Theorem edgfiedgval 29460

Description: The set of indexed edges of a graph represented as an extensible structure with the indexed edges in the slot for edge functions. (Contributed by AV, 14-Oct-2020.) (Revised by AV, 12-Nov-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
basvtxval.s	⊢ (𝜑 → 𝐺 Struct 𝑋)
basvtxval.d	⊢ (𝜑 → 2 ≤ (♯‘dom 𝐺))
edgfiedgval.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑌)
edgfiedgval.f	⊢ (𝜑 → ⟨(.ef‘ndx), 𝐸⟩ ∈ 𝐺)

Assertion

Ref	Expression
edgfiedgval	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = 𝐸)

Proof of Theorem edgfiedgval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		basvtxval.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Struct 𝑋)
2		structn0fun 17247	. . . 4 ⊢ (𝐺 Struct 𝑋 → Fun (𝐺 ∖ {∅}))
3	1, 2	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun (𝐺 ∖ {∅}))
4		basvtxval.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ (♯‘dom 𝐺))
5		funiedgdmge2val 29455	. . 3 ⊢ ((Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ 2 ≤ (♯‘dom 𝐺)) → (iEdg‘𝐺) = (.ef‘𝐺))
6	3, 4, 5	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = (.ef‘𝐺))
7		edgfid 29433	. . 3 ⊢ .ef = Slot (.ef‘ndx)
8		structex 17246	. . . 4 ⊢ (𝐺 Struct 𝑋 → 𝐺 ∈ V)
9	1, 8	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ V)
10		structfung 17250	. . . 4 ⊢ (𝐺 Struct 𝑋 → Fun ◡◡𝐺)
11	1, 10	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun ◡◡𝐺)
12		edgfiedgval.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨(.ef‘ndx), 𝐸⟩ ∈ 𝐺)
13		edgfiedgval.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑌)
14	7, 9, 11, 12, 13	strfv2d 17297	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = (.ef‘𝐺))
15	6, 14	eqtr4d 2800	1 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = 𝐸)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3453   ∖ cdif 3899  ∅c0 4282  {csn 4587  ⟨cop 4593   class class class wbr 5107  ^◡ccnv 5658  dom cdm 5659  Fun wfun 6531  ‘cfv 6537   ≤ cle 11271  2c2 12322  ♯chash 14396   Struct cstr 17242  ndxcnx 17289  .efcedgf 29431  iEdgciedg 29440

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-xnn0 12605  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-fz 13564  df-hash 14397  df-struct 17243  df-slot 17278  df-ndx 17290  df-edgf 29432  df-iedg 29442

This theorem is used by:  structgrssiedg  29468