MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  usgr1vr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem usgr1vr 27023
Description: A simple graph with one vertex has no edges. (Contributed by AV, 18-Oct-2020.) (Revised by AV, 21-Mar-2021.) (Proof shortened by AV, 2-Apr-2021.)
Assertion
Ref Expression
usgr1vr ((𝐴𝑋 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝐴}) → (𝐺 ∈ USGraph → (iEdg‘𝐺) = ∅))

Proof of Theorem usgr1vr
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 usgruhgr 26954 . . . . 5 (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ UHGraph)
21adantl 485 . . . 4 (((𝐴𝑋 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝐴}) ∧ 𝐺 ∈ USGraph) → 𝐺 ∈ UHGraph)
3 fveq2 6643 . . . . . 6 ((Vtx‘𝐺) = {𝐴} → (♯‘(Vtx‘𝐺)) = (♯‘{𝐴}))
4 hashsng 13714 . . . . . 6 (𝐴𝑋 → (♯‘{𝐴}) = 1)
53, 4sylan9eqr 2878 . . . . 5 ((𝐴𝑋 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝐴}) → (♯‘(Vtx‘𝐺)) = 1)
65adantr 484 . . . 4 (((𝐴𝑋 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝐴}) ∧ 𝐺 ∈ USGraph) → (♯‘(Vtx‘𝐺)) = 1)
7 eqid 2821 . . . . . . 7 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
8 eqid 2821 . . . . . . 7 (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
97, 8usgrislfuspgr 26955 . . . . . 6 (𝐺 ∈ USGraph ↔ (𝐺 ∈ USPGraph ∧ (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}))
109simprbi 500 . . . . 5 (𝐺 ∈ USGraph → (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)})
1110adantl 485 . . . 4 (((𝐴𝑋 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝐴}) ∧ 𝐺 ∈ USGraph) → (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)})
12 eqid 2821 . . . . 5 {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} = {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}
137, 8, 12lfuhgr1v0e 27022 . . . 4 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (♯‘(Vtx‘𝐺)) = 1 ∧ (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) → (Edg‘𝐺) = ∅)
142, 6, 11, 13syl3anc 1368 . . 3 (((𝐴𝑋 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝐴}) ∧ 𝐺 ∈ USGraph) → (Edg‘𝐺) = ∅)
15 uhgriedg0edg0 26898 . . . . 5 (𝐺 ∈ UHGraph → ((Edg‘𝐺) = ∅ ↔ (iEdg‘𝐺) = ∅))
161, 15syl 17 . . . 4 (𝐺 ∈ USGraph → ((Edg‘𝐺) = ∅ ↔ (iEdg‘𝐺) = ∅))
1716adantl 485 . . 3 (((𝐴𝑋 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝐴}) ∧ 𝐺 ∈ USGraph) → ((Edg‘𝐺) = ∅ ↔ (iEdg‘𝐺) = ∅))
1814, 17mpbid 235 . 2 (((𝐴𝑋 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝐴}) ∧ 𝐺 ∈ USGraph) → (iEdg‘𝐺) = ∅)
1918ex 416 1 ((𝐴𝑋 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝐴}) → (𝐺 ∈ USGraph → (iEdg‘𝐺) = ∅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  {crab 3130  c0 4266  𝒫 cpw 4512  {csn 4540   class class class wbr 5039  dom cdm 5528  wf 6324  cfv 6328  1c1 10515  cle 10653  2c2 11670  chash 13674  Vtxcvtx 26767  iEdgciedg 26768  Edgcedg 26818  UHGraphcuhgr 26827  USPGraphcuspgr 26919  USGraphcusgr 26920
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-rep 5163  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-int 4850  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-om 7556  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-1o 8077  df-oadd 8081  df-er 8264  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-fin 8488  df-dju 9306  df-card 9344  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-nn 11616  df-2 11678  df-n0 11876  df-xnn0 11946  df-z 11960  df-uz 12222  df-fz 12876  df-hash 13675  df-edg 26819  df-uhgr 26829  df-upgr 26853  df-uspgr 26921  df-usgr 26922
This theorem is referenced by:  usgr1v  27024  usgr1v0e  27094
  Copyright terms: Public domain W3C validator