Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  toslublem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem toslublem 30660
Description: Lemma for toslub 30661 and xrsclat 30694. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Feb-2018.) (Revised by NM, 15-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
toslub.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
toslub.l < = (lt‘𝐾)
toslub.1 (𝜑𝐾 ∈ Toset)
toslub.2 (𝜑𝐴𝐵)
toslub.e = (le‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
toslublem ((𝜑𝑎𝐵) → ((∀𝑏𝐴 𝑏 𝑎 ∧ ∀𝑐𝐵 (∀𝑏𝐴 𝑏 𝑐𝑎 𝑐)) ↔ (∀𝑏𝐴 ¬ 𝑎 < 𝑏 ∧ ∀𝑏𝐵 (𝑏 < 𝑎 → ∃𝑑𝐴 𝑏 < 𝑑))))
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑐,𝑑, <   𝐴,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑   𝐵,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑   𝐾,𝑎,𝑏,𝑐   𝜑,𝑎,𝑏,𝑐
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑑)   𝐾(𝑑)   (𝑎,𝑏,𝑐,𝑑)

Proof of Theorem toslublem
StepHypRef Expression
1 toslub.1 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ Toset)
21ad2antrr 725 . . . . 5 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐴) → 𝐾 ∈ Toset)
3 simplr 768 . . . . 5 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐴) → 𝑎𝐵)
4 toslub.2 . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝐵)
54adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝐵) → 𝐴𝐵)
65sselda 3953 . . . . 5 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐴) → 𝑏𝐵)
7 toslub.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐾)
8 toslub.e . . . . . 6 = (le‘𝐾)
9 toslub.l . . . . . 6 < = (lt‘𝐾)
107, 8, 9tltnle 30655 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑎𝐵𝑏𝐵) → (𝑎 < 𝑏 ↔ ¬ 𝑏 𝑎))
112, 3, 6, 10syl3anc 1368 . . . 4 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐴) → (𝑎 < 𝑏 ↔ ¬ 𝑏 𝑎))
1211con2bid 358 . . 3 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐴) → (𝑏 𝑎 ↔ ¬ 𝑎 < 𝑏))
1312ralbidva 3191 . 2 ((𝜑𝑎𝐵) → (∀𝑏𝐴 𝑏 𝑎 ↔ ∀𝑏𝐴 ¬ 𝑎 < 𝑏))
144ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑐𝐵) ∧ 𝑏𝐴) → 𝐴𝐵)
15 simpr 488 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑐𝐵) ∧ 𝑏𝐴) → 𝑏𝐴)
1614, 15sseldd 3954 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑐𝐵) ∧ 𝑏𝐴) → 𝑏𝐵)
177, 8, 9tltnle 30655 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑐𝐵𝑏𝐵) → (𝑐 < 𝑏 ↔ ¬ 𝑏 𝑐))
181, 17syl3an1 1160 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑐𝐵𝑏𝐵) → (𝑐 < 𝑏 ↔ ¬ 𝑏 𝑐))
19183expa 1115 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑐𝐵) ∧ 𝑏𝐵) → (𝑐 < 𝑏 ↔ ¬ 𝑏 𝑐))
2019con2bid 358 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑐𝐵) ∧ 𝑏𝐵) → (𝑏 𝑐 ↔ ¬ 𝑐 < 𝑏))
2116, 20syldan 594 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑐𝐵) ∧ 𝑏𝐴) → (𝑏 𝑐 ↔ ¬ 𝑐 < 𝑏))
2221ralbidva 3191 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑐𝐵) → (∀𝑏𝐴 𝑏 𝑐 ↔ ∀𝑏𝐴 ¬ 𝑐 < 𝑏))
