MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ebtwntg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ebtwntg 26455
Description: The betweenness relation used in the Tarski structure for the Euclidean geometry is the same as Btwn. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ebtwntg.1 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
ebtwntg.2 𝑃 = (Base‘(EEG‘𝑁))
ebtwntg.3 𝐼 = (Itv‘(EEG‘𝑁))
ebtwntg.x (𝜑𝑋𝑃)
ebtwntg.y (𝜑𝑌𝑃)
ebtwntg.z (𝜑𝑍𝑃)
Assertion
Ref Expression
ebtwntg (𝜑 → (𝑍 Btwn ⟨𝑋, 𝑌⟩ ↔ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)))

Proof of Theorem ebtwntg
Dummy variables 𝑥 𝑖 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itvid 25914 . . . . . 6 Itv = Slot (Itv‘ndx)
2 fvexd 6560 . . . . . 6 (𝜑 → (EEG‘𝑁) ∈ V)
3 ebtwntg.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
4 eengstr 26453 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (EEG‘𝑁) Struct ⟨1, 17⟩)
53, 4syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (EEG‘𝑁) Struct ⟨1, 17⟩)
6 structn0fun 16328 . . . . . . . 8 ((EEG‘𝑁) Struct ⟨1, 17⟩ → Fun ((EEG‘𝑁) ∖ {∅}))
75, 6syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → Fun ((EEG‘𝑁) ∖ {∅}))
8 structcnvcnv 16330 . . . . . . . . 9 ((EEG‘𝑁) Struct ⟨1, 17⟩ → (EEG‘𝑁) = ((EEG‘𝑁) ∖ {∅}))
95, 8syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑(EEG‘𝑁) = ((EEG‘𝑁) ∖ {∅}))
109funeqd 6254 . . . . . . 7 (𝜑 → (Fun (EEG‘𝑁) ↔ Fun ((EEG‘𝑁) ∖ {∅})))
117, 10mpbird 258 . . . . . 6 (𝜑 → Fun (EEG‘𝑁))
12 opex 5255 . . . . . . . . 9 ⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩})⟩ ∈ V
1312prid1 4611 . . . . . . . 8 ⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩})⟩ ∈ {⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩})⟩, ⟨(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑧, 𝑦⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑥, 𝑧⟩)})⟩}
14 elun2 4080 . . . . . . . 8 (⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩})⟩ ∈ {⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩})⟩, ⟨(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑧, 𝑦⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑥, 𝑧⟩)})⟩} → ⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩})⟩ ∈ ({⟨(Base‘ndx), (𝔼‘𝑁)⟩, ⟨(dist‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑥𝑖) − (𝑦𝑖))↑2))⟩} ∪ {⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩})⟩, ⟨(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑧, 𝑦⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑥, 𝑧⟩)})⟩}))
1513, 14ax-mp 5 . . . . . . 7 ⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩})⟩ ∈ ({⟨(Base‘ndx), (𝔼‘𝑁)⟩, ⟨(dist‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑥𝑖) − (𝑦𝑖))↑2))⟩} ∪ {⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩})⟩, ⟨(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑧, 𝑦⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑥, 𝑧⟩)})⟩})
16 eengv 26452 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (EEG‘𝑁) = ({⟨(Base‘ndx), (𝔼‘𝑁)⟩, ⟨(dist‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑥𝑖) − (𝑦𝑖))↑2))⟩} ∪ {⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩})⟩, ⟨(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑧, 𝑦⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑥, 𝑧⟩)})⟩}))
173, 16syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (EEG‘𝑁) = ({⟨(Base‘ndx), (𝔼‘𝑁)⟩, ⟨(dist‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑥𝑖) − (𝑦𝑖))↑2))⟩} ∪ {⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩})⟩, ⟨(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑧, 𝑦⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑥, 𝑧⟩)})⟩}))
1815, 17syl5eleqr 2892 . . . . . 6 (𝜑 → ⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩})⟩ ∈ (EEG‘𝑁))
19 fvex 6558 . . . . . . . 8 (𝔼‘𝑁) ∈ V
2019, 19mpoex 7640 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩}) ∈ V
2120a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩}) ∈ V)
221, 2, 11, 18, 21strfv2d 16362 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩}) = (Itv‘(EEG‘𝑁)))
23 ebtwntg.3 . . . . 5 𝐼 = (Itv‘(EEG‘𝑁))
2422, 23syl6reqr 2852 . . . 4 (𝜑𝐼 = (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩}))
25 simprl 767 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝑋𝑦 = 𝑌)) → 𝑥 = 𝑋)
26 simprr 769 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝑋𝑦 = 𝑌)) → 𝑦 = 𝑌)
