MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lfuhgr1v0e Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lfuhgr1v0e 28244
Description: A loop-free hypergraph with one vertex has no edges. (Contributed by AV, 18-Oct-2020.) (Revised by AV, 2-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
lfuhgr1v0e.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
lfuhgr1v0e.i 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
lfuhgr1v0e.e 𝐸 = {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯)}
Assertion
Ref Expression
lfuhgr1v0e ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (β™―β€˜π‘‰) = 1 ∧ 𝐼:dom 𝐼⟢𝐸) β†’ (Edgβ€˜πΊ) = βˆ…)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐺   π‘₯,𝑉
Allowed substitution hints:   𝐸(π‘₯)   𝐼(π‘₯)

Proof of Theorem lfuhgr1v0e
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lfuhgr1v0e.i . . . . . 6 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
21a1i 11 . . . . 5 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (β™―β€˜π‘‰) = 1) β†’ 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ))
31dmeqi 5861 . . . . . 6 dom 𝐼 = dom (iEdgβ€˜πΊ)
43a1i 11 . . . . 5 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (β™―β€˜π‘‰) = 1) β†’ dom 𝐼 = dom (iEdgβ€˜πΊ))
5 lfuhgr1v0e.e . . . . . 6 𝐸 = {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯)}
6 lfuhgr1v0e.v . . . . . . . . . 10 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
76fvexi 6857 . . . . . . . . 9 𝑉 ∈ V
8 hash1snb 14325 . . . . . . . . 9 (𝑉 ∈ V β†’ ((β™―β€˜π‘‰) = 1 ↔ βˆƒπ‘£ 𝑉 = {𝑣}))
97, 8ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((β™―β€˜π‘‰) = 1 ↔ βˆƒπ‘£ 𝑉 = {𝑣})
10 pweq 4575 . . . . . . . . . . . 12 (𝑉 = {𝑣} β†’ 𝒫 𝑉 = 𝒫 {𝑣})
1110rabeqdv 3421 . . . . . . . . . . 11 (𝑉 = {𝑣} β†’ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯)} = {π‘₯ ∈ 𝒫 {𝑣} ∣ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯)})
12 2pos 12261 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 < 2
13 0re 11162 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ ℝ
14 2re 12232 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℝ
1513, 14ltnlei 11281 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0 < 2 ↔ Β¬ 2 ≀ 0)
1612, 15mpbi 229 . . . . . . . . . . . . . 14 Β¬ 2 ≀ 0
17 1lt2 12329 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 < 2
18 1re 11160 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℝ
1918, 14ltnlei 11281 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 < 2 ↔ Β¬ 2 ≀ 1)
2017, 19mpbi 229 . . . . . . . . . . . . . 14 Β¬ 2 ≀ 1
21 0ex 5265 . . . . . . . . . . . . . . 15 βˆ… ∈ V
22 vsnex 5387 . . . . . . . . . . . . . . 15 {𝑣} ∈ V
23 fveq2 6843 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ = βˆ… β†’ (β™―β€˜π‘₯) = (β™―β€˜βˆ…))
24 hash0 14273 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (β™―β€˜βˆ…) = 0
2523, 24eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ = βˆ… β†’ (β™―β€˜π‘₯) = 0)
2625breq2d 5118 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = βˆ… β†’ (2 ≀ (β™―β€˜π‘₯) ↔ 2 ≀ 0))
2726notbid 318 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = βˆ… β†’ (Β¬ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯) ↔ Β¬ 2 ≀ 0))
28 fveq2 6843 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ = {𝑣} β†’ (β™―β€˜π‘₯) = (β™―β€˜{𝑣}))
29 hashsng 14275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑣 ∈ V β†’ (β™―β€˜{𝑣}) = 1)
3029elv 3450 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (β™―β€˜{𝑣}) = 1
3128, 30eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ = {𝑣} β†’ (β™―β€˜π‘₯) = 1)
3231breq2d 5118 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = {𝑣} β†’ (2 ≀ (β™―β€˜π‘₯) ↔ 2 ≀ 1))
