Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  toslublem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem toslublem 31000
Description: Lemma for toslub 31001 and xrsclat 31039. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Feb-2018.) (Revised by NM, 15-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
toslub.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
toslub.l < = (lt‘𝐾)
toslub.1 (𝜑𝐾 ∈ Toset)
toslub.2 (𝜑𝐴𝐵)
toslub.e = (le‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
toslublem ((𝜑𝑎𝐵) → ((∀𝑏𝐴 𝑏 𝑎 ∧ ∀𝑐𝐵 (∀𝑏𝐴 𝑏 𝑐𝑎 𝑐)) ↔ (∀𝑏𝐴 ¬ 𝑎 < 𝑏 ∧ ∀𝑏𝐵 (𝑏 < 𝑎 → ∃𝑑𝐴 𝑏 < 𝑑))))
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑐,𝑑, <   𝐴,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑   𝐵,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑   𝐾,𝑎,𝑏,𝑐   𝜑,𝑎,𝑏,𝑐
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑑)   𝐾(𝑑)   (𝑎,𝑏,𝑐,𝑑)

Proof of Theorem toslublem
StepHypRef Expression
1 toslub.1 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ Toset)
21ad2antrr 726 . . . . 5 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐴) → 𝐾 ∈ Toset)
3 simplr 769 . . . . 5 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐴) → 𝑎𝐵)
4 toslub.2 . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝐵)
54adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝐵) → 𝐴𝐵)
65sselda 3917 . . . . 5 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐴) → 𝑏𝐵)
7 toslub.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐾)
8 toslub.e . . . . . 6 = (le‘𝐾)
9 toslub.l . . . . . 6 < = (lt‘𝐾)
107, 8, 9tltnle 17960 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑎𝐵𝑏𝐵) → (𝑎 < 𝑏 ↔ ¬ 𝑏 𝑎))
112, 3, 6, 10syl3anc 1373 . . . 4 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐴) → (𝑎 < 𝑏 ↔ ¬ 𝑏 𝑎))
1211con2bid 358 . . 3 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐴) → (𝑏 𝑎 ↔ ¬ 𝑎 < 𝑏))
1312ralbidva 3120 . 2 ((𝜑𝑎𝐵) → (∀𝑏𝐴 𝑏 𝑎 ↔ ∀𝑏𝐴 ¬ 𝑎 < 𝑏))
144ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑐𝐵) ∧ 𝑏𝐴) → 𝐴𝐵)
15 simpr 488 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑐𝐵) ∧ 𝑏𝐴) → 𝑏𝐴)
1614, 15sseldd 3918 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑐𝐵) ∧ 𝑏𝐴) → 𝑏𝐵)
177, 8, 9tltnle 17960 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑐𝐵𝑏𝐵) → (𝑐 < 𝑏 ↔ ¬ 𝑏 𝑐))
181, 17syl3an1 1165 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑐𝐵𝑏𝐵) → (𝑐 < 𝑏 ↔ ¬ 𝑏 𝑐))
19183expa 1120 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑐𝐵) ∧ 𝑏𝐵) → (𝑐 < 𝑏 ↔ ¬ 𝑏 𝑐))
2019con2bid 358 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑐𝐵) ∧ 𝑏𝐵) → (𝑏 𝑐 ↔ ¬ 𝑐 < 𝑏))
2116, 20syldan 594 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑐𝐵) ∧ 𝑏𝐴) → (𝑏 𝑐 ↔ ¬ 𝑐 < 𝑏))
2221ralbidva 3120 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑐𝐵) → (∀𝑏𝐴 𝑏 𝑐 ↔ ∀𝑏𝐴 ¬ 𝑐 < 𝑏))
23 breq2 5073 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = 𝑑 → (𝑐 < 𝑏𝑐 < 𝑑))
