Theorem lfuhgr1v0e 29181

Description: A loop-free hypergraph with one vertex has no edges. (Contributed by AV, 18-Oct-2020.) (Revised by AV, 2-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
lfuhgr1v0e.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
lfuhgr1v0e.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
lfuhgr1v0e.e	⊢ 𝐸 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}

Assertion

Ref	Expression
lfuhgr1v0e	⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (♯‘𝑉) = 1 ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶𝐸) → (Edg‘𝐺) = ∅)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝑉

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑥)   𝐼(𝑥)

Proof of Theorem lfuhgr1v0e

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lfuhgr1v0e.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
2	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (♯‘𝑉) = 1) → 𝐼 = (iEdg‘𝐺))
3	1	dmeqi 5868	. . . . . 6 ⊢ dom 𝐼 = dom (iEdg‘𝐺)
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (♯‘𝑉) = 1) → dom 𝐼 = dom (iEdg‘𝐺))
5		lfuhgr1v0e.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}
6		lfuhgr1v0e.v	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
7	6	fvexi 6872	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑉 ∈ V
8		hash1snb 14384	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑉 ∈ V → ((♯‘𝑉) = 1 ↔ ∃𝑣 𝑉 = {𝑣}))
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑉) = 1 ↔ ∃𝑣 𝑉 = {𝑣})
10		pweq 4577	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑉 = {𝑣} → 𝒫 𝑉 = 𝒫 {𝑣})
11	10	rabeqdv 3421	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑉 = {𝑣} → {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} = {𝑥 ∈ 𝒫 {𝑣} ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)})
12		2pos 12289	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 < 2
13		0re 11176	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 ∈ ℝ
14		2re 12260	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ ℝ
15	13, 14	ltnlei 11295	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0 < 2 ↔ ¬ 2 ≤ 0)
16	12, 15	mpbi 230	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ¬ 2 ≤ 0
17		1lt2 12352	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 < 2
18		1re 11174	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 ∈ ℝ
19	18, 14	ltnlei 11295	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1 < 2 ↔ ¬ 2 ≤ 1)
20	17, 19	mpbi 230	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ¬ 2 ≤ 1
21		0ex 5262	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ∅ ∈ V
22		vsnex 5389	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ {𝑣} ∈ V
23		fveq2 6858	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = ∅ → (♯‘𝑥) = (♯‘∅))
24		hash0 14332	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (♯‘∅) = 0
25	23, 24	eqtrdi 2780	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = ∅ → (♯‘𝑥) = 0)
26	25	breq2d 5119	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = ∅ → (2 ≤ (♯‘𝑥) ↔ 2 ≤ 0))
27	26	notbid 318	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = ∅ → (¬ 2 ≤ (♯‘𝑥) ↔ ¬ 2 ≤ 0))
28		fveq2 6858	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = {𝑣} → (♯‘𝑥) = (♯‘{𝑣}))
29		hashsng 14334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑣 ∈ V → (♯‘{𝑣}) = 1)
30	29	elv 3452	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (♯‘{𝑣}) = 1
31	28, 30	eqtrdi 2780	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = {𝑣} → (♯‘𝑥) = 1)
32	31	breq2d 5119	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = {𝑣} → (2 ≤ (♯‘𝑥) ↔ 2 ≤ 1))
33	32	notbid 318	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = {𝑣} → (¬ 2 ≤ (♯‘𝑥) ↔ ¬ 2 ≤ 1))
34	21, 22, 27, 33	ralpr 4664	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀𝑥 ∈ {∅, {𝑣}} ¬ 2 ≤ (♯‘𝑥) ↔ (¬ 2 ≤ 0 ∧ ¬ 2 ≤ 1))
35	16, 20, 34	mpbir2an 711	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∀𝑥 ∈ {∅, {𝑣}} ¬ 2 ≤ (♯‘𝑥)
36		pwsn 4864	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝒫 {𝑣} = {∅, {𝑣}}
37	36	raleqi 3297	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝒫 {𝑣} ¬ 2 ≤ (♯‘𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ {∅, {𝑣}} ¬ 2 ≤ (♯‘𝑥))
38	35, 37	mpbir 231	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝒫 {𝑣} ¬ 2 ≤ (♯‘𝑥)
39		rabeq0 4351	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝒫 {𝑣} ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ 𝒫 {𝑣} ¬ 2 ≤ (♯‘𝑥))
40	38, 39	mpbir 231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝑥 ∈ 𝒫 {𝑣} ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} = ∅
41	11, 40	eqtrdi 2780	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑉 = {𝑣} → {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} = ∅)
42	41	a1d 25	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑉 = {𝑣} → (𝐺 ∈ UHGraph → {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} = ∅))
43	42	exlimiv 1930	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑣 𝑉 = {𝑣} → (𝐺 ∈ UHGraph → {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} = ∅))
44	9, 43	sylbi 217	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑉) = 1 → (𝐺 ∈ UHGraph → {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} = ∅))
45	44	impcom 407	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (♯‘𝑉) = 1) → {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} = ∅)
46	5, 45	eqtrid 2776	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (♯‘𝑉) = 1) → 𝐸 = ∅)
47	2, 4, 46	feq123d 6677	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (♯‘𝑉) = 1) → (𝐼:dom 𝐼⟶𝐸 ↔ (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶∅))
48	47	biimp3a 1471	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (♯‘𝑉) = 1 ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶𝐸) → (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶∅)
49		f00 6742	. . . 4 ⊢ ((iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶∅ ↔ ((iEdg‘𝐺) = ∅ ∧ dom (iEdg‘𝐺) = ∅))
50	49	simplbi 497	. . 3 ⊢ ((iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶∅ → (iEdg‘𝐺) = ∅)
51	48, 50	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (♯‘𝑉) = 1 ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶𝐸) → (iEdg‘𝐺) = ∅)
52		uhgriedg0edg0 29054	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → ((Edg‘𝐺) = ∅ ↔ (iEdg‘𝐺) = ∅))
53	52	3ad2ant1 1133	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (♯‘𝑉) = 1 ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶𝐸) → ((Edg‘𝐺) = ∅ ↔ (iEdg‘𝐺) = ∅))
54	51, 53	mpbird 257	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (♯‘𝑉) = 1 ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶𝐸) → (Edg‘𝐺) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  {crab 3405  Vcvv 3447  ∅c0 4296  𝒫 cpw 4563  {csn 4589  {cpr 4591   class class class wbr 5107  dom cdm 5638  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  0cc0 11068  1c1 11069   < clt 11208   ≤ cle 11209  2c2 12241  ♯chash 14295  Vtxcvtx 28923  iEdgciedg 28924  Edgcedg 28974  UHGraphcuhgr 28983

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-oadd 8438  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-dju 9854  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-fz 13469  df-hash 14296  df-edg 28975  df-uhgr 28985

This theorem is referenced by:  usgr1vr  29182  vtxdlfuhgr1v  29407