Theorem domwdom 8748

Description: Weak dominance is implied by dominance in the usual sense. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
domwdom	⊢ (𝑋 ≼ 𝑌 → 𝑋 ≼* 𝑌)

Proof of Theorem domwdom

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ne 3000	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ≠ ∅ ↔ ¬ 𝑋 = ∅)
2	1	biimpri 220	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑋 = ∅ → 𝑋 ≠ ∅)
3	2	adantl 475	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ≼ 𝑌 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝑋 ≠ ∅)
4		reldom 8228	. . . . . . . . 9 ⊢ Rel ≼
5	4	brrelex1i 5393	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ≼ 𝑌 → 𝑋 ∈ V)
6		0sdomg 8358	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ V → (∅ ≺ 𝑋 ↔ 𝑋 ≠ ∅))
7	5, 6	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ≼ 𝑌 → (∅ ≺ 𝑋 ↔ 𝑋 ≠ ∅))
8	7	adantr 474	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ≼ 𝑌 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → (∅ ≺ 𝑋 ↔ 𝑋 ≠ ∅))
9	3, 8	mpbird 249	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ≼ 𝑌 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → ∅ ≺ 𝑋)
10		simpl 476	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ≼ 𝑌 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝑋 ≼ 𝑌)
11		fodomr 8380	. . . . 5 ⊢ ((∅ ≺ 𝑋 ∧ 𝑋 ≼ 𝑌) → ∃𝑦 𝑦:𝑌–onto→𝑋)
12	9, 10, 11	syl2anc 579	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ≼ 𝑌 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → ∃𝑦 𝑦:𝑌–onto→𝑋)
13	12	ex 403	. . 3 ⊢ (𝑋 ≼ 𝑌 → (¬ 𝑋 = ∅ → ∃𝑦 𝑦:𝑌–onto→𝑋))
14	13	orrd 894	. 2 ⊢ (𝑋 ≼ 𝑌 → (𝑋 = ∅ ∨ ∃𝑦 𝑦:𝑌–onto→𝑋))
15	4	brrelex2i 5394	. . 3 ⊢ (𝑋 ≼ 𝑌 → 𝑌 ∈ V)
16		brwdom 8741	. . 3 ⊢ (𝑌 ∈ V → (𝑋 ≼* 𝑌 ↔ (𝑋 = ∅ ∨ ∃𝑦 𝑦:𝑌–onto→𝑋)))
17	15, 16	syl 17	. 2 ⊢ (𝑋 ≼ 𝑌 → (𝑋 ≼* 𝑌 ↔ (𝑋 = ∅ ∨ ∃𝑦 𝑦:𝑌–onto→𝑋)))
18	14, 17	mpbird 249	1 ⊢ (𝑋 ≼ 𝑌 → 𝑋 ≼* 𝑌)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   ∨ wo 878   = wceq 1656  ∃wex 1878   ∈ wcel 2164   ≠ wne 2999  Vcvv 3414  ∅c0 4144   class class class wbr 4873  –onto→wfo 6121   ≼ cdom 8220   ≺ csdm 8221   ≼^* cwdom 8731

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-ral 3122  df-rex 3123  df-rab 3126  df-v 3416  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-op 4404  df-uni 4659  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-id 5250  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-er 8009  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-wdom 8733

This theorem is referenced by:  wdomen1  8750  wdomen2  8751  wdom2d  8754  wdomima2g  8760  unxpwdom2  8762  unxpwdom  8763  harwdom  8764  wdomfil  9197  wdomnumr  9200  pwcdadom  9353  hsmexlem1  9563  hsmexlem4  9566