MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lfuhgr1v0e Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lfuhgr1v0e 29286
Description: A loop-free hypergraph with one vertex has no edges. (Contributed by AV, 18-Oct-2020.) (Revised by AV, 2-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
lfuhgr1v0e.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
lfuhgr1v0e.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
lfuhgr1v0e.e 𝐸 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}
Assertion
Ref Expression
lfuhgr1v0e ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (♯‘𝑉) = 1 ∧ 𝐼:dom 𝐼𝐸) → (Edg‘𝐺) = ∅)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝑉
Allowed substitution hints:   𝐸(𝑥)   𝐼(𝑥)

Proof of Theorem lfuhgr1v0e
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lfuhgr1v0e.i . . . . . 6 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
21a1i 11 . . . . 5 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (♯‘𝑉) = 1) → 𝐼 = (iEdg‘𝐺))
31dmeqi 5918 . . . . . 6 dom 𝐼 = dom (iEdg‘𝐺)
43a1i 11 . . . . 5 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (♯‘𝑉) = 1) → dom 𝐼 = dom (iEdg‘𝐺))
5 lfuhgr1v0e.e . . . . . 6 𝐸 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}
6 lfuhgr1v0e.v . . . . . . . . . 10 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
76fvexi 6921 . . . . . . . . 9 𝑉 ∈ V
8 hash1snb 14455 . . . . . . . . 9 (𝑉 ∈ V → ((♯‘𝑉) = 1 ↔ ∃𝑣 𝑉 = {𝑣}))
97, 8ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((♯‘𝑉) = 1 ↔ ∃𝑣 𝑉 = {𝑣})
10 pweq 4619 . . . . . . . . . . . 12 (𝑉 = {𝑣} → 𝒫 𝑉 = 𝒫 {𝑣})
1110rabeqdv 3449 . . . . . . . . . . 11 (𝑉 = {𝑣} → {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} = {𝑥 ∈ 𝒫 {𝑣} ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)})
12 2pos 12367 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 < 2
13 0re 11261 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ ℝ
14 2re 12338 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℝ
1513, 14ltnlei 11380 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0 < 2 ↔ ¬ 2 ≤ 0)
1612, 15mpbi 230 . . . . . . . . . . . . . 14 ¬ 2 ≤ 0
17 1lt2 12435 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 < 2
18 1re 11259 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℝ
1918, 14ltnlei 11380 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 < 2 ↔ ¬ 2 ≤ 1)
2017, 19mpbi 230 . . . . . . . . . . . . . 14 ¬ 2 ≤ 1
21 0ex 5313 . . . . . . . . . . . . . . 15 ∅ ∈ V
22 vsnex 5440 . . . . . . . . . . . . . . 15 {𝑣} ∈ V
23 fveq2 6907 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = ∅ → (♯‘𝑥) = (♯‘∅))
24 hash0 14403 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (♯‘∅) = 0
2523, 24eqtrdi 2791 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = ∅ → (♯‘𝑥) = 0)
2625breq2d 5160 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = ∅ → (2 ≤ (♯‘𝑥) ↔ 2 ≤ 0))
2726notbid 318 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = ∅ → (¬ 2 ≤ (♯‘𝑥) ↔ ¬ 2 ≤ 0))
28 fveq2 6907 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = {𝑣} → (♯‘𝑥) = (♯‘{𝑣}))
29 hashsng 14405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑣 ∈ V → (♯‘{𝑣}) = 1)
3029elv 3483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (♯‘{𝑣}) = 1
3128, 30eqtrdi 2791 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = {𝑣} → (♯‘𝑥) = 1)
