Theorem ssoninhaus 36668

Description: The ordinal topologies 1_o and 2_o are Hausdorff. (Contributed by Chen-Pang He, 10-Nov-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ssoninhaus	⊢ {1o, 2o} ⊆ (On ∩ Haus)

Proof of Theorem ssoninhaus

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1on 8419	. . 3 ⊢ 1o ∈ On
2		2on 8420	. . 3 ⊢ 2o ∈ On
3		prssi 4779	. . 3 ⊢ ((1o ∈ On ∧ 2o ∈ On) → {1o, 2o} ⊆ On)
4	1, 2, 3	mp2an 693	. 2 ⊢ {1o, 2o} ⊆ On
5		df1o2 8414	. . . . 5 ⊢ 1o = {∅}
6		pw0 4770	. . . . 5 ⊢ 𝒫 ∅ = {∅}
7	5, 6	eqtr4i 2763	. . . 4 ⊢ 1o = 𝒫 ∅
8		0ex 5254	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
9		dishaus 23341	. . . . 5 ⊢ (∅ ∈ V → 𝒫 ∅ ∈ Haus)
10	8, 9	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝒫 ∅ ∈ Haus
11	7, 10	eqeltri 2833	. . 3 ⊢ 1o ∈ Haus
12		df2o2 8416	. . . . 5 ⊢ 2o = {∅, {∅}}
13		pwpw0 4771	. . . . 5 ⊢ 𝒫 {∅} = {∅, {∅}}
14	12, 13	eqtr4i 2763	. . . 4 ⊢ 2o = 𝒫 {∅}
15		p0ex 5331	. . . . 5 ⊢ {∅} ∈ V
16		dishaus 23341	. . . . 5 ⊢ ({∅} ∈ V → 𝒫 {∅} ∈ Haus)
17	15, 16	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝒫 {∅} ∈ Haus
18	14, 17	eqeltri 2833	. . 3 ⊢ 2o ∈ Haus
19		prssi 4779	. . 3 ⊢ ((1o ∈ Haus ∧ 2o ∈ Haus) → {1o, 2o} ⊆ Haus)
20	11, 18, 19	mp2an 693	. 2 ⊢ {1o, 2o} ⊆ Haus
21	4, 20	ssini 4194	1 ⊢ {1o, 2o} ⊆ (On ∩ Haus)

Syntax hints:   ∈ wcel 2114  Vcvv 3442   ∩ cin 3902   ⊆ wss 3903  ∅c0 4287  𝒫 cpw 4556  {csn 4582  {cpr 4584  Oncon0 6325  1_oc1o 8400  2_oc2o 8401  Hauscha 23267

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-tr 5208  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-ord 6328  df-on 6329  df-suc 6331  df-1o 8407  df-2o 8408  df-top 22853  df-haus 23274

This theorem is referenced by:  onint1  36669  oninhaus  36670