MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mattposcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mattposcl 20582
Description: The transpose of a square matrix is a square matrix of the same size. (Contributed by SO, 9-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mattposcl.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mattposcl.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
Assertion
Ref Expression
mattposcl (𝑀𝐵 → tpos 𝑀𝐵)

Proof of Theorem mattposcl
StepHypRef Expression
1 mattposcl.a . . . . 5 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2 eqid 2797 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3 mattposcl.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐴)
41, 2, 3matbas2i 20550 . . . 4 (𝑀𝐵𝑀 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))
5 elmapi 8115 . . . 4 (𝑀 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) → 𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
6 tposf 7616 . . . 4 (𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅) → tpos 𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
74, 5, 63syl 18 . . 3 (𝑀𝐵 → tpos 𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
8 fvex 6422 . . . 4 (Base‘𝑅) ∈ V
91, 3matrcl 20540 . . . . . 6 (𝑀𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
109simpld 489 . . . . 5 (𝑀𝐵𝑁 ∈ Fin)
11 xpfi 8471 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑁 × 𝑁) ∈ Fin)
1211anidms 563 . . . . 5 (𝑁 ∈ Fin → (𝑁 × 𝑁) ∈ Fin)
1310, 12syl 17 . . . 4 (𝑀𝐵 → (𝑁 × 𝑁) ∈ Fin)
14 elmapg 8106 . . . 4 (((Base‘𝑅) ∈ V ∧ (𝑁 × 𝑁) ∈ Fin) → (tpos 𝑀 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ↔ tpos 𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅)))
158, 13, 14sylancr 582 . . 3 (𝑀𝐵 → (tpos 𝑀 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ↔ tpos 𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅)))
167, 15mpbird 249 . 2 (𝑀𝐵 → tpos 𝑀 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))
171, 2matbas2 20549 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐴))
189, 17syl 17 . . 3 (𝑀𝐵 → ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐴))
1918, 3syl6eqr 2849 . 2 (𝑀𝐵 → ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) = 𝐵)
2016, 19eleqtrd 2878 1 (𝑀𝐵 → tpos 𝑀𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 385   = wceq 1653  wcel 2157  Vcvv 3383   × cxp 5308  wf 6095  cfv 6099  (class class class)co 6876  tpos ctpos 7587  𝑚 cmap 8093  Fincfn 8193  Basecbs 16181   Mat cmat 20535
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2354  ax-ext 2775  ax-rep 4962  ax-sep 4973  ax-nul 4981  ax-pow 5033  ax-pr 5095  ax-un 7181  ax-cnex 10278  ax-resscn 10279  ax-1cn 10280  ax-icn 10281  ax-addcl 10282  ax-addrcl 10283  ax-mulcl 10284  ax-mulrcl 10285  ax-mulcom 10286  ax-addass 10287  ax-mulass 10288  ax-distr 10289  ax-i2m1 10290  ax-1ne0 10291  ax-1rid 10292  ax-rnegex 10293  ax-rrecex 10294  ax-cnre 10295  ax-pre-lttri 10296  ax-pre-lttrn 10297  ax-pre-ltadd 10298  ax-pre-mulgt0 10299
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2590  df-eu 2607  df-clab 2784  df-cleq 2790  df-clel 2793  df-nfc 2928  df-ne 2970  df-nel 3073  df-ral 3092  df-rex 3093  df-reu 3094  df-rab 3096  df-v 3385  df-sbc 3632  df-csb 3727  df-dif 3770  df-un 3772  df-in 3774  df-ss 3781  df-pss 3783  df-nul 4114  df-if 4276  df-pw 4349  df-sn 4367  df-pr 4369  df-tp 4371  df-op 4373  df-ot 4375  df-uni 4627  df-int 4666  df-iun 4710  df-br 4842  df-opab 4904  df-mpt 4921  df-tr 4944  df-id 5218  df-eprel 5223  df-po 5231  df-so 5232  df-fr 5269  df-we 5271  df-xp 5316  df-rel 5317  df-cnv 5318  df-co 5319  df-dm 5320  df-rn 5321  df-res 5322  df-ima 5323  df-pred 5896  df-ord 5942  df-on 5943  df-lim 5944  df-suc 5945  df-iota 6062  df-fun 6101  df-fn 6102  df-f 6103  df-f1 6104  df-fo 6105  df-f1o 6106  df-fv 6107  df-riota 6837  df-ov 6879  df-oprab 6880  df-mpt2 6881  df-om 7298  df-1st 7399  df-2nd 7400  df-supp 7531  df-tpos 7588  df-wrecs 7643  df-recs 7705  df-rdg 7743  df-1o 7797  df-oadd 7801  df-er 7980  df-map 8095  df-ixp 8147  df-en 8194  df-dom 8195  df-sdom 8196  df-fin 8197  df-fsupp 8516  df-sup 8588  df-pnf 10363  df-mnf 10364  df-xr 10365  df-ltxr 10366  df-le 10367  df-sub 10556  df-neg 10557  df-nn 11311  df-2 11372  df-3 11373  df-4 11374  df-5 11375  df-6 11376  df-7 11377  df-8 11378  df-9 11379  df-n0 11577  df-z 11663  df-dec 11780  df-uz 11927  df-fz 12577  df-struct 16183  df-ndx 16184  df-slot 16185  df-base 16187  df-sets 16188  df-ress 16189  df-plusg 16277  df-mulr 16278  df-sca 16280  df-vsca 16281  df-ip 16282  df-tset 16283  df-ple 16284  df-ds 16286  df-hom 16288  df-cco 16289  df-0g 16414  df-prds 16420  df-pws 16422  df-sra 19492  df-rgmod 19493  df-dsmm 20398  df-frlm 20413  df-mat 20536
This theorem is referenced by:  mattposvs  20584  mdettpos  20740  madutpos  20771  madulid  20774  mdetpmtr2  30398
  Copyright terms: Public domain W3C validator