MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sspid Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem sspid 30548
Description: A normed complex vector space is a subspace of itself. (Contributed by NM, 8-Apr-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
sspid.h ๐ป = (SubSpโ€˜๐‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
sspid (๐‘ˆ โˆˆ NrmCVec โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ ๐ป)
Proof of Theorem sspid
StepHypRef Expression
1 ssid 4002 . . . 4 ( +๐‘ฃ โ€˜๐‘ˆ) โŠ† ( +๐‘ฃ โ€˜๐‘ˆ)
2 ssid 4002 . . . 4 ( ยท๐‘ OLD โ€˜๐‘ˆ) โŠ† ( ยท๐‘ OLD โ€˜๐‘ˆ)
3 ssid 4002 . . . 4 (normCVโ€˜๐‘ˆ) โŠ† (normCVโ€˜๐‘ˆ)
41, 2, 33pm3.2i 1337 . . 3 (( +๐‘ฃ โ€˜๐‘ˆ) โŠ† ( +๐‘ฃ โ€˜๐‘ˆ) โˆง ( ยท๐‘ OLD โ€˜๐‘ˆ) โŠ† ( ยท๐‘ OLD โ€˜๐‘ˆ) โˆง (normCVโ€˜๐‘ˆ) โŠ† (normCVโ€˜๐‘ˆ))
54jctr 524 . 2 (๐‘ˆ โˆˆ NrmCVec โ†’ (๐‘ˆ โˆˆ NrmCVec โˆง (( +๐‘ฃ โ€˜๐‘ˆ) โŠ† ( +๐‘ฃ โ€˜๐‘ˆ) โˆง ( ยท๐‘ OLD โ€˜๐‘ˆ) โŠ† ( ยท๐‘ OLD โ€˜๐‘ˆ) โˆง (normCVโ€˜๐‘ˆ) โŠ† (normCVโ€˜๐‘ˆ))))
6 eqid 2728 . . 3 ( +๐‘ฃ โ€˜๐‘ˆ) = ( +๐‘ฃ โ€˜๐‘ˆ)
7 eqid 2728 . . 3 ( ยท๐‘ OLD โ€˜๐‘ˆ) = ( ยท๐‘ OLD โ€˜๐‘ˆ)
8 eqid 2728 . . 3 (normCVโ€˜๐‘ˆ) = (normCVโ€˜๐‘ˆ)
9 sspid.h . . 3 ๐ป = (SubSpโ€˜๐‘ˆ)
106, 6, 7, 7, 8, 8, 9isssp 30547 . 2 (๐‘ˆ โˆˆ NrmCVec โ†’ (๐‘ˆ โˆˆ ๐ป โ†” (๐‘ˆ โˆˆ NrmCVec โˆง (( +๐‘ฃ โ€˜๐‘ˆ) โŠ† ( +๐‘ฃ โ€˜๐‘ˆ) โˆง ( ยท๐‘ OLD โ€˜๐‘ˆ) โŠ† ( ยท๐‘ OLD โ€˜๐‘ˆ) โˆง (normCVโ€˜๐‘ˆ) โŠ† (normCVโ€˜๐‘ˆ)))))
115, 10mpbird 257 1 (๐‘ˆ โˆˆ NrmCVec โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ ๐ป)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆง w3a 1085   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099   โŠ† wss 3947  โ€˜cfv 6548  NrmCVeccnv 30407   +๐‘ฃ cpv 30408   ยท๐‘ OLD cns 30410  normCVcnmcv 30413  SubSpcss 30544
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3430  df-v 3473  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-fo 6554  df-fv 6556  df-oprab 7424  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-vc 30382  df-nv 30415  df-va 30418  df-sm 30420  df-nmcv 30423  df-ssp 30545
This theorem is referenced by:  hhsssh  31092
  Copyright terms: Public domain W3C validator