Theorem bj-endbase 37988

Description: Base set of the monoid of endomorphisms on an object of a category. (Contributed by BJ, 5-Apr-2024.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
bj-endval.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
bj-endval.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐶))

Assertion

Ref	Expression
bj-endbase	⊢ (𝜑 → (Base‘((End ‘𝐶)‘𝑋)) = (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑋))

Proof of Theorem bj-endbase

Step	Hyp	Ref	Expression
1		baseid 17276	. . 3 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
2		fvexd 6896	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((End ‘𝐶)‘𝑋) ∈ V)
3	1, 2	strfvnd 17249	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘((End ‘𝐶)‘𝑋)) = (((End ‘𝐶)‘𝑋)‘(Base‘ndx)))
4		bj-endval.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
5		bj-endval.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐶))
6	4, 5	bj-endval 37987	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((End ‘𝐶)‘𝑋) = {⟨(Base‘ndx), (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑋)⟩, ⟨(+g‘ndx), (⟨𝑋, 𝑋⟩(comp‘𝐶)𝑋)⟩})
7	6	fveq1d 6883	. 2 ⊢ (𝜑 → (((End ‘𝐶)‘𝑋)‘(Base‘ndx)) = ({⟨(Base‘ndx), (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑋)⟩, ⟨(+g‘ndx), (⟨𝑋, 𝑋⟩(comp‘𝐶)𝑋)⟩}‘(Base‘ndx)))
8		basendxnplusgndx 17344	. . 3 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (+g‘ndx)
9		fvex 6894	. . . 4 ⊢ (Base‘ndx) ∈ V
10		ovex 7443	. . . 4 ⊢ (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑋) ∈ V
11	9, 10	fvpr1 7190	. . 3 ⊢ ((Base‘ndx) ≠ (+g‘ndx) → ({⟨(Base‘ndx), (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑋)⟩, ⟨(+g‘ndx), (⟨𝑋, 𝑋⟩(comp‘𝐶)𝑋)⟩}‘(Base‘ndx)) = (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑋))
12	8, 11	mp1i 14	. 2 ⊢ (𝜑 → ({⟨(Base‘ndx), (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑋)⟩, ⟨(+g‘ndx), (⟨𝑋, 𝑋⟩(comp‘𝐶)𝑋)⟩}‘(Base‘ndx)) = (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑋))
13	3, 7, 12	3eqtrd 2802	1 ⊢ (𝜑 → (Base‘((End ‘𝐶)‘𝑋)) = (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  Vcvv 3455  {cpr 4591  ⟨cop 4595  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ndxcnx 17257  Basecbs 17273  +_gcplusg 17314  Hom chom 17325  compcco 17326  Catccat 17724  End cend 37985

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11160  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-pre-mulgt0 11181

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12238  df-2 12307  df-slot 17246  df-ndx 17258  df-base 17274  df-plusg 17327  df-bj-end 37986

This theorem is used by:  bj-endmnd  37990