Theorem tposideq2 50333

Description: Two ways of expressing the swap function. (Contributed by Zhi Wang, 6-Oct-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
tposideq2.1	⊢ 𝑅 = (𝐴 × 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
tposideq2	⊢ (tpos I ↾ 𝑅) = (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ∪ ◡{𝑥})

Distinct variable group:   𝑥,𝑅

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem tposideq2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relxp 5676	. . 3 ⊢ Rel (𝐴 × 𝐵)
2		tposideq2.1	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (𝐴 × 𝐵)
3	2	releqi 5762	. . 3 ⊢ (Rel 𝑅 ↔ Rel (𝐴 × 𝐵))
4	1, 3	mpbir 234	. 2 ⊢ Rel 𝑅
5		tposideq 50332	. 2 ⊢ (Rel 𝑅 → (tpos I ↾ 𝑅) = (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ∪ ◡{𝑥}))
6	4, 5	ax-mp 5	1 ⊢ (tpos I ↾ 𝑅) = (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ∪ ◡{𝑥})

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570  {csn 4588  ∪ cuni 4872   ↦ cmpt 5192   I cid 5552   × cxp 5656  ^◡ccnv 5657   ↾ cres 5660  Rel wrel 5663  tpos ctpos 8280

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-ov 7454  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-tpos 8281

This theorem is used by:  dfswapf2  50714