Theorem invrcn 22361

Description: The multiplicative inverse function is a continuous function from the unit group (that is, the nonzero numbers) to the field. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulrcn.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑅)
invrcn.i	⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)
invrcn.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
invrcn	⊢ (𝑅 ∈ TopDRing → 𝐼 ∈ ((𝐽 ↾t 𝑈) Cn 𝐽))

Proof of Theorem invrcn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tdrgtps 22357	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ TopDRing → 𝑅 ∈ TopSp)
2		mulrcn.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑅)
3	2	tpstop 21119	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ TopSp → 𝐽 ∈ Top)
4		cnrest2r 21469	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ((𝐽 ↾t 𝑈) Cn (𝐽 ↾t 𝑈)) ⊆ ((𝐽 ↾t 𝑈) Cn 𝐽))
5	1, 3, 4	3syl 18	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ TopDRing → ((𝐽 ↾t 𝑈) Cn (𝐽 ↾t 𝑈)) ⊆ ((𝐽 ↾t 𝑈) Cn 𝐽))
6		invrcn.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)
7		invrcn.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
8	2, 6, 7	invrcn2 22360	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ TopDRing → 𝐼 ∈ ((𝐽 ↾t 𝑈) Cn (𝐽 ↾t 𝑈)))
9	5, 8	sseldd 3828	1 ⊢ (𝑅 ∈ TopDRing → 𝐼 ∈ ((𝐽 ↾t 𝑈) Cn 𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1656   ∈ wcel 2164   ⊆ wss 3798  ‘cfv 6127  (class class class)co 6910   ↾_t crest 16441  TopOpenctopn 16442  Unitcui 19000  inv_rcinvr 19032  Topctop 21075  TopSpctps 21114   Cn ccn 21406  TopDRingctdrg 22337

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-oadd 7835  df-er 8014  df-map 8129  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-fin 8232  df-fi 8592  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-nn 11358  df-2 11421  df-3 11422  df-4 11423  df-5 11424  df-6 11425  df-7 11426  df-8 11427  df-9 11428  df-ndx 16232  df-slot 16233  df-base 16235  df-sets 16236  df-ress 16237  df-plusg 16325  df-tset 16331  df-rest 16443  df-topn 16444  df-topgen 16464  df-minusg 17787  df-mgp 18851  df-invr 19033  df-top 21076  df-topon 21093  df-topsp 21115  df-bases 21128  df-cn 21409  df-tmd 22253  df-tgp 22254  df-trg 22340  df-tdrg 22341

This theorem is referenced by:  dvrcn  22364