MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  setsnidOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem setsnidOLD 17143
Description: Obsolete proof of setsnid 17142 as of 7-Nov-2024. Value of the structure replacement function at an untouched index. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
setsid.e 𝐸 = Slot (πΈβ€˜ndx)
setsnid.n (πΈβ€˜ndx) β‰  𝐷
Assertion
Ref Expression
setsnidOLD (πΈβ€˜π‘Š) = (πΈβ€˜(π‘Š sSet ⟨𝐷, 𝐢⟩))

Proof of Theorem setsnidOLD
StepHypRef Expression
1 setsid.e . . . 4 𝐸 = Slot (πΈβ€˜ndx)
2 id 22 . . . 4 (π‘Š ∈ V β†’ π‘Š ∈ V)
31, 2strfvnd 17118 . . 3 (π‘Š ∈ V β†’ (πΈβ€˜π‘Š) = (π‘Šβ€˜(πΈβ€˜ndx)))
4 ovex 7442 . . . . 5 (π‘Š sSet ⟨𝐷, 𝐢⟩) ∈ V
54, 1strfvn 17119 . . . 4 (πΈβ€˜(π‘Š sSet ⟨𝐷, 𝐢⟩)) = ((π‘Š sSet ⟨𝐷, 𝐢⟩)β€˜(πΈβ€˜ndx))
6 setsres 17111 . . . . . 6 (π‘Š ∈ V β†’ ((π‘Š sSet ⟨𝐷, 𝐢⟩) β†Ύ (V βˆ– {𝐷})) = (π‘Š β†Ύ (V βˆ– {𝐷})))
76fveq1d 6894 . . . . 5 (π‘Š ∈ V β†’ (((π‘Š sSet ⟨𝐷, 𝐢⟩) β†Ύ (V βˆ– {𝐷}))β€˜(πΈβ€˜ndx)) = ((π‘Š β†Ύ (V βˆ– {𝐷}))β€˜(πΈβ€˜ndx)))
8 fvex 6905 . . . . . . 7 (πΈβ€˜ndx) ∈ V
9 setsnid.n . . . . . . 7 (πΈβ€˜ndx) β‰  𝐷
10 eldifsn 4791 . . . . . . 7 ((πΈβ€˜ndx) ∈ (V βˆ– {𝐷}) ↔ ((πΈβ€˜ndx) ∈ V ∧ (πΈβ€˜ndx) β‰  𝐷))
118, 9, 10mpbir2an 710 . . . . . 6 (πΈβ€˜ndx) ∈ (V βˆ– {𝐷})
12 fvres 6911 . . . . . 6 ((πΈβ€˜ndx) ∈ (V βˆ– {𝐷}) β†’ (((π‘Š sSet ⟨𝐷, 𝐢⟩) β†Ύ (V βˆ– {𝐷}))β€˜(πΈβ€˜ndx)) = ((π‘Š sSet ⟨𝐷, 𝐢⟩)β€˜(πΈβ€˜ndx)))
1311, 12ax-mp 5 . . . . 5 (((π‘Š sSet ⟨𝐷, 𝐢⟩) β†Ύ (V βˆ– {𝐷}))β€˜(πΈβ€˜ndx)) = ((π‘Š sSet ⟨𝐷, 𝐢⟩)β€˜(πΈβ€˜ndx))
14 fvres 6911 . . . . . 6 ((πΈβ€˜ndx) ∈ (V βˆ– {𝐷}) β†’ ((π‘Š β†Ύ (V βˆ– {𝐷}))β€˜(πΈβ€˜ndx)) = (π‘Šβ€˜(πΈβ€˜ndx)))
1511, 14ax-mp 5 . . . . 5 ((π‘Š β†Ύ (V βˆ– {𝐷}))β€˜(πΈβ€˜ndx)) = (π‘Šβ€˜(πΈβ€˜ndx))
167, 13, 153eqtr3g 2796 . . . 4 (π‘Š ∈ V β†’ ((π‘Š sSet ⟨𝐷, 𝐢⟩)β€˜(πΈβ€˜ndx)) = (π‘Šβ€˜(πΈβ€˜ndx)))
175, 16eqtrid 2785 . . 3 (π‘Š ∈ V β†’ (πΈβ€˜(π‘Š sSet ⟨𝐷, 𝐢⟩)) = (π‘Šβ€˜(πΈβ€˜ndx)))
183, 17eqtr4d 2776 . 2 (π‘Š ∈ V β†’ (πΈβ€˜π‘Š) = (πΈβ€˜(π‘Š sSet ⟨𝐷, 𝐢⟩)))
191str0 17122 . . 3 βˆ… = (πΈβ€˜βˆ…)
20 fvprc 6884 . . 3 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ (πΈβ€˜π‘Š) = βˆ…)
21 reldmsets 17098 . . . . 5 Rel dom sSet
2221ovprc1 7448 . . . 4 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ (π‘Š sSet ⟨𝐷, 𝐢⟩) = βˆ…)
2322fveq2d 6896 . . 3 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ (πΈβ€˜(π‘Š sSet ⟨𝐷, 𝐢⟩)) = (πΈβ€˜βˆ…))
2419, 20, 233eqtr4a 2799 . 2 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ (πΈβ€˜π‘Š) = (πΈβ€˜(π‘Š sSet ⟨𝐷, 𝐢⟩)))
2518, 24pm2.61i 182 1 (πΈβ€˜π‘Š) = (πΈβ€˜(π‘Š sSet ⟨𝐷, 𝐢⟩))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  Vcvv 3475   βˆ– cdif 3946  βˆ…c0 4323  {csn 4629  βŸ¨cop 4635   β†Ύ cres 5679  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   sSet csts 17096  Slot cslot 17114  ndxcnx 17126
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-res 5689  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-sets 17097  df-slot 17115
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator