Theorem ssoninhaus 34637

Description: The ordinal topologies 1_o and 2_o are Hausdorff. (Contributed by Chen-Pang He, 10-Nov-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ssoninhaus	⊢ {1o, 2o} ⊆ (On ∩ Haus)

Proof of Theorem ssoninhaus

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1on 8309	. . 3 ⊢ 1o ∈ On
2		2on 8311	. . 3 ⊢ 2o ∈ On
3		prssi 4754	. . 3 ⊢ ((1o ∈ On ∧ 2o ∈ On) → {1o, 2o} ⊆ On)
4	1, 2, 3	mp2an 689	. 2 ⊢ {1o, 2o} ⊆ On
5		df1o2 8304	. . . . 5 ⊢ 1o = {∅}
6		pw0 4745	. . . . 5 ⊢ 𝒫 ∅ = {∅}
7	5, 6	eqtr4i 2769	. . . 4 ⊢ 1o = 𝒫 ∅
8		0ex 5231	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
9		dishaus 22533	. . . . 5 ⊢ (∅ ∈ V → 𝒫 ∅ ∈ Haus)
10	8, 9	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝒫 ∅ ∈ Haus
11	7, 10	eqeltri 2835	. . 3 ⊢ 1o ∈ Haus
12		df2o2 8306	. . . . 5 ⊢ 2o = {∅, {∅}}
13		pwpw0 4746	. . . . 5 ⊢ 𝒫 {∅} = {∅, {∅}}
14	12, 13	eqtr4i 2769	. . . 4 ⊢ 2o = 𝒫 {∅}
15		p0ex 5307	. . . . 5 ⊢ {∅} ∈ V
16		dishaus 22533	. . . . 5 ⊢ ({∅} ∈ V → 𝒫 {∅} ∈ Haus)
17	15, 16	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝒫 {∅} ∈ Haus
18	14, 17	eqeltri 2835	. . 3 ⊢ 2o ∈ Haus
19		prssi 4754	. . 3 ⊢ ((1o ∈ Haus ∧ 2o ∈ Haus) → {1o, 2o} ⊆ Haus)
20	11, 18, 19	mp2an 689	. 2 ⊢ {1o, 2o} ⊆ Haus
21	4, 20	ssini 4165	1 ⊢ {1o, 2o} ⊆ (On ∩ Haus)

Syntax hints:   ∈ wcel 2106  Vcvv 3432   ∩ cin 3886   ⊆ wss 3887  ∅c0 4256  𝒫 cpw 4533  {csn 4561  {cpr 4563  Oncon0 6266  1_oc1o 8290  2_oc2o 8291  Hauscha 22459

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-11 2154  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-sb 2068  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-tr 5192  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-ord 6269  df-on 6270  df-suc 6272  df-1o 8297  df-2o 8298  df-top 22043  df-haus 22466

This theorem is referenced by:  onint1  34638  oninhaus  34639