Theorem toslublem 32898

Description: Lemma for toslub 32899 and xrsclat 32949. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Feb-2018.) (Revised by NM, 15-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
toslub.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
toslub.l	⊢ < = (lt‘𝐾)
toslub.1	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Toset)
toslub.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
toslub.e	⊢ ≤ = (le‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
toslublem	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ((∀𝑏 ∈ 𝐴 𝑏 ≤ 𝑎 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝐵 (∀𝑏 ∈ 𝐴 𝑏 ≤ 𝑐 → 𝑎 ≤ 𝑐)) ↔ (∀𝑏 ∈ 𝐴 ¬ 𝑎 < 𝑏 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐵 (𝑏 < 𝑎 → ∃𝑑 ∈ 𝐴 𝑏 < 𝑑))))

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑐,𝑑, <   𝐴,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑   𝐵,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑   𝐾,𝑎,𝑏,𝑐   𝜑,𝑎,𝑏,𝑐

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑑)   𝐾(𝑑)   ≤ (𝑎,𝑏,𝑐,𝑑)

Proof of Theorem toslublem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		toslub.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Toset)
2	1	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ Toset)
3		simplr 768	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → 𝑎 ∈ 𝐵)
4		toslub.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
5	4	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
6	5	sselda 3946	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → 𝑏 ∈ 𝐵)
7		toslub.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
8		toslub.e	. . . . . 6 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
9		toslub.l	. . . . . 6 ⊢ < = (lt‘𝐾)
10	7, 8, 9	tltnle 18381	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎 < 𝑏 ↔ ¬ 𝑏 ≤ 𝑎))
11	2, 3, 6, 10	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → (𝑎 < 𝑏 ↔ ¬ 𝑏 ≤ 𝑎))
12	11	con2bid 354	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → (𝑏 ≤ 𝑎 ↔ ¬ 𝑎 < 𝑏))
13	12	ralbidva 3154	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (∀𝑏 ∈ 𝐴 𝑏 ≤ 𝑎 ↔ ∀𝑏 ∈ 𝐴 ¬ 𝑎 < 𝑏))
14	4	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
15		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → 𝑏 ∈ 𝐴)
16	14, 15	sseldd 3947	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → 𝑏 ∈ 𝐵)
17	7, 8, 9	tltnle 18381	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑐 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑐 < 𝑏 ↔ ¬ 𝑏 ≤ 𝑐))
18	1, 17	syl3an1 1163	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑐 < 𝑏 ↔ ¬ 𝑏 ≤ 𝑐))
19	18	3expa 1118	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑐 < 𝑏 ↔ ¬ 𝑏 ≤ 𝑐))
20	19	con2bid 354	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑏 ≤ 𝑐 ↔ ¬ 𝑐 < 𝑏))
21	16, 20	syldan 591	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → (𝑏 ≤ 𝑐 ↔ ¬ 𝑐 < 𝑏))
22	21	ralbidva 3154	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → (∀𝑏 ∈ 𝐴 𝑏 ≤ 𝑐 ↔ ∀𝑏 ∈ 𝐴 ¬ 𝑐 < 𝑏))
