Theorem tposmap 21606

Description: The transposition of an I X J -matrix is a J X I -matrix, see also the statement in [Lang] p. 505. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Jul-2018.)

Assertion

Ref	Expression
tposmap	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (𝐼 × 𝐽)) → tpos 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (𝐽 × 𝐼)))

Proof of Theorem tposmap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapi 8637	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (𝐼 × 𝐽)) → 𝐴:(𝐼 × 𝐽)⟶𝐵)
2		tposf 8070	. . 3 ⊢ (𝐴:(𝐼 × 𝐽)⟶𝐵 → tpos 𝐴:(𝐽 × 𝐼)⟶𝐵)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (𝐼 × 𝐽)) → tpos 𝐴:(𝐽 × 𝐼)⟶𝐵)
4		elmapex 8636	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (𝐼 × 𝐽)) → (𝐵 ∈ V ∧ (𝐼 × 𝐽) ∈ V))
5		cnvxp 6060	. . . . 5 ⊢ ◡(𝐼 × 𝐽) = (𝐽 × 𝐼)
6		cnvexg 7771	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 × 𝐽) ∈ V → ◡(𝐼 × 𝐽) ∈ V)
7	5, 6	eqeltrrid 2844	. . . 4 ⊢ ((𝐼 × 𝐽) ∈ V → (𝐽 × 𝐼) ∈ V)
8	7	anim2i 617	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ (𝐼 × 𝐽) ∈ V) → (𝐵 ∈ V ∧ (𝐽 × 𝐼) ∈ V))
9		elmapg 8628	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ (𝐽 × 𝐼) ∈ V) → (tpos 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (𝐽 × 𝐼)) ↔ tpos 𝐴:(𝐽 × 𝐼)⟶𝐵))
10	4, 8, 9	3syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (𝐼 × 𝐽)) → (tpos 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (𝐽 × 𝐼)) ↔ tpos 𝐴:(𝐽 × 𝐼)⟶𝐵))
11	3, 10	mpbird 256	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (𝐼 × 𝐽)) → tpos 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (𝐽 × 𝐼)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106  Vcvv 3432   × cxp 5587  ^◡ccnv 5588  ⟶wf 6429  (class class class)co 7275  tpos ctpos 8041   ↑_m cmap 8615

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-fo 6439  df-fv 6441  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-tpos 8042  df-map 8617

This theorem is referenced by:  mamutpos  21607