Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  toslublem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem toslublem 31881
Description: Lemma for toslub 31882 and xrsclat 31920. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Feb-2018.) (Revised by NM, 15-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
toslub.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
toslub.l < = (ltβ€˜πΎ)
toslub.1 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Toset)
toslub.2 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝐡)
toslub.e ≀ = (leβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
toslublem ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ ((βˆ€π‘ ∈ 𝐴 𝑏 ≀ π‘Ž ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘ ∈ 𝐴 𝑏 ≀ 𝑐 β†’ π‘Ž ≀ 𝑐)) ↔ (βˆ€π‘ ∈ 𝐴 Β¬ π‘Ž < 𝑏 ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐡 (𝑏 < π‘Ž β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐴 𝑏 < 𝑑))))
Distinct variable groups:   π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑑, <   𝐴,π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑑   𝐡,π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑑   𝐾,π‘Ž,𝑏,𝑐   πœ‘,π‘Ž,𝑏,𝑐
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑑)   𝐾(𝑑)   ≀ (π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑑)

Proof of Theorem toslublem
StepHypRef Expression
1 toslub.1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Toset)
21ad2antrr 725 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ Toset)
3 simplr 768 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) β†’ π‘Ž ∈ 𝐡)
4 toslub.2 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝐡)
54adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ 𝐴 βŠ† 𝐡)
65sselda 3945 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) β†’ 𝑏 ∈ 𝐡)
7 toslub.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
8 toslub.e . . . . . 6 ≀ = (leβ€˜πΎ)
9 toslub.l . . . . . 6 < = (ltβ€˜πΎ)
107, 8, 9tltnle 18316 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Toset ∧ π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ (π‘Ž < 𝑏 ↔ Β¬ 𝑏 ≀ π‘Ž))
112, 3, 6, 10syl3anc 1372 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) β†’ (π‘Ž < 𝑏 ↔ Β¬ 𝑏 ≀ π‘Ž))
1211con2bid 355 . . 3 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) β†’ (𝑏 ≀ π‘Ž ↔ Β¬ π‘Ž < 𝑏))
1312ralbidva 3169 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ (βˆ€π‘ ∈ 𝐴 𝑏 ≀ π‘Ž ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 Β¬ π‘Ž < 𝑏))
144ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) β†’ 𝐴 βŠ† 𝐡)
15 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) β†’ 𝑏 ∈ 𝐴)
1614, 15sseldd 3946 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) β†’ 𝑏 ∈ 𝐡)
177, 8, 9tltnle 18316 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑐 ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ (𝑐 < 𝑏 ↔ Β¬ 𝑏 ≀ 𝑐))
181, 17syl3an1 1164 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ (𝑐 < 𝑏 ↔ Β¬ 𝑏 ≀ 𝑐))
19183expa 1119 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ (𝑐 < 𝑏 ↔ Β¬ 𝑏 ≀ 𝑐))
2019con2bid 355 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ (𝑏 ≀ 𝑐 ↔ Β¬ 𝑐 < 𝑏))
2116, 20syldan 592 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) β†’ (𝑏 ≀ 𝑐 ↔ Β¬ 𝑐 < 𝑏))
2221ralbidva 3169 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐡) β†’ (βˆ€π‘ ∈ 𝐴 𝑏 ≀ 𝑐 ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 Β¬ 𝑐 < 𝑏))
23 breq2 5110 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = 𝑑 β†’ (𝑐 < 𝑏 ↔ 𝑐 < 𝑑))
2423notbid 318 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = 𝑑 β†’ (Β¬ 𝑐 < 𝑏 ↔ Β¬ 𝑐 < 𝑑))
2524cbvralvw 3224 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘ ∈ 𝐴 Β¬ 𝑐 < 𝑏 ↔ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐴 Β¬ 𝑐 < 𝑑)
26 ralnex 3072 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘‘ ∈ 𝐴 Β¬ 𝑐 < 𝑑 ↔ Β¬ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐴 𝑐 < 𝑑)
