Theorem ssoninhaus 36644

Description: The ordinal topologies 1_o and 2_o are Hausdorff. (Contributed by Chen-Pang He, 10-Nov-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ssoninhaus	⊢ {1o, 2o} ⊆ (On ∩ Haus)

Proof of Theorem ssoninhaus

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1on 8409	. . 3 ⊢ 1o ∈ On
2		2on 8410	. . 3 ⊢ 2o ∈ On
3		prssi 4777	. . 3 ⊢ ((1o ∈ On ∧ 2o ∈ On) → {1o, 2o} ⊆ On)
4	1, 2, 3	mp2an 692	. 2 ⊢ {1o, 2o} ⊆ On
5		df1o2 8404	. . . . 5 ⊢ 1o = {∅}
6		pw0 4768	. . . . 5 ⊢ 𝒫 ∅ = {∅}
7	5, 6	eqtr4i 2762	. . . 4 ⊢ 1o = 𝒫 ∅
8		0ex 5252	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
9		dishaus 23328	. . . . 5 ⊢ (∅ ∈ V → 𝒫 ∅ ∈ Haus)
10	8, 9	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝒫 ∅ ∈ Haus
11	7, 10	eqeltri 2832	. . 3 ⊢ 1o ∈ Haus
12		df2o2 8406	. . . . 5 ⊢ 2o = {∅, {∅}}
13		pwpw0 4769	. . . . 5 ⊢ 𝒫 {∅} = {∅, {∅}}
14	12, 13	eqtr4i 2762	. . . 4 ⊢ 2o = 𝒫 {∅}
15		p0ex 5329	. . . . 5 ⊢ {∅} ∈ V
16		dishaus 23328	. . . . 5 ⊢ ({∅} ∈ V → 𝒫 {∅} ∈ Haus)
17	15, 16	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝒫 {∅} ∈ Haus
18	14, 17	eqeltri 2832	. . 3 ⊢ 2o ∈ Haus
19		prssi 4777	. . 3 ⊢ ((1o ∈ Haus ∧ 2o ∈ Haus) → {1o, 2o} ⊆ Haus)
20	11, 18, 19	mp2an 692	. 2 ⊢ {1o, 2o} ⊆ Haus
21	4, 20	ssini 4192	1 ⊢ {1o, 2o} ⊆ (On ∩ Haus)

Syntax hints:   ∈ wcel 2113  Vcvv 3440   ∩ cin 3900   ⊆ wss 3901  ∅c0 4285  𝒫 cpw 4554  {csn 4580  {cpr 4582  Oncon0 6317  1_oc1o 8390  2_oc2o 8391  Hauscha 23254

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-tr 5206  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-ord 6320  df-on 6321  df-suc 6323  df-1o 8397  df-2o 8398  df-top 22840  df-haus 23261

This theorem is referenced by:  onint1  36645  oninhaus  36646