Theorem ecgrtg 28959

Description: The congruence relation used in the Tarski structure for the Euclidean geometry is the same as Cgr. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Mar-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ecgrtg.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
ecgrtg.2	⊢ 𝑃 = (Base‘(EEG‘𝑁))
ecgrtg.3	⊢ − = (dist‘(EEG‘𝑁))
ecgrtg.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
ecgrtg.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
ecgrtg.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
ecgrtg.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
ecgrtg	⊢ (𝜑 → (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩ ↔ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝐷)))

Proof of Theorem ecgrtg

Dummy variables 𝑥 𝑖 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ecgrtg.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
2		ecgrtg.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
3		eengbas 28957	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝔼‘𝑁) = (Base‘(EEG‘𝑁)))
4	2, 3	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝔼‘𝑁) = (Base‘(EEG‘𝑁)))
5		ecgrtg.2	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘(EEG‘𝑁))
6	4, 5	eqtr4di 2784	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝔼‘𝑁) = 𝑃)
7	1, 6	eleqtrrd 2834	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
8		ecgrtg.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
9	8, 6	eleqtrrd 2834	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
10		ecgrtg.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
11	10, 6	eleqtrrd 2834	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
12		ecgrtg.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
13	12, 6	eleqtrrd 2834	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))
14		brcgr 28876	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩ ↔ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖))↑2)))
15	7, 9, 11, 13, 14	syl22anc 838	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩ ↔ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖))↑2)))
16		ecgrtg.3	. . . . . 6 ⊢ − = (dist‘(EEG‘𝑁))
17		dsid 17287	. . . . . . 7 ⊢ dist = Slot (dist‘ndx)
18		fvexd 6837	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (EEG‘𝑁) ∈ V)
19		eengstr 28956	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (EEG‘𝑁) Struct ⟨1, ;17⟩)
20	2, 19	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (EEG‘𝑁) Struct ⟨1, ;17⟩)
21		structn0fun 17059	. . . . . . . . 9 ⊢ ((EEG‘𝑁) Struct ⟨1, ;17⟩ → Fun ((EEG‘𝑁) ∖ {∅}))
22	20, 21	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Fun ((EEG‘𝑁) ∖ {∅}))
23		structcnvcnv 17061	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((EEG‘𝑁) Struct ⟨1, ;17⟩ → ◡◡(EEG‘𝑁) = ((EEG‘𝑁) ∖ {∅}))
24	20, 23	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ◡◡(EEG‘𝑁) = ((EEG‘𝑁) ∖ {∅}))
25	24	funeqd 6503	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Fun ◡◡(EEG‘𝑁) ↔ Fun ((EEG‘𝑁) ∖ {∅})))
26	22, 25	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Fun ◡◡(EEG‘𝑁))
27		opex 5404	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⟨(dist‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑥‘𝑖) − (𝑦‘𝑖))↑2))⟩ ∈ V
28	27	prid2 4716	. . . . . . . . 9 ⊢ ⟨(dist‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑥‘𝑖) − (𝑦‘𝑖))↑2))⟩ ∈ {⟨(Base‘ndx), (𝔼‘𝑁)⟩, ⟨(dist‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑥‘𝑖) − (𝑦‘𝑖))↑2))⟩}
29		elun1 4132	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨(dist‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑥‘𝑖) − (𝑦‘𝑖))↑2))⟩ ∈ {⟨(Base‘ndx), (𝔼‘𝑁)⟩, ⟨(dist‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑥‘𝑖) − (𝑦‘𝑖))↑2))⟩} → ⟨(dist‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑥‘𝑖) − (𝑦‘𝑖))↑2))⟩ ∈ ({⟨(Base‘ndx), (𝔼‘𝑁)⟩, ⟨(dist‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑥‘𝑖) − (𝑦‘𝑖))↑2))⟩} ∪ {⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩})⟩, ⟨(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑧, 𝑦⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑥, 𝑧⟩)})⟩}))
30	28, 29	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨(dist‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑥‘𝑖) − (𝑦‘𝑖))↑2))⟩ ∈ ({⟨(Base‘ndx), (𝔼‘𝑁)⟩, ⟨(dist‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑥‘𝑖) − (𝑦‘𝑖))↑2))⟩} ∪ {⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩})⟩, ⟨(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑧, 𝑦⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑥, 𝑧⟩)})⟩})
31		eengv 28955	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (EEG‘𝑁) = ({⟨(Base‘ndx), (𝔼‘𝑁)⟩, ⟨(dist‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑥‘𝑖) − (𝑦‘𝑖))↑2))⟩} ∪ {⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩})⟩, ⟨(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑧, 𝑦⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑥, 𝑧⟩)})⟩}))
32	2, 31	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (EEG‘𝑁) = ({⟨(Base‘ndx), (𝔼‘𝑁)⟩, ⟨(dist‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑥‘𝑖) − (𝑦‘𝑖))↑2))⟩} ∪ {⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩})⟩, ⟨(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑧, 𝑦⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑥, 𝑧⟩)})⟩}))
