Theorem usgr1v0e 29315

Description: The size of a (finite) simple graph with 1 vertex is 0. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Jan-2018.) (Revised by AV, 22-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fusgredgfi.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
fusgredgfi.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
usgr1v0e	⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝑉) = 1) → (♯‘𝐸) = 0)

Proof of Theorem usgr1v0e

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 = {𝑣}) → 𝐺 ∈ USGraph)
2		vex 3442	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑣 ∈ V
3		fusgredgfi.v	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
4	3	eqeq1i 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑉 = {𝑣} ↔ (Vtx‘𝐺) = {𝑣})
5	4	biimpi 216	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑉 = {𝑣} → (Vtx‘𝐺) = {𝑣})
6	5	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 = {𝑣}) → (Vtx‘𝐺) = {𝑣})
7		usgr1vr 29244	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑣 ∈ V ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝑣}) → (𝐺 ∈ USGraph → (iEdg‘𝐺) = ∅))
8	2, 6, 7	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 = {𝑣}) → (𝐺 ∈ USGraph → (iEdg‘𝐺) = ∅))
9	1, 8	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 = {𝑣}) → (iEdg‘𝐺) = ∅)
10		fusgredgfi.e	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
11	10	eqeq1i 2738	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸 = ∅ ↔ (Edg‘𝐺) = ∅)
12		usgruhgr 29175	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ UHGraph)
13		uhgriedg0edg0 29116	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → ((Edg‘𝐺) = ∅ ↔ (iEdg‘𝐺) = ∅))
14	12, 13	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → ((Edg‘𝐺) = ∅ ↔ (iEdg‘𝐺) = ∅))
15	14	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 = {𝑣}) → ((Edg‘𝐺) = ∅ ↔ (iEdg‘𝐺) = ∅))
16	11, 15	bitrid 283	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 = {𝑣}) → (𝐸 = ∅ ↔ (iEdg‘𝐺) = ∅))
17	9, 16	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 = {𝑣}) → 𝐸 = ∅)
18	17	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝑉 = {𝑣} → 𝐸 = ∅))
19	18	exlimdv 1934	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (∃𝑣 𝑉 = {𝑣} → 𝐸 = ∅))
20	3	fvexi 6845	. . . 4 ⊢ 𝑉 ∈ V
21		hash1snb 14336	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ V → ((♯‘𝑉) = 1 ↔ ∃𝑣 𝑉 = {𝑣}))
22	20, 21	mp1i 13	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → ((♯‘𝑉) = 1 ↔ ∃𝑣 𝑉 = {𝑣}))
23	10	fvexi 6845	. . . 4 ⊢ 𝐸 ∈ V
24		hasheq0 14280	. . . 4 ⊢ (𝐸 ∈ V → ((♯‘𝐸) = 0 ↔ 𝐸 = ∅))
25	23, 24	mp1i 13	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → ((♯‘𝐸) = 0 ↔ 𝐸 = ∅))
26	19, 22, 25	3imtr4d 294	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → ((♯‘𝑉) = 1 → (♯‘𝐸) = 0))
27	26	imp 406	1 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝑉) = 1) → (♯‘𝐸) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2113  Vcvv 3438  ∅c0 4284  {csn 4577  ‘cfv 6489  0cc0 11016  1c1 11017  ♯chash 14247  Vtxcvtx 28985  iEdgciedg 28986  Edgcedg 29036  UHGraphcuhgr 29045  USGraphcusgr 29138

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11072  ax-resscn 11073  ax-1cn 11074  ax-icn 11075  ax-addcl 11076  ax-addrcl 11077  ax-mulcl 11078  ax-mulrcl 11079  ax-mulcom 11080  ax-addass 11081  ax-mulass 11082  ax-distr 11083  ax-i2m1 11084  ax-1ne0 11085  ax-1rid 11086  ax-rnegex 11087  ax-rrecex 11088  ax-cnre 11089  ax-pre-lttri 11090  ax-pre-lttrn 11091  ax-pre-ltadd 11092  ax-pre-mulgt0 11093

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-oadd 8398  df-er 8631  df-en 8879  df-dom 8880  df-sdom 8881  df-fin 8882  df-dju 9804  df-card 9842  df-pnf 11158  df-mnf 11159  df-xr 11160  df-ltxr 11161  df-le 11162  df-sub 11356  df-neg 11357  df-nn 12136  df-2 12198  df-n0 12392  df-xnn0 12465  df-z 12479  df-uz 12743  df-fz 13418  df-hash 14248  df-edg 29037  df-uhgr 29047  df-upgr 29071  df-uspgr 29139  df-usgr 29140

This theorem is referenced by:  cusgrsizeindb1  29440