Theorem wdomen1 9573

Description: Equality-like theorem for equinumerosity and weak dominance. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
wdomen1	⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝐴 ≼* 𝐶 ↔ 𝐵 ≼* 𝐶))

Proof of Theorem wdomen1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ensym 9033	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐵 ≈ 𝐴)
2		endom 9009	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≈ 𝐴 → 𝐵 ≼ 𝐴)
3		domwdom 9571	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≼ 𝐴 → 𝐵 ≼* 𝐴)
4	1, 2, 3	3syl 19	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐵 ≼* 𝐴)
5		wdomtr 9572	. . 3 ⊢ ((𝐵 ≼* 𝐴 ∧ 𝐴 ≼* 𝐶) → 𝐵 ≼* 𝐶)
6	4, 5	sylan 592	. 2 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐴 ≼* 𝐶) → 𝐵 ≼* 𝐶)
7		endom 9009	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵)
8		domwdom 9571	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐴 ≼* 𝐵)
9	7, 8	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐴 ≼* 𝐵)
10		wdomtr 9572	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≼* 𝐵 ∧ 𝐵 ≼* 𝐶) → 𝐴 ≼* 𝐶)
11	9, 10	sylan 592	. 2 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼* 𝐶) → 𝐴 ≼* 𝐶)
12	6, 11	impbida 813	1 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝐴 ≼* 𝐶 ↔ 𝐵 ≼* 𝐶))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   class class class wbr 5102   ≈ cen 8973   ≼ cdom 8974   ≼^* cwdom 9561

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-wdom 9562

This theorem is used by: (None)