Theorem tposres 48843

Description: The transposition restricted to a relation. (Contributed by Zhi Wang, 6-Oct-2025.)

Assertion

Ref	Expression
tposres	⊢ (Rel 𝑅 → (tpos 𝐹 ↾ 𝑅) = tpos (𝐹 ↾ ◡𝑅))

Proof of Theorem tposres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nelrel0 5691	. . 3 ⊢ (Rel 𝑅 → ¬ ∅ ∈ 𝑅)
2		nel2nelin 4167	. . 3 ⊢ (¬ ∅ ∈ 𝑅 → ¬ ∅ ∈ (dom 𝐹 ∩ 𝑅))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (Rel 𝑅 → ¬ ∅ ∈ (dom 𝐹 ∩ 𝑅))
4	3	tposres3 48842	1 ⊢ (Rel 𝑅 → (tpos 𝐹 ↾ 𝑅) = tpos (𝐹 ↾ ◡𝑅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∩ cin 3910  ∅c0 4292  ^◡ccnv 5630  dom cdm 5631   ↾ cres 5633  Rel wrel 5636  tpos ctpos 8181

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-tpos 8182

This theorem is referenced by:  tposresxp  48844  tposideq  48849