Theorem ssoninhaus 36882

Description: The ordinal topologies 1_o and 2_o are Hausdorff. (Contributed by Chen-Pang He, 10-Nov-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ssoninhaus	⊢ {1o, 2o} ⊆ (On ∩ Haus)

Proof of Theorem ssoninhaus

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1on 8466	. . 3 ⊢ 1o ∈ On
2		2on 8467	. . 3 ⊢ 2o ∈ On
3		prssi 4791	. . 3 ⊢ ((1o ∈ On ∧ 2o ∈ On) → {1o, 2o} ⊆ On)
4	1, 2, 3	mp2an 704	. 2 ⊢ {1o, 2o} ⊆ On
5		df1o2 8460	. . . . 5 ⊢ 1o = {∅}
6		pw0 4782	. . . . 5 ⊢ 𝒫 ∅ = {∅}
7	5, 6	eqtr4i 2795	. . . 4 ⊢ 1o = 𝒫 ∅
8		0ex 5272	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
9		dishaus 23508	. . . . 5 ⊢ (∅ ∈ V → 𝒫 ∅ ∈ Haus)
10	8, 9	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝒫 ∅ ∈ Haus
11	7, 10	eqeltri 2865	. . 3 ⊢ 1o ∈ Haus
12		df2o2 8462	. . . . 5 ⊢ 2o = {∅, {∅}}
13		pwpw0 4783	. . . . 5 ⊢ 𝒫 {∅} = {∅, {∅}}
14	12, 13	eqtr4i 2795	. . . 4 ⊢ 2o = 𝒫 {∅}
15		p0ex 5356	. . . . 5 ⊢ {∅} ∈ V
16		dishaus 23508	. . . . 5 ⊢ ({∅} ∈ V → 𝒫 {∅} ∈ Haus)
17	15, 16	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝒫 {∅} ∈ Haus
18	14, 17	eqeltri 2865	. . 3 ⊢ 2o ∈ Haus
19		prssi 4791	. . 3 ⊢ ((1o ∈ Haus ∧ 2o ∈ Haus) → {1o, 2o} ⊆ Haus)
20	11, 18, 19	mp2an 704	. 2 ⊢ {1o, 2o} ⊆ Haus
21	4, 20	ssini 4200	1 ⊢ {1o, 2o} ⊆ (On ∩ Haus)

Syntax hints:   ∈ wcel 2149  Vcvv 3463   ∩ cin 3912   ⊆ wss 3913  ∅c0 4294  𝒫 cpw 4567  {csn 4594  {cpr 4596  Oncon0 6361  1_oc1o 8446  2_oc2o 8447  Hauscha 23434

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-sb 2098  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-br 5114  df-opab 5178  df-tr 5223  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-ord 6364  df-on 6365  df-suc 6367  df-1o 8453  df-2o 8454  df-top 23020  df-haus 23441

This theorem is referenced by:  onint1  36883  oninhaus  36884