2725, 26bitri 275 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘ ∈ 𝐴 Β¬ 𝑐 < 𝑏 ↔ Β¬ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐴 𝑐 < 𝑑)
2822, 27bitrdi 287 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐡) β†’ (βˆ€π‘ ∈ 𝐴 𝑏 ≀ 𝑐 ↔ Β¬ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐴 𝑐 < 𝑑))
2928adantlr 714 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) ∧ 𝑐 ∈ 𝐡) β†’ (βˆ€π‘ ∈ 𝐴 𝑏 ≀ 𝑐 ↔ Β¬ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐴 𝑐 < 𝑑))
301ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) ∧ 𝑐 ∈ 𝐡) β†’ 𝐾 ∈ Toset)
31 simpr 486 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) ∧ 𝑐 ∈ 𝐡) β†’ 𝑐 ∈ 𝐡)
32 simplr 768 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) ∧ 𝑐 ∈ 𝐡) β†’ π‘Ž ∈ 𝐡)
337, 8, 9tltnle 18316 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑐 ∈ 𝐡 ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ (𝑐 < π‘Ž ↔ Β¬ π‘Ž ≀ 𝑐))
3430, 31, 32, 33syl3anc 1372 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) ∧ 𝑐 ∈ 𝐡) β†’ (𝑐 < π‘Ž ↔ Β¬ π‘Ž ≀ 𝑐))
3534con2bid 355 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) ∧ 𝑐 ∈ 𝐡) β†’ (π‘Ž ≀ 𝑐 ↔ Β¬ 𝑐 < π‘Ž))
3629, 35imbi12d 345 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) ∧ 𝑐 ∈ 𝐡) β†’ ((βˆ€π‘ ∈ 𝐴 𝑏 ≀ 𝑐 β†’ π‘Ž ≀ 𝑐) ↔ (Β¬ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐴 𝑐 < 𝑑 β†’ Β¬ 𝑐 < π‘Ž)))
37 con34b 316 . . . . 5 ((𝑐 < π‘Ž β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐴 𝑐 < 𝑑) ↔ (Β¬ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐴 𝑐 < 𝑑 β†’ Β¬ 𝑐 < π‘Ž))
3836, 37bitr4di 289 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) ∧ 𝑐 ∈ 𝐡) β†’ ((βˆ€π‘ ∈ 𝐴 𝑏 ≀ 𝑐 β†’ π‘Ž ≀ 𝑐) ↔ (𝑐 < π‘Ž β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐴 𝑐 < 𝑑)))
3938ralbidva 3169 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ (βˆ€π‘ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘ ∈ 𝐴 𝑏 ≀ 𝑐 β†’ π‘Ž ≀ 𝑐) ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝐡 (𝑐 < π‘Ž β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐴 𝑐 < 𝑑)))
40 breq1 5109 . . . . 5 (𝑏 = 𝑐 β†’ (𝑏 < π‘Ž ↔ 𝑐 < π‘Ž))
41 breq1 5109 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑐 β†’ (𝑏 < 𝑑 ↔ 𝑐 < 𝑑))
4241rexbidv 3172 . . . . 5 (𝑏 = 𝑐 β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐴 𝑏 < 𝑑 ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐴 𝑐 < 𝑑))
4340, 42imbi12d 345 . . . 4 (𝑏 = 𝑐 β†’ ((𝑏 < π‘Ž β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐴 𝑏 < 𝑑) ↔ (𝑐 < π‘Ž β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐴 𝑐 < 𝑑)))
4443cbvralvw 3224 . . 3 (βˆ€π‘ ∈ 𝐡 (𝑏 < π‘Ž β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐴 𝑏 < 𝑑) ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝐡 (𝑐 < π‘Ž β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐴 𝑐 < 𝑑))
4539, 44bitr4di 289 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ (βˆ€π‘ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘ ∈ 𝐴 𝑏 ≀ 𝑐 β†’ π‘Ž ≀ 𝑐) ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝐡 (𝑏 < π‘Ž β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐴 𝑏 < 𝑑)))
4613, 45anbi12d 632 1 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ ((βˆ€π‘ ∈ 𝐴 𝑏 ≀ π‘Ž ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘ ∈ 𝐴 𝑏 ≀ 𝑐 β†’ π‘Ž ≀ 𝑐)) ↔ (βˆ€π‘ ∈ 𝐴 Β¬ π‘Ž < 𝑏 ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝐡 (𝑏 < π‘Ž β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐴 𝑏 < 𝑑))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   βŠ† wss 3911   class class class wbr 5106  β€˜cfv 6497  Basecbs 17088  lecple 17145  ltcplt 18202  Tosetctos 18310
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pr 5385
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fv 6505  df-proset 18189  df-poset 18207  df-plt 18224  df-toset 18311
This theorem is referenced by:  toslub  31882  xrsclat  31920
  Copyright terms: Public domain W3C validator