![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > isssp | Structured version Visualization version GIF version |
Description: The predicate "is a subspace." (Contributed by NM, 26-Jan-2008.) (New usage is discouraged.) |
Ref | Expression |
---|---|
isssp.g | โข ๐บ = ( +๐ฃ โ๐) |
isssp.f | โข ๐น = ( +๐ฃ โ๐) |
isssp.s | โข ๐ = ( ยท๐ OLD โ๐) |
isssp.r | โข ๐ = ( ยท๐ OLD โ๐) |
isssp.n | โข ๐ = (normCVโ๐) |
isssp.m | โข ๐ = (normCVโ๐) |
isssp.h | โข ๐ป = (SubSpโ๐) |
Ref | Expression |
---|---|
isssp | โข (๐ โ NrmCVec โ (๐ โ ๐ป โ (๐ โ NrmCVec โง (๐น โ ๐บ โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐)))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | isssp.g | . . . 4 โข ๐บ = ( +๐ฃ โ๐) | |
2 | isssp.s | . . . 4 โข ๐ = ( ยท๐ OLD โ๐) | |
3 | isssp.n | . . . 4 โข ๐ = (normCVโ๐) | |
4 | isssp.h | . . . 4 โข ๐ป = (SubSpโ๐) | |
5 | 1, 2, 3, 4 | sspval 29707 | . . 3 โข (๐ โ NrmCVec โ ๐ป = {๐ค โ NrmCVec โฃ (( +๐ฃ โ๐ค) โ ๐บ โง ( ยท๐ OLD โ๐ค) โ ๐ โง (normCVโ๐ค) โ ๐)}) |
6 | 5 | eleq2d 2820 | . 2 โข (๐ โ NrmCVec โ (๐ โ ๐ป โ ๐ โ {๐ค โ NrmCVec โฃ (( +๐ฃ โ๐ค) โ ๐บ โง ( ยท๐ OLD โ๐ค) โ ๐ โง (normCVโ๐ค) โ ๐)})) |
7 | fveq2 6843 | . . . . . 6 โข (๐ค = ๐ โ ( +๐ฃ โ๐ค) = ( +๐ฃ โ๐)) | |
8 | isssp.f | . . . . . 6 โข ๐น = ( +๐ฃ โ๐) | |
9 | 7, 8 | eqtr4di 2791 | . . . . 5 โข (๐ค = ๐ โ ( +๐ฃ โ๐ค) = ๐น) |
10 | 9 | sseq1d 3976 | . . . 4 โข (๐ค = ๐ โ (( +๐ฃ โ๐ค) โ ๐บ โ ๐น โ ๐บ)) |
11 | fveq2 6843 | . . . . . 6 โข (๐ค = ๐ โ ( ยท๐ OLD โ๐ค) = ( ยท๐ OLD โ๐)) | |
12 | isssp.r | . . . . . 6 โข ๐ = ( ยท๐ OLD โ๐) | |
13 | 11, 12 | eqtr4di 2791 | . . . . 5 โข (๐ค = ๐ โ ( ยท๐ OLD โ๐ค) = ๐ ) |
14 | 13 | sseq1d 3976 | . . . 4 โข (๐ค = ๐ โ (( ยท๐ OLD โ๐ค) โ ๐ โ ๐ โ ๐)) |
15 | fveq2 6843 | . . . . . 6 โข (๐ค = ๐ โ (normCVโ๐ค) = (normCVโ๐)) | |
16 | isssp.m | . . . . . 6 โข ๐ = (normCVโ๐) | |
17 | 15, 16 | eqtr4di 2791 | . . . . 5 โข (๐ค = ๐ โ (normCVโ๐ค) = ๐) |
18 | 17 | sseq1d 3976 | . . . 4 โข (๐ค = ๐ โ ((normCVโ๐ค) โ ๐ โ ๐ โ ๐)) |
19 | 10, 14, 18 | 3anbi123d 1437 | . . 3 โข (๐ค = ๐ โ ((( +๐ฃ โ๐ค) โ ๐บ โง ( ยท๐ OLD โ๐ค) โ ๐ โง (normCVโ๐ค) โ ๐) โ (๐น โ ๐บ โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐))) |
20 | 19 | elrab 3646 | . 2 โข (๐ โ {๐ค โ NrmCVec โฃ (( +๐ฃ โ๐ค) โ ๐บ โง ( ยท๐ OLD โ๐ค) โ ๐ โง (normCVโ๐ค) โ ๐)} โ (๐ โ NrmCVec โง (๐น โ ๐บ โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐))) |
21 | 6, 20 | bitrdi 287 | 1 โข (๐ โ NrmCVec โ (๐ โ ๐ป โ (๐ โ NrmCVec โง (๐น โ ๐บ โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐)))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โ wb 205 โง wa 397 โง w3a 1088 = wceq 1542 โ wcel 2107 {crab 3406 โ wss 3911 โcfv 6497 NrmCVeccnv 29568 +๐ฃ cpv 29569 ยท๐ OLD cns 29571 normCVcnmcv 29574 SubSpcss 29705 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2704 ax-sep 5257 ax-nul 5264 ax-pow 5321 ax-pr 5385 ax-un 7673 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2535 df-eu 2564 df-clab 2711 df-cleq 2725 df-clel 2811 df-nfc 2886 df-ne 2941 df-ral 3062 df-rex 3071 df-rab 3407 df-v 3446 df-dif 3914 df-un 3916 df-in 3918 df-ss 3928 df-nul 4284 df-if 4488 df-pw 4563 df-sn 4588 df-pr 4590 df-op 4594 df-uni 4867 df-br 5107 df-opab 5169 df-mpt 5190 df-id 5532 df-xp 5640 df-rel 5641 df-cnv 5642 df-co 5643 df-dm 5644 df-rn 5645 df-res 5646 df-ima 5647 df-iota 6449 df-fun 6499 df-fn 6500 df-f 6501 df-fo 6503 df-fv 6505 df-oprab 7362 df-1st 7922 df-2nd 7923 df-vc 29543 df-nv 29576 df-va 29579 df-sm 29581 df-nmcv 29584 df-ssp 29706 |
This theorem is referenced by: sspid 29709 sspnv 29710 sspba 29711 sspg 29712 ssps 29714 sspn 29720 hhsst 30250 hhsssh2 30254 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |