Theorem domwdom 9491

Description: Weak dominance is implied by dominance in the usual sense. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
domwdom	⊢ (𝑋 ≼ 𝑌 → 𝑋 ≼* 𝑌)

Proof of Theorem domwdom

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neqne 2941	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑋 = ∅ → 𝑋 ≠ ∅)
2	1	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ≼ 𝑌 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝑋 ≠ ∅)
3		reldom 8901	. . . . . . . . 9 ⊢ Rel ≼
4	3	brrelex1i 5688	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ≼ 𝑌 → 𝑋 ∈ V)
5		0sdomg 9046	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ V → (∅ ≺ 𝑋 ↔ 𝑋 ≠ ∅))
6	4, 5	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ≼ 𝑌 → (∅ ≺ 𝑋 ↔ 𝑋 ≠ ∅))
7	6	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ≼ 𝑌 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → (∅ ≺ 𝑋 ↔ 𝑋 ≠ ∅))
8	2, 7	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ≼ 𝑌 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → ∅ ≺ 𝑋)
9		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ≼ 𝑌 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝑋 ≼ 𝑌)
10		fodomr 9068	. . . . 5 ⊢ ((∅ ≺ 𝑋 ∧ 𝑋 ≼ 𝑌) → ∃𝑦 𝑦:𝑌–onto→𝑋)
11	8, 9, 10	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ≼ 𝑌 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → ∃𝑦 𝑦:𝑌–onto→𝑋)
12	11	ex 412	. . 3 ⊢ (𝑋 ≼ 𝑌 → (¬ 𝑋 = ∅ → ∃𝑦 𝑦:𝑌–onto→𝑋))
13	12	orrd 864	. 2 ⊢ (𝑋 ≼ 𝑌 → (𝑋 = ∅ ∨ ∃𝑦 𝑦:𝑌–onto→𝑋))
14	3	brrelex2i 5689	. . 3 ⊢ (𝑋 ≼ 𝑌 → 𝑌 ∈ V)
15		brwdom 9484	. . 3 ⊢ (𝑌 ∈ V → (𝑋 ≼* 𝑌 ↔ (𝑋 = ∅ ∨ ∃𝑦 𝑦:𝑌–onto→𝑋)))
16	14, 15	syl 17	. 2 ⊢ (𝑋 ≼ 𝑌 → (𝑋 ≼* 𝑌 ↔ (𝑋 = ∅ ∨ ∃𝑦 𝑦:𝑌–onto→𝑋)))
17	13, 16	mpbird 257	1 ⊢ (𝑋 ≼ 𝑌 → 𝑋 ≼* 𝑌)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  Vcvv 3442  ∅c0 4287   class class class wbr 5100  –onto→wfo 6498   ≼ cdom 8893   ≺ csdm 8894   ≼^* cwdom 9481

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-wdom 9482

This theorem is referenced by:  wdomen1  9493  wdomen2  9494  wdom2d  9497  wdomima2g  9503  unxpwdom2  9505  unxpwdom  9506  harwdom  9508  wdomfil  9983  wdomnumr  9986  pwdjudom  10137  hsmexlem1  10348  hsmexlem4  10351