Theorem oninhaus 36438

Description: The ordinal Hausdorff spaces are 1_o and 2_o. (Contributed by Chen-Pang He, 10-Nov-2015.)

Assertion

Ref	Expression
oninhaus	⊢ (On ∩ Haus) = {1o, 2o}

Proof of Theorem oninhaus

Step	Hyp	Ref	Expression
1		haust1 23239	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ Haus → 𝑥 ∈ Fre)
2	1	ssriv 3950	. . . 4 ⊢ Haus ⊆ Fre
3		sslin 4206	. . . 4 ⊢ (Haus ⊆ Fre → (On ∩ Haus) ⊆ (On ∩ Fre))
4	2, 3	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (On ∩ Haus) ⊆ (On ∩ Fre)
5		onint1 36437	. . 3 ⊢ (On ∩ Fre) = {1o, 2o}
6	4, 5	sseqtri 3995	. 2 ⊢ (On ∩ Haus) ⊆ {1o, 2o}
7		ssoninhaus 36436	. 2 ⊢ {1o, 2o} ⊆ (On ∩ Haus)
8	6, 7	eqssi 3963	1 ⊢ (On ∩ Haus) = {1o, 2o}

Syntax hints:   = wceq 1540   ∩ cin 3913   ⊆ wss 3914  {cpr 4591  Oncon0 6332  1_oc1o 8427  2_oc2o 8428  Frect1 23194  Hauscha 23195

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-ord 6335  df-on 6336  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-fv 6519  df-1o 8434  df-2o 8435  df-topgen 17406  df-top 22781  df-topon 22798  df-cld 22906  df-t1 23201  df-haus 23202

This theorem is referenced by: (None)