Theorem lfuhgr1v0e 29337

Description: A loop-free hypergraph with one vertex has no edges. (Contributed by AV, 18-Oct-2020.) (Revised by AV, 2-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
lfuhgr1v0e.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
lfuhgr1v0e.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
lfuhgr1v0e.e	⊢ 𝐸 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}

Assertion

Ref	Expression
lfuhgr1v0e	⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (♯‘𝑉) = 1 ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶𝐸) → (Edg‘𝐺) = ∅)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝑉

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑥)   𝐼(𝑥)

Proof of Theorem lfuhgr1v0e

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lfuhgr1v0e.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
2	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (♯‘𝑉) = 1) → 𝐼 = (iEdg‘𝐺))
3	1	dmeqi 5853	. . . . . 6 ⊢ dom 𝐼 = dom (iEdg‘𝐺)
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (♯‘𝑉) = 1) → dom 𝐼 = dom (iEdg‘𝐺))
5		lfuhgr1v0e.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}
6		lfuhgr1v0e.v	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
7	6	fvexi 6848	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑉 ∈ V
8		hash1snb 14372	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑉 ∈ V → ((♯‘𝑉) = 1 ↔ ∃𝑣 𝑉 = {𝑣}))
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑉) = 1 ↔ ∃𝑣 𝑉 = {𝑣})
10		pweq 4556	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑉 = {𝑣} → 𝒫 𝑉 = 𝒫 {𝑣})
11	10	rabeqdv 3405	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑉 = {𝑣} → {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} = {𝑥 ∈ 𝒫 {𝑣} ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)})
12		2pos 12275	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 < 2
13		0re 11137	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 ∈ ℝ
14		2re 12246	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ ℝ
15	13, 14	ltnlei 11258	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0 < 2 ↔ ¬ 2 ≤ 0)
16	12, 15	mpbi 230	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ¬ 2 ≤ 0
17		1lt2 12338	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 < 2
18		1re 11135	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 ∈ ℝ
19	18, 14	ltnlei 11258	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1 < 2 ↔ ¬ 2 ≤ 1)
20	17, 19	mpbi 230	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ¬ 2 ≤ 1
21		0ex 5242	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ∅ ∈ V
22		vsnex 5372	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ {𝑣} ∈ V
23		fveq2 6834	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = ∅ → (♯‘𝑥) = (♯‘∅))
24		hash0 14320	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (♯‘∅) = 0
25	23, 24	eqtrdi 2788	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = ∅ → (♯‘𝑥) = 0)
26	25	breq2d 5098	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = ∅ → (2 ≤ (♯‘𝑥) ↔ 2 ≤ 0))
27	26	notbid 318	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = ∅ → (¬ 2 ≤ (♯‘𝑥) ↔ ¬ 2 ≤ 0))
28		fveq2 6834	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = {𝑣} → (♯‘𝑥) = (♯‘{𝑣}))
29		hashsng 14322	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑣 ∈ V → (♯‘{𝑣}) = 1)
30	29	elv 3435	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (♯‘{𝑣}) = 1
31	28, 30	eqtrdi 2788	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = {𝑣} → (♯‘𝑥) = 1)
32	31	breq2d 5098	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = {𝑣} → (2 ≤ (♯‘𝑥) ↔ 2 ≤ 1))
33	32	notbid 318	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = {𝑣} → (¬ 2 ≤ (♯‘𝑥) ↔ ¬ 2 ≤ 1))
34	21, 22, 27, 33	ralpr 4645	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀𝑥 ∈ {∅, {𝑣}} ¬ 2 ≤ (♯‘𝑥) ↔ (¬ 2 ≤ 0 ∧ ¬ 2 ≤ 1))
35	16, 20, 34	mpbir2an 712	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∀𝑥 ∈ {∅, {𝑣}} ¬ 2 ≤ (♯‘𝑥)
36		pwsn 4844	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝒫 {𝑣} = {∅, {𝑣}}
37	36	raleqi 3294	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝒫 {𝑣} ¬ 2 ≤ (♯‘𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ {∅, {𝑣}} ¬ 2 ≤ (♯‘𝑥))
38	35, 37	mpbir 231	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝒫 {𝑣} ¬ 2 ≤ (♯‘𝑥)
39		rabeq0 4329	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝒫 {𝑣} ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ 𝒫 {𝑣} ¬ 2 ≤ (♯‘𝑥))
40	38, 39	mpbir 231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝑥 ∈ 𝒫 {𝑣} ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} = ∅
41	11, 40	eqtrdi 2788	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑉 = {𝑣} → {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} = ∅)
42	41	a1d 25	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑉 = {𝑣} → (𝐺 ∈ UHGraph → {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} = ∅))
43	42	exlimiv 1932	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑣 𝑉 = {𝑣} → (𝐺 ∈ UHGraph → {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} = ∅))
44	9, 43	sylbi 217	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑉) = 1 → (𝐺 ∈ UHGraph → {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} = ∅))
45	44	impcom 407	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (♯‘𝑉) = 1) → {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} = ∅)
46	5, 45	eqtrid 2784	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (♯‘𝑉) = 1) → 𝐸 = ∅)
47	2, 4, 46	feq123d 6651	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (♯‘𝑉) = 1) → (𝐼:dom 𝐼⟶𝐸 ↔ (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶∅))
48	47	biimp3a 1472	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (♯‘𝑉) = 1 ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶𝐸) → (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶∅)
49		f00 6716	. . . 4 ⊢ ((iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶∅ ↔ ((iEdg‘𝐺) = ∅ ∧ dom (iEdg‘𝐺) = ∅))
50	49	simplbi 496	. . 3 ⊢ ((iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶∅ → (iEdg‘𝐺) = ∅)
51	48, 50	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (♯‘𝑉) = 1 ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶𝐸) → (iEdg‘𝐺) = ∅)
52		uhgriedg0edg0 29210	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → ((Edg‘𝐺) = ∅ ↔ (iEdg‘𝐺) = ∅))
53	52	3ad2ant1 1134	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (♯‘𝑉) = 1 ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶𝐸) → ((Edg‘𝐺) = ∅ ↔ (iEdg‘𝐺) = ∅))
54	51, 53	mpbird 257	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (♯‘𝑉) = 1 ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶𝐸) → (Edg‘𝐺) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  {crab 3390  Vcvv 3430  ∅c0 4274  𝒫 cpw 4542  {csn 4568  {cpr 4570   class class class wbr 5086  dom cdm 5624  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  0cc0 11029  1c1 11030   < clt 11170   ≤ cle 11171  2c2 12227  ♯chash 14283  Vtxcvtx 29079  iEdgciedg 29080  Edgcedg 29130  UHGraphcuhgr 29139

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-oadd 8402  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-dju 9816  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-hash 14284  df-edg 29131  df-uhgr 29141

This theorem is referenced by:  usgr1vr  29338  vtxdlfuhgr1v  29563