Theorem wdomen2 9571

Description: Equality-like theorem for equinumerosity and weak dominance. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
wdomen2	⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝐶 ≼* 𝐴 ↔ 𝐶 ≼* 𝐵))

Proof of Theorem wdomen2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 23	. . 3 ⊢ (𝐶 ≼* 𝐴 → 𝐶 ≼* 𝐴)
2		endom 9006	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵)
3		domwdom 9568	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐴 ≼* 𝐵)
4	2, 3	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐴 ≼* 𝐵)
5		wdomtr 9569	. . 3 ⊢ ((𝐶 ≼* 𝐴 ∧ 𝐴 ≼* 𝐵) → 𝐶 ≼* 𝐵)
6	1, 4, 5	syl2anr 609	. 2 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼* 𝐴) → 𝐶 ≼* 𝐵)
7		id 23	. . 3 ⊢ (𝐶 ≼* 𝐵 → 𝐶 ≼* 𝐵)
8		ensym 9030	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐵 ≈ 𝐴)
9		endom 9006	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≈ 𝐴 → 𝐵 ≼ 𝐴)
10		domwdom 9568	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≼ 𝐴 → 𝐵 ≼* 𝐴)
11	8, 9, 10	3syl 19	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐵 ≼* 𝐴)
12		wdomtr 9569	. . 3 ⊢ ((𝐶 ≼* 𝐵 ∧ 𝐵 ≼* 𝐴) → 𝐶 ≼* 𝐴)
13	7, 11, 12	syl2anr 609	. 2 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼* 𝐵) → 𝐶 ≼* 𝐴)
14	6, 13	impbida 813	1 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝐶 ≼* 𝐴 ↔ 𝐶 ≼* 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   class class class wbr 5103   ≈ cen 8970   ≼ cdom 8971   ≼^* cwdom 9558

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-wdom 9559

This theorem is used by: (None)