Theorem wdomen1 9535

Description: Equality-like theorem for equinumerosity and weak dominance. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
wdomen1	⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝐴 ≼* 𝐶 ↔ 𝐵 ≼* 𝐶))

Proof of Theorem wdomen1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ensym 8976	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐵 ≈ 𝐴)
2		endom 8952	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≈ 𝐴 → 𝐵 ≼ 𝐴)
3		domwdom 9533	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≼ 𝐴 → 𝐵 ≼* 𝐴)
4	1, 2, 3	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐵 ≼* 𝐴)
5		wdomtr 9534	. . 3 ⊢ ((𝐵 ≼* 𝐴 ∧ 𝐴 ≼* 𝐶) → 𝐵 ≼* 𝐶)
6	4, 5	sylan 580	. 2 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐴 ≼* 𝐶) → 𝐵 ≼* 𝐶)
7		endom 8952	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵)
8		domwdom 9533	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐴 ≼* 𝐵)
9	7, 8	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐴 ≼* 𝐵)
10		wdomtr 9534	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≼* 𝐵 ∧ 𝐵 ≼* 𝐶) → 𝐴 ≼* 𝐶)
11	9, 10	sylan 580	. 2 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼* 𝐶) → 𝐴 ≼* 𝐶)
12	6, 11	impbida 800	1 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝐴 ≼* 𝐶 ↔ 𝐵 ≼* 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   class class class wbr 5109   ≈ cen 8917   ≼ cdom 8918   ≼^* cwdom 9523

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5535  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-er 8673  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-wdom 9524

This theorem is referenced by: (None)