MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  domwdom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem domwdom 9565
Description: Weak dominance is implied by dominance in the usual sense. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
domwdom (𝑋𝑌𝑋* 𝑌)

Proof of Theorem domwdom
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 neqne 2949 . . . . . . 7 𝑋 = ∅ → 𝑋 ≠ ∅)
21adantl 483 . . . . . 6 ((𝑋𝑌 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝑋 ≠ ∅)
3 reldom 8941 . . . . . . . . 9 Rel ≼
43brrelex1i 5730 . . . . . . . 8 (𝑋𝑌𝑋 ∈ V)
5 0sdomg 9100 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ V → (∅ ≺ 𝑋𝑋 ≠ ∅))
64, 5syl 17 . . . . . . 7 (𝑋𝑌 → (∅ ≺ 𝑋𝑋 ≠ ∅))
76adantr 482 . . . . . 6 ((𝑋𝑌 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → (∅ ≺ 𝑋𝑋 ≠ ∅))
82, 7mpbird 257 . . . . 5 ((𝑋𝑌 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → ∅ ≺ 𝑋)
9 simpl 484 . . . . 5 ((𝑋𝑌 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝑋𝑌)
10 fodomr 9124 . . . . 5 ((∅ ≺ 𝑋𝑋𝑌) → ∃𝑦 𝑦:𝑌onto𝑋)
118, 9, 10syl2anc 585 . . . 4 ((𝑋𝑌 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → ∃𝑦 𝑦:𝑌onto𝑋)
1211ex 414 . . 3 (𝑋𝑌 → (¬ 𝑋 = ∅ → ∃𝑦 𝑦:𝑌onto𝑋))
1312orrd 862 . 2 (𝑋𝑌 → (𝑋 = ∅ ∨ ∃𝑦 𝑦:𝑌onto𝑋))
143brrelex2i 5731 . . 3 (𝑋𝑌𝑌 ∈ V)
15 brwdom 9558 . . 3 (𝑌 ∈ V → (𝑋* 𝑌 ↔ (𝑋 = ∅ ∨ ∃𝑦 𝑦:𝑌onto𝑋)))
1614, 15syl 17 . 2 (𝑋𝑌 → (𝑋* 𝑌 ↔ (𝑋 = ∅ ∨ ∃𝑦 𝑦:𝑌onto𝑋)))
1713, 16mpbird 257 1 (𝑋𝑌𝑋* 𝑌)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397  wo 846   = wceq 1542  wex 1782  wcel 2107  wne 2941  Vcvv 3475  c0 4321   class class class wbr 5147  ontowfo 6538  cdom 8933  csdm 8934  * cwdom 9555
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-wdom 9556
This theorem is referenced by:  wdomen1  9567  wdomen2  9568  wdom2d  9571  wdomima2g  9577  unxpwdom2  9579  unxpwdom  9580  harwdom  9582  wdomfil  10052  wdomnumr  10055  pwdjudom  10207  hsmexlem1  10417  hsmexlem4  10420
  Copyright terms: Public domain W3C validator