Theorem ssoninhaus 34728

Description: The ordinal topologies 1_o and 2_o are Hausdorff. (Contributed by Chen-Pang He, 10-Nov-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ssoninhaus	⊢ {1o, 2o} ⊆ (On ∩ Haus)

Proof of Theorem ssoninhaus

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1on 8371	. . 3 ⊢ 1o ∈ On
2		2on 8373	. . 3 ⊢ 2o ∈ On
3		prssi 4767	. . 3 ⊢ ((1o ∈ On ∧ 2o ∈ On) → {1o, 2o} ⊆ On)
4	1, 2, 3	mp2an 689	. 2 ⊢ {1o, 2o} ⊆ On
5		df1o2 8366	. . . . 5 ⊢ 1o = {∅}
6		pw0 4758	. . . . 5 ⊢ 𝒫 ∅ = {∅}
7	5, 6	eqtr4i 2767	. . . 4 ⊢ 1o = 𝒫 ∅
8		0ex 5248	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
9		dishaus 22631	. . . . 5 ⊢ (∅ ∈ V → 𝒫 ∅ ∈ Haus)
10	8, 9	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝒫 ∅ ∈ Haus
11	7, 10	eqeltri 2833	. . 3 ⊢ 1o ∈ Haus
12		df2o2 8368	. . . . 5 ⊢ 2o = {∅, {∅}}
13		pwpw0 4759	. . . . 5 ⊢ 𝒫 {∅} = {∅, {∅}}
14	12, 13	eqtr4i 2767	. . . 4 ⊢ 2o = 𝒫 {∅}
15		p0ex 5324	. . . . 5 ⊢ {∅} ∈ V
16		dishaus 22631	. . . . 5 ⊢ ({∅} ∈ V → 𝒫 {∅} ∈ Haus)
17	15, 16	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝒫 {∅} ∈ Haus
18	14, 17	eqeltri 2833	. . 3 ⊢ 2o ∈ Haus
19		prssi 4767	. . 3 ⊢ ((1o ∈ Haus ∧ 2o ∈ Haus) → {1o, 2o} ⊆ Haus)
20	11, 18, 19	mp2an 689	. 2 ⊢ {1o, 2o} ⊆ Haus
21	4, 20	ssini 4177	1 ⊢ {1o, 2o} ⊆ (On ∩ Haus)

Syntax hints:   ∈ wcel 2105  Vcvv 3441   ∩ cin 3896   ⊆ wss 3897  ∅c0 4268  𝒫 cpw 4546  {csn 4572  {cpr 4574  Oncon0 6296  1_oc1o 8352  2_oc2o 8353  Hauscha 22557

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-ext 2707  ax-sep 5240  ax-nul 5247  ax-pow 5305  ax-pr 5369  ax-un 7642

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-sb 2067  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3404  df-v 3443  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4269  df-if 4473  df-pw 4548  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4852  df-br 5090  df-opab 5152  df-tr 5207  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5569  df-we 5571  df-ord 6299  df-on 6300  df-suc 6302  df-1o 8359  df-2o 8360  df-top 22141  df-haus 22564

This theorem is referenced by:  onint1  34729  oninhaus  34730