Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sge0xaddlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sge0xaddlem1 46389
Description: The extended addition of two generalized sums of nonnegative extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0xaddlem1.a (𝜑𝐴𝑉)
sge0xaddlem1.b ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
sge0xaddlem1.c ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,)+∞))
sge0xaddlem1.rp (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
sge0xaddlem1.u (𝜑𝑈𝐴)
sge0xaddlem1.ufi (𝜑𝑈 ∈ Fin)
sge0xaddlem1.7 (𝜑𝑊𝐴)
sge0xaddlem1.wfi (𝜑𝑊 ∈ Fin)
sge0xaddlem1.ltb (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) < (Σ𝑘𝑈 𝐵 + (𝐸 / 2)))
sge0xaddlem1.ltc (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) < (Σ𝑘𝑊 𝐶 + (𝐸 / 2)))
sge0xaddlem1.xr (𝜑 → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) ∈ (0[,]+∞))
sge0xaddlem1.sb (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ)
sge0xaddlem1.sc (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
sge0xaddlem1 (𝜑 → ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) + (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶))) ≤ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) +𝑒 𝐸))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑥   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑈,𝑘,𝑥   𝑘,𝑊,𝑥   𝜑,𝑘,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝐸(𝑥,𝑘)   𝑉(𝑥,𝑘)

Proof of Theorem sge0xaddlem1
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1912 . . . . 5 𝑘𝜑
2 sge0xaddlem1.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑉)
3 sge0xaddlem1.b . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
41, 2, 3sge0revalmpt 46334 . . . 4 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) = sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵), ℝ*, < ))
5 sge0xaddlem1.c . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,)+∞))
61, 2, 5sge0revalmpt 46334 . . . 4 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) = sup(ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑧 𝐶), ℝ*, < ))
74, 6oveq12d 7449 . . 3 (𝜑 → ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) + (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶))) = (sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵), ℝ*, < ) + sup(ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑧 𝐶), ℝ*, < )))
84eqcomd 2741 . . . . . 6 (𝜑 → sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵), ℝ*, < ) = (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)))
9 sge0xaddlem1.sb . . . . . 6 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) ∈ ℝ)
108, 9eqeltrd 2839 . . . . 5 (𝜑 → sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵), ℝ*, < ) ∈ ℝ)
11 sge0xaddlem1.sc . . . . . 6 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) ∈ ℝ)
126, 11eqeltrrd 2840 . . . . 5 (𝜑 → sup(ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑧 𝐶), ℝ*, < ) ∈ ℝ)
1310, 12readdcld 11288 . . . 4 (𝜑 → (sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵), ℝ*, < ) + sup(ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑧 𝐶), ℝ*, < )) ∈ ℝ)
1413rexrd 11309 . . 3 (𝜑 → (sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑦 𝐵), ℝ*, < ) + sup(ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑧 𝐶), ℝ*, < )) ∈ ℝ*)
157, 14eqeltrd 2839 . 2 (𝜑 → ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) + (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶))) ∈ ℝ*)
16 elinel2 4212 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ Fin)
1716adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ Fin)
18 simpll 767 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑥) → 𝜑)
19 elpwinss 44989 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑥𝐴)
2019adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑘𝑥) → 𝑥𝐴)
21 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑘𝑥) → 𝑘𝑥)
2220, 21sseldd 3996 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑘𝑥) → 𝑘𝐴)
2322adantll 714 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑥) → 𝑘𝐴)
24 rge0ssre 13493 . . . . . . . . . . 11 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
2524, 3sselid 3993 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
2618, 23, 25syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑥) → 𝐵 ∈ ℝ)
2724, 5sselid 3993 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
