Theorem tposmap 22773

Description: The transposition of an I X J -matrix is a J X I -matrix, see also the statement in [Lang] p. 505. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Jul-2018.)

Assertion

Ref	Expression
tposmap	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (𝐼 × 𝐽)) → tpos 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (𝐽 × 𝐼)))

Proof of Theorem tposmap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapi 8870	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (𝐼 × 𝐽)) → 𝐴:(𝐼 × 𝐽)⟶𝐵)
2		tposf 8272	. . 3 ⊢ (𝐴:(𝐼 × 𝐽)⟶𝐵 → tpos 𝐴:(𝐽 × 𝐼)⟶𝐵)
3	1, 2	syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (𝐼 × 𝐽)) → tpos 𝐴:(𝐽 × 𝐼)⟶𝐵)
4		elmapex 8869	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (𝐼 × 𝐽)) → (𝐵 ∈ V ∧ (𝐼 × 𝐽) ∈ V))
5		cnvxp 6146	. . . . 5 ⊢ ◡(𝐼 × 𝐽) = (𝐽 × 𝐼)
6		cnvexg 7936	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 × 𝐽) ∈ V → ◡(𝐼 × 𝐽) ∈ V)
7	5, 6	eqeltrrid 2865	. . . 4 ⊢ ((𝐼 × 𝐽) ∈ V → (𝐽 × 𝐼) ∈ V)
8	7	anim2i 629	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ (𝐼 × 𝐽) ∈ V) → (𝐵 ∈ V ∧ (𝐽 × 𝐼) ∈ V))
9		elmapg 8860	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ (𝐽 × 𝐼) ∈ V) → (tpos 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (𝐽 × 𝐼)) ↔ tpos 𝐴:(𝐽 × 𝐼)⟶𝐵))
10	4, 8, 9	3syl 19	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (𝐼 × 𝐽)) → (tpos 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (𝐽 × 𝐼)) ↔ tpos 𝐴:(𝐽 × 𝐼)⟶𝐵))
11	3, 10	mpbird 260	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (𝐼 × 𝐽)) → tpos 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (𝐽 × 𝐼)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450   × cxp 5648  ^◡ccnv 5649  ⟶wf 6534  (class class class)co 7420  tpos ctpos 8243   ↑_m cmap 8848

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-fo 6544  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-tpos 8244  df-map 8850

This theorem is used by:  mamutpos  22774