Theorem elntg 27075

Description: The line definition in the Tarski structure for the Euclidean geometry. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
elntg.1	⊢ 𝑃 = (Base‘(EEG‘𝑁))
elntg.2	⊢ 𝐼 = (Itv‘(EEG‘𝑁))

Assertion

Ref	Expression
elntg	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (LineG‘(EEG‘𝑁)) = (𝑥 ∈ 𝑃, 𝑦 ∈ (𝑃 ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ 𝑃 ∣ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))}))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑁   𝑧,𝑃

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥,𝑦)   𝐼(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem elntg

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lngid 26534	. . 3 ⊢ LineG = Slot (LineG‘ndx)
2		fvex 6730	. . . 4 ⊢ (EEG‘𝑁) ∈ V
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (EEG‘𝑁) ∈ V)
4		eengstr 27071	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (EEG‘𝑁) Struct ⟨1, ;17⟩)
5		structn0fun 16704	. . . . 5 ⊢ ((EEG‘𝑁) Struct ⟨1, ;17⟩ → Fun ((EEG‘𝑁) ∖ {∅}))
6	4, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → Fun ((EEG‘𝑁) ∖ {∅}))
7		structcnvcnv 16706	. . . . . 6 ⊢ ((EEG‘𝑁) Struct ⟨1, ;17⟩ → ◡◡(EEG‘𝑁) = ((EEG‘𝑁) ∖ {∅}))
8	4, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ◡◡(EEG‘𝑁) = ((EEG‘𝑁) ∖ {∅}))
9	8	funeqd 6402	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (Fun ◡◡(EEG‘𝑁) ↔ Fun ((EEG‘𝑁) ∖ {∅})))
10	6, 9	mpbird 260	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → Fun ◡◡(EEG‘𝑁))
11		opex 5348	. . . . . 6 ⊢ ⟨(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑧, 𝑦⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑥, 𝑧⟩)})⟩ ∈ V
12	11	prid2 4679	. . . . 5 ⊢ ⟨(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑧, 𝑦⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑥, 𝑧⟩)})⟩ ∈ {⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩})⟩, ⟨(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑧, 𝑦⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑥, 𝑧⟩)})⟩}
13		elun2 4091	. . . . 5 ⊢ (⟨(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑧, 𝑦⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑥, 𝑧⟩)})⟩ ∈ {⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩})⟩, ⟨(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑧, 𝑦⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑥, 𝑧⟩)})⟩} → ⟨(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑧, 𝑦⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑥, 𝑧⟩)})⟩ ∈ ({⟨(Base‘ndx), (𝔼‘𝑁)⟩, ⟨(dist‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑥‘𝑖) − (𝑦‘𝑖))↑2))⟩} ∪ {⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩})⟩, ⟨(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑧, 𝑦⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑥, 𝑧⟩)})⟩}))
14	12, 13	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ⟨(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑧, 𝑦⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑥, 𝑧⟩)})⟩ ∈ ({⟨(Base‘ndx), (𝔼‘𝑁)⟩, ⟨(dist‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑥‘𝑖) − (𝑦‘𝑖))↑2))⟩} ∪ {⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩})⟩, ⟨(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑧, 𝑦⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑥, 𝑧⟩)})⟩})
15		eengv 27070	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (EEG‘𝑁) = ({⟨(Base‘ndx), (𝔼‘𝑁)⟩, ⟨(dist‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑥‘𝑖) − (𝑦‘𝑖))↑2))⟩} ∪ {⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩})⟩, ⟨(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑧, 𝑦⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑥, 𝑧⟩)})⟩}))
16	14, 15	eleqtrrid 2845	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ⟨(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑧, 𝑦⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑥, 𝑧⟩)})⟩ ∈ (EEG‘𝑁))
17		fvex 6730	. . . . 5 ⊢ (𝔼‘𝑁) ∈ V
18	17	difexi 5221	. . . . 5 ⊢ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) ∈ V
19	17, 18	mpoex 7850	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑧, 𝑦⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑥, 𝑧⟩)}) ∈ V
20	19	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑧, 𝑦⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑥, 𝑧⟩)}) ∈ V)
21	1, 3, 10, 16, 20	strfv2d 16752	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑧, 𝑦⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑥, 𝑧⟩)}) = (LineG‘(EEG‘𝑁)))
