MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lfuhgr1v0e Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lfuhgr1v0e 28779
Description: A loop-free hypergraph with one vertex has no edges. (Contributed by AV, 18-Oct-2020.) (Revised by AV, 2-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
lfuhgr1v0e.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
lfuhgr1v0e.i 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
lfuhgr1v0e.e 𝐸 = {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯)}
Assertion
Ref Expression
lfuhgr1v0e ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (β™―β€˜π‘‰) = 1 ∧ 𝐼:dom 𝐼⟢𝐸) β†’ (Edgβ€˜πΊ) = βˆ…)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐺   π‘₯,𝑉
Allowed substitution hints:   𝐸(π‘₯)   𝐼(π‘₯)

Proof of Theorem lfuhgr1v0e
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lfuhgr1v0e.i . . . . . 6 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
21a1i 11 . . . . 5 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (β™―β€˜π‘‰) = 1) β†’ 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ))
31dmeqi 5904 . . . . . 6 dom 𝐼 = dom (iEdgβ€˜πΊ)
43a1i 11 . . . . 5 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (β™―β€˜π‘‰) = 1) β†’ dom 𝐼 = dom (iEdgβ€˜πΊ))
5 lfuhgr1v0e.e . . . . . 6 𝐸 = {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯)}
6 lfuhgr1v0e.v . . . . . . . . . 10 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
76fvexi 6905 . . . . . . . . 9 𝑉 ∈ V
8 hash1snb 14384 . . . . . . . . 9 (𝑉 ∈ V β†’ ((β™―β€˜π‘‰) = 1 ↔ βˆƒπ‘£ 𝑉 = {𝑣}))
97, 8ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((β™―β€˜π‘‰) = 1 ↔ βˆƒπ‘£ 𝑉 = {𝑣})
10 pweq 4616 . . . . . . . . . . . 12 (𝑉 = {𝑣} β†’ 𝒫 𝑉 = 𝒫 {𝑣})
1110rabeqdv 3446 . . . . . . . . . . 11 (𝑉 = {𝑣} β†’ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯)} = {π‘₯ ∈ 𝒫 {𝑣} ∣ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯)})
12 2pos 12320 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 < 2
13 0re 11221 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ ℝ
14 2re 12291 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℝ
1513, 14ltnlei 11340 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0 < 2 ↔ Β¬ 2 ≀ 0)
1612, 15mpbi 229 . . . . . . . . . . . . . 14 Β¬ 2 ≀ 0
17 1lt2 12388 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 < 2
18 1re 11219 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℝ
1918, 14ltnlei 11340 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 < 2 ↔ Β¬ 2 ≀ 1)
2017, 19mpbi 229 . . . . . . . . . . . . . 14 Β¬ 2 ≀ 1
21 0ex 5307 . . . . . . . . . . . . . . 15 βˆ… ∈ V
22 vsnex 5429 . . . . . . . . . . . . . . 15 {𝑣} ∈ V
23 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ = βˆ… β†’ (β™―β€˜π‘₯) = (β™―β€˜βˆ…))
24 hash0 14332 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (β™―β€˜βˆ…) = 0
2523, 24eqtrdi 2787 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ = βˆ… β†’ (β™―β€˜π‘₯) = 0)
2625breq2d 5160 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = βˆ… β†’ (2 ≀ (β™―β€˜π‘₯) ↔ 2 ≀ 0))
2726notbid 318 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = βˆ… β†’ (Β¬ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯) ↔ Β¬ 2 ≀ 0))
28 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ = {𝑣} β†’ (β™―β€˜π‘₯) = (β™―β€˜{𝑣}))
29 hashsng 14334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑣 ∈ V β†’ (β™―β€˜{𝑣}) = 1)
3029elv 3479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (β™―β€˜{𝑣}) = 1
3128, 30eqtrdi 2787 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ = {𝑣} β†’ (β™―β€˜π‘₯) = 1)
3231breq2d 5160 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = {𝑣} β†’ (2 ≀ (β™―β€˜π‘₯) ↔ 2 ≀ 1))
