Theorem wdomtr 9467

Description: Transitivity of weak dominance. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
wdomtr	⊢ ((𝑋 ≼* 𝑌 ∧ 𝑌 ≼* 𝑍) → 𝑋 ≼* 𝑍)

Proof of Theorem wdomtr

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relwdom 9458	. . . . 5 ⊢ Rel ≼*
2	1	brrelex2i 5676	. . . 4 ⊢ (𝑌 ≼* 𝑍 → 𝑍 ∈ V)
3	2	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑋 ≼* 𝑌 ∧ 𝑌 ≼* 𝑍) → 𝑍 ∈ V)
4		0wdom 9462	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ V → ∅ ≼* 𝑍)
5		breq1 5095	. . . 4 ⊢ (𝑋 = ∅ → (𝑋 ≼* 𝑍 ↔ ∅ ≼* 𝑍))
6	4, 5	syl5ibrcom 247	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ V → (𝑋 = ∅ → 𝑋 ≼* 𝑍))
7	3, 6	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑋 ≼* 𝑌 ∧ 𝑌 ≼* 𝑍) → (𝑋 = ∅ → 𝑋 ≼* 𝑍))
8		simpll 766	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ≼* 𝑌 ∧ 𝑌 ≼* 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → 𝑋 ≼* 𝑌)
9		brwdomn0 9461	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ≠ ∅ → (𝑋 ≼* 𝑌 ↔ ∃𝑧 𝑧:𝑌–onto→𝑋))
10	9	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ≼* 𝑌 ∧ 𝑌 ≼* 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝑋 ≼* 𝑌 ↔ ∃𝑧 𝑧:𝑌–onto→𝑋))
11	8, 10	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ≼* 𝑌 ∧ 𝑌 ≼* 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → ∃𝑧 𝑧:𝑌–onto→𝑋)
12		simpllr 775	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑋 ≼* 𝑌 ∧ 𝑌 ≼* 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑧:𝑌–onto→𝑋) → 𝑌 ≼* 𝑍)
13		simplr 768	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ≼* 𝑌 ∧ 𝑌 ≼* 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑧:𝑌–onto→𝑋) → 𝑋 ≠ ∅)
14		dm0rn0 5867	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (dom 𝑧 = ∅ ↔ ran 𝑧 = ∅)
15	14	necon3bii 2977	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (dom 𝑧 ≠ ∅ ↔ ran 𝑧 ≠ ∅)
16	15	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧:𝑌–onto→𝑋 → (dom 𝑧 ≠ ∅ ↔ ran 𝑧 ≠ ∅))
17		fof 6736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧:𝑌–onto→𝑋 → 𝑧:𝑌⟶𝑋)
18	17	fdmd 6662	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧:𝑌–onto→𝑋 → dom 𝑧 = 𝑌)
19	18	neeq1d 2984	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧:𝑌–onto→𝑋 → (dom 𝑧 ≠ ∅ ↔ 𝑌 ≠ ∅))
20		forn 6739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧:𝑌–onto→𝑋 → ran 𝑧 = 𝑋)
21	20	neeq1d 2984	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧:𝑌–onto→𝑋 → (ran 𝑧 ≠ ∅ ↔ 𝑋 ≠ ∅))
22	16, 19, 21	3bitr3rd 310	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧:𝑌–onto→𝑋 → (𝑋 ≠ ∅ ↔ 𝑌 ≠ ∅))
23	22	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ≼* 𝑌 ∧ 𝑌 ≼* 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑧:𝑌–onto→𝑋) → (𝑋 ≠ ∅ ↔ 𝑌 ≠ ∅))
24	13, 23	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋 ≼* 𝑌 ∧ 𝑌 ≼* 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑧:𝑌–onto→𝑋) → 𝑌 ≠ ∅)
25		brwdomn0 9461	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ≠ ∅ → (𝑌 ≼* 𝑍 ↔ ∃𝑦 𝑦:𝑍–onto→𝑌))
26	24, 25	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑋 ≼* 𝑌 ∧ 𝑌 ≼* 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑧:𝑌–onto→𝑋) → (𝑌 ≼* 𝑍 ↔ ∃𝑦 𝑦:𝑍–onto→𝑌))
27	12, 26	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ ((((𝑋 ≼* 𝑌 ∧ 𝑌 ≼* 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑧:𝑌–onto→𝑋) → ∃𝑦 𝑦:𝑍–onto→𝑌)
28		vex 3440	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑧 ∈ V
29		vex 3440	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑦 ∈ V
30	28, 29	coex 7863	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∘ 𝑦) ∈ V
31		foco 6750	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧:𝑌–onto→𝑋 ∧ 𝑦:𝑍–onto→𝑌) → (𝑧 ∘ 𝑦):𝑍–onto→𝑋)
32		fowdom 9463	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑧 ∘ 𝑦) ∈ V ∧ (𝑧 ∘ 𝑦):𝑍–onto→𝑋) → 𝑋 ≼* 𝑍)
33	30, 31, 32	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧:𝑌–onto→𝑋 ∧ 𝑦:𝑍–onto→𝑌) → 𝑋 ≼* 𝑍)
34	33	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋 ≼* 𝑌 ∧ 𝑌 ≼* 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ (𝑧:𝑌–onto→𝑋 ∧ 𝑦:𝑍–onto→𝑌)) → 𝑋 ≼* 𝑍)
35	34	expr 456	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑋 ≼* 𝑌 ∧ 𝑌 ≼* 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑧:𝑌–onto→𝑋) → (𝑦:𝑍–onto→𝑌 → 𝑋 ≼* 𝑍))
36	35	exlimdv 1933	. . . . 5 ⊢ ((((𝑋 ≼* 𝑌 ∧ 𝑌 ≼* 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑧:𝑌–onto→𝑋) → (∃𝑦 𝑦:𝑍–onto→𝑌 → 𝑋 ≼* 𝑍))
37	27, 36	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((((𝑋 ≼* 𝑌 ∧ 𝑌 ≼* 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑧:𝑌–onto→𝑋) → 𝑋 ≼* 𝑍)
38	11, 37	exlimddv 1935	. . 3 ⊢ (((𝑋 ≼* 𝑌 ∧ 𝑌 ≼* 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → 𝑋 ≼* 𝑍)
39	38	ex 412	. 2 ⊢ ((𝑋 ≼* 𝑌 ∧ 𝑌 ≼* 𝑍) → (𝑋 ≠ ∅ → 𝑋 ≼* 𝑍))
40	7, 39	pm2.61dne 3011	1 ⊢ ((𝑋 ≼* 𝑌 ∧ 𝑌 ≼* 𝑍) → 𝑋 ≼* 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  Vcvv 3436  ∅c0 4284   class class class wbr 5092  dom cdm 5619  ran crn 5620   ∘ ccom 5623  –onto→wfo 6480   ≼^* cwdom 9456

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3395  df-v 3438  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-br 5093  df-opab 5155  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-fo 6488  df-wdom 9457

This theorem is referenced by:  wdomen1  9468  wdomen2  9469  wdom2d  9472  wdomima2g  9478  unxpwdom2  9480  unxpwdom  9481  harwdom  9483  pwdjudom  10109  hsmexlem1  10320  hsmexlem4  10323