MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sspnv Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem sspnv 30244
Description: A subspace is a normed complex vector space. (Contributed by NM, 27-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
sspnv.h ๐ป = (SubSpโ€˜๐‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
sspnv ((๐‘ˆ โˆˆ NrmCVec โˆง ๐‘Š โˆˆ ๐ป) โ†’ ๐‘Š โˆˆ NrmCVec)
Proof of Theorem sspnv
StepHypRef Expression
1 eqid 2730 . . 3 ( +๐‘ฃ โ€˜๐‘ˆ) = ( +๐‘ฃ โ€˜๐‘ˆ)
2 eqid 2730 . . 3 ( +๐‘ฃ โ€˜๐‘Š) = ( +๐‘ฃ โ€˜๐‘Š)
3 eqid 2730 . . 3 ( ยท๐‘ OLD โ€˜๐‘ˆ) = ( ยท๐‘ OLD โ€˜๐‘ˆ)
4 eqid 2730 . . 3 ( ยท๐‘ OLD โ€˜๐‘Š) = ( ยท๐‘ OLD โ€˜๐‘Š)
5 eqid 2730 . . 3 (normCVโ€˜๐‘ˆ) = (normCVโ€˜๐‘ˆ)
6 eqid 2730 . . 3 (normCVโ€˜๐‘Š) = (normCVโ€˜๐‘Š)
7 sspnv.h . . 3 ๐ป = (SubSpโ€˜๐‘ˆ)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7isssp 30242 . 2 (๐‘ˆ โˆˆ NrmCVec โ†’ (๐‘Š โˆˆ ๐ป โ†” (๐‘Š โˆˆ NrmCVec โˆง (( +๐‘ฃ โ€˜๐‘Š) โŠ† ( +๐‘ฃ โ€˜๐‘ˆ) โˆง ( ยท๐‘ OLD โ€˜๐‘Š) โŠ† ( ยท๐‘ OLD โ€˜๐‘ˆ) โˆง (normCVโ€˜๐‘Š) โŠ† (normCVโ€˜๐‘ˆ)))))
98simprbda 497 1 ((๐‘ˆ โˆˆ NrmCVec โˆง ๐‘Š โˆˆ ๐ป) โ†’ ๐‘Š โˆˆ NrmCVec)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   โˆง w3a 1085   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104   โŠ† wss 3949  โ€˜cfv 6544  NrmCVeccnv 30102   +๐‘ฃ cpv 30103   ยท๐‘ OLD cns 30105  normCVcnmcv 30108  SubSpcss 30239
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-fo 6550  df-fv 6552  df-oprab 7417  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-vc 30077  df-nv 30110  df-va 30113  df-sm 30115  df-nmcv 30118  df-ssp 30240
This theorem is referenced by:  sspg  30246  ssps  30248  sspmlem  30250  sspmval  30251  sspz  30253  sspn  30254  sspimsval  30256  bnsscmcl  30386  minvecolem2  30393  hhshsslem1  30785  hhshsslem2  30786
  Copyright terms: Public domain W3C validator