Theorem wdomtr 9525

Description: Transitivity of weak dominance. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
wdomtr	⊢ ((𝑋 ≼* 𝑌 ∧ 𝑌 ≼* 𝑍) → 𝑋 ≼* 𝑍)

Proof of Theorem wdomtr

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relwdom 9516	. . . . 5 ⊢ Rel ≼*
2	1	brrelex2i 5706	. . . 4 ⊢ (𝑌 ≼* 𝑍 → 𝑍 ∈ V)
3	2	adantl 485	. . 3 ⊢ ((𝑋 ≼* 𝑌 ∧ 𝑌 ≼* 𝑍) → 𝑍 ∈ V)
4		0wdom 9520	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ V → ∅ ≼* 𝑍)
5		breq1 5105	. . . 4 ⊢ (𝑋 = ∅ → (𝑋 ≼* 𝑍 ↔ ∅ ≼* 𝑍))
6	4, 5	syl5ibrcom 249	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ V → (𝑋 = ∅ → 𝑋 ≼* 𝑍))
7	3, 6	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑋 ≼* 𝑌 ∧ 𝑌 ≼* 𝑍) → (𝑋 = ∅ → 𝑋 ≼* 𝑍))
8		simpll 776	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ≼* 𝑌 ∧ 𝑌 ≼* 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → 𝑋 ≼* 𝑌)
9		brwdomn0 9519	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ≠ ∅ → (𝑋 ≼* 𝑌 ↔ ∃𝑧 𝑧:𝑌–onto→𝑋))
10	9	adantl 485	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ≼* 𝑌 ∧ 𝑌 ≼* 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝑋 ≼* 𝑌 ↔ ∃𝑧 𝑧:𝑌–onto→𝑋))
11	8, 10	mpbid 234	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ≼* 𝑌 ∧ 𝑌 ≼* 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → ∃𝑧 𝑧:𝑌–onto→𝑋)
12		simpllr 785	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑋 ≼* 𝑌 ∧ 𝑌 ≼* 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑧:𝑌–onto→𝑋) → 𝑌 ≼* 𝑍)
13		simplr 778	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ≼* 𝑌 ∧ 𝑌 ≼* 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑧:𝑌–onto→𝑋) → 𝑋 ≠ ∅)
14		dm0rn0 5902	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (dom 𝑧 = ∅ ↔ ran 𝑧 = ∅)
15	14	necon3bii 3011	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (dom 𝑧 ≠ ∅ ↔ ran 𝑧 ≠ ∅)
16	15	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧:𝑌–onto→𝑋 → (dom 𝑧 ≠ ∅ ↔ ran 𝑧 ≠ ∅))
17		fof 6780	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧:𝑌–onto→𝑋 → 𝑧:𝑌⟶𝑋)
18	17	fdmd 6704	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧:𝑌–onto→𝑋 → dom 𝑧 = 𝑌)
19	18	neeq1d 3018	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧:𝑌–onto→𝑋 → (dom 𝑧 ≠ ∅ ↔ 𝑌 ≠ ∅))
20		forn 6783	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧:𝑌–onto→𝑋 → ran 𝑧 = 𝑋)
21	20	neeq1d 3018	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧:𝑌–onto→𝑋 → (ran 𝑧 ≠ ∅ ↔ 𝑋 ≠ ∅))
22	16, 19, 21	3bitr3rd 312	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧:𝑌–onto→𝑋 → (𝑋 ≠ ∅ ↔ 𝑌 ≠ ∅))
23	22	adantl 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ≼* 𝑌 ∧ 𝑌 ≼* 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑧:𝑌–onto→𝑋) → (𝑋 ≠ ∅ ↔ 𝑌 ≠ ∅))
24	13, 23	mpbid 234	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋 ≼* 𝑌 ∧ 𝑌 ≼* 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑧:𝑌–onto→𝑋) → 𝑌 ≠ ∅)
25		brwdomn0 9519	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ≠ ∅ → (𝑌 ≼* 𝑍 ↔ ∃𝑦 𝑦:𝑍–onto→𝑌))
26	24, 25	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑋 ≼* 𝑌 ∧ 𝑌 ≼* 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑧:𝑌–onto→𝑋) → (𝑌 ≼* 𝑍 ↔ ∃𝑦 𝑦:𝑍–onto→𝑌))
27	12, 26	mpbid 234	. . . . 5 ⊢ ((((𝑋 ≼* 𝑌 ∧ 𝑌 ≼* 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑧:𝑌–onto→𝑋) → ∃𝑦 𝑦:𝑍–onto→𝑌)
28		vex 3460	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑧 ∈ V
29		vex 3460	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑦 ∈ V
30	28, 29	coex 7913	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∘ 𝑦) ∈ V
31		foco 6794	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧:𝑌–onto→𝑋 ∧ 𝑦:𝑍–onto→𝑌) → (𝑧 ∘ 𝑦):𝑍–onto→𝑋)
32		fowdom 9521	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑧 ∘ 𝑦) ∈ V ∧ (𝑧 ∘ 𝑦):𝑍–onto→𝑋) → 𝑋 ≼* 𝑍)
33	30, 31, 32	sylancr 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧:𝑌–onto→𝑋 ∧ 𝑦:𝑍–onto→𝑌) → 𝑋 ≼* 𝑍)
34	33	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋 ≼* 𝑌 ∧ 𝑌 ≼* 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ (𝑧:𝑌–onto→𝑋 ∧ 𝑦:𝑍–onto→𝑌)) → 𝑋 ≼* 𝑍)
35	34	expr 460	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑋 ≼* 𝑌 ∧ 𝑌 ≼* 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑧:𝑌–onto→𝑋) → (𝑦:𝑍–onto→𝑌 → 𝑋 ≼* 𝑍))
36	35	exlimdv 1955	. . . . 5 ⊢ ((((𝑋 ≼* 𝑌 ∧ 𝑌 ≼* 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑧:𝑌–onto→𝑋) → (∃𝑦 𝑦:𝑍–onto→𝑌 → 𝑋 ≼* 𝑍))
37	27, 36	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((((𝑋 ≼* 𝑌 ∧ 𝑌 ≼* 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑧:𝑌–onto→𝑋) → 𝑋 ≼* 𝑍)
38	11, 37	exlimddv 1957	. . 3 ⊢ (((𝑋 ≼* 𝑌 ∧ 𝑌 ≼* 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → 𝑋 ≼* 𝑍)
39	38	ex 416	. 2 ⊢ ((𝑋 ≼* 𝑌 ∧ 𝑌 ≼* 𝑍) → (𝑋 ≠ ∅ → 𝑋 ≼* 𝑍))
40	7, 39	pm2.61dne 3045	1 ⊢ ((𝑋 ≼* 𝑌 ∧ 𝑌 ≼* 𝑍) → 𝑋 ≼* 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1562  ∃wex 1801   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2959  Vcvv 3456  ∅c0 4287   class class class wbr 5102  dom cdm 5649  ran crn 5650   ∘ ccom 5653  –onto→wfo 6521   ≼^* cwdom 9514

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3417  df-v 3458  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-id 5544  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-fo 6529  df-wdom 9515

This theorem is referenced by:  wdomen1  9526  wdomen2  9527  wdom2d  9530  wdomima2g  9536  unxpwdom2  9538  unxpwdom  9539  harwdom  9541  pwdjudom  10173  hsmexlem1  10385  hsmexlem4  10388