Theorem bj-endbase 37350

Description: Base set of the monoid of endomorphisms on an object of a category. (Contributed by BJ, 5-Apr-2024.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
bj-endval.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
bj-endval.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐶))

Assertion

Ref	Expression
bj-endbase	⊢ (𝜑 → (Base‘((End ‘𝐶)‘𝑋)) = (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑋))

Proof of Theorem bj-endbase

Step	Hyp	Ref	Expression
1		baseid 17118	. . 3 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
2		fvexd 6832	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((End ‘𝐶)‘𝑋) ∈ V)
3	1, 2	strfvnd 17091	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘((End ‘𝐶)‘𝑋)) = (((End ‘𝐶)‘𝑋)‘(Base‘ndx)))
4		bj-endval.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
5		bj-endval.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐶))
6	4, 5	bj-endval 37349	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((End ‘𝐶)‘𝑋) = {⟨(Base‘ndx), (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑋)⟩, ⟨(+g‘ndx), (⟨𝑋, 𝑋⟩(comp‘𝐶)𝑋)⟩})
7	6	fveq1d 6819	. 2 ⊢ (𝜑 → (((End ‘𝐶)‘𝑋)‘(Base‘ndx)) = ({⟨(Base‘ndx), (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑋)⟩, ⟨(+g‘ndx), (⟨𝑋, 𝑋⟩(comp‘𝐶)𝑋)⟩}‘(Base‘ndx)))
8		basendxnplusgndx 17186	. . 3 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (+g‘ndx)
9		fvex 6830	. . . 4 ⊢ (Base‘ndx) ∈ V
10		ovex 7374	. . . 4 ⊢ (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑋) ∈ V
11	9, 10	fvpr1 7121	. . 3 ⊢ ((Base‘ndx) ≠ (+g‘ndx) → ({⟨(Base‘ndx), (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑋)⟩, ⟨(+g‘ndx), (⟨𝑋, 𝑋⟩(comp‘𝐶)𝑋)⟩}‘(Base‘ndx)) = (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑋))
12	8, 11	mp1i 13	. 2 ⊢ (𝜑 → ({⟨(Base‘ndx), (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑋)⟩, ⟨(+g‘ndx), (⟨𝑋, 𝑋⟩(comp‘𝐶)𝑋)⟩}‘(Base‘ndx)) = (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑋))
13	3, 7, 12	3eqtrd 2770	1 ⊢ (𝜑 → (Base‘((End ‘𝐶)‘𝑋)) = (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  Vcvv 3436  {cpr 4573  ⟨cop 4577  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341  ndxcnx 17099  Basecbs 17115  +_gcplusg 17156  Hom chom 17167  compcco 17168  Catccat 17565  End cend 37347

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-nn 12121  df-2 12183  df-slot 17088  df-ndx 17100  df-base 17116  df-plusg 17169  df-bj-end 37348

This theorem is referenced by:  bj-endmnd  37352