Theorem wdomtr 8756

Description: Transitivity of weak dominance. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
wdomtr	⊢ ((𝑋 ≼* 𝑌 ∧ 𝑌 ≼* 𝑍) → 𝑋 ≼* 𝑍)

Proof of Theorem wdomtr

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relwdom 8747	. . . . 5 ⊢ Rel ≼*
2	1	brrelex2i 5398	. . . 4 ⊢ (𝑌 ≼* 𝑍 → 𝑍 ∈ V)
3	2	adantl 475	. . 3 ⊢ ((𝑋 ≼* 𝑌 ∧ 𝑌 ≼* 𝑍) → 𝑍 ∈ V)
4		0wdom 8751	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ V → ∅ ≼* 𝑍)
5		breq1 4878	. . . 4 ⊢ (𝑋 = ∅ → (𝑋 ≼* 𝑍 ↔ ∅ ≼* 𝑍))
6	4, 5	syl5ibrcom 239	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ V → (𝑋 = ∅ → 𝑋 ≼* 𝑍))
7	3, 6	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑋 ≼* 𝑌 ∧ 𝑌 ≼* 𝑍) → (𝑋 = ∅ → 𝑋 ≼* 𝑍))
8		simpll 783	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ≼* 𝑌 ∧ 𝑌 ≼* 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → 𝑋 ≼* 𝑌)
9		brwdomn0 8750	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ≠ ∅ → (𝑋 ≼* 𝑌 ↔ ∃𝑧 𝑧:𝑌–onto→𝑋))
10	9	adantl 475	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ≼* 𝑌 ∧ 𝑌 ≼* 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝑋 ≼* 𝑌 ↔ ∃𝑧 𝑧:𝑌–onto→𝑋))
11	8, 10	mpbid 224	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ≼* 𝑌 ∧ 𝑌 ≼* 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → ∃𝑧 𝑧:𝑌–onto→𝑋)
12		simpllr 793	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑋 ≼* 𝑌 ∧ 𝑌 ≼* 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑧:𝑌–onto→𝑋) → 𝑌 ≼* 𝑍)
13		simplr 785	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ≼* 𝑌 ∧ 𝑌 ≼* 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑧:𝑌–onto→𝑋) → 𝑋 ≠ ∅)
14		dm0rn0 5578	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (dom 𝑧 = ∅ ↔ ran 𝑧 = ∅)
15	14	necon3bii 3051	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (dom 𝑧 ≠ ∅ ↔ ran 𝑧 ≠ ∅)
16	15	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧:𝑌–onto→𝑋 → (dom 𝑧 ≠ ∅ ↔ ran 𝑧 ≠ ∅))
17		fof 6357	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧:𝑌–onto→𝑋 → 𝑧:𝑌⟶𝑋)
18	17	fdmd 6291	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧:𝑌–onto→𝑋 → dom 𝑧 = 𝑌)
19	18	neeq1d 3058	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧:𝑌–onto→𝑋 → (dom 𝑧 ≠ ∅ ↔ 𝑌 ≠ ∅))
20		forn 6360	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧:𝑌–onto→𝑋 → ran 𝑧 = 𝑋)
21	20	neeq1d 3058	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧:𝑌–onto→𝑋 → (ran 𝑧 ≠ ∅ ↔ 𝑋 ≠ ∅))
22	16, 19, 21	3bitr3rd 302	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧:𝑌–onto→𝑋 → (𝑋 ≠ ∅ ↔ 𝑌 ≠ ∅))
23	22	adantl 475	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ≼* 𝑌 ∧ 𝑌 ≼* 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑧:𝑌–onto→𝑋) → (𝑋 ≠ ∅ ↔ 𝑌 ≠ ∅))
24	13, 23	mpbid 224	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋 ≼* 𝑌 ∧ 𝑌 ≼* 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑧:𝑌–onto→𝑋) → 𝑌 ≠ ∅)
25		brwdomn0 8750	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ≠ ∅ → (𝑌 ≼* 𝑍 ↔ ∃𝑦 𝑦:𝑍–onto→𝑌))
26	24, 25	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑋 ≼* 𝑌 ∧ 𝑌 ≼* 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑧:𝑌–onto→𝑋) → (𝑌 ≼* 𝑍 ↔ ∃𝑦 𝑦:𝑍–onto→𝑌))
27	12, 26	mpbid 224	. . . . 5 ⊢ ((((𝑋 ≼* 𝑌 ∧ 𝑌 ≼* 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑧:𝑌–onto→𝑋) → ∃𝑦 𝑦:𝑍–onto→𝑌)
28		vex 3417	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑧 ∈ V
29		vex 3417	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑦 ∈ V
30	28, 29	coex 7385	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∘ 𝑦) ∈ V
31		foco 6369	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧:𝑌–onto→𝑋 ∧ 𝑦:𝑍–onto→𝑌) → (𝑧 ∘ 𝑦):𝑍–onto→𝑋)
32		fowdom 8752	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑧 ∘ 𝑦) ∈ V ∧ (𝑧 ∘ 𝑦):𝑍–onto→𝑋) → 𝑋 ≼* 𝑍)
33	30, 31, 32	sylancr 581	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧:𝑌–onto→𝑋 ∧ 𝑦:𝑍–onto→𝑌) → 𝑋 ≼* 𝑍)
34	33	adantl 475	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋 ≼* 𝑌 ∧ 𝑌 ≼* 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ (𝑧:𝑌–onto→𝑋 ∧ 𝑦:𝑍–onto→𝑌)) → 𝑋 ≼* 𝑍)
35	34	expr 450	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑋 ≼* 𝑌 ∧ 𝑌 ≼* 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑧:𝑌–onto→𝑋) → (𝑦:𝑍–onto→𝑌 → 𝑋 ≼* 𝑍))
36	35	exlimdv 2032	. . . . 5 ⊢ ((((𝑋 ≼* 𝑌 ∧ 𝑌 ≼* 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑧:𝑌–onto→𝑋) → (∃𝑦 𝑦:𝑍–onto→𝑌 → 𝑋 ≼* 𝑍))
37	27, 36	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((((𝑋 ≼* 𝑌 ∧ 𝑌 ≼* 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑧:𝑌–onto→𝑋) → 𝑋 ≼* 𝑍)
38	11, 37	exlimddv 2034	. . 3 ⊢ (((𝑋 ≼* 𝑌 ∧ 𝑌 ≼* 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → 𝑋 ≼* 𝑍)
39	38	ex 403	. 2 ⊢ ((𝑋 ≼* 𝑌 ∧ 𝑌 ≼* 𝑍) → (𝑋 ≠ ∅ → 𝑋 ≼* 𝑍))
40	7, 39	pm2.61dne 3085	1 ⊢ ((𝑋 ≼* 𝑌 ∧ 𝑌 ≼* 𝑍) → 𝑋 ≼* 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   = wceq 1656  ∃wex 1878   ∈ wcel 2164   ≠ wne 2999  Vcvv 3414  ∅c0 4146   class class class wbr 4875  dom cdm 5346  ran crn 5347   ∘ ccom 5350  –onto→wfo 6125   ≼^* cwdom 8738

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-ral 3122  df-rex 3123  df-rab 3126  df-v 3416  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-op 4406  df-uni 4661  df-br 4876  df-opab 4938  df-id 5252  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-fo 6133  df-wdom 8740

This theorem is referenced by:  wdomen1  8757  wdomen2  8758  wdom2d  8761  wdomima2g  8767  unxpwdom2  8769  unxpwdom  8770  harwdom  8771  pwcdadom  9360  hsmexlem1  9570  hsmexlem4  9573