23 breq2 5057 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = 𝑑 → (𝑐 < 𝑏𝑐 < 𝑑))
2423notbid 321 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = 𝑑 → (¬ 𝑐 < 𝑏 ↔ ¬ 𝑐 < 𝑑))
2524cbvralvw 3435 . . . . . . . . 9 (∀𝑏𝐴 ¬ 𝑐 < 𝑏 ↔ ∀𝑑𝐴 ¬ 𝑐 < 𝑑)
26 ralnex 3231 . . . . . . . . 9 (∀𝑑𝐴 ¬ 𝑐 < 𝑑 ↔ ¬ ∃𝑑𝐴 𝑐 < 𝑑)
2725, 26bitri 278 . . . . . . . 8 (∀𝑏𝐴 ¬ 𝑐 < 𝑏 ↔ ¬ ∃𝑑𝐴 𝑐 < 𝑑)
2822, 27syl6bb 290 . . . . . . 7 ((𝜑𝑐𝐵) → (∀𝑏𝐴 𝑏 𝑐 ↔ ¬ ∃𝑑𝐴 𝑐 < 𝑑))
2928adantlr 714 . . . . . 6 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑐𝐵) → (∀𝑏𝐴 𝑏 𝑐 ↔ ¬ ∃𝑑𝐴 𝑐 < 𝑑))
301ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑐𝐵) → 𝐾 ∈ Toset)
31 simpr 488 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑐𝐵) → 𝑐𝐵)
32 simplr 768 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑐𝐵) → 𝑎𝐵)
337, 8, 9tltnle 30655 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑐𝐵𝑎𝐵) → (𝑐 < 𝑎 ↔ ¬ 𝑎 𝑐))
3430, 31, 32, 33syl3anc 1368 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑐𝐵) → (𝑐 < 𝑎 ↔ ¬ 𝑎 𝑐))
3534con2bid 358 . . . . . 6 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑐𝐵) → (𝑎 𝑐 ↔ ¬ 𝑐 < 𝑎))
3629, 35imbi12d 348 . . . . 5 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑐𝐵) → ((∀𝑏𝐴 𝑏 𝑐𝑎 𝑐) ↔ (¬ ∃𝑑𝐴 𝑐 < 𝑑 → ¬ 𝑐 < 𝑎)))
37 con34b 319 . . . . 5 ((𝑐 < 𝑎 → ∃𝑑𝐴 𝑐 < 𝑑) ↔ (¬ ∃𝑑𝐴 𝑐 < 𝑑 → ¬ 𝑐 < 𝑎))
3836, 37syl6bbr 292 . . . 4 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑐𝐵) → ((∀𝑏𝐴 𝑏 𝑐𝑎 𝑐) ↔ (𝑐 < 𝑎 → ∃𝑑𝐴 𝑐 < 𝑑)))
3938ralbidva 3191 . . 3 ((𝜑𝑎𝐵) → (∀𝑐𝐵 (∀𝑏𝐴 𝑏 𝑐𝑎 𝑐) ↔ ∀𝑐𝐵 (𝑐 < 𝑎 → ∃𝑑𝐴 𝑐 < 𝑑)))
40 breq1 5056 . . . . 5 (𝑏 = 𝑐 → (𝑏 < 𝑎𝑐 < 𝑎))
41 breq1 5056 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑐 → (𝑏 < 𝑑𝑐 < 𝑑))
4241rexbidv 3290 . . . . 5 (𝑏 = 𝑐 → (∃𝑑𝐴 𝑏 < 𝑑 ↔ ∃𝑑𝐴 𝑐 < 𝑑))
4340, 42imbi12d 348 . . . 4 (𝑏 = 𝑐 → ((𝑏 < 𝑎 → ∃𝑑𝐴 𝑏 < 𝑑) ↔ (𝑐 < 𝑎 → ∃𝑑𝐴 𝑐 < 𝑑)))
4443cbvralvw 3435 . . 3 (∀𝑏𝐵 (𝑏 < 𝑎 → ∃𝑑𝐴 𝑏 < 𝑑) ↔ ∀𝑐𝐵 (𝑐 < 𝑎 → ∃𝑑𝐴 𝑐 < 𝑑))
4539, 44syl6bbr 292 . 2 ((𝜑𝑎𝐵) → (∀𝑐𝐵 (∀𝑏𝐴 𝑏 𝑐𝑎 𝑐) ↔ ∀𝑏𝐵 (𝑏 < 𝑎 → ∃𝑑𝐴 𝑏 < 𝑑)))
4613, 45anbi12d 633 1 ((𝜑𝑎𝐵) → ((∀𝑏𝐴 𝑏 𝑎 ∧ ∀𝑐𝐵 (∀𝑏𝐴 𝑏 𝑐𝑎 𝑐)) ↔ (∀𝑏𝐴 ¬ 𝑎 < 𝑏 ∧ ∀𝑏𝐵 (𝑏 < 𝑎 → ∃𝑑𝐴 𝑏 < 𝑑))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  wral 3133  wrex 3134  wss 3919   class class class wbr 5053  cfv 6344  Basecbs 16481  lecple 16570  ltcplt 17549  Tosetctos 17641
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pr 5318
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-ral 3138  df-rex 3139  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-nul 4277  df-if 4451  df-sn 4551  df-pr 4553  df-op 4557  df-uni 4826  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-id 5448  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fv 6352  df-proset 17536  df-poset 17554  df-plt 17566  df-toset 17642
This theorem is referenced by:  toslub  30661  xrsclat  30694
  Copyright terms: Public domain W3C validator