Theorem tposmap 22365

Description: The transposition of an I X J -matrix is a J X I -matrix, see also the statement in [Lang] p. 505. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Jul-2018.)

Assertion

Ref	Expression
tposmap	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (𝐼 × 𝐽)) → tpos 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (𝐽 × 𝐼)))

Proof of Theorem tposmap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapi 8768	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (𝐼 × 𝐽)) → 𝐴:(𝐼 × 𝐽)⟶𝐵)
2		tposf 8179	. . 3 ⊢ (𝐴:(𝐼 × 𝐽)⟶𝐵 → tpos 𝐴:(𝐽 × 𝐼)⟶𝐵)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (𝐼 × 𝐽)) → tpos 𝐴:(𝐽 × 𝐼)⟶𝐵)
4		elmapex 8767	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (𝐼 × 𝐽)) → (𝐵 ∈ V ∧ (𝐼 × 𝐽) ∈ V))
5		cnvxp 6101	. . . . 5 ⊢ ◡(𝐼 × 𝐽) = (𝐽 × 𝐼)
6		cnvexg 7849	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 × 𝐽) ∈ V → ◡(𝐼 × 𝐽) ∈ V)
7	5, 6	eqeltrrid 2834	. . . 4 ⊢ ((𝐼 × 𝐽) ∈ V → (𝐽 × 𝐼) ∈ V)
8	7	anim2i 617	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ (𝐼 × 𝐽) ∈ V) → (𝐵 ∈ V ∧ (𝐽 × 𝐼) ∈ V))
9		elmapg 8758	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ (𝐽 × 𝐼) ∈ V) → (tpos 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (𝐽 × 𝐼)) ↔ tpos 𝐴:(𝐽 × 𝐼)⟶𝐵))
10	4, 8, 9	3syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (𝐼 × 𝐽)) → (tpos 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (𝐽 × 𝐼)) ↔ tpos 𝐴:(𝐽 × 𝐼)⟶𝐵))
11	3, 10	mpbird 257	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (𝐼 × 𝐽)) → tpos 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (𝐽 × 𝐼)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2110  Vcvv 3434   × cxp 5612  ^◡ccnv 5613  ⟶wf 6473  (class class class)co 7341  tpos ctpos 8150   ↑_m cmap 8745

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-fo 6483  df-fv 6485  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-tpos 8151  df-map 8747

This theorem is referenced by:  mamutpos  22366