Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  toslublem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem toslublem 30581
Description: Lemma for toslub 30582 and xrsclat 30594. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Feb-2018.) (Revised by NM, 15-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
toslub.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
toslub.l < = (lt‘𝐾)
toslub.1 (𝜑𝐾 ∈ Toset)
toslub.2 (𝜑𝐴𝐵)
toslub.e = (le‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
toslublem ((𝜑𝑎𝐵) → ((∀𝑏𝐴 𝑏 𝑎 ∧ ∀𝑐𝐵 (∀𝑏𝐴 𝑏 𝑐𝑎 𝑐)) ↔ (∀𝑏𝐴 ¬ 𝑎 < 𝑏 ∧ ∀𝑏𝐵 (𝑏 < 𝑎 → ∃𝑑𝐴 𝑏 < 𝑑))))
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑐,𝑑, <   𝐴,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑   𝐵,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑   𝐾,𝑎,𝑏,𝑐   𝜑,𝑎,𝑏,𝑐
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑑)   𝐾(𝑑)   (𝑎,𝑏,𝑐,𝑑)

Proof of Theorem toslublem
StepHypRef Expression
1 toslub.1 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ Toset)
21ad2antrr 722 . . . . 5 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐴) → 𝐾 ∈ Toset)
3 simplr 765 . . . . 5 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐴) → 𝑎𝐵)
4 toslub.2 . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝐵)
54adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝐵) → 𝐴𝐵)
65sselda 3964 . . . . 5 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐴) → 𝑏𝐵)
7 toslub.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐾)
8 toslub.e . . . . . 6 = (le‘𝐾)
9 toslub.l . . . . . 6 < = (lt‘𝐾)
107, 8, 9tltnle 30576 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑎𝐵𝑏𝐵) → (𝑎 < 𝑏 ↔ ¬ 𝑏 𝑎))
112, 3, 6, 10syl3anc 1363 . . . 4 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐴) → (𝑎 < 𝑏 ↔ ¬ 𝑏 𝑎))
1211con2bid 356 . . 3 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐴) → (𝑏 𝑎 ↔ ¬ 𝑎 < 𝑏))
1312ralbidva 3193 . 2 ((𝜑𝑎𝐵) → (∀𝑏𝐴 𝑏 𝑎 ↔ ∀𝑏𝐴 ¬ 𝑎 < 𝑏))
144ad2antrr 722 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑐𝐵) ∧ 𝑏𝐴) → 𝐴𝐵)
15 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑐𝐵) ∧ 𝑏𝐴) → 𝑏𝐴)
1614, 15sseldd 3965 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑐𝐵) ∧ 𝑏𝐴) → 𝑏𝐵)
177, 8, 9tltnle 30576 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑐𝐵𝑏𝐵) → (𝑐 < 𝑏 ↔ ¬ 𝑏 𝑐))
181, 17syl3an1 1155 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑐𝐵𝑏𝐵) → (𝑐 < 𝑏 ↔ ¬ 𝑏 𝑐))
19183expa 1110 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑐𝐵) ∧ 𝑏𝐵) → (𝑐 < 𝑏 ↔ ¬ 𝑏 𝑐))
2019con2bid 356 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑐𝐵) ∧ 𝑏𝐵) → (𝑏 𝑐 ↔ ¬ 𝑐 < 𝑏))
2116, 20syldan 591 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑐𝐵) ∧ 𝑏𝐴) → (𝑏 𝑐 ↔ ¬ 𝑐 < 𝑏))