2818, 23, 27syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑥) → 𝐶 ∈ ℝ)
2926, 28readdcld 11288 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑥) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ)
3017, 29fsumrecl 15767 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ)
3130rexrd 11309 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ*)
3231ralrimiva 3144 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ*)
33 eqid 2735 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)) = (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶))
3433rnmptss 7143 . . . . 5 (∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ* → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)) ⊆ ℝ*)
3532, 34syl 17 . . . 4 (𝜑 → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)) ⊆ ℝ*)
36 supxrcl 13354 . . . 4 (ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)) ⊆ ℝ* → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
3735, 36syl 17 . . 3 (𝜑 → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
38 sge0xaddlem1.rp . . . 4 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
3938rpxrd 13076 . . 3 (𝜑𝐸 ∈ ℝ*)
4037, 39xaddcld 13340 . 2 (𝜑 → (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) +𝑒 𝐸) ∈ ℝ*)
41 sge0xaddlem1.ufi . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ∈ Fin)
42 simpl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑈) → 𝜑)
43 sge0xaddlem1.u . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑈𝐴)
4443sselda 3995 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑈) → 𝑘𝐴)
4542, 44, 3syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑈) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
4624, 45sselid 3993 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑈) → 𝐵 ∈ ℝ)
4741, 46fsumrecl 15767 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘𝑈 𝐵 ∈ ℝ)
4838rpred 13075 . . . . . . 7 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
4948rehalfcld 12511 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐸 / 2) ∈ ℝ)
5047, 49readdcld 11288 . . . . 5 (𝜑 → (Σ𝑘𝑈 𝐵 + (𝐸 / 2)) ∈ ℝ)
51 sge0xaddlem1.wfi . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ Fin)
5224a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑊) → (0[,)+∞) ⊆ ℝ)
53 simpl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑊) → 𝜑)
54 sge0xaddlem1.7 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑊𝐴)
5554adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑊) → 𝑊𝐴)
56 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑊) → 𝑘𝑊)
5755, 56sseldd 3996 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑊) → 𝑘𝐴)
5853, 57, 5syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑊) → 𝐶 ∈ (0[,)+∞))
5952, 58sseldd 3996 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑊) → 𝐶 ∈ ℝ)
6051, 59fsumrecl 15767 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘𝑊 𝐶 ∈ ℝ)
6160, 49readdcld 11288 . . . . 5 (𝜑 → (Σ𝑘𝑊 𝐶 + (𝐸 / 2)) ∈ ℝ)
6250, 61readdcld 11288 . . . 4 (𝜑 → ((Σ𝑘𝑈 𝐵 + (𝐸 / 2)) + (Σ𝑘𝑊 𝐶 + (𝐸 / 2))) ∈ ℝ)
6362rexrd 11309 . . 3 (𝜑 → ((Σ𝑘𝑈 𝐵 + (𝐸 / 2)) + (Σ𝑘𝑊 𝐶 + (𝐸 / 2))) ∈ ℝ*)
64 sge0xaddlem1.ltb . . . 4 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) < (Σ𝑘𝑈 𝐵 + (𝐸 / 2)))
65 sge0xaddlem1.ltc . . . 4 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶)) < (Σ𝑘𝑊 𝐶 + (𝐸 / 2)))
669, 11, 50, 61, 64, 65ltadd12dd 45293 . . 3 (𝜑 → ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) + (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶))) < ((Σ𝑘𝑈 𝐵 + (𝐸 / 2)) + (Σ𝑘𝑊 𝐶 + (𝐸 / 2))))
6747recnd 11287 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘𝑈 𝐵 ∈ ℂ)
6849recnd 11287 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐸 / 2) ∈ ℂ)
6960recnd 11287 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘𝑊 𝐶 ∈ ℂ)
7067, 68, 69, 68add4d 11488 . . . . 5 (𝜑 → ((Σ𝑘𝑈 𝐵 + (𝐸 / 2)) + (Σ𝑘𝑊 𝐶 + (𝐸 / 2))) = ((Σ𝑘𝑈 𝐵 + Σ𝑘𝑊 𝐶) + ((𝐸 / 2) + (𝐸 / 2))))
7148recnd 11287 . . . . . . 7 (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
72712halvesd 12510 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐸 / 2) + (𝐸 / 2)) = 𝐸)
7372oveq2d 7447 . . . . 5 (𝜑 → ((Σ𝑘𝑈 𝐵 + Σ𝑘𝑊 𝐶) + ((𝐸 / 2) + (𝐸 / 2))) = ((Σ𝑘𝑈 𝐵 + Σ𝑘𝑊 𝐶) + 𝐸))
7470, 73eqtrd 2775 . . . 4 (𝜑 → ((Σ𝑘𝑈 𝐵 + (𝐸 / 2)) + (Σ𝑘𝑊 𝐶 + (𝐸 / 2))) = ((Σ𝑘𝑈 𝐵 + Σ𝑘𝑊 𝐶) + 𝐸))
7574, 63eqeltrrd 2840 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((Σ𝑘𝑈 𝐵 + Σ𝑘𝑊 𝐶) + 𝐸) ∈ ℝ*)
