MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sspnv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sspnv 29096
Description: A subspace is a normed complex vector space. (Contributed by NM, 27-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
sspnv.h 𝐻 = (SubSp‘𝑈)
Assertion
Ref Expression
sspnv ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) → 𝑊 ∈ NrmCVec)

Proof of Theorem sspnv
StepHypRef Expression
1 eqid 2738 . . 3 ( +𝑣𝑈) = ( +𝑣𝑈)
2 eqid 2738 . . 3 ( +𝑣𝑊) = ( +𝑣𝑊)
3 eqid 2738 . . 3 ( ·𝑠OLD𝑈) = ( ·𝑠OLD𝑈)
4 eqid 2738 . . 3 ( ·𝑠OLD𝑊) = ( ·𝑠OLD𝑊)
5 eqid 2738 . . 3 (normCV𝑈) = (normCV𝑈)
6 eqid 2738 . . 3 (normCV𝑊) = (normCV𝑊)
7 sspnv.h . . 3 𝐻 = (SubSp‘𝑈)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7isssp 29094 . 2 (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑊𝐻 ↔ (𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (( +𝑣𝑊) ⊆ ( +𝑣𝑈) ∧ ( ·𝑠OLD𝑊) ⊆ ( ·𝑠OLD𝑈) ∧ (normCV𝑊) ⊆ (normCV𝑈)))))
98simprbda 499 1 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊𝐻) → 𝑊 ∈ NrmCVec)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2106  wss 3886  cfv 6426  NrmCVeccnv 28954   +𝑣 cpv 28955   ·𝑠OLD cns 28957  normCVcnmcv 28960  SubSpcss 29091
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5221  ax-nul 5228  ax-pow 5286  ax-pr 5350  ax-un 7578
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3431  df-dif 3889  df-un 3891  df-in 3893  df-ss 3903  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5157  df-id 5484  df-xp 5590  df-rel 5591  df-cnv 5592  df-co 5593  df-dm 5594  df-rn 5595  df-res 5596  df-ima 5597  df-iota 6384  df-fun 6428  df-fn 6429  df-f 6430  df-fo 6432  df-fv 6434  df-oprab 7271  df-1st 7820  df-2nd 7821  df-vc 28929  df-nv 28962  df-va 28965  df-sm 28967  df-nmcv 28970  df-ssp 29092
This theorem is referenced by:  sspg  29098  ssps  29100  sspmlem  29102  sspmval  29103  sspz  29105  sspn  29106  sspimsval  29108  bnsscmcl  29238  minvecolem2  29245  hhshsslem1  29637  hhshsslem2  29638
  Copyright terms: Public domain W3C validator