MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  setsidvald Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem setsidvald 16504
Description: Value of the structure replacement function, deduction version. (Contributed by AV, 14-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
setsidvald.e 𝐸 = Slot 𝑁
setsidvald.n 𝑁 ∈ ℕ
setsidvald.s (𝜑𝑆𝑉)
setsidvald.f (𝜑 → Fun 𝑆)
setsidvald.d (𝜑 → (𝐸‘ndx) ∈ dom 𝑆)
Assertion
Ref Expression
setsidvald (𝜑𝑆 = (𝑆 sSet ⟨(𝐸‘ndx), (𝐸𝑆)⟩))

Proof of Theorem setsidvald
StepHypRef Expression
1 setsidvald.s . . 3 (𝜑𝑆𝑉)
2 fvex 6680 . . 3 (𝐸𝑆) ∈ V
3 setsval 16503 . . 3 ((𝑆𝑉 ∧ (𝐸𝑆) ∈ V) → (𝑆 sSet ⟨(𝐸‘ndx), (𝐸𝑆)⟩) = ((𝑆 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), (𝐸𝑆)⟩}))
41, 2, 3sylancl 586 . 2 (𝜑 → (𝑆 sSet ⟨(𝐸‘ndx), (𝐸𝑆)⟩) = ((𝑆 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), (𝐸𝑆)⟩}))
5 setsidvald.e . . . . . . 7 𝐸 = Slot 𝑁
6 setsidvald.n . . . . . . 7 𝑁 ∈ ℕ
75, 6ndxid 16499 . . . . . 6 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
87, 1strfvnd 16492 . . . . 5 (𝜑 → (𝐸𝑆) = (𝑆‘(𝐸‘ndx)))
98opeq2d 4809 . . . 4 (𝜑 → ⟨(𝐸‘ndx), (𝐸𝑆)⟩ = ⟨(𝐸‘ndx), (𝑆‘(𝐸‘ndx))⟩)
109sneqd 4576 . . 3 (𝜑 → {⟨(𝐸‘ndx), (𝐸𝑆)⟩} = {⟨(𝐸‘ndx), (𝑆‘(𝐸‘ndx))⟩})
1110uneq2d 4143 . 2 (𝜑 → ((𝑆 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), (𝐸𝑆)⟩}) = ((𝑆 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), (𝑆‘(𝐸‘ndx))⟩}))
12 setsidvald.f . . 3 (𝜑 → Fun 𝑆)
13 setsidvald.d . . 3 (𝜑 → (𝐸‘ndx) ∈ dom 𝑆)
14 funresdfunsn 6947 . . 3 ((Fun 𝑆 ∧ (𝐸‘ndx) ∈ dom 𝑆) → ((𝑆 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), (𝑆‘(𝐸‘ndx))⟩}) = 𝑆)
1512, 13, 14syl2anc 584 . 2 (𝜑 → ((𝑆 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), (𝑆‘(𝐸‘ndx))⟩}) = 𝑆)
164, 11, 153eqtrrd 2866 1 (𝜑𝑆 = (𝑆 sSet ⟨(𝐸‘ndx), (𝐸𝑆)⟩))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1530  wcel 2107  Vcvv 3500  cdif 3937  cun 3938  {csn 4564  cop 4570  dom cdm 5554  cres 5556  Fun wfun 6346  cfv 6352  (class class class)co 7148  cn 11627  ndxcnx 16470   sSet csts 16471  Slot cslot 16472
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-cnex 10582  ax-1cn 10584  ax-addcl 10586
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7569  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-nn 11628  df-ndx 16476  df-slot 16477  df-sets 16480
This theorem is referenced by:  ressval3d  16551
  Copyright terms: Public domain W3C validator