MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mreclatdemoBAD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mreclatdemoBAD 22529
Description: The closed subspaces of a topology-bearing module form a complete lattice. Demonstration for mreclatBAD 18498. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Jan-2015.) TODO (df-riota 7349 update): This proof uses the old df-clat 18434 and references the required instance of mreclatBAD 18498 as a hypothesis. When mreclatBAD 18498 is corrected to become mreclat, delete this theorem and uncomment the mreclatdemo below.
Hypothesis
Ref Expression
mreclatBAD. (((LSubSp‘𝑊) ∩ (Clsd‘(TopOpen‘𝑊))) ∈ (Moore‘ (TopOpen‘𝑊)) → (toInc‘((LSubSp‘𝑊) ∩ (Clsd‘(TopOpen‘𝑊)))) ∈ CLat)
Assertion
Ref Expression
mreclatdemoBAD (𝑊 ∈ (TopSp ∩ LMod) → (toInc‘((LSubSp‘𝑊) ∩ (Clsd‘(TopOpen‘𝑊)))) ∈ CLat)

Proof of Theorem mreclatdemoBAD
StepHypRef Expression
1 fvex 6891 . . . . 5 (TopOpen‘𝑊) ∈ V
21uniex 7714 . . . 4 (TopOpen‘𝑊) ∈ V
3 mremre 17530 . . . 4 ( (TopOpen‘𝑊) ∈ V → (Moore‘ (TopOpen‘𝑊)) ∈ (Moore‘𝒫 (TopOpen‘𝑊)))
42, 3mp1i 13 . . 3 (𝑊 ∈ (TopSp ∩ LMod) → (Moore‘ (TopOpen‘𝑊)) ∈ (Moore‘𝒫 (TopOpen‘𝑊)))
5 elinel2 4192 . . . . 5 (𝑊 ∈ (TopSp ∩ LMod) → 𝑊 ∈ LMod)
6 eqid 2731 . . . . . 6 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
7 eqid 2731 . . . . . 6 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
86, 7lssmre 20526 . . . . 5 (𝑊 ∈ LMod → (LSubSp‘𝑊) ∈ (Moore‘(Base‘𝑊)))
95, 8syl 17 . . . 4 (𝑊 ∈ (TopSp ∩ LMod) → (LSubSp‘𝑊) ∈ (Moore‘(Base‘𝑊)))
10 elinel1 4191 . . . . 5 (𝑊 ∈ (TopSp ∩ LMod) → 𝑊 ∈ TopSp)
11 eqid 2731 . . . . . . 7 (TopOpen‘𝑊) = (TopOpen‘𝑊)
126, 11tpsuni 22367 . . . . . 6 (𝑊 ∈ TopSp → (Base‘𝑊) = (TopOpen‘𝑊))
1312fveq2d 6882 . . . . 5 (𝑊 ∈ TopSp → (Moore‘(Base‘𝑊)) = (Moore‘ (TopOpen‘𝑊)))
1410, 13syl 17 . . . 4 (𝑊 ∈ (TopSp ∩ LMod) → (Moore‘(Base‘𝑊)) = (Moore‘ (TopOpen‘𝑊)))
159, 14eleqtrd 2834 . . 3 (𝑊 ∈ (TopSp ∩ LMod) → (LSubSp‘𝑊) ∈ (Moore‘ (TopOpen‘𝑊)))
1611tpstop 22368 . . . 4 (𝑊 ∈ TopSp → (TopOpen‘𝑊) ∈ Top)
17 eqid 2731 . . . . 5 (TopOpen‘𝑊) = (TopOpen‘𝑊)
1817cldmre 22511 . . . 4 ((TopOpen‘𝑊) ∈ Top → (Clsd‘(TopOpen‘𝑊)) ∈ (Moore‘ (TopOpen‘𝑊)))
1910, 16, 183syl 18 . . 3 (𝑊 ∈ (TopSp ∩ LMod) → (Clsd‘(TopOpen‘𝑊)) ∈ (Moore‘ (TopOpen‘𝑊)))
20 mreincl 17525 . . 3 (((Moore‘ (TopOpen‘𝑊)) ∈ (Moore‘𝒫 (TopOpen‘𝑊)) ∧ (LSubSp‘𝑊) ∈ (Moore‘ (TopOpen‘𝑊)) ∧ (Clsd‘(TopOpen‘𝑊)) ∈ (Moore‘ (TopOpen‘𝑊))) → ((LSubSp‘𝑊) ∩ (Clsd‘(TopOpen‘𝑊))) ∈ (Moore‘ (TopOpen‘𝑊)))
214, 15, 19, 20syl3anc 1371 . 2 (𝑊 ∈ (TopSp ∩ LMod) → ((LSubSp‘𝑊) ∩ (Clsd‘(TopOpen‘𝑊))) ∈ (Moore‘ (TopOpen‘𝑊)))
22 mreclatBAD. . 2 (((LSubSp‘𝑊) ∩ (Clsd‘(TopOpen‘𝑊))) ∈ (Moore‘ (TopOpen‘𝑊)) → (toInc‘((LSubSp‘𝑊) ∩ (Clsd‘(TopOpen‘𝑊)))) ∈ CLat)
2321, 22syl 17 1 (𝑊 ∈ (TopSp ∩ LMod) → (toInc‘((LSubSp‘𝑊) ∩ (Clsd‘(TopOpen‘𝑊)))) ∈ CLat)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1541  wcel 2106  Vcvv 3473  cin 3943  𝒫 cpw 4596   cuni 4901  cfv 6532  Basecbs 17126  TopOpenctopn 17349  Moorecmre 17508  CLatccla 18433  toInccipo 18462  LModclmod 20420  LSubSpclss 20491  Topctop 22324  TopSpctps 22363  Clsdccld 22449
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-om 7839  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-er 8686  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-nn 12195  df-2 12257  df-sets 17079  df-slot 17097  df-ndx 17109  df-base 17127  df-plusg 17192  df-0g 17369  df-mre 17512  df-mgm 18543  df-sgrp 18592  df-mnd 18603  df-grp 18797  df-minusg 18798  df-sbg 18799  df-mgp 19947  df-ur 19964  df-ring 20016  df-lmod 20422  df-lss 20492  df-top 22325  df-topon 22342  df-topsp 22364  df-cld 22452
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator