Theorem tposmap 22484

Description: The transposition of an I X J -matrix is a J X I -matrix, see also the statement in [Lang] p. 505. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Jul-2018.)

Assertion

Ref	Expression
tposmap	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (𝐼 × 𝐽)) → tpos 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (𝐽 × 𝐼)))

Proof of Theorem tposmap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapi 8907	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (𝐼 × 𝐽)) → 𝐴:(𝐼 × 𝐽)⟶𝐵)
2		tposf 8295	. . 3 ⊢ (𝐴:(𝐼 × 𝐽)⟶𝐵 → tpos 𝐴:(𝐽 × 𝐼)⟶𝐵)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (𝐼 × 𝐽)) → tpos 𝐴:(𝐽 × 𝐼)⟶𝐵)
4		elmapex 8906	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (𝐼 × 𝐽)) → (𝐵 ∈ V ∧ (𝐼 × 𝐽) ∈ V))
5		cnvxp 6188	. . . . 5 ⊢ ◡(𝐼 × 𝐽) = (𝐽 × 𝐼)
6		cnvexg 7964	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 × 𝐽) ∈ V → ◡(𝐼 × 𝐽) ∈ V)
7	5, 6	eqeltrrid 2849	. . . 4 ⊢ ((𝐼 × 𝐽) ∈ V → (𝐽 × 𝐼) ∈ V)
8	7	anim2i 616	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ (𝐼 × 𝐽) ∈ V) → (𝐵 ∈ V ∧ (𝐽 × 𝐼) ∈ V))
9		elmapg 8897	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ (𝐽 × 𝐼) ∈ V) → (tpos 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (𝐽 × 𝐼)) ↔ tpos 𝐴:(𝐽 × 𝐼)⟶𝐵))
10	4, 8, 9	3syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (𝐼 × 𝐽)) → (tpos 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (𝐽 × 𝐼)) ↔ tpos 𝐴:(𝐽 × 𝐼)⟶𝐵))
11	3, 10	mpbird 257	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (𝐼 × 𝐽)) → tpos 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (𝐽 × 𝐼)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108  Vcvv 3488   × cxp 5698  ^◡ccnv 5699  ⟶wf 6569  (class class class)co 7448  tpos ctpos 8266   ↑_m cmap 8884

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-fo 6579  df-fv 6581  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-tpos 8267  df-map 8886

This theorem is referenced by:  mamutpos  22485