Theorem ssoninhaus 37366

Description: The ordinal topologies 1_o and 2_o are Hausdorff. (Contributed by Chen-Pang He, 10-Nov-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ssoninhaus	⊢ {1o, 2o} ⊆ (On ∩ Haus)

Proof of Theorem ssoninhaus

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1on 8503	. . 3 ⊢ 1o ∈ On
2		2on 8504	. . 3 ⊢ 2o ∈ On
3		prssi 4780	. . 3 ⊢ ((1o ∈ On ∧ 2o ∈ On) → {1o, 2o} ⊆ On)
4	1, 2, 3	mp2an 705	. 2 ⊢ {1o, 2o} ⊆ On
5		df1o2 8497	. . . . 5 ⊢ 1o = {∅}
6		pw0 4833	. . . . 5 ⊢ 𝒫 ∅ = {∅}
7	5, 6	eqtr4i 2789	. . . 4 ⊢ 1o = 𝒫 ∅
8		0ex 5264	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
9		dishaus 23715	. . . . 5 ⊢ (∅ ∈ V → 𝒫 ∅ ∈ Haus)
10	8, 9	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝒫 ∅ ∈ Haus
11	7, 10	eqeltri 2860	. . 3 ⊢ 1o ∈ Haus
12		df2o2 8499	. . . . 5 ⊢ 2o = {∅, {∅}}
13		pwpw0 4834	. . . . 5 ⊢ 𝒫 {∅} = {∅, {∅}}
14	12, 13	eqtr4i 2789	. . . 4 ⊢ 2o = 𝒫 {∅}
15		p0ex 5350	. . . . 5 ⊢ {∅} ∈ V
16		dishaus 23715	. . . . 5 ⊢ ({∅} ∈ V → 𝒫 {∅} ∈ Haus)
17	15, 16	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝒫 {∅} ∈ Haus
18	14, 17	eqeltri 2860	. . 3 ⊢ 2o ∈ Haus
19		prssi 4780	. . 3 ⊢ ((1o ∈ Haus ∧ 2o ∈ Haus) → {1o, 2o} ⊆ Haus)
20	11, 18, 19	mp2an 705	. 2 ⊢ {1o, 2o} ⊆ Haus
21	4, 20	ssini 4139	1 ⊢ {1o, 2o} ⊆ (On ∩ Haus)

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2146  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900   ∩ cin 4092  ∅c0 4281  𝒫 cpw 4560  {csn 4588  {cpr 4590  Oncon0 6369  1_oc1o 8483  2_oc2o 8484  Hauscha 23641

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-sb 2101  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-tr 5216  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-ord 6372  df-on 6373  df-suc 6375  df-1o 8490  df-2o 8491  df-top 23227  df-haus 23648

This theorem is used by:  onint1  37367  oninhaus  37368