝑠 ↦ ((𝑔 + 𝑧) 𝑔)))
4645rneqd 5936 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 = 𝑔𝑦 = 𝑠) → ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)) = ran (𝑧𝑠 ↦ ((𝑔 + 𝑧) 𝑔)))
47 vex 3476 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑠 ∈ V
4847mptex 7226 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧𝑠 ↦ ((𝑔 + 𝑧) 𝑔)) ∈ V
4948rnex 7905 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ran (𝑧𝑠 ↦ ((𝑔 + 𝑧) 𝑔)) ∈ V
5046, 9, 49ovmpoa 7565 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑔𝐾𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → (𝑔 𝑠) = ran (𝑧𝑠 ↦ ((𝑔 + 𝑧) 𝑔)))
5139, 40, 50syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝑔𝐾) → (𝑔 𝑠) = ran (𝑧𝑠 ↦ ((𝑔 + 𝑧) 𝑔)))
5251eqeq1d 2732 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝑔𝐾) → ((𝑔 𝑠) = 𝑠 ↔ ran (𝑧𝑠 ↦ ((𝑔 + 𝑧) 𝑔)) = 𝑠))
53 slwsubg 19519 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) → 𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺))
5453ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝑔𝐾) → 𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺))
55 eqid 2730 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧𝑠 ↦ ((𝑔 + 𝑧) 𝑔)) = (𝑧𝑠 ↦ ((𝑔 + 𝑧) 𝑔))
56 sylow3lem6.n . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑁 = {𝑥𝑋 ∣ ∀𝑦𝑋 ((𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑠 ↔ (𝑦 + 𝑥) ∈ 𝑠)}
572, 6, 7, 55, 56conjnmzb 19167 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑔𝑁 ↔ (𝑔𝑋𝑠 = ran (𝑧𝑠 ↦ ((𝑔 + 𝑧) 𝑔)))))
5854, 57syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝑔𝐾) → (𝑔𝑁 ↔ (𝑔𝑋𝑠 = ran (𝑧𝑠 ↦ ((𝑔 + 𝑧) 𝑔)))))
5938, 52, 583bitr4d 310 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝑔𝐾) → ((𝑔 𝑠) = 𝑠𝑔𝑁))
6059ralbidva 3173 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → (∀𝑔𝐾 (𝑔 𝑠) = 𝑠 ↔ ∀𝑔𝐾 𝑔𝑁))
61 dfss3 3969 . . . . . . . . . . 11 (𝐾𝑁 ↔ ∀𝑔𝐾 𝑔𝑁)
6260, 61bitr4di 288 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → (∀𝑔𝐾 (𝑔 𝑠) = 𝑠𝐾𝑁))
6317adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → 𝐾 = (Base‘(𝐺s 𝐾)))
6463raleqdv 3323 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → (∀𝑔𝐾 (𝑔 𝑠) = 𝑠 ↔ ∀𝑔 ∈ (Base‘(𝐺s 𝐾))(𝑔 𝑠) = 𝑠))
65 eqid 2730 . . . . . . . . . . . . 13 (Base‘(𝐺s 𝑁)) = (Base‘(𝐺s 𝑁))
663ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝐾𝑁) → 𝐺 ∈ Grp)
6756, 2, 6nmzsubg 19081 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐺 ∈ Grp → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
6866, 67syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝐾𝑁) → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
69 eqid 2730 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐺s 𝑁) = (𝐺s 𝑁)
7069subgbas 19046 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑁 = (Base‘(𝐺s 𝑁)))
7168, 70syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝐾𝑁) → 𝑁 = (Base‘(𝐺s 𝑁)))
724ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝐾𝑁) → 𝑋 ∈ Fin)
732subgss 19043 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑁𝑋)
7468, 73syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝐾𝑁) → 𝑁𝑋)
7572, 74ssfid 9269 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝐾𝑁) → 𝑁 ∈ Fin)
7671, 75eqeltrrd 2832 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝐾𝑁) → (Base‘(𝐺s 𝑁)) ∈ Fin)
778ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝐾𝑁) → 𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
78 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝐾𝑁) → 𝐾𝑁)
7969subgslw 19525 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ 𝐾𝑁) → 𝐾 ∈ (𝑃 pSyl (𝐺s 𝑁)))
8068, 77, 78, 79syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝐾𝑁) → 𝐾 ∈ (𝑃 pSyl (𝐺s 𝑁)))
