Theorem st0 32178

Description: The state of the zero subspace. (Contributed by NM, 24-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
st0	⊢ (𝑆 ∈ States → (𝑆‘0ℋ) = 0)

Proof of Theorem st0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		helch 31172	. . . 4 ⊢ ℋ ∈ Cℋ
2	1	sto2i 32166	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ States → (𝑆‘(⊥‘ ℋ)) = (1 − (𝑆‘ ℋ)))
3		sthil 32163	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ States → (𝑆‘ ℋ) = 1)
4	3	oveq2d 7431	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ States → (1 − (𝑆‘ ℋ)) = (1 − 1))
5	2, 4	eqtrd 2766	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ States → (𝑆‘(⊥‘ ℋ)) = (1 − 1))
6		choc1 31256	. . 3 ⊢ (⊥‘ ℋ) = 0ℋ
7	6	fveq2i 6895	. 2 ⊢ (𝑆‘(⊥‘ ℋ)) = (𝑆‘0ℋ)
8		1m1e0 12329	. 2 ⊢ (1 − 1) = 0
9	5, 7, 8	3eqtr3g 2789	1 ⊢ (𝑆 ∈ States → (𝑆‘0ℋ) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ‘cfv 6545  (class class class)co 7415  0cc0 11148  1c1 11149   − cmin 11484   ℋchba 30848  ⊥cort 30859  0_ℋc0h 30864  Statescst 30891

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5282  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7737  ax-inf2 9676  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225  ax-pre-sup 11226  ax-addf 11227  ax-mulf 11228  ax-hilex 30928  ax-hfvadd 30929  ax-hvcom 30930  ax-hvass 30931  ax-hv0cl 30932  ax-hvaddid 30933  ax-hfvmul 30934  ax-hvmulid 30935  ax-hvmulass 30936  ax-hvdistr1 30937  ax-hvdistr2 30938  ax-hvmul0 30939  ax-hfi 31008  ax-his1 31011  ax-his2 31012  ax-his3 31013  ax-his4 31014  ax-hcompl 31131

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3968  df-nul 4325  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4908  df-int 4949  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-tr 5263  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-se 5630  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6304  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6497  df-fun 6547  df-fn 6548  df-f 6549  df-f1 6550  df-fo 6551  df-f1o 6552  df-fv 6553  df-isom 6554  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-of 7681  df-om 7868  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8725  df-map 8848  df-pm 8849  df-ixp 8918  df-en 8966  df-dom 8967  df-sdom 8968  df-fin 8969  df-fsupp 9398  df-fi 9446  df-sup 9477  df-inf 9478  df-oi 9545  df-card 9974  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-div 11912  df-nn 12258  df-2 12320  df-3 12321  df-4 12322  df-5 12323  df-6 12324  df-7 12325  df-8 12326  df-9 12327  df-n0 12518  df-z 12604  df-dec 12723  df-uz 12868  df-q 12978  df-rp 13022  df-xneg 13139  df-xadd 13140  df-xmul 13141  df-ioo 13375  df-icc 13378  df-fz 13532  df-fzo 13675  df-seq 14015  df-exp 14075  df-hash 14342  df-cj 15098  df-re 15099  df-im 15100  df-sqrt 15234  df-abs 15235  df-clim 15484  df-sum 15685  df-struct 17143  df-sets 17160  df-slot 17178  df-ndx 17190  df-base 17208  df-ress 17237  df-plusg 17273  df-mulr 17274  df-starv 17275  df-sca 17276  df-vsca 17277  df-ip 17278  df-tset 17279  df-ple 17280  df-ds 17282  df-unif 17283  df-hom 17284  df-cco 17285  df-rest 17431  df-topn 17432  df-0g 17450  df-gsum 17451  df-topgen 17452  df-pt 17453  df-prds 17456  df-xrs 17511  df-qtop 17516  df-imas 17517  df-xps 17519  df-mre 17593  df-mrc 17594  df-acs 17596  df-mgm 18627  df-sgrp 18706  df-mnd 18722  df-submnd 18768  df-mulg 19057  df-cntz 19306  df-cmn 19775  df-psmet 21330  df-xmet 21331  df-met 21332  df-bl 21333  df-mopn 21334  df-cnfld 21339  df-top 22883  df-topon 22900  df-topsp 22922  df-bases 22936  df-cn 23218  df-cnp 23219  df-lm 23220  df-haus 23306  df-tx 23553  df-hmeo 23746  df-xms 24313  df-ms 24314  df-tms 24315  df-cau 25271  df-grpo 30422  df-gid 30423  df-ginv 30424  df-gdiv 30425  df-ablo 30474  df-vc 30488  df-nv 30521  df-va 30524  df-ba 30525  df-sm 30526  df-0v 30527  df-vs 30528  df-nmcv 30529  df-ims 30530  df-dip 30630  df-hnorm 30897  df-hvsub 30900  df-hlim 30901  df-hcau 30902  df-sh 31136  df-ch 31150  df-oc 31181  df-ch0 31182  df-chj 31239  df-st 32140

This theorem is referenced by:  largei  32196