Theorem tposmap 22405

Description: The transposition of an I X J -matrix is a J X I -matrix, see also the statement in [Lang] p. 505. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Jul-2018.)

Assertion

Ref	Expression
tposmap	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (𝐼 × 𝐽)) → tpos 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (𝐽 × 𝐼)))

Proof of Theorem tposmap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapi 8790	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (𝐼 × 𝐽)) → 𝐴:(𝐼 × 𝐽)⟶𝐵)
2		tposf 8198	. . 3 ⊢ (𝐴:(𝐼 × 𝐽)⟶𝐵 → tpos 𝐴:(𝐽 × 𝐼)⟶𝐵)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (𝐼 × 𝐽)) → tpos 𝐴:(𝐽 × 𝐼)⟶𝐵)
4		elmapex 8789	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (𝐼 × 𝐽)) → (𝐵 ∈ V ∧ (𝐼 × 𝐽) ∈ V))
5		cnvxp 6116	. . . . 5 ⊢ ◡(𝐼 × 𝐽) = (𝐽 × 𝐼)
6		cnvexg 7868	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 × 𝐽) ∈ V → ◡(𝐼 × 𝐽) ∈ V)
7	5, 6	eqeltrrid 2842	. . . 4 ⊢ ((𝐼 × 𝐽) ∈ V → (𝐽 × 𝐼) ∈ V)
8	7	anim2i 618	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ (𝐼 × 𝐽) ∈ V) → (𝐵 ∈ V ∧ (𝐽 × 𝐼) ∈ V))
9		elmapg 8780	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ (𝐽 × 𝐼) ∈ V) → (tpos 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (𝐽 × 𝐼)) ↔ tpos 𝐴:(𝐽 × 𝐼)⟶𝐵))
10	4, 8, 9	3syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (𝐼 × 𝐽)) → (tpos 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (𝐽 × 𝐼)) ↔ tpos 𝐴:(𝐽 × 𝐼)⟶𝐵))
11	3, 10	mpbird 257	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (𝐼 × 𝐽)) → tpos 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m (𝐽 × 𝐼)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114  Vcvv 3441   × cxp 5623  ^◡ccnv 5624  ⟶wf 6489  (class class class)co 7360  tpos ctpos 8169   ↑_m cmap 8767

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-fo 6499  df-fv 6501  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-tpos 8170  df-map 8769

This theorem is referenced by:  mamutpos  22406