MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isssp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isssp 29708
Description: The predicate "is a subspace." (Contributed by NM, 26-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
isssp.g ๐บ = ( +๐‘ฃ โ€˜๐‘ˆ)
isssp.f ๐น = ( +๐‘ฃ โ€˜๐‘Š)
isssp.s ๐‘† = ( ยท๐‘ OLD โ€˜๐‘ˆ)
isssp.r ๐‘… = ( ยท๐‘ OLD โ€˜๐‘Š)
isssp.n ๐‘ = (normCVโ€˜๐‘ˆ)
isssp.m ๐‘€ = (normCVโ€˜๐‘Š)
isssp.h ๐ป = (SubSpโ€˜๐‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
isssp (๐‘ˆ โˆˆ NrmCVec โ†’ (๐‘Š โˆˆ ๐ป โ†” (๐‘Š โˆˆ NrmCVec โˆง (๐น โŠ† ๐บ โˆง ๐‘… โŠ† ๐‘† โˆง ๐‘€ โŠ† ๐‘))))

Proof of Theorem isssp
Dummy variable ๐‘ค is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isssp.g . . . 4 ๐บ = ( +๐‘ฃ โ€˜๐‘ˆ)
2 isssp.s . . . 4 ๐‘† = ( ยท๐‘ OLD โ€˜๐‘ˆ)
3 isssp.n . . . 4 ๐‘ = (normCVโ€˜๐‘ˆ)
4 isssp.h . . . 4 ๐ป = (SubSpโ€˜๐‘ˆ)
51, 2, 3, 4sspval 29707 . . 3 (๐‘ˆ โˆˆ NrmCVec โ†’ ๐ป = {๐‘ค โˆˆ NrmCVec โˆฃ (( +๐‘ฃ โ€˜๐‘ค) โŠ† ๐บ โˆง ( ยท๐‘ OLD โ€˜๐‘ค) โŠ† ๐‘† โˆง (normCVโ€˜๐‘ค) โŠ† ๐‘)})
65eleq2d 2820 . 2 (๐‘ˆ โˆˆ NrmCVec โ†’ (๐‘Š โˆˆ ๐ป โ†” ๐‘Š โˆˆ {๐‘ค โˆˆ NrmCVec โˆฃ (( +๐‘ฃ โ€˜๐‘ค) โŠ† ๐บ โˆง ( ยท๐‘ OLD โ€˜๐‘ค) โŠ† ๐‘† โˆง (normCVโ€˜๐‘ค) โŠ† ๐‘)}))
7 fveq2 6843 . . . . . 6 (๐‘ค = ๐‘Š โ†’ ( +๐‘ฃ โ€˜๐‘ค) = ( +๐‘ฃ โ€˜๐‘Š))
8 isssp.f . . . . . 6 ๐น = ( +๐‘ฃ โ€˜๐‘Š)
97, 8eqtr4di 2791 . . . . 5 (๐‘ค = ๐‘Š โ†’ ( +๐‘ฃ โ€˜๐‘ค) = ๐น)
109sseq1d 3976 . . . 4 (๐‘ค = ๐‘Š โ†’ (( +๐‘ฃ โ€˜๐‘ค) โŠ† ๐บ โ†” ๐น โŠ† ๐บ))
11 fveq2 6843 . . . . . 6 (๐‘ค = ๐‘Š โ†’ ( ยท๐‘ OLD โ€˜๐‘ค) = ( ยท๐‘ OLD โ€˜๐‘Š))
12 isssp.r . . . . . 6 ๐‘… = ( ยท๐‘ OLD โ€˜๐‘Š)
1311, 12eqtr4di 2791 . . . . 5 (๐‘ค = ๐‘Š โ†’ ( ยท๐‘ OLD โ€˜๐‘ค) = ๐‘…)
1413sseq1d 3976 . . . 4 (๐‘ค = ๐‘Š โ†’ (( ยท๐‘ OLD โ€˜๐‘ค) โŠ† ๐‘† โ†” ๐‘… โŠ† ๐‘†))
15 fveq2 6843 . . . . . 6 (๐‘ค = ๐‘Š โ†’ (normCVโ€˜๐‘ค) = (normCVโ€˜๐‘Š))
16 isssp.m . . . . . 6 ๐‘€ = (normCVโ€˜๐‘Š)
1715, 16eqtr4di 2791 . . . . 5 (๐‘ค = ๐‘Š โ†’ (normCVโ€˜๐‘ค) = ๐‘€)
1817sseq1d 3976 . . . 4 (๐‘ค = ๐‘Š โ†’ ((normCVโ€˜๐‘ค) โŠ† ๐‘ โ†” ๐‘€ โŠ† ๐‘))
1910, 14, 183anbi123d 1437 . . 3 (๐‘ค = ๐‘Š โ†’ ((( +๐‘ฃ โ€˜๐‘ค) โŠ† ๐บ โˆง ( ยท๐‘ OLD โ€˜๐‘ค) โŠ† ๐‘† โˆง (normCVโ€˜๐‘ค) โŠ† ๐‘) โ†” (๐น โŠ† ๐บ โˆง ๐‘… โŠ† ๐‘† โˆง ๐‘€ โŠ† ๐‘)))
2019elrab 3646 . 2 (๐‘Š โˆˆ {๐‘ค โˆˆ NrmCVec โˆฃ (( +๐‘ฃ โ€˜๐‘ค) โŠ† ๐บ โˆง ( ยท๐‘ OLD โ€˜๐‘ค) โŠ† ๐‘† โˆง (normCVโ€˜๐‘ค) โŠ† ๐‘)} โ†” (๐‘Š โˆˆ NrmCVec โˆง (๐น โŠ† ๐บ โˆง ๐‘… โŠ† ๐‘† โˆง ๐‘€ โŠ† ๐‘)))
216, 20bitrdi 287 1 (๐‘ˆ โˆˆ NrmCVec โ†’ (๐‘Š โˆˆ ๐ป โ†” (๐‘Š โˆˆ NrmCVec โˆง (๐น โŠ† ๐บ โˆง ๐‘… โŠ† ๐‘† โˆง ๐‘€ โŠ† ๐‘))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  {crab 3406   โŠ† wss 3911  โ€˜cfv 6497  NrmCVeccnv 29568   +๐‘ฃ cpv 29569   ยท๐‘ OLD cns 29571  normCVcnmcv 29574  SubSpcss 29705
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3446  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-fo 6503  df-fv 6505  df-oprab 7362  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-vc 29543  df-nv 29576  df-va 29579  df-sm 29581  df-nmcv 29584  df-ssp 29706
This theorem is referenced by:  sspid  29709  sspnv  29710  sspba  29711  sspg  29712  ssps  29714  sspn  29720  hhsst  30250  hhsssh2  30254
  Copyright terms: Public domain W3C validator