Theorem ssoninhaus 36979

Description: The ordinal topologies 1_o and 2_o are Hausdorff. (Contributed by Chen-Pang He, 10-Nov-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ssoninhaus	⊢ {1o, 2o} ⊆ (On ∩ Haus)

Proof of Theorem ssoninhaus

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1on 8462	. . 3 ⊢ 1o ∈ On
2		2on 8463	. . 3 ⊢ 2o ∈ On
3		prssi 4787	. . 3 ⊢ ((1o ∈ On ∧ 2o ∈ On) → {1o, 2o} ⊆ On)
4	1, 2, 3	mp2an 704	. 2 ⊢ {1o, 2o} ⊆ On
5		df1o2 8456	. . . . 5 ⊢ 1o = {∅}
6		pw0 4778	. . . . 5 ⊢ 𝒫 ∅ = {∅}
7	5, 6	eqtr4i 2789	. . . 4 ⊢ 1o = 𝒫 ∅
8		0ex 5270	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
9		dishaus 23539	. . . . 5 ⊢ (∅ ∈ V → 𝒫 ∅ ∈ Haus)
10	8, 9	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝒫 ∅ ∈ Haus
11	7, 10	eqeltri 2859	. . 3 ⊢ 1o ∈ Haus
12		df2o2 8458	. . . . 5 ⊢ 2o = {∅, {∅}}
13		pwpw0 4779	. . . . 5 ⊢ 𝒫 {∅} = {∅, {∅}}
14	12, 13	eqtr4i 2789	. . . 4 ⊢ 2o = 𝒫 {∅}
15		p0ex 5355	. . . . 5 ⊢ {∅} ∈ V
16		dishaus 23539	. . . . 5 ⊢ ({∅} ∈ V → 𝒫 {∅} ∈ Haus)
17	15, 16	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝒫 {∅} ∈ Haus
18	14, 17	eqeltri 2859	. . 3 ⊢ 2o ∈ Haus
19		prssi 4787	. . 3 ⊢ ((1o ∈ Haus ∧ 2o ∈ Haus) → {1o, 2o} ⊆ Haus)
20	11, 18, 19	mp2an 704	. 2 ⊢ {1o, 2o} ⊆ Haus
21	4, 20	ssini 4192	1 ⊢ {1o, 2o} ⊆ (On ∩ Haus)

Syntax hints:   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455   ∩ cin 3904   ⊆ wss 3905  ∅c0 4286  𝒫 cpw 4562  {csn 4589  {cpr 4591  Oncon0 6360  1_oc1o 8442  2_oc2o 8443  Hauscha 23465

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-sb 2097  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-tr 5219  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-ord 6363  df-on 6364  df-suc 6366  df-1o 8449  df-2o 8450  df-top 23051  df-haus 23472

This theorem is referenced by:  onint1  36980  oninhaus  36981