Theorem elntg 28955

Description: The line definition in the Tarski structure for the Euclidean geometry. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
elntg.1	⊢ 𝑃 = (Base‘(EEG‘𝑁))
elntg.2	⊢ 𝐼 = (Itv‘(EEG‘𝑁))

Assertion

Ref	Expression
elntg	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (LineG‘(EEG‘𝑁)) = (𝑥 ∈ 𝑃, 𝑦 ∈ (𝑃 ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ 𝑃 ∣ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))}))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑁   𝑧,𝑃

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥,𝑦)   𝐼(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem elntg

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lngid 28411	. . 3 ⊢ LineG = Slot (LineG‘ndx)
2		fvex 6830	. . . 4 ⊢ (EEG‘𝑁) ∈ V
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (EEG‘𝑁) ∈ V)
4		eengstr 28951	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (EEG‘𝑁) Struct ⟨1, ;17⟩)
5		structn0fun 17054	. . . . 5 ⊢ ((EEG‘𝑁) Struct ⟨1, ;17⟩ → Fun ((EEG‘𝑁) ∖ {∅}))
6	4, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → Fun ((EEG‘𝑁) ∖ {∅}))
7		structcnvcnv 17056	. . . . . 6 ⊢ ((EEG‘𝑁) Struct ⟨1, ;17⟩ → ◡◡(EEG‘𝑁) = ((EEG‘𝑁) ∖ {∅}))
8	4, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ◡◡(EEG‘𝑁) = ((EEG‘𝑁) ∖ {∅}))
9	8	funeqd 6499	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (Fun ◡◡(EEG‘𝑁) ↔ Fun ((EEG‘𝑁) ∖ {∅})))
10	6, 9	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → Fun ◡◡(EEG‘𝑁))
11		opex 5402	. . . . . 6 ⊢ ⟨(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑧, 𝑦⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑥, 𝑧⟩)})⟩ ∈ V
12	11	prid2 4714	. . . . 5 ⊢ ⟨(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑧, 𝑦⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑥, 𝑧⟩)})⟩ ∈ {⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩})⟩, ⟨(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑧, 𝑦⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑥, 𝑧⟩)})⟩}
13		elun2 4131	. . . . 5 ⊢ (⟨(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑧, 𝑦⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑥, 𝑧⟩)})⟩ ∈ {⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩})⟩, ⟨(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑧, 𝑦⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑥, 𝑧⟩)})⟩} → ⟨(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑧, 𝑦⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑥, 𝑧⟩)})⟩ ∈ ({⟨(Base‘ndx), (𝔼‘𝑁)⟩, ⟨(dist‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑥‘𝑖) − (𝑦‘𝑖))↑2))⟩} ∪ {⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩})⟩, ⟨(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑧, 𝑦⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑥, 𝑧⟩)})⟩}))
14	12, 13	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ⟨(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑧, 𝑦⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑥, 𝑧⟩)})⟩ ∈ ({⟨(Base‘ndx), (𝔼‘𝑁)⟩, ⟨(dist‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑥‘𝑖) − (𝑦‘𝑖))↑2))⟩} ∪ {⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩})⟩, ⟨(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑧, 𝑦⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑥, 𝑧⟩)})⟩})
15		eengv 28950	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (EEG‘𝑁) = ({⟨(Base‘ndx), (𝔼‘𝑁)⟩, ⟨(dist‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑥‘𝑖) − (𝑦‘𝑖))↑2))⟩} ∪ {⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩})⟩, ⟨(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑧, 𝑦⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑥, 𝑧⟩)})⟩}))
16	14, 15	eleqtrrid 2836	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ⟨(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑧, 𝑦⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑥, 𝑧⟩)})⟩ ∈ (EEG‘𝑁))
17		fvex 6830	. . . . 5 ⊢ (𝔼‘𝑁) ∈ V
18	17	difexi 5266	. . . . 5 ⊢ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) ∈ V
19	17, 18	mpoex 8006	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑧, 𝑦⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑥, 𝑧⟩)}) ∈ V
20	19	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑧, 𝑦⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑥, 𝑧⟩)}) ∈ V)
21	1, 3, 10, 16, 20	strfv2d 17104	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑧, 𝑦⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑥, 𝑧⟩)}) = (LineG‘(EEG‘𝑁)))
22		eengbas 28952	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝔼‘𝑁) = (Base‘(EEG‘𝑁)))
23		elntg.1	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘(EEG‘𝑁))
24	22, 23	eqtr4di 2783	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝔼‘𝑁) = 𝑃)
25	24	difeq1d 4073	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) = (𝑃 ∖ {𝑥}))
26	25	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) = (𝑃 ∖ {𝑥}))
27	24	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}))) → (𝔼‘𝑁) = 𝑃)
28		simpll 766	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}))) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
29		elntg.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (Itv‘(EEG‘𝑁))
30		simplrl 776	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}))) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁))
31	28, 24	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}))) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝔼‘𝑁) = 𝑃)
32	30, 31	eleqtrd 2831	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}))) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑥 ∈ 𝑃)
33		simplrr 777	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}))) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}))
34	33	eldifad 3912	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}))) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁))
35	34, 31	eleqtrd 2831	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}))) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑦 ∈ 𝑃)
36		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}))) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁))
37	36, 31	eleqtrd 2831	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}))) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑧 ∈ 𝑃)
38	28, 23, 29, 32, 35, 37	ebtwntg 28953	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}))) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ↔ 𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦)))
39	28, 23, 29, 37, 35, 32	ebtwntg 28953	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}))) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝑥 Btwn ⟨𝑧, 𝑦⟩ ↔ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦)))
40	28, 23, 29, 32, 37, 35	ebtwntg 28953	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}))) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝑦 Btwn ⟨𝑥, 𝑧⟩ ↔ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))
41	38, 39, 40	3orbi123d 1437	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}))) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑧, 𝑦⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑥, 𝑧⟩) ↔ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))
42	27, 41	rabeqbidva 3409	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}))) → {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑧, 𝑦⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑥, 𝑧⟩)} = {𝑧 ∈ 𝑃 ∣ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))})
43	24, 26, 42	mpoeq123dva 7415	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑧, 𝑦⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑥, 𝑧⟩)}) = (𝑥 ∈ 𝑃, 𝑦 ∈ (𝑃 ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ 𝑃 ∣ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))}))
44	21, 43	eqtr3d 2767	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (LineG‘(EEG‘𝑁)) = (𝑥 ∈ 𝑃, 𝑦 ∈ (𝑃 ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ 𝑃 ∣ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ w3o 1085   = wceq 1541   ∈ wcel 2110  {crab 3393  Vcvv 3434   ∖ cdif 3897   ∪ cun 3898  ∅c0 4281  {csn 4574  {cpr 4576  ⟨cop 4580   class class class wbr 5089  ^◡ccnv 5613  Fun wfun 6471  ‘cfv 6477  (class class class)co 7341   ∈ cmpo 7343  1c1 10999   − cmin 11336  ℕcn 12117  2c2 12172  7c7 12177  ;cdc 12580  ...cfz 13399  ↑cexp 13960  Σcsu 15585   Struct cstr 17049  ndxcnx 17096  Basecbs 17112  distcds 17162  Itvcitv 28404  LineGclng 28405  𝔼cee 28859   Btwn cbtwn 28860  EEGceeng 28948

