MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sspid Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem sspid 29965
Description: A normed complex vector space is a subspace of itself. (Contributed by NM, 8-Apr-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
sspid.h ๐ป = (SubSpโ€˜๐‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
sspid (๐‘ˆ โˆˆ NrmCVec โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ ๐ป)
Proof of Theorem sspid
StepHypRef Expression
1 ssid 4003 . . . 4 ( +๐‘ฃ โ€˜๐‘ˆ) โŠ† ( +๐‘ฃ โ€˜๐‘ˆ)
2 ssid 4003 . . . 4 ( ยท๐‘ OLD โ€˜๐‘ˆ) โŠ† ( ยท๐‘ OLD โ€˜๐‘ˆ)
3 ssid 4003 . . . 4 (normCVโ€˜๐‘ˆ) โŠ† (normCVโ€˜๐‘ˆ)
41, 2, 33pm3.2i 1339 . . 3 (( +๐‘ฃ โ€˜๐‘ˆ) โŠ† ( +๐‘ฃ โ€˜๐‘ˆ) โˆง ( ยท๐‘ OLD โ€˜๐‘ˆ) โŠ† ( ยท๐‘ OLD โ€˜๐‘ˆ) โˆง (normCVโ€˜๐‘ˆ) โŠ† (normCVโ€˜๐‘ˆ))
54jctr 525 . 2 (๐‘ˆ โˆˆ NrmCVec โ†’ (๐‘ˆ โˆˆ NrmCVec โˆง (( +๐‘ฃ โ€˜๐‘ˆ) โŠ† ( +๐‘ฃ โ€˜๐‘ˆ) โˆง ( ยท๐‘ OLD โ€˜๐‘ˆ) โŠ† ( ยท๐‘ OLD โ€˜๐‘ˆ) โˆง (normCVโ€˜๐‘ˆ) โŠ† (normCVโ€˜๐‘ˆ))))
6 eqid 2732 . . 3 ( +๐‘ฃ โ€˜๐‘ˆ) = ( +๐‘ฃ โ€˜๐‘ˆ)
7 eqid 2732 . . 3 ( ยท๐‘ OLD โ€˜๐‘ˆ) = ( ยท๐‘ OLD โ€˜๐‘ˆ)
8 eqid 2732 . . 3 (normCVโ€˜๐‘ˆ) = (normCVโ€˜๐‘ˆ)
9 sspid.h . . 3 ๐ป = (SubSpโ€˜๐‘ˆ)
106, 6, 7, 7, 8, 8, 9isssp 29964 . 2 (๐‘ˆ โˆˆ NrmCVec โ†’ (๐‘ˆ โˆˆ ๐ป โ†” (๐‘ˆ โˆˆ NrmCVec โˆง (( +๐‘ฃ โ€˜๐‘ˆ) โŠ† ( +๐‘ฃ โ€˜๐‘ˆ) โˆง ( ยท๐‘ OLD โ€˜๐‘ˆ) โŠ† ( ยท๐‘ OLD โ€˜๐‘ˆ) โˆง (normCVโ€˜๐‘ˆ) โŠ† (normCVโ€˜๐‘ˆ)))))
115, 10mpbird 256 1 (๐‘ˆ โˆˆ NrmCVec โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ ๐ป)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โŠ† wss 3947  โ€˜cfv 6540  NrmCVeccnv 29824   +๐‘ฃ cpv 29825   ยท๐‘ OLD cns 29827  normCVcnmcv 29830  SubSpcss 29961
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-fo 6546  df-fv 6548  df-oprab 7409  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-vc 29799  df-nv 29832  df-va 29835  df-sm 29837  df-nmcv 29840  df-ssp 29962
This theorem is referenced by:  hhsssh  30509
  Copyright terms: Public domain W3C validator