MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ecgrtg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ecgrtg 29013
Description: The congruence relation used in the Tarski structure for the Euclidean geometry is the same as Cgr. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ecgrtg.1 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
ecgrtg.2 𝑃 = (Base‘(EEG‘𝑁))
ecgrtg.3 = (dist‘(EEG‘𝑁))
ecgrtg.a (𝜑𝐴𝑃)
ecgrtg.b (𝜑𝐵𝑃)
ecgrtg.c (𝜑𝐶𝑃)
ecgrtg.d (𝜑𝐷𝑃)
Assertion
Ref Expression
ecgrtg (𝜑 → (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩ ↔ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝐷)))

Proof of Theorem ecgrtg
Dummy variables 𝑥 𝑖 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ecgrtg.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑃)
2 ecgrtg.1 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
3 eengbas 29011 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (𝔼‘𝑁) = (Base‘(EEG‘𝑁)))
42, 3syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝔼‘𝑁) = (Base‘(EEG‘𝑁)))
5 ecgrtg.2 . . . . 5 𝑃 = (Base‘(EEG‘𝑁))
64, 5eqtr4di 2793 . . . 4 (𝜑 → (𝔼‘𝑁) = 𝑃)
71, 6eleqtrrd 2842 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
8 ecgrtg.b . . . 4 (𝜑𝐵𝑃)
98, 6eleqtrrd 2842 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
10 ecgrtg.c . . . 4 (𝜑𝐶𝑃)
1110, 6eleqtrrd 2842 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
12 ecgrtg.d . . . 4 (𝜑𝐷𝑃)
1312, 6eleqtrrd 2842 . . 3 (𝜑𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))
14 brcgr 28930 . . 3 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩ ↔ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2)))
157, 9, 11, 13, 14syl22anc 839 . 2 (𝜑 → (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩ ↔ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2)))
16 ecgrtg.3 . . . . . 6 = (dist‘(EEG‘𝑁))
17 dsid 17432 . . . . . . 7 dist = Slot (dist‘ndx)
18 fvexd 6922 . . . . . . 7 (𝜑 → (EEG‘𝑁) ∈ V)
19 eengstr 29010 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (EEG‘𝑁) Struct ⟨1, 17⟩)
202, 19syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (EEG‘𝑁) Struct ⟨1, 17⟩)
21 structn0fun 17185 . . . . . . . . 9 ((EEG‘𝑁) Struct ⟨1, 17⟩ → Fun ((EEG‘𝑁) ∖ {∅}))
2220, 21syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → Fun ((EEG‘𝑁) ∖ {∅}))
23 structcnvcnv 17187 . . . . . . . . . 10 ((EEG‘𝑁) Struct ⟨1, 17⟩ → (EEG‘𝑁) = ((EEG‘𝑁) ∖ {∅}))
2420, 23syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑(EEG‘𝑁) = ((EEG‘𝑁) ∖ {∅}))
2524funeqd 6590 . . . . . . . 8 (𝜑 → (Fun (EEG‘𝑁) ↔ Fun ((EEG‘𝑁) ∖ {∅})))
2622, 25mpbird 257 . . . . . . 7 (𝜑 → Fun (EEG‘𝑁))
27 opex 5475 . . . . . . . . . 10 ⟨(dist‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑥𝑖) − (𝑦𝑖))↑2))⟩ ∈ V
2827prid2 4768 . . . . . . . . 9 ⟨(dist‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑥𝑖) − (𝑦𝑖))↑2))⟩ ∈ {⟨(Base‘ndx), (𝔼‘𝑁)⟩, ⟨(dist‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑥𝑖) − (𝑦𝑖))↑2))⟩}
29 elun1 4192 . . . . . . . . 9 (⟨(dist‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑥𝑖) − (𝑦𝑖))↑2))⟩ ∈ {⟨(Base‘ndx), (𝔼‘𝑁)⟩, ⟨(dist‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑥𝑖) − (𝑦𝑖))↑2))⟩} → ⟨(dist‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑥𝑖) − (𝑦𝑖))↑2))⟩ ∈ ({⟨(Base‘ndx), (𝔼‘𝑁)⟩, ⟨(dist‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑥𝑖) − (𝑦𝑖))↑2))⟩} ∪ {⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩})⟩, ⟨(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑧, 𝑦⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑥, 𝑧⟩)})⟩}))
3028, 29ax-mp 5 . . . . . . . 8 ⟨(dist‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑥𝑖) − (𝑦𝑖))↑2))⟩ ∈ ({⟨(Base‘ndx), (𝔼‘𝑁)⟩, ⟨(dist‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑥𝑖) − (𝑦𝑖))↑2))⟩} ∪ {⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩})⟩, ⟨(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑧, 𝑦⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑥, 𝑧⟩)})⟩})
31 eengv 29009 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (EEG‘𝑁) = ({⟨(Base‘ndx), (𝔼‘𝑁)⟩, ⟨(dist‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑥𝑖) − (𝑦𝑖))↑2))⟩} ∪ {⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩})⟩, ⟨(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑧, 𝑦⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑥, 𝑧⟩)})⟩}))
322, 31syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (EEG‘𝑁) = ({⟨(Base‘ndx), (𝔼‘𝑁)⟩, ⟨(dist‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑥𝑖) − (𝑦𝑖))↑2))⟩} ∪ {⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩})⟩, ⟨(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑧, 𝑦⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑥, 𝑧⟩)})⟩}))
3330, 32eleqtrrid 2846 . . . . . . 7 (𝜑 → ⟨(dist‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑥𝑖) − (𝑦𝑖))↑2))⟩ ∈ (EEG‘𝑁))
