Theorem xrge0ge0 41635

Description: A nonnegative extended real is nonnegative. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)

Assertion

Ref	Expression
xrge0ge0	⊢ (𝐴 ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem xrge0ge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxrge0 12846	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴))
2	1	biimpi 218	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]+∞) → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴))
3	2	simprd 498	1 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5066  (class class class)co 7156  0cc0 10537  +∞cpnf 10672  ℝ^*cxr 10674   ≤ cle 10676  [,]cicc 12742

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-addrcl 10598  ax-rnegex 10608  ax-cnre 10610

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-br 5067  df-opab 5129  df-id 5460  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fv 6363  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-icc 12746

This theorem is referenced by:  sge0xaddlem1  42735  sge0xaddlem2  42736  ovnsubaddlem1  42872