Theorem ssoninhaus 36431

Description: The ordinal topologies 1_o and 2_o are Hausdorff. (Contributed by Chen-Pang He, 10-Nov-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ssoninhaus	⊢ {1o, 2o} ⊆ (On ∩ Haus)

Proof of Theorem ssoninhaus

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1on 8517	. . 3 ⊢ 1o ∈ On
2		2on 8519	. . 3 ⊢ 2o ∈ On
3		prssi 4826	. . 3 ⊢ ((1o ∈ On ∧ 2o ∈ On) → {1o, 2o} ⊆ On)
4	1, 2, 3	mp2an 692	. 2 ⊢ {1o, 2o} ⊆ On
5		df1o2 8512	. . . . 5 ⊢ 1o = {∅}
6		pw0 4817	. . . . 5 ⊢ 𝒫 ∅ = {∅}
7	5, 6	eqtr4i 2766	. . . 4 ⊢ 1o = 𝒫 ∅
8		0ex 5313	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
9		dishaus 23406	. . . . 5 ⊢ (∅ ∈ V → 𝒫 ∅ ∈ Haus)
10	8, 9	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝒫 ∅ ∈ Haus
11	7, 10	eqeltri 2835	. . 3 ⊢ 1o ∈ Haus
12		df2o2 8514	. . . . 5 ⊢ 2o = {∅, {∅}}
13		pwpw0 4818	. . . . 5 ⊢ 𝒫 {∅} = {∅, {∅}}
14	12, 13	eqtr4i 2766	. . . 4 ⊢ 2o = 𝒫 {∅}
15		p0ex 5390	. . . . 5 ⊢ {∅} ∈ V
16		dishaus 23406	. . . . 5 ⊢ ({∅} ∈ V → 𝒫 {∅} ∈ Haus)
17	15, 16	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝒫 {∅} ∈ Haus
18	14, 17	eqeltri 2835	. . 3 ⊢ 2o ∈ Haus
19		prssi 4826	. . 3 ⊢ ((1o ∈ Haus ∧ 2o ∈ Haus) → {1o, 2o} ⊆ Haus)
20	11, 18, 19	mp2an 692	. 2 ⊢ {1o, 2o} ⊆ Haus
21	4, 20	ssini 4248	1 ⊢ {1o, 2o} ⊆ (On ∩ Haus)

Syntax hints:   ∈ wcel 2106  Vcvv 3478   ∩ cin 3962   ⊆ wss 3963  ∅c0 4339  𝒫 cpw 4605  {csn 4631  {cpr 4633  Oncon0 6386  1_oc1o 8498  2_oc2o 8499  Hauscha 23332

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-sb 2063  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-tr 5266  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-ord 6389  df-on 6390  df-suc 6392  df-1o 8505  df-2o 8506  df-top 22916  df-haus 23339

This theorem is referenced by:  onint1  36432  oninhaus  36433