MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isssp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isssp 30533
Description: The predicate "is a subspace." (Contributed by NM, 26-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
isssp.g ๐บ = ( +๐‘ฃ โ€˜๐‘ˆ)
isssp.f ๐น = ( +๐‘ฃ โ€˜๐‘Š)
isssp.s ๐‘† = ( ยท๐‘ OLD โ€˜๐‘ˆ)
isssp.r ๐‘… = ( ยท๐‘ OLD โ€˜๐‘Š)
isssp.n ๐‘ = (normCVโ€˜๐‘ˆ)
isssp.m ๐‘€ = (normCVโ€˜๐‘Š)
isssp.h ๐ป = (SubSpโ€˜๐‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
isssp (๐‘ˆ โˆˆ NrmCVec โ†’ (๐‘Š โˆˆ ๐ป โ†” (๐‘Š โˆˆ NrmCVec โˆง (๐น โІ ๐บ โˆง ๐‘… โІ ๐‘† โˆง ๐‘€ โІ ๐‘))))

Proof of Theorem isssp
Dummy variable ๐‘ค is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isssp.g . . . 4 ๐บ = ( +๐‘ฃ โ€˜๐‘ˆ)
2 isssp.s . . . 4 ๐‘† = ( ยท๐‘ OLD โ€˜๐‘ˆ)
3 isssp.n . . . 4 ๐‘ = (normCVโ€˜๐‘ˆ)
4 isssp.h . . . 4 ๐ป = (SubSpโ€˜๐‘ˆ)
51, 2, 3, 4sspval 30532 . . 3 (๐‘ˆ โˆˆ NrmCVec โ†’ ๐ป = {๐‘ค โˆˆ NrmCVec โˆฃ (( +๐‘ฃ โ€˜๐‘ค) โІ ๐บ โˆง ( ยท๐‘ OLD โ€˜๐‘ค) โІ ๐‘† โˆง (normCVโ€˜๐‘ค) โІ ๐‘)})
65eleq2d 2815 . 2 (๐‘ˆ โˆˆ NrmCVec โ†’ (๐‘Š โˆˆ ๐ป โ†” ๐‘Š โˆˆ {๐‘ค โˆˆ NrmCVec โˆฃ (( +๐‘ฃ โ€˜๐‘ค) โІ ๐บ โˆง ( ยท๐‘ OLD โ€˜๐‘ค) โІ ๐‘† โˆง (normCVโ€˜๐‘ค) โІ ๐‘)}))
7 fveq2 6897 . . . . . 6 (๐‘ค = ๐‘Š โ†’ ( +๐‘ฃ โ€˜๐‘ค) = ( +๐‘ฃ โ€˜๐‘Š))
8 isssp.f . . . . . 6 ๐น = ( +๐‘ฃ โ€˜๐‘Š)
97, 8eqtr4di 2786 . . . . 5 (๐‘ค = ๐‘Š โ†’ ( +๐‘ฃ โ€˜๐‘ค) = ๐น)
109sseq1d 4011 . . . 4 (๐‘ค = ๐‘Š โ†’ (( +๐‘ฃ โ€˜๐‘ค) โІ ๐บ โ†” ๐น โІ ๐บ))
11 fveq2 6897 . . . . . 6 (๐‘ค = ๐‘Š โ†’ ( ยท๐‘ OLD โ€˜๐‘ค) = ( ยท๐‘ OLD โ€˜๐‘Š))
12 isssp.r . . . . . 6 ๐‘… = ( ยท๐‘ OLD โ€˜๐‘Š)
1311, 12eqtr4di 2786 . . . . 5 (๐‘ค = ๐‘Š โ†’ ( ยท๐‘ OLD โ€˜๐‘ค) = ๐‘…)
1413sseq1d 4011 . . . 4 (๐‘ค = ๐‘Š โ†’ (( ยท๐‘ OLD โ€˜๐‘ค) โІ ๐‘† โ†” ๐‘… โІ ๐‘†))
15 fveq2 6897 . . . . . 6 (๐‘ค = ๐‘Š โ†’ (normCVโ€˜๐‘ค) = (normCVโ€˜๐‘Š))
16 isssp.m . . . . . 6 ๐‘€ = (normCVโ€˜๐‘Š)
1715, 16eqtr4di 2786 . . . . 5 (๐‘ค = ๐‘Š โ†’ (normCVโ€˜๐‘ค) = ๐‘€)
1817sseq1d 4011 . . . 4 (๐‘ค = ๐‘Š โ†’ ((normCVโ€˜๐‘ค) โІ ๐‘ โ†” ๐‘€ โІ ๐‘))
1910, 14, 183anbi123d 1433 . . 3 (๐‘ค = ๐‘Š โ†’ ((( +๐‘ฃ โ€˜๐‘ค) โІ ๐บ โˆง ( ยท๐‘ OLD โ€˜๐‘ค) โІ ๐‘† โˆง (normCVโ€˜๐‘ค) โІ ๐‘) โ†” (๐น โІ ๐บ โˆง ๐‘… โІ ๐‘† โˆง ๐‘€ โІ ๐‘)))
2019elrab 3682 . 2 (๐‘Š โˆˆ {๐‘ค โˆˆ NrmCVec โˆฃ (( +๐‘ฃ โ€˜๐‘ค) โІ ๐บ โˆง ( ยท๐‘ OLD โ€˜๐‘ค) โІ ๐‘† โˆง (normCVโ€˜๐‘ค) โІ ๐‘)} โ†” (๐‘Š โˆˆ NrmCVec โˆง (๐น โІ ๐บ โˆง ๐‘… โІ ๐‘† โˆง ๐‘€ โІ ๐‘)))
216, 20bitrdi 287 1 (๐‘ˆ โˆˆ NrmCVec โ†’ (๐‘Š โˆˆ ๐ป โ†” (๐‘Š โˆˆ NrmCVec โˆง (๐น โІ ๐บ โˆง ๐‘… โІ ๐‘† โˆง ๐‘€ โІ ๐‘))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆง w3a 1085   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099  {crab 3429   โІ wss 3947  โ€˜cfv 6548  NrmCVeccnv 30393   +๐‘ฃ cpv 30394   ยท๐‘ OLD cns 30396  normCVcnmcv 30399  SubSpcss 30530
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3430  df-v 3473  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-fo 6554  df-fv 6556  df-oprab 7424  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-vc 30368  df-nv 30401  df-va 30404  df-sm 30406  df-nmcv 30409  df-ssp 30531
This theorem is referenced by:  sspid  30534  sspnv  30535  sspba  30536  sspg  30537  ssps  30539  sspn  30545  hhsst  31075  hhsssh2  31079
  Copyright terms: Public domain W3C validator