Theorem edgfiedgval 28872

Description: The set of indexed edges of a graph represented as an extensible structure with the indexed edges in the slot for edge functions. (Contributed by AV, 14-Oct-2020.) (Revised by AV, 12-Nov-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
basvtxval.s	⊢ (𝜑 → 𝐺 Struct 𝑋)
basvtxval.d	⊢ (𝜑 → 2 ≤ (♯‘dom 𝐺))
edgfiedgval.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑌)
edgfiedgval.f	⊢ (𝜑 → ⟨(.ef‘ndx), 𝐸⟩ ∈ 𝐺)

Assertion

Ref	Expression
edgfiedgval	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = 𝐸)

Proof of Theorem edgfiedgval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		basvtxval.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Struct 𝑋)
2		structn0fun 17117	. . . 4 ⊢ (𝐺 Struct 𝑋 → Fun (𝐺 ∖ {∅}))
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun (𝐺 ∖ {∅}))
4		basvtxval.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ (♯‘dom 𝐺))
5		funiedgdmge2val 28867	. . 3 ⊢ ((Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ 2 ≤ (♯‘dom 𝐺)) → (iEdg‘𝐺) = (.ef‘𝐺))
6	3, 4, 5	syl2anc 582	. 2 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = (.ef‘𝐺))
7		edgfid 28843	. . 3 ⊢ .ef = Slot (.ef‘ndx)
8		structex 17116	. . . 4 ⊢ (𝐺 Struct 𝑋 → 𝐺 ∈ V)
9	1, 8	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ V)
10		structfung 17120	. . . 4 ⊢ (𝐺 Struct 𝑋 → Fun ◡◡𝐺)
11	1, 10	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun ◡◡𝐺)
12		edgfiedgval.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨(.ef‘ndx), 𝐸⟩ ∈ 𝐺)
13		edgfiedgval.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑌)
14	7, 9, 11, 12, 13	strfv2d 17168	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = (.ef‘𝐺))
15	6, 14	eqtr4d 2768	1 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = 𝐸)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3463   ∖ cdif 3937  ∅c0 4318  {csn 4624  ⟨cop 4630   class class class wbr 5143  ^◡ccnv 5671  dom cdm 5672  Fun wfun 6536  ‘cfv 6542   ≤ cle 11277  2c2 12295  ♯chash 14319   Struct cstr 17112  ndxcnx 17159  .efcedgf 28841  iEdgciedg 28852

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-card 9960  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12501  df-xnn0 12573  df-z 12587  df-dec 12706  df-uz 12851  df-fz 13515  df-hash 14320  df-struct 17113  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-edgf 28842  df-iedg 28854

This theorem is referenced by:  structgrssiedg  28880