MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lfuhgr1v0e Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lfuhgr1v0e 29289
Description: A loop-free hypergraph with one vertex has no edges. (Contributed by AV, 18-Oct-2020.) (Revised by AV, 2-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
lfuhgr1v0e.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
lfuhgr1v0e.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
lfuhgr1v0e.e 𝐸 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}
Assertion
Ref Expression
lfuhgr1v0e ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (♯‘𝑉) = 1 ∧ 𝐼:dom 𝐼𝐸) → (Edg‘𝐺) = ∅)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝑉
Allowed substitution hints:   𝐸(𝑥)   𝐼(𝑥)

Proof of Theorem lfuhgr1v0e
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lfuhgr1v0e.i . . . . . 6 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
21a1i 11 . . . . 5 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (♯‘𝑉) = 1) → 𝐼 = (iEdg‘𝐺))
31dmeqi 5929 . . . . . 6 dom 𝐼 = dom (iEdg‘𝐺)
43a1i 11 . . . . 5 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (♯‘𝑉) = 1) → dom 𝐼 = dom (iEdg‘𝐺))
5 lfuhgr1v0e.e . . . . . 6 𝐸 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}
6 lfuhgr1v0e.v . . . . . . . . . 10 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
76fvexi 6934 . . . . . . . . 9 𝑉 ∈ V
8 hash1snb 14468 . . . . . . . . 9 (𝑉 ∈ V → ((♯‘𝑉) = 1 ↔ ∃𝑣 𝑉 = {𝑣}))
97, 8ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((♯‘𝑉) = 1 ↔ ∃𝑣 𝑉 = {𝑣})
10 pweq 4636 . . . . . . . . . . . 12 (𝑉 = {𝑣} → 𝒫 𝑉 = 𝒫 {𝑣})
1110rabeqdv 3459 . . . . . . . . . . 11 (𝑉 = {𝑣} → {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} = {𝑥 ∈ 𝒫 {𝑣} ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)})
12 2pos 12396 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 < 2
13 0re 11292 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ ℝ
14 2re 12367 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℝ
1513, 14ltnlei 11411 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0 < 2 ↔ ¬ 2 ≤ 0)
1612, 15mpbi 230 . . . . . . . . . . . . . 14 ¬ 2 ≤ 0
17 1lt2 12464 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 < 2
18 1re 11290 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℝ
1918, 14ltnlei 11411 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 < 2 ↔ ¬ 2 ≤ 1)
2017, 19mpbi 230 . . . . . . . . . . . . . 14 ¬ 2 ≤ 1
21 0ex 5325 . . . . . . . . . . . . . . 15 ∅ ∈ V
22 vsnex 5449 . . . . . . . . . . . . . . 15 {𝑣} ∈ V
23 fveq2 6920 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = ∅ → (♯‘𝑥) = (♯‘∅))
24 hash0 14416 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (♯‘∅) = 0
2523, 24eqtrdi 2796 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = ∅ → (♯‘𝑥) = 0)
2625breq2d 5178 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = ∅ → (2 ≤ (♯‘𝑥) ↔ 2 ≤ 0))
2726notbid 318 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = ∅ → (¬ 2 ≤ (♯‘𝑥) ↔ ¬ 2 ≤ 0))
28 fveq2 6920 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = {𝑣} → (♯‘𝑥) = (♯‘{𝑣}))
29 hashsng 14418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑣 ∈ V → (♯‘{𝑣}) = 1)
3029elv 3493 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (♯‘{𝑣}) = 1
3128, 30eqtrdi 2796 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = {𝑣} → (♯‘𝑥) = 1)
3231breq2d 5178 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = {𝑣} → (2 ≤ (♯‘𝑥) ↔ 2 ≤ 1))
3332notbid 318 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = {𝑣} → (¬ 2 ≤ (♯‘𝑥) ↔ ¬ 2 ≤ 1))
3421, 22, 27, 33ralpr 4725 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑥 ∈ {∅, {𝑣}} ¬ 2 ≤ (♯‘𝑥) ↔ (¬ 2 ≤ 0 ∧ ¬ 2 ≤ 1))
3516, 20, 34mpbir2an 710 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥 ∈ {∅, {𝑣}} ¬ 2 ≤ (♯‘𝑥)
36 pwsn 4924 . . . . . . . . . . . . . 14 𝒫 {𝑣} = {∅, {𝑣}}
3736raleqi 3332 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑥 ∈ 𝒫 {𝑣} ¬ 2 ≤ (♯‘𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ {∅, {𝑣}} ¬ 2 ≤ (♯‘𝑥))
3835, 37mpbir 231 . . . . . . . . . . . 12 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑣} ¬ 2 ≤ (♯‘𝑥)
39 rabeq0 4411 . . . . . . . . . . . 12 ({𝑥 ∈ 𝒫 {𝑣} ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ 𝒫 {𝑣} ¬ 2 ≤ (♯‘𝑥))
4038, 39mpbir 231 . . . . . . . . . . 11 {𝑥 ∈ 𝒫 {𝑣} ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} = ∅
4111, 40eqtrdi 2796 . . . . . . . . . 10 (𝑉 = {𝑣} → {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} = ∅)
4241a1d 25 . . . . . . . . 9 (𝑉 = {𝑣} → (𝐺 ∈ UHGraph → {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} = ∅))
4342exlimiv 1929 . . . . . . . 8 (∃𝑣 𝑉 = {𝑣} → (𝐺 ∈ UHGraph → {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} = ∅))
449, 43sylbi 217 . . . . . . 7 ((♯‘𝑉) = 1 → (𝐺 ∈ UHGraph → {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} = ∅))
4544impcom 407 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (♯‘𝑉) = 1) → {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} = ∅)
465, 45eqtrid 2792 . . . . 5 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (♯‘𝑉) = 1) → 𝐸 = ∅)
472, 4, 46feq123d 6736 . . . 4 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (♯‘𝑉) = 1) → (𝐼:dom 𝐼𝐸 ↔ (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶∅))
4847biimp3a 1469 . . 3 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (♯‘𝑉) = 1 ∧ 𝐼:dom 𝐼𝐸) → (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶∅)
49 f00 6803 . . . 4 ((iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶∅ ↔ ((iEdg‘𝐺) = ∅ ∧ dom (iEdg‘𝐺) = ∅))
5049simplbi 497 . . 3 ((iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶∅ → (iEdg‘𝐺) = ∅)
5148, 50syl 17 . 2 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (♯‘𝑉) = 1 ∧ 𝐼:dom 𝐼𝐸) → (iEdg‘𝐺) = ∅)
52 uhgriedg0edg0 29162 . . 3 (𝐺 ∈ UHGraph → ((Edg‘𝐺) = ∅ ↔ (iEdg‘𝐺) = ∅))
53523ad2ant1 1133 . 2 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (♯‘𝑉) = 1 ∧ 𝐼:dom 𝐼𝐸) → ((Edg‘𝐺) = ∅ ↔ (iEdg‘𝐺) = ∅))
5451, 53mpbird 257 1 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (♯‘𝑉) = 1 ∧ 𝐼:dom 𝐼𝐸) → (Edg‘𝐺) = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1537  wex 1777  wcel 2108  wral 3067  {crab 3443  Vcvv 3488  c0 4352  𝒫 cpw 4622  {csn 4648  {cpr 4650   class class class wbr 5166  dom cdm 5700  wf 6569  cfv 6573  0cc0 11184  1c1 11185   < clt 11324  cle 11325  2c2 12348  chash 14379  Vtxcvtx 29031  iEdgciedg 29032  Edgcedg 29082  UHGraphcuhgr 29091
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-oadd 8526  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-dju 9970  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-fz 13568  df-hash 14380  df-edg 29083  df-uhgr 29093
This theorem is referenced by:  usgr1vr  29290  vtxdlfuhgr1v  29515
  Copyright terms: Public domain W3C validator