Theorem oninhaus 33911

Description: The ordinal Hausdorff spaces are 1_o and 2_o. (Contributed by Chen-Pang He, 10-Nov-2015.)

Assertion

Ref	Expression
oninhaus	⊢ (On ∩ Haus) = {1o, 2o}

Proof of Theorem oninhaus

Step	Hyp	Ref	Expression
1		haust1 21957	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ Haus → 𝑥 ∈ Fre)
2	1	ssriv 3919	. . . 4 ⊢ Haus ⊆ Fre
3		sslin 4161	. . . 4 ⊢ (Haus ⊆ Fre → (On ∩ Haus) ⊆ (On ∩ Fre))
4	2, 3	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (On ∩ Haus) ⊆ (On ∩ Fre)
5		onint1 33910	. . 3 ⊢ (On ∩ Fre) = {1o, 2o}
6	4, 5	sseqtri 3951	. 2 ⊢ (On ∩ Haus) ⊆ {1o, 2o}
7		ssoninhaus 33909	. 2 ⊢ {1o, 2o} ⊆ (On ∩ Haus)
8	6, 7	eqssi 3931	1 ⊢ (On ∩ Haus) = {1o, 2o}

Syntax hints:   = wceq 1538   ∩ cin 3880   ⊆ wss 3881  {cpr 4527  Oncon0 6159  1_oc1o 8078  2_oc2o 8079  Frect1 21912  Hauscha 21913

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-ord 6162  df-on 6163  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-fv 6332  df-1o 8085  df-2o 8086  df-topgen 16709  df-top 21499  df-topon 21516  df-cld 21624  df-t1 21919  df-haus 21920

This theorem is referenced by: (None)