Theorem toslublem 32693

Description: Lemma for toslub 32694 and xrsclat 32732. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Feb-2018.) (Revised by NM, 15-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
toslub.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
toslub.l	⊢ < = (lt‘𝐾)
toslub.1	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Toset)
toslub.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
toslub.e	⊢ ≤ = (le‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
toslublem	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ((∀𝑏 ∈ 𝐴 𝑏 ≤ 𝑎 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝐵 (∀𝑏 ∈ 𝐴 𝑏 ≤ 𝑐 → 𝑎 ≤ 𝑐)) ↔ (∀𝑏 ∈ 𝐴 ¬ 𝑎 < 𝑏 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐵 (𝑏 < 𝑎 → ∃𝑑 ∈ 𝐴 𝑏 < 𝑑))))

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑐,𝑑, <   𝐴,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑   𝐵,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑   𝐾,𝑎,𝑏,𝑐   𝜑,𝑎,𝑏,𝑐

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑑)   𝐾(𝑑)   ≤ (𝑎,𝑏,𝑐,𝑑)

Proof of Theorem toslublem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		toslub.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Toset)
2	1	ad2antrr 725	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ Toset)
3		simplr 768	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → 𝑎 ∈ 𝐵)
4		toslub.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
5	4	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
6	5	sselda 3978	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → 𝑏 ∈ 𝐵)
7		toslub.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
8		toslub.e	. . . . . 6 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
9		toslub.l	. . . . . 6 ⊢ < = (lt‘𝐾)
10	7, 8, 9	tltnle 18407	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎 < 𝑏 ↔ ¬ 𝑏 ≤ 𝑎))
11	2, 3, 6, 10	syl3anc 1369	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → (𝑎 < 𝑏 ↔ ¬ 𝑏 ≤ 𝑎))
12	11	con2bid 354	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → (𝑏 ≤ 𝑎 ↔ ¬ 𝑎 < 𝑏))
13	12	ralbidva 3170	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (∀𝑏 ∈ 𝐴 𝑏 ≤ 𝑎 ↔ ∀𝑏 ∈ 𝐴 ¬ 𝑎 < 𝑏))
14	4	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
15		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → 𝑏 ∈ 𝐴)
16	14, 15	sseldd 3979	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → 𝑏 ∈ 𝐵)
17	7, 8, 9	tltnle 18407	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑐 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑐 < 𝑏 ↔ ¬ 𝑏 ≤ 𝑐))
18	1, 17	syl3an1 1161	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑐 < 𝑏 ↔ ¬ 𝑏 ≤ 𝑐))
19	18	3expa 1116	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑐 < 𝑏 ↔ ¬ 𝑏 ≤ 𝑐))
20	19	con2bid 354	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑏 ≤ 𝑐 ↔ ¬ 𝑐 < 𝑏))
21	16, 20	syldan 590	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → (𝑏 ≤ 𝑐 ↔ ¬ 𝑐 < 𝑏))
22	21	ralbidva 3170	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → (∀𝑏 ∈ 𝐴 𝑏 ≤ 𝑐 ↔ ∀𝑏 ∈ 𝐴 ¬ 𝑐 < 𝑏))
23		breq2 5146	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = 𝑑 → (𝑐 < 𝑏 ↔ 𝑐 < 𝑑))
