Theorem ebtwntg 29494

Description: The betweenness relation used in the Tarski structure for the Euclidean geometry is the same as Btwn. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Mar-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ebtwntg.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
ebtwntg.2	⊢ 𝑃 = (Base‘(EEG‘𝑁))
ebtwntg.3	⊢ 𝐼 = (Itv‘(EEG‘𝑁))
ebtwntg.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
ebtwntg.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
ebtwntg.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
ebtwntg	⊢ (𝜑 → (𝑍 Btwn ⟨𝑋, 𝑌⟩ ↔ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)))

Proof of Theorem ebtwntg

Dummy variables 𝑥 𝑖 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ebtwntg.3	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (Itv‘(EEG‘𝑁))
2		itvid 28835	. . . . . 6 ⊢ Itv = Slot (Itv‘ndx)
3		fvexd 6888	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (EEG‘𝑁) ∈ V)
4		ebtwntg.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
5		eengstr 29492	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (EEG‘𝑁) Struct ⟨1, ;17⟩)
6	4, 5	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (EEG‘𝑁) Struct ⟨1, ;17⟩)
7		structn0fun 17291	. . . . . . . 8 ⊢ ((EEG‘𝑁) Struct ⟨1, ;17⟩ → Fun ((EEG‘𝑁) ∖ {∅}))
8	6, 7	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Fun ((EEG‘𝑁) ∖ {∅}))
9		structcnvcnv 17293	. . . . . . . . 9 ⊢ ((EEG‘𝑁) Struct ⟨1, ;17⟩ → ◡◡(EEG‘𝑁) = ((EEG‘𝑁) ∖ {∅}))
10	6, 9	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ◡◡(EEG‘𝑁) = ((EEG‘𝑁) ∖ {∅}))
11	10	funeqd 6549	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Fun ◡◡(EEG‘𝑁) ↔ Fun ((EEG‘𝑁) ∖ {∅})))
12	8, 11	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Fun ◡◡(EEG‘𝑁))
13		opex 5431	. . . . . . . . 9 ⊢ ⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩})⟩ ∈ V
14	13	prid1 4722	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩})⟩ ∈ {⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩})⟩, ⟨(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑧, 𝑦⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑥, 𝑧⟩)})⟩}
15		elun2 4128	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩})⟩ ∈ {⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩})⟩, ⟨(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑧, 𝑦⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑥, 𝑧⟩)})⟩} → ⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩})⟩ ∈ ({⟨(Base‘ndx), (𝔼‘𝑁)⟩, ⟨(dist‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑥‘𝑖) − (𝑦‘𝑖))↑2))⟩} ∪ {⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩})⟩, ⟨(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑧, 𝑦⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑥, 𝑧⟩)})⟩}))
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩})⟩ ∈ ({⟨(Base‘ndx), (𝔼‘𝑁)⟩, ⟨(dist‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑥‘𝑖) − (𝑦‘𝑖))↑2))⟩} ∪ {⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩})⟩, ⟨(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑧, 𝑦⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑥, 𝑧⟩)})⟩})
17		eengv 29491	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (EEG‘𝑁) = ({⟨(Base‘ndx), (𝔼‘𝑁)⟩, ⟨(dist‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑥‘𝑖) − (𝑦‘𝑖))↑2))⟩} ∪ {⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩})⟩, ⟨(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑧, 𝑦⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑥, 𝑧⟩)})⟩}))
18	4, 17	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (EEG‘𝑁) = ({⟨(Base‘ndx), (𝔼‘𝑁)⟩, ⟨(dist‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑥‘𝑖) − (𝑦‘𝑖))↑2))⟩} ∪ {⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩})⟩, ⟨(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑧, 𝑦⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑥, 𝑧⟩)})⟩}))
19	16, 18	eleqtrrid 2867	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩})⟩ ∈ (EEG‘𝑁))
20		fvex 6886	. . . . . . . 8 ⊢ (𝔼‘𝑁) ∈ V
21	20, 20	mpoex 8075	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩}) ∈ V
22	21	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩}) ∈ V)
23	2, 3, 12, 19, 22	strfv2d 17341	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩}) = (Itv‘(EEG‘𝑁)))
24	1, 23	eqtr4id 2814	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 = (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩}))
25		simprl 783	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌)) → 𝑥 = 𝑋)
26		simprr 785	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌)) → 𝑦 = 𝑌)
27	25, 26	opeq12d 4840	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌)) → ⟨𝑥, 𝑦⟩ = ⟨𝑋, 𝑌⟩)
28	27	breq2d 5114	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌)) → (𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ↔ 𝑧 Btwn ⟨𝑋, 𝑌⟩))
29	28	rabbidv 3419	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌)) → {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩} = {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑋, 𝑌⟩})
30		ebtwntg.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
31		ebtwntg.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Base‘(EEG‘𝑁))
32	30, 31	eleqtrdi 2870	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁)))
33		eengbas 29493	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝔼‘𝑁) = (Base‘(EEG‘𝑁)))
34	4, 33	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝔼‘𝑁) = (Base‘(EEG‘𝑁)))
35	32, 34	eleqtrrd 2863	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁))
36		ebtwntg.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
37	36, 31	eleqtrdi 2870	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁)))
38	37, 34	eleqtrrd 2863	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))
39	20	rabex 5299	. . . . 5 ⊢ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑋, 𝑌⟩} ∈ V
40	39	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑋, 𝑌⟩} ∈ V)
41	24, 29, 35, 38, 40	ovmpod 7560	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐼𝑌) = {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑋, 𝑌⟩})
42	41	eleq2d 2846	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ↔ 𝑍 ∈ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑋, 𝑌⟩}))
43		ebtwntg.z	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
44	43, 31	eleqtrdi 2870	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁)))
45	44, 34	eleqtrrd 2863	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁))
46		breq1 5105	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝑍 → (𝑧 Btwn ⟨𝑋, 𝑌⟩ ↔ 𝑍 Btwn ⟨𝑋, 𝑌⟩))
47	46	elrab3 3645	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) → (𝑍 ∈ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑋, 𝑌⟩} ↔ 𝑍 Btwn ⟨𝑋, 𝑌⟩))
48	45, 47	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑍 ∈ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑋, 𝑌⟩} ↔ 𝑍 Btwn ⟨𝑋, 𝑌⟩))
49	42, 48	bitr2d 283	1 ⊢ (𝜑 → (𝑍 Btwn ⟨𝑋, 𝑌⟩ ↔ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ w3o 1102   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {crab 3412  Vcvv 3450   ∖ cdif 3895   ∪ cun 3896  ∅c0 4278  {csn 4583  {cpr 4585  ⟨cop 4589   class class class wbr 5102  ^◡ccnv 5646  Fun wfun 6521  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408   ∈ cmpo 7410  1c1 11173   − cmin 11513  ℕcn 12305  2c2 12367  7c7 12372  ;cdc 12784  ...cfz 13609  ↑cexp 14173  Σcsu 15821   Struct cstr 17286  ndxcnx 17333  Basecbs 17349  distcds 17399  Itvcitv 28829  LineGclng 28830  𝔼cee 29399   Btwn cbtwn 29400  EEGceeng 29489

