Theorem ssoninhaus 36228

Description: The ordinal topologies 1_o and 2_o are Hausdorff. (Contributed by Chen-Pang He, 10-Nov-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ssoninhaus	⊢ {1o, 2o} ⊆ (On ∩ Haus)

Proof of Theorem ssoninhaus

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1on 8516	. . 3 ⊢ 1o ∈ On
2		2on 8518	. . 3 ⊢ 2o ∈ On
3		prssi 4833	. . 3 ⊢ ((1o ∈ On ∧ 2o ∈ On) → {1o, 2o} ⊆ On)
4	1, 2, 3	mp2an 690	. 2 ⊢ {1o, 2o} ⊆ On
5		df1o2 8511	. . . . 5 ⊢ 1o = {∅}
6		pw0 4824	. . . . 5 ⊢ 𝒫 ∅ = {∅}
7	5, 6	eqtr4i 2760	. . . 4 ⊢ 1o = 𝒫 ∅
8		0ex 5315	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
9		dishaus 23400	. . . . 5 ⊢ (∅ ∈ V → 𝒫 ∅ ∈ Haus)
10	8, 9	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝒫 ∅ ∈ Haus
11	7, 10	eqeltri 2825	. . 3 ⊢ 1o ∈ Haus
12		df2o2 8513	. . . . 5 ⊢ 2o = {∅, {∅}}
13		pwpw0 4825	. . . . 5 ⊢ 𝒫 {∅} = {∅, {∅}}
14	12, 13	eqtr4i 2760	. . . 4 ⊢ 2o = 𝒫 {∅}
15		p0ex 5392	. . . . 5 ⊢ {∅} ∈ V
16		dishaus 23400	. . . . 5 ⊢ ({∅} ∈ V → 𝒫 {∅} ∈ Haus)
17	15, 16	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝒫 {∅} ∈ Haus
18	14, 17	eqeltri 2825	. . 3 ⊢ 2o ∈ Haus
19		prssi 4833	. . 3 ⊢ ((1o ∈ Haus ∧ 2o ∈ Haus) → {1o, 2o} ⊆ Haus)
20	11, 18, 19	mp2an 690	. 2 ⊢ {1o, 2o} ⊆ Haus
21	4, 20	ssini 4243	1 ⊢ {1o, 2o} ⊆ (On ∩ Haus)

Syntax hints:   ∈ wcel 2100  Vcvv 3472   ∩ cin 3958   ⊆ wss 3959  ∅c0 4335  𝒫 cpw 4610  {csn 4636  {cpr 4638  Oncon0 6380  1_oc1o 8497  2_oc2o 8498  Hauscha 23326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2102  ax-9 2110  ax-ext 2700  ax-sep 5307  ax-nul 5314  ax-pow 5373  ax-pr 5437  ax-un 7751

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-sb 2062  df-clab 2707  df-cleq 2721  df-clel 2806  df-ne 2934  df-ral 3055  df-rex 3064  df-rab 3429  df-v 3474  df-dif 3962  df-un 3964  df-in 3966  df-ss 3976  df-pss 3979  df-nul 4336  df-if 4537  df-pw 4612  df-sn 4637  df-pr 4639  df-op 4643  df-uni 4919  df-br 5157  df-opab 5219  df-tr 5274  df-eprel 5590  df-po 5598  df-so 5599  df-fr 5641  df-we 5643  df-ord 6383  df-on 6384  df-suc 6386  df-1o 8504  df-2o 8505  df-top 22910  df-haus 23333

This theorem is referenced by:  onint1  36229  oninhaus  36230