24	23	notbid 318	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = 𝑑 → (¬ 𝑐 < 𝑏 ↔ ¬ 𝑐 < 𝑑))
25	24	cbvralvw 3229	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑏 ∈ 𝐴 ¬ 𝑐 < 𝑏 ↔ ∀𝑑 ∈ 𝐴 ¬ 𝑐 < 𝑑)
26		ralnex 3067	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑑 ∈ 𝐴 ¬ 𝑐 < 𝑑 ↔ ¬ ∃𝑑 ∈ 𝐴 𝑐 < 𝑑)
27	25, 26	bitri 275	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑏 ∈ 𝐴 ¬ 𝑐 < 𝑏 ↔ ¬ ∃𝑑 ∈ 𝐴 𝑐 < 𝑑)
28	22, 27	bitrdi 287	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → (∀𝑏 ∈ 𝐴 𝑏 ≤ 𝑐 ↔ ¬ ∃𝑑 ∈ 𝐴 𝑐 < 𝑑))
29	28	adantlr 714	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → (∀𝑏 ∈ 𝐴 𝑏 ≤ 𝑐 ↔ ¬ ∃𝑑 ∈ 𝐴 𝑐 < 𝑑))
30	1	ad2antrr 725	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Toset)
31		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → 𝑐 ∈ 𝐵)
32		simplr 768	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → 𝑎 ∈ 𝐵)
33	7, 8, 9	tltnle 18407	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑐 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝑐 < 𝑎 ↔ ¬ 𝑎 ≤ 𝑐))
34	30, 31, 32, 33	syl3anc 1369	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → (𝑐 < 𝑎 ↔ ¬ 𝑎 ≤ 𝑐))
35	34	con2bid 354	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → (𝑎 ≤ 𝑐 ↔ ¬ 𝑐 < 𝑎))
36	29, 35	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → ((∀𝑏 ∈ 𝐴 𝑏 ≤ 𝑐 → 𝑎 ≤ 𝑐) ↔ (¬ ∃𝑑 ∈ 𝐴 𝑐 < 𝑑 → ¬ 𝑐 < 𝑎)))
37		con34b 316	. . . . 5 ⊢ ((𝑐 < 𝑎 → ∃𝑑 ∈ 𝐴 𝑐 < 𝑑) ↔ (¬ ∃𝑑 ∈ 𝐴 𝑐 < 𝑑 → ¬ 𝑐 < 𝑎))
38	36, 37	bitr4di 289	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → ((∀𝑏 ∈ 𝐴 𝑏 ≤ 𝑐 → 𝑎 ≤ 𝑐) ↔ (𝑐 < 𝑎 → ∃𝑑 ∈ 𝐴 𝑐 < 𝑑)))
39	38	ralbidva 3170	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (∀𝑐 ∈ 𝐵 (∀𝑏 ∈ 𝐴 𝑏 ≤ 𝑐 → 𝑎 ≤ 𝑐) ↔ ∀𝑐 ∈ 𝐵 (𝑐 < 𝑎 → ∃𝑑 ∈ 𝐴 𝑐 < 𝑑)))
40		breq1 5145	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑐 → (𝑏 < 𝑎 ↔ 𝑐 < 𝑎))
41		breq1 5145	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝑐 → (𝑏 < 𝑑 ↔ 𝑐 < 𝑑))
42	41	rexbidv 3173	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑐 → (∃𝑑 ∈ 𝐴 𝑏 < 𝑑 ↔ ∃𝑑 ∈ 𝐴 𝑐 < 𝑑))
43	40, 42	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝑐 → ((𝑏 < 𝑎 → ∃𝑑 ∈ 𝐴 𝑏 < 𝑑) ↔ (𝑐 < 𝑎 → ∃𝑑 ∈ 𝐴 𝑐 < 𝑑)))
44	43	cbvralvw 3229	. . 3 ⊢ (∀𝑏 ∈ 𝐵 (𝑏 < 𝑎 → ∃𝑑 ∈ 𝐴 𝑏 < 𝑑) ↔ ∀𝑐 ∈ 𝐵 (𝑐 < 𝑎 → ∃𝑑 ∈ 𝐴 𝑐 < 𝑑))
45	39, 44	bitr4di 289	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (∀𝑐 ∈ 𝐵 (∀𝑏 ∈ 𝐴 𝑏 ≤ 𝑐 → 𝑎 ≤ 𝑐) ↔ ∀𝑏 ∈ 𝐵 (𝑏 < 𝑎 → ∃𝑑 ∈ 𝐴 𝑏 < 𝑑)))
46	13, 45	anbi12d 630	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ((∀𝑏 ∈ 𝐴 𝑏 ≤ 𝑎 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝐵 (∀𝑏 ∈ 𝐴 𝑏 ≤ 𝑐 → 𝑎 ≤ 𝑐)) ↔ (∀𝑏 ∈ 𝐴 ¬ 𝑎 < 𝑏 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐵 (𝑏 < 𝑎 → ∃𝑑 ∈ 𝐴 𝑏 < 𝑑))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∀wral 3056  ∃wrex 3065   ⊆ wss 3944   class class class wbr 5142  ‘cfv 6542  Basecbs 17173  lecple 17233  ltcplt 18293  Tosetctos 18401

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pr 5423

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fv 6550  df-proset 18280  df-poset 18298  df-plt 18315  df-toset 18402

This theorem is referenced by:  toslub  32694  xrsclat  32732