MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  edgfiedgval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem edgfiedgval 27773
Description: The set of indexed edges of a graph represented as an extensible structure with the indexed edges in the slot for edge functions. (Contributed by AV, 14-Oct-2020.) (Revised by AV, 12-Nov-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
basvtxval.s (πœ‘ β†’ 𝐺 Struct 𝑋)
basvtxval.d (πœ‘ β†’ 2 ≀ (β™―β€˜dom 𝐺))
edgfiedgval.e (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ π‘Œ)
edgfiedgval.f (πœ‘ β†’ ⟨(.efβ€˜ndx), 𝐸⟩ ∈ 𝐺)
Assertion
Ref Expression
edgfiedgval (πœ‘ β†’ (iEdgβ€˜πΊ) = 𝐸)

Proof of Theorem edgfiedgval
StepHypRef Expression
1 basvtxval.s . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 Struct 𝑋)
2 structn0fun 16959 . . . 4 (𝐺 Struct 𝑋 β†’ Fun (𝐺 βˆ– {βˆ…}))
31, 2syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ Fun (𝐺 βˆ– {βˆ…}))
4 basvtxval.d . . 3 (πœ‘ β†’ 2 ≀ (β™―β€˜dom 𝐺))
5 funiedgdmge2val 27768 . . 3 ((Fun (𝐺 βˆ– {βˆ…}) ∧ 2 ≀ (β™―β€˜dom 𝐺)) β†’ (iEdgβ€˜πΊ) = (.efβ€˜πΊ))
63, 4, 5syl2anc 585 . 2 (πœ‘ β†’ (iEdgβ€˜πΊ) = (.efβ€˜πΊ))
7 edgfid 27744 . . 3 .ef = Slot (.efβ€˜ndx)
8 structex 16958 . . . 4 (𝐺 Struct 𝑋 β†’ 𝐺 ∈ V)
91, 8syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ V)
10 structfung 16962 . . . 4 (𝐺 Struct 𝑋 β†’ Fun ◑◑𝐺)
111, 10syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ Fun ◑◑𝐺)
12 edgfiedgval.f . . 3 (πœ‘ β†’ ⟨(.efβ€˜ndx), 𝐸⟩ ∈ 𝐺)
13 edgfiedgval.e . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ π‘Œ)
147, 9, 11, 12, 13strfv2d 17010 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐸 = (.efβ€˜πΊ))
156, 14eqtr4d 2781 1 (πœ‘ β†’ (iEdgβ€˜πΊ) = 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3444   βˆ– cdif 3906  βˆ…c0 4281  {csn 4585  βŸ¨cop 4591   class class class wbr 5104  β—‘ccnv 5630  dom cdm 5631  Fun wfun 6486  β€˜cfv 6492   ≀ cle 11124  2c2 12142  β™―chash 14159   Struct cstr 16954  ndxcnx 17001  .efcedgf 27742  iEdgciedg 27753
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-cnex 11041  ax-resscn 11042  ax-1cn 11043  ax-icn 11044  ax-addcl 11045  ax-addrcl 11046  ax-mulcl 11047  ax-mulrcl 11048  ax-mulcom 11049  ax-addass 11050  ax-mulass 11051  ax-distr 11052  ax-i2m1 11053  ax-1ne0 11054  ax-1rid 11055  ax-rnegex 11056  ax-rrecex 11057  ax-cnre 11058  ax-pre-lttri 11059  ax-pre-lttrn 11060  ax-pre-ltadd 11061  ax-pre-mulgt0 11062
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-int 4907  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6250  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7306  df-ov 7353  df-oprab 7354  df-mpo 7355  df-om 7794  df-1st 7912  df-2nd 7913  df-frecs 8180  df-wrecs 8211  df-recs 8285  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-er 8582  df-en 8818  df-dom 8819  df-sdom 8820  df-fin 8821  df-card 9809  df-pnf 11125  df-mnf 11126  df-xr 11127  df-ltxr 11128  df-le 11129  df-sub 11321  df-neg 11322  df-nn 12088  df-2 12150  df-3 12151  df-4 12152  df-5 12153  df-6 12154  df-7 12155  df-8 12156  df-9 12157  df-n0 12348  df-xnn0 12420  df-z 12434  df-dec 12553  df-uz 12698  df-fz 13355  df-hash 14160  df-struct 16955  df-slot 16990  df-ndx 17002  df-edgf 27743  df-iedg 27755
This theorem is referenced by:  structgrssiedg  27781
  Copyright terms: Public domain W3C validator