2423notbid 321 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = 𝑑 → (¬ 𝑐 < 𝑏 ↔ ¬ 𝑐 < 𝑑))
2524cbvralvw 3373 . . . . . . . . 9 (∀𝑏𝐴 ¬ 𝑐 < 𝑏 ↔ ∀𝑑𝐴 ¬ 𝑐 < 𝑑)
26 ralnex 3164 . . . . . . . . 9 (∀𝑑𝐴 ¬ 𝑐 < 𝑑 ↔ ¬ ∃𝑑𝐴 𝑐 < 𝑑)
2725, 26bitri 278 . . . . . . . 8 (∀𝑏𝐴 ¬ 𝑐 < 𝑏 ↔ ¬ ∃𝑑𝐴 𝑐 < 𝑑)
2822, 27bitrdi 290 . . . . . . 7 ((𝜑𝑐𝐵) → (∀𝑏𝐴 𝑏 𝑐 ↔ ¬ ∃𝑑𝐴 𝑐 < 𝑑))
2928adantlr 715 . . . . . 6 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑐𝐵) → (∀𝑏𝐴 𝑏 𝑐 ↔ ¬ ∃𝑑𝐴 𝑐 < 𝑑))
301ad2antrr 726 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑐𝐵) → 𝐾 ∈ Toset)
31 simpr 488 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑐𝐵) → 𝑐𝐵)
32 simplr 769 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑐𝐵) → 𝑎𝐵)
337, 8, 9tltnle 17960 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑐𝐵𝑎𝐵) → (𝑐 < 𝑎 ↔ ¬ 𝑎 𝑐))
3430, 31, 32, 33syl3anc 1373 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑐𝐵) → (𝑐 < 𝑎 ↔ ¬ 𝑎 𝑐))
3534con2bid 358 . . . . . 6 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑐𝐵) → (𝑎 𝑐 ↔ ¬ 𝑐 < 𝑎))
3629, 35imbi12d 348 . . . . 5 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑐𝐵) → ((∀𝑏𝐴 𝑏 𝑐𝑎 𝑐) ↔ (¬ ∃𝑑𝐴 𝑐 < 𝑑 → ¬ 𝑐 < 𝑎)))
37 con34b 319 . . . . 5 ((𝑐 < 𝑎 → ∃𝑑𝐴 𝑐 < 𝑑) ↔ (¬ ∃𝑑𝐴 𝑐 < 𝑑 → ¬ 𝑐 < 𝑎))
3836, 37bitr4di 292 . . . 4 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑐𝐵) → ((∀𝑏𝐴 𝑏 𝑐𝑎 𝑐) ↔ (𝑐 < 𝑎 → ∃𝑑𝐴 𝑐 < 𝑑)))
3938ralbidva 3120 . . 3 ((𝜑𝑎𝐵) → (∀𝑐𝐵 (∀𝑏𝐴 𝑏 𝑐𝑎 𝑐) ↔ ∀𝑐𝐵 (𝑐 < 𝑎 → ∃𝑑𝐴 𝑐 < 𝑑)))
40 breq1 5072 . . . . 5 (𝑏 = 𝑐 → (𝑏 < 𝑎𝑐 < 𝑎))
41 breq1 5072 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑐 → (𝑏 < 𝑑𝑐 < 𝑑))
4241rexbidv 3226 . . . . 5 (𝑏 = 𝑐 → (∃𝑑𝐴 𝑏 < 𝑑 ↔ ∃𝑑𝐴 𝑐 < 𝑑))
4340, 42imbi12d 348 . . . 4 (𝑏 = 𝑐 → ((𝑏 < 𝑎 → ∃𝑑𝐴 𝑏 < 𝑑) ↔ (𝑐 < 𝑎 → ∃𝑑𝐴 𝑐 < 𝑑)))
4443cbvralvw 3373 . . 3 (∀𝑏𝐵 (𝑏 < 𝑎 → ∃𝑑𝐴 𝑏 < 𝑑) ↔ ∀𝑐𝐵 (𝑐 < 𝑎 → ∃𝑑𝐴 𝑐 < 𝑑))
4539, 44bitr4di 292 . 2 ((𝜑𝑎𝐵) → (∀𝑐𝐵 (∀𝑏𝐴 𝑏 𝑐𝑎 𝑐) ↔ ∀𝑏𝐵 (𝑏 < 𝑎 → ∃𝑑𝐴 𝑏 < 𝑑)))
4613, 45anbi12d 634 1 ((𝜑𝑎𝐵) → ((∀𝑏𝐴 𝑏 𝑎 ∧ ∀𝑐𝐵 (∀𝑏𝐴 𝑏 𝑐𝑎 𝑐)) ↔ (∀𝑏𝐴 ¬ 𝑎 < 𝑏 ∧ ∀𝑏𝐵 (𝑏 < 𝑎 → ∃𝑑𝐴 𝑏 < 𝑑))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1543  wcel 2112  wral 3064  wrex 3065  wss 3883   class class class wbr 5069  cfv 6400  Basecbs 16792  lecple 16841  ltcplt 17847  Tosetctos 17954
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2710  ax-sep 5208  ax-nul 5215  ax-pr 5338
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2818  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3425  df-sbc 3712  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4456  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4836  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5152  df-id 5471  df-xp 5574  df-rel 5575  df-cnv 5576  df-co 5577  df-dm 5578  df-iota 6358  df-fun 6402  df-fv 6408  df-proset 17834  df-poset 17852  df-plt 17868  df-toset 17955
This theorem is referenced by:  toslub  31001  xrsclat  31039
  Copyright terms: Public domain W3C validator