Theorem mattposcl 22409

Description: The transpose of a square matrix is a square matrix of the same size. (Contributed by SO, 9-Jul-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
mattposcl.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mattposcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
mattposcl	⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → tpos 𝑀 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem mattposcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mattposcl.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3		mattposcl.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
4	1, 2, 3	matbas2i 22378	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑀 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
5		elmapi 8798	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) → 𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
6		tposf 8206	. . . 4 ⊢ (𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅) → tpos 𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
7	4, 5, 6	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → tpos 𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
8		fvex 6855	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) ∈ V
9	1, 3	matrcl 22368	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
10	9	simpld 494	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑁 ∈ Fin)
11		xpfi 9232	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑁 × 𝑁) ∈ Fin)
12	11	anidms 566	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → (𝑁 × 𝑁) ∈ Fin)
13	10, 12	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → (𝑁 × 𝑁) ∈ Fin)
14		elmapg 8788	. . . 4 ⊢ (((Base‘𝑅) ∈ V ∧ (𝑁 × 𝑁) ∈ Fin) → (tpos 𝑀 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ↔ tpos 𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅)))
15	8, 13, 14	sylancr 588	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → (tpos 𝑀 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ↔ tpos 𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅)))
16	7, 15	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → tpos 𝑀 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
17	1, 2	matbas2 22377	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐴))
18	9, 17	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐴))
19	18, 3	eqtr4di 2790	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) = 𝐵)
20	16, 19	eleqtrd 2839	1 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → tpos 𝑀 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3442   × cxp 5630  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  tpos ctpos 8177   ↑_m cmap 8775  Fincfn 8895  Basecbs 17148   Mat cmat 22363

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-ot 4591  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-supp 8113  df-tpos 8178  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-map 8777  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9277  df-sup 9357  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-fz 13436  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-sca 17205  df-vsca 17206  df-ip 17207  df-tset 17208  df-ple 17209  df-ds 17211  df-hom 17213  df-cco 17214  df-0g 17373  df-prds 17379  df-pws 17381  df-sra 21137  df-rgmod 21138  df-dsmm 21699  df-frlm 21714  df-mat 22364

This theorem is referenced by:  mattposvs  22411  mdettpos  22567  madutpos  22598  madulid  22601  mdetpmtr2  34001