Theorem wdomen2 9571

Description: Equality-like theorem for equinumerosity and weak dominance. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
wdomen2	⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝐶 ≼* 𝐴 ↔ 𝐶 ≼* 𝐵))

Proof of Theorem wdomen2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . 3 ⊢ (𝐶 ≼* 𝐴 → 𝐶 ≼* 𝐴)
2		endom 8974	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵)
3		domwdom 9568	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐴 ≼* 𝐵)
4	2, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐴 ≼* 𝐵)
5		wdomtr 9569	. . 3 ⊢ ((𝐶 ≼* 𝐴 ∧ 𝐴 ≼* 𝐵) → 𝐶 ≼* 𝐵)
6	1, 4, 5	syl2anr 597	. 2 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼* 𝐴) → 𝐶 ≼* 𝐵)
7		id 22	. . 3 ⊢ (𝐶 ≼* 𝐵 → 𝐶 ≼* 𝐵)
8		ensym 8998	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐵 ≈ 𝐴)
9		endom 8974	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≈ 𝐴 → 𝐵 ≼ 𝐴)
10		domwdom 9568	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≼ 𝐴 → 𝐵 ≼* 𝐴)
11	8, 9, 10	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐵 ≼* 𝐴)
12		wdomtr 9569	. . 3 ⊢ ((𝐶 ≼* 𝐵 ∧ 𝐵 ≼* 𝐴) → 𝐶 ≼* 𝐴)
13	7, 11, 12	syl2anr 597	. 2 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼* 𝐵) → 𝐶 ≼* 𝐴)
14	6, 13	impbida 799	1 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝐶 ≼* 𝐴 ↔ 𝐶 ≼* 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   class class class wbr 5148   ≈ cen 8935   ≼ cdom 8936   ≼^* cwdom 9558

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-wdom 9559

This theorem is referenced by: (None)