MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  setsnidOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem setsnidOLD 17147
Description: Obsolete proof of setsnid 17146 as of 7-Nov-2024. Value of the structure replacement function at an untouched index. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
setsid.e 𝐸 = Slot (πΈβ€˜ndx)
setsnid.n (πΈβ€˜ndx) β‰  𝐷
Assertion
Ref Expression
setsnidOLD (πΈβ€˜π‘Š) = (πΈβ€˜(π‘Š sSet ⟨𝐷, 𝐢⟩))

Proof of Theorem setsnidOLD
StepHypRef Expression
1 setsid.e . . . 4 𝐸 = Slot (πΈβ€˜ndx)
2 id 22 . . . 4 (π‘Š ∈ V β†’ π‘Š ∈ V)
31, 2strfvnd 17122 . . 3 (π‘Š ∈ V β†’ (πΈβ€˜π‘Š) = (π‘Šβ€˜(πΈβ€˜ndx)))
4 ovex 7444 . . . . 5 (π‘Š sSet ⟨𝐷, 𝐢⟩) ∈ V
54, 1strfvn 17123 . . . 4 (πΈβ€˜(π‘Š sSet ⟨𝐷, 𝐢⟩)) = ((π‘Š sSet ⟨𝐷, 𝐢⟩)β€˜(πΈβ€˜ndx))
6 setsres 17115 . . . . . 6 (π‘Š ∈ V β†’ ((π‘Š sSet ⟨𝐷, 𝐢⟩) β†Ύ (V βˆ– {𝐷})) = (π‘Š β†Ύ (V βˆ– {𝐷})))
76fveq1d 6892 . . . . 5 (π‘Š ∈ V β†’ (((π‘Š sSet ⟨𝐷, 𝐢⟩) β†Ύ (V βˆ– {𝐷}))β€˜(πΈβ€˜ndx)) = ((π‘Š β†Ύ (V βˆ– {𝐷}))β€˜(πΈβ€˜ndx)))
8 fvex 6903 . . . . . . 7 (πΈβ€˜ndx) ∈ V
9 setsnid.n . . . . . . 7 (πΈβ€˜ndx) β‰  𝐷
10 eldifsn 4789 . . . . . . 7 ((πΈβ€˜ndx) ∈ (V βˆ– {𝐷}) ↔ ((πΈβ€˜ndx) ∈ V ∧ (πΈβ€˜ndx) β‰  𝐷))
118, 9, 10mpbir2an 707 . . . . . 6 (πΈβ€˜ndx) ∈ (V βˆ– {𝐷})
12 fvres 6909 . . . . . 6 ((πΈβ€˜ndx) ∈ (V βˆ– {𝐷}) β†’ (((π‘Š sSet ⟨𝐷, 𝐢⟩) β†Ύ (V βˆ– {𝐷}))β€˜(πΈβ€˜ndx)) = ((π‘Š sSet ⟨𝐷, 𝐢⟩)β€˜(πΈβ€˜ndx)))
1311, 12ax-mp 5 . . . . 5 (((π‘Š sSet ⟨𝐷, 𝐢⟩) β†Ύ (V βˆ– {𝐷}))β€˜(πΈβ€˜ndx)) = ((π‘Š sSet ⟨𝐷, 𝐢⟩)β€˜(πΈβ€˜ndx))
14 fvres 6909 . . . . . 6 ((πΈβ€˜ndx) ∈ (V βˆ– {𝐷}) β†’ ((π‘Š β†Ύ (V βˆ– {𝐷}))β€˜(πΈβ€˜ndx)) = (π‘Šβ€˜(πΈβ€˜ndx)))
1511, 14ax-mp 5 . . . . 5 ((π‘Š β†Ύ (V βˆ– {𝐷}))β€˜(πΈβ€˜ndx)) = (π‘Šβ€˜(πΈβ€˜ndx))
167, 13, 153eqtr3g 2793 . . . 4 (π‘Š ∈ V β†’ ((π‘Š sSet ⟨𝐷, 𝐢⟩)β€˜(πΈβ€˜ndx)) = (π‘Šβ€˜(πΈβ€˜ndx)))
175, 16eqtrid 2782 . . 3 (π‘Š ∈ V β†’ (πΈβ€˜(π‘Š sSet ⟨𝐷, 𝐢⟩)) = (π‘Šβ€˜(πΈβ€˜ndx)))
183, 17eqtr4d 2773 . 2 (π‘Š ∈ V β†’ (πΈβ€˜π‘Š) = (πΈβ€˜(π‘Š sSet ⟨𝐷, 𝐢⟩)))
191str0 17126 . . 3 βˆ… = (πΈβ€˜βˆ…)
20 fvprc 6882 . . 3 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ (πΈβ€˜π‘Š) = βˆ…)
21 reldmsets 17102 . . . . 5 Rel dom sSet
2221ovprc1 7450 . . . 4 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ (π‘Š sSet ⟨𝐷, 𝐢⟩) = βˆ…)
2322fveq2d 6894 . . 3 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ (πΈβ€˜(π‘Š sSet ⟨𝐷, 𝐢⟩)) = (πΈβ€˜βˆ…))
2419, 20, 233eqtr4a 2796 . 2 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ (πΈβ€˜π‘Š) = (πΈβ€˜(π‘Š sSet ⟨𝐷, 𝐢⟩)))
2518, 24pm2.61i 182 1 (πΈβ€˜π‘Š) = (πΈβ€˜(π‘Š sSet ⟨𝐷, 𝐢⟩))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938  Vcvv 3472   βˆ– cdif 3944  βˆ…c0 4321  {csn 4627  βŸ¨cop 4633   β†Ύ cres 5677  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411   sSet csts 17100  Slot cslot 17118  ndxcnx 17130
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-res 5687  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fv 6550  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-sets 17101  df-slot 17119
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator