Theorem ebtwntg 29561

Description: The betweenness relation used in the Tarski structure for the Euclidean geometry is the same as Btwn. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Mar-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ebtwntg.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
ebtwntg.2	⊢ 𝑃 = (Base‘(EEG‘𝑁))
ebtwntg.3	⊢ 𝐼 = (Itv‘(EEG‘𝑁))
ebtwntg.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
ebtwntg.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
ebtwntg.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
ebtwntg	⊢ (𝜑 → (𝑍 Btwn ⟨𝑋, 𝑌⟩ ↔ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)))

Proof of Theorem ebtwntg

Dummy variables 𝑥 𝑖 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ebtwntg.3	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (Itv‘(EEG‘𝑁))
2		itvid 28902	. . . . . 6 ⊢ Itv = Slot (Itv‘ndx)
3		fvexd 6900	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (EEG‘𝑁) ∈ V)
4		ebtwntg.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
5		eengstr 29559	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (EEG‘𝑁) Struct ⟨1, ;17⟩)
6	4, 5	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (EEG‘𝑁) Struct ⟨1, ;17⟩)
7		structn0fun 17330	. . . . . . . 8 ⊢ ((EEG‘𝑁) Struct ⟨1, ;17⟩ → Fun ((EEG‘𝑁) ∖ {∅}))
8	6, 7	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Fun ((EEG‘𝑁) ∖ {∅}))
9		structcnvcnv 17332	. . . . . . . . 9 ⊢ ((EEG‘𝑁) Struct ⟨1, ;17⟩ → ◡◡(EEG‘𝑁) = ((EEG‘𝑁) ∖ {∅}))
10	6, 9	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ◡◡(EEG‘𝑁) = ((EEG‘𝑁) ∖ {∅}))
11	10	funeqd 6561	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Fun ◡◡(EEG‘𝑁) ↔ Fun ((EEG‘𝑁) ∖ {∅})))
12	8, 11	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Fun ◡◡(EEG‘𝑁))
13		opex 5431	. . . . . . . . 9 ⊢ ⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩})⟩ ∈ V
14	13	prid1 4722	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩})⟩ ∈ {⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩})⟩, ⟨(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑧, 𝑦⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑥, 𝑧⟩)})⟩}
15		elun2 4181	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩})⟩ ∈ {⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩})⟩, ⟨(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑧, 𝑦⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑥, 𝑧⟩)})⟩} → ⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩})⟩ ∈ ({⟨(Base‘ndx), (𝔼‘𝑁)⟩, ⟨(dist‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑥‘𝑖) − (𝑦‘𝑖))↑2))⟩} ∪ {⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩})⟩, ⟨(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑧, 𝑦⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑥, 𝑧⟩)})⟩}))
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩})⟩ ∈ ({⟨(Base‘ndx), (𝔼‘𝑁)⟩, ⟨(dist‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑥‘𝑖) − (𝑦‘𝑖))↑2))⟩} ∪ {⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩})⟩, ⟨(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑧, 𝑦⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑥, 𝑧⟩)})⟩})
17		eengv 29558	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (EEG‘𝑁) = ({⟨(Base‘ndx), (𝔼‘𝑁)⟩, ⟨(dist‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑥‘𝑖) − (𝑦‘𝑖))↑2))⟩} ∪ {⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩})⟩, ⟨(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑧, 𝑦⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑥, 𝑧⟩)})⟩}))
18	4, 17	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (EEG‘𝑁) = ({⟨(Base‘ndx), (𝔼‘𝑁)⟩, ⟨(dist‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑥‘𝑖) − (𝑦‘𝑖))↑2))⟩} ∪ {⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩})⟩, ⟨(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑧, 𝑦⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑥, 𝑧⟩)})⟩}))
19	16, 18	eleqtrrid 2867	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩})⟩ ∈ (EEG‘𝑁))
20		fvex 6898	. . . . . . . 8 ⊢ (𝔼‘𝑁) ∈ V
21	20, 20	mpoex 8092	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩}) ∈ V
22	21	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩}) ∈ V)
23	2, 3, 12, 19, 22	strfv2d 17380	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩}) = (Itv‘(EEG‘𝑁)))
24	1, 23	eqtr4id 2814	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 = (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩}))
25		simprl 783	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌)) → 𝑥 = 𝑋)
26		simprr 785	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌)) → 𝑦 = 𝑌)
27	25, 26	opeq12d 4840	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌)) → ⟨𝑥, 𝑦⟩ = ⟨𝑋, 𝑌⟩)
28	27	breq2d 5114	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌)) → (𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ↔ 𝑧 Btwn ⟨𝑋, 𝑌⟩))
29	28	rabbidv 3419	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌)) → {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩} = {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑋, 𝑌⟩})
30		ebtwntg.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
31		ebtwntg.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Base‘(EEG‘𝑁))
32	30, 31	eleqtrdi 2870	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁)))
33		eengbas 29560	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝔼‘𝑁) = (Base‘(EEG‘𝑁)))
34	4, 33	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝔼‘𝑁) = (Base‘(EEG‘𝑁)))
35	32, 34	eleqtrrd 2863	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁))
36		ebtwntg.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
37	36, 31	eleqtrdi 2870	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁)))
38	37, 34	eleqtrrd 2863	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))
39	20	rabex 5299	. . . . 5 ⊢ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑋, 𝑌⟩} ∈ V
40	39	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑋, 𝑌⟩} ∈ V)
41	24, 29, 35, 38, 40	ovmpod 7572	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐼𝑌) = {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑋, 𝑌⟩})
42	41	eleq2d 2846	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ↔ 𝑍 ∈ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑋, 𝑌⟩}))
43		ebtwntg.z	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
44	43, 31	eleqtrdi 2870	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁)))
45	44, 34	eleqtrrd 2863	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁))
46		breq1 5105	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝑍 → (𝑧 Btwn ⟨𝑋, 𝑌⟩ ↔ 𝑍 Btwn ⟨𝑋, 𝑌⟩))
47	46	elrab3 3645	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) → (𝑍 ∈ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑋, 𝑌⟩} ↔ 𝑍 Btwn ⟨𝑋, 𝑌⟩))
48	45, 47	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑍 ∈ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑋, 𝑌⟩} ↔ 𝑍 Btwn ⟨𝑋, 𝑌⟩))
49	42, 48	bitr2d 283	1 ⊢ (𝜑 → (𝑍 Btwn ⟨𝑋, 𝑌⟩ ↔ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ w3o 1102   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  {crab 3412  Vcvv 3450   ∖ cdif 4045   ∪ cun 4149  ∅c0 4278  {csn 4583  {cpr 4585  ⟨cop 4589   class class class wbr 5102  ^◡ccnv 5649  Fun wfun 6532  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ∈ cmpo 7422  1c1 11202   − cmin 11542  ℕcn 12336  2c2 12398  7c7 12403  ;cdc 12815  ...cfz 13640  ↑cexp 14205  Σcsu 15854   Struct cstr 17325  ndxcnx 17372  Basecbs 17388  distcds 17438  Itvcitv 28896  LineGclng 28897  𝔼cee 29466   Btwn cbtwn 29467  EEGceeng 29556

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-1o 8477  df-er 8718  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-nn 12337  df-2 12406  df-3 12407  df-4 12408  df-5 12409  df-6 12410  df-7 12411  df-8 12412  df-9 12413  df-n0 12608  df-z 12695  df-dec 12816  df-uz 12967  df-fz 13641  df-seq 14146  df-sum 15855  df-struct 17326  df-slot 17361  df-ndx 17373  df-base 17389  df-ds 17451  df-itv 28898  df-lng 28899  df-eeng 29557

This theorem is used by:  elntg  29563  elntg2  29564  eengtrkg  29565  eengtrkge  29566