MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnextucn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnextucn 23807
Description: Extension by continuity. Proposition 11 of [BourbakiTop1] p. II.20. Given a topology 𝐽 on 𝑋, a subset 𝐴 dense in 𝑋, this states a condition for 𝐹 from 𝐴 to a space π‘Œ Hausdorff and complete to be extensible by continuity. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
cnextucn.x 𝑋 = (Baseβ€˜π‘‰)
cnextucn.y π‘Œ = (Baseβ€˜π‘Š)
cnextucn.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘‰)
cnextucn.k 𝐾 = (TopOpenβ€˜π‘Š)
cnextucn.u π‘ˆ = (UnifStβ€˜π‘Š)
cnextucn.v (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ TopSp)
cnextucn.t (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ TopSp)
cnextucn.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ CUnifSp)
cnextucn.h (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Haus)
cnextucn.a (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝑋)
cnextucn.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆπ‘Œ)
cnextucn.c (πœ‘ β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)
cnextucn.l ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((π‘Œ FilMap 𝐹)β€˜(((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴)) ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ))
Assertion
Ref Expression
cnextucn (πœ‘ β†’ ((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝐽   π‘₯,𝐾   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   π‘ˆ(π‘₯)   𝑉(π‘₯)   π‘Š(π‘₯)   𝑋(π‘₯)   π‘Œ(π‘₯)

Proof of Theorem cnextucn
StepHypRef Expression
1 eqid 2732 . 2 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
2 eqid 2732 . 2 βˆͺ 𝐾 = βˆͺ 𝐾
3 cnextucn.v . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ TopSp)
4 cnextucn.j . . . 4 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘‰)
54tpstop 22438 . . 3 (𝑉 ∈ TopSp β†’ 𝐽 ∈ Top)
63, 5syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Top)
7 cnextucn.h . 2 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Haus)
8 cnextucn.f . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆπ‘Œ)
9 cnextucn.t . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ TopSp)
10 cnextucn.y . . . . . 6 π‘Œ = (Baseβ€˜π‘Š)
11 cnextucn.k . . . . . 6 𝐾 = (TopOpenβ€˜π‘Š)
1210, 11tpsuni 22437 . . . . 5 (π‘Š ∈ TopSp β†’ π‘Œ = βˆͺ 𝐾)
139, 12syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ = βˆͺ 𝐾)
1413feq3d 6704 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹:π΄βŸΆπ‘Œ ↔ 𝐹:𝐴⟢βˆͺ 𝐾))
158, 14mpbid 231 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢βˆͺ 𝐾)
16 cnextucn.a . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝑋)
17 cnextucn.x . . . . 5 𝑋 = (Baseβ€˜π‘‰)
1817, 4tpsuni 22437 . . . 4 (𝑉 ∈ TopSp β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
193, 18syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
2016, 19sseqtrd 4022 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝐽)
21 cnextucn.c . . 3 (πœ‘ β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)
2221, 19eqtrd 2772 . 2 (πœ‘ β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = βˆͺ 𝐽)
2310, 11istps 22435 . . . . . 6 (π‘Š ∈ TopSp ↔ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
249, 23sylib 217 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
2524adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐽) β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
2619eleq2d 2819 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↔ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐽))
2726biimpar 478 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐽) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
2821adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐽) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) = 𝑋)
2927, 28eleqtrrd 2836 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐽) β†’ π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))
30 toptopon2 22419 . . . . . . . . 9 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽))
316, 30sylib 217 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽))
32 fveq2 6891 . . . . . . . . . 10 (𝑋 = βˆͺ 𝐽 β†’ (TopOnβ€˜π‘‹) = (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽))
3332eleq2d 2819 . . . . . . . . 9 (𝑋 = βˆͺ 𝐽 β†’ (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ↔ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽)))
3419, 33syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ↔ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽)))
3531, 34mpbird 256 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
3635adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐽) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
3716adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐽) β†’ 𝐴 βŠ† 𝑋)
38 trnei 23395 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) ↔ (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴) ∈ (Filβ€˜π΄)))
3936, 37, 27, 38syl3anc 1371 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐽) β†’ (π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) ↔ (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴) ∈ (Filβ€˜π΄)))
4029, 39mpbid 231 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐽) β†’ (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴) ∈ (Filβ€˜π΄))
418adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐽) β†’ 𝐹:π΄βŸΆπ‘Œ)
42 flfval 23493 . . . 4 ((𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ) ∧ (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴) ∈ (Filβ€˜π΄) ∧ 𝐹:π΄βŸΆπ‘Œ) β†’ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) = (𝐾 fLim ((π‘Œ FilMap 𝐹)β€˜(((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))))
4325, 40, 41, 42syl3anc 1371 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐽) β†’ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) = (𝐾 fLim ((π‘Œ FilMap 𝐹)β€˜(((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))))
44 cnextucn.w . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ CUnifSp)
4544adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐽) β†’ π‘Š ∈ CUnifSp)
46 cnextucn.l . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((π‘Œ FilMap 𝐹)β€˜(((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴)) ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ))
4727, 46syldan 591 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐽) β†’ ((π‘Œ FilMap 𝐹)β€˜(((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴)) ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ))
48 cnextucn.u . . . . . 6 π‘ˆ = (UnifStβ€˜π‘Š)
4948fveq2i 6894 . . . . 5 (CauFiluβ€˜π‘ˆ) = (CauFiluβ€˜(UnifStβ€˜π‘Š))
5047, 49eleqtrdi 2843 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐽) β†’ ((π‘Œ FilMap 𝐹)β€˜(((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴)) ∈ (CauFiluβ€˜(UnifStβ€˜π‘Š)))
5110fvexi 6905 . . . . 5 π‘Œ ∈ V
52 filfbas 23351 . . . . . 6 ((((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴) ∈ (Filβ€˜π΄) β†’ (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴) ∈ (fBasβ€˜π΄))
5340, 52syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐽) β†’ (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴) ∈ (fBasβ€˜π΄))
54 fmfil 23447 . . . . 5 ((π‘Œ ∈ V ∧ (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴) ∈ (fBasβ€˜π΄) ∧ 𝐹:π΄βŸΆπ‘Œ) β†’ ((π‘Œ FilMap 𝐹)β€˜(((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴)) ∈ (Filβ€˜π‘Œ))
5551, 53, 41, 54mp3an2i 1466 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐽) β†’ ((π‘Œ FilMap 𝐹)β€˜(((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴)) ∈ (Filβ€˜π‘Œ))
5610, 11cuspcvg 23805 . . . 4 ((π‘Š ∈ CUnifSp ∧ ((π‘Œ FilMap 𝐹)β€˜(((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴)) ∈ (CauFiluβ€˜(UnifStβ€˜π‘Š)) ∧ ((π‘Œ FilMap 𝐹)β€˜(((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴)) ∈ (Filβ€˜π‘Œ)) β†’ (𝐾 fLim ((π‘Œ FilMap 𝐹)β€˜(((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))) β‰  βˆ…)
5745, 50, 55, 56syl3anc 1371 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐽) β†’ (𝐾 fLim ((π‘Œ FilMap 𝐹)β€˜(((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))) β‰  βˆ…)
5843, 57eqnetrd 3008 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐽) β†’ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) β‰  βˆ…)
59 cuspusp 23804 . . . 4 (π‘Š ∈ CUnifSp β†’ π‘Š ∈ UnifSp)
6044, 59syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ UnifSp)
6111uspreg 23778 . . 3 ((π‘Š ∈ UnifSp ∧ 𝐾 ∈ Haus) β†’ 𝐾 ∈ Reg)
6260, 7, 61syl2anc 584 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Reg)
631, 2, 6, 7, 15, 20, 22, 58, 62cnextcn 23570 1 (πœ‘ β†’ ((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  Vcvv 3474   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  {csn 4628  βˆͺ cuni 4908  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  Basecbs 17143   β†Ύt crest 17365  TopOpenctopn 17366  fBascfbas 20931  Topctop 22394  TopOnctopon 22411  TopSpctps 22433  clsccl 22521  neicnei 22600   Cn ccn 22727  Hauscha 22811  Regcreg 22812  Filcfil 23348   FilMap cfm 23436   fLim cflim 23437   fLimf cflf 23438  CnExtccnext 23562  UnifStcuss 23757  UnifSpcusp 23758  CauFiluccfilu 23790  CUnifSpccusp 23801
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-en 8939  df-fin 8942  df-fi 9405  df-rest 17367  df-topgen 17388  df-fbas 20940  df-fg 20941  df-top 22395  df-topon 22412  df-topsp 22434  df-bases 22448  df-cld 22522  df-ntr 22523  df-cls 22524  df-nei 22601  df-cn 22730  df-cnp 22731  df-haus 22818  df-reg 22819  df-tx 23065  df-fil 23349  df-fm 23441  df-flim 23442  df-flf 23443  df-cnext 23563  df-ust 23704  df-utop 23735  df-usp 23761  df-cusp 23802
This theorem is referenced by:  ucnextcn  23808
  Copyright terms: Public domain W3C validator