Theorem lfuhgr1v0e 27621

Description: A loop-free hypergraph with one vertex has no edges. (Contributed by AV, 18-Oct-2020.) (Revised by AV, 2-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
lfuhgr1v0e.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
lfuhgr1v0e.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
lfuhgr1v0e.e	⊢ 𝐸 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}

Assertion

Ref	Expression
lfuhgr1v0e	⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (♯‘𝑉) = 1 ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶𝐸) → (Edg‘𝐺) = ∅)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝑉

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑥)   𝐼(𝑥)

Proof of Theorem lfuhgr1v0e

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lfuhgr1v0e.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
2	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (♯‘𝑉) = 1) → 𝐼 = (iEdg‘𝐺))
3	1	dmeqi 5813	. . . . . 6 ⊢ dom 𝐼 = dom (iEdg‘𝐺)
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (♯‘𝑉) = 1) → dom 𝐼 = dom (iEdg‘𝐺))
5		lfuhgr1v0e.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}
6		lfuhgr1v0e.v	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
7	6	fvexi 6788	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑉 ∈ V
8		hash1snb 14134	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑉 ∈ V → ((♯‘𝑉) = 1 ↔ ∃𝑣 𝑉 = {𝑣}))
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑉) = 1 ↔ ∃𝑣 𝑉 = {𝑣})
10		pweq 4549	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑉 = {𝑣} → 𝒫 𝑉 = 𝒫 {𝑣})
11	10	rabeqdv 3419	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑉 = {𝑣} → {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} = {𝑥 ∈ 𝒫 {𝑣} ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)})
12		2pos 12076	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 < 2
13		0re 10977	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 ∈ ℝ
14		2re 12047	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ ℝ
15	13, 14	ltnlei 11096	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0 < 2 ↔ ¬ 2 ≤ 0)
16	12, 15	mpbi 229	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ¬ 2 ≤ 0
17		1lt2 12144	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 < 2
18		1re 10975	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 ∈ ℝ
19	18, 14	ltnlei 11096	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1 < 2 ↔ ¬ 2 ≤ 1)
20	17, 19	mpbi 229	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ¬ 2 ≤ 1
21		0ex 5231	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ∅ ∈ V
22		snex 5354	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ {𝑣} ∈ V
23		fveq2 6774	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = ∅ → (♯‘𝑥) = (♯‘∅))
24		hash0 14082	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (♯‘∅) = 0
25	23, 24	eqtrdi 2794	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = ∅ → (♯‘𝑥) = 0)
26	25	breq2d 5086	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = ∅ → (2 ≤ (♯‘𝑥) ↔ 2 ≤ 0))
27	26	notbid 318	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = ∅ → (¬ 2 ≤ (♯‘𝑥) ↔ ¬ 2 ≤ 0))
28		fveq2 6774	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = {𝑣} → (♯‘𝑥) = (♯‘{𝑣}))
29		hashsng 14084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑣 ∈ V → (♯‘{𝑣}) = 1)
30	29	elv 3438	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (♯‘{𝑣}) = 1
31	28, 30	eqtrdi 2794	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = {𝑣} → (♯‘𝑥) = 1)
32	31	breq2d 5086	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = {𝑣} → (2 ≤ (♯‘𝑥) ↔ 2 ≤ 1))
33	32	notbid 318	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = {𝑣} → (¬ 2 ≤ (♯‘𝑥) ↔ ¬ 2 ≤ 1))
34	21, 22, 27, 33	ralpr 4636	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀𝑥 ∈ {∅, {𝑣}} ¬ 2 ≤ (♯‘𝑥) ↔ (¬ 2 ≤ 0 ∧ ¬ 2 ≤ 1))
35	16, 20, 34	mpbir2an 708	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∀𝑥 ∈ {∅, {𝑣}} ¬ 2 ≤ (♯‘𝑥)
36		pwsn 4831	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝒫 {𝑣} = {∅, {𝑣}}
37	36	raleqi 3346	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝒫 {𝑣} ¬ 2 ≤ (♯‘𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ {∅, {𝑣}} ¬ 2 ≤ (♯‘𝑥))
38	35, 37	mpbir 230	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝒫 {𝑣} ¬ 2 ≤ (♯‘𝑥)
39		rabeq0 4318	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝒫 {𝑣} ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ 𝒫 {𝑣} ¬ 2 ≤ (♯‘𝑥))
40	38, 39	mpbir 230	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝑥 ∈ 𝒫 {𝑣} ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} = ∅
41	11, 40	eqtrdi 2794	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑉 = {𝑣} → {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} = ∅)
42	41	a1d 25	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑉 = {𝑣} → (𝐺 ∈ UHGraph → {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} = ∅))
43	42	exlimiv 1933	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑣 𝑉 = {𝑣} → (𝐺 ∈ UHGraph → {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} = ∅))
44	9, 43	sylbi 216	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑉) = 1 → (𝐺 ∈ UHGraph → {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} = ∅))
45	44	impcom 408	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (♯‘𝑉) = 1) → {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} = ∅)
46	5, 45	eqtrid 2790	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (♯‘𝑉) = 1) → 𝐸 = ∅)
47	2, 4, 46	feq123d 6589	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (♯‘𝑉) = 1) → (𝐼:dom 𝐼⟶𝐸 ↔ (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶∅))
48	47	biimp3a 1468	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (♯‘𝑉) = 1 ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶𝐸) → (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶∅)
49		f00 6656	. . . 4 ⊢ ((iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶∅ ↔ ((iEdg‘𝐺) = ∅ ∧ dom (iEdg‘𝐺) = ∅))
50	49	simplbi 498	. . 3 ⊢ ((iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶∅ → (iEdg‘𝐺) = ∅)
51	48, 50	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (♯‘𝑉) = 1 ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶𝐸) → (iEdg‘𝐺) = ∅)
52		uhgriedg0edg0 27497	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → ((Edg‘𝐺) = ∅ ↔ (iEdg‘𝐺) = ∅))
53	52	3ad2ant1 1132	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (♯‘𝑉) = 1 ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶𝐸) → ((Edg‘𝐺) = ∅ ↔ (iEdg‘𝐺) = ∅))
54	51, 53	mpbird 256	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (♯‘𝑉) = 1 ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶𝐸) → (Edg‘𝐺) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539  ∃wex 1782   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  {crab 3068  Vcvv 3432  ∅c0 4256  𝒫 cpw 4533  {csn 4561  {cpr 4563   class class class wbr 5074  dom cdm 5589  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  0cc0 10871  1c1 10872   < clt 11009   ≤ cle 11010  2c2 12028  ♯chash 14044  Vtxcvtx 27366  iEdgciedg 27367  Edgcedg 27417  UHGraphcuhgr 27426

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-oadd 8301  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-dju 9659  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-hash 14045  df-edg 27418  df-uhgr 27428

This theorem is referenced by:  usgr1vr  27622  vtxdlfuhgr1v  27846