Theorem wdomtr 9264

Description: Transitivity of weak dominance. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
wdomtr	⊢ ((𝑋 ≼* 𝑌 ∧ 𝑌 ≼* 𝑍) → 𝑋 ≼* 𝑍)

Proof of Theorem wdomtr

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relwdom 9255	. . . . 5 ⊢ Rel ≼*
2	1	brrelex2i 5635	. . . 4 ⊢ (𝑌 ≼* 𝑍 → 𝑍 ∈ V)
3	2	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑋 ≼* 𝑌 ∧ 𝑌 ≼* 𝑍) → 𝑍 ∈ V)
4		0wdom 9259	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ V → ∅ ≼* 𝑍)
5		breq1 5073	. . . 4 ⊢ (𝑋 = ∅ → (𝑋 ≼* 𝑍 ↔ ∅ ≼* 𝑍))
6	4, 5	syl5ibrcom 246	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ V → (𝑋 = ∅ → 𝑋 ≼* 𝑍))
7	3, 6	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑋 ≼* 𝑌 ∧ 𝑌 ≼* 𝑍) → (𝑋 = ∅ → 𝑋 ≼* 𝑍))
8		simpll 763	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ≼* 𝑌 ∧ 𝑌 ≼* 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → 𝑋 ≼* 𝑌)
9		brwdomn0 9258	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ≠ ∅ → (𝑋 ≼* 𝑌 ↔ ∃𝑧 𝑧:𝑌–onto→𝑋))
10	9	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ≼* 𝑌 ∧ 𝑌 ≼* 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝑋 ≼* 𝑌 ↔ ∃𝑧 𝑧:𝑌–onto→𝑋))
11	8, 10	mpbid 231	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ≼* 𝑌 ∧ 𝑌 ≼* 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → ∃𝑧 𝑧:𝑌–onto→𝑋)
12		simpllr 772	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑋 ≼* 𝑌 ∧ 𝑌 ≼* 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑧:𝑌–onto→𝑋) → 𝑌 ≼* 𝑍)
13		simplr 765	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ≼* 𝑌 ∧ 𝑌 ≼* 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑧:𝑌–onto→𝑋) → 𝑋 ≠ ∅)
14		dm0rn0 5823	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (dom 𝑧 = ∅ ↔ ran 𝑧 = ∅)
15	14	necon3bii 2995	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (dom 𝑧 ≠ ∅ ↔ ran 𝑧 ≠ ∅)
16	15	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧:𝑌–onto→𝑋 → (dom 𝑧 ≠ ∅ ↔ ran 𝑧 ≠ ∅))
17		fof 6672	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧:𝑌–onto→𝑋 → 𝑧:𝑌⟶𝑋)
18	17	fdmd 6595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧:𝑌–onto→𝑋 → dom 𝑧 = 𝑌)
19	18	neeq1d 3002	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧:𝑌–onto→𝑋 → (dom 𝑧 ≠ ∅ ↔ 𝑌 ≠ ∅))
20		forn 6675	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧:𝑌–onto→𝑋 → ran 𝑧 = 𝑋)
21	20	neeq1d 3002	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧:𝑌–onto→𝑋 → (ran 𝑧 ≠ ∅ ↔ 𝑋 ≠ ∅))
22	16, 19, 21	3bitr3rd 309	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧:𝑌–onto→𝑋 → (𝑋 ≠ ∅ ↔ 𝑌 ≠ ∅))
23	22	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ≼* 𝑌 ∧ 𝑌 ≼* 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑧:𝑌–onto→𝑋) → (𝑋 ≠ ∅ ↔ 𝑌 ≠ ∅))
24	13, 23	mpbid 231	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋 ≼* 𝑌 ∧ 𝑌 ≼* 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑧:𝑌–onto→𝑋) → 𝑌 ≠ ∅)
25		brwdomn0 9258	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ≠ ∅ → (𝑌 ≼* 𝑍 ↔ ∃𝑦 𝑦:𝑍–onto→𝑌))
26	24, 25	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑋 ≼* 𝑌 ∧ 𝑌 ≼* 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑧:𝑌–onto→𝑋) → (𝑌 ≼* 𝑍 ↔ ∃𝑦 𝑦:𝑍–onto→𝑌))
27	12, 26	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ ((((𝑋 ≼* 𝑌 ∧ 𝑌 ≼* 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑧:𝑌–onto→𝑋) → ∃𝑦 𝑦:𝑍–onto→𝑌)
28		vex 3426	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑧 ∈ V
29		vex 3426	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑦 ∈ V
30	28, 29	coex 7751	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∘ 𝑦) ∈ V
31		foco 6686	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧:𝑌–onto→𝑋 ∧ 𝑦:𝑍–onto→𝑌) → (𝑧 ∘ 𝑦):𝑍–onto→𝑋)
32		fowdom 9260	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑧 ∘ 𝑦) ∈ V ∧ (𝑧 ∘ 𝑦):𝑍–onto→𝑋) → 𝑋 ≼* 𝑍)
33	30, 31, 32	sylancr 586	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧:𝑌–onto→𝑋 ∧ 𝑦:𝑍–onto→𝑌) → 𝑋 ≼* 𝑍)
34	33	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋 ≼* 𝑌 ∧ 𝑌 ≼* 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ (𝑧:𝑌–onto→𝑋 ∧ 𝑦:𝑍–onto→𝑌)) → 𝑋 ≼* 𝑍)
35	34	expr 456	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑋 ≼* 𝑌 ∧ 𝑌 ≼* 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑧:𝑌–onto→𝑋) → (𝑦:𝑍–onto→𝑌 → 𝑋 ≼* 𝑍))
36	35	exlimdv 1937	. . . . 5 ⊢ ((((𝑋 ≼* 𝑌 ∧ 𝑌 ≼* 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑧:𝑌–onto→𝑋) → (∃𝑦 𝑦:𝑍–onto→𝑌 → 𝑋 ≼* 𝑍))
37	27, 36	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((((𝑋 ≼* 𝑌 ∧ 𝑌 ≼* 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑧:𝑌–onto→𝑋) → 𝑋 ≼* 𝑍)
38	11, 37	exlimddv 1939	. . 3 ⊢ (((𝑋 ≼* 𝑌 ∧ 𝑌 ≼* 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → 𝑋 ≼* 𝑍)
39	38	ex 412	. 2 ⊢ ((𝑋 ≼* 𝑌 ∧ 𝑌 ≼* 𝑍) → (𝑋 ≠ ∅ → 𝑋 ≼* 𝑍))
40	7, 39	pm2.61dne 3030	1 ⊢ ((𝑋 ≼* 𝑌 ∧ 𝑌 ≼* 𝑍) → 𝑋 ≼* 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539  ∃wex 1783   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  Vcvv 3422  ∅c0 4253   class class class wbr 5070  dom cdm 5580  ran crn 5581   ∘ ccom 5584  –onto→wfo 6416   ≼^* cwdom 9253

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-fo 6424  df-wdom 9254

This theorem is referenced by:  wdomen1  9265  wdomen2  9266  wdom2d  9269  wdomima2g  9275  unxpwdom2  9277  unxpwdom  9278  harwdom  9280  pwdjudom  9903  hsmexlem1  10113  hsmexlem4  10116