MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  domwdom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem domwdom 9518
Description: Weak dominance is implied by dominance in the usual sense. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
domwdom (𝑋𝑌𝑋* 𝑌)

Proof of Theorem domwdom
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 neqne 2948 . . . . . . 7 𝑋 = ∅ → 𝑋 ≠ ∅)
21adantl 483 . . . . . 6 ((𝑋𝑌 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝑋 ≠ ∅)
3 reldom 8895 . . . . . . . . 9 Rel ≼
43brrelex1i 5692 . . . . . . . 8 (𝑋𝑌𝑋 ∈ V)
5 0sdomg 9054 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ V → (∅ ≺ 𝑋𝑋 ≠ ∅))
64, 5syl 17 . . . . . . 7 (𝑋𝑌 → (∅ ≺ 𝑋𝑋 ≠ ∅))
76adantr 482 . . . . . 6 ((𝑋𝑌 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → (∅ ≺ 𝑋𝑋 ≠ ∅))
82, 7mpbird 257 . . . . 5 ((𝑋𝑌 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → ∅ ≺ 𝑋)
9 simpl 484 . . . . 5 ((𝑋𝑌 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝑋𝑌)
10 fodomr 9078 . . . . 5 ((∅ ≺ 𝑋𝑋𝑌) → ∃𝑦 𝑦:𝑌onto𝑋)
118, 9, 10syl2anc 585 . . . 4 ((𝑋𝑌 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → ∃𝑦 𝑦:𝑌onto𝑋)
1211ex 414 . . 3 (𝑋𝑌 → (¬ 𝑋 = ∅ → ∃𝑦 𝑦:𝑌onto𝑋))
1312orrd 862 . 2 (𝑋𝑌 → (𝑋 = ∅ ∨ ∃𝑦 𝑦:𝑌onto𝑋))
143brrelex2i 5693 . . 3 (𝑋𝑌𝑌 ∈ V)
15 brwdom 9511 . . 3 (𝑌 ∈ V → (𝑋* 𝑌 ↔ (𝑋 = ∅ ∨ ∃𝑦 𝑦:𝑌onto𝑋)))
1614, 15syl 17 . 2 (𝑋𝑌 → (𝑋* 𝑌 ↔ (𝑋 = ∅ ∨ ∃𝑦 𝑦:𝑌onto𝑋)))
1713, 16mpbird 257 1 (𝑋𝑌𝑋* 𝑌)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397  wo 846   = wceq 1542  wex 1782  wcel 2107  wne 2940  Vcvv 3447  c0 4286   class class class wbr 5109  ontowfo 6498  cdom 8887  csdm 8888  * cwdom 9508
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-wdom 9509
This theorem is referenced by:  wdomen1  9520  wdomen2  9521  wdom2d  9524  wdomima2g  9530  unxpwdom2  9532  unxpwdom  9533  harwdom  9535  wdomfil  10005  wdomnumr  10008  pwdjudom  10160  hsmexlem1  10370  hsmexlem4  10373
  Copyright terms: Public domain W3C validator