Mathbox for BJ < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bj-endbase Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bj-endbase 35011
 Description: Base set of the monoid of endomorphisms on an object of a category. (Contributed by BJ, 5-Apr-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
bj-endval.c (𝜑𝐶 ∈ Cat)
bj-endval.x (𝜑𝑋 ∈ (Base‘𝐶))
Assertion
Ref Expression
bj-endbase (𝜑 → (Base‘((End ‘𝐶)‘𝑋)) = (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑋))

Proof of Theorem bj-endbase
StepHypRef Expression
1 bj-endval.c . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ Cat)
2 bj-endval.x . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (Base‘𝐶))
31, 2bj-endval 35010 . . 3 (𝜑 → ((End ‘𝐶)‘𝑋) = {⟨(Base‘ndx), (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑋)⟩, ⟨(+g‘ndx), (⟨𝑋, 𝑋⟩(comp‘𝐶)𝑋)⟩})
43fveq1d 6661 . 2 (𝜑 → (((End ‘𝐶)‘𝑋)‘(Base‘ndx)) = ({⟨(Base‘ndx), (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑋)⟩, ⟨(+g‘ndx), (⟨𝑋, 𝑋⟩(comp‘𝐶)𝑋)⟩}‘(Base‘ndx)))
5 fvexd 6674 . . 3 (𝜑 → ((End ‘𝐶)‘𝑋) ∈ V)
6 df-base 16548 . . 3 Base = Slot 1
7 1nn 11686 . . 3 1 ∈ ℕ
85, 6, 7strndxid 16569 . 2 (𝜑 → (((End ‘𝐶)‘𝑋)‘(Base‘ndx)) = (Base‘((End ‘𝐶)‘𝑋)))
9 basendxnplusgndx 16667 . . 3 (Base‘ndx) ≠ (+g‘ndx)
10 fvex 6672 . . . 4 (Base‘ndx) ∈ V
11 ovex 7184 . . . 4 (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑋) ∈ V
1210, 11fvpr1 6944 . . 3 ((Base‘ndx) ≠ (+g‘ndx) → ({⟨(Base‘ndx), (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑋)⟩, ⟨(+g‘ndx), (⟨𝑋, 𝑋⟩(comp‘𝐶)𝑋)⟩}‘(Base‘ndx)) = (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑋))
139, 12mp1i 13 . 2 (𝜑 → ({⟨(Base‘ndx), (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑋)⟩, ⟨(+g‘ndx), (⟨𝑋, 𝑋⟩(comp‘𝐶)𝑋)⟩}‘(Base‘ndx)) = (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑋))
144, 8, 133eqtr3d 2802 1 (𝜑 → (Base‘((End ‘𝐶)‘𝑋)) = (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑋))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2952  Vcvv 3410  {cpr 4525  ⟨cop 4529  ‘cfv 6336  (class class class)co 7151  1c1 10577  ndxcnx 16539  Basecbs 16542  +gcplusg 16624  Hom chom 16635  compcco 16636  Catccat 16994  End cend 35008 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7460  ax-cnex 10632  ax-resscn 10633  ax-1cn 10634  ax-icn 10635  ax-addcl 10636  ax-addrcl 10637  ax-mulcl 10638  ax-mulrcl 10639  ax-mulcom 10640  ax-addass 10641  ax-mulass 10642  ax-distr 10643  ax-i2m1 10644  ax-1ne0 10645  ax-1rid 10646  ax-rnegex 10647  ax-rrecex 10648  ax-cnre 10649  ax-pre-lttri 10650  ax-pre-lttrn 10651  ax-pre-ltadd 10652  ax-pre-mulgt0 10653 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4227  df-if 4422  df-pw 4497  df-sn 4524  df-pr 4526  df-tp 4528  df-op 4530  df-uni 4800  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5431  df-eprel 5436  df-po 5444  df-so 5445  df-fr 5484  df-we 5486  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6127  df-ord 6173  df-on 6174  df-lim 6175  df-suc 6176  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7581  df-wrecs 7958  df-recs 8019  df-rdg 8057  df-er 8300  df-en 8529  df-dom 8530  df-sdom 8531  df-pnf 10716  df-mnf 10717  df-xr 10718  df-ltxr 10719  df-le 10720  df-sub 10911  df-neg 10912  df-nn 11676  df-2 11738  df-ndx 16545  df-slot 16546  df-base 16548  df-plusg 16637  df-bj-end 35009 This theorem is referenced by:  bj-endmnd  35013
 Copyright terms: Public domain W3C validator