3332notbid 318 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = {𝑣} β†’ (Β¬ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯) ↔ Β¬ 2 ≀ 1))
3421, 22, 27, 33ralpr 4662 . . . . . . . . . . . . . 14 (βˆ€π‘₯ ∈ {βˆ…, {𝑣}} Β¬ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯) ↔ (Β¬ 2 ≀ 0 ∧ Β¬ 2 ≀ 1))
3516, 20, 34mpbir2an 710 . . . . . . . . . . . . 13 βˆ€π‘₯ ∈ {βˆ…, {𝑣}} Β¬ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯)
36 pwsn 4858 . . . . . . . . . . . . . 14 𝒫 {𝑣} = {βˆ…, {𝑣}}
3736raleqi 3310 . . . . . . . . . . . . 13 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 {𝑣} Β¬ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ {βˆ…, {𝑣}} Β¬ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯))
3835, 37mpbir 230 . . . . . . . . . . . 12 βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 {𝑣} Β¬ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯)
39 rabeq0 4345 . . . . . . . . . . . 12 ({π‘₯ ∈ 𝒫 {𝑣} ∣ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯)} = βˆ… ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 {𝑣} Β¬ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯))
4038, 39mpbir 230 . . . . . . . . . . 11 {π‘₯ ∈ 𝒫 {𝑣} ∣ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯)} = βˆ…
4111, 40eqtrdi 2789 . . . . . . . . . 10 (𝑉 = {𝑣} β†’ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯)} = βˆ…)
4241a1d 25 . . . . . . . . 9 (𝑉 = {𝑣} β†’ (𝐺 ∈ UHGraph β†’ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯)} = βˆ…))
4342exlimiv 1934 . . . . . . . 8 (βˆƒπ‘£ 𝑉 = {𝑣} β†’ (𝐺 ∈ UHGraph β†’ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯)} = βˆ…))
449, 43sylbi 216 . . . . . . 7 ((β™―β€˜π‘‰) = 1 β†’ (𝐺 ∈ UHGraph β†’ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯)} = βˆ…))
4544impcom 409 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (β™―β€˜π‘‰) = 1) β†’ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯)} = βˆ…)
465, 45eqtrid 2785 . . . . 5 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (β™―β€˜π‘‰) = 1) β†’ 𝐸 = βˆ…)
472, 4, 46feq123d 6658 . . . 4 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (β™―β€˜π‘‰) = 1) β†’ (𝐼:dom 𝐼⟢𝐸 ↔ (iEdgβ€˜πΊ):dom (iEdgβ€˜πΊ)βŸΆβˆ…))
4847biimp3a 1470 . . 3 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (β™―β€˜π‘‰) = 1 ∧ 𝐼:dom 𝐼⟢𝐸) β†’ (iEdgβ€˜πΊ):dom (iEdgβ€˜πΊ)βŸΆβˆ…)
49 f00 6725 . . . 4 ((iEdgβ€˜πΊ):dom (iEdgβ€˜πΊ)βŸΆβˆ… ↔ ((iEdgβ€˜πΊ) = βˆ… ∧ dom (iEdgβ€˜πΊ) = βˆ…))
5049simplbi 499 . . 3 ((iEdgβ€˜πΊ):dom (iEdgβ€˜πΊ)βŸΆβˆ… β†’ (iEdgβ€˜πΊ) = βˆ…)
5148, 50syl 17 . 2 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (β™―β€˜π‘‰) = 1 ∧ 𝐼:dom 𝐼⟢𝐸) β†’ (iEdgβ€˜πΊ) = βˆ…)
52 uhgriedg0edg0 28120 . . 3 (𝐺 ∈ UHGraph β†’ ((Edgβ€˜πΊ) = βˆ… ↔ (iEdgβ€˜πΊ) = βˆ…))
53523ad2ant1 1134 . 2 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (β™―β€˜π‘‰) = 1 ∧ 𝐼:dom 𝐼⟢𝐸) β†’ ((Edgβ€˜πΊ) = βˆ… ↔ (iEdgβ€˜πΊ) = βˆ…))
5451, 53mpbird 257 1 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (β™―β€˜π‘‰) = 1 ∧ 𝐼:dom 𝐼⟢𝐸) β†’ (Edgβ€˜πΊ) = βˆ…)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  {crab 3406  Vcvv 3444  βˆ…c0 4283  π’« cpw 4561  {csn 4587  {cpr 4589   class class class wbr 5106  dom cdm 5634  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  0cc0 11056  1c1 11057   < clt 11194   ≀ cle 11195  2c2 12213  β™―chash 14236  Vtxcvtx 27989  iEdgciedg 27990  Edgcedg 28040  UHGraphcuhgr 28049
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-oadd 8417  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-dju 9842  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-fz 13431  df-hash 14237  df-edg 28041  df-uhgr 28051
This theorem is referenced by:  usgr1vr  28245  vtxdlfuhgr1v  28469
  Copyright terms: Public domain W3C validator