Theorem domwdom 9333

Description: Weak dominance is implied by dominance in the usual sense. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
domwdom	⊢ (𝑋 ≼ 𝑌 → 𝑋 ≼* 𝑌)

Proof of Theorem domwdom

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neqne 2951	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑋 = ∅ → 𝑋 ≠ ∅)
2	1	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ≼ 𝑌 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝑋 ≠ ∅)
3		reldom 8739	. . . . . . . . 9 ⊢ Rel ≼
4	3	brrelex1i 5643	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ≼ 𝑌 → 𝑋 ∈ V)
5		0sdomg 8891	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ V → (∅ ≺ 𝑋 ↔ 𝑋 ≠ ∅))
6	4, 5	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ≼ 𝑌 → (∅ ≺ 𝑋 ↔ 𝑋 ≠ ∅))
7	6	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ≼ 𝑌 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → (∅ ≺ 𝑋 ↔ 𝑋 ≠ ∅))
8	2, 7	mpbird 256	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ≼ 𝑌 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → ∅ ≺ 𝑋)
9		simpl 483	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ≼ 𝑌 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝑋 ≼ 𝑌)
10		fodomr 8915	. . . . 5 ⊢ ((∅ ≺ 𝑋 ∧ 𝑋 ≼ 𝑌) → ∃𝑦 𝑦:𝑌–onto→𝑋)
11	8, 9, 10	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ≼ 𝑌 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → ∃𝑦 𝑦:𝑌–onto→𝑋)
12	11	ex 413	. . 3 ⊢ (𝑋 ≼ 𝑌 → (¬ 𝑋 = ∅ → ∃𝑦 𝑦:𝑌–onto→𝑋))
13	12	orrd 860	. 2 ⊢ (𝑋 ≼ 𝑌 → (𝑋 = ∅ ∨ ∃𝑦 𝑦:𝑌–onto→𝑋))
14	3	brrelex2i 5644	. . 3 ⊢ (𝑋 ≼ 𝑌 → 𝑌 ∈ V)
15		brwdom 9326	. . 3 ⊢ (𝑌 ∈ V → (𝑋 ≼* 𝑌 ↔ (𝑋 = ∅ ∨ ∃𝑦 𝑦:𝑌–onto→𝑋)))
16	14, 15	syl 17	. 2 ⊢ (𝑋 ≼ 𝑌 → (𝑋 ≼* 𝑌 ↔ (𝑋 = ∅ ∨ ∃𝑦 𝑦:𝑌–onto→𝑋)))
17	13, 16	mpbird 256	1 ⊢ (𝑋 ≼ 𝑌 → 𝑋 ≼* 𝑌)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 844   = wceq 1539  ∃wex 1782   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  Vcvv 3432  ∅c0 4256   class class class wbr 5074  –onto→wfo 6431   ≼ cdom 8731   ≺ csdm 8732   ≼^* cwdom 9323

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-wdom 9324

This theorem is referenced by:  wdomen1  9335  wdomen2  9336  wdom2d  9339  wdomima2g  9345  unxpwdom2  9347  unxpwdom  9348  harwdom  9350  wdomfil  9817  wdomnumr  9820  pwdjudom  9972  hsmexlem1  10182  hsmexlem4  10185