Theorem usgr1vr 27622

Description: A simple graph with one vertex has no edges. (Contributed by AV, 18-Oct-2020.) (Revised by AV, 21-Mar-2021.) (Proof shortened by AV, 2-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
usgr1vr	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝐴}) → (𝐺 ∈ USGraph → (iEdg‘𝐺) = ∅))

Proof of Theorem usgr1vr

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		usgruhgr 27553	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ UHGraph)
2	1	adantl 482	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝐴}) ∧ 𝐺 ∈ USGraph) → 𝐺 ∈ UHGraph)
3		fveq2 6774	. . . . . 6 ⊢ ((Vtx‘𝐺) = {𝐴} → (♯‘(Vtx‘𝐺)) = (♯‘{𝐴}))
4		hashsng 14084	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (♯‘{𝐴}) = 1)
5	3, 4	sylan9eqr 2800	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝐴}) → (♯‘(Vtx‘𝐺)) = 1)
6	5	adantr 481	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝐴}) ∧ 𝐺 ∈ USGraph) → (♯‘(Vtx‘𝐺)) = 1)
7		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
8		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
9	7, 8	usgrislfuspgr 27554	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph ↔ (𝐺 ∈ USPGraph ∧ (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}))
10	9	simprbi 497	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)})
11	10	adantl 482	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝐴}) ∧ 𝐺 ∈ USGraph) → (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)})
12		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} = {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}
13	7, 8, 12	lfuhgr1v0e 27621	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (♯‘(Vtx‘𝐺)) = 1 ∧ (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) → (Edg‘𝐺) = ∅)
14	2, 6, 11, 13	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝐴}) ∧ 𝐺 ∈ USGraph) → (Edg‘𝐺) = ∅)
15		uhgriedg0edg0 27497	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → ((Edg‘𝐺) = ∅ ↔ (iEdg‘𝐺) = ∅))
16	1, 15	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → ((Edg‘𝐺) = ∅ ↔ (iEdg‘𝐺) = ∅))
17	16	adantl 482	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝐴}) ∧ 𝐺 ∈ USGraph) → ((Edg‘𝐺) = ∅ ↔ (iEdg‘𝐺) = ∅))
18	14, 17	mpbid 231	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝐴}) ∧ 𝐺 ∈ USGraph) → (iEdg‘𝐺) = ∅)
19	18	ex 413	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝐴}) → (𝐺 ∈ USGraph → (iEdg‘𝐺) = ∅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  {crab 3068  ∅c0 4256  𝒫 cpw 4533  {csn 4561   class class class wbr 5074  dom cdm 5589  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  1c1 10872   ≤ cle 11010  2c2 12028  ♯chash 14044  Vtxcvtx 27366  iEdgciedg 27367  Edgcedg 27417  UHGraphcuhgr 27426  USPGraphcuspgr 27518  USGraphcusgr 27519

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-oadd 8301  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-dju 9659  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-n0 12234  df-xnn0 12306  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-hash 14045  df-edg 27418  df-uhgr 27428  df-upgr 27452  df-uspgr 27520  df-usgr 27521

This theorem is referenced by:  usgr1v  27623  usgr1v0e  27693