Theorem invrcn 24103

Description: The multiplicative inverse function is a continuous function from the unit group (that is, the nonzero numbers) to the field. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulrcn.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑅)
invrcn.i	⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)
invrcn.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
invrcn	⊢ (𝑅 ∈ TopDRing → 𝐼 ∈ ((𝐽 ↾t 𝑈) Cn 𝐽))

Proof of Theorem invrcn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tdrgtps 24099	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ TopDRing → 𝑅 ∈ TopSp)
2		mulrcn.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑅)
3	2	tpstop 22857	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ TopSp → 𝐽 ∈ Top)
4		cnrest2r 23209	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ((𝐽 ↾t 𝑈) Cn (𝐽 ↾t 𝑈)) ⊆ ((𝐽 ↾t 𝑈) Cn 𝐽))
5	1, 3, 4	3syl 18	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ TopDRing → ((𝐽 ↾t 𝑈) Cn (𝐽 ↾t 𝑈)) ⊆ ((𝐽 ↾t 𝑈) Cn 𝐽))
6		invrcn.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)
7		invrcn.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
8	2, 6, 7	invrcn2 24102	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ TopDRing → 𝐼 ∈ ((𝐽 ↾t 𝑈) Cn (𝐽 ↾t 𝑈)))
9	5, 8	sseldd 3981	1 ⊢ (𝑅 ∈ TopDRing → 𝐼 ∈ ((𝐽 ↾t 𝑈) Cn 𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ⊆ wss 3947  ‘cfv 6551  (class class class)co 7424   ↾_t crest 17407  TopOpenctopn 17408  Unitcui 20299  inv_rcinvr 20331  Topctop 22813  TopSpctps 22852   Cn ccn 23146  TopDRingctdrg 24079

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7875  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-er 8729  df-map 8851  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-fi 9440  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-5 12314  df-6 12315  df-7 12316  df-8 12317  df-9 12318  df-sets 17138  df-slot 17156  df-ndx 17168  df-base 17186  df-ress 17215  df-plusg 17251  df-tset 17257  df-rest 17409  df-topn 17410  df-topgen 17430  df-minusg 18899  df-mgp 20080  df-invr 20332  df-top 22814  df-topon 22831  df-topsp 22853  df-bases 22867  df-cn 23149  df-tmd 23994  df-tgp 23995  df-trg 24082  df-tdrg 24083

This theorem is referenced by:  dvrcn  24106