Theorem ssoninhaus 36432

Description: The ordinal topologies 1_o and 2_o are Hausdorff. (Contributed by Chen-Pang He, 10-Nov-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ssoninhaus	⊢ {1o, 2o} ⊆ (On ∩ Haus)

Proof of Theorem ssoninhaus

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1on 8400	. . 3 ⊢ 1o ∈ On
2		2on 8401	. . 3 ⊢ 2o ∈ On
3		prssi 4772	. . 3 ⊢ ((1o ∈ On ∧ 2o ∈ On) → {1o, 2o} ⊆ On)
4	1, 2, 3	mp2an 692	. 2 ⊢ {1o, 2o} ⊆ On
5		df1o2 8395	. . . . 5 ⊢ 1o = {∅}
6		pw0 4763	. . . . 5 ⊢ 𝒫 ∅ = {∅}
7	5, 6	eqtr4i 2755	. . . 4 ⊢ 1o = 𝒫 ∅
8		0ex 5246	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
9		dishaus 23267	. . . . 5 ⊢ (∅ ∈ V → 𝒫 ∅ ∈ Haus)
10	8, 9	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝒫 ∅ ∈ Haus
11	7, 10	eqeltri 2824	. . 3 ⊢ 1o ∈ Haus
12		df2o2 8397	. . . . 5 ⊢ 2o = {∅, {∅}}
13		pwpw0 4764	. . . . 5 ⊢ 𝒫 {∅} = {∅, {∅}}
14	12, 13	eqtr4i 2755	. . . 4 ⊢ 2o = 𝒫 {∅}
15		p0ex 5323	. . . . 5 ⊢ {∅} ∈ V
16		dishaus 23267	. . . . 5 ⊢ ({∅} ∈ V → 𝒫 {∅} ∈ Haus)
17	15, 16	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝒫 {∅} ∈ Haus
18	14, 17	eqeltri 2824	. . 3 ⊢ 2o ∈ Haus
19		prssi 4772	. . 3 ⊢ ((1o ∈ Haus ∧ 2o ∈ Haus) → {1o, 2o} ⊆ Haus)
20	11, 18, 19	mp2an 692	. 2 ⊢ {1o, 2o} ⊆ Haus
21	4, 20	ssini 4191	1 ⊢ {1o, 2o} ⊆ (On ∩ Haus)

Syntax hints:   ∈ wcel 2109  Vcvv 3436   ∩ cin 3902   ⊆ wss 3903  ∅c0 4284  𝒫 cpw 4551  {csn 4577  {cpr 4579  Oncon0 6307  1_oc1o 8381  2_oc2o 8382  Hauscha 23193

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3395  df-v 3438  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-br 5093  df-opab 5155  df-tr 5200  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-ord 6310  df-on 6311  df-suc 6313  df-1o 8388  df-2o 8389  df-top 22779  df-haus 23200

This theorem is referenced by:  onint1  36433  oninhaus  36434