Theorem ssoninhaus 36414

Description: The ordinal topologies 1_o and 2_o are Hausdorff. (Contributed by Chen-Pang He, 10-Nov-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ssoninhaus	⊢ {1o, 2o} ⊆ (On ∩ Haus)

Proof of Theorem ssoninhaus

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1on 8534	. . 3 ⊢ 1o ∈ On
2		2on 8536	. . 3 ⊢ 2o ∈ On
3		prssi 4846	. . 3 ⊢ ((1o ∈ On ∧ 2o ∈ On) → {1o, 2o} ⊆ On)
4	1, 2, 3	mp2an 691	. 2 ⊢ {1o, 2o} ⊆ On
5		df1o2 8529	. . . . 5 ⊢ 1o = {∅}
6		pw0 4837	. . . . 5 ⊢ 𝒫 ∅ = {∅}
7	5, 6	eqtr4i 2771	. . . 4 ⊢ 1o = 𝒫 ∅
8		0ex 5325	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
9		dishaus 23411	. . . . 5 ⊢ (∅ ∈ V → 𝒫 ∅ ∈ Haus)
10	8, 9	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝒫 ∅ ∈ Haus
11	7, 10	eqeltri 2840	. . 3 ⊢ 1o ∈ Haus
12		df2o2 8531	. . . . 5 ⊢ 2o = {∅, {∅}}
13		pwpw0 4838	. . . . 5 ⊢ 𝒫 {∅} = {∅, {∅}}
14	12, 13	eqtr4i 2771	. . . 4 ⊢ 2o = 𝒫 {∅}
15		p0ex 5402	. . . . 5 ⊢ {∅} ∈ V
16		dishaus 23411	. . . . 5 ⊢ ({∅} ∈ V → 𝒫 {∅} ∈ Haus)
17	15, 16	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝒫 {∅} ∈ Haus
18	14, 17	eqeltri 2840	. . 3 ⊢ 2o ∈ Haus
19		prssi 4846	. . 3 ⊢ ((1o ∈ Haus ∧ 2o ∈ Haus) → {1o, 2o} ⊆ Haus)
20	11, 18, 19	mp2an 691	. 2 ⊢ {1o, 2o} ⊆ Haus
21	4, 20	ssini 4261	1 ⊢ {1o, 2o} ⊆ (On ∩ Haus)

Syntax hints:   ∈ wcel 2108  Vcvv 3488   ∩ cin 3975   ⊆ wss 3976  ∅c0 4352  𝒫 cpw 4622  {csn 4648  {cpr 4650  Oncon0 6395  1_oc1o 8515  2_oc2o 8516  Hauscha 23337

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-sb 2065  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-tr 5284  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-ord 6398  df-on 6399  df-suc 6401  df-1o 8522  df-2o 8523  df-top 22921  df-haus 23344

This theorem is referenced by:  onint1  36415  oninhaus  36416