MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mreclatdemoBAD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mreclatdemoBAD 22821
Description: The closed subspaces of a topology-bearing module form a complete lattice. Demonstration for mreclatBAD 18521. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Jan-2015.) TODO (df-riota 7368 update): This proof uses the old df-clat 18457 and references the required instance of mreclatBAD 18521 as a hypothesis. When mreclatBAD 18521 is corrected to become mreclat, delete this theorem and uncomment the mreclatdemo below.
Hypothesis
Ref Expression
mreclatBAD. (((LSubSp‘𝑊) ∩ (Clsd‘(TopOpen‘𝑊))) ∈ (Moore‘ (TopOpen‘𝑊)) → (toInc‘((LSubSp‘𝑊) ∩ (Clsd‘(TopOpen‘𝑊)))) ∈ CLat)
Assertion
Ref Expression
mreclatdemoBAD (𝑊 ∈ (TopSp ∩ LMod) → (toInc‘((LSubSp‘𝑊) ∩ (Clsd‘(TopOpen‘𝑊)))) ∈ CLat)

Proof of Theorem mreclatdemoBAD
StepHypRef Expression
1 fvex 6905 . . . . 5 (TopOpen‘𝑊) ∈ V
21uniex 7734 . . . 4 (TopOpen‘𝑊) ∈ V
3 mremre 17553 . . . 4 ( (TopOpen‘𝑊) ∈ V → (Moore‘ (TopOpen‘𝑊)) ∈ (Moore‘𝒫 (TopOpen‘𝑊)))
42, 3mp1i 13 . . 3 (𝑊 ∈ (TopSp ∩ LMod) → (Moore‘ (TopOpen‘𝑊)) ∈ (Moore‘𝒫 (TopOpen‘𝑊)))
5 elinel2 4197 . . . . 5 (𝑊 ∈ (TopSp ∩ LMod) → 𝑊 ∈ LMod)
6 eqid 2731 . . . . . 6 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
7 eqid 2731 . . . . . 6 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
86, 7lssmre 20722 . . . . 5 (𝑊 ∈ LMod → (LSubSp‘𝑊) ∈ (Moore‘(Base‘𝑊)))
95, 8syl 17 . . . 4 (𝑊 ∈ (TopSp ∩ LMod) → (LSubSp‘𝑊) ∈ (Moore‘(Base‘𝑊)))
10 elinel1 4196 . . . . 5 (𝑊 ∈ (TopSp ∩ LMod) → 𝑊 ∈ TopSp)
11 eqid 2731 . . . . . . 7 (TopOpen‘𝑊) = (TopOpen‘𝑊)
126, 11tpsuni 22659 . . . . . 6 (𝑊 ∈ TopSp → (Base‘𝑊) = (TopOpen‘𝑊))
1312fveq2d 6896 . . . . 5 (𝑊 ∈ TopSp → (Moore‘(Base‘𝑊)) = (Moore‘ (TopOpen‘𝑊)))
1410, 13syl 17 . . . 4 (𝑊 ∈ (TopSp ∩ LMod) → (Moore‘(Base‘𝑊)) = (Moore‘ (TopOpen‘𝑊)))
159, 14eleqtrd 2834 . . 3 (𝑊 ∈ (TopSp ∩ LMod) → (LSubSp‘𝑊) ∈ (Moore‘ (TopOpen‘𝑊)))
1611tpstop 22660 . . . 4 (𝑊 ∈ TopSp → (TopOpen‘𝑊) ∈ Top)
17 eqid 2731 . . . . 5 (TopOpen‘𝑊) = (TopOpen‘𝑊)
1817cldmre 22803 . . . 4 ((TopOpen‘𝑊) ∈ Top → (Clsd‘(TopOpen‘𝑊)) ∈ (Moore‘ (TopOpen‘𝑊)))
1910, 16, 183syl 18 . . 3 (𝑊 ∈ (TopSp ∩ LMod) → (Clsd‘(TopOpen‘𝑊)) ∈ (Moore‘ (TopOpen‘𝑊)))
20 mreincl 17548 . . 3 (((Moore‘ (TopOpen‘𝑊)) ∈ (Moore‘𝒫 (TopOpen‘𝑊)) ∧ (LSubSp‘𝑊) ∈ (Moore‘ (TopOpen‘𝑊)) ∧ (Clsd‘(TopOpen‘𝑊)) ∈ (Moore‘ (TopOpen‘𝑊))) → ((LSubSp‘𝑊) ∩ (Clsd‘(TopOpen‘𝑊))) ∈ (Moore‘ (TopOpen‘𝑊)))
214, 15, 19, 20syl3anc 1370 . 2 (𝑊 ∈ (TopSp ∩ LMod) → ((LSubSp‘𝑊) ∩ (Clsd‘(TopOpen‘𝑊))) ∈ (Moore‘ (TopOpen‘𝑊)))
22 mreclatBAD. . 2 (((LSubSp‘𝑊) ∩ (Clsd‘(TopOpen‘𝑊))) ∈ (Moore‘ (TopOpen‘𝑊)) → (toInc‘((LSubSp‘𝑊) ∩ (Clsd‘(TopOpen‘𝑊)))) ∈ CLat)
2321, 22syl 17 1 (𝑊 ∈ (TopSp ∩ LMod) → (toInc‘((LSubSp‘𝑊) ∩ (Clsd‘(TopOpen‘𝑊)))) ∈ CLat)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1540  wcel 2105  Vcvv 3473  cin 3948  𝒫 cpw 4603   cuni 4909  cfv 6544  Basecbs 17149  TopOpenctopn 17372  Moorecmre 17531  CLatccla 18456  toInccipo 18485  LModclmod 20615  LSubSpclss 20687  Topctop 22616  TopSpctps 22655  Clsdccld 22741
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-plusg 17215  df-0g 17392  df-mre 17535  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-sbg 18861  df-mgp 20030  df-ur 20077  df-ring 20130  df-lmod 20617  df-lss 20688  df-top 22617  df-topon 22634  df-topsp 22656  df-cld 22744
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator