Theorem wdomtr 9540

Description: Transitivity of weak dominance. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
wdomtr	⊢ ((𝑋 ≼* 𝑌 ∧ 𝑌 ≼* 𝑍) → 𝑋 ≼* 𝑍)

Proof of Theorem wdomtr

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relwdom 9531	. . . . 5 ⊢ Rel ≼*
2	1	brrelex2i 5722	. . . 4 ⊢ (𝑌 ≼* 𝑍 → 𝑍 ∈ V)
3	2	adantl 486	. . 3 ⊢ ((𝑋 ≼* 𝑌 ∧ 𝑌 ≼* 𝑍) → 𝑍 ∈ V)
4		0wdom 9535	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ V → ∅ ≼* 𝑍)
5		breq1 5117	. . . 4 ⊢ (𝑋 = ∅ → (𝑋 ≼* 𝑍 ↔ ∅ ≼* 𝑍))
6	4, 5	syl5ibrcom 250	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ V → (𝑋 = ∅ → 𝑋 ≼* 𝑍))
7	3, 6	syl 18	. 2 ⊢ ((𝑋 ≼* 𝑌 ∧ 𝑌 ≼* 𝑍) → (𝑋 = ∅ → 𝑋 ≼* 𝑍))
8		simpll 778	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ≼* 𝑌 ∧ 𝑌 ≼* 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → 𝑋 ≼* 𝑌)
9		brwdomn0 9534	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ≠ ∅ → (𝑋 ≼* 𝑌 ↔ ∃𝑧 𝑧:𝑌–onto→𝑋))
10	9	adantl 486	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ≼* 𝑌 ∧ 𝑌 ≼* 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝑋 ≼* 𝑌 ↔ ∃𝑧 𝑧:𝑌–onto→𝑋))
11	8, 10	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ≼* 𝑌 ∧ 𝑌 ≼* 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → ∃𝑧 𝑧:𝑌–onto→𝑋)
12		simpllr 787	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑋 ≼* 𝑌 ∧ 𝑌 ≼* 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑧:𝑌–onto→𝑋) → 𝑌 ≼* 𝑍)
13		simplr 780	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ≼* 𝑌 ∧ 𝑌 ≼* 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑧:𝑌–onto→𝑋) → 𝑋 ≠ ∅)
14		dm0rn0 5918	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (dom 𝑧 = ∅ ↔ ran 𝑧 = ∅)
15	14	necon3bii 3017	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (dom 𝑧 ≠ ∅ ↔ ran 𝑧 ≠ ∅)
16	15	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧:𝑌–onto→𝑋 → (dom 𝑧 ≠ ∅ ↔ ran 𝑧 ≠ ∅))
17		fof 6796	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧:𝑌–onto→𝑋 → 𝑧:𝑌⟶𝑋)
18	17	fdmd 6720	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧:𝑌–onto→𝑋 → dom 𝑧 = 𝑌)
19	18	neeq1d 3024	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧:𝑌–onto→𝑋 → (dom 𝑧 ≠ ∅ ↔ 𝑌 ≠ ∅))
20		forn 6799	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧:𝑌–onto→𝑋 → ran 𝑧 = 𝑋)
21	20	neeq1d 3024	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧:𝑌–onto→𝑋 → (ran 𝑧 ≠ ∅ ↔ 𝑋 ≠ ∅))
22	16, 19, 21	3bitr3rd 313	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧:𝑌–onto→𝑋 → (𝑋 ≠ ∅ ↔ 𝑌 ≠ ∅))
23	22	adantl 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ≼* 𝑌 ∧ 𝑌 ≼* 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑧:𝑌–onto→𝑋) → (𝑋 ≠ ∅ ↔ 𝑌 ≠ ∅))
24	13, 23	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋 ≼* 𝑌 ∧ 𝑌 ≼* 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑧:𝑌–onto→𝑋) → 𝑌 ≠ ∅)
25		brwdomn0 9534	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ≠ ∅ → (𝑌 ≼* 𝑍 ↔ ∃𝑦 𝑦:𝑍–onto→𝑌))
