Theorem bj-endbase 38238

Description: Base set of the monoid of endomorphisms on an object of a category. (Contributed by BJ, 5-Apr-2024.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
bj-endval.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
bj-endval.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐶))

Assertion

Ref	Expression
bj-endbase	⊢ (𝜑 → (Base‘((End ‘𝐶)‘𝑋)) = (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑋))

Proof of Theorem bj-endbase

Step	Hyp	Ref	Expression
1		baseid 17390	. . 3 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
2		fvexd 6900	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((End ‘𝐶)‘𝑋) ∈ V)
3	1, 2	strfvnd 17363	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘((End ‘𝐶)‘𝑋)) = (((End ‘𝐶)‘𝑋)‘(Base‘ndx)))
4		bj-endval.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
5		bj-endval.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐶))
6	4, 5	bj-endval 38237	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((End ‘𝐶)‘𝑋) = {⟨(Base‘ndx), (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑋)⟩, ⟨(+g‘ndx), (⟨𝑋, 𝑋⟩(comp‘𝐶)𝑋)⟩})
7	6	fveq1d 6887	. 2 ⊢ (𝜑 → (((End ‘𝐶)‘𝑋)‘(Base‘ndx)) = ({⟨(Base‘ndx), (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑋)⟩, ⟨(+g‘ndx), (⟨𝑋, 𝑋⟩(comp‘𝐶)𝑋)⟩}‘(Base‘ndx)))
8		basendxnplusgndx 17458	. . 3 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (+g‘ndx)
9		fvex 6898	. . . 4 ⊢ (Base‘ndx) ∈ V
10		ovex 7453	. . . 4 ⊢ (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑋) ∈ V
11	9, 10	fvpr1 7197	. . 3 ⊢ ((Base‘ndx) ≠ (+g‘ndx) → ({⟨(Base‘ndx), (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑋)⟩, ⟨(+g‘ndx), (⟨𝑋, 𝑋⟩(comp‘𝐶)𝑋)⟩}‘(Base‘ndx)) = (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑋))
12	8, 11	mp1i 14	. 2 ⊢ (𝜑 → ({⟨(Base‘ndx), (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑋)⟩, ⟨(+g‘ndx), (⟨𝑋, 𝑋⟩(comp‘𝐶)𝑋)⟩}‘(Base‘ndx)) = (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑋))
13	3, 7, 12	3eqtrd 2799	1 ⊢ (𝜑 → (Base‘((End ‘𝐶)‘𝑋)) = (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  Vcvv 3450  {cpr 4585  ⟨cop 4589  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ndxcnx 17371  Basecbs 17387  +_gcplusg 17428  Hom chom 17439  compcco 17440  Catccat 17838  End cend 38235

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-plusg 17441  df-bj-end 38236

This theorem is used by:  bj-endmnd  38240