![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > sspid | Structured version Visualization version GIF version |
Description: A normed complex vector space is a subspace of itself. (Contributed by NM, 8-Apr-2008.) (New usage is discouraged.) |
Ref | Expression |
---|---|
sspid.h | โข ๐ป = (SubSpโ๐) |
Ref | Expression |
---|---|
sspid | โข (๐ โ NrmCVec โ ๐ โ ๐ป) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | ssid 3967 | . . . 4 โข ( +๐ฃ โ๐) โ ( +๐ฃ โ๐) | |
2 | ssid 3967 | . . . 4 โข ( ยท๐ OLD โ๐) โ ( ยท๐ OLD โ๐) | |
3 | ssid 3967 | . . . 4 โข (normCVโ๐) โ (normCVโ๐) | |
4 | 1, 2, 3 | 3pm3.2i 1340 | . . 3 โข (( +๐ฃ โ๐) โ ( +๐ฃ โ๐) โง ( ยท๐ OLD โ๐) โ ( ยท๐ OLD โ๐) โง (normCVโ๐) โ (normCVโ๐)) |
5 | 4 | jctr 526 | . 2 โข (๐ โ NrmCVec โ (๐ โ NrmCVec โง (( +๐ฃ โ๐) โ ( +๐ฃ โ๐) โง ( ยท๐ OLD โ๐) โ ( ยท๐ OLD โ๐) โง (normCVโ๐) โ (normCVโ๐)))) |
6 | eqid 2733 | . . 3 โข ( +๐ฃ โ๐) = ( +๐ฃ โ๐) | |
7 | eqid 2733 | . . 3 โข ( ยท๐ OLD โ๐) = ( ยท๐ OLD โ๐) | |
8 | eqid 2733 | . . 3 โข (normCVโ๐) = (normCVโ๐) | |
9 | sspid.h | . . 3 โข ๐ป = (SubSpโ๐) | |
10 | 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9 | isssp 29708 | . 2 โข (๐ โ NrmCVec โ (๐ โ ๐ป โ (๐ โ NrmCVec โง (( +๐ฃ โ๐) โ ( +๐ฃ โ๐) โง ( ยท๐ OLD โ๐) โ ( ยท๐ OLD โ๐) โง (normCVโ๐) โ (normCVโ๐))))) |
11 | 5, 10 | mpbird 257 | 1 โข (๐ โ NrmCVec โ ๐ โ ๐ป) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 397 โง w3a 1088 = wceq 1542 โ wcel 2107 โ wss 3911 โcfv 6497 NrmCVeccnv 29568 +๐ฃ cpv 29569 ยท๐ OLD cns 29571 normCVcnmcv 29574 SubSpcss 29705 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2704 ax-sep 5257 ax-nul 5264 ax-pow 5321 ax-pr 5385 ax-un 7673 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2535 df-eu 2564 df-clab 2711 df-cleq 2725 df-clel 2811 df-nfc 2886 df-ne 2941 df-ral 3062 df-rex 3071 df-rab 3407 df-v 3446 df-dif 3914 df-un 3916 df-in 3918 df-ss 3928 df-nul 4284 df-if 4488 df-pw 4563 df-sn 4588 df-pr 4590 df-op 4594 df-uni 4867 df-br 5107 df-opab 5169 df-mpt 5190 df-id 5532 df-xp 5640 df-rel 5641 df-cnv 5642 df-co 5643 df-dm 5644 df-rn 5645 df-res 5646 df-ima 5647 df-iota 6449 df-fun 6499 df-fn 6500 df-f 6501 df-fo 6503 df-fv 6505 df-oprab 7362 df-1st 7922 df-2nd 7923 df-vc 29543 df-nv 29576 df-va 29579 df-sm 29581 df-nmcv 29584 df-ssp 29706 |
This theorem is referenced by: hhsssh 30253 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |