MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lfuhgr1v0e Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lfuhgr1v0e 28549
Description: A loop-free hypergraph with one vertex has no edges. (Contributed by AV, 18-Oct-2020.) (Revised by AV, 2-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
lfuhgr1v0e.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
lfuhgr1v0e.i 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
lfuhgr1v0e.e 𝐸 = {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯)}
Assertion
Ref Expression
lfuhgr1v0e ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (β™―β€˜π‘‰) = 1 ∧ 𝐼:dom 𝐼⟢𝐸) β†’ (Edgβ€˜πΊ) = βˆ…)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐺   π‘₯,𝑉
Allowed substitution hints:   𝐸(π‘₯)   𝐼(π‘₯)

Proof of Theorem lfuhgr1v0e
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lfuhgr1v0e.i . . . . . 6 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
21a1i 11 . . . . 5 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (β™―β€˜π‘‰) = 1) β†’ 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ))
31dmeqi 5904 . . . . . 6 dom 𝐼 = dom (iEdgβ€˜πΊ)
43a1i 11 . . . . 5 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (β™―β€˜π‘‰) = 1) β†’ dom 𝐼 = dom (iEdgβ€˜πΊ))
5 lfuhgr1v0e.e . . . . . 6 𝐸 = {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯)}
6 lfuhgr1v0e.v . . . . . . . . . 10 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
76fvexi 6905 . . . . . . . . 9 𝑉 ∈ V
8 hash1snb 14381 . . . . . . . . 9 (𝑉 ∈ V β†’ ((β™―β€˜π‘‰) = 1 ↔ βˆƒπ‘£ 𝑉 = {𝑣}))
97, 8ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((β™―β€˜π‘‰) = 1 ↔ βˆƒπ‘£ 𝑉 = {𝑣})
10 pweq 4616 . . . . . . . . . . . 12 (𝑉 = {𝑣} β†’ 𝒫 𝑉 = 𝒫 {𝑣})
1110rabeqdv 3447 . . . . . . . . . . 11 (𝑉 = {𝑣} β†’ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯)} = {π‘₯ ∈ 𝒫 {𝑣} ∣ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯)})
12 2pos 12317 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 < 2
13 0re 11218 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ ℝ
14 2re 12288 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℝ
1513, 14ltnlei 11337 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0 < 2 ↔ Β¬ 2 ≀ 0)
1612, 15mpbi 229 . . . . . . . . . . . . . 14 Β¬ 2 ≀ 0
17 1lt2 12385 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 < 2
18 1re 11216 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℝ
1918, 14ltnlei 11337 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 < 2 ↔ Β¬ 2 ≀ 1)
2017, 19mpbi 229 . . . . . . . . . . . . . 14 Β¬ 2 ≀ 1
21 0ex 5307 . . . . . . . . . . . . . . 15 βˆ… ∈ V
22 vsnex 5429 . . . . . . . . . . . . . . 15 {𝑣} ∈ V
23 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ = βˆ… β†’ (β™―β€˜π‘₯) = (β™―β€˜βˆ…))
24 hash0 14329 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (β™―β€˜βˆ…) = 0
2523, 24eqtrdi 2788 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ = βˆ… β†’ (β™―β€˜π‘₯) = 0)
2625breq2d 5160 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = βˆ… β†’ (2 ≀ (β™―β€˜π‘₯) ↔ 2 ≀ 0))
2726notbid 317 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = βˆ… β†’ (Β¬ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯) ↔ Β¬ 2 ≀ 0))
28 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ = {𝑣} β†’ (β™―β€˜π‘₯) = (β™―β€˜{𝑣}))
29 hashsng 14331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑣 ∈ V β†’ (β™―β€˜{𝑣}) = 1)
3029elv 3480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (β™―β€˜{𝑣}) = 1
3128, 30eqtrdi 2788 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ = {𝑣} β†’ (β™―β€˜π‘₯) = 1)
3231breq2d 5160 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = {𝑣} β†’ (2 ≀ (β™―β€˜π‘₯) ↔ 2 ≀ 1))
3332notbid 317 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = {𝑣} β†’ (Β¬ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯) ↔ Β¬ 2 ≀ 1))
3421, 22, 27, 33ralpr 4704 . . . . . . . . . . . . . 14 (βˆ€π‘₯ ∈ {βˆ…, {𝑣}} Β¬ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯) ↔ (Β¬ 2 ≀ 0 ∧ Β¬ 2 ≀ 1))
3516, 20, 34mpbir2an 709 . . . . . . . . . . . . 13 βˆ€π‘₯ ∈ {βˆ…, {𝑣}} Β¬ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯)
36 pwsn 4900 . . . . . . . . . . . . . 14 𝒫 {𝑣} = {βˆ…, {𝑣}}
3736raleqi 3323 . . . . . . . . . . . . 13 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 {𝑣} Β¬ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ {βˆ…, {𝑣}} Β¬ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯))
3835, 37mpbir 230 . . . . . . . . . . . 12 βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 {𝑣} Β¬ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯)
39 rabeq0 4384 . . . . . . . . . . . 12 ({π‘₯ ∈ 𝒫 {𝑣} ∣ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯)} = βˆ… ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 {𝑣} Β¬ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯))
4038, 39mpbir 230 . . . . . . . . . . 11 {π‘₯ ∈ 𝒫 {𝑣} ∣ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯)} = βˆ…
4111, 40eqtrdi 2788 . . . . . . . . . 10 (𝑉 = {𝑣} β†’ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯)} = βˆ…)
4241a1d 25 . . . . . . . . 9 (𝑉 = {𝑣} β†’ (𝐺 ∈ UHGraph β†’ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯)} = βˆ…))
4342exlimiv 1933 . . . . . . . 8 (βˆƒπ‘£ 𝑉 = {𝑣} β†’ (𝐺 ∈ UHGraph β†’ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯)} = βˆ…))
449, 43sylbi 216 . . . . . . 7 ((β™―β€˜π‘‰) = 1 β†’ (𝐺 ∈ UHGraph β†’ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯)} = βˆ…))
4544impcom 408 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (β™―β€˜π‘‰) = 1) β†’ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯)} = βˆ…)
465, 45eqtrid 2784 . . . . 5 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (β™―β€˜π‘‰) = 1) β†’ 𝐸 = βˆ…)
472, 4, 46feq123d 6706 . . . 4 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (β™―β€˜π‘‰) = 1) β†’ (𝐼:dom 𝐼⟢𝐸 ↔ (iEdgβ€˜πΊ):dom (iEdgβ€˜πΊ)βŸΆβˆ…))
4847biimp3a 1469 . . 3 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (β™―β€˜π‘‰) = 1 ∧ 𝐼:dom 𝐼⟢𝐸) β†’ (iEdgβ€˜πΊ):dom (iEdgβ€˜πΊ)βŸΆβˆ…)
49 f00 6773 . . . 4 ((iEdgβ€˜πΊ):dom (iEdgβ€˜πΊ)βŸΆβˆ… ↔ ((iEdgβ€˜πΊ) = βˆ… ∧ dom (iEdgβ€˜πΊ) = βˆ…))
5049simplbi 498 . . 3 ((iEdgβ€˜πΊ):dom (iEdgβ€˜πΊ)βŸΆβˆ… β†’ (iEdgβ€˜πΊ) = βˆ…)
5148, 50syl 17 . 2 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (β™―β€˜π‘‰) = 1 ∧ 𝐼:dom 𝐼⟢𝐸) β†’ (iEdgβ€˜πΊ) = βˆ…)
52 uhgriedg0edg0 28425 . . 3 (𝐺 ∈ UHGraph β†’ ((Edgβ€˜πΊ) = βˆ… ↔ (iEdgβ€˜πΊ) = βˆ…))
53523ad2ant1 1133 . 2 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (β™―β€˜π‘‰) = 1 ∧ 𝐼:dom 𝐼⟢𝐸) β†’ ((Edgβ€˜πΊ) = βˆ… ↔ (iEdgβ€˜πΊ) = βˆ…))
5451, 53mpbird 256 1 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (β™―β€˜π‘‰) = 1 ∧ 𝐼:dom 𝐼⟢𝐸) β†’ (Edgβ€˜πΊ) = βˆ…)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541  βˆƒwex 1781   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  {crab 3432  Vcvv 3474  βˆ…c0 4322  π’« cpw 4602  {csn 4628  {cpr 4630   class class class wbr 5148  dom cdm 5676  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  0cc0 11112  1c1 11113   < clt 11250   ≀ cle 11251  2c2 12269  β™―chash 14292  Vtxcvtx 28294  iEdgciedg 28295  Edgcedg 28345  UHGraphcuhgr 28354
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-oadd 8472  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-nn 12215  df-2 12277  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-fz 13487  df-hash 14293  df-edg 28346  df-uhgr 28356
This theorem is referenced by:  usgr1vr  28550  vtxdlfuhgr1v  28774
  Copyright terms: Public domain W3C validator