Theorem ssoninhaus 36436

Description: The ordinal topologies 1_o and 2_o are Hausdorff. (Contributed by Chen-Pang He, 10-Nov-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ssoninhaus	⊢ {1o, 2o} ⊆ (On ∩ Haus)

Proof of Theorem ssoninhaus

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1on 8446	. . 3 ⊢ 1o ∈ On
2		2on 8447	. . 3 ⊢ 2o ∈ On
3		prssi 4785	. . 3 ⊢ ((1o ∈ On ∧ 2o ∈ On) → {1o, 2o} ⊆ On)
4	1, 2, 3	mp2an 692	. 2 ⊢ {1o, 2o} ⊆ On
5		df1o2 8441	. . . . 5 ⊢ 1o = {∅}
6		pw0 4776	. . . . 5 ⊢ 𝒫 ∅ = {∅}
7	5, 6	eqtr4i 2755	. . . 4 ⊢ 1o = 𝒫 ∅
8		0ex 5262	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
9		dishaus 23269	. . . . 5 ⊢ (∅ ∈ V → 𝒫 ∅ ∈ Haus)
10	8, 9	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝒫 ∅ ∈ Haus
11	7, 10	eqeltri 2824	. . 3 ⊢ 1o ∈ Haus
12		df2o2 8443	. . . . 5 ⊢ 2o = {∅, {∅}}
13		pwpw0 4777	. . . . 5 ⊢ 𝒫 {∅} = {∅, {∅}}
14	12, 13	eqtr4i 2755	. . . 4 ⊢ 2o = 𝒫 {∅}
15		p0ex 5339	. . . . 5 ⊢ {∅} ∈ V
16		dishaus 23269	. . . . 5 ⊢ ({∅} ∈ V → 𝒫 {∅} ∈ Haus)
17	15, 16	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝒫 {∅} ∈ Haus
18	14, 17	eqeltri 2824	. . 3 ⊢ 2o ∈ Haus
19		prssi 4785	. . 3 ⊢ ((1o ∈ Haus ∧ 2o ∈ Haus) → {1o, 2o} ⊆ Haus)
20	11, 18, 19	mp2an 692	. 2 ⊢ {1o, 2o} ⊆ Haus
21	4, 20	ssini 4203	1 ⊢ {1o, 2o} ⊆ (On ∩ Haus)

Syntax hints:   ∈ wcel 2109  Vcvv 3447   ∩ cin 3913   ⊆ wss 3914  ∅c0 4296  𝒫 cpw 4563  {csn 4589  {cpr 4591  Oncon0 6332  1_oc1o 8427  2_oc2o 8428  Hauscha 23195

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-tr 5215  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-ord 6335  df-on 6336  df-suc 6338  df-1o 8434  df-2o 8435  df-top 22781  df-haus 23202

This theorem is referenced by:  onint1  36437  oninhaus  36438