Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | toslub.1 |
. . . . . 6
β’ (π β πΎ β Toset) |
2 | 1 | ad2antrr 725 |
. . . . 5
β’ (((π β§ π β π΅) β§ π β π΄) β πΎ β Toset) |
3 | | simplr 768 |
. . . . 5
β’ (((π β§ π β π΅) β§ π β π΄) β π β π΅) |
4 | | toslub.2 |
. . . . . . 7
β’ (π β π΄ β π΅) |
5 | 4 | adantr 482 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π β π΅) β π΄ β π΅) |
6 | 5 | sselda 3945 |
. . . . 5
β’ (((π β§ π β π΅) β§ π β π΄) β π β π΅) |
7 | | toslub.b |
. . . . . 6
β’ π΅ = (BaseβπΎ) |
8 | | toslub.e |
. . . . . 6
β’ β€ =
(leβπΎ) |
9 | | toslub.l |
. . . . . 6
β’ < =
(ltβπΎ) |
10 | 7, 8, 9 | tltnle 18316 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β Toset β§ π β π΅ β§ π β π΅) β (π < π β Β¬ π β€ π)) |
11 | 2, 3, 6, 10 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ (((π β§ π β π΅) β§ π β π΄) β (π < π β Β¬ π β€ π)) |
12 | 11 | con2bid 355 |
. . 3
β’ (((π β§ π β π΅) β§ π β π΄) β (π β€ π β Β¬ π < π)) |
13 | 12 | ralbidva 3169 |
. 2
β’ ((π β§ π β π΅) β (βπ β π΄ π β€ π β βπ β π΄ Β¬ π < π)) |
14 | 4 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((π β§ π β π΅) β§ π β π΄) β π΄ β π΅) |
15 | | simpr 486 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((π β§ π β π΅) β§ π β π΄) β π β π΄) |
16 | 14, 15 | sseldd 3946 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((π β§ π β π΅) β§ π β π΄) β π β π΅) |
17 | 7, 8, 9 | tltnle 18316 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((πΎ β Toset β§ π β π΅ β§ π β π΅) β (π < π β Β¬ π β€ π)) |
18 | 1, 17 | syl3an1 1164 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((π β§ π β π΅ β§ π β π΅) β (π < π β Β¬ π β€ π)) |
19 | 18 | 3expa 1119 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((π β§ π β π΅) β§ π β π΅) β (π < π β Β¬ π β€ π)) |
20 | 19 | con2bid 355 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((π β§ π β π΅) β§ π β π΅) β (π β€ π β Β¬ π < π)) |
21 | 16, 20 | syldan 592 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π β§ π β π΅) β§ π β π΄) β (π β€ π β Β¬ π < π)) |
22 | 21 | ralbidva 3169 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ π β π΅) β (βπ β π΄ π β€ π β βπ β π΄ Β¬ π < π)) |
23 | | breq2 5110 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π = π β (π < π β π < π)) |
24 | 23 | notbid 318 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π = π β (Β¬ π < π β Β¬ π < π)) |
25 | 24 | cbvralvw 3224 |
. . . . . . . . 9
β’
(βπ β
π΄ Β¬ π < π β βπ β π΄ Β¬ π < π) |
26 | | ralnex 3072 |
. . . . . . . . 9
β’
(βπ β
π΄ Β¬ π < π β Β¬ βπ β π΄ π < π) |
27 | 25, 26 | bitri 275 |
. . . . . . . 8
β’
(βπ β
π΄ Β¬ π < π β Β¬ βπ β π΄ π < π) |
28 | 22, 27 | bitrdi 287 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π β π΅) β (βπ β π΄ π β€ π β Β¬ βπ β π΄ π < π)) |
29 | 28 | adantlr 714 |
. . . . . 6
β’ (((π β§ π β π΅) β§ π β π΅) β (βπ β π΄ π β€ π β Β¬ βπ β π΄ π < π)) |
30 | 1 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . 8
β’ (((π β§ π β π΅) β§ π β π΅) β πΎ β Toset) |
31 | | simpr 486 |
. . . . . . . 8
β’ (((π β§ π β π΅) β§ π β π΅) β π β π΅) |
32 | | simplr 768 |
. . . . . . . 8
β’ (((π β§ π β π΅) β§ π β π΅) β π β π΅) |
33 | 7, 8, 9 | tltnle 18316 |
. . . . . . . 8
β’ ((πΎ β Toset β§ π β π΅ β§ π β π΅) β (π < π β Β¬ π β€ π)) |
34 | 30, 31, 32, 33 | syl3anc 1372 |
. . . . . . 7
β’ (((π β§ π β π΅) β§ π β π΅) β (π < π β Β¬ π β€ π)) |
35 | 34 | con2bid 355 |
. . . . . 6
β’ (((π β§ π β π΅) β§ π β π΅) β (π β€ π β Β¬ π < π)) |
36 | 29, 35 | imbi12d 345 |
. . . . 5
β’ (((π β§ π β π΅) β§ π β π΅) β ((βπ β π΄ π β€ π β π β€ π) β (Β¬ βπ β π΄ π < π β Β¬ π < π))) |
37 | | con34b 316 |
. . . . 5
β’ ((π < π β βπ β π΄ π < π) β (Β¬ βπ β π΄ π < π β Β¬ π < π)) |
38 | 36, 37 | bitr4di 289 |
. . . 4
β’ (((π β§ π β π΅) β§ π β π΅) β ((βπ β π΄ π β€ π β π β€ π) β (π < π β βπ β π΄ π < π))) |
39 | 38 | ralbidva 3169 |
. . 3
β’ ((π β§ π β π΅) β (βπ β π΅ (βπ β π΄ π β€ π β π β€ π) β βπ β π΅ (π < π β βπ β π΄ π < π))) |
40 | | breq1 5109 |
. . . . 5
β’ (π = π β (π < π β π < π)) |
41 | | breq1 5109 |
. . . . . 6
β’ (π = π β (π < π β π < π)) |
42 | 41 | rexbidv 3172 |
. . . . 5
β’ (π = π β (βπ β π΄ π < π β βπ β π΄ π < π)) |
43 | 40, 42 | imbi12d 345 |
. . . 4
β’ (π = π β ((π < π β βπ β π΄ π < π) β (π < π β βπ β π΄ π < π))) |
44 | 43 | cbvralvw 3224 |
. . 3
β’
(βπ β
π΅ (π < π β βπ β π΄ π < π) β βπ β π΅ (π < π β βπ β π΄ π < π)) |
45 | 39, 44 | bitr4di 289 |
. 2
β’ ((π β§ π β π΅) β (βπ β π΅ (βπ β π΄ π β€ π β π β€ π) β βπ β π΅ (π < π β βπ β π΄ π < π))) |
46 | 13, 45 | anbi12d 632 |
1
β’ ((π β§ π β π΅) β ((βπ β π΄ π β€ π β§ βπ β π΅ (βπ β π΄ π β€ π β π β€ π)) β (βπ β π΄ Β¬ π < π β§ βπ β π΅ (π < π β βπ β π΄ π < π)))) |