34 fvex 6920 . . . . . . . . 9 (𝔼‘𝑁) ∈ V
3534, 34mpoex 8103 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑥𝑖) − (𝑦𝑖))↑2)) ∈ V
3635a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑥𝑖) − (𝑦𝑖))↑2)) ∈ V)
3717, 18, 26, 33, 36strfv2d 17236 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑥𝑖) − (𝑦𝑖))↑2)) = (dist‘(EEG‘𝑁)))
3816, 37eqtr4id 2794 . . . . 5 (𝜑 = (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑥𝑖) − (𝑦𝑖))↑2)))
39 simplrl 777 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝐴𝑦 = 𝐵)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝑥 = 𝐴)
4039fveq1d 6909 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝐴𝑦 = 𝐵)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑥𝑖) = (𝐴𝑖))
41 simplrr 778 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝐴𝑦 = 𝐵)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝑦 = 𝐵)
4241fveq1d 6909 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝐴𝑦 = 𝐵)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑦𝑖) = (𝐵𝑖))
4340, 42oveq12d 7449 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝐴𝑦 = 𝐵)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑥𝑖) − (𝑦𝑖)) = ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖)))
4443oveq1d 7446 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝐴𝑦 = 𝐵)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((𝑥𝑖) − (𝑦𝑖))↑2) = (((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))↑2))
4544sumeq2dv 15735 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝐴𝑦 = 𝐵)) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑥𝑖) − (𝑦𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))↑2))
46 sumex 15721 . . . . . 6 Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))↑2) ∈ V
4746a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))↑2) ∈ V)
4838, 45, 7, 9, 47ovmpod 7585 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 𝐵) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))↑2))
4948eqcomd 2741 . . 3 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))↑2) = (𝐴 𝐵))
50 simplrl 777 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝐶𝑦 = 𝐷)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝑥 = 𝐶)
5150fveq1d 6909 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝐶𝑦 = 𝐷)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑥𝑖) = (𝐶𝑖))
52 simplrr 778 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝐶𝑦 = 𝐷)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝑦 = 𝐷)
5352fveq1d 6909 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝐶𝑦 = 𝐷)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑦𝑖) = (𝐷𝑖))
5451, 53oveq12d 7449 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝐶𝑦 = 𝐷)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑥𝑖) − (𝑦𝑖)) = ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖)))
5554oveq1d 7446 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝐶𝑦 = 𝐷)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((𝑥𝑖) − (𝑦𝑖))↑2) = (((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2))
5655sumeq2dv 15735 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝐶𝑦 = 𝐷)) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑥𝑖) − (𝑦𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2))
57 sumex 15721 . . . . . 6 Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2) ∈ V
5857a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2) ∈ V)
5938, 56, 11, 13, 58ovmpod 7585 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 𝐷) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2))
6059eqcomd 2741 . . 3 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2) = (𝐶 𝐷))
6149, 60eqeq12d 2751 . 2 (𝜑 → (Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2) ↔ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝐷)))
6215, 61bitrd 279 1 (𝜑 → (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩ ↔ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝐷)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3o 1085   = wceq 1537  wcel 2106  {crab 3433  Vcvv 3478  cdif 3960  cun 3961  c0 4339  {csn 4631  {cpr 4633  cop 4637   class class class wbr 5148  ccnv 5688  Fun wfun 6557  cfv 6563  (class class class)co 7431  cmpo 7433  1c1 11154  cmin 11490  cn 12264  2c2 12319  7c7 12324  cdc 12731  ...cfz 13544  cexp 14099  Σcsu 15719   Struct cstr 17180  ndxcnx 17227  Basecbs 17245  distcds 17307  Itvcitv 28456  LineGclng 28457  𝔼cee 28918   Btwn cbtwn 28919  Cgrccgr 28920  EEGceeng 29007
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-seq 14040  df-sum 15720  df-struct 17181  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ds 17320  df-itv 28458  df-lng 28459  df-ee 28921  df-cgr 28923  df-eeng 29008
This theorem is referenced by:  eengtrkg  29016
  Copyright terms: Public domain W3C validator