Theorem invrcn 24501

Description: The multiplicative inverse function is a continuous function from the unit group (that is, the nonzero numbers) to the field. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulrcn.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑅)
invrcn.i	⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)
invrcn.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
invrcn	⊢ (𝑅 ∈ TopDRing → 𝐼 ∈ ((𝐽 ↾t 𝑈) Cn 𝐽))

Proof of Theorem invrcn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tdrgtps 24497	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ TopDRing → 𝑅 ∈ TopSp)
2		mulrcn.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑅)
3	2	tpstop 23256	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ TopSp → 𝐽 ∈ Top)
4		cnrest2r 23606	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ((𝐽 ↾t 𝑈) Cn (𝐽 ↾t 𝑈)) ⊆ ((𝐽 ↾t 𝑈) Cn 𝐽))
5	1, 3, 4	3syl 19	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ TopDRing → ((𝐽 ↾t 𝑈) Cn (𝐽 ↾t 𝑈)) ⊆ ((𝐽 ↾t 𝑈) Cn 𝐽))
6		invrcn.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)
7		invrcn.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
8	2, 6, 7	invrcn2 24500	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ TopDRing → 𝐼 ∈ ((𝐽 ↾t 𝑈) Cn (𝐽 ↾t 𝑈)))
9	5, 8	sseldd 3930	1 ⊢ (𝑅 ∈ TopDRing → 𝐼 ∈ ((𝐽 ↾t 𝑈) Cn 𝐽))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3914  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421   ↾_t crest 17592  TopOpenctopn 17593  Unitcui 20586  inv_rcinvr 20618  Topctop 23212  TopSpctps 23251   Cn ccn 23543  TopDRingctdrg 24477

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7752  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3915  df-pss 4035  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6305  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-er 8718  df-map 8850  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-fi 9404  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-nn 12337  df-2 12406  df-3 12407  df-4 12408  df-5 12409  df-6 12410  df-7 12411  df-8 12412  df-9 12413  df-sets 17343  df-slot 17361  df-ndx 17373  df-base 17389  df-ress 17410  df-plusg 17442  df-tset 17448  df-rest 17594  df-topn 17595  df-topgen 17615  df-minusg 19149  df-mgp 20362  df-invr 20619  df-top 23213  df-topon 23230  df-topsp 23252  df-bases 23265  df-cn 23546  df-tmd 24392  df-tgp 24393  df-trg 24480  df-tdrg 24481

This theorem is used by:  dvrcn  24504