MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sspid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sspid 29709
Description: A normed complex vector space is a subspace of itself. (Contributed by NM, 8-Apr-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
sspid.h ๐ป = (SubSpโ€˜๐‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
sspid (๐‘ˆ โˆˆ NrmCVec โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ ๐ป)

Proof of Theorem sspid
StepHypRef Expression
1 ssid 3967 . . . 4 ( +๐‘ฃ โ€˜๐‘ˆ) โŠ† ( +๐‘ฃ โ€˜๐‘ˆ)
2 ssid 3967 . . . 4 ( ยท๐‘ OLD โ€˜๐‘ˆ) โŠ† ( ยท๐‘ OLD โ€˜๐‘ˆ)
3 ssid 3967 . . . 4 (normCVโ€˜๐‘ˆ) โŠ† (normCVโ€˜๐‘ˆ)
41, 2, 33pm3.2i 1340 . . 3 (( +๐‘ฃ โ€˜๐‘ˆ) โŠ† ( +๐‘ฃ โ€˜๐‘ˆ) โˆง ( ยท๐‘ OLD โ€˜๐‘ˆ) โŠ† ( ยท๐‘ OLD โ€˜๐‘ˆ) โˆง (normCVโ€˜๐‘ˆ) โŠ† (normCVโ€˜๐‘ˆ))
54jctr 526 . 2 (๐‘ˆ โˆˆ NrmCVec โ†’ (๐‘ˆ โˆˆ NrmCVec โˆง (( +๐‘ฃ โ€˜๐‘ˆ) โŠ† ( +๐‘ฃ โ€˜๐‘ˆ) โˆง ( ยท๐‘ OLD โ€˜๐‘ˆ) โŠ† ( ยท๐‘ OLD โ€˜๐‘ˆ) โˆง (normCVโ€˜๐‘ˆ) โŠ† (normCVโ€˜๐‘ˆ))))
6 eqid 2733 . . 3 ( +๐‘ฃ โ€˜๐‘ˆ) = ( +๐‘ฃ โ€˜๐‘ˆ)
7 eqid 2733 . . 3 ( ยท๐‘ OLD โ€˜๐‘ˆ) = ( ยท๐‘ OLD โ€˜๐‘ˆ)
8 eqid 2733 . . 3 (normCVโ€˜๐‘ˆ) = (normCVโ€˜๐‘ˆ)
9 sspid.h . . 3 ๐ป = (SubSpโ€˜๐‘ˆ)
106, 6, 7, 7, 8, 8, 9isssp 29708 . 2 (๐‘ˆ โˆˆ NrmCVec โ†’ (๐‘ˆ โˆˆ ๐ป โ†” (๐‘ˆ โˆˆ NrmCVec โˆง (( +๐‘ฃ โ€˜๐‘ˆ) โŠ† ( +๐‘ฃ โ€˜๐‘ˆ) โˆง ( ยท๐‘ OLD โ€˜๐‘ˆ) โŠ† ( ยท๐‘ OLD โ€˜๐‘ˆ) โˆง (normCVโ€˜๐‘ˆ) โŠ† (normCVโ€˜๐‘ˆ)))))
115, 10mpbird 257 1 (๐‘ˆ โˆˆ NrmCVec โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ ๐ป)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โŠ† wss 3911  โ€˜cfv 6497  NrmCVeccnv 29568   +๐‘ฃ cpv 29569   ยท๐‘ OLD cns 29571  normCVcnmcv 29574  SubSpcss 29705
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3446  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-fo 6503  df-fv 6505  df-oprab 7362  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-vc 29543  df-nv 29576  df-va 29579  df-sm 29581  df-nmcv 29584  df-ssp 29706
This theorem is referenced by:  hhsssh  30253
  Copyright terms: Public domain W3C validator