MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  usgr1v0e Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem usgr1v0e 29016
Description: The size of a (finite) simple graph with 1 vertex is 0. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Jan-2018.) (Revised by AV, 22-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fusgredgfi.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
fusgredgfi.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
usgr1v0e ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝑉) = 1) → (♯‘𝐸) = 0)

Proof of Theorem usgr1v0e
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 482 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 = {𝑣}) → 𝐺 ∈ USGraph)
2 vex 3477 . . . . . . . 8 𝑣 ∈ V
3 fusgredgfi.v . . . . . . . . . . 11 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
43eqeq1i 2736 . . . . . . . . . 10 (𝑉 = {𝑣} ↔ (Vtx‘𝐺) = {𝑣})
54biimpi 215 . . . . . . . . 9 (𝑉 = {𝑣} → (Vtx‘𝐺) = {𝑣})
65adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 = {𝑣}) → (Vtx‘𝐺) = {𝑣})
7 usgr1vr 28945 . . . . . . . 8 ((𝑣 ∈ V ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝑣}) → (𝐺 ∈ USGraph → (iEdg‘𝐺) = ∅))
82, 6, 7sylancr 586 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 = {𝑣}) → (𝐺 ∈ USGraph → (iEdg‘𝐺) = ∅))
91, 8mpd 15 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 = {𝑣}) → (iEdg‘𝐺) = ∅)
10 fusgredgfi.e . . . . . . . 8 𝐸 = (Edg‘𝐺)
1110eqeq1i 2736 . . . . . . 7 (𝐸 = ∅ ↔ (Edg‘𝐺) = ∅)
12 usgruhgr 28876 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ UHGraph)
13 uhgriedg0edg0 28820 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ UHGraph → ((Edg‘𝐺) = ∅ ↔ (iEdg‘𝐺) = ∅))
1412, 13syl 17 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ USGraph → ((Edg‘𝐺) = ∅ ↔ (iEdg‘𝐺) = ∅))
1514adantr 480 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 = {𝑣}) → ((Edg‘𝐺) = ∅ ↔ (iEdg‘𝐺) = ∅))
1611, 15bitrid 283 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 = {𝑣}) → (𝐸 = ∅ ↔ (iEdg‘𝐺) = ∅))
179, 16mpbird 257 . . . . 5 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 = {𝑣}) → 𝐸 = ∅)
1817ex 412 . . . 4 (𝐺 ∈ USGraph → (𝑉 = {𝑣} → 𝐸 = ∅))
1918exlimdv 1935 . . 3 (𝐺 ∈ USGraph → (∃𝑣 𝑉 = {𝑣} → 𝐸 = ∅))
203fvexi 6905 . . . 4 𝑉 ∈ V
21 hash1snb 14386 . . . 4 (𝑉 ∈ V → ((♯‘𝑉) = 1 ↔ ∃𝑣 𝑉 = {𝑣}))
2220, 21mp1i 13 . . 3 (𝐺 ∈ USGraph → ((♯‘𝑉) = 1 ↔ ∃𝑣 𝑉 = {𝑣}))
2310fvexi 6905 . . . 4 𝐸 ∈ V
24 hasheq0 14330 . . . 4 (𝐸 ∈ V → ((♯‘𝐸) = 0 ↔ 𝐸 = ∅))
2523, 24mp1i 13 . . 3 (𝐺 ∈ USGraph → ((♯‘𝐸) = 0 ↔ 𝐸 = ∅))
2619, 22, 253imtr4d 294 . 2 (𝐺 ∈ USGraph → ((♯‘𝑉) = 1 → (♯‘𝐸) = 0))
2726imp 406 1 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝑉) = 1) → (♯‘𝐸) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1540  wex 1780  wcel 2105  Vcvv 3473  c0 4322  {csn 4628  cfv 6543  0cc0 11116  1c1 11117  chash 14297  Vtxcvtx 28689  iEdgciedg 28690  Edgcedg 28740  UHGraphcuhgr 28749  USGraphcusgr 28842
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-oadd 8476  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-dju 9902  df-card 9940  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-2 12282  df-n0 12480  df-xnn0 12552  df-z 12566  df-uz 12830  df-fz 13492  df-hash 14298  df-edg 28741  df-uhgr 28751  df-upgr 28775  df-uspgr 28843  df-usgr 28844
This theorem is referenced by:  cusgrsizeindb1  29140
  Copyright terms: Public domain W3C validator