Theorem sthil 32220

Description: The value of a state at the full Hilbert space. (Contributed by NM, 23-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
sthil	⊢ (𝑆 ∈ States → (𝑆‘ ℋ) = 1)

Proof of Theorem sthil

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isst 32199	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ States ↔ (𝑆: Cℋ ⟶(0[,]1) ∧ (𝑆‘ ℋ) = 1 ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ ∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑥 ⊆ (⊥‘𝑦) → (𝑆‘(𝑥 ∨ℋ 𝑦)) = ((𝑆‘𝑥) + (𝑆‘𝑦)))))
2	1	simp2bi 1146	1 ⊢ (𝑆 ∈ States → (𝑆‘ ℋ) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3052   ⊆ wss 3931  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  0cc0 11134  1c1 11135   + caddc 11137  [,]cicc 13370   ℋchba 30905   C_ℋ cch 30915  ⊥cort 30916   ∨_ℋ chj 30919  Statescst 30948

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-hilex 30985

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-br 5125  df-opab 5187  df-id 5553  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-map 8847  df-sh 31193  df-ch 31207  df-st 32197

This theorem is referenced by:  sto1i  32222  st0  32235