76 pnfxr 11313 . . . . . . . . 9 +∞ ∈ ℝ*
7776a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
7874, 62eqeltrrd 2840 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((Σ𝑘𝑈 𝐵 + Σ𝑘𝑊 𝐶) + 𝐸) ∈ ℝ)
79 ltpnf 13160 . . . . . . . . 9 (((Σ𝑘𝑈 𝐵 + Σ𝑘𝑊 𝐶) + 𝐸) ∈ ℝ → ((Σ𝑘𝑈 𝐵 + Σ𝑘𝑊 𝐶) + 𝐸) < +∞)
8078, 79syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((Σ𝑘𝑈 𝐵 + Σ𝑘𝑊 𝐶) + 𝐸) < +∞)
8175, 77, 80xrltled 13189 . . . . . . 7 (𝜑 → ((Σ𝑘𝑈 𝐵 + Σ𝑘𝑊 𝐶) + 𝐸) ≤ +∞)
8281adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) = +∞) → ((Σ𝑘𝑈 𝐵 + Σ𝑘𝑊 𝐶) + 𝐸) ≤ +∞)
83 oveq1 7438 . . . . . . . 8 (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) = +∞ → (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) +𝑒 𝐸) = (+∞ +𝑒 𝐸))
8483adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) = +∞) → (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) +𝑒 𝐸) = (+∞ +𝑒 𝐸))
8548renemnfd 11311 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐸 ≠ -∞)
86 xaddpnf2 13266 . . . . . . . . 9 ((𝐸 ∈ ℝ*𝐸 ≠ -∞) → (+∞ +𝑒 𝐸) = +∞)
8739, 85, 86syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → (+∞ +𝑒 𝐸) = +∞)
8887adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) = +∞) → (+∞ +𝑒 𝐸) = +∞)
8984, 88eqtr2d 2776 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) = +∞) → +∞ = (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) +𝑒 𝐸))
9082, 89breqtrd 5174 . . . . 5 ((𝜑 ∧ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) = +∞) → ((Σ𝑘𝑈 𝐵 + Σ𝑘𝑊 𝐶) + 𝐸) ≤ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) +𝑒 𝐸))
91 simpl 482 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) = +∞) → 𝜑)
92 sge0xaddlem1.xr . . . . . . . 8 (𝜑 → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) ∈ (0[,]+∞))
9391, 92syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) = +∞) → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) ∈ (0[,]+∞))
94 neqne 2946 . . . . . . . 8 (¬ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) = +∞ → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) ≠ +∞)
9594adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) = +∞) → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) ≠ +∞)
96 ge0xrre 45484 . . . . . . 7 ((sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) ∈ (0[,]+∞) ∧ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) ≠ +∞) → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) ∈ ℝ)
9793, 95, 96syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) = +∞) → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) ∈ ℝ)
9847, 60readdcld 11288 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (Σ𝑘𝑈 𝐵 + Σ𝑘𝑊 𝐶) ∈ ℝ)
9998adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) ∈ ℝ) → (Σ𝑘𝑈 𝐵 + Σ𝑘𝑊 𝐶) ∈ ℝ)
100 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) ∈ ℝ) → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) ∈ ℝ)
10148adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) ∈ ℝ) → 𝐸 ∈ ℝ)
10241, 51jca 511 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑈 ∈ Fin ∧ 𝑊 ∈ Fin))
103 unfi 9210 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑈 ∈ Fin ∧ 𝑊 ∈ Fin) → (𝑈𝑊) ∈ Fin)
104102, 103syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑈𝑊) ∈ Fin)
105 simpl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑈𝑊)) → 𝜑)
10643, 54unssd 4202 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑈𝑊) ⊆ 𝐴)
107106adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑈𝑊)) → (𝑈𝑊) ⊆ 𝐴)
108 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑈𝑊)) → 𝑘 ∈ (𝑈𝑊))
109107, 108sseldd 3996 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑈𝑊)) → 𝑘𝐴)
110105, 109, 25syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑈𝑊)) → 𝐵 ∈ ℝ)
111109, 27syldan 591 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑈𝑊)) → 𝐶 ∈ ℝ)
112110, 111readdcld 11288 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑈𝑊)) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ)
113104, 112fsumrecl 15767 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑈𝑊)(𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ)
114113adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) ∈ ℝ) → Σ𝑘 ∈ (𝑈𝑊)(𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ)
115104, 110fsumrecl 15767 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑈𝑊)𝐵 ∈ ℝ)
116104, 111fsumrecl 15767 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑈𝑊)𝐶 ∈ ℝ)
