Theorem wdomen2 9539

Description: Equality-like theorem for equinumerosity and weak dominance. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
wdomen2	⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝐶 ≼* 𝐴 ↔ 𝐶 ≼* 𝐵))

Proof of Theorem wdomen2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 23	. . 3 ⊢ (𝐶 ≼* 𝐴 → 𝐶 ≼* 𝐴)
2		endom 8976	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵)
3		domwdom 9536	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐴 ≼* 𝐵)
4	2, 3	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐴 ≼* 𝐵)
5		wdomtr 9537	. . 3 ⊢ ((𝐶 ≼* 𝐴 ∧ 𝐴 ≼* 𝐵) → 𝐶 ≼* 𝐵)
6	1, 4, 5	syl2anr 608	. 2 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼* 𝐴) → 𝐶 ≼* 𝐵)
7		id 23	. . 3 ⊢ (𝐶 ≼* 𝐵 → 𝐶 ≼* 𝐵)
8		ensym 9000	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐵 ≈ 𝐴)
9		endom 8976	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≈ 𝐴 → 𝐵 ≼ 𝐴)
10		domwdom 9536	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≼ 𝐴 → 𝐵 ≼* 𝐴)
11	8, 9, 10	3syl 19	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐵 ≼* 𝐴)
12		wdomtr 9537	. . 3 ⊢ ((𝐶 ≼* 𝐵 ∧ 𝐵 ≼* 𝐴) → 𝐶 ≼* 𝐴)
13	7, 11, 12	syl2anr 608	. 2 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼* 𝐵) → 𝐶 ≼* 𝐴)
14	6, 13	impbida 812	1 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝐶 ≼* 𝐴 ↔ 𝐶 ≼* 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   class class class wbr 5113   ≈ cen 8940   ≼ cdom 8941   ≼^* cwdom 9526

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5557  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-wdom 9527

This theorem is referenced by: (None)