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11228  ax-resscn 11229  ax-1cn 11230  ax-icn 11231  ax-addcl 11232  ax-addrcl 11233  ax-mulcl 11234  ax-mulrcl 11235  ax-mulcom 11236  ax-addass 11237  ax-mulass 11238  ax-distr 11239  ax-i2m1 11240  ax-1ne0 11241  ax-1rid 11242  ax-rnegex 11243  ax-rrecex 11244  ax-cnre 11245  ax-pre-lttri 11246  ax-pre-lttrn 11247  ax-pre-ltadd 11248  ax-pre-mulgt0 11249

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-er 8695  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-pnf 11317  df-mnf 11318  df-xr 11319  df-ltxr 11320  df-le 11321  df-sub 11515  df-neg 11516  df-nn 12306  df-2 12375  df-3 12376  df-4 12377  df-5 12378  df-6 12379  df-7 12380  df-8 12381  df-9 12382  df-n0 12577  df-z 12664  df-dec 12785  df-uz 12936  df-fz 13610  df-seq 14114  df-sum 15822  df-struct 17287  df-slot 17322  df-ndx 17334  df-base 17350  df-ds 17412  df-itv 28831  df-lng 28832  df-eeng 29490

This theorem is used by:  elntg  29496  elntg2  29497  eengtrkg  29498  eengtrkge  29499