Theorem ecgrtg 28674

Description: The congruence relation used in the Tarski structure for the Euclidean geometry is the same as Cgr. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Mar-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ecgrtg.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
ecgrtg.2	⊢ 𝑃 = (Base‘(EEG‘𝑁))
ecgrtg.3	⊢ − = (dist‘(EEG‘𝑁))
ecgrtg.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
ecgrtg.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
ecgrtg.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
ecgrtg.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
ecgrtg	⊢ (𝜑 → (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩ ↔ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝐷)))

Proof of Theorem ecgrtg

Dummy variables 𝑥 𝑖 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ecgrtg.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
2		ecgrtg.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
3		eengbas 28672	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝔼‘𝑁) = (Base‘(EEG‘𝑁)))
4	2, 3	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝔼‘𝑁) = (Base‘(EEG‘𝑁)))
5		ecgrtg.2	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘(EEG‘𝑁))
6	4, 5	eqtr4di 2789	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝔼‘𝑁) = 𝑃)
7	1, 6	eleqtrrd 2835	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
8		ecgrtg.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
9	8, 6	eleqtrrd 2835	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
10		ecgrtg.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
11	10, 6	eleqtrrd 2835	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
12		ecgrtg.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
13	12, 6	eleqtrrd 2835	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))
14		brcgr 28591	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩ ↔ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖))↑2)))
15	7, 9, 11, 13, 14	syl22anc 836	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩ ↔ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖))↑2)))
16		ecgrtg.3	. . . . . 6 ⊢ − = (dist‘(EEG‘𝑁))
17		dsid 17338	. . . . . . 7 ⊢ dist = Slot (dist‘ndx)
18		fvexd 6906	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (EEG‘𝑁) ∈ V)
19		eengstr 28671	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (EEG‘𝑁) Struct ⟨1, ;17⟩)
20	2, 19	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (EEG‘𝑁) Struct ⟨1, ;17⟩)
21		structn0fun 17091	. . . . . . . . 9 ⊢ ((EEG‘𝑁) Struct ⟨1, ;17⟩ → Fun ((EEG‘𝑁) ∖ {∅}))
22	20, 21	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Fun ((EEG‘𝑁) ∖ {∅}))
23		structcnvcnv 17093	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((EEG‘𝑁) Struct ⟨1, ;17⟩ → ◡◡(EEG‘𝑁) = ((EEG‘𝑁) ∖ {∅}))
24	20, 23	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ◡◡(EEG‘𝑁) = ((EEG‘𝑁) ∖ {∅}))
25	24	funeqd 6570	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Fun ◡◡(EEG‘𝑁) ↔ Fun ((EEG‘𝑁) ∖ {∅})))
26	22, 25	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Fun ◡◡(EEG‘𝑁))
27		opex 5464	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⟨(dist‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑥‘𝑖) − (𝑦‘𝑖))↑2))⟩ ∈ V
28	27	prid2 4767	. . . . . . . . 9 ⊢ ⟨(dist‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑥‘𝑖) − (𝑦‘𝑖))↑2))⟩ ∈ {⟨(Base‘ndx), (𝔼‘𝑁)⟩, ⟨(dist‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑥‘𝑖) − (𝑦‘𝑖))↑2))⟩}
29		elun1 4176	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨(dist‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑥‘𝑖) − (𝑦‘𝑖))↑2))⟩ ∈ {⟨(Base‘ndx), (𝔼‘𝑁)⟩, ⟨(dist‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑥‘𝑖) − (𝑦‘𝑖))↑2))⟩} → ⟨(dist‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑥‘𝑖) − (𝑦‘𝑖))↑2))⟩ ∈ ({⟨(Base‘ndx), (𝔼‘𝑁)⟩, ⟨(dist‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑥‘𝑖) − (𝑦‘𝑖))↑2))⟩} ∪ {⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩})⟩, ⟨(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑧, 𝑦⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑥, 𝑧⟩)})⟩}))
30	28, 29	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨(dist‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑥‘𝑖) − (𝑦‘𝑖))↑2))⟩ ∈ ({⟨(Base‘ndx), (𝔼‘𝑁)⟩, ⟨(dist‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑥‘𝑖) − (𝑦‘𝑖))↑2))⟩} ∪ {⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩})⟩, ⟨(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑧, 𝑦⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑥, 𝑧⟩)})⟩})
31		eengv 28670	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (EEG‘𝑁) = ({⟨(Base‘ndx), (𝔼‘𝑁)⟩, ⟨(dist‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑥‘𝑖) − (𝑦‘𝑖))↑2))⟩} ∪ {⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩})⟩, ⟨(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑧, 𝑦⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑥, 𝑧⟩)})⟩}))
32	2, 31	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (EEG‘𝑁) = ({⟨(Base‘ndx), (𝔼‘𝑁)⟩, ⟨(dist‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑥‘𝑖) − (𝑦‘𝑖))↑2))⟩} ∪ {⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩})⟩, ⟨(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑧, 𝑦⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑥, 𝑧⟩)})⟩}))
