Theorem tposf1o 49875

Description: Condition of a bijective transposition. (Contributed by Zhi Wang, 5-Oct-2025.)

Assertion

Ref	Expression
tposf1o	⊢ (𝐹:(𝐴 × 𝐵)–1-1-onto→𝐶 → tpos 𝐹:(𝐵 × 𝐴)–1-1-onto→𝐶)

Proof of Theorem tposf1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relxp 5673	. . 3 ⊢ Rel (𝐴 × 𝐵)
2		tposf1o2 8255	. . 3 ⊢ (Rel (𝐴 × 𝐵) → (𝐹:(𝐴 × 𝐵)–1-1-onto→𝐶 → tpos 𝐹:◡(𝐴 × 𝐵)–1-1-onto→𝐶))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐹:(𝐴 × 𝐵)–1-1-onto→𝐶 → tpos 𝐹:◡(𝐴 × 𝐵)–1-1-onto→𝐶)
4		cnvxp 6150	. . 3 ⊢ ◡(𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴)
5		f1oeq2 6809	. . 3 ⊢ (◡(𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴) → (tpos 𝐹:◡(𝐴 × 𝐵)–1-1-onto→𝐶 ↔ tpos 𝐹:(𝐵 × 𝐴)–1-1-onto→𝐶))
6	4, 5	ax-mp 5	. 2 ⊢ (tpos 𝐹:◡(𝐴 × 𝐵)–1-1-onto→𝐶 ↔ tpos 𝐹:(𝐵 × 𝐴)–1-1-onto→𝐶)
7	3, 6	sylib 221	1 ⊢ (𝐹:(𝐴 × 𝐵)–1-1-onto→𝐶 → tpos 𝐹:(𝐵 × 𝐴)–1-1-onto→𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   × cxp 5653  ^◡ccnv 5654  Rel wrel 5660  –1-1-onto→wf1o 6534  tpos ctpos 8228

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7742

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6491  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-tpos 8229

This theorem is used by:  tposidf1o  49878