Theorem tposideq2 49379

Description: Two ways of expressing the swap function. (Contributed by Zhi Wang, 6-Oct-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
tposideq2.1	⊢ 𝑅 = (𝐴 × 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
tposideq2	⊢ (tpos I ↾ 𝑅) = (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ∪ ◡{𝑥})

Distinct variable group:   𝑥,𝑅

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem tposideq2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relxp 5636	. . 3 ⊢ Rel (𝐴 × 𝐵)
2		tposideq2.1	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (𝐴 × 𝐵)
3	2	releqi 5721	. . 3 ⊢ (Rel 𝑅 ↔ Rel (𝐴 × 𝐵))
4	1, 3	mpbir 232	. 2 ⊢ Rel 𝑅
5		tposideq 49378	. 2 ⊢ (Rel 𝑅 → (tpos I ↾ 𝑅) = (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ∪ ◡{𝑥}))
6	4, 5	ax-mp 5	1 ⊢ (tpos I ↾ 𝑅) = (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ∪ ◡{𝑥})

Syntax hints:   = wceq 1547  {csn 4555  ∪ cuni 4838   ↦ cmpt 5153   I cid 5512   × cxp 5616  ^◡ccnv 5617   ↾ cres 5620  Rel wrel 5623  tpos ctpos 8165

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-ov 7359  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-tpos 8166

This theorem is referenced by:  dfswapf2  49751