Theorem ssoninhaus 36450

Description: The ordinal topologies 1_o and 2_o are Hausdorff. (Contributed by Chen-Pang He, 10-Nov-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ssoninhaus	⊢ {1o, 2o} ⊆ (On ∩ Haus)

Proof of Theorem ssoninhaus

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1on 8519	. . 3 ⊢ 1o ∈ On
2		2on 8521	. . 3 ⊢ 2o ∈ On
3		prssi 4820	. . 3 ⊢ ((1o ∈ On ∧ 2o ∈ On) → {1o, 2o} ⊆ On)
4	1, 2, 3	mp2an 692	. 2 ⊢ {1o, 2o} ⊆ On
5		df1o2 8514	. . . . 5 ⊢ 1o = {∅}
6		pw0 4811	. . . . 5 ⊢ 𝒫 ∅ = {∅}
7	5, 6	eqtr4i 2767	. . . 4 ⊢ 1o = 𝒫 ∅
8		0ex 5306	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
9		dishaus 23391	. . . . 5 ⊢ (∅ ∈ V → 𝒫 ∅ ∈ Haus)
10	8, 9	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝒫 ∅ ∈ Haus
11	7, 10	eqeltri 2836	. . 3 ⊢ 1o ∈ Haus
12		df2o2 8516	. . . . 5 ⊢ 2o = {∅, {∅}}
13		pwpw0 4812	. . . . 5 ⊢ 𝒫 {∅} = {∅, {∅}}
14	12, 13	eqtr4i 2767	. . . 4 ⊢ 2o = 𝒫 {∅}
15		p0ex 5383	. . . . 5 ⊢ {∅} ∈ V
16		dishaus 23391	. . . . 5 ⊢ ({∅} ∈ V → 𝒫 {∅} ∈ Haus)
17	15, 16	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝒫 {∅} ∈ Haus
18	14, 17	eqeltri 2836	. . 3 ⊢ 2o ∈ Haus
19		prssi 4820	. . 3 ⊢ ((1o ∈ Haus ∧ 2o ∈ Haus) → {1o, 2o} ⊆ Haus)
20	11, 18, 19	mp2an 692	. 2 ⊢ {1o, 2o} ⊆ Haus
21	4, 20	ssini 4239	1 ⊢ {1o, 2o} ⊆ (On ∩ Haus)

Syntax hints:   ∈ wcel 2107  Vcvv 3479   ∩ cin 3949   ⊆ wss 3950  ∅c0 4332  𝒫 cpw 4599  {csn 4625  {cpr 4627  Oncon0 6383  1_oc1o 8500  2_oc2o 8501  Hauscha 23317

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-sb 2064  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3436  df-v 3481  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-br 5143  df-opab 5205  df-tr 5259  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-ord 6386  df-on 6387  df-suc 6389  df-1o 8507  df-2o 8508  df-top 22901  df-haus 23324

This theorem is referenced by:  onint1  36451  oninhaus  36452