MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wdomtr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wdomtr 9519
Description: Transitivity of weak dominance. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
wdomtr ((𝑋* 𝑌𝑌* 𝑍) → 𝑋* 𝑍)

Proof of Theorem wdomtr
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relwdom 9510 . . . . 5 Rel ≼*
21brrelex2i 5693 . . . 4 (𝑌* 𝑍𝑍 ∈ V)
32adantl 483 . . 3 ((𝑋* 𝑌𝑌* 𝑍) → 𝑍 ∈ V)
4 0wdom 9514 . . . 4 (𝑍 ∈ V → ∅ ≼* 𝑍)
5 breq1 5112 . . . 4 (𝑋 = ∅ → (𝑋* 𝑍 ↔ ∅ ≼* 𝑍))
64, 5syl5ibrcom 247 . . 3 (𝑍 ∈ V → (𝑋 = ∅ → 𝑋* 𝑍))
73, 6syl 17 . 2 ((𝑋* 𝑌𝑌* 𝑍) → (𝑋 = ∅ → 𝑋* 𝑍))
8 simpll 766 . . . . 5 (((𝑋* 𝑌𝑌* 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → 𝑋* 𝑌)
9 brwdomn0 9513 . . . . . 6 (𝑋 ≠ ∅ → (𝑋* 𝑌 ↔ ∃𝑧 𝑧:𝑌onto𝑋))
109adantl 483 . . . . 5 (((𝑋* 𝑌𝑌* 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝑋* 𝑌 ↔ ∃𝑧 𝑧:𝑌onto𝑋))
118, 10mpbid 231 . . . 4 (((𝑋* 𝑌𝑌* 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → ∃𝑧 𝑧:𝑌onto𝑋)
12 simpllr 775 . . . . . 6 ((((𝑋* 𝑌𝑌* 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑧:𝑌onto𝑋) → 𝑌* 𝑍)
13 simplr 768 . . . . . . . 8 ((((𝑋* 𝑌𝑌* 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑧:𝑌onto𝑋) → 𝑋 ≠ ∅)
14 dm0rn0 5884 . . . . . . . . . . . 12 (dom 𝑧 = ∅ ↔ ran 𝑧 = ∅)
1514necon3bii 2993 . . . . . . . . . . 11 (dom 𝑧 ≠ ∅ ↔ ran 𝑧 ≠ ∅)
1615a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑧:𝑌onto𝑋 → (dom 𝑧 ≠ ∅ ↔ ran 𝑧 ≠ ∅))
17 fof 6760 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧:𝑌onto𝑋𝑧:𝑌𝑋)
1817fdmd 6683 . . . . . . . . . . 11 (𝑧:𝑌onto𝑋 → dom 𝑧 = 𝑌)
1918neeq1d 3000 . . . . . . . . . 10 (𝑧:𝑌onto𝑋 → (dom 𝑧 ≠ ∅ ↔ 𝑌 ≠ ∅))
20 forn 6763 . . . . . . . . . . 11 (𝑧:𝑌onto𝑋 → ran 𝑧 = 𝑋)
2120neeq1d 3000 . . . . . . . . . 10 (𝑧:𝑌onto𝑋 → (ran 𝑧 ≠ ∅ ↔ 𝑋 ≠ ∅))
2216, 19, 213bitr3rd 310 . . . . . . . . 9 (𝑧:𝑌onto𝑋 → (𝑋 ≠ ∅ ↔ 𝑌 ≠ ∅))
2322adantl 483 . . . . . . . 8 ((((𝑋* 𝑌𝑌* 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑧:𝑌onto𝑋) → (𝑋 ≠ ∅ ↔ 𝑌 ≠ ∅))
2413, 23mpbid 231 . . . . . . 7 ((((𝑋* 𝑌𝑌* 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑧:𝑌onto𝑋) → 𝑌 ≠ ∅)
25 brwdomn0 9513 . . . . . . 7 (𝑌 ≠ ∅ → (𝑌* 𝑍 ↔ ∃𝑦 𝑦:𝑍onto𝑌))
2624, 25syl 17 . . . . . 6 ((((𝑋* 𝑌𝑌* 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑧:𝑌onto𝑋) → (𝑌* 𝑍 ↔ ∃𝑦 𝑦:𝑍onto𝑌))
2712, 26mpbid 231 . . . . 5 ((((𝑋* 𝑌𝑌* 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑧:𝑌onto𝑋) → ∃𝑦 𝑦:𝑍onto𝑌)
28 vex 3451 . . . . . . . . . 10 𝑧 ∈ V
29 vex 3451 . . . . . . . . . 10 𝑦 ∈ V
3028, 29coex 7871 . . . . . . . . 9 (𝑧𝑦) ∈ V
31 foco 6774 . . . . . . . . 9 ((𝑧:𝑌onto𝑋𝑦:𝑍onto𝑌) → (𝑧𝑦):𝑍onto𝑋)
32 fowdom 9515 . . . . . . . . 9 (((𝑧𝑦) ∈ V ∧ (𝑧𝑦):𝑍onto𝑋) → 𝑋* 𝑍)
3330, 31, 32sylancr 588 . . . . . . . 8 ((𝑧:𝑌onto𝑋𝑦:𝑍onto𝑌) → 𝑋* 𝑍)
3433adantl 483 . . . . . . 7 ((((𝑋* 𝑌𝑌* 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ (𝑧:𝑌onto𝑋𝑦:𝑍onto𝑌)) → 𝑋* 𝑍)
3534expr 458 . . . . . 6 ((((𝑋* 𝑌𝑌* 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑧:𝑌onto𝑋) → (𝑦:𝑍onto𝑌𝑋* 𝑍))
3635exlimdv 1937 . . . . 5 ((((𝑋* 𝑌𝑌* 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑧:𝑌onto𝑋) → (∃𝑦 𝑦:𝑍onto𝑌𝑋* 𝑍))
3727, 36mpd 15 . . . 4 ((((𝑋* 𝑌𝑌* 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑧:𝑌onto𝑋) → 𝑋* 𝑍)
3811, 37exlimddv 1939 . . 3 (((𝑋* 𝑌𝑌* 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → 𝑋* 𝑍)
3938ex 414 . 2 ((𝑋* 𝑌𝑌* 𝑍) → (𝑋 ≠ ∅ → 𝑋* 𝑍))
407, 39pm2.61dne 3028 1 ((𝑋* 𝑌𝑌* 𝑍) → 𝑋* 𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wex 1782  wcel 2107  wne 2940  Vcvv 3447  c0 4286   class class class wbr 5109  dom cdm 5637  ran crn 5638  ccom 5641  ontowfo 6498  * cwdom 9508
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-br 5110  df-opab 5172  df-id 5535  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-fo 6506  df-wdom 9509
This theorem is referenced by:  wdomen1  9520  wdomen2  9521  wdom2d  9524  wdomima2g  9530  unxpwdom2  9532  unxpwdom  9533  harwdom  9535  pwdjudom  10160  hsmexlem1  10370  hsmexlem4  10373
  Copyright terms: Public domain W3C validator