MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lfuhgr1v0e Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lfuhgr1v0e 29271
Description: A loop-free hypergraph with one vertex has no edges. (Contributed by AV, 18-Oct-2020.) (Revised by AV, 2-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
lfuhgr1v0e.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
lfuhgr1v0e.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
lfuhgr1v0e.e 𝐸 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}
Assertion
Ref Expression
lfuhgr1v0e ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (♯‘𝑉) = 1 ∧ 𝐼:dom 𝐼𝐸) → (Edg‘𝐺) = ∅)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝑉
Allowed substitution hints:   𝐸(𝑥)   𝐼(𝑥)

Proof of Theorem lfuhgr1v0e
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lfuhgr1v0e.i . . . . . 6 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
21a1i 11 . . . . 5 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (♯‘𝑉) = 1) → 𝐼 = (iEdg‘𝐺))
31dmeqi 5915 . . . . . 6 dom 𝐼 = dom (iEdg‘𝐺)
43a1i 11 . . . . 5 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (♯‘𝑉) = 1) → dom 𝐼 = dom (iEdg‘𝐺))
5 lfuhgr1v0e.e . . . . . 6 𝐸 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}
6 lfuhgr1v0e.v . . . . . . . . . 10 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
76fvexi 6920 . . . . . . . . 9 𝑉 ∈ V
8 hash1snb 14458 . . . . . . . . 9 (𝑉 ∈ V → ((♯‘𝑉) = 1 ↔ ∃𝑣 𝑉 = {𝑣}))
97, 8ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((♯‘𝑉) = 1 ↔ ∃𝑣 𝑉 = {𝑣})
10 pweq 4614 . . . . . . . . . . . 12 (𝑉 = {𝑣} → 𝒫 𝑉 = 𝒫 {𝑣})
1110rabeqdv 3452 . . . . . . . . . . 11 (𝑉 = {𝑣} → {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} = {𝑥 ∈ 𝒫 {𝑣} ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)})
12 2pos 12369 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 < 2
13 0re 11263 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ ℝ
14 2re 12340 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℝ
1513, 14ltnlei 11382 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0 < 2 ↔ ¬ 2 ≤ 0)
1612, 15mpbi 230 . . . . . . . . . . . . . 14 ¬ 2 ≤ 0
17 1lt2 12437 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 < 2
18 1re 11261 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℝ
1918, 14ltnlei 11382 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 < 2 ↔ ¬ 2 ≤ 1)
2017, 19mpbi 230 . . . . . . . . . . . . . 14 ¬ 2 ≤ 1
21 0ex 5307 . . . . . . . . . . . . . . 15 ∅ ∈ V
22 vsnex 5434 . . . . . . . . . . . . . . 15 {𝑣} ∈ V
23 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = ∅ → (♯‘𝑥) = (♯‘∅))
24 hash0 14406 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (♯‘∅) = 0
2523, 24eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = ∅ → (♯‘𝑥) = 0)
2625breq2d 5155 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = ∅ → (2 ≤ (♯‘𝑥) ↔ 2 ≤ 0))
2726notbid 318 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = ∅ → (¬ 2 ≤ (♯‘𝑥) ↔ ¬ 2 ≤ 0))
28 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = {𝑣} → (♯‘𝑥) = (♯‘{𝑣}))
29 hashsng 14408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑣 ∈ V → (♯‘{𝑣}) = 1)
3029elv 3485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (♯‘{𝑣}) = 1
3128, 30eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = {𝑣} → (♯‘𝑥) = 1)