33	30, 32	eleqtrrid 2838	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ⟨(dist‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑥‘𝑖) − (𝑦‘𝑖))↑2))⟩ ∈ (EEG‘𝑁))
34		fvex 6835	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝔼‘𝑁) ∈ V
35	34, 34	mpoex 8011	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑥‘𝑖) − (𝑦‘𝑖))↑2)) ∈ V
36	35	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑥‘𝑖) − (𝑦‘𝑖))↑2)) ∈ V)
37	17, 18, 26, 33, 36	strfv2d 17109	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑥‘𝑖) − (𝑦‘𝑖))↑2)) = (dist‘(EEG‘𝑁)))
38	16, 37	eqtr4id 2785	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → − = (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑥‘𝑖) − (𝑦‘𝑖))↑2)))
39		simplrl 776	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐵)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝑥 = 𝐴)
40	39	fveq1d 6824	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐵)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑥‘𝑖) = (𝐴‘𝑖))
41		simplrr 777	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐵)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝑦 = 𝐵)
42	41	fveq1d 6824	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐵)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑦‘𝑖) = (𝐵‘𝑖))
43	40, 42	oveq12d 7364	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐵)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑥‘𝑖) − (𝑦‘𝑖)) = ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)))
44	43	oveq1d 7361	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐵)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((𝑥‘𝑖) − (𝑦‘𝑖))↑2) = (((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))↑2))
45	44	sumeq2dv 15606	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐵)) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑥‘𝑖) − (𝑦‘𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))↑2))
46		sumex 15592	. . . . . 6 ⊢ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))↑2) ∈ V
47	46	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))↑2) ∈ V)
48	38, 45, 7, 9, 47	ovmpod 7498	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))↑2))
49	48	eqcomd 2737	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))↑2) = (𝐴 − 𝐵))
50		simplrl 776	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝐶 ∧ 𝑦 = 𝐷)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝑥 = 𝐶)
51	50	fveq1d 6824	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝐶 ∧ 𝑦 = 𝐷)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑥‘𝑖) = (𝐶‘𝑖))
52		simplrr 777	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝐶 ∧ 𝑦 = 𝐷)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝑦 = 𝐷)
53	52	fveq1d 6824	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝐶 ∧ 𝑦 = 𝐷)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑦‘𝑖) = (𝐷‘𝑖))
54	51, 53	oveq12d 7364	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝐶 ∧ 𝑦 = 𝐷)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑥‘𝑖) − (𝑦‘𝑖)) = ((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖)))
55	54	oveq1d 7361	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝐶 ∧ 𝑦 = 𝐷)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((𝑥‘𝑖) − (𝑦‘𝑖))↑2) = (((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖))↑2))
56	55	sumeq2dv 15606	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝐶 ∧ 𝑦 = 𝐷)) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑥‘𝑖) − (𝑦‘𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖))↑2))
57		sumex 15592	. . . . . 6 ⊢ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖))↑2) ∈ V
58	57	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖))↑2) ∈ V)
59	38, 56, 11, 13, 58	ovmpod 7498	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐷) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖))↑2))
60	59	eqcomd 2737	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖))↑2) = (𝐶 − 𝐷))
61	49, 60	eqeq12d 2747	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖))↑2) ↔ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝐷)))
62	15, 61	bitrd 279	1 ⊢ (𝜑 → (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩ ↔ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ w3o 1085   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  {crab 3395  Vcvv 3436   ∖ cdif 3899   ∪ cun 3900  ∅c0 4283  {csn 4576  {cpr 4578  ⟨cop 4582   class class class wbr 5091  ^◡ccnv 5615  Fun wfun 6475  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346   ∈ cmpo 7348  1c1 11004   − cmin 11341  ℕcn 12122  2c2 12177  7c7 12182  ;cdc 12585  ...cfz 13404  ↑cexp 13965  Σcsu 15590   Struct cstr 17054  ndxcnx 17101  Basecbs 17117  distcds 17167  Itvcitv 28409  LineGclng 28410  𝔼cee 28864   Btwn cbtwn 28865  Cgrccgr 28866  EEGceeng 28953

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-nn 12123  df-2 12185  df-3 12186  df-4 12187  df-5 12188  df-6 12189  df-7 12190  df-8 12191  df-9 12192  df-n0 12379  df-z 12466  df-dec 12586  df-uz 12730  df-fz 13405  df-seq 13906  df-sum 15591  df-struct 17055  df-slot 17090  df-ndx 17102  df-base 17118  df-ds 17180  df-itv 28411  df-lng 28412  df-ee 28867  df-cgr 28869  df-eeng 28954

This theorem is referenced by:  eengtrkg  28962