22		eengbas 27072	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝔼‘𝑁) = (Base‘(EEG‘𝑁)))
23		elntg.1	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘(EEG‘𝑁))
24	22, 23	eqtr4di 2796	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝔼‘𝑁) = 𝑃)
25	24	difeq1d 4036	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) = (𝑃 ∖ {𝑥}))
26	25	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) = (𝑃 ∖ {𝑥}))
27	24	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}))) → (𝔼‘𝑁) = 𝑃)
28		simpll 767	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}))) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
29		elntg.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (Itv‘(EEG‘𝑁))
30		simplrl 777	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}))) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁))
31	28, 24	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}))) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝔼‘𝑁) = 𝑃)
32	30, 31	eleqtrd 2840	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}))) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑥 ∈ 𝑃)
33		simplrr 778	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}))) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}))
34	33	eldifad 3878	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}))) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁))
35	34, 31	eleqtrd 2840	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}))) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑦 ∈ 𝑃)
36		simpr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}))) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁))
37	36, 31	eleqtrd 2840	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}))) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑧 ∈ 𝑃)
38	28, 23, 29, 32, 35, 37	ebtwntg 27073	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}))) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ↔ 𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦)))
39	28, 23, 29, 37, 35, 32	ebtwntg 27073	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}))) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝑥 Btwn ⟨𝑧, 𝑦⟩ ↔ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦)))
40	28, 23, 29, 32, 37, 35	ebtwntg 27073	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}))) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝑦 Btwn ⟨𝑥, 𝑧⟩ ↔ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))
41	38, 39, 40	3orbi123d 1437	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}))) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑧, 𝑦⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑥, 𝑧⟩) ↔ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))
42	27, 41	rabeqbidva 3397	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}))) → {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑧, 𝑦⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑥, 𝑧⟩)} = {𝑧 ∈ 𝑃 ∣ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))})
43	24, 26, 42	mpoeq123dva 7285	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑧, 𝑦⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑥, 𝑧⟩)}) = (𝑥 ∈ 𝑃, 𝑦 ∈ (𝑃 ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ 𝑃 ∣ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))}))
44	21, 43	eqtr3d 2779	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (LineG‘(EEG‘𝑁)) = (𝑥 ∈ 𝑃, 𝑦 ∈ (𝑃 ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ 𝑃 ∣ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∨ w3o 1088   = wceq 1543   ∈ wcel 2110  {crab 3065  Vcvv 3408   ∖ cdif 3863   ∪ cun 3864  ∅c0 4237  {csn 4541  {cpr 4543  ⟨cop 4547   class class class wbr 5053  ^◡ccnv 5550  Fun wfun 6374  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213   ∈ cmpo 7215  1c1 10730   − cmin 11062  ℕcn 11830  2c2 11885  7c7 11890  ;cdc 12293  ...cfz 13095  ↑cexp 13635  Σcsu 15249   Struct cstr 16699  ndxcnx 16744  Basecbs 16760  distcds 16811  Itvcitv 26527  LineGclng 26528  𝔼cee 26979   Btwn cbtwn 26980  EEGceeng 27068

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-4 11895  df-5 11896  df-6 11897  df-7 11898  df-8 11899  df-9 11900  df-n0 12091  df-z 12177  df-dec 12294  df-uz 12439  df-fz 13096  df-seq 13575  df-sum 15250  df-struct 16700  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-ds 16824  df-itv 26529  df-lng 26530  df-eeng 27069

This theorem is referenced by:  elntg2  27076  eengtrkg  27077