Theorem tposf1o 49382

Description: Condition of a bijective transposition. (Contributed by Zhi Wang, 5-Oct-2025.)

Assertion

Ref	Expression
tposf1o	⊢ (𝐹:(𝐴 × 𝐵)–1-1-onto→𝐶 → tpos 𝐹:(𝐵 × 𝐴)–1-1-onto→𝐶)

Proof of Theorem tposf1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relxp 5637	. . 3 ⊢ Rel (𝐴 × 𝐵)
2		tposf1o2 8193	. . 3 ⊢ (Rel (𝐴 × 𝐵) → (𝐹:(𝐴 × 𝐵)–1-1-onto→𝐶 → tpos 𝐹:◡(𝐴 × 𝐵)–1-1-onto→𝐶))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐹:(𝐴 × 𝐵)–1-1-onto→𝐶 → tpos 𝐹:◡(𝐴 × 𝐵)–1-1-onto→𝐶)
4		cnvxp 6109	. . 3 ⊢ ◡(𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴)
5		f1oeq2 6757	. . 3 ⊢ (◡(𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴) → (tpos 𝐹:◡(𝐴 × 𝐵)–1-1-onto→𝐶 ↔ tpos 𝐹:(𝐵 × 𝐴)–1-1-onto→𝐶))
6	4, 5	ax-mp 5	. 2 ⊢ (tpos 𝐹:◡(𝐴 × 𝐵)–1-1-onto→𝐶 ↔ tpos 𝐹:(𝐵 × 𝐴)–1-1-onto→𝐶)
7	3, 6	sylib 219	1 ⊢ (𝐹:(𝐴 × 𝐵)–1-1-onto→𝐶 → tpos 𝐹:(𝐵 × 𝐴)–1-1-onto→𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   = wceq 1547   × cxp 5617  ^◡ccnv 5618  Rel wrel 5624  –1-1-onto→wf1o 6485  tpos ctpos 8166

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-op 4563  df-uni 4840  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-1st 7932  df-2nd 7933  df-tpos 8167

This theorem is referenced by:  tposidf1o  49385