3231breq2d 5160 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = {𝑣} → (2 ≤ (♯‘𝑥) ↔ 2 ≤ 1))
3332notbid 318 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = {𝑣} → (¬ 2 ≤ (♯‘𝑥) ↔ ¬ 2 ≤ 1))
3421, 22, 27, 33ralpr 4705 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑥 ∈ {∅, {𝑣}} ¬ 2 ≤ (♯‘𝑥) ↔ (¬ 2 ≤ 0 ∧ ¬ 2 ≤ 1))
3516, 20, 34mpbir2an 711 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥 ∈ {∅, {𝑣}} ¬ 2 ≤ (♯‘𝑥)
36 pwsn 4905 . . . . . . . . . . . . . 14 𝒫 {𝑣} = {∅, {𝑣}}
3736raleqi 3322 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑥 ∈ 𝒫 {𝑣} ¬ 2 ≤ (♯‘𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ {∅, {𝑣}} ¬ 2 ≤ (♯‘𝑥))
3835, 37mpbir 231 . . . . . . . . . . . 12 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑣} ¬ 2 ≤ (♯‘𝑥)
39 rabeq0 4394 . . . . . . . . . . . 12 ({𝑥 ∈ 𝒫 {𝑣} ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ 𝒫 {𝑣} ¬ 2 ≤ (♯‘𝑥))
4038, 39mpbir 231 . . . . . . . . . . 11 {𝑥 ∈ 𝒫 {𝑣} ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} = ∅
4111, 40eqtrdi 2791 . . . . . . . . . 10 (𝑉 = {𝑣} → {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} = ∅)
4241a1d 25 . . . . . . . . 9 (𝑉 = {𝑣} → (𝐺 ∈ UHGraph → {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} = ∅))
4342exlimiv 1928 . . . . . . . 8 (∃𝑣 𝑉 = {𝑣} → (𝐺 ∈ UHGraph → {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} = ∅))
449, 43sylbi 217 . . . . . . 7 ((♯‘𝑉) = 1 → (𝐺 ∈ UHGraph → {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} = ∅))
4544impcom 407 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (♯‘𝑉) = 1) → {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} = ∅)
465, 45eqtrid 2787 . . . . 5 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (♯‘𝑉) = 1) → 𝐸 = ∅)
472, 4, 46feq123d 6726 . . . 4 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (♯‘𝑉) = 1) → (𝐼:dom 𝐼𝐸 ↔ (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶∅))
4847biimp3a 1468 . . 3 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (♯‘𝑉) = 1 ∧ 𝐼:dom 𝐼𝐸) → (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶∅)
49 f00 6791 . . . 4 ((iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶∅ ↔ ((iEdg‘𝐺) = ∅ ∧ dom (iEdg‘𝐺) = ∅))
5049simplbi 497 . . 3 ((iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶∅ → (iEdg‘𝐺) = ∅)
5148, 50syl 17 . 2 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (♯‘𝑉) = 1 ∧ 𝐼:dom 𝐼𝐸) → (iEdg‘𝐺) = ∅)
52 uhgriedg0edg0 29159 . . 3 (𝐺 ∈ UHGraph → ((Edg‘𝐺) = ∅ ↔ (iEdg‘𝐺) = ∅))
53523ad2ant1 1132 . 2 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (♯‘𝑉) = 1 ∧ 𝐼:dom 𝐼𝐸) → ((Edg‘𝐺) = ∅ ↔ (iEdg‘𝐺) = ∅))
5451, 53mpbird 257 1 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (♯‘𝑉) = 1 ∧ 𝐼:dom 𝐼𝐸) → (Edg‘𝐺) = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wex 1776  wcel 2106  wral 3059  {crab 3433  Vcvv 3478  c0 4339  𝒫 cpw 4605  {csn 4631  {cpr 4633   class class class wbr 5148  dom cdm 5689  wf 6559  cfv 6563  0cc0 11153  1c1 11154   < clt 11293  cle 11294  2c2 12319  chash 14366  Vtxcvtx 29028  iEdgciedg 29029  Edgcedg 29079  UHGraphcuhgr 29088
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-oadd 8509  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-hash 14367  df-edg 29080  df-uhgr 29090
This theorem is referenced by:  usgr1vr  29287  vtxdlfuhgr1v  29512
  Copyright terms: Public domain W3C validator