Theorem lfuhgr1v0e 29271

Description: A loop-free hypergraph with one vertex has no edges. (Contributed by AV, 18-Oct-2020.) (Revised by AV, 2-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
lfuhgr1v0e.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
lfuhgr1v0e.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
lfuhgr1v0e.e	⊢ 𝐸 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}

Assertion

Ref	Expression
lfuhgr1v0e	⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (♯‘𝑉) = 1 ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶𝐸) → (Edg‘𝐺) = ∅)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝑉

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑥)   𝐼(𝑥)

Proof of Theorem lfuhgr1v0e

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lfuhgr1v0e.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
2	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (♯‘𝑉) = 1) → 𝐼 = (iEdg‘𝐺))
3	1	dmeqi 5915	. . . . . 6 ⊢ dom 𝐼 = dom (iEdg‘𝐺)
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (♯‘𝑉) = 1) → dom 𝐼 = dom (iEdg‘𝐺))
5		lfuhgr1v0e.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}
6		lfuhgr1v0e.v	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
7	6	fvexi 6920	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑉 ∈ V
8		hash1snb 14458	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑉 ∈ V → ((♯‘𝑉) = 1 ↔ ∃𝑣 𝑉 = {𝑣}))
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑉) = 1 ↔ ∃𝑣 𝑉 = {𝑣})
10		pweq 4614	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑉 = {𝑣} → 𝒫 𝑉 = 𝒫 {𝑣})
11	10	rabeqdv 3452	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑉 = {𝑣} → {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} = {𝑥 ∈ 𝒫 {𝑣} ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)})
12		2pos 12369	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 < 2
13		0re 11263	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 ∈ ℝ
14		2re 12340	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ ℝ
15	13, 14	ltnlei 11382	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0 < 2 ↔ ¬ 2 ≤ 0)
16	12, 15	mpbi 230	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ¬ 2 ≤ 0
17		1lt2 12437	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 < 2
18		1re 11261	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 ∈ ℝ
19	18, 14	ltnlei 11382	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1 < 2 ↔ ¬ 2 ≤ 1)
20	17, 19	mpbi 230	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ¬ 2 ≤ 1
21		0ex 5307	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ∅ ∈ V
22		vsnex 5434	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ {𝑣} ∈ V
23		fveq2 6906	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = ∅ → (♯‘𝑥) = (♯‘∅))
24		hash0 14406	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (♯‘∅) = 0
25	23, 24	eqtrdi 2793	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = ∅ → (♯‘𝑥) = 0)
26	25	breq2d 5155	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = ∅ → (2 ≤ (♯‘𝑥) ↔ 2 ≤ 0))
27	26	notbid 318	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = ∅ → (¬ 2 ≤ (♯‘𝑥) ↔ ¬ 2 ≤ 0))
28		fveq2 6906	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = {𝑣} → (♯‘𝑥) = (♯‘{𝑣}))
29		hashsng 14408	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑣 ∈ V → (♯‘{𝑣}) = 1)
30	29	elv 3485	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (♯‘{𝑣}) = 1
31	28, 30	eqtrdi 2793	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = {𝑣} → (♯‘𝑥) = 1)
32	31	breq2d 5155	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = {𝑣} → (2 ≤ (♯‘𝑥) ↔ 2 ≤ 1))
33	32	notbid 318	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = {𝑣} → (¬ 2 ≤ (♯‘𝑥) ↔ ¬ 2 ≤ 1))
34	21, 22, 27, 33	ralpr 4700	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀𝑥 ∈ {∅, {𝑣}} ¬ 2 ≤ (♯‘𝑥) ↔ (¬ 2 ≤ 0 ∧ ¬ 2 ≤ 1))
35	16, 20, 34	mpbir2an 711	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∀𝑥 ∈ {∅, {𝑣}} ¬ 2 ≤ (♯‘𝑥)
36		pwsn 4900	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝒫 {𝑣} = {∅, {𝑣}}
37	36	raleqi 3324	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝒫 {𝑣} ¬ 2 ≤ (♯‘𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ {∅, {𝑣}} ¬ 2 ≤ (♯‘𝑥))
38	35, 37	mpbir 231	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝒫 {𝑣} ¬ 2 ≤ (♯‘𝑥)
39		rabeq0 4388	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝒫 {𝑣} ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ 𝒫 {𝑣} ¬ 2 ≤ (♯‘𝑥))
40	38, 39	mpbir 231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝑥 ∈ 𝒫 {𝑣} ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} = ∅
41	11, 40	eqtrdi 2793	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑉 = {𝑣} → {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} = ∅)
42	41	a1d 25	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑉 = {𝑣} → (𝐺 ∈ UHGraph → {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} = ∅))
43	42	exlimiv 1930	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑣 𝑉 = {𝑣} → (𝐺 ∈ UHGraph → {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} = ∅))
44	9, 43	sylbi 217	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑉) = 1 → (𝐺 ∈ UHGraph → {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} = ∅))
45	44	impcom 407	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (♯‘𝑉) = 1) → {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} = ∅)
46	5, 45	eqtrid 2789	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (♯‘𝑉) = 1) → 𝐸 = ∅)
47	2, 4, 46	feq123d 6725	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (♯‘𝑉) = 1) → (𝐼:dom 𝐼⟶𝐸 ↔ (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶∅))
48	47	biimp3a 1471	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (♯‘𝑉) = 1 ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶𝐸) → (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶∅)
49		f00 6790	. . . 4 ⊢ ((iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶∅ ↔ ((iEdg‘𝐺) = ∅ ∧ dom (iEdg‘𝐺) = ∅))
50	49	simplbi 497	. . 3 ⊢ ((iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶∅ → (iEdg‘𝐺) = ∅)
51	48, 50	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (♯‘𝑉) = 1 ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶𝐸) → (iEdg‘𝐺) = ∅)
52		uhgriedg0edg0 29144	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → ((Edg‘𝐺) = ∅ ↔ (iEdg‘𝐺) = ∅))
53	52	3ad2ant1 1134	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (♯‘𝑉) = 1 ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶𝐸) → ((Edg‘𝐺) = ∅ ↔ (iEdg‘𝐺) = ∅))
54	51, 53	mpbird 257	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (♯‘𝑉) = 1 ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶𝐸) → (Edg‘𝐺) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061  {crab 3436  Vcvv 3480  ∅c0 4333  𝒫 cpw 4600  {csn 4626  {cpr 4628   class class class wbr 5143  dom cdm 5685  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  0cc0 11155  1c1 11156   < clt 11295   ≤ cle 11296  2c2 12321  ♯chash 14369  Vtxcvtx 29013  iEdgciedg 29014  Edgcedg 29064  UHGraphcuhgr 29073

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-oadd 8510  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-hash 14370  df-edg 29065  df-uhgr 29075

This theorem is referenced by:  usgr1vr  29272  vtxdlfuhgr1v  29497