Theorem ssoninhaus 37070

Description: The ordinal topologies 1_o and 2_o are Hausdorff. (Contributed by Chen-Pang He, 10-Nov-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ssoninhaus	⊢ {1o, 2o} ⊆ (On ∩ Haus)

Proof of Theorem ssoninhaus

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1on 8471	. . 3 ⊢ 1o ∈ On
2		2on 8472	. . 3 ⊢ 2o ∈ On
3		prssi 4782	. . 3 ⊢ ((1o ∈ On ∧ 2o ∈ On) → {1o, 2o} ⊆ On)
4	1, 2, 3	mp2an 705	. 2 ⊢ {1o, 2o} ⊆ On
5		df1o2 8465	. . . . 5 ⊢ 1o = {∅}
6		pw0 4773	. . . . 5 ⊢ 𝒫 ∅ = {∅}
7	5, 6	eqtr4i 2786	. . . 4 ⊢ 1o = 𝒫 ∅
8		0ex 5264	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
9		dishaus 23610	. . . . 5 ⊢ (∅ ∈ V → 𝒫 ∅ ∈ Haus)
10	8, 9	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝒫 ∅ ∈ Haus
11	7, 10	eqeltri 2856	. . 3 ⊢ 1o ∈ Haus
12		df2o2 8467	. . . . 5 ⊢ 2o = {∅, {∅}}
13		pwpw0 4774	. . . . 5 ⊢ 𝒫 {∅} = {∅, {∅}}
14	12, 13	eqtr4i 2786	. . . 4 ⊢ 2o = 𝒫 {∅}
15		p0ex 5349	. . . . 5 ⊢ {∅} ∈ V
16		dishaus 23610	. . . . 5 ⊢ ({∅} ∈ V → 𝒫 {∅} ∈ Haus)
17	15, 16	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝒫 {∅} ∈ Haus
18	14, 17	eqeltri 2856	. . 3 ⊢ 2o ∈ Haus
19		prssi 4782	. . 3 ⊢ ((1o ∈ Haus ∧ 2o ∈ Haus) → {1o, 2o} ⊆ Haus)
20	11, 18, 19	mp2an 705	. 2 ⊢ {1o, 2o} ⊆ Haus
21	4, 20	ssini 4185	1 ⊢ {1o, 2o} ⊆ (On ∩ Haus)

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  𝒫 cpw 4557  {csn 4584  {cpr 4586  Oncon0 6357  1_oc1o 8451  2_oc2o 8452  Hauscha 23536

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-tr 5213  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-ord 6360  df-on 6361  df-suc 6363  df-1o 8458  df-2o 8459  df-top 23122  df-haus 23543

This theorem is used by:  onint1  37071  oninhaus  37072