Theorem oninhaus 36850

Description: The ordinal Hausdorff spaces are 1_o and 2_o. (Contributed by Chen-Pang He, 10-Nov-2015.)

Assertion

Ref	Expression
oninhaus	⊢ (On ∩ Haus) = {1o, 2o}

Proof of Theorem oninhaus

Step	Hyp	Ref	Expression
1		haust1 23478	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ Haus → 𝑥 ∈ Fre)
2	1	ssriv 3949	. . . 4 ⊢ Haus ⊆ Fre
3		sslin 4203	. . . 4 ⊢ (Haus ⊆ Fre → (On ∩ Haus) ⊆ (On ∩ Fre))
4	2, 3	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (On ∩ Haus) ⊆ (On ∩ Fre)
5		onint1 36849	. . 3 ⊢ (On ∩ Fre) = {1o, 2o}
6	4, 5	sseqtri 3993	. 2 ⊢ (On ∩ Haus) ⊆ {1o, 2o}
7		ssoninhaus 36848	. 2 ⊢ {1o, 2o} ⊆ (On ∩ Haus)
8	6, 7	eqssi 3961	1 ⊢ (On ∩ Haus) = {1o, 2o}

Syntax hints:   = wceq 1567   ∩ cin 3912   ⊆ wss 3913  {cpr 4596  Oncon0 6361  1_oc1o 8446  2_oc2o 8447  Frect1 23433  Hauscha 23434

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-ord 6364  df-on 6365  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-fv 6545  df-1o 8453  df-2o 8454  df-topgen 17496  df-top 23020  df-topon 23037  df-cld 23145  df-t1 23440  df-haus 23441

This theorem is referenced by: (None)