Theorem elntg 29496

Description: The line definition in the Tarski structure for the Euclidean geometry. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
elntg.1	⊢ 𝑃 = (Base‘(EEG‘𝑁))
elntg.2	⊢ 𝐼 = (Itv‘(EEG‘𝑁))

Assertion

Ref	Expression
elntg	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (LineG‘(EEG‘𝑁)) = (𝑥 ∈ 𝑃, 𝑦 ∈ (𝑃 ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ 𝑃 ∣ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))}))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑁   𝑧,𝑃

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥, 𝑦)   𝐼(𝑥, 𝑦, 𝑧)

Proof of Theorem elntg

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lngid 28836	. . 3 ⊢ LineG = Slot (LineG‘ndx)
2		fvex 6886	. . . 4 ⊢ (EEG‘𝑁) ∈ V
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (EEG‘𝑁) ∈ V)
4		eengstr 29492	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (EEG‘𝑁) Struct ⟨1, ;17⟩)
5		structn0fun 17291	. . . . 5 ⊢ ((EEG‘𝑁) Struct ⟨1, ;17⟩ → Fun ((EEG‘𝑁) ∖ {∅}))
6	4, 5	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → Fun ((EEG‘𝑁) ∖ {∅}))
7		structcnvcnv 17293	. . . . . 6 ⊢ ((EEG‘𝑁) Struct ⟨1, ;17⟩ → ◡◡(EEG‘𝑁) = ((EEG‘𝑁) ∖ {∅}))
8	4, 7	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ◡◡(EEG‘𝑁) = ((EEG‘𝑁) ∖ {∅}))
9	8	funeqd 6549	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (Fun ◡◡(EEG‘𝑁) ↔ Fun ((EEG‘𝑁) ∖ {∅})))
10	6, 9	mpbird 260	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → Fun ◡◡(EEG‘𝑁))
11		opex 5431	. . . . . 6 ⊢ ⟨(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑧, 𝑦⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑥, 𝑧⟩)})⟩ ∈ V
12	11	prid2 4723	. . . . 5 ⊢ ⟨(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑧, 𝑦⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑥, 𝑧⟩)})⟩ ∈ {⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩})⟩, ⟨(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑧, 𝑦⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑥, 𝑧⟩)})⟩}
13		elun2 4128	. . . . 5 ⊢ (⟨(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑧, 𝑦⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑥, 𝑧⟩)})⟩ ∈ {⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩})⟩, ⟨(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑧, 𝑦⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑥, 𝑧⟩)})⟩} → ⟨(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑧, 𝑦⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑥, 𝑧⟩)})⟩ ∈ ({⟨(Base‘ndx), (𝔼‘𝑁)⟩, ⟨(dist‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑥‘𝑖) − (𝑦‘𝑖))↑2))⟩} ∪ {⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩})⟩, ⟨(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑧, 𝑦⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑥, 𝑧⟩)})⟩}))
14	12, 13	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ⟨(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑧, 𝑦⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑥, 𝑧⟩)})⟩ ∈ ({⟨(Base‘ndx), (𝔼‘𝑁)⟩, ⟨(dist‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑥‘𝑖) − (𝑦‘𝑖))↑2))⟩} ∪ {⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩})⟩, ⟨(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑧, 𝑦⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑥, 𝑧⟩)})⟩})
15		eengv 29491	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (EEG‘𝑁) = ({⟨(Base‘ndx), (𝔼‘𝑁)⟩, ⟨(dist‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑥‘𝑖) − (𝑦‘𝑖))↑2))⟩} ∪ {⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩})⟩, ⟨(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑧, 𝑦⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑥, 𝑧⟩)})⟩}))
16	14, 15	eleqtrrid 2867	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ⟨(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑧, 𝑦⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑥, 𝑧⟩)})⟩ ∈ (EEG‘𝑁))
17		fvex 6886	. . . . 5 ⊢ (𝔼‘𝑁) ∈ V
18	17	difexi 5291	. . . . 5 ⊢ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) ∈ V
19	17, 18	mpoex 8075	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑧, 𝑦⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑥, 𝑧⟩)}) ∈ V
20	19	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑧, 𝑦⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑥, 𝑧⟩)}) ∈ V)
21	1, 3, 10, 16, 20	strfv2d 17341	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑧, 𝑦⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑥, 𝑧⟩)}) = (LineG‘(EEG‘𝑁)))
22		eengbas 29493	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝔼‘𝑁) = (Base‘(EEG‘𝑁)))
23		elntg.1	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘(EEG‘𝑁))
24	22, 23	eqtr4di 2813	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝔼‘𝑁) = 𝑃)
25	24	difeq1d 4072	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) = (𝑃 ∖ {𝑥}))
26	25	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) = (𝑃 ∖ {𝑥}))
27	24	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}))) → (𝔼‘𝑁) = 𝑃)
28		simpll 779	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}))) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
29		elntg.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (Itv‘(EEG‘𝑁))
30		simplrl 789	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}))) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁))
31	28, 24	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}))) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝔼‘𝑁) = 𝑃)
32	30, 31	eleqtrd 2862	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}))) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑥 ∈ 𝑃)
33		simplrr 790	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}))) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}))
34	33	eldifad 3910	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}))) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁))
35	34, 31	eleqtrd 2862	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}))) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑦 ∈ 𝑃)
36		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}))) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁))
37	36, 31	eleqtrd 2862	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}))) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑧 ∈ 𝑃)
38	28, 23, 29, 32, 35, 37	ebtwntg 29494	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}))) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ↔ 𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦)))
39	28, 23, 29, 37, 35, 32	ebtwntg 29494	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}))) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝑥 Btwn ⟨𝑧, 𝑦⟩ ↔ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦)))
40	28, 23, 29, 32, 37, 35	ebtwntg 29494	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}))) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝑦 Btwn ⟨𝑥, 𝑧⟩ ↔ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))
41	38, 39, 40	3orbi123d 1463	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}))) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑧, 𝑦⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑥, 𝑧⟩) ↔ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))
42	27, 41	rabeqbidva 3428	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}))) → {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑧, 𝑦⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑥, 𝑧⟩)} = {𝑧 ∈ 𝑃 ∣ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))})
43	24, 26, 42	mpoeq123dva 7482	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑧, 𝑦⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑥, 𝑧⟩)}) = (𝑥 ∈ 𝑃, 𝑦 ∈ (𝑃 ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ 𝑃 ∣ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))}))
44	21, 43	eqtr3d 2797	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (LineG‘(EEG‘𝑁)) = (𝑥 ∈ 𝑃, 𝑦 ∈ (𝑃 ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ 𝑃 ∣ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))}))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ w3o 1102   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {crab 3412  Vcvv 3450   ∖ cdif 3895   ∪ cun 3896  ∅c0 4278  {csn 4583  {cpr 4585  ⟨cop 4589   class class class wbr 5102  ^◡ccnv 5646  Fun wfun 6521  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408   ∈ cmpo 7410  1c1 11173   − cmin 11513  ℕcn 12305  2c2 12367  7c7 12372  ;cdc 12784  ...cfz 13609  ↑cexp 14173  Σcsu 15821   Struct cstr 17286  ndxcnx 17333  Basecbs 17349  distcds 17399  Itvcitv 28829  LineGclng 28830  𝔼cee 29399   Btwn cbtwn 29400  EEGceeng 29489

