Theorem ssoninhaus 36591

Description: The ordinal topologies 1_o and 2_o are Hausdorff. (Contributed by Chen-Pang He, 10-Nov-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ssoninhaus	⊢ {1o, 2o} ⊆ (On ∩ Haus)

Proof of Theorem ssoninhaus

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1on 8407	. . 3 ⊢ 1o ∈ On
2		2on 8408	. . 3 ⊢ 2o ∈ On
3		prssi 4775	. . 3 ⊢ ((1o ∈ On ∧ 2o ∈ On) → {1o, 2o} ⊆ On)
4	1, 2, 3	mp2an 692	. 2 ⊢ {1o, 2o} ⊆ On
5		df1o2 8402	. . . . 5 ⊢ 1o = {∅}
6		pw0 4766	. . . . 5 ⊢ 𝒫 ∅ = {∅}
7	5, 6	eqtr4i 2760	. . . 4 ⊢ 1o = 𝒫 ∅
8		0ex 5250	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
9		dishaus 23324	. . . . 5 ⊢ (∅ ∈ V → 𝒫 ∅ ∈ Haus)
10	8, 9	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝒫 ∅ ∈ Haus
11	7, 10	eqeltri 2830	. . 3 ⊢ 1o ∈ Haus
12		df2o2 8404	. . . . 5 ⊢ 2o = {∅, {∅}}
13		pwpw0 4767	. . . . 5 ⊢ 𝒫 {∅} = {∅, {∅}}
14	12, 13	eqtr4i 2760	. . . 4 ⊢ 2o = 𝒫 {∅}
15		p0ex 5327	. . . . 5 ⊢ {∅} ∈ V
16		dishaus 23324	. . . . 5 ⊢ ({∅} ∈ V → 𝒫 {∅} ∈ Haus)
17	15, 16	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝒫 {∅} ∈ Haus
18	14, 17	eqeltri 2830	. . 3 ⊢ 2o ∈ Haus
19		prssi 4775	. . 3 ⊢ ((1o ∈ Haus ∧ 2o ∈ Haus) → {1o, 2o} ⊆ Haus)
20	11, 18, 19	mp2an 692	. 2 ⊢ {1o, 2o} ⊆ Haus
21	4, 20	ssini 4190	1 ⊢ {1o, 2o} ⊆ (On ∩ Haus)

Syntax hints:   ∈ wcel 2113  Vcvv 3438   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  ∅c0 4283  𝒫 cpw 4552  {csn 4578  {cpr 4580  Oncon0 6315  1_oc1o 8388  2_oc2o 8389  Hauscha 23250

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rab 3398  df-v 3440  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-br 5097  df-opab 5159  df-tr 5204  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-ord 6318  df-on 6319  df-suc 6321  df-1o 8395  df-2o 8396  df-top 22836  df-haus 23257

This theorem is referenced by:  onint1  36592  oninhaus  36593