Theorem tposf1o 49992

Description: Condition of a bijective transposition. (Contributed by Zhi Wang, 5-Oct-2025.)

Assertion

Ref	Expression
tposf1o	⊢ (𝐹:(𝐴 × 𝐵)–1-1-onto→𝐶 → tpos 𝐹:(𝐵 × 𝐴)–1-1-onto→𝐶)

Proof of Theorem tposf1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relxp 5668	. . 3 ⊢ Rel (𝐴 × 𝐵)
2		tposf1o2 8269	. . 3 ⊢ (Rel (𝐴 × 𝐵) → (𝐹:(𝐴 × 𝐵)–1-1-onto→𝐶 → tpos 𝐹:◡(𝐴 × 𝐵)–1-1-onto→𝐶))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐹:(𝐴 × 𝐵)–1-1-onto→𝐶 → tpos 𝐹:◡(𝐴 × 𝐵)–1-1-onto→𝐶)
4		cnvxp 6146	. . 3 ⊢ ◡(𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴)
5		f1oeq2 6813	. . 3 ⊢ (◡(𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴) → (tpos 𝐹:◡(𝐴 × 𝐵)–1-1-onto→𝐶 ↔ tpos 𝐹:(𝐵 × 𝐴)–1-1-onto→𝐶))
6	4, 5	ax-mp 5	. 2 ⊢ (tpos 𝐹:◡(𝐴 × 𝐵)–1-1-onto→𝐶 ↔ tpos 𝐹:(𝐵 × 𝐴)–1-1-onto→𝐶)
7	3, 6	sylib 221	1 ⊢ (𝐹:(𝐴 × 𝐵)–1-1-onto→𝐶 → tpos 𝐹:(𝐵 × 𝐴)–1-1-onto→𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1569   × cxp 5648  ^◡ccnv 5649  Rel wrel 5655  –1-1-onto→wf1o 6537  tpos ctpos 8242

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-tpos 8243

This theorem is used by:  tposidf1o  49995