Theorem wdomen1 9491

Description: Equality-like theorem for equinumerosity and weak dominance. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
wdomen1	⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝐴 ≼* 𝐶 ↔ 𝐵 ≼* 𝐶))

Proof of Theorem wdomen1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ensym 8950	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐵 ≈ 𝐴)
2		endom 8926	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≈ 𝐴 → 𝐵 ≼ 𝐴)
3		domwdom 9489	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≼ 𝐴 → 𝐵 ≼* 𝐴)
4	1, 2, 3	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐵 ≼* 𝐴)
5		wdomtr 9490	. . 3 ⊢ ((𝐵 ≼* 𝐴 ∧ 𝐴 ≼* 𝐶) → 𝐵 ≼* 𝐶)
6	4, 5	sylan 581	. 2 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐴 ≼* 𝐶) → 𝐵 ≼* 𝐶)
7		endom 8926	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵)
8		domwdom 9489	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐴 ≼* 𝐵)
9	7, 8	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐴 ≼* 𝐵)
10		wdomtr 9490	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≼* 𝐵 ∧ 𝐵 ≼* 𝐶) → 𝐴 ≼* 𝐶)
11	9, 10	sylan 581	. 2 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼* 𝐶) → 𝐴 ≼* 𝐶)
12	6, 11	impbida 801	1 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝐴 ≼* 𝐶 ↔ 𝐵 ≼* 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   class class class wbr 5086   ≈ cen 8890   ≼ cdom 8891   ≼^* cwdom 9479

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-wdom 9480

This theorem is referenced by: (None)