Theorem ssoninhaus 36685

Description: The ordinal topologies 1_o and 2_o are Hausdorff. (Contributed by Chen-Pang He, 10-Nov-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ssoninhaus	⊢ {1o, 2o} ⊆ (On ∩ Haus)

Proof of Theorem ssoninhaus

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1on 8408	. . 3 ⊢ 1o ∈ On
2		2on 8409	. . 3 ⊢ 2o ∈ On
3		prssi 4753	. . 3 ⊢ ((1o ∈ On ∧ 2o ∈ On) → {1o, 2o} ⊆ On)
4	1, 2, 3	mp2an 698	. 2 ⊢ {1o, 2o} ⊆ On
5		df1o2 8403	. . . . 5 ⊢ 1o = {∅}
6		pw0 4744	. . . . 5 ⊢ 𝒫 ∅ = {∅}
7	5, 6	eqtr4i 2765	. . . 4 ⊢ 1o = 𝒫 ∅
8		0ex 5230	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
9		dishaus 23366	. . . . 5 ⊢ (∅ ∈ V → 𝒫 ∅ ∈ Haus)
10	8, 9	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝒫 ∅ ∈ Haus
11	7, 10	eqeltri 2835	. . 3 ⊢ 1o ∈ Haus
12		df2o2 8405	. . . . 5 ⊢ 2o = {∅, {∅}}
13		pwpw0 4745	. . . . 5 ⊢ 𝒫 {∅} = {∅, {∅}}
14	12, 13	eqtr4i 2765	. . . 4 ⊢ 2o = 𝒫 {∅}
15		p0ex 5314	. . . . 5 ⊢ {∅} ∈ V
16		dishaus 23366	. . . . 5 ⊢ ({∅} ∈ V → 𝒫 {∅} ∈ Haus)
17	15, 16	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝒫 {∅} ∈ Haus
18	14, 17	eqeltri 2835	. . 3 ⊢ 2o ∈ Haus
19		prssi 4753	. . 3 ⊢ ((1o ∈ Haus ∧ 2o ∈ Haus) → {1o, 2o} ⊆ Haus)
20	11, 18, 19	mp2an 698	. 2 ⊢ {1o, 2o} ⊆ Haus
21	4, 20	ssini 4169	1 ⊢ {1o, 2o} ⊆ (On ∩ Haus)

Syntax hints:   ∈ wcel 2119  Vcvv 3431   ∩ cin 3882   ⊆ wss 3883  ∅c0 4262  𝒫 cpw 4530  {csn 4556  {cpr 4558  Oncon0 6311  1_oc1o 8389  2_oc2o 8390  Hauscha 23292

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-ext 2711  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-sb 2074  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-op 4563  df-uni 4840  df-br 5074  df-opab 5136  df-tr 5181  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-ord 6314  df-on 6315  df-suc 6317  df-1o 8396  df-2o 8397  df-top 22878  df-haus 23299

This theorem is referenced by:  onint1  36686  oninhaus  36687