MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  usgr1v0e Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem usgr1v0e 26673
Description: The size of a (finite) simple graph with 1 vertex is 0. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Jan-2018.) (Revised by AV, 22-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fusgredgfi.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
fusgredgfi.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
usgr1v0e ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝑉) = 1) → (♯‘𝐸) = 0)

Proof of Theorem usgr1v0e
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 476 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 = {𝑣}) → 𝐺 ∈ USGraph)
2 vex 3401 . . . . . . . . 9 𝑣 ∈ V
32a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 = {𝑣}) → 𝑣 ∈ V)
4 fusgredgfi.v . . . . . . . . . . 11 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
54eqeq1i 2783 . . . . . . . . . 10 (𝑉 = {𝑣} ↔ (Vtx‘𝐺) = {𝑣})
65biimpi 208 . . . . . . . . 9 (𝑉 = {𝑣} → (Vtx‘𝐺) = {𝑣})
76adantl 475 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 = {𝑣}) → (Vtx‘𝐺) = {𝑣})
8 usgr1vr 26602 . . . . . . . . 9 ((𝑣 ∈ V ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝑣}) → (𝐺 ∈ USGraph → (iEdg‘𝐺) = ∅))
983adant1 1121 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑣 ∈ V ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝑣}) → (𝐺 ∈ USGraph → (iEdg‘𝐺) = ∅))
101, 3, 7, 9syl3anc 1439 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 = {𝑣}) → (𝐺 ∈ USGraph → (iEdg‘𝐺) = ∅))
111, 10mpd 15 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 = {𝑣}) → (iEdg‘𝐺) = ∅)
12 fusgredgfi.e . . . . . . . 8 𝐸 = (Edg‘𝐺)
1312eqeq1i 2783 . . . . . . 7 (𝐸 = ∅ ↔ (Edg‘𝐺) = ∅)
14 usgruhgr 26532 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ UHGraph)
15 uhgriedg0edg0 26475 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ UHGraph → ((Edg‘𝐺) = ∅ ↔ (iEdg‘𝐺) = ∅))
1614, 15syl 17 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ USGraph → ((Edg‘𝐺) = ∅ ↔ (iEdg‘𝐺) = ∅))
1716adantr 474 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 = {𝑣}) → ((Edg‘𝐺) = ∅ ↔ (iEdg‘𝐺) = ∅))
1813, 17syl5bb 275 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 = {𝑣}) → (𝐸 = ∅ ↔ (iEdg‘𝐺) = ∅))
1911, 18mpbird 249 . . . . 5 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 = {𝑣}) → 𝐸 = ∅)
2019ex 403 . . . 4 (𝐺 ∈ USGraph → (𝑉 = {𝑣} → 𝐸 = ∅))
2120exlimdv 1976 . . 3 (𝐺 ∈ USGraph → (∃𝑣 𝑉 = {𝑣} → 𝐸 = ∅))
224fvexi 6460 . . . 4 𝑉 ∈ V
23 hash1snb 13521 . . . 4 (𝑉 ∈ V → ((♯‘𝑉) = 1 ↔ ∃𝑣 𝑉 = {𝑣}))
2422, 23mp1i 13 . . 3 (𝐺 ∈ USGraph → ((♯‘𝑉) = 1 ↔ ∃𝑣 𝑉 = {𝑣}))
2512fvexi 6460 . . . 4 𝐸 ∈ V
26 hasheq0 13469 . . . 4 (𝐸 ∈ V → ((♯‘𝐸) = 0 ↔ 𝐸 = ∅))
2725, 26mp1i 13 . . 3 (𝐺 ∈ USGraph → ((♯‘𝐸) = 0 ↔ 𝐸 = ∅))
2821, 24, 273imtr4d 286 . 2 (𝐺 ∈ USGraph → ((♯‘𝑉) = 1 → (♯‘𝐸) = 0))
2928imp 397 1 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝑉) = 1) → (♯‘𝐸) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386   = wceq 1601  wex 1823  wcel 2107  Vcvv 3398  c0 4141  {csn 4398  cfv 6135  0cc0 10272  1c1 10273  chash 13435  Vtxcvtx 26344  iEdgciedg 26345  Edgcedg 26395  UHGraphcuhgr 26404  USGraphcusgr 26498
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-oadd 7847  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-card 9098  df-cda 9325  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-2 11438  df-n0 11643  df-xnn0 11715  df-z 11729  df-uz 11993  df-fz 12644  df-hash 13436  df-edg 26396  df-uhgr 26406  df-upgr 26430  df-uspgr 26499  df-usgr 26500
This theorem is referenced by:  cusgrsizeindb1  26798
  Copyright terms: Public domain W3C validator