Users' Mathboxes Mathbox for BJ < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bj-endcomp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bj-endcomp 35097
Description: Composition law of the monoid of endomorphisms on an object of a category. (Contributed by BJ, 5-Apr-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
bj-endval.c (𝜑𝐶 ∈ Cat)
bj-endval.x (𝜑𝑋 ∈ (Base‘𝐶))
Assertion
Ref Expression
bj-endcomp (𝜑 → (+g‘((End ‘𝐶)‘𝑋)) = (⟨𝑋, 𝑋⟩(comp‘𝐶)𝑋))

Proof of Theorem bj-endcomp
StepHypRef Expression
1 bj-endval.c . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ Cat)
2 bj-endval.x . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (Base‘𝐶))
31, 2bj-endval 35095 . . 3 (𝜑 → ((End ‘𝐶)‘𝑋) = {⟨(Base‘ndx), (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑋)⟩, ⟨(+g‘ndx), (⟨𝑋, 𝑋⟩(comp‘𝐶)𝑋)⟩})
43fveq1d 6670 . 2 (𝜑 → (((End ‘𝐶)‘𝑋)‘(+g‘ndx)) = ({⟨(Base‘ndx), (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑋)⟩, ⟨(+g‘ndx), (⟨𝑋, 𝑋⟩(comp‘𝐶)𝑋)⟩}‘(+g‘ndx)))
5 fvexd 6683 . . 3 (𝜑 → ((End ‘𝐶)‘𝑋) ∈ V)
6 df-plusg 16674 . . 3 +g = Slot 2
7 2nn 11782 . . 3 2 ∈ ℕ
85, 6, 7strndxid 16606 . 2 (𝜑 → (((End ‘𝐶)‘𝑋)‘(+g‘ndx)) = (+g‘((End ‘𝐶)‘𝑋)))
9 basendxnplusgndx 16704 . . 3 (Base‘ndx) ≠ (+g‘ndx)
10 fvex 6681 . . . 4 (+g‘ndx) ∈ V
11 ovex 7197 . . . 4 (⟨𝑋, 𝑋⟩(comp‘𝐶)𝑋) ∈ V
1210, 11fvpr2 6957 . . 3 ((Base‘ndx) ≠ (+g‘ndx) → ({⟨(Base‘ndx), (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑋)⟩, ⟨(+g‘ndx), (⟨𝑋, 𝑋⟩(comp‘𝐶)𝑋)⟩}‘(+g‘ndx)) = (⟨𝑋, 𝑋⟩(comp‘𝐶)𝑋))
139, 12mp1i 13 . 2 (𝜑 → ({⟨(Base‘ndx), (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑋)⟩, ⟨(+g‘ndx), (⟨𝑋, 𝑋⟩(comp‘𝐶)𝑋)⟩}‘(+g‘ndx)) = (⟨𝑋, 𝑋⟩(comp‘𝐶)𝑋))
144, 8, 133eqtr3d 2781 1 (𝜑 → (+g‘((End ‘𝐶)‘𝑋)) = (⟨𝑋, 𝑋⟩(comp‘𝐶)𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wcel 2113  wne 2934  Vcvv 3397  {cpr 4515  cop 4519  cfv 6333  (class class class)co 7164  2c2 11764  ndxcnx 16576  Basecbs 16579  +gcplusg 16661  Hom chom 16672  compcco 16673  Catccat 17031  End cend 35093
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-rep 5151  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473  ax-cnex 10664  ax-resscn 10665  ax-1cn 10666  ax-icn 10667  ax-addcl 10668  ax-addrcl 10669  ax-mulcl 10670  ax-mulrcl 10671  ax-mulcom 10672  ax-addass 10673  ax-mulass 10674  ax-distr 10675  ax-i2m1 10676  ax-1ne0 10677  ax-1rid 10678  ax-rnegex 10679  ax-rrecex 10680  ax-cnre 10681  ax-pre-lttri 10682  ax-pre-lttrn 10683  ax-pre-ltadd 10684  ax-pre-mulgt0 10685
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-pss 3860  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-tp 4518  df-op 4520  df-uni 4794  df-iun 4880  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-tr 5134  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-riota 7121  df-ov 7167  df-oprab 7168  df-mpo 7169  df-om 7594  df-wrecs 7969  df-recs 8030  df-rdg 8068  df-er 8313  df-en 8549  df-dom 8550  df-sdom 8551  df-pnf 10748  df-mnf 10749  df-xr 10750  df-ltxr 10751  df-le 10752  df-sub 10943  df-neg 10944  df-nn 11710  df-2 11772  df-ndx 16582  df-slot 16583  df-base 16585  df-plusg 16674  df-bj-end 35094
This theorem is referenced by:  bj-endmnd  35098
  Copyright terms: Public domain W3C validator