Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sibfinima Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sibfinima 32712
Description: The measure of the intersection of any two preimages by simple functions is a real number. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Mar-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
sitgval.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
sitgval.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘Š)
sitgval.s 𝑆 = (sigaGenβ€˜π½)
sitgval.0 0 = (0gβ€˜π‘Š)
sitgval.x Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
sitgval.h 𝐻 = (ℝHomβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
sitgval.1 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ 𝑉)
sitgval.2 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ βˆͺ ran measures)
sibfmbl.1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀))
sibfinima.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀))
sibfinima.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ TopSp)
sibfinima.j (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Fre)
Assertion
Ref Expression
sibfinima (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐹 ∧ π‘Œ ∈ ran 𝐺) ∧ (𝑋 β‰  0 ∨ π‘Œ β‰  0 )) β†’ (π‘€β€˜((◑𝐹 β€œ {𝑋}) ∩ (◑𝐺 β€œ {π‘Œ}))) ∈ (0[,)+∞))

Proof of Theorem sibfinima
StepHypRef Expression
1 sitgval.2 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ βˆͺ ran measures)
2 measbasedom 32574 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ βˆͺ ran measures ↔ 𝑀 ∈ (measuresβ€˜dom 𝑀))
31, 2sylib 217 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (measuresβ€˜dom 𝑀))
433ad2ant1 1133 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐹 ∧ π‘Œ ∈ ran 𝐺) β†’ 𝑀 ∈ (measuresβ€˜dom 𝑀))
5 dmmeas 32573 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ βˆͺ ran measures β†’ dom 𝑀 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
61, 5syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ dom 𝑀 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
763ad2ant1 1133 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐹 ∧ π‘Œ ∈ ran 𝐺) β†’ dom 𝑀 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
8 sitgval.s . . . . . . . . . 10 𝑆 = (sigaGenβ€˜π½)
9 sibfinima.j . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Fre)
109sgsiga 32514 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (sigaGenβ€˜π½) ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
118, 10eqeltrid 2842 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
12113ad2ant1 1133 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐹 ∧ π‘Œ ∈ ran 𝐺) β†’ 𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
13 sitgval.b . . . . . . . . . 10 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
