Theorem sthil 32586

Description: The value of a state at the full Hilbert space. (Contributed by NM, 23-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
sthil	⊢ (𝑆 ∈ States → (𝑆‘ ℋ) = 1)

Proof of Theorem sthil

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isst 32565	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ States ↔ (𝑆: Cℋ ⟶(0[,]1) ∧ (𝑆‘ ℋ) = 1 ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ ∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑥 ⊆ (⊥‘𝑦) → (𝑆‘(𝑥 ∨ℋ 𝑦)) = ((𝑆‘𝑥) + (𝑆‘𝑦)))))
2	1	simp2bi 1164	1 ⊢ (𝑆 ∈ States → (𝑆‘ ℋ) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079   ⊆ wss 3905  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  0cc0 11095  1c1 11096   + caddc 11098  [,]cicc 13370   ℋchba 31271   C_ℋ cch 31281  ⊥cort 31282   ∨_ℋ chj 31285  Statescst 31314

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-hilex 31351

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-map 8822  df-sh 31559  df-ch 31573  df-st 32563

This theorem is referenced by:  sto1i  32588  st0  32601