Theorem tposideq2 48873

Description: Two ways of expressing the swap function. (Contributed by Zhi Wang, 6-Oct-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
tposideq2.1	⊢ 𝑅 = (𝐴 × 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
tposideq2	⊢ (tpos I ↾ 𝑅) = (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ∪ ◡{𝑥})

Distinct variable group:   𝑥,𝑅

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem tposideq2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relxp 5637	. . 3 ⊢ Rel (𝐴 × 𝐵)
2		tposideq2.1	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (𝐴 × 𝐵)
3	2	releqi 5721	. . 3 ⊢ (Rel 𝑅 ↔ Rel (𝐴 × 𝐵))
4	1, 3	mpbir 231	. 2 ⊢ Rel 𝑅
5		tposideq 48872	. 2 ⊢ (Rel 𝑅 → (tpos I ↾ 𝑅) = (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ∪ ◡{𝑥}))
6	4, 5	ax-mp 5	1 ⊢ (tpos I ↾ 𝑅) = (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ∪ ◡{𝑥})

Syntax hints:   = wceq 1540  {csn 4577  ∪ cuni 4858   ↦ cmpt 5173   I cid 5513   × cxp 5617  ^◡ccnv 5618   ↾ cres 5621  Rel wrel 5624  tpos ctpos 8158

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-ov 7352  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-tpos 8159

This theorem is referenced by:  dfswapf2  49246