81 simplr 765 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝐾𝑁) → 𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
8253ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝐾𝑁) → 𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺))
8356, 2, 6ssnmz 19082 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑠𝑁)
8482, 83syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝐾𝑁) → 𝑠𝑁)
8569subgslw 19525 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ 𝑠𝑁) → 𝑠 ∈ (𝑃 pSyl (𝐺s 𝑁)))
8668, 81, 84, 85syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝐾𝑁) → 𝑠 ∈ (𝑃 pSyl (𝐺s 𝑁)))
872fvexi 6904 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑋 ∈ V
8856, 87rabex2 5333 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑁 ∈ V
8969, 6ressplusg 17239 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ V → + = (+g‘(𝐺s 𝑁)))
9088, 89ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 + = (+g‘(𝐺s 𝑁))
91 eqid 2730 . . . . . . . . . . . . 13 (-g‘(𝐺s 𝑁)) = (-g‘(𝐺s 𝑁))
9265, 76, 80, 86, 90, 91sylow2 19535 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝐾𝑁) → ∃𝑔 ∈ (Base‘(𝐺s 𝑁))𝐾 = ran (𝑧𝑠 ↦ ((𝑔 + 𝑧)(-g‘(𝐺s 𝑁))𝑔)))
9356, 2, 6, 69nmznsg 19084 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑠 ∈ (NrmSGrp‘(𝐺s 𝑁)))
9482, 93syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝐾𝑁) → 𝑠 ∈ (NrmSGrp‘(𝐺s 𝑁)))
95 eqid 2730 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧𝑠 ↦ ((𝑔 + 𝑧)(-g‘(𝐺s 𝑁))𝑔)) = (𝑧𝑠 ↦ ((𝑔 + 𝑧)(-g‘(𝐺s 𝑁))𝑔))
9665, 90, 91, 95conjnsg 19168 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑠 ∈ (NrmSGrp‘(𝐺s 𝑁)) ∧ 𝑔 ∈ (Base‘(𝐺s 𝑁))) → 𝑠 = ran (𝑧𝑠 ↦ ((𝑔 + 𝑧)(-g‘(𝐺s 𝑁))𝑔)))
9794, 96sylan 578 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑔 ∈ (Base‘(𝐺s 𝑁))) → 𝑠 = ran (𝑧𝑠 ↦ ((𝑔 + 𝑧)(-g‘(𝐺s 𝑁))𝑔)))
98 eqeq2 2742 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 = ran (𝑧𝑠 ↦ ((𝑔 + 𝑧)(-g‘(𝐺s 𝑁))𝑔)) → (𝑠 = 𝐾𝑠 = ran (𝑧𝑠 ↦ ((𝑔 + 𝑧)(-g‘(𝐺s 𝑁))𝑔))))
9997, 98syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 𝑔 ∈ (Base‘(𝐺s 𝑁))) → (𝐾 = ran (𝑧𝑠 ↦ ((𝑔 + 𝑧)(-g‘(𝐺s 𝑁))𝑔)) → 𝑠 = 𝐾))
10099rexlimdva 3153 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝐾𝑁) → (∃𝑔 ∈ (Base‘(𝐺s 𝑁))𝐾 = ran (𝑧𝑠 ↦ ((𝑔 + 𝑧)(-g‘(𝐺s 𝑁))𝑔)) → 𝑠 = 𝐾))
10192, 100mpd 15 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝐾𝑁) → 𝑠 = 𝐾)
102 simpr 483 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝑠 = 𝐾) → 𝑠 = 𝐾)
10315ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝑠 = 𝐾) → 𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺))
104102, 103eqeltrd 2831 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝑠 = 𝐾) → 𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺))
105104, 83syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝑠 = 𝐾) → 𝑠𝑁)
106102, 105eqsstrrd 4020 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝑠 = 𝐾) → 𝐾𝑁)
107101, 106impbida 797 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → (𝐾𝑁𝑠 = 𝐾))
10862, 64, 1073bitr3d 308 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → (∀𝑔 ∈ (Base‘(𝐺s 𝐾))(𝑔 𝑠) = 𝑠𝑠 = 𝐾))
109108rabbidva 3437 . . . . . . . 8 (𝜑 → {𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ∣ ∀𝑔 ∈ (Base‘(𝐺s 𝐾))(𝑔 𝑠) = 𝑠} = {𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ∣ 𝑠 = 𝐾})
110 rabsn 4724 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) → {𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ∣ 𝑠 = 𝐾} = {𝐾})
1118, 110syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → {𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ∣ 𝑠 = 𝐾} = {𝐾})
112109, 111eqtrd 2770 . . . . . . 7 (𝜑 → {𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ∣ ∀𝑔 ∈ (Base‘(𝐺s 𝐾))(𝑔 𝑠) = 𝑠} = {𝐾})