2725, 26opeq12d 4724 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝑋𝑦 = 𝑌)) → ⟨𝑥, 𝑦⟩ = ⟨𝑋, 𝑌⟩)
2827breq2d 4980 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝑋𝑦 = 𝑌)) → (𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ↔ 𝑧 Btwn ⟨𝑋, 𝑌⟩))
2928rabbidv 3428 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝑋𝑦 = 𝑌)) → {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩} = {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑋, 𝑌⟩})
30 ebtwntg.x . . . . . 6 (𝜑𝑋𝑃)
31 ebtwntg.2 . . . . . 6 𝑃 = (Base‘(EEG‘𝑁))
3230, 31syl6eleq 2895 . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁)))
33 eengbas 26454 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (𝔼‘𝑁) = (Base‘(EEG‘𝑁)))
343, 33syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝔼‘𝑁) = (Base‘(EEG‘𝑁)))
3532, 34eleqtrrd 2888 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁))
36 ebtwntg.y . . . . . 6 (𝜑𝑌𝑃)
3736, 31syl6eleq 2895 . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁)))
3837, 34eleqtrrd 2888 . . . 4 (𝜑𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))
3919rabex 5133 . . . . 5 {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑋, 𝑌⟩} ∈ V
4039a1i 11 . . . 4 (𝜑 → {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑋, 𝑌⟩} ∈ V)
4124, 29, 35, 38, 40ovmpod 7165 . . 3 (𝜑 → (𝑋𝐼𝑌) = {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑋, 𝑌⟩})
4241eleq2d 2870 . 2 (𝜑 → (𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ↔ 𝑍 ∈ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑋, 𝑌⟩}))
43 ebtwntg.z . . . . 5 (𝜑𝑍𝑃)
4443, 31syl6eleq 2895 . . . 4 (𝜑𝑍 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁)))
4544, 34eleqtrrd 2888 . . 3 (𝜑𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁))
46 breq1 4971 . . . 4 (𝑧 = 𝑍 → (𝑧 Btwn ⟨𝑋, 𝑌⟩ ↔ 𝑍 Btwn ⟨𝑋, 𝑌⟩))
4746elrab3 3622 . . 3 (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) → (𝑍 ∈ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑋, 𝑌⟩} ↔ 𝑍 Btwn ⟨𝑋, 𝑌⟩))
4845, 47syl 17 . 2 (𝜑 → (𝑍 ∈ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑋, 𝑌⟩} ↔ 𝑍 Btwn ⟨𝑋, 𝑌⟩))
4942, 48bitr2d 281 1 (𝜑 → (𝑍 Btwn ⟨𝑋, 𝑌⟩ ↔ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3o 1079   = wceq 1525  wcel 2083  {crab 3111  Vcvv 3440  cdif 3862  cun 3863  c0 4217  {csn 4478  {cpr 4480  cop 4484   class class class wbr 4968  ccnv 5449  Fun wfun 6226  cfv 6232  (class class class)co 7023  cmpo 7025  1c1 10391  cmin 10723  cn 11492  2c2 11546  7c7 11551  cdc 11952  ...cfz 12746  cexp 13283  Σcsu 14880   Struct cstr 16312  ndxcnx 16313  Basecbs 16316  distcds 16407  Itvcitv 25908  LineGclng 25909  𝔼cee 26361   Btwn cbtwn 26362  EEGceeng 26450
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-rep 5088  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326  ax-cnex 10446  ax-resscn 10447  ax-1cn 10448  ax-icn 10449  ax-addcl 10450  ax-addrcl 10451  ax-mulcl 10452  ax-mulrcl 10453  ax-mulcom 10454  ax-addass 10455  ax-mulass 10456  ax-distr 10457  ax-i2m1 10458  ax-1ne0 10459  ax-1rid 10460  ax-rnegex 10461  ax-rrecex 10462  ax-cnre 10463  ax-pre-lttri 10464  ax-pre-lttrn 10465  ax-pre-ltadd 10466  ax-pre-mulgt0 10467
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-pss 3882  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-tp 4483  df-op 4485  df-uni 4752  df-int 4789  df-iun 4833  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-tr 5071  df-id 5355  df-eprel 5360  df-po 5369  df-so 5370  df-fr 5409  df-we 5411  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-pred 6030  df-ord 6076  df-on 6077  df-lim 6078  df-suc 6079  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-riota 6984  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-om 7444  df-1st 7552  df-2nd 7553  df-wrecs 7805  df-recs 7867  df-rdg 7905  df-1o 7960  df-oadd 7964  df-er 8146  df-en 8365  df-dom 8366  df-sdom 8367  df-fin 8368  df-pnf 10530  df-mnf 10531  df-xr 10532  df-ltxr 10533  df-le 10534  df-sub 10725  df-neg 10726  df-nn 11493  df-2 11554  df-3 11555  df-4 11556  df-5 11557  df-6 11558  df-7 11559  df-8 11560  df-9 11561  df-n0 11752  df-z 11836  df-dec 11953  df-uz 12098  df-fz 12747  df-seq 13224  df-sum 14881  df-struct 16318  df-ndx 16319  df-slot 16320  df-base 16322  df-ds 16420  df-itv 25910  df-lng 25911  df-eeng 26451
This theorem is referenced by:  elntg  26457  elntg2  26458  eengtrkg  26459  eengtrkge  26460
  Copyright terms: Public domain W3C validator