Theorem ebtwntg 29067

Description: The betweenness relation used in the Tarski structure for the Euclidean geometry is the same as Btwn. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Mar-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ebtwntg.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
ebtwntg.2	⊢ 𝑃 = (Base‘(EEG‘𝑁))
ebtwntg.3	⊢ 𝐼 = (Itv‘(EEG‘𝑁))
ebtwntg.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
ebtwntg.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
ebtwntg.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
ebtwntg	⊢ (𝜑 → (𝑍 Btwn ⟨𝑋, 𝑌⟩ ↔ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)))

Proof of Theorem ebtwntg

Dummy variables 𝑥 𝑖 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ebtwntg.3	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (Itv‘(EEG‘𝑁))
2		itvid 28523	. . . . . 6 ⊢ Itv = Slot (Itv‘ndx)
3		fvexd 6857	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (EEG‘𝑁) ∈ V)
4		ebtwntg.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
5		eengstr 29065	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (EEG‘𝑁) Struct ⟨1, ;17⟩)
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (EEG‘𝑁) Struct ⟨1, ;17⟩)
7		structn0fun 17090	. . . . . . . 8 ⊢ ((EEG‘𝑁) Struct ⟨1, ;17⟩ → Fun ((EEG‘𝑁) ∖ {∅}))
8	6, 7	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Fun ((EEG‘𝑁) ∖ {∅}))
9		structcnvcnv 17092	. . . . . . . . 9 ⊢ ((EEG‘𝑁) Struct ⟨1, ;17⟩ → ◡◡(EEG‘𝑁) = ((EEG‘𝑁) ∖ {∅}))
10	6, 9	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ◡◡(EEG‘𝑁) = ((EEG‘𝑁) ∖ {∅}))
11	10	funeqd 6522	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Fun ◡◡(EEG‘𝑁) ↔ Fun ((EEG‘𝑁) ∖ {∅})))
12	8, 11	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Fun ◡◡(EEG‘𝑁))
13		opex 5419	. . . . . . . . 9 ⊢ ⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩})⟩ ∈ V
14	13	prid1 4721	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩})⟩ ∈ {⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩})⟩, ⟨(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑧, 𝑦⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑥, 𝑧⟩)})⟩}
15		elun2 4137	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩})⟩ ∈ {⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩})⟩, ⟨(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑧, 𝑦⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑥, 𝑧⟩)})⟩} → ⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩})⟩ ∈ ({⟨(Base‘ndx), (𝔼‘𝑁)⟩, ⟨(dist‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑥‘𝑖) − (𝑦‘𝑖))↑2))⟩} ∪ {⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩})⟩, ⟨(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑧, 𝑦⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑥, 𝑧⟩)})⟩}))
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩})⟩ ∈ ({⟨(Base‘ndx), (𝔼‘𝑁)⟩, ⟨(dist‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑥‘𝑖) − (𝑦‘𝑖))↑2))⟩} ∪ {⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩})⟩, ⟨(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑧, 𝑦⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑥, 𝑧⟩)})⟩})
17		eengv 29064	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (EEG‘𝑁) = ({⟨(Base‘ndx), (𝔼‘𝑁)⟩, ⟨(dist‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑥‘𝑖) − (𝑦‘𝑖))↑2))⟩} ∪ {⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩})⟩, ⟨(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑧, 𝑦⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑥, 𝑧⟩)})⟩}))
18	4, 17	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (EEG‘𝑁) = ({⟨(Base‘ndx), (𝔼‘𝑁)⟩, ⟨(dist‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑥‘𝑖) − (𝑦‘𝑖))↑2))⟩} ∪ {⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩})⟩, ⟨(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑧, 𝑦⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑥, 𝑧⟩)})⟩}))
19	16, 18	eleqtrrid 2844	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩})⟩ ∈ (EEG‘𝑁))
20		fvex 6855	. . . . . . . 8 ⊢ (𝔼‘𝑁) ∈ V
21	20, 20	mpoex 8033	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩}) ∈ V
22	21	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩}) ∈ V)
23	2, 3, 12, 19, 22	strfv2d 17140	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩}) = (Itv‘(EEG‘𝑁)))
24	1, 23	eqtr4id 2791	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 = (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩}))
25		simprl 771	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌)) → 𝑥 = 𝑋)
26		simprr 773	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌)) → 𝑦 = 𝑌)
27	25, 26	opeq12d 4839	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌)) → ⟨𝑥, 𝑦⟩ = ⟨𝑋, 𝑌⟩)
28	27	breq2d 5112	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌)) → (𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ↔ 𝑧 Btwn ⟨𝑋, 𝑌⟩))
29	28	rabbidv 3408	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌)) → {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩} = {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑋, 𝑌⟩})
30		ebtwntg.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
31		ebtwntg.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Base‘(EEG‘𝑁))
32	30, 31	eleqtrdi 2847	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁)))
33		eengbas 29066	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝔼‘𝑁) = (Base‘(EEG‘𝑁)))
34	4, 33	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝔼‘𝑁) = (Base‘(EEG‘𝑁)))
35	32, 34	eleqtrrd 2840	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝔼‘𝑁))
36		ebtwntg.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
37	36, 31	eleqtrdi 2847	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁)))
38	37, 34	eleqtrrd 2840	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝔼‘𝑁))
39	20	rabex 5286	. . . . 5 ⊢ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑋, 𝑌⟩} ∈ V
40	39	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑋, 𝑌⟩} ∈ V)
41	24, 29, 35, 38, 40	ovmpod 7520	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐼𝑌) = {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑋, 𝑌⟩})
42	41	eleq2d 2823	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ↔ 𝑍 ∈ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑋, 𝑌⟩}))
43		ebtwntg.z	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
44	43, 31	eleqtrdi 2847	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (Base‘(EEG‘𝑁)))
45	44, 34	eleqtrrd 2840	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁))
46		breq1 5103	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝑍 → (𝑧 Btwn ⟨𝑋, 𝑌⟩ ↔ 𝑍 Btwn ⟨𝑋, 𝑌⟩))
47	46	elrab3 3649	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) → (𝑍 ∈ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑋, 𝑌⟩} ↔ 𝑍 Btwn ⟨𝑋, 𝑌⟩))
48	45, 47	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑍 ∈ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑋, 𝑌⟩} ↔ 𝑍 Btwn ⟨𝑋, 𝑌⟩))
49	42, 48	bitr2d 280	1 ⊢ (𝜑 → (𝑍 Btwn ⟨𝑋, 𝑌⟩ ↔ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ w3o 1086   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3401  Vcvv 3442   ∖ cdif 3900   ∪ cun 3901  ∅c0 4287  {csn 4582  {cpr 4584  ⟨cop 4588   class class class wbr 5100  ^◡ccnv 5631  Fun wfun 6494  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368   ∈ cmpo 7370  1c1 11039   − cmin 11376  ℕcn 12157  2c2 12212  7c7 12217  ;cdc 12619  ...cfz 13435  ↑cexp 13996  Σcsu 15621   Struct cstr 17085  ndxcnx 17132  Basecbs 17148  distcds 17198  Itvcitv 28517  LineGclng 28518  𝔼cee 28972   Btwn cbtwn 28973  EEGceeng 29062

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-fz 13436  df-seq 13937  df-sum 15622  df-struct 17086  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ds 17211  df-itv 28519  df-lng 28520  df-eeng 29063

This theorem is referenced by:  elntg  29069  elntg2  29070  eengtrkg  29071  eengtrkge  29072