MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  setsidvald Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem setsidvald 16211
Description: Value of the structure replacement function, deduction version. (Contributed by AV, 14-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
setsidvald.e 𝐸 = Slot 𝑁
setsidvald.n 𝑁 ∈ ℕ
setsidvald.s (𝜑𝑆𝑉)
setsidvald.f (𝜑 → Fun 𝑆)
setsidvald.d (𝜑 → (𝐸‘ndx) ∈ dom 𝑆)
Assertion
Ref Expression
setsidvald (𝜑𝑆 = (𝑆 sSet ⟨(𝐸‘ndx), (𝐸𝑆)⟩))

Proof of Theorem setsidvald
StepHypRef Expression
1 setsidvald.s . . 3 (𝜑𝑆𝑉)
2 fvex 6422 . . 3 (𝐸𝑆) ∈ V
3 setsval 16210 . . 3 ((𝑆𝑉 ∧ (𝐸𝑆) ∈ V) → (𝑆 sSet ⟨(𝐸‘ndx), (𝐸𝑆)⟩) = ((𝑆 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), (𝐸𝑆)⟩}))
41, 2, 3sylancl 581 . 2 (𝜑 → (𝑆 sSet ⟨(𝐸‘ndx), (𝐸𝑆)⟩) = ((𝑆 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), (𝐸𝑆)⟩}))
5 setsidvald.e . . . . . . 7 𝐸 = Slot 𝑁
6 setsidvald.n . . . . . . 7 𝑁 ∈ ℕ
75, 6ndxid 16206 . . . . . 6 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
87, 1strfvnd 16199 . . . . 5 (𝜑 → (𝐸𝑆) = (𝑆‘(𝐸‘ndx)))
98opeq2d 4598 . . . 4 (𝜑 → ⟨(𝐸‘ndx), (𝐸𝑆)⟩ = ⟨(𝐸‘ndx), (𝑆‘(𝐸‘ndx))⟩)
109sneqd 4378 . . 3 (𝜑 → {⟨(𝐸‘ndx), (𝐸𝑆)⟩} = {⟨(𝐸‘ndx), (𝑆‘(𝐸‘ndx))⟩})
1110uneq2d 3963 . 2 (𝜑 → ((𝑆 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), (𝐸𝑆)⟩}) = ((𝑆 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), (𝑆‘(𝐸‘ndx))⟩}))
12 setsidvald.f . . 3 (𝜑 → Fun 𝑆)
13 setsidvald.d . . 3 (𝜑 → (𝐸‘ndx) ∈ dom 𝑆)
14 funresdfunsn 6682 . . 3 ((Fun 𝑆 ∧ (𝐸‘ndx) ∈ dom 𝑆) → ((𝑆 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), (𝑆‘(𝐸‘ndx))⟩}) = 𝑆)
1512, 13, 14syl2anc 580 . 2 (𝜑 → ((𝑆 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), (𝑆‘(𝐸‘ndx))⟩}) = 𝑆)
164, 11, 153eqtrrd 2836 1 (𝜑𝑆 = (𝑆 sSet ⟨(𝐸‘ndx), (𝐸𝑆)⟩))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1653  wcel 2157  Vcvv 3383  cdif 3764  cun 3765  {csn 4366  cop 4372  dom cdm 5310  cres 5312  Fun wfun 6093  cfv 6099  (class class class)co 6876  cn 11310  ndxcnx 16177   sSet csts 16178  Slot cslot 16179
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2375  ax-ext 2775  ax-sep 4973  ax-nul 4981  ax-pow 5033  ax-pr 5095  ax-un 7181  ax-cnex 10278  ax-1cn 10280  ax-addcl 10282
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2590  df-eu 2607  df-clab 2784  df-cleq 2790  df-clel 2793  df-nfc 2928  df-ne 2970  df-ral 3092  df-rex 3093  df-reu 3094  df-rab 3096  df-v 3385  df-sbc 3632  df-csb 3727  df-dif 3770  df-un 3772  df-in 3774  df-ss 3781  df-pss 3783  df-nul 4114  df-if 4276  df-pw 4349  df-sn 4367  df-pr 4369  df-tp 4371  df-op 4373  df-uni 4627  df-iun 4710  df-br 4842  df-opab 4904  df-mpt 4921  df-tr 4944  df-id 5218  df-eprel 5223  df-po 5231  df-so 5232  df-fr 5269  df-we 5271  df-xp 5316  df-rel 5317  df-cnv 5318  df-co 5319  df-dm 5320  df-rn 5321  df-res 5322  df-ima 5323  df-pred 5896  df-ord 5942  df-on 5943  df-lim 5944  df-suc 5945  df-iota 6062  df-fun 6101  df-fn 6102  df-f 6103  df-f1 6104  df-fo 6105  df-f1o 6106  df-fv 6107  df-ov 6879  df-oprab 6880  df-mpt2 6881  df-om 7298  df-wrecs 7643  df-recs 7705  df-rdg 7743  df-nn 11311  df-ndx 16183  df-slot 16184  df-sets 16187
This theorem is referenced by:  ressval3d  16258  ressval3dOLD  16259
  Copyright terms: Public domain W3C validator