Theorem invrcn 24124

Description: The multiplicative inverse function is a continuous function from the unit group (that is, the nonzero numbers) to the field. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulrcn.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑅)
invrcn.i	⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)
invrcn.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
invrcn	⊢ (𝑅 ∈ TopDRing → 𝐼 ∈ ((𝐽 ↾t 𝑈) Cn 𝐽))

Proof of Theorem invrcn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tdrgtps 24120	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ TopDRing → 𝑅 ∈ TopSp)
2		mulrcn.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑅)
3	2	tpstop 22880	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ TopSp → 𝐽 ∈ Top)
4		cnrest2r 23230	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ((𝐽 ↾t 𝑈) Cn (𝐽 ↾t 𝑈)) ⊆ ((𝐽 ↾t 𝑈) Cn 𝐽))
5	1, 3, 4	3syl 18	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ TopDRing → ((𝐽 ↾t 𝑈) Cn (𝐽 ↾t 𝑈)) ⊆ ((𝐽 ↾t 𝑈) Cn 𝐽))
6		invrcn.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)
7		invrcn.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
8	2, 6, 7	invrcn2 24123	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ TopDRing → 𝐼 ∈ ((𝐽 ↾t 𝑈) Cn (𝐽 ↾t 𝑈)))
9	5, 8	sseldd 3964	1 ⊢ (𝑅 ∈ TopDRing → 𝐼 ∈ ((𝐽 ↾t 𝑈) Cn 𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3931  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ↾_t crest 17439  TopOpenctopn 17440  Unitcui 20320  inv_rcinvr 20352  Topctop 22836  TopSpctps 22875   Cn ccn 23167  TopDRingctdrg 24100

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8724  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fi 9428  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-sets 17188  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-tset 17295  df-rest 17441  df-topn 17442  df-topgen 17462  df-minusg 18925  df-mgp 20106  df-invr 20353  df-top 22837  df-topon 22854  df-topsp 22876  df-bases 22889  df-cn 23170  df-tmd 24015  df-tgp 24016  df-trg 24103  df-tdrg 24104

This theorem is referenced by:  dvrcn  24127