MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sspid Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem sspid 30473
Description: A normed complex vector space is a subspace of itself. (Contributed by NM, 8-Apr-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
sspid.h ๐ป = (SubSpโ€˜๐‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
sspid (๐‘ˆ โˆˆ NrmCVec โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ ๐ป)
Proof of Theorem sspid
StepHypRef Expression
1 ssid 3997 . . . 4 ( +๐‘ฃ โ€˜๐‘ˆ) โŠ† ( +๐‘ฃ โ€˜๐‘ˆ)
2 ssid 3997 . . . 4 ( ยท๐‘ OLD โ€˜๐‘ˆ) โŠ† ( ยท๐‘ OLD โ€˜๐‘ˆ)
3 ssid 3997 . . . 4 (normCVโ€˜๐‘ˆ) โŠ† (normCVโ€˜๐‘ˆ)
41, 2, 33pm3.2i 1336 . . 3 (( +๐‘ฃ โ€˜๐‘ˆ) โŠ† ( +๐‘ฃ โ€˜๐‘ˆ) โˆง ( ยท๐‘ OLD โ€˜๐‘ˆ) โŠ† ( ยท๐‘ OLD โ€˜๐‘ˆ) โˆง (normCVโ€˜๐‘ˆ) โŠ† (normCVโ€˜๐‘ˆ))
54jctr 524 . 2 (๐‘ˆ โˆˆ NrmCVec โ†’ (๐‘ˆ โˆˆ NrmCVec โˆง (( +๐‘ฃ โ€˜๐‘ˆ) โŠ† ( +๐‘ฃ โ€˜๐‘ˆ) โˆง ( ยท๐‘ OLD โ€˜๐‘ˆ) โŠ† ( ยท๐‘ OLD โ€˜๐‘ˆ) โˆง (normCVโ€˜๐‘ˆ) โŠ† (normCVโ€˜๐‘ˆ))))
6 eqid 2724 . . 3 ( +๐‘ฃ โ€˜๐‘ˆ) = ( +๐‘ฃ โ€˜๐‘ˆ)
7 eqid 2724 . . 3 ( ยท๐‘ OLD โ€˜๐‘ˆ) = ( ยท๐‘ OLD โ€˜๐‘ˆ)
8 eqid 2724 . . 3 (normCVโ€˜๐‘ˆ) = (normCVโ€˜๐‘ˆ)
9 sspid.h . . 3 ๐ป = (SubSpโ€˜๐‘ˆ)
106, 6, 7, 7, 8, 8, 9isssp 30472 . 2 (๐‘ˆ โˆˆ NrmCVec โ†’ (๐‘ˆ โˆˆ ๐ป โ†” (๐‘ˆ โˆˆ NrmCVec โˆง (( +๐‘ฃ โ€˜๐‘ˆ) โŠ† ( +๐‘ฃ โ€˜๐‘ˆ) โˆง ( ยท๐‘ OLD โ€˜๐‘ˆ) โŠ† ( ยท๐‘ OLD โ€˜๐‘ˆ) โˆง (normCVโ€˜๐‘ˆ) โŠ† (normCVโ€˜๐‘ˆ)))))
115, 10mpbird 257 1 (๐‘ˆ โˆˆ NrmCVec โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ ๐ป)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โŠ† wss 3941  โ€˜cfv 6534  NrmCVeccnv 30332   +๐‘ฃ cpv 30333   ยท๐‘ OLD cns 30335  normCVcnmcv 30338  SubSpcss 30469
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-fo 6540  df-fv 6542  df-oprab 7406  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-vc 30307  df-nv 30340  df-va 30343  df-sm 30345  df-nmcv 30348  df-ssp 30470
This theorem is referenced by:  hhsssh  31017
  Copyright terms: Public domain W3C validator