Theorem usgr1v0e 29642

Description: The size of a (finite) simple graph with 1 vertex is 0. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Jan-2018.) (Revised by AV, 22-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fusgredgfi.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
fusgredgfi.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
usgr1v0e	⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝑉) = 1) → (♯‘𝐸) = 0)

Proof of Theorem usgr1v0e

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 = {𝑣}) → 𝐺 ∈ USGraph)
2		vex 3457	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑣 ∈ V
3		fusgredgfi.v	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
4	3	eqeq1i 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑉 = {𝑣} ↔ (Vtx‘𝐺) = {𝑣})
5	4	bilani 509	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 = {𝑣}) → (Vtx‘𝐺) = {𝑣})
6		usgr1vr 29571	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑣 ∈ V ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝑣}) → (𝐺 ∈ USGraph → (iEdg‘𝐺) = ∅))
7	2, 5, 6	sylancr 598	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 = {𝑣}) → (𝐺 ∈ USGraph → (iEdg‘𝐺) = ∅))
8	1, 7	mpd 16	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 = {𝑣}) → (iEdg‘𝐺) = ∅)
9		fusgredgfi.e	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
10	9	eqeq1i 2766	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸 = ∅ ↔ (Edg‘𝐺) = ∅)
11		usgruhgr 29502	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ UHGraph)
12		uhgriedg0edg0 29443	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → ((Edg‘𝐺) = ∅ ↔ (iEdg‘𝐺) = ∅))
13	11, 12	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → ((Edg‘𝐺) = ∅ ↔ (iEdg‘𝐺) = ∅))
14	13	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 = {𝑣}) → ((Edg‘𝐺) = ∅ ↔ (iEdg‘𝐺) = ∅))
15	10, 14	bitrid 286	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 = {𝑣}) → (𝐸 = ∅ ↔ (iEdg‘𝐺) = ∅))
16	8, 15	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 = {𝑣}) → 𝐸 = ∅)
17	16	ex 417	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝑉 = {𝑣} → 𝐸 = ∅))
18	17	exlimdv 1961	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (∃𝑣 𝑉 = {𝑣} → 𝐸 = ∅))
19	3	fvexi 6895	. . . 4 ⊢ 𝑉 ∈ V
20		hash1snb 14455	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ V → ((♯‘𝑉) = 1 ↔ ∃𝑣 𝑉 = {𝑣}))
21	19, 20	mp1i 14	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → ((♯‘𝑉) = 1 ↔ ∃𝑣 𝑉 = {𝑣}))
22	9	fvexi 6895	. . . 4 ⊢ 𝐸 ∈ V
23		hasheq0 14398	. . . 4 ⊢ (𝐸 ∈ V → ((♯‘𝐸) = 0 ↔ 𝐸 = ∅))
24	22, 23	mp1i 14	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → ((♯‘𝐸) = 0 ↔ 𝐸 = ∅))
25	18, 21, 24	3imtr4d 297	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → ((♯‘𝑉) = 1 → (♯‘𝐸) = 0))
26	25	imp 411	1 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (♯‘𝑉) = 1) → (♯‘𝐸) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1568  ∃wex 1807   ∈ wcel 2141  Vcvv 3453  ∅c0 4285  {csn 4588  ‘cfv 6536  0cc0 11099  1c1 11100  ♯chash 14365  Vtxcvtx 29312  iEdgciedg 29313  Edgcedg 29363  UHGraphcuhgr 29372  USGraphcusgr 29465

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-oadd 8456  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-dju 9886  df-card 9924  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-n0 12504  df-xnn0 12577  df-z 12591  df-uz 12862  df-fz 13535  df-hash 14366  df-edg 29364  df-uhgr 29374  df-upgr 29398  df-uspgr 29466  df-usgr 29467

This theorem is referenced by:  cusgrsizeindb1  29766