Theorem oninhaus 36981

Description: The ordinal Hausdorff spaces are 1_o and 2_o. (Contributed by Chen-Pang He, 10-Nov-2015.)

Assertion

Ref	Expression
oninhaus	⊢ (On ∩ Haus) = {1o, 2o}

Proof of Theorem oninhaus

Step	Hyp	Ref	Expression
1		haust1 23509	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ Haus → 𝑥 ∈ Fre)
2	1	ssriv 3941	. . . 4 ⊢ Haus ⊆ Fre
3		sslin 4195	. . . 4 ⊢ (Haus ⊆ Fre → (On ∩ Haus) ⊆ (On ∩ Fre))
4	2, 3	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (On ∩ Haus) ⊆ (On ∩ Fre)
5		onint1 36980	. . 3 ⊢ (On ∩ Fre) = {1o, 2o}
6	4, 5	sseqtri 3985	. 2 ⊢ (On ∩ Haus) ⊆ {1o, 2o}
7		ssoninhaus 36979	. 2 ⊢ {1o, 2o} ⊆ (On ∩ Haus)
8	6, 7	eqssi 3953	1 ⊢ (On ∩ Haus) = {1o, 2o}

Syntax hints:   = wceq 1570   ∩ cin 3904   ⊆ wss 3905  {cpr 4591  Oncon0 6360  1_oc1o 8442  2_oc2o 8443  Frect1 23464  Hauscha 23465

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-ord 6363  df-on 6364  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-fv 6544  df-1o 8449  df-2o 8450  df-topgen 17491  df-top 23051  df-topon 23068  df-cld 23176  df-t1 23471  df-haus 23472

This theorem is referenced by: (None)