Theorem xrge0ge0 46632

Description: A nonnegative extended real is nonnegative. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)

Assertion

Ref	Expression
xrge0ge0	⊢ (𝐴 ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem xrge0ge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxrge0 13628	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴))
2	1	biimpi 219	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]+∞) → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴))
3	2	simprd 501	1 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5108  (class class class)co 7451  0cc0 11239  +∞cpnf 11379  ℝ^*cxr 11381   ≤ cle 11383  [,]cicc 13519

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-addrcl 11300  ax-rnegex 11310  ax-cnre 11312

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-id 5553  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fv 6574  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-icc 13523

This theorem is used by:  sge0xaddlem1  47716  sge0xaddlem2  47717  ovnsubaddlem1  47853