Theorem ssoninhaus 37018

Description: The ordinal topologies 1_o and 2_o are Hausdorff. (Contributed by Chen-Pang He, 10-Nov-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ssoninhaus	⊢ {1o, 2o} ⊆ (On ∩ Haus)

Proof of Theorem ssoninhaus

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1on 8472	. . 3 ⊢ 1o ∈ On
2		2on 8473	. . 3 ⊢ 2o ∈ On
3		prssi 4789	. . 3 ⊢ ((1o ∈ On ∧ 2o ∈ On) → {1o, 2o} ⊆ On)
4	1, 2, 3	mp2an 705	. 2 ⊢ {1o, 2o} ⊆ On
5		df1o2 8466	. . . . 5 ⊢ 1o = {∅}
6		pw0 4780	. . . . 5 ⊢ 𝒫 ∅ = {∅}
7	5, 6	eqtr4i 2791	. . . 4 ⊢ 1o = 𝒫 ∅
8		0ex 5272	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
9		dishaus 23591	. . . . 5 ⊢ (∅ ∈ V → 𝒫 ∅ ∈ Haus)
10	8, 9	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝒫 ∅ ∈ Haus
11	7, 10	eqeltri 2861	. . 3 ⊢ 1o ∈ Haus
12		df2o2 8468	. . . . 5 ⊢ 2o = {∅, {∅}}
13		pwpw0 4781	. . . . 5 ⊢ 𝒫 {∅} = {∅, {∅}}
14	12, 13	eqtr4i 2791	. . . 4 ⊢ 2o = 𝒫 {∅}
15		p0ex 5357	. . . . 5 ⊢ {∅} ∈ V
16		dishaus 23591	. . . . 5 ⊢ ({∅} ∈ V → 𝒫 {∅} ∈ Haus)
17	15, 16	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝒫 {∅} ∈ Haus
18	14, 17	eqeltri 2861	. . 3 ⊢ 2o ∈ Haus
19		prssi 4789	. . 3 ⊢ ((1o ∈ Haus ∧ 2o ∈ Haus) → {1o, 2o} ⊆ Haus)
20	11, 18, 19	mp2an 705	. 2 ⊢ {1o, 2o} ⊆ Haus
21	4, 20	ssini 4192	1 ⊢ {1o, 2o} ⊆ (On ∩ Haus)

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2146  Vcvv 3457   ∩ cin 3905   ⊆ wss 3906  ∅c0 4286  𝒫 cpw 4564  {csn 4591  {cpr 4593  Oncon0 6364  1_oc1o 8452  2_oc2o 8453  Hauscha 23517

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-tr 5221  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-ord 6367  df-on 6368  df-suc 6370  df-1o 8459  df-2o 8460  df-top 23103  df-haus 23524

This theorem is used by:  onint1  37019  oninhaus  37020