Theorem tposres 50102

Description: The transposition restricted to a relation. (Contributed by Zhi Wang, 6-Oct-2025.)

Assertion

Ref	Expression
tposres	⊢ (Rel 𝑅 → (tpos 𝐹 ↾ 𝑅) = tpos (𝐹 ↾ ◡𝑅))

Proof of Theorem tposres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nelrel0 5710	. . 3 ⊢ (Rel 𝑅 → ¬ ∅ ∈ 𝑅)
2		nel2nelin 4104	. . 3 ⊢ (¬ ∅ ∈ 𝑅 → ¬ ∅ ∈ (dom 𝐹 ∩ 𝑅))
3	1, 2	syl 18	. 2 ⊢ (Rel 𝑅 → ¬ ∅ ∈ (dom 𝐹 ∩ 𝑅))
4	3	tposres3 50101	1 ⊢ (Rel 𝑅 → (tpos 𝐹 ↾ 𝑅) = tpos (𝐹 ↾ ◡𝑅))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ∩ cin 4088  ∅c0 4277  ^◡ccnv 5649  dom cdm 5650   ↾ cres 5652  Rel wrel 5655  tpos ctpos 8247

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-tpos 8248

This theorem is used by:  tposresxp  50103  tposideq  50108