![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > isssp | Structured version Visualization version GIF version |
Description: The predicate "is a subspace." (Contributed by NM, 26-Jan-2008.) (New usage is discouraged.) |
Ref | Expression |
---|---|
isssp.g | โข ๐บ = ( +๐ฃ โ๐) |
isssp.f | โข ๐น = ( +๐ฃ โ๐) |
isssp.s | โข ๐ = ( ยท๐ OLD โ๐) |
isssp.r | โข ๐ = ( ยท๐ OLD โ๐) |
isssp.n | โข ๐ = (normCVโ๐) |
isssp.m | โข ๐ = (normCVโ๐) |
isssp.h | โข ๐ป = (SubSpโ๐) |
Ref | Expression |
---|---|
isssp | โข (๐ โ NrmCVec โ (๐ โ ๐ป โ (๐ โ NrmCVec โง (๐น โ ๐บ โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐)))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | isssp.g | . . . 4 โข ๐บ = ( +๐ฃ โ๐) | |
2 | isssp.s | . . . 4 โข ๐ = ( ยท๐ OLD โ๐) | |
3 | isssp.n | . . . 4 โข ๐ = (normCVโ๐) | |
4 | isssp.h | . . . 4 โข ๐ป = (SubSpโ๐) | |
5 | 1, 2, 3, 4 | sspval 30532 | . . 3 โข (๐ โ NrmCVec โ ๐ป = {๐ค โ NrmCVec โฃ (( +๐ฃ โ๐ค) โ ๐บ โง ( ยท๐ OLD โ๐ค) โ ๐ โง (normCVโ๐ค) โ ๐)}) |
6 | 5 | eleq2d 2815 | . 2 โข (๐ โ NrmCVec โ (๐ โ ๐ป โ ๐ โ {๐ค โ NrmCVec โฃ (( +๐ฃ โ๐ค) โ ๐บ โง ( ยท๐ OLD โ๐ค) โ ๐ โง (normCVโ๐ค) โ ๐)})) |
7 | fveq2 6897 | . . . . . 6 โข (๐ค = ๐ โ ( +๐ฃ โ๐ค) = ( +๐ฃ โ๐)) | |
8 | isssp.f | . . . . . 6 โข ๐น = ( +๐ฃ โ๐) | |
9 | 7, 8 | eqtr4di 2786 | . . . . 5 โข (๐ค = ๐ โ ( +๐ฃ โ๐ค) = ๐น) |
10 | 9 | sseq1d 4011 | . . . 4 โข (๐ค = ๐ โ (( +๐ฃ โ๐ค) โ ๐บ โ ๐น โ ๐บ)) |
11 | fveq2 6897 | . . . . . 6 โข (๐ค = ๐ โ ( ยท๐ OLD โ๐ค) = ( ยท๐ OLD โ๐)) | |
12 | isssp.r | . . . . . 6 โข ๐ = ( ยท๐ OLD โ๐) | |
13 | 11, 12 | eqtr4di 2786 | . . . . 5 โข (๐ค = ๐ โ ( ยท๐ OLD โ๐ค) = ๐ ) |
14 | 13 | sseq1d 4011 | . . . 4 โข (๐ค = ๐ โ (( ยท๐ OLD โ๐ค) โ ๐ โ ๐ โ ๐)) |
15 | fveq2 6897 | . . . . . 6 โข (๐ค = ๐ โ (normCVโ๐ค) = (normCVโ๐)) | |
16 | isssp.m | . . . . . 6 โข ๐ = (normCVโ๐) | |
17 | 15, 16 | eqtr4di 2786 | . . . . 5 โข (๐ค = ๐ โ (normCVโ๐ค) = ๐) |
18 | 17 | sseq1d 4011 | . . . 4 โข (๐ค = ๐ โ ((normCVโ๐ค) โ ๐ โ ๐ โ ๐)) |
19 | 10, 14, 18 | 3anbi123d 1433 | . . 3 โข (๐ค = ๐ โ ((( +๐ฃ โ๐ค) โ ๐บ โง ( ยท๐ OLD โ๐ค) โ ๐ โง (normCVโ๐ค) โ ๐) โ (๐น โ ๐บ โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐))) |
20 | 19 | elrab 3682 | . 2 โข (๐ โ {๐ค โ NrmCVec โฃ (( +๐ฃ โ๐ค) โ ๐บ โง ( ยท๐ OLD โ๐ค) โ ๐ โง (normCVโ๐ค) โ ๐)} โ (๐ โ NrmCVec โง (๐น โ ๐บ โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐))) |
21 | 6, 20 | bitrdi 287 | 1 โข (๐ โ NrmCVec โ (๐ โ ๐ป โ (๐ โ NrmCVec โง (๐น โ ๐บ โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐)))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โ wb 205 โง wa 395 โง w3a 1085 = wceq 1534 โ wcel 2099 {crab 3429 โ wss 3947 โcfv 6548 NrmCVeccnv 30393 +๐ฃ cpv 30394 ยท๐ OLD cns 30396 normCVcnmcv 30399 SubSpcss 30530 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1790 ax-4 1804 ax-5 1906 ax-6 1964 ax-7 2004 ax-8 2101 ax-9 2109 ax-10 2130 ax-11 2147 ax-12 2167 ax-ext 2699 ax-sep 5299 ax-nul 5306 ax-pow 5365 ax-pr 5429 ax-un 7740 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 847 df-3an 1087 df-tru 1537 df-fal 1547 df-ex 1775 df-nf 1779 df-sb 2061 df-mo 2530 df-eu 2559 df-clab 2706 df-cleq 2720 df-clel 2806 df-nfc 2881 df-ne 2938 df-ral 3059 df-rex 3068 df-rab 3430 df-v 3473 df-dif 3950 df-un 3952 df-in 3954 df-ss 3964 df-nul 4324 df-if 4530 df-pw 4605 df-sn 4630 df-pr 4632 df-op 4636 df-uni 4909 df-br 5149 df-opab 5211 df-mpt 5232 df-id 5576 df-xp 5684 df-rel 5685 df-cnv 5686 df-co 5687 df-dm 5688 df-rn 5689 df-res 5690 df-ima 5691 df-iota 6500 df-fun 6550 df-fn 6551 df-f 6552 df-fo 6554 df-fv 6556 df-oprab 7424 df-1st 7993 df-2nd 7994 df-vc 30368 df-nv 30401 df-va 30404 df-sm 30406 df-nmcv 30409 df-ssp 30531 |
This theorem is referenced by: sspid 30534 sspnv 30535 sspba 30536 sspg 30537 ssps 30539 sspn 30545 hhsst 31075 hhsssh2 31079 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |