Theorem oninhaus 37238

Description: The ordinal Hausdorff spaces are 1_o and 2_o. (Contributed by Chen-Pang He, 10-Nov-2015.)

Assertion

Ref	Expression
oninhaus	⊢ (On ∩ Haus) = {1o, 2o}

Proof of Theorem oninhaus

Step	Hyp	Ref	Expression
1		haust1 23670	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ Haus → 𝑥 ∈ Fre)
2	1	ssriv 3935	. . . 4 ⊢ Haus ⊆ Fre
3		sslin 4188	. . . 4 ⊢ (Haus ⊆ Fre → (On ∩ Haus) ⊆ (On ∩ Fre))
4	2, 3	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (On ∩ Haus) ⊆ (On ∩ Fre)
5		onint1 37237	. . 3 ⊢ (On ∩ Fre) = {1o, 2o}
6	4, 5	sseqtri 3979	. 2 ⊢ (On ∩ Haus) ⊆ {1o, 2o}
7		ssoninhaus 37236	. 2 ⊢ {1o, 2o} ⊆ (On ∩ Haus)
8	6, 7	eqssi 3947	1 ⊢ (On ∩ Haus) = {1o, 2o}

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  {cpr 4586  Oncon0 6362  1_oc1o 8469  2_oc2o 8470  Frect1 23625  Hauscha 23626

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-ord 6365  df-on 6366  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-fv 6546  df-1o 8476  df-2o 8477  df-topgen 17614  df-top 23212  df-topon 23229  df-cld 23337  df-t1 23632  df-haus 23633

This theorem is used by: (None)