113112fveq2d 6894 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘{𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ∣ ∀𝑔 ∈ (Base‘(𝐺s 𝐾))(𝑔 𝑠) = 𝑠}) = (♯‘{𝐾}))
114 hashsng 14333 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) → (♯‘{𝐾}) = 1)
1158, 114syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘{𝐾}) = 1)
116113, 115eqtrd 2770 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘{𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ∣ ∀𝑔 ∈ (Base‘(𝐺s 𝐾))(𝑔 𝑠) = 𝑠}) = 1)
117116oveq2d 7427 . . . 4 (𝜑 → ((♯‘(𝑃 pSyl 𝐺)) − (♯‘{𝑠 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ∣ ∀𝑔 ∈ (Base‘(𝐺s 𝐾))(𝑔 𝑠) = 𝑠})) = ((♯‘(𝑃 pSyl 𝐺)) − 1))
11833, 117breqtrd 5173 . . 3 (𝜑𝑃 ∥ ((♯‘(𝑃 pSyl 𝐺)) − 1))
119 prmnn 16615 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
1205, 119syl 17 . . . 4 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
121 hashcl 14320 . . . . . 6 ((𝑃 pSyl 𝐺) ∈ Fin → (♯‘(𝑃 pSyl 𝐺)) ∈ ℕ0)
12230, 121syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘(𝑃 pSyl 𝐺)) ∈ ℕ0)
123122nn0zd 12588 . . . 4 (𝜑 → (♯‘(𝑃 pSyl 𝐺)) ∈ ℤ)
124 1zzd 12597 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
125 moddvds 16212 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (♯‘(𝑃 pSyl 𝐺)) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (((♯‘(𝑃 pSyl 𝐺)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ ((♯‘(𝑃 pSyl 𝐺)) − 1)))
126120, 123, 124, 125syl3anc 1369 . . 3 (𝜑 → (((♯‘(𝑃 pSyl 𝐺)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ ((♯‘(𝑃 pSyl 𝐺)) − 1)))
127118, 126mpbird 256 . 2 (𝜑 → ((♯‘(𝑃 pSyl 𝐺)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
128 prmuz2 16637 . . 3 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ‘2))
129 eluz2b2 12909 . . . 4 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑃 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑃))
130 nnre 12223 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℝ)
131 1mod 13872 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃) → (1 mod 𝑃) = 1)
132130, 131sylan 578 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑃) → (1 mod 𝑃) = 1)
133129, 132sylbi 216 . . 3 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → (1 mod 𝑃) = 1)
1345, 128, 1333syl 18 . 2 (𝜑 → (1 mod 𝑃) = 1)
135127, 134eqtrd 2770 1 (𝜑 → ((♯‘(𝑃 pSyl 𝐺)) mod 𝑃) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1539  wcel 2104  wral 3059  wrex 3068  {crab 3430  Vcvv 3472  wss 3947  𝒫 cpw 4601  {csn 4627  {cpr 4629   class class class wbr 5147  {copab 5209  cmpt 5230  ran crn 5676  cfv 6542  (class class class)co 7411  cmpo 7413  Fincfn 8941  cr 11111  1c1 11113   < clt 11252  cmin 11448  cn 12216  2c2 12271  0cn0 12476  cz 12562  cuz 12826   mod cmo 13838  chash 14294  cdvds 16201  cprime 16612  Basecbs 17148  s cress 17177  +gcplusg 17201  Grpcgrp 18855  -gcsg 18857  SubGrpcsubg 19036  NrmSGrpcnsg 19037   pGrp cpgp 19435   pSyl cslw 19436
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-disj 5113  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-omul 8473  df-er 8705  df-ec 8707  df-qs 8711  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-acn 9939  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13971  df-exp 14032  df-fac 14238  df-bc 14267  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-sum 15637  df-dvds 16202  df-gcd 16440  df-prm 16613  df-pc 16774  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-0g 17391  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-mulg 18987  df-subg 19039  df-nsg 19040  df-eqg 19041  df-ghm 19128  df-ga 19195  df-od 19437  df-pgp 19439  df-slw 19440
This theorem is referenced by:  sylow3  19542
  Copyright terms: Public domain W3C validator