Theorem ssoninhaus 33353

Description: The ordinal topologies 1_o and 2_o are Hausdorff. (Contributed by Chen-Pang He, 10-Nov-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ssoninhaus	⊢ {1o, 2o} ⊆ (On ∩ Haus)

Proof of Theorem ssoninhaus

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1on 7910	. . 3 ⊢ 1o ∈ On
2		2on 7912	. . 3 ⊢ 2o ∈ On
3		prssi 4624	. . 3 ⊢ ((1o ∈ On ∧ 2o ∈ On) → {1o, 2o} ⊆ On)
4	1, 2, 3	mp2an 680	. 2 ⊢ {1o, 2o} ⊆ On
5		df1o2 7916	. . . . 5 ⊢ 1o = {∅}
6		pw0 4615	. . . . 5 ⊢ 𝒫 ∅ = {∅}
7	5, 6	eqtr4i 2798	. . . 4 ⊢ 1o = 𝒫 ∅
8		0ex 5064	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
9		dishaus 21709	. . . . 5 ⊢ (∅ ∈ V → 𝒫 ∅ ∈ Haus)
10	8, 9	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝒫 ∅ ∈ Haus
11	7, 10	eqeltri 2855	. . 3 ⊢ 1o ∈ Haus
12		df2o2 7918	. . . . 5 ⊢ 2o = {∅, {∅}}
13		pwpw0 4616	. . . . 5 ⊢ 𝒫 {∅} = {∅, {∅}}
14	12, 13	eqtr4i 2798	. . . 4 ⊢ 2o = 𝒫 {∅}
15		p0ex 5133	. . . . 5 ⊢ {∅} ∈ V
16		dishaus 21709	. . . . 5 ⊢ ({∅} ∈ V → 𝒫 {∅} ∈ Haus)
17	15, 16	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝒫 {∅} ∈ Haus
18	14, 17	eqeltri 2855	. . 3 ⊢ 2o ∈ Haus
19		prssi 4624	. . 3 ⊢ ((1o ∈ Haus ∧ 2o ∈ Haus) → {1o, 2o} ⊆ Haus)
20	11, 18, 19	mp2an 680	. 2 ⊢ {1o, 2o} ⊆ Haus
21	4, 20	ssini 4089	1 ⊢ {1o, 2o} ⊆ (On ∩ Haus)

Syntax hints:   ∈ wcel 2051  Vcvv 3408   ∩ cin 3821   ⊆ wss 3822  ∅c0 4172  𝒫 cpw 4416  {csn 4435  {cpr 4437  Oncon0 6026  1_oc1o 7896  2_oc2o 7897  Hauscha 21635

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2743  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2752  df-cleq 2764  df-clel 2839  df-nfc 2911  df-ne 2961  df-ral 3086  df-rex 3087  df-rab 3090  df-v 3410  df-sbc 3675  df-dif 3825  df-un 3827  df-in 3829  df-ss 3836  df-pss 3838  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4709  df-br 4926  df-opab 4988  df-tr 5027  df-eprel 5313  df-po 5322  df-so 5323  df-fr 5362  df-we 5364  df-ord 6029  df-on 6030  df-suc 6032  df-1o 7903  df-2o 7904  df-top 21221  df-haus 21642

This theorem is referenced by:  onint1  33354  oninhaus  33355