MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mattposcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mattposcl 22459
Description: The transpose of a square matrix is a square matrix of the same size. (Contributed by SO, 9-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mattposcl.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mattposcl.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
Assertion
Ref Expression
mattposcl (𝑀𝐵 → tpos 𝑀𝐵)

Proof of Theorem mattposcl
StepHypRef Expression
1 mattposcl.a . . . . 5 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2 eqid 2737 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3 mattposcl.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐴)
41, 2, 3matbas2i 22428 . . . 4 (𝑀𝐵𝑀 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
5 elmapi 8889 . . . 4 (𝑀 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) → 𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
6 tposf 8279 . . . 4 (𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅) → tpos 𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
74, 5, 63syl 18 . . 3 (𝑀𝐵 → tpos 𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
8 fvex 6919 . . . 4 (Base‘𝑅) ∈ V
91, 3matrcl 22416 . . . . . 6 (𝑀𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
109simpld 494 . . . . 5 (𝑀𝐵𝑁 ∈ Fin)
11 xpfi 9358 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑁 × 𝑁) ∈ Fin)
1211anidms 566 . . . . 5 (𝑁 ∈ Fin → (𝑁 × 𝑁) ∈ Fin)
1310, 12syl 17 . . . 4 (𝑀𝐵 → (𝑁 × 𝑁) ∈ Fin)
14 elmapg 8879 . . . 4 (((Base‘𝑅) ∈ V ∧ (𝑁 × 𝑁) ∈ Fin) → (tpos 𝑀 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ↔ tpos 𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅)))
158, 13, 14sylancr 587 . . 3 (𝑀𝐵 → (tpos 𝑀 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ↔ tpos 𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅)))
167, 15mpbird 257 . 2 (𝑀𝐵 → tpos 𝑀 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
171, 2matbas2 22427 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐴))
189, 17syl 17 . . 3 (𝑀𝐵 → ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐴))
1918, 3eqtr4di 2795 . 2 (𝑀𝐵 → ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) = 𝐵)
2016, 19eleqtrd 2843 1 (𝑀𝐵 → tpos 𝑀𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  Vcvv 3480   × cxp 5683  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  tpos ctpos 8250  m cmap 8866  Fincfn 8985  Basecbs 17247   Mat cmat 22411
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-ot 4635  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-sup 9482  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17486  df-prds 17492  df-pws 17494  df-sra 21172  df-rgmod 21173  df-dsmm 21752  df-frlm 21767  df-mat 22412
This theorem is referenced by:  mattposvs  22461  mdettpos  22617  madutpos  22648  madulid  22651  mdetpmtr2  33823
  Copyright terms: Public domain W3C validator