Theorem domwdom 9575

Description: Weak dominance is implied by dominance in the usual sense. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
domwdom	⊢ (𝑋 ≼ 𝑌 → 𝑋 ≼* 𝑌)

Proof of Theorem domwdom

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neqne 2963	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑋 = ∅ → 𝑋 ≠ ∅)
2	1	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ≼ 𝑌 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝑋 ≠ ∅)
3		reldom 8987	. . . . . . . . 9 ⊢ Rel ≼
4	3	brrelex1i 5707	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ≼ 𝑌 → 𝑋 ∈ V)
5		0sdomg 9133	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ V → (∅ ≺ 𝑋 ↔ 𝑋 ≠ ∅))
6	4, 5	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ≼ 𝑌 → (∅ ≺ 𝑋 ↔ 𝑋 ≠ ∅))
7	6	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ≼ 𝑌 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → (∅ ≺ 𝑋 ↔ 𝑋 ≠ ∅))
8	2, 7	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ≼ 𝑌 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → ∅ ≺ 𝑋)
9		simpl 488	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ≼ 𝑌 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝑋 ≼ 𝑌)
10		fodomr 9155	. . . . 5 ⊢ ((∅ ≺ 𝑋 ∧ 𝑋 ≼ 𝑌) → ∃𝑦 𝑦:𝑌–onto→𝑋)
11	8, 9, 10	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ≼ 𝑌 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → ∃𝑦 𝑦:𝑌–onto→𝑋)
12	11	ex 418	. . 3 ⊢ (𝑋 ≼ 𝑌 → (¬ 𝑋 = ∅ → ∃𝑦 𝑦:𝑌–onto→𝑋))
13	12	orrd 877	. 2 ⊢ (𝑋 ≼ 𝑌 → (𝑋 = ∅ ∨ ∃𝑦 𝑦:𝑌–onto→𝑋))
14	3	brrelex2i 5708	. . 3 ⊢ (𝑋 ≼ 𝑌 → 𝑌 ∈ V)
15		brwdom 9568	. . 3 ⊢ (𝑌 ∈ V → (𝑋 ≼* 𝑌 ↔ (𝑋 = ∅ ∨ ∃𝑦 𝑦:𝑌–onto→𝑋)))
16	14, 15	syl 18	. 2 ⊢ (𝑋 ≼ 𝑌 → (𝑋 ≼* 𝑌 ↔ (𝑋 = ∅ ∨ ∃𝑦 𝑦:𝑌–onto→𝑋)))
17	13, 16	mpbird 260	1 ⊢ (𝑋 ≼ 𝑌 → 𝑋 ≼* 𝑌)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1569  ∃wex 1811   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  Vcvv 3450  ∅c0 4277   class class class wbr 5102  –onto→wfo 6541   ≼ cdom 8979   ≺ csdm 8980   ≼^* cwdom 9565

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-wdom 9566

This theorem is used by:  wdomen1  9577  wdomen2  9578  wdom2d  9581  wdomima2g  9587  unxpwdom2  9589  unxpwdom  9590  harwdom  9592  wdomfil  10147  wdomnumr  10150  pwdjudom  10300  hsmexlem1  10511  hsmexlem4  10514