Theorem tposf1o 49375

Description: Condition of a bijective transposition. (Contributed by Zhi Wang, 5-Oct-2025.)

Assertion

Ref	Expression
tposf1o	⊢ (𝐹:(𝐴 × 𝐵)–1-1-onto→𝐶 → tpos 𝐹:(𝐵 × 𝐴)–1-1-onto→𝐶)

Proof of Theorem tposf1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relxp 5644	. . 3 ⊢ Rel (𝐴 × 𝐵)
2		tposf1o2 8197	. . 3 ⊢ (Rel (𝐴 × 𝐵) → (𝐹:(𝐴 × 𝐵)–1-1-onto→𝐶 → tpos 𝐹:◡(𝐴 × 𝐵)–1-1-onto→𝐶))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐹:(𝐴 × 𝐵)–1-1-onto→𝐶 → tpos 𝐹:◡(𝐴 × 𝐵)–1-1-onto→𝐶)
4		cnvxp 6117	. . 3 ⊢ ◡(𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴)
5		f1oeq2 6765	. . 3 ⊢ (◡(𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴) → (tpos 𝐹:◡(𝐴 × 𝐵)–1-1-onto→𝐶 ↔ tpos 𝐹:(𝐵 × 𝐴)–1-1-onto→𝐶))
6	4, 5	ax-mp 5	. 2 ⊢ (tpos 𝐹:◡(𝐴 × 𝐵)–1-1-onto→𝐶 ↔ tpos 𝐹:(𝐵 × 𝐴)–1-1-onto→𝐶)
7	3, 6	sylib 218	1 ⊢ (𝐹:(𝐴 × 𝐵)–1-1-onto→𝐶 → tpos 𝐹:(𝐵 × 𝐴)–1-1-onto→𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1542   × cxp 5624  ^◡ccnv 5625  Rel wrel 5631  –1-1-onto→wf1o 6493  tpos ctpos 8170

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5521  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-1st 7937  df-2nd 7938  df-tpos 8171

This theorem is referenced by:  tposidf1o  49378