2221ralbidva 3193 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑐𝐵) → (∀𝑏𝐴 𝑏 𝑐 ↔ ∀𝑏𝐴 ¬ 𝑐 < 𝑏))
23 breq2 5061 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = 𝑑 → (𝑐 < 𝑏𝑐 < 𝑑))
2423notbid 319 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = 𝑑 → (¬ 𝑐 < 𝑏 ↔ ¬ 𝑐 < 𝑑))
2524cbvralvw 3447 . . . . . . . . 9 (∀𝑏𝐴 ¬ 𝑐 < 𝑏 ↔ ∀𝑑𝐴 ¬ 𝑐 < 𝑑)
26 ralnex 3233 . . . . . . . . 9 (∀𝑑𝐴 ¬ 𝑐 < 𝑑 ↔ ¬ ∃𝑑𝐴 𝑐 < 𝑑)
2725, 26bitri 276 . . . . . . . 8 (∀𝑏𝐴 ¬ 𝑐 < 𝑏 ↔ ¬ ∃𝑑𝐴 𝑐 < 𝑑)
2822, 27syl6bb 288 . . . . . . 7 ((𝜑𝑐𝐵) → (∀𝑏𝐴 𝑏 𝑐 ↔ ¬ ∃𝑑𝐴 𝑐 < 𝑑))
2928adantlr 711 . . . . . 6 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑐𝐵) → (∀𝑏𝐴 𝑏 𝑐 ↔ ¬ ∃𝑑𝐴 𝑐 < 𝑑))
301ad2antrr 722 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑐𝐵) → 𝐾 ∈ Toset)
31 simpr 485 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑐𝐵) → 𝑐𝐵)
32 simplr 765 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑐𝐵) → 𝑎𝐵)
337, 8, 9tltnle 30576 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑐𝐵𝑎𝐵) → (𝑐 < 𝑎 ↔ ¬ 𝑎 𝑐))
3430, 31, 32, 33syl3anc 1363 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑐𝐵) → (𝑐 < 𝑎 ↔ ¬ 𝑎 𝑐))
3534con2bid 356 . . . . . 6 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑐𝐵) → (𝑎 𝑐 ↔ ¬ 𝑐 < 𝑎))
3629, 35imbi12d 346 . . . . 5 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑐𝐵) → ((∀𝑏𝐴 𝑏 𝑐𝑎 𝑐) ↔ (¬ ∃𝑑𝐴 𝑐 < 𝑑 → ¬ 𝑐 < 𝑎)))
37 con34b 317 . . . . 5 ((𝑐 < 𝑎 → ∃𝑑𝐴 𝑐 < 𝑑) ↔ (¬ ∃𝑑𝐴 𝑐 < 𝑑 → ¬ 𝑐 < 𝑎))
3836, 37syl6bbr 290 . . . 4 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑐𝐵) → ((∀𝑏𝐴 𝑏 𝑐𝑎 𝑐) ↔ (𝑐 < 𝑎 → ∃𝑑𝐴 𝑐 < 𝑑)))
3938ralbidva 3193 . . 3 ((𝜑𝑎𝐵) → (∀𝑐𝐵 (∀𝑏𝐴 𝑏 𝑐𝑎 𝑐) ↔ ∀𝑐𝐵 (𝑐 < 𝑎 → ∃𝑑𝐴 𝑐 < 𝑑)))
40 breq1 5060 . . . . 5 (𝑏 = 𝑐 → (𝑏 < 𝑎𝑐 < 𝑎))
41 breq1 5060 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑐 → (𝑏 < 𝑑𝑐 < 𝑑))
4241rexbidv 3294 . . . . 5 (𝑏 = 𝑐 → (∃𝑑𝐴 𝑏 < 𝑑 ↔ ∃𝑑𝐴 𝑐 < 𝑑))
4340, 42imbi12d 346 . . . 4 (𝑏 = 𝑐 → ((𝑏 < 𝑎 → ∃𝑑𝐴 𝑏 < 𝑑) ↔ (𝑐 < 𝑎 → ∃𝑑𝐴 𝑐 < 𝑑)))
4443cbvralvw 3447 . . 3 (∀𝑏𝐵 (𝑏 < 𝑎 → ∃𝑑𝐴 𝑏 < 𝑑) ↔ ∀𝑐𝐵 (𝑐 < 𝑎 → ∃𝑑𝐴 𝑐 < 𝑑))
4539, 44syl6bbr 290 . 2 ((𝜑𝑎𝐵) → (∀𝑐𝐵 (∀𝑏𝐴 𝑏 𝑐𝑎 𝑐) ↔ ∀𝑏𝐵 (𝑏 < 𝑎 → ∃𝑑𝐴 𝑏 < 𝑑)))
4613, 45anbi12d 630 1 ((𝜑𝑎𝐵) → ((∀𝑏𝐴 𝑏 𝑎 ∧ ∀𝑐𝐵 (∀𝑏𝐴 𝑏 𝑐𝑎 𝑐)) ↔ (∀𝑏𝐴 ¬ 𝑎 < 𝑏 ∧ ∀𝑏𝐵 (𝑏 < 𝑎 → ∃𝑑𝐴 𝑏 < 𝑑))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wral 3135  wrex 3136  wss 3933   class class class wbr 5057  cfv 6348  Basecbs 16471  lecple 16560  ltcplt 17539  Tosetctos 17631
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pr 5320
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fv 6356  df-proset 17526  df-poset 17544  df-plt 17556  df-toset 17632
This theorem is referenced by:  toslub  30582  xrsclat  30594
  Copyright terms: Public domain W3C validator