Users' Mathboxes Mathbox for Chen-Pang He < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ssoninhaus Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ssoninhaus 33909
Description: The ordinal topologies 1o and 2o are Hausdorff. (Contributed by Chen-Pang He, 10-Nov-2015.)
Assertion
Ref Expression
ssoninhaus {1o, 2o} ⊆ (On ∩ Haus)

Proof of Theorem ssoninhaus
StepHypRef Expression
1 1on 8092 . . 3 1o ∈ On
2 2on 8094 . . 3 2o ∈ On
3 prssi 4714 . . 3 ((1o ∈ On ∧ 2o ∈ On) → {1o, 2o} ⊆ On)
41, 2, 3mp2an 691 . 2 {1o, 2o} ⊆ On
5 df1o2 8099 . . . . 5 1o = {∅}
6 pw0 4705 . . . . 5 𝒫 ∅ = {∅}
75, 6eqtr4i 2824 . . . 4 1o = 𝒫 ∅
8 0ex 5175 . . . . 5 ∅ ∈ V
9 dishaus 21987 . . . . 5 (∅ ∈ V → 𝒫 ∅ ∈ Haus)
108, 9ax-mp 5 . . . 4 𝒫 ∅ ∈ Haus
117, 10eqeltri 2886 . . 3 1o ∈ Haus
12 df2o2 8101 . . . . 5 2o = {∅, {∅}}
13 pwpw0 4706 . . . . 5 𝒫 {∅} = {∅, {∅}}
1412, 13eqtr4i 2824 . . . 4 2o = 𝒫 {∅}
15 p0ex 5250 . . . . 5 {∅} ∈ V
16 dishaus 21987 . . . . 5 ({∅} ∈ V → 𝒫 {∅} ∈ Haus)
1715, 16ax-mp 5 . . . 4 𝒫 {∅} ∈ Haus
1814, 17eqeltri 2886 . . 3 2o ∈ Haus
19 prssi 4714 . . 3 ((1o ∈ Haus ∧ 2o ∈ Haus) → {1o, 2o} ⊆ Haus)
2011, 18, 19mp2an 691 . 2 {1o, 2o} ⊆ Haus
214, 20ssini 4158 1 {1o, 2o} ⊆ (On ∩ Haus)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2111  Vcvv 3441  cin 3880  wss 3881  c0 4243  𝒫 cpw 4497  {csn 4525  {cpr 4527  Oncon0 6159  1oc1o 8078  2oc2o 8079  Hauscha 21913
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-tr 5137  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-ord 6162  df-on 6163  df-suc 6165  df-1o 8085  df-2o 8086  df-top 21499  df-haus 21920
This theorem is referenced by:  onint1  33910  oninhaus  33911
  Copyright terms: Public domain W3C validator