Theorem usgr1vr 29332

Description: A simple graph with one vertex has no edges. (Contributed by AV, 18-Oct-2020.) (Revised by AV, 21-Mar-2021.) (Proof shortened by AV, 2-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
usgr1vr	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝐴}) → (𝐺 ∈ USGraph → (iEdg‘𝐺) = ∅))

Proof of Theorem usgr1vr

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		usgruhgr 29263	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ UHGraph)
2	1	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝐴}) ∧ 𝐺 ∈ USGraph) → 𝐺 ∈ UHGraph)
3		fveq2 6835	. . . . . 6 ⊢ ((Vtx‘𝐺) = {𝐴} → (♯‘(Vtx‘𝐺)) = (♯‘{𝐴}))
4		hashsng 14296	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (♯‘{𝐴}) = 1)
5	3, 4	sylan9eqr 2794	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝐴}) → (♯‘(Vtx‘𝐺)) = 1)
6	5	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝐴}) ∧ 𝐺 ∈ USGraph) → (♯‘(Vtx‘𝐺)) = 1)
7		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
8		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
9	7, 8	usgrislfuspgr 29264	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph ↔ (𝐺 ∈ USPGraph ∧ (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}))
10	9	simprbi 496	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)})
11	10	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝐴}) ∧ 𝐺 ∈ USGraph) → (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)})
12		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} = {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}
13	7, 8, 12	lfuhgr1v0e 29331	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (♯‘(Vtx‘𝐺)) = 1 ∧ (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) → (Edg‘𝐺) = ∅)
14	2, 6, 11, 13	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝐴}) ∧ 𝐺 ∈ USGraph) → (Edg‘𝐺) = ∅)
15		uhgriedg0edg0 29204	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → ((Edg‘𝐺) = ∅ ↔ (iEdg‘𝐺) = ∅))
16	1, 15	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → ((Edg‘𝐺) = ∅ ↔ (iEdg‘𝐺) = ∅))
17	16	adantl 481	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝐴}) ∧ 𝐺 ∈ USGraph) → ((Edg‘𝐺) = ∅ ↔ (iEdg‘𝐺) = ∅))
18	14, 17	mpbid 232	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝐴}) ∧ 𝐺 ∈ USGraph) → (iEdg‘𝐺) = ∅)
19	18	ex 412	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝐴}) → (𝐺 ∈ USGraph → (iEdg‘𝐺) = ∅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3400  ∅c0 4286  𝒫 cpw 4555  {csn 4581   class class class wbr 5099  dom cdm 5625  ⟶wf 6489  ‘cfv 6493  1c1 11031   ≤ cle 11171  2c2 12204  ♯chash 14257  Vtxcvtx 29073  iEdgciedg 29074  Edgcedg 29124  UHGraphcuhgr 29133  USPGraphcuspgr 29225  USGraphcusgr 29226

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-oadd 8403  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-dju 9817  df-card 9855  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12150  df-2 12212  df-n0 12406  df-xnn0 12479  df-z 12493  df-uz 12756  df-fz 13428  df-hash 14258  df-edg 29125  df-uhgr 29135  df-upgr 29159  df-uspgr 29227  df-usgr 29228

This theorem is referenced by:  usgr1v  29333  usgr1v0e  29403