Theorem ssoninhaus 34564

Description: The ordinal topologies 1_o and 2_o are Hausdorff. (Contributed by Chen-Pang He, 10-Nov-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ssoninhaus	⊢ {1o, 2o} ⊆ (On ∩ Haus)

Proof of Theorem ssoninhaus

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1on 8274	. . 3 ⊢ 1o ∈ On
2		2on 8275	. . 3 ⊢ 2o ∈ On
3		prssi 4751	. . 3 ⊢ ((1o ∈ On ∧ 2o ∈ On) → {1o, 2o} ⊆ On)
4	1, 2, 3	mp2an 688	. 2 ⊢ {1o, 2o} ⊆ On
5		df1o2 8279	. . . . 5 ⊢ 1o = {∅}
6		pw0 4742	. . . . 5 ⊢ 𝒫 ∅ = {∅}
7	5, 6	eqtr4i 2769	. . . 4 ⊢ 1o = 𝒫 ∅
8		0ex 5226	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
9		dishaus 22441	. . . . 5 ⊢ (∅ ∈ V → 𝒫 ∅ ∈ Haus)
10	8, 9	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝒫 ∅ ∈ Haus
11	7, 10	eqeltri 2835	. . 3 ⊢ 1o ∈ Haus
12		df2o2 8283	. . . . 5 ⊢ 2o = {∅, {∅}}
13		pwpw0 4743	. . . . 5 ⊢ 𝒫 {∅} = {∅, {∅}}
14	12, 13	eqtr4i 2769	. . . 4 ⊢ 2o = 𝒫 {∅}
15		p0ex 5302	. . . . 5 ⊢ {∅} ∈ V
16		dishaus 22441	. . . . 5 ⊢ ({∅} ∈ V → 𝒫 {∅} ∈ Haus)
17	15, 16	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝒫 {∅} ∈ Haus
18	14, 17	eqeltri 2835	. . 3 ⊢ 2o ∈ Haus
19		prssi 4751	. . 3 ⊢ ((1o ∈ Haus ∧ 2o ∈ Haus) → {1o, 2o} ⊆ Haus)
20	11, 18, 19	mp2an 688	. 2 ⊢ {1o, 2o} ⊆ Haus
21	4, 20	ssini 4162	1 ⊢ {1o, 2o} ⊆ (On ∩ Haus)

Syntax hints:   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422   ∩ cin 3882   ⊆ wss 3883  ∅c0 4253  𝒫 cpw 4530  {csn 4558  {cpr 4560  Oncon0 6251  1_oc1o 8260  2_oc2o 8261  Hauscha 22367

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-11 2156  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-tr 5188  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-ord 6254  df-on 6255  df-suc 6257  df-1o 8267  df-2o 8268  df-top 21951  df-haus 22374

This theorem is referenced by:  onint1  34565  oninhaus  34566