3231breq2d 5155 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = {𝑣} → (2 ≤ (♯‘𝑥) ↔ 2 ≤ 1))
3332notbid 318 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = {𝑣} → (¬ 2 ≤ (♯‘𝑥) ↔ ¬ 2 ≤ 1))
3421, 22, 27, 33ralpr 4700 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑥 ∈ {∅, {𝑣}} ¬ 2 ≤ (♯‘𝑥) ↔ (¬ 2 ≤ 0 ∧ ¬ 2 ≤ 1))
3516, 20, 34mpbir2an 711 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥 ∈ {∅, {𝑣}} ¬ 2 ≤ (♯‘𝑥)
36 pwsn 4900 . . . . . . . . . . . . . 14 𝒫 {𝑣} = {∅, {𝑣}}
3736raleqi 3324 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑥 ∈ 𝒫 {𝑣} ¬ 2 ≤ (♯‘𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ {∅, {𝑣}} ¬ 2 ≤ (♯‘𝑥))
3835, 37mpbir 231 . . . . . . . . . . . 12 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑣} ¬ 2 ≤ (♯‘𝑥)
39 rabeq0 4388 . . . . . . . . . . . 12 ({𝑥 ∈ 𝒫 {𝑣} ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ 𝒫 {𝑣} ¬ 2 ≤ (♯‘𝑥))
4038, 39mpbir 231 . . . . . . . . . . 11 {𝑥 ∈ 𝒫 {𝑣} ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} = ∅
4111, 40eqtrdi 2793 . . . . . . . . . 10 (𝑉 = {𝑣} → {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} = ∅)
4241a1d 25 . . . . . . . . 9 (𝑉 = {𝑣} → (𝐺 ∈ UHGraph → {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} = ∅))
4342exlimiv 1930 . . . . . . . 8 (∃𝑣 𝑉 = {𝑣} → (𝐺 ∈ UHGraph → {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} = ∅))
449, 43sylbi 217 . . . . . . 7 ((♯‘𝑉) = 1 → (𝐺 ∈ UHGraph → {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} = ∅))
4544impcom 407 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (♯‘𝑉) = 1) → {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} = ∅)
465, 45eqtrid 2789 . . . . 5 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (♯‘𝑉) = 1) → 𝐸 = ∅)
472, 4, 46feq123d 6725 . . . 4 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (♯‘𝑉) = 1) → (𝐼:dom 𝐼𝐸 ↔ (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶∅))
4847biimp3a 1471 . . 3 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (♯‘𝑉) = 1 ∧ 𝐼:dom 𝐼𝐸) → (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶∅)
49 f00 6790 . . . 4 ((iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶∅ ↔ ((iEdg‘𝐺) = ∅ ∧ dom (iEdg‘𝐺) = ∅))
5049simplbi 497 . . 3 ((iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶∅ → (iEdg‘𝐺) = ∅)
5148, 50syl 17 . 2 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (♯‘𝑉) = 1 ∧ 𝐼:dom 𝐼𝐸) → (iEdg‘𝐺) = ∅)
52 uhgriedg0edg0 29144 . . 3 (𝐺 ∈ UHGraph → ((Edg‘𝐺) = ∅ ↔ (iEdg‘𝐺) = ∅))
53523ad2ant1 1134 . 2 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (♯‘𝑉) = 1 ∧ 𝐼:dom 𝐼𝐸) → ((Edg‘𝐺) = ∅ ↔ (iEdg‘𝐺) = ∅))
5451, 53mpbird 257 1 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (♯‘𝑉) = 1 ∧ 𝐼:dom 𝐼𝐸) → (Edg‘𝐺) = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wex 1779  wcel 2108  wral 3061  {crab 3436  Vcvv 3480  c0 4333  𝒫 cpw 4600  {csn 4626  {cpr 4628   class class class wbr 5143  dom cdm 5685  wf 6557  cfv 6561  0cc0 11155  1c1 11156   < clt 11295  cle 11296  2c2 12321  chash 14369  Vtxcvtx 29013  iEdgciedg 29014  Edgcedg 29064  UHGraphcuhgr 29073
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-oadd 8510  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-hash 14370  df-edg 29065  df-uhgr 29075
This theorem is referenced by:  usgr1vr  29272  vtxdlfuhgr1v  29497
  Copyright terms: Public domain W3C validator