Theorem wdomen2 9599

Description: Equality-like theorem for equinumerosity and weak dominance. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
wdomen2	⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝐶 ≼* 𝐴 ↔ 𝐶 ≼* 𝐵))

Proof of Theorem wdomen2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . 3 ⊢ (𝐶 ≼* 𝐴 → 𝐶 ≼* 𝐴)
2		endom 9001	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵)
3		domwdom 9596	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐴 ≼* 𝐵)
4	2, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐴 ≼* 𝐵)
5		wdomtr 9597	. . 3 ⊢ ((𝐶 ≼* 𝐴 ∧ 𝐴 ≼* 𝐵) → 𝐶 ≼* 𝐵)
6	1, 4, 5	syl2anr 597	. 2 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼* 𝐴) → 𝐶 ≼* 𝐵)
7		id 22	. . 3 ⊢ (𝐶 ≼* 𝐵 → 𝐶 ≼* 𝐵)
8		ensym 9025	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐵 ≈ 𝐴)
9		endom 9001	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≈ 𝐴 → 𝐵 ≼ 𝐴)
10		domwdom 9596	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≼ 𝐴 → 𝐵 ≼* 𝐴)
11	8, 9, 10	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐵 ≼* 𝐴)
12		wdomtr 9597	. . 3 ⊢ ((𝐶 ≼* 𝐵 ∧ 𝐵 ≼* 𝐴) → 𝐶 ≼* 𝐴)
13	7, 11, 12	syl2anr 597	. 2 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼* 𝐵) → 𝐶 ≼* 𝐴)
14	6, 13	impbida 800	1 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝐶 ≼* 𝐴 ↔ 𝐶 ≼* 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   class class class wbr 5123   ≈ cen 8964   ≼ cdom 8965   ≼^* cwdom 9586

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3420  df-v 3465  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-id 5558  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-er 8727  df-en 8968  df-dom 8969  df-sdom 8970  df-wdom 9587

This theorem is referenced by: (None)