Theorem sthil 32206

Description: The value of a state at the full Hilbert space. (Contributed by NM, 23-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
sthil	⊢ (𝑆 ∈ States → (𝑆‘ ℋ) = 1)

Proof of Theorem sthil

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isst 32185	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ States ↔ (𝑆: Cℋ ⟶(0[,]1) ∧ (𝑆‘ ℋ) = 1 ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ ∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑥 ⊆ (⊥‘𝑦) → (𝑆‘(𝑥 ∨ℋ 𝑦)) = ((𝑆‘𝑥) + (𝑆‘𝑦)))))
2	1	simp2bi 1146	1 ⊢ (𝑆 ∈ States → (𝑆‘ ℋ) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047   ⊆ wss 3897  ⟶wf 6472  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341  0cc0 11001  1c1 11002   + caddc 11004  [,]cicc 13243   ℋchba 30891   C_ℋ cch 30901  ⊥cort 30902   ∨_ℋ chj 30905  Statescst 30934

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-hilex 30971

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-br 5087  df-opab 5149  df-id 5506  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-fv 6484  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-map 8747  df-sh 31179  df-ch 31193  df-st 32183

This theorem is referenced by:  sto1i  32208  st0  32221