Theorem ecgrtg 26332

Description: The congruence relation used in the Tarski structure for the Euclidean geometry is the same as Cgr. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Mar-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ecgrtg.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
ecgrtg.2	⊢ 𝑃 = (Base‘(EEG‘𝑁))
ecgrtg.3	⊢ − = (dist‘(EEG‘𝑁))
ecgrtg.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
ecgrtg.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
ecgrtg.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
ecgrtg.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
ecgrtg	⊢ (𝜑 → (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩ ↔ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝐷)))

Proof of Theorem ecgrtg

Dummy variables 𝑥 𝑖 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ecgrtg.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
2		ecgrtg.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
3		eengbas 26330	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝔼‘𝑁) = (Base‘(EEG‘𝑁)))
4	2, 3	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝔼‘𝑁) = (Base‘(EEG‘𝑁)))
5		ecgrtg.2	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘(EEG‘𝑁))
6	4, 5	syl6eqr 2831	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝔼‘𝑁) = 𝑃)
7	1, 6	eleqtrrd 2861	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
8		ecgrtg.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
9	8, 6	eleqtrrd 2861	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
10		ecgrtg.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
11	10, 6	eleqtrrd 2861	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
12		ecgrtg.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
13	12, 6	eleqtrrd 2861	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))
14		brcgr 26249	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩ ↔ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖))↑2)))
15	7, 9, 11, 13, 14	syl22anc 829	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩ ↔ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖))↑2)))
16		dsid 16449	. . . . . . 7 ⊢ dist = Slot (dist‘ndx)
17		fvexd 6461	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (EEG‘𝑁) ∈ V)
18		eengstr 26329	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (EEG‘𝑁) Struct ⟨1, ;17⟩)
19	2, 18	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (EEG‘𝑁) Struct ⟨1, ;17⟩)
20		isstruct 16268	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((EEG‘𝑁) Struct ⟨1, ;17⟩ ↔ ((1 ∈ ℕ ∧ ;17 ∈ ℕ ∧ 1 ≤ ;17) ∧ Fun ((EEG‘𝑁) ∖ {∅}) ∧ dom (EEG‘𝑁) ⊆ (1...;17)))
21	20	simp2bi 1137	. . . . . . . . 9 ⊢ ((EEG‘𝑁) Struct ⟨1, ;17⟩ → Fun ((EEG‘𝑁) ∖ {∅}))
22	19, 21	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Fun ((EEG‘𝑁) ∖ {∅}))
23		structcnvcnv 16269	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((EEG‘𝑁) Struct ⟨1, ;17⟩ → ◡◡(EEG‘𝑁) = ((EEG‘𝑁) ∖ {∅}))
24	19, 23	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ◡◡(EEG‘𝑁) = ((EEG‘𝑁) ∖ {∅}))
25	24	funeqd 6157	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Fun ◡◡(EEG‘𝑁) ↔ Fun ((EEG‘𝑁) ∖ {∅})))
26	22, 25	mpbird 249	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Fun ◡◡(EEG‘𝑁))
27		opex 5164	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⟨(dist‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑥‘𝑖) − (𝑦‘𝑖))↑2))⟩ ∈ V
28	27	prid2 4529	. . . . . . . . 9 ⊢ ⟨(dist‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑥‘𝑖) − (𝑦‘𝑖))↑2))⟩ ∈ {⟨(Base‘ndx), (𝔼‘𝑁)⟩, ⟨(dist‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑥‘𝑖) − (𝑦‘𝑖))↑2))⟩}
29		elun1 4002	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨(dist‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑥‘𝑖) − (𝑦‘𝑖))↑2))⟩ ∈ {⟨(Base‘ndx), (𝔼‘𝑁)⟩, ⟨(dist‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑥‘𝑖) − (𝑦‘𝑖))↑2))⟩} → ⟨(dist‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑥‘𝑖) − (𝑦‘𝑖))↑2))⟩ ∈ ({⟨(Base‘ndx), (𝔼‘𝑁)⟩, ⟨(dist‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑥‘𝑖) − (𝑦‘𝑖))↑2))⟩} ∪ {⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩})⟩, ⟨(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑧, 𝑦⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑥, 𝑧⟩)})⟩}))
30	28, 29	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨(dist‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑥‘𝑖) − (𝑦‘𝑖))↑2))⟩ ∈ ({⟨(Base‘ndx), (𝔼‘𝑁)⟩, ⟨(dist‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑥‘𝑖) − (𝑦‘𝑖))↑2))⟩} ∪ {⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩})⟩, ⟨(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑧, 𝑦⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑥, 𝑧⟩)})⟩})
31		eengv 26328	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (EEG‘𝑁) = ({⟨(Base‘ndx), (𝔼‘𝑁)⟩, ⟨(dist‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑥‘𝑖) − (𝑦‘𝑖))↑2))⟩} ∪ {⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩})⟩, ⟨(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑧, 𝑦⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑥, 𝑧⟩)})⟩}))
32	2, 31	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (EEG‘𝑁) = ({⟨(Base‘ndx), (𝔼‘𝑁)⟩, ⟨(dist‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑥‘𝑖) − (𝑦‘𝑖))↑2))⟩} ∪ {⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩})⟩, ⟨(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑧, 𝑦⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑥, 𝑧⟩)})⟩}))
