Theorem bj-endcomp 35415

Description: Composition law of the monoid of endomorphisms on an object of a category. (Contributed by BJ, 5-Apr-2024.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
bj-endval.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
bj-endval.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐶))

Assertion

Ref	Expression
bj-endcomp	⊢ (𝜑 → (+g‘((End ‘𝐶)‘𝑋)) = (⟨𝑋, 𝑋⟩(comp‘𝐶)𝑋))

Proof of Theorem bj-endcomp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plusgid 16915	. . 3 ⊢ +g = Slot (+g‘ndx)
2		fvexd 6771	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((End ‘𝐶)‘𝑋) ∈ V)
3	1, 2	strfvnd 16814	. 2 ⊢ (𝜑 → (+g‘((End ‘𝐶)‘𝑋)) = (((End ‘𝐶)‘𝑋)‘(+g‘ndx)))
4		bj-endval.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
5		bj-endval.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐶))
6	4, 5	bj-endval 35413	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((End ‘𝐶)‘𝑋) = {⟨(Base‘ndx), (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑋)⟩, ⟨(+g‘ndx), (⟨𝑋, 𝑋⟩(comp‘𝐶)𝑋)⟩})
7	6	fveq1d 6758	. 2 ⊢ (𝜑 → (((End ‘𝐶)‘𝑋)‘(+g‘ndx)) = ({⟨(Base‘ndx), (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑋)⟩, ⟨(+g‘ndx), (⟨𝑋, 𝑋⟩(comp‘𝐶)𝑋)⟩}‘(+g‘ndx)))
8		basendxnplusgndx 16918	. . 3 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (+g‘ndx)
9		fvex 6769	. . . 4 ⊢ (+g‘ndx) ∈ V
10		ovex 7288	. . . 4 ⊢ (⟨𝑋, 𝑋⟩(comp‘𝐶)𝑋) ∈ V
11	9, 10	fvpr2 7049	. . 3 ⊢ ((Base‘ndx) ≠ (+g‘ndx) → ({⟨(Base‘ndx), (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑋)⟩, ⟨(+g‘ndx), (⟨𝑋, 𝑋⟩(comp‘𝐶)𝑋)⟩}‘(+g‘ndx)) = (⟨𝑋, 𝑋⟩(comp‘𝐶)𝑋))
12	8, 11	mp1i 13	. 2 ⊢ (𝜑 → ({⟨(Base‘ndx), (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑋)⟩, ⟨(+g‘ndx), (⟨𝑋, 𝑋⟩(comp‘𝐶)𝑋)⟩}‘(+g‘ndx)) = (⟨𝑋, 𝑋⟩(comp‘𝐶)𝑋))
13	3, 7, 12	3eqtrd 2782	1 ⊢ (𝜑 → (+g‘((End ‘𝐶)‘𝑋)) = (⟨𝑋, 𝑋⟩(comp‘𝐶)𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  Vcvv 3422  {cpr 4560  ⟨cop 4564  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ndxcnx 16822  Basecbs 16840  +_gcplusg 16888  Hom chom 16899  compcco 16900  Catccat 17290  End cend 35411

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-plusg 16901  df-bj-end 35412

This theorem is referenced by:  bj-endmnd  35416