Theorem tposresxp 48993

Description: The transposition restricted to a Cartesian product. (Contributed by Zhi Wang, 6-Oct-2025.)

Assertion

Ref	Expression
tposresxp	⊢ (tpos 𝐹 ↾ (𝐴 × 𝐵)) = tpos (𝐹 ↾ (𝐵 × 𝐴))

Proof of Theorem tposresxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relxp 5632	. . 3 ⊢ Rel (𝐴 × 𝐵)
2		tposres 48992	. . 3 ⊢ (Rel (𝐴 × 𝐵) → (tpos 𝐹 ↾ (𝐴 × 𝐵)) = tpos (𝐹 ↾ ◡(𝐴 × 𝐵)))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (tpos 𝐹 ↾ (𝐴 × 𝐵)) = tpos (𝐹 ↾ ◡(𝐴 × 𝐵))
4		cnvxp 6104	. . . 4 ⊢ ◡(𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴)
5	4	reseq2i 5924	. . 3 ⊢ (𝐹 ↾ ◡(𝐴 × 𝐵)) = (𝐹 ↾ (𝐵 × 𝐴))
6	5	tposeqi 8189	. 2 ⊢ tpos (𝐹 ↾ ◡(𝐴 × 𝐵)) = tpos (𝐹 ↾ (𝐵 × 𝐴))
7	3, 6	eqtri 2754	1 ⊢ (tpos 𝐹 ↾ (𝐴 × 𝐵)) = tpos (𝐹 ↾ (𝐵 × 𝐴))

Syntax hints:   = wceq 1541   × cxp 5612  ^◡ccnv 5613   ↾ cres 5616  Rel wrel 5619  tpos ctpos 8155

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-tpos 8156

This theorem is referenced by: (None)