Theorem tposres 48913

Description: The transposition restricted to a relation. (Contributed by Zhi Wang, 6-Oct-2025.)

Assertion

Ref	Expression
tposres	⊢ (Rel 𝑅 → (tpos 𝐹 ↾ 𝑅) = tpos (𝐹 ↾ ◡𝑅))

Proof of Theorem tposres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nelrel0 5671	. . 3 ⊢ (Rel 𝑅 → ¬ ∅ ∈ 𝑅)
2		nel2nelin 4153	. . 3 ⊢ (¬ ∅ ∈ 𝑅 → ¬ ∅ ∈ (dom 𝐹 ∩ 𝑅))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (Rel 𝑅 → ¬ ∅ ∈ (dom 𝐹 ∩ 𝑅))
4	3	tposres3 48912	1 ⊢ (Rel 𝑅 → (tpos 𝐹 ↾ 𝑅) = tpos (𝐹 ↾ ◡𝑅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ∩ cin 3896  ∅c0 4278  ^◡ccnv 5610  dom cdm 5611   ↾ cres 5613  Rel wrel 5616  tpos ctpos 8150

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5506  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-tpos 8151

This theorem is referenced by:  tposresxp  48914  tposideq  48919