Theorem ssoninhaus 36492

Description: The ordinal topologies 1_o and 2_o are Hausdorff. (Contributed by Chen-Pang He, 10-Nov-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ssoninhaus	⊢ {1o, 2o} ⊆ (On ∩ Haus)

Proof of Theorem ssoninhaus

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1on 8397	. . 3 ⊢ 1o ∈ On
2		2on 8398	. . 3 ⊢ 2o ∈ On
3		prssi 4770	. . 3 ⊢ ((1o ∈ On ∧ 2o ∈ On) → {1o, 2o} ⊆ On)
4	1, 2, 3	mp2an 692	. 2 ⊢ {1o, 2o} ⊆ On
5		df1o2 8392	. . . . 5 ⊢ 1o = {∅}
6		pw0 4761	. . . . 5 ⊢ 𝒫 ∅ = {∅}
7	5, 6	eqtr4i 2757	. . . 4 ⊢ 1o = 𝒫 ∅
8		0ex 5243	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
9		dishaus 23297	. . . . 5 ⊢ (∅ ∈ V → 𝒫 ∅ ∈ Haus)
10	8, 9	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝒫 ∅ ∈ Haus
11	7, 10	eqeltri 2827	. . 3 ⊢ 1o ∈ Haus
12		df2o2 8394	. . . . 5 ⊢ 2o = {∅, {∅}}
13		pwpw0 4762	. . . . 5 ⊢ 𝒫 {∅} = {∅, {∅}}
14	12, 13	eqtr4i 2757	. . . 4 ⊢ 2o = 𝒫 {∅}
15		p0ex 5320	. . . . 5 ⊢ {∅} ∈ V
16		dishaus 23297	. . . . 5 ⊢ ({∅} ∈ V → 𝒫 {∅} ∈ Haus)
17	15, 16	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝒫 {∅} ∈ Haus
18	14, 17	eqeltri 2827	. . 3 ⊢ 2o ∈ Haus
19		prssi 4770	. . 3 ⊢ ((1o ∈ Haus ∧ 2o ∈ Haus) → {1o, 2o} ⊆ Haus)
20	11, 18, 19	mp2an 692	. 2 ⊢ {1o, 2o} ⊆ Haus
21	4, 20	ssini 4187	1 ⊢ {1o, 2o} ⊆ (On ∩ Haus)

Syntax hints:   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436   ∩ cin 3896   ⊆ wss 3897  ∅c0 4280  𝒫 cpw 4547  {csn 4573  {cpr 4575  Oncon0 6306  1_oc1o 8378  2_oc2o 8379  Hauscha 23223

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-opab 5152  df-tr 5197  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-ord 6309  df-on 6310  df-suc 6312  df-1o 8385  df-2o 8386  df-top 22809  df-haus 23230

This theorem is referenced by:  onint1  36493  oninhaus  36494