Theorem lfuhgr1v0e 29840

Description: A loop-free hypergraph with one vertex has no edges. (Contributed by AV, 18-Oct-2020.) (Revised by AV, 2-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
lfuhgr1v0e.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
lfuhgr1v0e.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
lfuhgr1v0e.e	⊢ 𝐸 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}

Assertion

Ref	Expression
lfuhgr1v0e	⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (♯‘𝑉) = 1 ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶𝐸) → (Edg‘𝐺) = ∅)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝑉

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑥)   𝐼(𝑥)

Proof of Theorem lfuhgr1v0e

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lfuhgr1v0e.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
2	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (♯‘𝑉) = 1) → 𝐼 = (iEdg‘𝐺))
3	1	dmeqi 5885	. . . . . 6 ⊢ dom 𝐼 = dom (iEdg‘𝐺)
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (♯‘𝑉) = 1) → dom 𝐼 = dom (iEdg‘𝐺))
5		lfuhgr1v0e.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}
6		lfuhgr1v0e.v	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
7	6	fvexi 6899	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑉 ∈ V
8		hash1snb 14567	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑉 ∈ V → ((♯‘𝑉) = 1 ↔ ∃𝑣 𝑉 = {𝑣}))
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑉) = 1 ↔ ∃𝑣 𝑉 = {𝑣})
10		pweq 4570	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑉 = {𝑣} → 𝒫 𝑉 = 𝒫 {𝑣})
11	10	rabeqdv 3427	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑉 = {𝑣} → {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} = {𝑥 ∈ 𝒫 {𝑣} ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)})
12		2pos 12450	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 < 2
13		0re 11313	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 ∈ ℝ
14		2re 12420	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ ℝ
15	13, 14	ltnlei 11434	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0 < 2 ↔ ¬ 2 ≤ 0)
16	12, 15	mpbi 233	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ¬ 2 ≤ 0
17		1lt2 12518	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 < 2
18		1re 11311	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 ∈ ℝ
19	18, 14	ltnlei 11434	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1 < 2 ↔ ¬ 2 ≤ 1)
20	17, 19	mpbi 233	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ¬ 2 ≤ 1
21		0ex 5260	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ∅ ∈ V
22		vsnex 5392	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ {𝑣} ∈ V
23		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = ∅ → (♯‘𝑥) = (♯‘∅))
24		hash0 14514	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (♯‘∅) = 0
25	23, 24	eqtrdi 2811	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = ∅ → (♯‘𝑥) = 0)
26	25	breq2d 5114	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = ∅ → (2 ≤ (♯‘𝑥) ↔ 2 ≤ 0))
27	26	notbid 321	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = ∅ → (¬ 2 ≤ (♯‘𝑥) ↔ ¬ 2 ≤ 0))
28		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = {𝑣} → (♯‘𝑥) = (♯‘{𝑣}))
29		hashsng 14516	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑣 ∈ V → (♯‘{𝑣}) = 1)
30	29	elv 3455	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (♯‘{𝑣}) = 1
31	28, 30	eqtrdi 2811	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = {𝑣} → (♯‘𝑥) = 1)
32	31	breq2d 5114	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = {𝑣} → (2 ≤ (♯‘𝑥) ↔ 2 ≤ 1))
33	32	notbid 321	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = {𝑣} → (¬ 2 ≤ (♯‘𝑥) ↔ ¬ 2 ≤ 1))
34	21, 22, 27, 33	ralpr 4657	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀𝑥 ∈ {∅, {𝑣}} ¬ 2 ≤ (♯‘𝑥) ↔ (¬ 2 ≤ 0 ∧ ¬ 2 ≤ 1))
35	16, 20, 34	mpbir2an 724	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∀𝑥 ∈ {∅, {𝑣}} ¬ 2 ≤ (♯‘𝑥)
36		pwsn 4826	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝒫 {𝑣} = {∅, {𝑣}}
37	36	raleqi 3317	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝒫 {𝑣} ¬ 2 ≤ (♯‘𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ {∅, {𝑣}} ¬ 2 ≤ (♯‘𝑥))
38	35, 37	mpbir 234	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝒫 {𝑣} ¬ 2 ≤ (♯‘𝑥)
39		rabeq0 4337	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝒫 {𝑣} ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ 𝒫 {𝑣} ¬ 2 ≤ (♯‘𝑥))
40	38, 39	mpbir 234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝑥 ∈ 𝒫 {𝑣} ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} = ∅
41	11, 40	eqtrdi 2811	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑉 = {𝑣} → {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} = ∅)
42	41	a1d 26	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑉 = {𝑣} → (𝐺 ∈ UHGraph → {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} = ∅))
43	42	exlimiv 1962	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑣 𝑉 = {𝑣} → (𝐺 ∈ UHGraph → {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} = ∅))
44	9, 43	sylbi 220	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑉) = 1 → (𝐺 ∈ UHGraph → {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} = ∅))
45	44	impcom 413	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (♯‘𝑉) = 1) → {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} = ∅)
46	5, 45	eqtrid 2807	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (♯‘𝑉) = 1) → 𝐸 = ∅)
47	2, 4, 46	feq123d 6698	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (♯‘𝑉) = 1) → (𝐼:dom 𝐼⟶𝐸 ↔ (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶∅))
48	47	biimp3a 1498	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (♯‘𝑉) = 1 ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶𝐸) → (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶∅)
49		f00 6764	. . . 4 ⊢ ((iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶∅ ↔ ((iEdg‘𝐺) = ∅ ∧ dom (iEdg‘𝐺) = ∅))
50	49	simplbi 502	. . 3 ⊢ ((iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶∅ → (iEdg‘𝐺) = ∅)
51	48, 50	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (♯‘𝑉) = 1 ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶𝐸) → (iEdg‘𝐺) = ∅)
52		uhgriedg0edg0 29710	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → ((Edg‘𝐺) = ∅ ↔ (iEdg‘𝐺) = ∅))
53	52	3ad2ant1 1151	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (♯‘𝑉) = 1 ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶𝐸) → ((Edg‘𝐺) = ∅ ↔ (iEdg‘𝐺) = ∅))
54	51, 53	mpbird 260	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (♯‘𝑉) = 1 ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶𝐸) → (Edg‘𝐺) = ∅)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569  ∃wex 1811   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  {crab 3412  Vcvv 3450  ∅c0 4278  𝒫 cpw 4556  {csn 4584  {cpr 4586   class class class wbr 5102  dom cdm 5650  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  0cc0 11203  1c1 11204   < clt 11346   ≤ cle 11347  2c2 12400  ♯chash 14477  Vtxcvtx 29579  iEdgciedg 29580  Edgcedg 29630  UHGraphcuhgr 29639

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-oadd 8483  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-dju 9985  df-card 10023  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-nn 12339  df-2 12408  df-n0 12610  df-z 12697  df-uz 12969  df-fz 13643  df-hash 14478  df-edg 29631  df-uhgr 29641

This theorem is used by:  usgr1vr  29841  vtxdlfuhgr1v  30065