Theorem tposideq2 48865

Description: Two ways of expressing the swap function. (Contributed by Zhi Wang, 6-Oct-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
tposideq2.1	⊢ 𝑅 = (𝐴 × 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
tposideq2	⊢ (tpos I ↾ 𝑅) = (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ∪ ◡{𝑥})

Distinct variable group:   𝑥,𝑅

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem tposideq2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relxp 5658	. . 3 ⊢ Rel (𝐴 × 𝐵)
2		tposideq2.1	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (𝐴 × 𝐵)
3	2	releqi 5742	. . 3 ⊢ (Rel 𝑅 ↔ Rel (𝐴 × 𝐵))
4	1, 3	mpbir 231	. 2 ⊢ Rel 𝑅
5		tposideq 48864	. 2 ⊢ (Rel 𝑅 → (tpos I ↾ 𝑅) = (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ∪ ◡{𝑥}))
6	4, 5	ax-mp 5	1 ⊢ (tpos I ↾ 𝑅) = (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ∪ ◡{𝑥})

Syntax hints:   = wceq 1540  {csn 4591  ∪ cuni 4873   ↦ cmpt 5190   I cid 5534   × cxp 5638  ^◡ccnv 5639   ↾ cres 5642  Rel wrel 5645  tpos ctpos 8206

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5535  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-ov 7392  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-tpos 8207

This theorem is referenced by:  dfswapf2  49232