Theorem elntg 29017

Description: The line definition in the Tarski structure for the Euclidean geometry. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
elntg.1	⊢ 𝑃 = (Base‘(EEG‘𝑁))
elntg.2	⊢ 𝐼 = (Itv‘(EEG‘𝑁))

Assertion

Ref	Expression
elntg	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (LineG‘(EEG‘𝑁)) = (𝑥 ∈ 𝑃, 𝑦 ∈ (𝑃 ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ 𝑃 ∣ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))}))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑁   𝑧,𝑃

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥,𝑦)   𝐼(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem elntg

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lngid 28466	. . 3 ⊢ LineG = Slot (LineG‘ndx)
2		fvex 6933	. . . 4 ⊢ (EEG‘𝑁) ∈ V
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (EEG‘𝑁) ∈ V)
4		eengstr 29013	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (EEG‘𝑁) Struct ⟨1, ;17⟩)
5		structn0fun 17198	. . . . 5 ⊢ ((EEG‘𝑁) Struct ⟨1, ;17⟩ → Fun ((EEG‘𝑁) ∖ {∅}))
6	4, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → Fun ((EEG‘𝑁) ∖ {∅}))
7		structcnvcnv 17200	. . . . . 6 ⊢ ((EEG‘𝑁) Struct ⟨1, ;17⟩ → ◡◡(EEG‘𝑁) = ((EEG‘𝑁) ∖ {∅}))
8	4, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ◡◡(EEG‘𝑁) = ((EEG‘𝑁) ∖ {∅}))
9	8	funeqd 6600	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (Fun ◡◡(EEG‘𝑁) ↔ Fun ((EEG‘𝑁) ∖ {∅})))
10	6, 9	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → Fun ◡◡(EEG‘𝑁))
11		opex 5484	. . . . . 6 ⊢ ⟨(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑧, 𝑦⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑥, 𝑧⟩)})⟩ ∈ V
12	11	prid2 4788	. . . . 5 ⊢ ⟨(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑧, 𝑦⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑥, 𝑧⟩)})⟩ ∈ {⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩})⟩, ⟨(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑧, 𝑦⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑥, 𝑧⟩)})⟩}
13		elun2 4206	. . . . 5 ⊢ (⟨(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑧, 𝑦⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑥, 𝑧⟩)})⟩ ∈ {⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩})⟩, ⟨(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑧, 𝑦⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑥, 𝑧⟩)})⟩} → ⟨(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑧, 𝑦⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑥, 𝑧⟩)})⟩ ∈ ({⟨(Base‘ndx), (𝔼‘𝑁)⟩, ⟨(dist‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑥‘𝑖) − (𝑦‘𝑖))↑2))⟩} ∪ {⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩})⟩, ⟨(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑧, 𝑦⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑥, 𝑧⟩)})⟩}))
14	12, 13	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ⟨(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑧, 𝑦⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑥, 𝑧⟩)})⟩ ∈ ({⟨(Base‘ndx), (𝔼‘𝑁)⟩, ⟨(dist‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑥‘𝑖) − (𝑦‘𝑖))↑2))⟩} ∪ {⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩})⟩, ⟨(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑧, 𝑦⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑥, 𝑧⟩)})⟩})
15		eengv 29012	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (EEG‘𝑁) = ({⟨(Base‘ndx), (𝔼‘𝑁)⟩, ⟨(dist‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑥‘𝑖) − (𝑦‘𝑖))↑2))⟩} ∪ {⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩})⟩, ⟨(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑧, 𝑦⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑥, 𝑧⟩)})⟩}))
16	14, 15	eleqtrrid 2851	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ⟨(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑧, 𝑦⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑥, 𝑧⟩)})⟩ ∈ (EEG‘𝑁))
17		fvex 6933	. . . . 5 ⊢ (𝔼‘𝑁) ∈ V
18	17	difexi 5348	. . . . 5 ⊢ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) ∈ V
19	17, 18	mpoex 8120	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑧, 𝑦⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑥, 𝑧⟩)}) ∈ V
20	19	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑧, 𝑦⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑥, 𝑧⟩)}) ∈ V)
21	1, 3, 10, 16, 20	strfv2d 17249	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑧, 𝑦⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑥, 𝑧⟩)}) = (LineG‘(EEG‘𝑁)))
22		eengbas 29014	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝔼‘𝑁) = (Base‘(EEG‘𝑁)))
23		elntg.1	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘(EEG‘𝑁))
24	22, 23	eqtr4di 2798	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝔼‘𝑁) = 𝑃)
25	24	difeq1d 4148	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) = (𝑃 ∖ {𝑥}))
26	25	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) = (𝑃 ∖ {𝑥}))
27	24	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}))) → (𝔼‘𝑁) = 𝑃)
28		simpll 766	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}))) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
29		elntg.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (Itv‘(EEG‘𝑁))
30		simplrl 776	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}))) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁))
31	28, 24	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}))) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝔼‘𝑁) = 𝑃)
32	30, 31	eleqtrd 2846	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}))) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑥 ∈ 𝑃)
33		simplrr 777	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}))) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}))
34	33	eldifad 3988	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}))) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁))
35	34, 31	eleqtrd 2846	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}))) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑦 ∈ 𝑃)
36		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}))) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁))
37	36, 31	eleqtrd 2846	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}))) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑧 ∈ 𝑃)
38	28, 23, 29, 32, 35, 37	ebtwntg 29015	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}))) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ↔ 𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦)))
39	28, 23, 29, 37, 35, 32	ebtwntg 29015	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}))) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝑥 Btwn ⟨𝑧, 𝑦⟩ ↔ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦)))
40	28, 23, 29, 32, 37, 35	ebtwntg 29015	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}))) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝑦 Btwn ⟨𝑥, 𝑧⟩ ↔ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))
41	38, 39, 40	3orbi123d 1435	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}))) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑧, 𝑦⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑥, 𝑧⟩) ↔ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))
42	27, 41	rabeqbidva 3460	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}))) → {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑧, 𝑦⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑥, 𝑧⟩)} = {𝑧 ∈ 𝑃 ∣ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))})
43	24, 26, 42	mpoeq123dva 7524	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑧, 𝑦⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑥, 𝑧⟩)}) = (𝑥 ∈ 𝑃, 𝑦 ∈ (𝑃 ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ 𝑃 ∣ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))}))
44	21, 43	eqtr3d 2782	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (LineG‘(EEG‘𝑁)) = (𝑥 ∈ 𝑃, 𝑦 ∈ (𝑃 ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ 𝑃 ∣ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ w3o 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  {crab 3443  Vcvv 3488   ∖ cdif 3973   ∪ cun 3974  ∅c0 4352  {csn 4648  {cpr 4650  ⟨cop 4654   class class class wbr 5166  ^◡ccnv 5699  Fun wfun 6567  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448   ∈ cmpo 7450  1c1 11185   − cmin 11520  ℕcn 12293  2c2 12348  7c7 12353  ;cdc 12758  ...cfz 13567  ↑cexp 14112  Σcsu 15734   Struct cstr 17193  ndxcnx 17240  Basecbs 17258  distcds 17320  Itvcitv 28459  LineGclng 28460  𝔼cee 28921   Btwn cbtwn 28922  EEGceeng 29010

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-fz 13568  df-seq 14053  df-sum 15735  df-struct 17194  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ds 17333  df-itv 28461  df-lng 28462  df-eeng 29011

This theorem is referenced by:  elntg2  29018  eengtrkg  29019