Users' Mathboxes Mathbox for Chen-Pang He < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ssoninhaus Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ssoninhaus 36450
Description: The ordinal topologies 1o and 2o are Hausdorff. (Contributed by Chen-Pang He, 10-Nov-2015.)
Assertion
Ref Expression
ssoninhaus {1o, 2o} ⊆ (On ∩ Haus)

Proof of Theorem ssoninhaus
StepHypRef Expression
1 1on 8519 . . 3 1o ∈ On
2 2on 8521 . . 3 2o ∈ On
3 prssi 4820 . . 3 ((1o ∈ On ∧ 2o ∈ On) → {1o, 2o} ⊆ On)
41, 2, 3mp2an 692 . 2 {1o, 2o} ⊆ On
5 df1o2 8514 . . . . 5 1o = {∅}
6 pw0 4811 . . . . 5 𝒫 ∅ = {∅}
75, 6eqtr4i 2767 . . . 4 1o = 𝒫 ∅
8 0ex 5306 . . . . 5 ∅ ∈ V
9 dishaus 23391 . . . . 5 (∅ ∈ V → 𝒫 ∅ ∈ Haus)
108, 9ax-mp 5 . . . 4 𝒫 ∅ ∈ Haus
117, 10eqeltri 2836 . . 3 1o ∈ Haus
12 df2o2 8516 . . . . 5 2o = {∅, {∅}}
13 pwpw0 4812 . . . . 5 𝒫 {∅} = {∅, {∅}}
1412, 13eqtr4i 2767 . . . 4 2o = 𝒫 {∅}
15 p0ex 5383 . . . . 5 {∅} ∈ V
16 dishaus 23391 . . . . 5 ({∅} ∈ V → 𝒫 {∅} ∈ Haus)
1715, 16ax-mp 5 . . . 4 𝒫 {∅} ∈ Haus
1814, 17eqeltri 2836 . . 3 2o ∈ Haus
19 prssi 4820 . . 3 ((1o ∈ Haus ∧ 2o ∈ Haus) → {1o, 2o} ⊆ Haus)
2011, 18, 19mp2an 692 . 2 {1o, 2o} ⊆ Haus
214, 20ssini 4239 1 {1o, 2o} ⊆ (On ∩ Haus)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2107  Vcvv 3479  cin 3949  wss 3950  c0 4332  𝒫 cpw 4599  {csn 4625  {cpr 4627  Oncon0 6383  1oc1o 8500  2oc2o 8501  Hauscha 23317
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-sb 2064  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3436  df-v 3481  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-br 5143  df-opab 5205  df-tr 5259  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-ord 6386  df-on 6387  df-suc 6389  df-1o 8507  df-2o 8508  df-top 22901  df-haus 23324
This theorem is referenced by:  onint1  36451  oninhaus  36452
  Copyright terms: Public domain W3C validator