23		breq2 5111	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = 𝑑 → (𝑐 < 𝑏 ↔ 𝑐 < 𝑑))
24	23	notbid 318	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = 𝑑 → (¬ 𝑐 < 𝑏 ↔ ¬ 𝑐 < 𝑑))
25	24	cbvralvw 3215	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑏 ∈ 𝐴 ¬ 𝑐 < 𝑏 ↔ ∀𝑑 ∈ 𝐴 ¬ 𝑐 < 𝑑)
26		ralnex 3055	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑑 ∈ 𝐴 ¬ 𝑐 < 𝑑 ↔ ¬ ∃𝑑 ∈ 𝐴 𝑐 < 𝑑)
27	25, 26	bitri 275	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑏 ∈ 𝐴 ¬ 𝑐 < 𝑏 ↔ ¬ ∃𝑑 ∈ 𝐴 𝑐 < 𝑑)
28	22, 27	bitrdi 287	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → (∀𝑏 ∈ 𝐴 𝑏 ≤ 𝑐 ↔ ¬ ∃𝑑 ∈ 𝐴 𝑐 < 𝑑))
29	28	adantlr 715	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → (∀𝑏 ∈ 𝐴 𝑏 ≤ 𝑐 ↔ ¬ ∃𝑑 ∈ 𝐴 𝑐 < 𝑑))
30	1	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Toset)
31		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → 𝑐 ∈ 𝐵)
32		simplr 768	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → 𝑎 ∈ 𝐵)
33	7, 8, 9	tltnle 18381	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑐 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝑐 < 𝑎 ↔ ¬ 𝑎 ≤ 𝑐))
34	30, 31, 32, 33	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → (𝑐 < 𝑎 ↔ ¬ 𝑎 ≤ 𝑐))
35	34	con2bid 354	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → (𝑎 ≤ 𝑐 ↔ ¬ 𝑐 < 𝑎))
36	29, 35	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → ((∀𝑏 ∈ 𝐴 𝑏 ≤ 𝑐 → 𝑎 ≤ 𝑐) ↔ (¬ ∃𝑑 ∈ 𝐴 𝑐 < 𝑑 → ¬ 𝑐 < 𝑎)))
37		con34b 316	. . . . 5 ⊢ ((𝑐 < 𝑎 → ∃𝑑 ∈ 𝐴 𝑐 < 𝑑) ↔ (¬ ∃𝑑 ∈ 𝐴 𝑐 < 𝑑 → ¬ 𝑐 < 𝑎))
38	36, 37	bitr4di 289	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → ((∀𝑏 ∈ 𝐴 𝑏 ≤ 𝑐 → 𝑎 ≤ 𝑐) ↔ (𝑐 < 𝑎 → ∃𝑑 ∈ 𝐴 𝑐 < 𝑑)))
39	38	ralbidva 3154	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (∀𝑐 ∈ 𝐵 (∀𝑏 ∈ 𝐴 𝑏 ≤ 𝑐 → 𝑎 ≤ 𝑐) ↔ ∀𝑐 ∈ 𝐵 (𝑐 < 𝑎 → ∃𝑑 ∈ 𝐴 𝑐 < 𝑑)))
40		breq1 5110	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑐 → (𝑏 < 𝑎 ↔ 𝑐 < 𝑎))
41		breq1 5110	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝑐 → (𝑏 < 𝑑 ↔ 𝑐 < 𝑑))
42	41	rexbidv 3157	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑐 → (∃𝑑 ∈ 𝐴 𝑏 < 𝑑 ↔ ∃𝑑 ∈ 𝐴 𝑐 < 𝑑))
43	40, 42	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝑐 → ((𝑏 < 𝑎 → ∃𝑑 ∈ 𝐴 𝑏 < 𝑑) ↔ (𝑐 < 𝑎 → ∃𝑑 ∈ 𝐴 𝑐 < 𝑑)))
44	43	cbvralvw 3215	. . 3 ⊢ (∀𝑏 ∈ 𝐵 (𝑏 < 𝑎 → ∃𝑑 ∈ 𝐴 𝑏 < 𝑑) ↔ ∀𝑐 ∈ 𝐵 (𝑐 < 𝑎 → ∃𝑑 ∈ 𝐴 𝑐 < 𝑑))
45	39, 44	bitr4di 289	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (∀𝑐 ∈ 𝐵 (∀𝑏 ∈ 𝐴 𝑏 ≤ 𝑐 → 𝑎 ≤ 𝑐) ↔ ∀𝑏 ∈ 𝐵 (𝑏 < 𝑎 → ∃𝑑 ∈ 𝐴 𝑏 < 𝑑)))
46	13, 45	anbi12d 632	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ((∀𝑏 ∈ 𝐴 𝑏 ≤ 𝑎 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝐵 (∀𝑏 ∈ 𝐴 𝑏 ≤ 𝑐 → 𝑎 ≤ 𝑐)) ↔ (∀𝑏 ∈ 𝐴 ¬ 𝑎 < 𝑏 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐵 (𝑏 < 𝑎 → ∃𝑑 ∈ 𝐴 𝑏 < 𝑑))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ∃wrex 3053   ⊆ wss 3914   class class class wbr 5107  ‘cfv 6511  Basecbs 17179  lecple 17227  ltcplt 18269  Tosetctos 18375

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fv 6519  df-proset 18255  df-poset 18274  df-plt 18289  df-toset 18376

This theorem is referenced by:  toslub  32899  xrsclat  32949