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-cnex 11054  ax-resscn 11055  ax-1cn 11056  ax-icn 11057  ax-addcl 11058  ax-addrcl 11059  ax-mulcl 11060  ax-mulrcl 11061  ax-mulcom 11062  ax-addass 11063  ax-mulass 11064  ax-distr 11065  ax-i2m1 11066  ax-1ne0 11067  ax-1rid 11068  ax-rnegex 11069  ax-rrecex 11070  ax-cnre 11071  ax-pre-lttri 11072  ax-pre-lttrn 11073  ax-pre-ltadd 11074  ax-pre-mulgt0 11075

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6244  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-pnf 11140  df-mnf 11141  df-xr 11142  df-ltxr 11143  df-le 11144  df-sub 11338  df-neg 11339  df-nn 12118  df-2 12180  df-3 12181  df-4 12182  df-5 12183  df-6 12184  df-7 12185  df-8 12186  df-9 12187  df-n0 12374  df-z 12461  df-dec 12581  df-uz 12725  df-fz 13400  df-seq 13901  df-sum 15586  df-struct 17050  df-slot 17085  df-ndx 17097  df-base 17113  df-ds 17175  df-itv 28406  df-lng 28407  df-eeng 28949

This theorem is referenced by:  elntg2  28956  eengtrkg  28957