26	24, 25	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑋 ≼* 𝑌 ∧ 𝑌 ≼* 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑧:𝑌–onto→𝑋) → (𝑌 ≼* 𝑍 ↔ ∃𝑦 𝑦:𝑍–onto→𝑌))
27	12, 26	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ ((((𝑋 ≼* 𝑌 ∧ 𝑌 ≼* 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑧:𝑌–onto→𝑋) → ∃𝑦 𝑦:𝑍–onto→𝑌)
28		vex 3466	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑧 ∈ V
29		vex 3466	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑦 ∈ V
30	28, 29	coex 7930	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∘ 𝑦) ∈ V
31		foco 6810	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧:𝑌–onto→𝑋 ∧ 𝑦:𝑍–onto→𝑌) → (𝑧 ∘ 𝑦):𝑍–onto→𝑋)
32		fowdom 9536	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑧 ∘ 𝑦) ∈ V ∧ (𝑧 ∘ 𝑦):𝑍–onto→𝑋) → 𝑋 ≼* 𝑍)
33	30, 31, 32	sylancr 598	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧:𝑌–onto→𝑋 ∧ 𝑦:𝑍–onto→𝑌) → 𝑋 ≼* 𝑍)
34	33	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋 ≼* 𝑌 ∧ 𝑌 ≼* 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ (𝑧:𝑌–onto→𝑋 ∧ 𝑦:𝑍–onto→𝑌)) → 𝑋 ≼* 𝑍)
35	34	expr 461	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑋 ≼* 𝑌 ∧ 𝑌 ≼* 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑧:𝑌–onto→𝑋) → (𝑦:𝑍–onto→𝑌 → 𝑋 ≼* 𝑍))
36	35	exlimdv 1961	. . . . 5 ⊢ ((((𝑋 ≼* 𝑌 ∧ 𝑌 ≼* 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑧:𝑌–onto→𝑋) → (∃𝑦 𝑦:𝑍–onto→𝑌 → 𝑋 ≼* 𝑍))
37	27, 36	mpd 16	. . . 4 ⊢ ((((𝑋 ≼* 𝑌 ∧ 𝑌 ≼* 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑧:𝑌–onto→𝑋) → 𝑋 ≼* 𝑍)
38	11, 37	exlimddv 1963	. . 3 ⊢ (((𝑋 ≼* 𝑌 ∧ 𝑌 ≼* 𝑍) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → 𝑋 ≼* 𝑍)
39	38	ex 417	. 2 ⊢ ((𝑋 ≼* 𝑌 ∧ 𝑌 ≼* 𝑍) → (𝑋 ≠ ∅ → 𝑋 ≼* 𝑍))
40	7, 39	pm2.61dne 3051	1 ⊢ ((𝑋 ≼* 𝑌 ∧ 𝑌 ≼* 𝑍) → 𝑋 ≼* 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1568  ∃wex 1807   ∈ wcel 2150   ≠ wne 2965  Vcvv 3462  ∅c0 4294   class class class wbr 5114  dom cdm 5665  ran crn 5666   ∘ ccom 5669  –onto→wfo 6538   ≼^* cwdom 9529

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2152  ax-9 2160  ax-10 2183  ax-11 2199  ax-12 2220  ax-ext 2742  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5340  ax-pr 5408  ax-un 7736

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2099  df-mo 2574  df-eu 2604  df-clab 2749  df-cleq 2762  df-clel 2845  df-nfc 2919  df-ne 2966  df-ral 3087  df-rex 3097  df-rab 3424  df-v 3464  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-br 5115  df-opab 5179  df-id 5560  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-fo 6546  df-wdom 9530

This theorem is referenced by:  wdomen1  9541  wdomen2  9542  wdom2d  9545  wdomima2g  9551  unxpwdom2  9553  unxpwdom  9554  harwdom  9556  pwdjudom  10201  hsmexlem1  10413  hsmexlem4  10416