MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  setsnidOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem setsnidOLD 17087
Description: Obsolete proof of setsnid 17086 as of 7-Nov-2024. Value of the structure replacement function at an untouched index. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
setsid.e 𝐸 = Slot (πΈβ€˜ndx)
setsnid.n (πΈβ€˜ndx) β‰  𝐷
Assertion
Ref Expression
setsnidOLD (πΈβ€˜π‘Š) = (πΈβ€˜(π‘Š sSet ⟨𝐷, 𝐢⟩))

Proof of Theorem setsnidOLD
StepHypRef Expression
1 setsid.e . . . 4 𝐸 = Slot (πΈβ€˜ndx)
2 id 22 . . . 4 (π‘Š ∈ V β†’ π‘Š ∈ V)
31, 2strfvnd 17062 . . 3 (π‘Š ∈ V β†’ (πΈβ€˜π‘Š) = (π‘Šβ€˜(πΈβ€˜ndx)))
4 ovex 7391 . . . . 5 (π‘Š sSet ⟨𝐷, 𝐢⟩) ∈ V
54, 1strfvn 17063 . . . 4 (πΈβ€˜(π‘Š sSet ⟨𝐷, 𝐢⟩)) = ((π‘Š sSet ⟨𝐷, 𝐢⟩)β€˜(πΈβ€˜ndx))
6 setsres 17055 . . . . . 6 (π‘Š ∈ V β†’ ((π‘Š sSet ⟨𝐷, 𝐢⟩) β†Ύ (V βˆ– {𝐷})) = (π‘Š β†Ύ (V βˆ– {𝐷})))
76fveq1d 6845 . . . . 5 (π‘Š ∈ V β†’ (((π‘Š sSet ⟨𝐷, 𝐢⟩) β†Ύ (V βˆ– {𝐷}))β€˜(πΈβ€˜ndx)) = ((π‘Š β†Ύ (V βˆ– {𝐷}))β€˜(πΈβ€˜ndx)))
8 fvex 6856 . . . . . . 7 (πΈβ€˜ndx) ∈ V
9 setsnid.n . . . . . . 7 (πΈβ€˜ndx) β‰  𝐷
10 eldifsn 4748 . . . . . . 7 ((πΈβ€˜ndx) ∈ (V βˆ– {𝐷}) ↔ ((πΈβ€˜ndx) ∈ V ∧ (πΈβ€˜ndx) β‰  𝐷))
118, 9, 10mpbir2an 710 . . . . . 6 (πΈβ€˜ndx) ∈ (V βˆ– {𝐷})
12 fvres 6862 . . . . . 6 ((πΈβ€˜ndx) ∈ (V βˆ– {𝐷}) β†’ (((π‘Š sSet ⟨𝐷, 𝐢⟩) β†Ύ (V βˆ– {𝐷}))β€˜(πΈβ€˜ndx)) = ((π‘Š sSet ⟨𝐷, 𝐢⟩)β€˜(πΈβ€˜ndx)))
1311, 12ax-mp 5 . . . . 5 (((π‘Š sSet ⟨𝐷, 𝐢⟩) β†Ύ (V βˆ– {𝐷}))β€˜(πΈβ€˜ndx)) = ((π‘Š sSet ⟨𝐷, 𝐢⟩)β€˜(πΈβ€˜ndx))
14 fvres 6862 . . . . . 6 ((πΈβ€˜ndx) ∈ (V βˆ– {𝐷}) β†’ ((π‘Š β†Ύ (V βˆ– {𝐷}))β€˜(πΈβ€˜ndx)) = (π‘Šβ€˜(πΈβ€˜ndx)))
1511, 14ax-mp 5 . . . . 5 ((π‘Š β†Ύ (V βˆ– {𝐷}))β€˜(πΈβ€˜ndx)) = (π‘Šβ€˜(πΈβ€˜ndx))
167, 13, 153eqtr3g 2796 . . . 4 (π‘Š ∈ V β†’ ((π‘Š sSet ⟨𝐷, 𝐢⟩)β€˜(πΈβ€˜ndx)) = (π‘Šβ€˜(πΈβ€˜ndx)))
175, 16eqtrid 2785 . . 3 (π‘Š ∈ V β†’ (πΈβ€˜(π‘Š sSet ⟨𝐷, 𝐢⟩)) = (π‘Šβ€˜(πΈβ€˜ndx)))
183, 17eqtr4d 2776 . 2 (π‘Š ∈ V β†’ (πΈβ€˜π‘Š) = (πΈβ€˜(π‘Š sSet ⟨𝐷, 𝐢⟩)))
191str0 17066 . . 3 βˆ… = (πΈβ€˜βˆ…)
20 fvprc 6835 . . 3 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ (πΈβ€˜π‘Š) = βˆ…)
21 reldmsets 17042 . . . . 5 Rel dom sSet
2221ovprc1 7397 . . . 4 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ (π‘Š sSet ⟨𝐷, 𝐢⟩) = βˆ…)
2322fveq2d 6847 . . 3 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ (πΈβ€˜(π‘Š sSet ⟨𝐷, 𝐢⟩)) = (πΈβ€˜βˆ…))
2419, 20, 233eqtr4a 2799 . 2 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ (πΈβ€˜π‘Š) = (πΈβ€˜(π‘Š sSet ⟨𝐷, 𝐢⟩)))
2518, 24pm2.61i 182 1 (πΈβ€˜π‘Š) = (πΈβ€˜(π‘Š sSet ⟨𝐷, 𝐢⟩))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  Vcvv 3444   βˆ– cdif 3908  βˆ…c0 4283  {csn 4587  βŸ¨cop 4593   β†Ύ cres 5636  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   sSet csts 17040  Slot cslot 17058  ndxcnx 17070
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-res 5646  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fv 6505  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-sets 17041  df-slot 17059
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator