Theorem tposf1o 49150

Description: Condition of a bijective transposition. (Contributed by Zhi Wang, 5-Oct-2025.)

Assertion

Ref	Expression
tposf1o	⊢ (𝐹:(𝐴 × 𝐵)–1-1-onto→𝐶 → tpos 𝐹:(𝐵 × 𝐴)–1-1-onto→𝐶)

Proof of Theorem tposf1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relxp 5642	. . 3 ⊢ Rel (𝐴 × 𝐵)
2		tposf1o2 8194	. . 3 ⊢ (Rel (𝐴 × 𝐵) → (𝐹:(𝐴 × 𝐵)–1-1-onto→𝐶 → tpos 𝐹:◡(𝐴 × 𝐵)–1-1-onto→𝐶))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐹:(𝐴 × 𝐵)–1-1-onto→𝐶 → tpos 𝐹:◡(𝐴 × 𝐵)–1-1-onto→𝐶)
4		cnvxp 6115	. . 3 ⊢ ◡(𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴)
5		f1oeq2 6763	. . 3 ⊢ (◡(𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴) → (tpos 𝐹:◡(𝐴 × 𝐵)–1-1-onto→𝐶 ↔ tpos 𝐹:(𝐵 × 𝐴)–1-1-onto→𝐶))
6	4, 5	ax-mp 5	. 2 ⊢ (tpos 𝐹:◡(𝐴 × 𝐵)–1-1-onto→𝐶 ↔ tpos 𝐹:(𝐵 × 𝐴)–1-1-onto→𝐶)
7	3, 6	sylib 218	1 ⊢ (𝐹:(𝐴 × 𝐵)–1-1-onto→𝐶 → tpos 𝐹:(𝐵 × 𝐴)–1-1-onto→𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1541   × cxp 5622  ^◡ccnv 5623  Rel wrel 5629  –1-1-onto→wf1o 6491  tpos ctpos 8167

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-tpos 8168

This theorem is referenced by:  tposidf1o  49153