Theorem tposideq2 48772

Description: Two ways of expressing the swap function. (Contributed by Zhi Wang, 6-Oct-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
tposideq2.1	⊢ 𝑅 = (𝐴 × 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
tposideq2	⊢ (tpos I ↾ 𝑅) = (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ∪ ◡{𝑥})

Distinct variable group:   𝑥,𝑅

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem tposideq2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relxp 5683	. . 3 ⊢ Rel (𝐴 × 𝐵)
2		tposideq2.1	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (𝐴 × 𝐵)
3	2	releqi 5767	. . 3 ⊢ (Rel 𝑅 ↔ Rel (𝐴 × 𝐵))
4	1, 3	mpbir 231	. 2 ⊢ Rel 𝑅
5		tposideq 48771	. 2 ⊢ (Rel 𝑅 → (tpos I ↾ 𝑅) = (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ∪ ◡{𝑥}))
6	4, 5	ax-mp 5	1 ⊢ (tpos I ↾ 𝑅) = (𝑥 ∈ 𝑅 ↦ ∪ ◡{𝑥})

Syntax hints:   = wceq 1539  {csn 4606  ∪ cuni 4887   ↦ cmpt 5205   I cid 5557   × cxp 5663  ^◡ccnv 5664   ↾ cres 5667  Rel wrel 5670  tpos ctpos 8232

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-id 5558  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-ov 7416  df-1st 7996  df-2nd 7997  df-tpos 8233

This theorem is referenced by:  dfswapf2  49012