33	30, 32	syl5eleqr 2865	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ⟨(dist‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑥‘𝑖) − (𝑦‘𝑖))↑2))⟩ ∈ (EEG‘𝑁))
34		fvex 6459	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝔼‘𝑁) ∈ V
35	34, 34	mpt2ex 7527	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑥‘𝑖) − (𝑦‘𝑖))↑2)) ∈ V
36	35	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑥‘𝑖) − (𝑦‘𝑖))↑2)) ∈ V)
37	16, 17, 26, 33, 36	strfv2d 16301	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑥‘𝑖) − (𝑦‘𝑖))↑2)) = (dist‘(EEG‘𝑁)))
38		ecgrtg.3	. . . . . 6 ⊢ − = (dist‘(EEG‘𝑁))
39	37, 38	syl6reqr 2832	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → − = (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑥‘𝑖) − (𝑦‘𝑖))↑2)))
40		simplrl 767	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐵)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝑥 = 𝐴)
41	40	fveq1d 6448	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐵)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑥‘𝑖) = (𝐴‘𝑖))
42		simplrr 768	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐵)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝑦 = 𝐵)
43	42	fveq1d 6448	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐵)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑦‘𝑖) = (𝐵‘𝑖))
44	41, 43	oveq12d 6940	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐵)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑥‘𝑖) − (𝑦‘𝑖)) = ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)))
45	44	oveq1d 6937	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐵)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((𝑥‘𝑖) − (𝑦‘𝑖))↑2) = (((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))↑2))
46	45	sumeq2dv 14841	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐵)) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑥‘𝑖) − (𝑦‘𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))↑2))
47		sumex 14826	. . . . . 6 ⊢ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))↑2) ∈ V
48	47	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))↑2) ∈ V)
49	39, 46, 7, 9, 48	ovmpt2d 7065	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))↑2))
50	49	eqcomd 2783	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))↑2) = (𝐴 − 𝐵))
51		simplrl 767	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝐶 ∧ 𝑦 = 𝐷)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝑥 = 𝐶)
52	51	fveq1d 6448	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝐶 ∧ 𝑦 = 𝐷)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑥‘𝑖) = (𝐶‘𝑖))
53		simplrr 768	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝐶 ∧ 𝑦 = 𝐷)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝑦 = 𝐷)
54	53	fveq1d 6448	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝐶 ∧ 𝑦 = 𝐷)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑦‘𝑖) = (𝐷‘𝑖))
55	52, 54	oveq12d 6940	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝐶 ∧ 𝑦 = 𝐷)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑥‘𝑖) − (𝑦‘𝑖)) = ((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖)))
56	55	oveq1d 6937	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝐶 ∧ 𝑦 = 𝐷)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((𝑥‘𝑖) − (𝑦‘𝑖))↑2) = (((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖))↑2))
57	56	sumeq2dv 14841	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝐶 ∧ 𝑦 = 𝐷)) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑥‘𝑖) − (𝑦‘𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖))↑2))
58		sumex 14826	. . . . . 6 ⊢ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖))↑2) ∈ V
59	58	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖))↑2) ∈ V)
60	39, 57, 11, 13, 59	ovmpt2d 7065	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐷) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖))↑2))
61	60	eqcomd 2783	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖))↑2) = (𝐶 − 𝐷))
62	50, 61	eqeq12d 2792	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖))↑2) ↔ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝐷)))
63	15, 62	bitrd 271	1 ⊢ (𝜑 → (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩ ↔ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   ∨ w3o 1070   ∧ w3a 1071   = wceq 1601   ∈ wcel 2106  {crab 3093  Vcvv 3397   ∖ cdif 3788   ∪ cun 3789   ⊆ wss 3791  ∅c0 4140  {csn 4397  {cpr 4399  ⟨cop 4403   class class class wbr 4886  ^◡ccnv 5354  dom cdm 5355  Fun wfun 6129  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922   ↦ cmpt2 6924  1c1 10273   ≤ cle 10412   − cmin 10606  ℕcn 11374  2c2 11430  7c7 11435  ;cdc 11845  ...cfz 12643  ↑cexp 13178  Σcsu 14824   Struct cstr 16251  ndxcnx 16252  Basecbs 16255  distcds 16347  Itvcitv 25787  LineGclng 25788  𝔼cee 26237   Btwn cbtwn 26238  Cgrccgr 26239  EEGceeng 26326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-7 11443  df-8 11444  df-9 11445  df-n0 11643  df-z 11729  df-dec 11846  df-uz 11993  df-fz 12644  df-seq 13120  df-sum 14825  df-struct 16257  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-ds 16360  df-itv 25789  df-lng 25790  df-ee 26240  df-cgr 26242  df-eeng 26327

This theorem is referenced by:  eengtrkg  26335