3332notbid 318 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = {𝑣} β†’ (Β¬ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯) ↔ Β¬ 2 ≀ 1))
3421, 22, 27, 33ralpr 4704 . . . . . . . . . . . . . 14 (βˆ€π‘₯ ∈ {βˆ…, {𝑣}} Β¬ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯) ↔ (Β¬ 2 ≀ 0 ∧ Β¬ 2 ≀ 1))
3516, 20, 34mpbir2an 708 . . . . . . . . . . . . 13 βˆ€π‘₯ ∈ {βˆ…, {𝑣}} Β¬ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯)
36 pwsn 4900 . . . . . . . . . . . . . 14 𝒫 {𝑣} = {βˆ…, {𝑣}}
3736raleqi 3322 . . . . . . . . . . . . 13 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 {𝑣} Β¬ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ {βˆ…, {𝑣}} Β¬ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯))
3835, 37mpbir 230 . . . . . . . . . . . 12 βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 {𝑣} Β¬ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯)
39 rabeq0 4384 . . . . . . . . . . . 12 ({π‘₯ ∈ 𝒫 {𝑣} ∣ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯)} = βˆ… ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 {𝑣} Β¬ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯))
4038, 39mpbir 230 . . . . . . . . . . 11 {π‘₯ ∈ 𝒫 {𝑣} ∣ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯)} = βˆ…
4111, 40eqtrdi 2787 . . . . . . . . . 10 (𝑉 = {𝑣} β†’ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯)} = βˆ…)
4241a1d 25 . . . . . . . . 9 (𝑉 = {𝑣} β†’ (𝐺 ∈ UHGraph β†’ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯)} = βˆ…))
4342exlimiv 1932 . . . . . . . 8 (βˆƒπ‘£ 𝑉 = {𝑣} β†’ (𝐺 ∈ UHGraph β†’ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯)} = βˆ…))
449, 43sylbi 216 . . . . . . 7 ((β™―β€˜π‘‰) = 1 β†’ (𝐺 ∈ UHGraph β†’ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯)} = βˆ…))
4544impcom 407 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (β™―β€˜π‘‰) = 1) β†’ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯)} = βˆ…)
465, 45eqtrid 2783 . . . . 5 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (β™―β€˜π‘‰) = 1) β†’ 𝐸 = βˆ…)
472, 4, 46feq123d 6706 . . . 4 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (β™―β€˜π‘‰) = 1) β†’ (𝐼:dom 𝐼⟢𝐸 ↔ (iEdgβ€˜πΊ):dom (iEdgβ€˜πΊ)βŸΆβˆ…))
4847biimp3a 1468 . . 3 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (β™―β€˜π‘‰) = 1 ∧ 𝐼:dom 𝐼⟢𝐸) β†’ (iEdgβ€˜πΊ):dom (iEdgβ€˜πΊ)βŸΆβˆ…)
49 f00 6773 . . . 4 ((iEdgβ€˜πΊ):dom (iEdgβ€˜πΊ)βŸΆβˆ… ↔ ((iEdgβ€˜πΊ) = βˆ… ∧ dom (iEdgβ€˜πΊ) = βˆ…))
5049simplbi 497 . . 3 ((iEdgβ€˜πΊ):dom (iEdgβ€˜πΊ)βŸΆβˆ… β†’ (iEdgβ€˜πΊ) = βˆ…)
5148, 50syl 17 . 2 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (β™―β€˜π‘‰) = 1 ∧ 𝐼:dom 𝐼⟢𝐸) β†’ (iEdgβ€˜πΊ) = βˆ…)
52 uhgriedg0edg0 28655 . . 3 (𝐺 ∈ UHGraph β†’ ((Edgβ€˜πΊ) = βˆ… ↔ (iEdgβ€˜πΊ) = βˆ…))
53523ad2ant1 1132 . 2 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (β™―β€˜π‘‰) = 1 ∧ 𝐼:dom 𝐼⟢𝐸) β†’ ((Edgβ€˜πΊ) = βˆ… ↔ (iEdgβ€˜πΊ) = βˆ…))
5451, 53mpbird 257 1 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (β™―β€˜π‘‰) = 1 ∧ 𝐼:dom 𝐼⟢𝐸) β†’ (Edgβ€˜πΊ) = βˆ…)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540  βˆƒwex 1780   ∈ wcel 2105  βˆ€wral 3060  {crab 3431  Vcvv 3473  βˆ…c0 4322  π’« cpw 4602  {csn 4628  {cpr 4630   class class class wbr 5148  dom cdm 5676  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  0cc0 11114  1c1 11115   < clt 11253   ≀ cle 11254  2c2 12272  β™―chash 14295  Vtxcvtx 28524  iEdgciedg 28525  Edgcedg 28575  UHGraphcuhgr 28584
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-oadd 8474  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-dju 9900  df-card 9938  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-fz 13490  df-hash 14296  df-edg 28576  df-uhgr 28586
This theorem is referenced by:  usgr1vr  28780  vtxdlfuhgr1v  29004
  Copyright terms: Public domain W3C validator