14 sitgval.j . . . . . . . . . 10 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘Š)
15 sitgval.0 . . . . . . . . . 10 0 = (0gβ€˜π‘Š)
16 sitgval.x . . . . . . . . . 10 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
17 sitgval.h . . . . . . . . . 10 𝐻 = (ℝHomβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
18 sitgval.1 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ 𝑉)
19 sibfmbl.1 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀))
2013, 14, 8, 15, 16, 17, 18, 1, 19sibfmbl 32708 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (dom 𝑀MblFnM𝑆))
21203ad2ant1 1133 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐹 ∧ π‘Œ ∈ ran 𝐺) β†’ 𝐹 ∈ (dom 𝑀MblFnM𝑆))
22 sibfinima.w . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ TopSp)
2314tpstop 22208 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Š ∈ TopSp β†’ 𝐽 ∈ Top)
24 cldssbrsiga 32559 . . . . . . . . . . . 12 (𝐽 ∈ Top β†’ (Clsdβ€˜π½) βŠ† (sigaGenβ€˜π½))
2522, 23, 243syl 18 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (Clsdβ€˜π½) βŠ† (sigaGenβ€˜π½))
2625, 8sseqtrrdi 3993 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (Clsdβ€˜π½) βŠ† 𝑆)
27263ad2ant1 1133 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐹 ∧ π‘Œ ∈ ran 𝐺) β†’ (Clsdβ€˜π½) βŠ† 𝑆)
2893ad2ant1 1133 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐹 ∧ π‘Œ ∈ ran 𝐺) β†’ 𝐽 ∈ Fre)
2913, 14, 8, 15, 16, 17, 18, 1, 19sibff 32709 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐹:βˆͺ dom π‘€βŸΆβˆͺ 𝐽)
3029frnd 6671 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 βŠ† βˆͺ 𝐽)
31303ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐹 ∧ π‘Œ ∈ ran 𝐺) β†’ ran 𝐹 βŠ† βˆͺ 𝐽)
32 simp2 1137 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐹 ∧ π‘Œ ∈ ran 𝐺) β†’ 𝑋 ∈ ran 𝐹)
3331, 32sseldd 3943 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐹 ∧ π‘Œ ∈ ran 𝐺) β†’ 𝑋 ∈ βˆͺ 𝐽)
34 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
3534t1sncld 22599 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ Fre ∧ 𝑋 ∈ βˆͺ 𝐽) β†’ {𝑋} ∈ (Clsdβ€˜π½))
3628, 33, 35syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐹 ∧ π‘Œ ∈ ran 𝐺) β†’ {𝑋} ∈ (Clsdβ€˜π½))
3727, 36sseldd 3943 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐹 ∧ π‘Œ ∈ ran 𝐺) β†’ {𝑋} ∈ 𝑆)
387, 12, 21, 37mbfmcnvima 32628 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐹 ∧ π‘Œ ∈ ran 𝐺) β†’ (◑𝐹 β€œ {𝑋}) ∈ dom 𝑀)
39 sibfinima.g . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ dom (π‘Šsitg𝑀))
4013, 14, 8, 15, 16, 17, 18, 1, 39sibfmbl 32708 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (dom 𝑀MblFnM𝑆))
41403ad2ant1 1133 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐹 ∧ π‘Œ ∈ ran 𝐺) β†’ 𝐺 ∈ (dom 𝑀MblFnM𝑆))
4213, 14, 8, 15, 16, 17, 18, 1, 39sibff 32709 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐺:βˆͺ dom π‘€βŸΆβˆͺ 𝐽)
4342frnd 6671 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ran 𝐺 βŠ† βˆͺ 𝐽)
44433ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐹 ∧ π‘Œ ∈ ran 𝐺) β†’ ran 𝐺 βŠ† βˆͺ 𝐽)
45 simp3 1138 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐹 ∧ π‘Œ ∈ ran 𝐺) β†’ π‘Œ ∈ ran 𝐺)
4644, 45sseldd 3943 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐹 ∧ π‘Œ ∈ ran 𝐺) β†’ π‘Œ ∈ βˆͺ 𝐽)
4734t1sncld 22599 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ Fre ∧ π‘Œ ∈ βˆͺ 𝐽) β†’ {π‘Œ} ∈ (Clsdβ€˜π½))
4828, 46, 47syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐹 ∧ π‘Œ ∈ ran 𝐺) β†’ {π‘Œ} ∈ (Clsdβ€˜π½))
4927, 48sseldd 3943 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐹 ∧ π‘Œ ∈ ran 𝐺) β†’ {π‘Œ} ∈ 𝑆)
507, 12, 41, 49mbfmcnvima 32628 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐹 ∧ π‘Œ ∈ ran 𝐺) β†’ (◑𝐺 β€œ {π‘Œ}) ∈ dom 𝑀)
51 inelsiga 32507 . . . . . . 7 ((dom 𝑀 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra ∧ (◑𝐹 β€œ {𝑋}) ∈ dom 𝑀 ∧ (◑𝐺 β€œ {π‘Œ}) ∈ dom 𝑀) β†’ ((◑𝐹 β€œ {𝑋}) ∩ (◑𝐺 β€œ {π‘Œ})) ∈ dom 𝑀)
527, 38, 50, 51syl3anc 1371 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐹 ∧ π‘Œ ∈ ran 𝐺) β†’ ((◑𝐹 β€œ {𝑋}) ∩ (◑𝐺 β€œ {π‘Œ})) ∈ dom 𝑀)
53 measvxrge0 32577 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜dom 𝑀) ∧ ((◑𝐹 β€œ {𝑋}) ∩ (◑𝐺 β€œ {π‘Œ})) ∈ dom 𝑀) β†’ (π‘€β€˜((◑𝐹 β€œ {𝑋}) ∩ (◑𝐺 β€œ {π‘Œ}))) ∈ (0[,]+∞))
544, 52, 53syl2anc 584 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐹 ∧ π‘Œ ∈ ran 𝐺) β†’ (π‘€β€˜((◑𝐹 β€œ {𝑋}) ∩ (◑𝐺 β€œ {π‘Œ}))) ∈ (0[,]+∞))
55 elxrge0 13302 . . . . . 6 ((π‘€β€˜((◑𝐹 β€œ {𝑋}) ∩ (◑𝐺 β€œ {π‘Œ}))) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((π‘€β€˜((◑𝐹 β€œ {𝑋}) ∩ (◑𝐺 β€œ {π‘Œ}))) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (π‘€β€˜((◑𝐹 β€œ {𝑋}) ∩ (◑𝐺 β€œ {π‘Œ})))))
5655simplbi 498 . . . . 5 ((π‘€β€˜((◑𝐹 β€œ {𝑋}) ∩ (◑𝐺 β€œ {π‘Œ}))) ∈ (0[,]+∞) β†’ (π‘€β€˜((◑𝐹 β€œ {𝑋}) ∩ (◑𝐺 β€œ {π‘Œ}))) ∈ ℝ*)
5754, 56syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐹 ∧ π‘Œ ∈ ran 𝐺) β†’ (π‘€β€˜((◑𝐹 β€œ {𝑋}) ∩ (◑𝐺 β€œ {π‘Œ}))) ∈ ℝ*)
5857adantr 481 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐹 ∧ π‘Œ ∈ ran 𝐺) ∧ (𝑋 β‰  0 ∨ π‘Œ β‰  0 )) β†’ (π‘€β€˜((◑𝐹 β€œ {𝑋}) ∩ (◑𝐺 β€œ {π‘Œ}))) ∈ ℝ*)
59 0re 11090 . . . 4 0 ∈ ℝ
6059a1i 11 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐹 ∧ π‘Œ ∈ ran 𝐺) ∧ (𝑋 β‰  0 ∨ π‘Œ β‰  0 )) β†’ 0 ∈ ℝ)
6155simprbi 497 . . . . 5 ((π‘€β€˜((◑𝐹 β€œ {𝑋}) ∩ (◑𝐺 β€œ {π‘Œ}))) ∈ (0[,]+∞) β†’ 0 ≀ (π‘€β€˜((◑𝐹 β€œ {𝑋}) ∩ (◑𝐺 β€œ {π‘Œ}))))
6254, 61syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐹 ∧ π‘Œ ∈ ran 𝐺) β†’ 0 ≀ (π‘€β€˜((◑𝐹 β€œ {𝑋}) ∩ (◑𝐺 β€œ {π‘Œ}))))
6362adantr 481 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐹 ∧ π‘Œ ∈ ran 𝐺) ∧ (𝑋 β‰  0 ∨ π‘Œ β‰  0 )) β†’ 0 ≀ (π‘€β€˜((◑𝐹 β€œ {𝑋}) ∩ (◑𝐺 β€œ {π‘Œ}))))
6457adantr 481 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐹 ∧ π‘Œ ∈ ran 𝐺) ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ (π‘€β€˜((◑𝐹 β€œ {𝑋}) ∩ (◑𝐺 β€œ {π‘Œ}))) ∈ ℝ*)
654adantr 481 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐹 ∧ π‘Œ ∈ ran 𝐺) ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ 𝑀 ∈ (measuresβ€˜dom 𝑀))
6638adantr 481 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐹 ∧ π‘Œ ∈ ran 𝐺) ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ (◑𝐹 β€œ {𝑋}) ∈ dom 𝑀)
67 measvxrge0 32577 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜dom 𝑀) ∧ (◑𝐹 β€œ {𝑋}) ∈ dom 𝑀) β†’ (π‘€β€˜(◑𝐹 β€œ {𝑋})) ∈ (0[,]+∞))
6865, 66, 67syl2anc 584 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐹 ∧ π‘Œ ∈ ran 𝐺) ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ (π‘€β€˜(◑𝐹 β€œ {𝑋})) ∈ (0[,]+∞))
69 elxrge0 13302 . . . . . . 7 ((π‘€β€˜(◑𝐹 β€œ {𝑋})) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((π‘€β€˜(◑𝐹 β€œ {𝑋})) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (π‘€β€˜(◑𝐹 β€œ {𝑋}))))
7069simplbi 498 . . . . . 6 ((π‘€β€˜(◑𝐹 β€œ {𝑋})) ∈ (0[,]+∞) β†’ (π‘€β€˜(◑𝐹 β€œ {𝑋})) ∈ ℝ*)
7168, 70syl 17 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐹 ∧ π‘Œ ∈ ran 𝐺) ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ (π‘€β€˜(◑𝐹 β€œ {𝑋})) ∈ ℝ*)
72 pnfxr 11142 . . . . . 6 +∞ ∈ ℝ*
7372a1i 11 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐹 ∧ π‘Œ ∈ ran 𝐺) ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ +∞ ∈ ℝ*)
7452adantr 481 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐹 ∧ π‘Œ ∈ ran 𝐺) ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ ((◑𝐹 β€œ {𝑋}) ∩ (◑𝐺 β€œ {π‘Œ})) ∈ dom 𝑀)
75 inss1 4186 . . . . . . 7 ((◑𝐹 β€œ {𝑋}) ∩ (◑𝐺 β€œ {π‘Œ})) βŠ† (◑𝐹 β€œ {𝑋})
7675a1i 11 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐹 ∧ π‘Œ ∈ ran 𝐺) ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ ((◑𝐹 β€œ {𝑋}) ∩ (◑𝐺 β€œ {π‘Œ})) βŠ† (◑𝐹 β€œ {𝑋}))
7765, 74, 66, 76measssd 32587 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐹 ∧ π‘Œ ∈ ran 𝐺) ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ (π‘€β€˜((◑𝐹 β€œ {𝑋}) ∩ (◑𝐺 β€œ {π‘Œ}))) ≀ (π‘€β€˜(◑𝐹 β€œ {𝑋})))
78 simpl1 1191 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐹 ∧ π‘Œ ∈ ran 𝐺) ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ πœ‘)
7932anim1i 615 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐹 ∧ π‘Œ ∈ ran 𝐺) ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ (𝑋 ∈ ran 𝐹 ∧ 𝑋 β‰  0 ))
80 eldifsn 4745 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ (ran 𝐹 βˆ– { 0 }) ↔ (𝑋 ∈ ran 𝐹 ∧ 𝑋 β‰  0 ))
8179, 80sylibr 233 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐹 ∧ π‘Œ ∈ ran 𝐺) ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ 𝑋 ∈ (ran 𝐹 βˆ– { 0 }))
8213, 14, 8, 15, 16, 17, 18, 1, 19sibfima 32711 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (ran 𝐹 βˆ– { 0 })) β†’ (π‘€β€˜(◑𝐹 β€œ {𝑋})) ∈ (0[,)+∞))
8378, 81, 82syl2anc 584 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐹 ∧ π‘Œ ∈ ran 𝐺) ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ (π‘€β€˜(◑𝐹 β€œ {𝑋})) ∈ (0[,)+∞))
84 elico2 13256 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) β†’ ((π‘€β€˜(◑𝐹 β€œ {𝑋})) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((π‘€β€˜(◑𝐹 β€œ {𝑋})) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (π‘€β€˜(◑𝐹 β€œ {𝑋})) ∧ (π‘€β€˜(◑𝐹 β€œ {𝑋})) < +∞)))
8559, 72, 84mp2an 690 . . . . . . 7 ((π‘€β€˜(◑𝐹 β€œ {𝑋})) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((π‘€β€˜(◑𝐹 β€œ {𝑋})) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (π‘€β€˜(◑𝐹 β€œ {𝑋})) ∧ (π‘€β€˜(◑𝐹 β€œ {𝑋})) < +∞))
8685simp3bi 1147 . . . . . 6 ((π‘€β€˜(◑𝐹 β€œ {𝑋})) ∈ (0[,)+∞) β†’ (π‘€β€˜(◑𝐹 β€œ {𝑋})) < +∞)
8783, 86syl 17 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐹 ∧ π‘Œ ∈ ran 𝐺) ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ (π‘€β€˜(◑𝐹 β€œ {𝑋})) < +∞)
8864, 71, 73, 77, 87xrlelttrd 13007 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐹 ∧ π‘Œ ∈ ran 𝐺) ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ (π‘€β€˜((◑𝐹 β€œ {𝑋}) ∩ (◑𝐺 β€œ {π‘Œ}))) < +∞)
8957adantr 481 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐹 ∧ π‘Œ ∈ ran 𝐺) ∧ π‘Œ β‰  0 ) β†’ (π‘€β€˜((◑𝐹 β€œ {𝑋}) ∩ (◑𝐺 β€œ {π‘Œ}))) ∈ ℝ*)
904adantr 481 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐹 ∧ π‘Œ ∈ ran 𝐺) ∧ π‘Œ β‰  0 ) β†’ 𝑀 ∈ (measuresβ€˜dom 𝑀))
9150adantr 481 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐹 ∧ π‘Œ ∈ ran 𝐺) ∧ π‘Œ β‰  0 ) β†’ (◑𝐺 β€œ {π‘Œ}) ∈ dom 𝑀)
92 measvxrge0 32577 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜dom 𝑀) ∧ (◑𝐺 β€œ {π‘Œ}) ∈ dom 𝑀) β†’ (π‘€β€˜(◑𝐺 β€œ {π‘Œ})) ∈ (0[,]+∞))
9390, 91, 92syl2anc 584 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐹 ∧ π‘Œ ∈ ran 𝐺) ∧ π‘Œ β‰  0 ) β†’ (π‘€β€˜(◑𝐺 β€œ {π‘Œ})) ∈ (0[,]+∞))
94 elxrge0 13302 . . . . . . 7 ((π‘€β€˜(◑𝐺 β€œ {π‘Œ})) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((π‘€β€˜(◑𝐺 β€œ {π‘Œ})) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (π‘€β€˜(◑𝐺 β€œ {π‘Œ}))))
9594simplbi 498 . . . . . 6 ((π‘€β€˜(◑𝐺 β€œ {π‘Œ})) ∈ (0[,]+∞) β†’ (π‘€β€˜(◑𝐺 β€œ {π‘Œ})) ∈ ℝ*)
9693, 95syl 17 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐹 ∧ π‘Œ ∈ ran 𝐺) ∧ π‘Œ β‰  0 ) β†’ (π‘€β€˜(◑𝐺 β€œ {π‘Œ})) ∈ ℝ*)
9772a1i 11 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐹 ∧ π‘Œ ∈ ran 𝐺) ∧ π‘Œ β‰  0 ) β†’ +∞ ∈ ℝ*)
9852adantr 481 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐹 ∧ π‘Œ ∈ ran 𝐺) ∧ π‘Œ β‰  0 ) β†’ ((◑𝐹 β€œ {𝑋}) ∩ (◑𝐺 β€œ {π‘Œ})) ∈ dom 𝑀)
99 inss2 4187 . . . . . . 7 ((◑𝐹 β€œ {𝑋}) ∩ (◑𝐺 β€œ {π‘Œ})) βŠ† (◑𝐺 β€œ {π‘Œ})
10099a1i 11 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐹 ∧ π‘Œ ∈ ran 𝐺) ∧ π‘Œ β‰  0 ) β†’ ((◑𝐹 β€œ {𝑋}) ∩ (◑𝐺 β€œ {π‘Œ})) βŠ† (◑𝐺 β€œ {π‘Œ}))
10190, 98, 91, 100measssd 32587 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐹 ∧ π‘Œ ∈ ran 𝐺) ∧ π‘Œ β‰  0 ) β†’ (π‘€β€˜((◑𝐹 β€œ {𝑋}) ∩ (◑𝐺 β€œ {π‘Œ}))) ≀ (π‘€β€˜(◑𝐺 β€œ {π‘Œ})))
102 simpl1 1191 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐹 ∧ π‘Œ ∈ ran 𝐺) ∧ π‘Œ β‰  0 ) β†’ πœ‘)
10345anim1i 615 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐹 ∧ π‘Œ ∈ ran 𝐺) ∧ π‘Œ β‰  0 ) β†’ (π‘Œ ∈ ran 𝐺 ∧ π‘Œ β‰  0 ))
104 eldifsn 4745 . . . . . . . 8 (π‘Œ ∈ (ran 𝐺 βˆ– { 0 }) ↔ (π‘Œ ∈ ran 𝐺 ∧ π‘Œ β‰  0 ))
105103, 104sylibr 233 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐹 ∧ π‘Œ ∈ ran 𝐺) ∧ π‘Œ β‰  0 ) β†’ π‘Œ ∈ (ran 𝐺 βˆ– { 0 }))
10613, 14, 8, 15, 16, 17, 18, 1, 39sibfima 32711 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ (ran 𝐺 βˆ– { 0 })) β†’ (π‘€β€˜(◑𝐺 β€œ {π‘Œ})) ∈ (0[,)+∞))
107102, 105, 106syl2anc 584 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐹 ∧ π‘Œ ∈ ran 𝐺) ∧ π‘Œ β‰  0 ) β†’ (π‘€β€˜(◑𝐺 β€œ {π‘Œ})) ∈ (0[,)+∞))
108 elico2 13256 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) β†’ ((π‘€β€˜(◑𝐺 β€œ {π‘Œ})) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((π‘€β€˜(◑𝐺 β€œ {π‘Œ})) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (π‘€β€˜(◑𝐺 β€œ {π‘Œ})) ∧ (π‘€β€˜(◑𝐺 β€œ {π‘Œ})) < +∞)))
10959, 72, 108mp2an 690 . . . . . . 7 ((π‘€β€˜(◑𝐺 β€œ {π‘Œ})) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((π‘€β€˜(◑𝐺 β€œ {π‘Œ})) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (π‘€β€˜(◑𝐺 β€œ {π‘Œ})) ∧ (π‘€β€˜(◑𝐺 β€œ {π‘Œ})) < +∞))
110109simp3bi 1147 . . . . . 6 ((π‘€β€˜(◑𝐺 β€œ {π‘Œ})) ∈ (0[,)+∞) β†’ (π‘€β€˜(◑𝐺 β€œ {π‘Œ})) < +∞)
111107, 110syl 17 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐹 ∧ π‘Œ ∈ ran 𝐺) ∧ π‘Œ β‰  0 ) β†’ (π‘€β€˜(◑𝐺 β€œ {π‘Œ})) < +∞)
11289, 96, 97, 101, 111xrlelttrd 13007 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐹 ∧ π‘Œ ∈ ran 𝐺) ∧ π‘Œ β‰  0 ) β†’ (π‘€β€˜((◑𝐹 β€œ {𝑋}) ∩ (◑𝐺 β€œ {π‘Œ}))) < +∞)
11388, 112jaodan 956 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐹 ∧ π‘Œ ∈ ran 𝐺) ∧ (𝑋 β‰  0 ∨ π‘Œ β‰  0 )) β†’ (π‘€β€˜((◑𝐹 β€œ {𝑋}) ∩ (◑𝐺 β€œ {π‘Œ}))) < +∞)
114 xrre3 13018 . . 3 ((((π‘€β€˜((◑𝐹 β€œ {𝑋}) ∩ (◑𝐺 β€œ {π‘Œ}))) ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ) ∧ (0 ≀ (π‘€β€˜((◑𝐹 β€œ {𝑋}) ∩ (◑𝐺 β€œ {π‘Œ}))) ∧ (π‘€β€˜((◑𝐹 β€œ {𝑋}) ∩ (◑𝐺 β€œ {π‘Œ}))) < +∞)) β†’ (π‘€β€˜((◑𝐹 β€œ {𝑋}) ∩ (◑𝐺 β€œ {π‘Œ}))) ∈ ℝ)
11558, 60, 63, 113, 114syl22anc 837 . 2 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐹 ∧ π‘Œ ∈ ran 𝐺) ∧ (𝑋 β‰  0 ∨ π‘Œ β‰  0 )) β†’ (π‘€β€˜((◑𝐹 β€œ {𝑋}) ∩ (◑𝐺 β€œ {π‘Œ}))) ∈ ℝ)
116 elico2 13256 . . 3 ((0 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) β†’ ((π‘€β€˜((◑𝐹 β€œ {𝑋}) ∩ (◑𝐺 β€œ {π‘Œ}))) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((π‘€β€˜((◑𝐹 β€œ {𝑋}) ∩ (◑𝐺 β€œ {π‘Œ}))) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (π‘€β€˜((◑𝐹 β€œ {𝑋}) ∩ (◑𝐺 β€œ {π‘Œ}))) ∧ (π‘€β€˜((◑𝐹 β€œ {𝑋}) ∩ (◑𝐺 β€œ {π‘Œ}))) < +∞)))
11759, 72, 116mp2an 690 . 2 ((π‘€β€˜((◑𝐹 β€œ {𝑋}) ∩ (◑𝐺 β€œ {π‘Œ}))) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((π‘€β€˜((◑𝐹 β€œ {𝑋}) ∩ (◑𝐺 β€œ {π‘Œ}))) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (π‘€β€˜((◑𝐹 β€œ {𝑋}) ∩ (◑𝐺 β€œ {π‘Œ}))) ∧ (π‘€β€˜((◑𝐹 β€œ {𝑋}) ∩ (◑𝐺 β€œ {π‘Œ}))) < +∞))
118115, 63, 113, 117syl3anbrc 1343 1 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐹 ∧ π‘Œ ∈ ran 𝐺) ∧ (𝑋 β‰  0 ∨ π‘Œ β‰  0 )) β†’ (π‘€β€˜((◑𝐹 β€œ {𝑋}) ∩ (◑𝐺 β€œ {π‘Œ}))) ∈ (0[,)+∞))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2941   βˆ– cdif 3905   ∩ cin 3907   βŠ† wss 3908  {csn 4584  βˆͺ cuni 4863   class class class wbr 5103  β—‘ccnv 5629  dom cdm 5630  ran crn 5631   β€œ cima 5633  β€˜cfv 6491  (class class class)co 7349  β„cr 10983  0cc0 10984  +∞cpnf 11119  β„*cxr 11121   < clt 11122   ≀ cle 11123  [,)cico 13194  [,]cicc 13195  Basecbs 17017  Scalarcsca 17070   ·𝑠 cvsca 17071  TopOpenctopn 17237  0gc0g 17255  Topctop 22164  TopSpctps 22203  Clsdccld 22289  Frect1 22580  β„Homcrrh 32347  sigAlgebracsiga 32480  sigaGencsigagen 32510  measurescmeas 32567  MblFnMcmbfm 32621  sitgcsitg 32702
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7662  ax-inf2 9510  ax-ac2 10332  ax-cnex 11040  ax-resscn 11041  ax-1cn 11042  ax-icn 11043  ax-addcl 11044  ax-addrcl 11045  ax-mulcl 11046  ax-mulrcl 11047  ax-mulcom 11048  ax-addass 11049  ax-mulass 11050  ax-distr 11051  ax-i2m1 11052  ax-1ne0 11053  ax-1rid 11054  ax-rnegex 11055  ax-rrecex 11056  ax-cnre 11057  ax-pre-lttri 11058  ax-pre-lttrn 11059  ax-pre-ltadd 11060  ax-pre-mulgt0 11061  ax-pre-sup 11062  ax-addf 11063  ax-mulf 11064
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-iin 4955  df-disj 5069  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5528  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5636  df-rel 5637  df-cnv 5638  df-co 5639  df-dm 5640  df-rn 5641  df-res 5642  df-ima 5643  df-pred 6249  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6443  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-isom 6500  df-riota 7305  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-of 7607  df-om 7793  df-1st 7911  df-2nd 7912  df-supp 8060  df-frecs 8179  df-wrecs 8210  df-recs 8284  df-rdg 8323  df-1o 8379  df-2o 8380  df-er 8581  df-map 8700  df-pm 8701  df-ixp 8769  df-en 8817  df-dom 8818  df-sdom 8819  df-fin 8820  df-fsupp 9239  df-fi 9280  df-sup 9311  df-inf 9312  df-oi 9379  df-dju 9770  df-card 9808  df-acn 9811  df-ac 9985  df-pnf 11124  df-mnf 11125  df-xr 11126  df-ltxr 11127  df-le 11128  df-sub 11320  df-neg 11321  df-div 11746  df-nn 12087  df-2 12149  df-3 12150  df-4 12151  df-5 12152  df-6 12153  df-7 12154  df-8 12155  df-9 12156  df-n0 12347  df-z 12433  df-dec 12551  df-uz 12696  df-q 12802  df-rp 12844  df-xneg 12961  df-xadd 12962  df-xmul 12963  df-ioo 13196  df-ioc 13197  df-ico 13198  df-icc 13199  df-fz 13353  df-fzo 13496  df-fl 13625  df-mod 13703  df-seq 13835  df-exp 13896  df-fac 14101  df-bc 14130  df-hash 14158  df-shft 14885  df-cj 14917  df-re 14918  df-im 14919  df-sqrt 15053  df-abs 15054  df-limsup 15287  df-clim 15304  df-rlim 15305  df-sum 15505  df-ef 15884  df-sin 15886  df-cos 15887  df-pi 15889  df-struct 16953  df-sets 16970  df-slot 16988  df-ndx 17000  df-base 17018  df-ress 17047  df-plusg 17080  df-mulr 17081  df-starv 17082  df-sca 17083  df-vsca 17084  df-ip 17085  df-tset 17086  df-ple 17087  df-ds 17089  df-unif 17090  df-hom 17091  df-cco 17092  df-rest 17238  df-topn 17239  df-0g 17257  df-gsum 17258  df-topgen 17259  df-pt 17260  df-prds 17263  df-ordt 17317  df-xrs 17318  df-qtop 17323  df-imas 17324  df-xps 17326  df-mre 17400  df-mrc 17401  df-acs 17403  df-ps 18389  df-tsr 18390  df-plusf 18430  df-mgm 18431  df-sgrp 18480  df-mnd 18491  df-mhm 18535  df-submnd 18536  df-grp 18685  df-minusg 18686  df-sbg 18687  df-mulg 18806  df-subg 18857  df-cntz 19029  df-cmn 19493  df-abl 19494  df-mgp 19826  df-ur 19843  df-ring 19890  df-cring 19891  df-subrg 20143  df-abv 20199  df-lmod 20247  df-scaf 20248  df-sra 20556  df-rgmod 20557  df-psmet 20711  df-xmet 20712  df-met 20713  df-bl 20714  df-mopn 20715  df-fbas 20716  df-fg 20717  df-cnfld 20720  df-top 22165  df-topon 22182  df-topsp 22204  df-bases 22218  df-cld 22292  df-ntr 22293  df-cls 22294  df-nei 22371  df-lp 22409  df-perf 22410  df-cn 22500  df-cnp 22501  df-t1 22587  df-haus 22588  df-tx 22835  df-hmeo 23028  df-fil 23119  df-fm 23211  df-flim 23212  df-flf 23213  df-tmd 23345  df-tgp 23346  df-tsms 23400  df-trg 23433  df-xms 23595  df-ms 23596  df-tms 23597  df-nm 23860  df-ngp 23861  df-nrg 23863  df-nlm 23864  df-ii 24162  df-cncf 24163  df-limc 25152  df-dv 25153  df-log 25834  df-esum 32400  df-siga 32481  df-sigagen 32511  df-meas 32568  df-mbfm 32622  df-sitg 32703
This theorem is referenced by:  sibfof  32713  sitgaddlemb  32721
  Copyright terms: Public domain W3C validator