Theorem ssoninhaus 36429

Description: The ordinal topologies 1_o and 2_o are Hausdorff. (Contributed by Chen-Pang He, 10-Nov-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ssoninhaus	⊢ {1o, 2o} ⊆ (On ∩ Haus)

Proof of Theorem ssoninhaus

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1on 8423	. . 3 ⊢ 1o ∈ On
2		2on 8424	. . 3 ⊢ 2o ∈ On
3		prssi 4781	. . 3 ⊢ ((1o ∈ On ∧ 2o ∈ On) → {1o, 2o} ⊆ On)
4	1, 2, 3	mp2an 692	. 2 ⊢ {1o, 2o} ⊆ On
5		df1o2 8418	. . . . 5 ⊢ 1o = {∅}
6		pw0 4772	. . . . 5 ⊢ 𝒫 ∅ = {∅}
7	5, 6	eqtr4i 2755	. . . 4 ⊢ 1o = 𝒫 ∅
8		0ex 5257	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
9		dishaus 23302	. . . . 5 ⊢ (∅ ∈ V → 𝒫 ∅ ∈ Haus)
10	8, 9	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝒫 ∅ ∈ Haus
11	7, 10	eqeltri 2824	. . 3 ⊢ 1o ∈ Haus
12		df2o2 8420	. . . . 5 ⊢ 2o = {∅, {∅}}
13		pwpw0 4773	. . . . 5 ⊢ 𝒫 {∅} = {∅, {∅}}
14	12, 13	eqtr4i 2755	. . . 4 ⊢ 2o = 𝒫 {∅}
15		p0ex 5334	. . . . 5 ⊢ {∅} ∈ V
16		dishaus 23302	. . . . 5 ⊢ ({∅} ∈ V → 𝒫 {∅} ∈ Haus)
17	15, 16	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝒫 {∅} ∈ Haus
18	14, 17	eqeltri 2824	. . 3 ⊢ 2o ∈ Haus
19		prssi 4781	. . 3 ⊢ ((1o ∈ Haus ∧ 2o ∈ Haus) → {1o, 2o} ⊆ Haus)
20	11, 18, 19	mp2an 692	. 2 ⊢ {1o, 2o} ⊆ Haus
21	4, 20	ssini 4199	1 ⊢ {1o, 2o} ⊆ (On ∩ Haus)

Syntax hints:   ∈ wcel 2109  Vcvv 3444   ∩ cin 3910   ⊆ wss 3911  ∅c0 4292  𝒫 cpw 4559  {csn 4585  {cpr 4587  Oncon0 6320  1_oc1o 8404  2_oc2o 8405  Hauscha 23228

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-tr 5210  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-ord 6323  df-on 6324  df-suc 6326  df-1o 8411  df-2o 8412  df-top 22814  df-haus 23235

This theorem is referenced by:  onint1  36430  oninhaus  36431