MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  invrcn Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem invrcn 24098
Description: The multiplicative inverse function is a continuous function from the unit group (that is, the nonzero numbers) to the field. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mulrcn.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘…)
invrcn.i 𝐼 = (invrβ€˜π‘…)
invrcn.u π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
invrcn (𝑅 ∈ TopDRing β†’ 𝐼 ∈ ((𝐽 β†Ύt π‘ˆ) Cn 𝐽))
Proof of Theorem invrcn
StepHypRef Expression
1 tdrgtps 24094 . . 3 (𝑅 ∈ TopDRing β†’ 𝑅 ∈ TopSp)
2 mulrcn.j . . . 4 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘…)
32tpstop 22852 . . 3 (𝑅 ∈ TopSp β†’ 𝐽 ∈ Top)
4 cnrest2r 23204 . . 3 (𝐽 ∈ Top β†’ ((𝐽 β†Ύt π‘ˆ) Cn (𝐽 β†Ύt π‘ˆ)) βŠ† ((𝐽 β†Ύt π‘ˆ) Cn 𝐽))
51, 3, 43syl 18 . 2 (𝑅 ∈ TopDRing β†’ ((𝐽 β†Ύt π‘ˆ) Cn (𝐽 β†Ύt π‘ˆ)) βŠ† ((𝐽 β†Ύt π‘ˆ) Cn 𝐽))
6 invrcn.i . . 3 𝐼 = (invrβ€˜π‘…)
7 invrcn.u . . 3 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
82, 6, 7invrcn2 24097 . 2 (𝑅 ∈ TopDRing β†’ 𝐼 ∈ ((𝐽 β†Ύt π‘ˆ) Cn (𝐽 β†Ύt π‘ˆ)))
95, 8sseldd 3981 1 (𝑅 ∈ TopDRing β†’ 𝐼 ∈ ((𝐽 β†Ύt π‘ˆ) Cn 𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   βŠ† wss 3947  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420   β†Ύt crest 17402  TopOpenctopn 17403  Unitcui 20294  invrcinvr 20326  Topctop 22808  TopSpctps 22847   Cn ccn 23141  TopDRingctdrg 24074
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fi 9435  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-9 12313  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-ress 17210  df-plusg 17246  df-tset 17252  df-rest 17404  df-topn 17405  df-topgen 17425  df-minusg 18894  df-mgp 20075  df-invr 20327  df-top 22809  df-topon 22826  df-topsp 22848  df-bases 22862  df-cn 23144  df-tmd 23989  df-tgp 23990  df-trg 24077  df-tdrg 24078
This theorem is referenced by:  dvrcn  24101
  Copyright terms: Public domain W3C validator