Theorem ssoninhaus 36809

Description: The ordinal topologies 1_o and 2_o are Hausdorff. (Contributed by Chen-Pang He, 10-Nov-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ssoninhaus	⊢ {1o, 2o} ⊆ (On ∩ Haus)

Proof of Theorem ssoninhaus

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1on 8451	. . 3 ⊢ 1o ∈ On
2		2on 8452	. . 3 ⊢ 2o ∈ On
3		prssi 4780	. . 3 ⊢ ((1o ∈ On ∧ 2o ∈ On) → {1o, 2o} ⊆ On)
4	1, 2, 3	mp2an 702	. 2 ⊢ {1o, 2o} ⊆ On
5		df1o2 8445	. . . . 5 ⊢ 1o = {∅}
6		pw0 4771	. . . . 5 ⊢ 𝒫 ∅ = {∅}
7	5, 6	eqtr4i 2789	. . . 4 ⊢ 1o = 𝒫 ∅
8		0ex 5258	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
9		dishaus 23443	. . . . 5 ⊢ (∅ ∈ V → 𝒫 ∅ ∈ Haus)
10	8, 9	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝒫 ∅ ∈ Haus
11	7, 10	eqeltri 2859	. . 3 ⊢ 1o ∈ Haus
12		df2o2 8447	. . . . 5 ⊢ 2o = {∅, {∅}}
13		pwpw0 4772	. . . . 5 ⊢ 𝒫 {∅} = {∅, {∅}}
14	12, 13	eqtr4i 2789	. . . 4 ⊢ 2o = 𝒫 {∅}
15		p0ex 5342	. . . . 5 ⊢ {∅} ∈ V
16		dishaus 23443	. . . . 5 ⊢ ({∅} ∈ V → 𝒫 {∅} ∈ Haus)
17	15, 16	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝒫 {∅} ∈ Haus
18	14, 17	eqeltri 2859	. . 3 ⊢ 2o ∈ Haus
19		prssi 4780	. . 3 ⊢ ((1o ∈ Haus ∧ 2o ∈ Haus) → {1o, 2o} ⊆ Haus)
20	11, 18, 19	mp2an 702	. 2 ⊢ {1o, 2o} ⊆ Haus
21	4, 20	ssini 4192	1 ⊢ {1o, 2o} ⊆ (On ∩ Haus)

Syntax hints:   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455   ∩ cin 3904   ⊆ wss 3905  ∅c0 4286  𝒫 cpw 4556  {csn 4583  {cpr 4585  Oncon0 6347  1_oc1o 8431  2_oc2o 8432  Hauscha 23369

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-ext 2735  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7719

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-sb 2092  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-ne 2959  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3416  df-v 3457  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5102  df-opab 5164  df-tr 5209  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-ord 6350  df-on 6351  df-suc 6353  df-1o 8438  df-2o 8439  df-top 22955  df-haus 23376

This theorem is referenced by:  onint1  36810  oninhaus  36811