Theorem ssoninhaus 36471

Description: The ordinal topologies 1_o and 2_o are Hausdorff. (Contributed by Chen-Pang He, 10-Nov-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ssoninhaus	⊢ {1o, 2o} ⊆ (On ∩ Haus)

Proof of Theorem ssoninhaus

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1on 8497	. . 3 ⊢ 1o ∈ On
2		2on 8499	. . 3 ⊢ 2o ∈ On
3		prssi 4802	. . 3 ⊢ ((1o ∈ On ∧ 2o ∈ On) → {1o, 2o} ⊆ On)
4	1, 2, 3	mp2an 692	. 2 ⊢ {1o, 2o} ⊆ On
5		df1o2 8492	. . . . 5 ⊢ 1o = {∅}
6		pw0 4793	. . . . 5 ⊢ 𝒫 ∅ = {∅}
7	5, 6	eqtr4i 2762	. . . 4 ⊢ 1o = 𝒫 ∅
8		0ex 5282	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
9		dishaus 23325	. . . . 5 ⊢ (∅ ∈ V → 𝒫 ∅ ∈ Haus)
10	8, 9	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝒫 ∅ ∈ Haus
11	7, 10	eqeltri 2831	. . 3 ⊢ 1o ∈ Haus
12		df2o2 8494	. . . . 5 ⊢ 2o = {∅, {∅}}
13		pwpw0 4794	. . . . 5 ⊢ 𝒫 {∅} = {∅, {∅}}
14	12, 13	eqtr4i 2762	. . . 4 ⊢ 2o = 𝒫 {∅}
15		p0ex 5359	. . . . 5 ⊢ {∅} ∈ V
16		dishaus 23325	. . . . 5 ⊢ ({∅} ∈ V → 𝒫 {∅} ∈ Haus)
17	15, 16	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝒫 {∅} ∈ Haus
18	14, 17	eqeltri 2831	. . 3 ⊢ 2o ∈ Haus
19		prssi 4802	. . 3 ⊢ ((1o ∈ Haus ∧ 2o ∈ Haus) → {1o, 2o} ⊆ Haus)
20	11, 18, 19	mp2an 692	. 2 ⊢ {1o, 2o} ⊆ Haus
21	4, 20	ssini 4220	1 ⊢ {1o, 2o} ⊆ (On ∩ Haus)

Syntax hints:   ∈ wcel 2109  Vcvv 3464   ∩ cin 3930   ⊆ wss 3931  ∅c0 4313  𝒫 cpw 4580  {csn 4606  {cpr 4608  Oncon0 6357  1_oc1o 8478  2_oc2o 8479  Hauscha 23251

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3421  df-v 3466  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-br 5125  df-opab 5187  df-tr 5235  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-ord 6360  df-on 6361  df-suc 6363  df-1o 8485  df-2o 8486  df-top 22837  df-haus 23258

This theorem is referenced by:  onint1  36472  oninhaus  36473