MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  domwdom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem domwdom 9592
Description: Weak dominance is implied by dominance in the usual sense. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
domwdom (𝑋𝑌𝑋* 𝑌)

Proof of Theorem domwdom
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 neqne 2944 . . . . . . 7 𝑋 = ∅ → 𝑋 ≠ ∅)
21adantl 481 . . . . . 6 ((𝑋𝑌 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝑋 ≠ ∅)
3 reldom 8964 . . . . . . . . 9 Rel ≼
43brrelex1i 5729 . . . . . . . 8 (𝑋𝑌𝑋 ∈ V)
5 0sdomg 9123 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ V → (∅ ≺ 𝑋𝑋 ≠ ∅))
64, 5syl 17 . . . . . . 7 (𝑋𝑌 → (∅ ≺ 𝑋𝑋 ≠ ∅))
76adantr 480 . . . . . 6 ((𝑋𝑌 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → (∅ ≺ 𝑋𝑋 ≠ ∅))
82, 7mpbird 257 . . . . 5 ((𝑋𝑌 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → ∅ ≺ 𝑋)
9 simpl 482 . . . . 5 ((𝑋𝑌 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝑋𝑌)
10 fodomr 9147 . . . . 5 ((∅ ≺ 𝑋𝑋𝑌) → ∃𝑦 𝑦:𝑌onto𝑋)
118, 9, 10syl2anc 583 . . . 4 ((𝑋𝑌 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → ∃𝑦 𝑦:𝑌onto𝑋)
1211ex 412 . . 3 (𝑋𝑌 → (¬ 𝑋 = ∅ → ∃𝑦 𝑦:𝑌onto𝑋))
1312orrd 862 . 2 (𝑋𝑌 → (𝑋 = ∅ ∨ ∃𝑦 𝑦:𝑌onto𝑋))
143brrelex2i 5730 . . 3 (𝑋𝑌𝑌 ∈ V)
15 brwdom 9585 . . 3 (𝑌 ∈ V → (𝑋* 𝑌 ↔ (𝑋 = ∅ ∨ ∃𝑦 𝑦:𝑌onto𝑋)))
1614, 15syl 17 . 2 (𝑋𝑌 → (𝑋* 𝑌 ↔ (𝑋 = ∅ ∨ ∃𝑦 𝑦:𝑌onto𝑋)))
1713, 16mpbird 257 1 (𝑋𝑌𝑋* 𝑌)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395  wo 846   = wceq 1534  wex 1774  wcel 2099  wne 2936  Vcvv 3470  c0 4319   class class class wbr 5143  ontowfo 6541  cdom 8956  csdm 8957  * cwdom 9582
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rab 3429  df-v 3472  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5571  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-en 8959  df-dom 8960  df-sdom 8961  df-wdom 9583
This theorem is referenced by:  wdomen1  9594  wdomen2  9595  wdom2d  9598  wdomima2g  9604  unxpwdom2  9606  unxpwdom  9607  harwdom  9609  wdomfil  10079  wdomnumr  10082  pwdjudom  10234  hsmexlem1  10444  hsmexlem4  10447
  Copyright terms: Public domain W3C validator