Theorem ssoninhaus 35637

Description: The ordinal topologies 1_o and 2_o are Hausdorff. (Contributed by Chen-Pang He, 10-Nov-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ssoninhaus	⊢ {1o, 2o} ⊆ (On ∩ Haus)

Proof of Theorem ssoninhaus

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1on 8482	. . 3 ⊢ 1o ∈ On
2		2on 8484	. . 3 ⊢ 2o ∈ On
3		prssi 4824	. . 3 ⊢ ((1o ∈ On ∧ 2o ∈ On) → {1o, 2o} ⊆ On)
4	1, 2, 3	mp2an 689	. 2 ⊢ {1o, 2o} ⊆ On
5		df1o2 8477	. . . . 5 ⊢ 1o = {∅}
6		pw0 4815	. . . . 5 ⊢ 𝒫 ∅ = {∅}
7	5, 6	eqtr4i 2762	. . . 4 ⊢ 1o = 𝒫 ∅
8		0ex 5307	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
9		dishaus 23107	. . . . 5 ⊢ (∅ ∈ V → 𝒫 ∅ ∈ Haus)
10	8, 9	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝒫 ∅ ∈ Haus
11	7, 10	eqeltri 2828	. . 3 ⊢ 1o ∈ Haus
12		df2o2 8479	. . . . 5 ⊢ 2o = {∅, {∅}}
13		pwpw0 4816	. . . . 5 ⊢ 𝒫 {∅} = {∅, {∅}}
14	12, 13	eqtr4i 2762	. . . 4 ⊢ 2o = 𝒫 {∅}
15		p0ex 5382	. . . . 5 ⊢ {∅} ∈ V
16		dishaus 23107	. . . . 5 ⊢ ({∅} ∈ V → 𝒫 {∅} ∈ Haus)
17	15, 16	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝒫 {∅} ∈ Haus
18	14, 17	eqeltri 2828	. . 3 ⊢ 2o ∈ Haus
19		prssi 4824	. . 3 ⊢ ((1o ∈ Haus ∧ 2o ∈ Haus) → {1o, 2o} ⊆ Haus)
20	11, 18, 19	mp2an 689	. 2 ⊢ {1o, 2o} ⊆ Haus
21	4, 20	ssini 4231	1 ⊢ {1o, 2o} ⊆ (On ∩ Haus)

Syntax hints:   ∈ wcel 2105  Vcvv 3473   ∩ cin 3947   ⊆ wss 3948  ∅c0 4322  𝒫 cpw 4602  {csn 4628  {cpr 4630  Oncon0 6364  1_oc1o 8463  2_oc2o 8464  Hauscha 23033

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-sb 2067  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3432  df-v 3475  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-tr 5266  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-ord 6367  df-on 6368  df-suc 6370  df-1o 8470  df-2o 8471  df-top 22617  df-haus 23040

This theorem is referenced by:  onint1  35638  oninhaus  35639