Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | itvid 25914 |
. . . . . 6
⊢ Itv =
Slot (Itv‘ndx) |
2 | | fvexd 6560 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (EEG‘𝑁) ∈ V) |
3 | | ebtwntg.1 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ) |
4 | | eengstr 26453 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑁 ∈ ℕ →
(EEG‘𝑁) Struct
〈1, ;17〉) |
5 | 3, 4 | syl 17 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (EEG‘𝑁) Struct 〈1, ;17〉) |
6 | | structn0fun 16328 |
. . . . . . . 8
⊢
((EEG‘𝑁)
Struct 〈1, ;17〉 →
Fun ((EEG‘𝑁) ∖
{∅})) |
7 | 5, 6 | syl 17 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → Fun ((EEG‘𝑁) ∖
{∅})) |
8 | | structcnvcnv 16330 |
. . . . . . . . 9
⊢
((EEG‘𝑁)
Struct 〈1, ;17〉 →
◡◡(EEG‘𝑁) = ((EEG‘𝑁) ∖ {∅})) |
9 | 5, 8 | syl 17 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → ◡◡(EEG‘𝑁) = ((EEG‘𝑁) ∖ {∅})) |
10 | 9 | funeqd 6254 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (Fun ◡◡(EEG‘𝑁) ↔ Fun ((EEG‘𝑁) ∖ {∅}))) |
11 | 7, 10 | mpbird 258 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → Fun ◡◡(EEG‘𝑁)) |
12 | | opex 5255 |
. . . . . . . . 9
⊢
〈(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn 〈𝑥, 𝑦〉})〉 ∈ V |
13 | 12 | prid1 4611 |
. . . . . . . 8
⊢
〈(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn 〈𝑥, 𝑦〉})〉 ∈ {〈(Itv‘ndx),
(𝑥 ∈
(𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn 〈𝑥, 𝑦〉})〉, 〈(LineG‘ndx),
(𝑥 ∈
(𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑧 Btwn 〈𝑥, 𝑦〉 ∨ 𝑥 Btwn 〈𝑧, 𝑦〉 ∨ 𝑦 Btwn 〈𝑥, 𝑧〉)})〉} |
14 | | elun2 4080 |
. . . . . . . 8
⊢
(〈(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn 〈𝑥, 𝑦〉})〉 ∈ {〈(Itv‘ndx),
(𝑥 ∈
(𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn 〈𝑥, 𝑦〉})〉, 〈(LineG‘ndx),
(𝑥 ∈
(𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑧 Btwn 〈𝑥, 𝑦〉 ∨ 𝑥 Btwn 〈𝑧, 𝑦〉 ∨ 𝑦 Btwn 〈𝑥, 𝑧〉)})〉} →
〈(Itv‘ndx), (𝑥
∈ (𝔼‘𝑁),
𝑦 ∈
(𝔼‘𝑁) ↦
{𝑧 ∈
(𝔼‘𝑁) ∣
𝑧 Btwn 〈𝑥, 𝑦〉})〉 ∈
({〈(Base‘ndx), (𝔼‘𝑁)〉, 〈(dist‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑥‘𝑖) − (𝑦‘𝑖))↑2))〉} ∪
{〈(Itv‘ndx), (𝑥
∈ (𝔼‘𝑁),
𝑦 ∈
(𝔼‘𝑁) ↦
{𝑧 ∈
(𝔼‘𝑁) ∣
𝑧 Btwn 〈𝑥, 𝑦〉})〉, 〈(LineG‘ndx),
(𝑥 ∈
(𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑧 Btwn 〈𝑥, 𝑦〉 ∨ 𝑥 Btwn 〈𝑧, 𝑦〉 ∨ 𝑦 Btwn 〈𝑥, 𝑧〉)})〉})) |
15 | 13, 14 | ax-mp 5 |
. . . . . . 7
⊢
〈(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn 〈𝑥, 𝑦〉})〉 ∈
({〈(Base‘ndx), (𝔼‘𝑁)〉, 〈(dist‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑥‘𝑖) − (𝑦‘𝑖))↑2))〉} ∪
{〈(Itv‘ndx), (𝑥
∈ (𝔼‘𝑁),
𝑦 ∈
(𝔼‘𝑁) ↦
{𝑧 ∈
(𝔼‘𝑁) ∣
𝑧 Btwn 〈𝑥, 𝑦〉})〉, 〈(LineG‘ndx),
(𝑥 ∈
(𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑧 Btwn 〈𝑥, 𝑦〉 ∨ 𝑥 Btwn 〈𝑧, 𝑦〉 ∨ 𝑦 Btwn 〈𝑥, 𝑧〉)})〉}) |
16 | | eengv 26452 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑁 ∈ ℕ →
(EEG‘𝑁) =
({〈(Base‘ndx), (𝔼‘𝑁)〉, 〈(dist‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑥‘𝑖) − (𝑦‘𝑖))↑2))〉} ∪
{〈(Itv‘ndx), (𝑥
∈ (𝔼‘𝑁),
𝑦 ∈
(𝔼‘𝑁) ↦
{𝑧 ∈
(𝔼‘𝑁) ∣
𝑧 Btwn 〈𝑥, 𝑦〉})〉, 〈(LineG‘ndx),
(𝑥 ∈
(𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑧 Btwn 〈𝑥, 𝑦〉 ∨ 𝑥 Btwn 〈𝑧, 𝑦〉 ∨ 𝑦 Btwn 〈𝑥, 𝑧〉)})〉})) |
17 | 3, 16 | syl 17 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (EEG‘𝑁) = ({〈(Base‘ndx),
(𝔼‘𝑁)〉,
〈(dist‘ndx), (𝑥
∈ (𝔼‘𝑁),
𝑦 ∈
(𝔼‘𝑁) ↦
Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑥‘𝑖) − (𝑦‘𝑖))↑2))〉} ∪
{〈(Itv‘ndx), (𝑥
∈ (𝔼‘𝑁),
𝑦 ∈
(𝔼‘𝑁) ↦
{𝑧 ∈
(𝔼‘𝑁) ∣
𝑧 Btwn 〈𝑥, 𝑦〉})〉, 〈(LineG‘ndx),
(𝑥 ∈
(𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑧 Btwn 〈𝑥, 𝑦〉 ∨ 𝑥 Btwn 〈𝑧, 𝑦〉 ∨ 𝑦 Btwn 〈𝑥, 𝑧〉)})〉})) |
18 | 15, 17 | syl5eleqr 2892 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 〈(Itv‘ndx),
(𝑥 ∈
(𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn 〈𝑥, 𝑦〉})〉 ∈ (EEG‘𝑁)) |
19 | | fvex 6558 |
. . . . . . . 8
⊢
(𝔼‘𝑁)
∈ V |
20 | 19, 19 | mpoex 7640 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn 〈𝑥, 𝑦〉}) ∈ V |
21 | 20 | a1i 11 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn 〈𝑥, 𝑦〉}) ∈ V) |
22 | 1, 2, 11, 18, 21 | strfv2d 16362 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn 〈𝑥, 𝑦〉}) = (Itv‘(EEG‘𝑁))) |
23 | | ebtwntg.3 |
. . . . 5
⊢ 𝐼 = (Itv‘(EEG‘𝑁)) |
24 | 22, 23 | syl6reqr 2852 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → 𝐼 = (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn 〈𝑥, 𝑦〉})) |
25 | | simprl 767 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌)) → 𝑥 = 𝑋) |
26 | | simprr 769 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌)) → 𝑦 = 𝑌) |
27 | 25, 26 | opeq12d 4724 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌)) → 〈𝑥, 𝑦〉 = 〈𝑋, 𝑌〉) |
28 | 27 | breq2d 4980 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌)) → (𝑧 Btwn 〈𝑥, 𝑦〉 ↔ 𝑧 Btwn 〈𝑋, 𝑌〉)) |
29 | 28 | rabbidv 3428 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌)) → {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn 〈𝑥, 𝑦〉} = {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn 〈𝑋, 𝑌〉}) |
30 | | ebtwntg.x |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃) |
31 | | ebtwntg.2 |
. . . . . 6
⊢ 𝑃 = (Base‘(EEG‘𝑁)) |
32 | 30, 31 | syl6eleq 2895 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁))) |
33 | | eengbas 26454 |
. . . . . 6
⊢ (𝑁 ∈ ℕ →
(𝔼‘𝑁) =
(Base‘(EEG‘𝑁))) |
34 | 3, 33 | syl 17 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (𝔼‘𝑁) = (Base‘(EEG‘𝑁))) |
35 | 32, 34 | eleqtrrd 2888 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁)) |
36 | | ebtwntg.y |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃) |
37 | 36, 31 | syl6eleq 2895 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁))) |
38 | 37, 34 | eleqtrrd 2888 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁)) |
39 | 19 | rabex 5133 |
. . . . 5
⊢ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn 〈𝑋, 𝑌〉} ∈ V |
40 | 39 | a1i 11 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn 〈𝑋, 𝑌〉} ∈ V) |
41 | 24, 29, 35, 38, 40 | ovmpod 7165 |
. . 3
⊢ (𝜑 → (𝑋𝐼𝑌) = {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn 〈𝑋, 𝑌〉}) |
42 | 41 | eleq2d 2870 |
. 2
⊢ (𝜑 → (𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ↔ 𝑍 ∈ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn 〈𝑋, 𝑌〉})) |
43 | | ebtwntg.z |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃) |
44 | 43, 31 | syl6eleq 2895 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁))) |
45 | 44, 34 | eleqtrrd 2888 |
. . 3
⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁)) |
46 | | breq1 4971 |
. . . 4
⊢ (𝑧 = 𝑍 → (𝑧 Btwn 〈𝑋, 𝑌〉 ↔ 𝑍 Btwn 〈𝑋, 𝑌〉)) |
47 | 46 | elrab3 3622 |
. . 3
⊢ (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) → (𝑍 ∈ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn 〈𝑋, 𝑌〉} ↔ 𝑍 Btwn 〈𝑋, 𝑌〉)) |
48 | 45, 47 | syl 17 |
. 2
⊢ (𝜑 → (𝑍 ∈ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn 〈𝑋, 𝑌〉} ↔ 𝑍 Btwn 〈𝑋, 𝑌〉)) |
49 | 42, 48 | bitr2d 281 |
1
⊢ (𝜑 → (𝑍 Btwn 〈𝑋, 𝑌〉 ↔ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌))) |