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11228  ax-resscn 11229  ax-1cn 11230  ax-icn 11231  ax-addcl 11232  ax-addrcl 11233  ax-mulcl 11234  ax-mulrcl 11235  ax-mulcom 11236  ax-addass 11237  ax-mulass 11238  ax-distr 11239  ax-i2m1 11240  ax-1ne0 11241  ax-1rid 11242  ax-rnegex 11243  ax-rrecex 11244  ax-cnre 11245  ax-pre-lttri 11246  ax-pre-lttrn 11247  ax-pre-ltadd 11248  ax-pre-mulgt0 11249

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-er 8695  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-pnf 11317  df-mnf 11318  df-xr 11319  df-ltxr 11320  df-le 11321  df-sub 11515  df-neg 11516  df-nn 12306  df-2 12375  df-3 12376  df-4 12377  df-5 12378  df-6 12379  df-7 12380  df-8 12381  df-9 12382  df-n0 12577  df-z 12664  df-dec 12785  df-uz 12936  df-fz 13610  df-seq 14114  df-sum 15822  df-struct 17287  df-slot 17322  df-ndx 17334  df-base 17350  df-ds 17412  df-itv 28831  df-lng 28832  df-eeng 29490

This theorem is used by:  elntg2  29497  eengtrkg  29498