33	30, 32	eleqtrrid 2839	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ⟨(dist‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑥‘𝑖) − (𝑦‘𝑖))↑2))⟩ ∈ (EEG‘𝑁))
34		fvex 6904	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝔼‘𝑁) ∈ V
35	34, 34	mpoex 8070	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑥‘𝑖) − (𝑦‘𝑖))↑2)) ∈ V
36	35	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑥‘𝑖) − (𝑦‘𝑖))↑2)) ∈ V)
37	17, 18, 26, 33, 36	strfv2d 17142	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑥‘𝑖) − (𝑦‘𝑖))↑2)) = (dist‘(EEG‘𝑁)))
38	16, 37	eqtr4id 2790	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → − = (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑥‘𝑖) − (𝑦‘𝑖))↑2)))
39		simplrl 774	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐵)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝑥 = 𝐴)
40	39	fveq1d 6893	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐵)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑥‘𝑖) = (𝐴‘𝑖))
41		simplrr 775	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐵)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝑦 = 𝐵)
42	41	fveq1d 6893	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐵)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑦‘𝑖) = (𝐵‘𝑖))
43	40, 42	oveq12d 7430	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐵)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑥‘𝑖) − (𝑦‘𝑖)) = ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)))
44	43	oveq1d 7427	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐵)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((𝑥‘𝑖) − (𝑦‘𝑖))↑2) = (((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))↑2))
45	44	sumeq2dv 15656	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐵)) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑥‘𝑖) − (𝑦‘𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))↑2))
46		sumex 15641	. . . . . 6 ⊢ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))↑2) ∈ V
47	46	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))↑2) ∈ V)
48	38, 45, 7, 9, 47	ovmpod 7563	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))↑2))
49	48	eqcomd 2737	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))↑2) = (𝐴 − 𝐵))
50		simplrl 774	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝐶 ∧ 𝑦 = 𝐷)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝑥 = 𝐶)
51	50	fveq1d 6893	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝐶 ∧ 𝑦 = 𝐷)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑥‘𝑖) = (𝐶‘𝑖))
52		simplrr 775	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝐶 ∧ 𝑦 = 𝐷)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝑦 = 𝐷)
53	52	fveq1d 6893	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝐶 ∧ 𝑦 = 𝐷)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑦‘𝑖) = (𝐷‘𝑖))
54	51, 53	oveq12d 7430	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝐶 ∧ 𝑦 = 𝐷)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑥‘𝑖) − (𝑦‘𝑖)) = ((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖)))
55	54	oveq1d 7427	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝐶 ∧ 𝑦 = 𝐷)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((𝑥‘𝑖) − (𝑦‘𝑖))↑2) = (((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖))↑2))
56	55	sumeq2dv 15656	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝐶 ∧ 𝑦 = 𝐷)) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑥‘𝑖) − (𝑦‘𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖))↑2))
57		sumex 15641	. . . . . 6 ⊢ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖))↑2) ∈ V
58	57	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖))↑2) ∈ V)
59	38, 56, 11, 13, 58	ovmpod 7563	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐷) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖))↑2))
60	59	eqcomd 2737	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖))↑2) = (𝐶 − 𝐷))
61	49, 60	eqeq12d 2747	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖))↑2) ↔ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝐷)))
62	15, 61	bitrd 279	1 ⊢ (𝜑 → (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩ ↔ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ w3o 1085   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  {crab 3431  Vcvv 3473   ∖ cdif 3945   ∪ cun 3946  ∅c0 4322  {csn 4628  {cpr 4630  ⟨cop 4634   class class class wbr 5148  ^◡ccnv 5675  Fun wfun 6537  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412   ∈ cmpo 7414  1c1 11117   − cmin 11451  ℕcn 12219  2c2 12274  7c7 12279  ;cdc 12684  ...cfz 13491  ↑cexp 14034  Σcsu 15639   Struct cstr 17086  ndxcnx 17133  Basecbs 17151  distcds 17213  Itvcitv 28117  LineGclng 28118  𝔼cee 28579   Btwn cbtwn 28580  Cgrccgr 28581  EEGceeng 28668

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-er 8709  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12480  df-z 12566  df-dec 12685  df-uz 12830  df-fz 13492  df-seq 13974  df-sum 15640  df-struct 17087  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ds 17226  df-itv 28119  df-lng 28120  df-ee 28582  df-cgr 28584  df-eeng 28669

This theorem is referenced by:  eengtrkg  28677