Theorem wdomen2 9469

Description: Equality-like theorem for equinumerosity and weak dominance. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
wdomen2	⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝐶 ≼* 𝐴 ↔ 𝐶 ≼* 𝐵))

Proof of Theorem wdomen2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . 3 ⊢ (𝐶 ≼* 𝐴 → 𝐶 ≼* 𝐴)
2		endom 8904	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵)
3		domwdom 9466	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐴 ≼* 𝐵)
4	2, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐴 ≼* 𝐵)
5		wdomtr 9467	. . 3 ⊢ ((𝐶 ≼* 𝐴 ∧ 𝐴 ≼* 𝐵) → 𝐶 ≼* 𝐵)
6	1, 4, 5	syl2anr 597	. 2 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼* 𝐴) → 𝐶 ≼* 𝐵)
7		id 22	. . 3 ⊢ (𝐶 ≼* 𝐵 → 𝐶 ≼* 𝐵)
8		ensym 8928	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐵 ≈ 𝐴)
9		endom 8904	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≈ 𝐴 → 𝐵 ≼ 𝐴)
10		domwdom 9466	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≼ 𝐴 → 𝐵 ≼* 𝐴)
11	8, 9, 10	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐵 ≼* 𝐴)
12		wdomtr 9467	. . 3 ⊢ ((𝐶 ≼* 𝐵 ∧ 𝐵 ≼* 𝐴) → 𝐶 ≼* 𝐴)
13	7, 11, 12	syl2anr 597	. 2 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼* 𝐵) → 𝐶 ≼* 𝐴)
14	6, 13	impbida 800	1 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝐶 ≼* 𝐴 ↔ 𝐶 ≼* 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   class class class wbr 5092   ≈ cen 8869   ≼ cdom 8870   ≼^* cwdom 9456

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3395  df-v 3438  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-wdom 9457

This theorem is referenced by: (None)