117 icossicc 13473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
118117, 3sselid 3993 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
119 xrge0ge0 45297 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐵 ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ 𝐵)
120118, 119syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
121109, 120syldan 591 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑈𝑊)) → 0 ≤ 𝐵)
122 ssun1 4188 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑈 ⊆ (𝑈𝑊)
123122a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑈 ⊆ (𝑈𝑊))
124104, 110, 121, 123fsumless 15829 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → Σ𝑘𝑈 𝐵 ≤ Σ𝑘 ∈ (𝑈𝑊)𝐵)
125117, 5sselid 3993 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
126 xrge0ge0 45297 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐶 ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ 𝐶)
127125, 126syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘𝐴) → 0 ≤ 𝐶)
128109, 127syldan 591 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑈𝑊)) → 0 ≤ 𝐶)
129 ssun2 4189 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑊 ⊆ (𝑈𝑊)
130129a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑊 ⊆ (𝑈𝑊))
131104, 111, 128, 130fsumless 15829 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → Σ𝑘𝑊 𝐶 ≤ Σ𝑘 ∈ (𝑈𝑊)𝐶)
13247, 60, 115, 116, 124, 131leadd12dd 45267 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (Σ𝑘𝑈 𝐵 + Σ𝑘𝑊 𝐶) ≤ (Σ𝑘 ∈ (𝑈𝑊)𝐵 + Σ𝑘 ∈ (𝑈𝑊)𝐶))
133110recnd 11287 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑈𝑊)) → 𝐵 ∈ ℂ)
134111recnd 11287 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑈𝑊)) → 𝐶 ∈ ℂ)
135104, 133, 134fsumadd 15773 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑈𝑊)(𝐵 + 𝐶) = (Σ𝑘 ∈ (𝑈𝑊)𝐵 + Σ𝑘 ∈ (𝑈𝑊)𝐶))
136135eqcomd 2741 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑈𝑊)𝐵 + Σ𝑘 ∈ (𝑈𝑊)𝐶) = Σ𝑘 ∈ (𝑈𝑊)(𝐵 + 𝐶))
137132, 136breqtrd 5174 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (Σ𝑘𝑈 𝐵 + Σ𝑘𝑊 𝐶) ≤ Σ𝑘 ∈ (𝑈𝑊)(𝐵 + 𝐶))
138137adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) ∈ ℝ) → (Σ𝑘𝑈 𝐵 + Σ𝑘𝑊 𝐶) ≤ Σ𝑘 ∈ (𝑈𝑊)(𝐵 + 𝐶))
13935adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) ∈ ℝ) → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)) ⊆ ℝ*)
140104, 106elpwd 4611 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑈𝑊) ∈ 𝒫 𝐴)
141140, 104elind 4210 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑈𝑊) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
142113elexd 3502 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑈𝑊)(𝐵 + 𝐶) ∈ V)
143 sumeq1 15722 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝑈𝑊) → Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶) = Σ𝑘 ∈ (𝑈𝑊)(𝐵 + 𝐶))
14433, 143elrnmpt1s 5973 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑈𝑊) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ Σ𝑘 ∈ (𝑈𝑊)(𝐵 + 𝐶) ∈ V) → Σ𝑘 ∈ (𝑈𝑊)(𝐵 + 𝐶) ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)))
145141, 142, 144syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑈𝑊)(𝐵 + 𝐶) ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)))
146145adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) ∈ ℝ) → Σ𝑘 ∈ (𝑈𝑊)(𝐵 + 𝐶) ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)))
147 supxrub 13363 . . . . . . . . . 10 ((ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)) ⊆ ℝ* ∧ Σ𝑘 ∈ (𝑈𝑊)(𝐵 + 𝐶) ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶))) → Σ𝑘 ∈ (𝑈𝑊)(𝐵 + 𝐶) ≤ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ))
148139, 146, 147syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) ∈ ℝ) → Σ𝑘 ∈ (𝑈𝑊)(𝐵 + 𝐶) ≤ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ))
14999, 114, 100, 138, 148letrd 11416 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) ∈ ℝ) → (Σ𝑘𝑈 𝐵 + Σ𝑘𝑊 𝐶) ≤ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ))
15099, 100, 101, 149leadd1dd 11875 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) ∈ ℝ) → ((Σ𝑘𝑈 𝐵 + Σ𝑘𝑊 𝐶) + 𝐸) ≤ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) + 𝐸))
151 rexadd 13271 . . . . . . . . 9 ((sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ) → (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) +𝑒 𝐸) = (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) + 𝐸))
152100, 101, 151syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) ∈ ℝ) → (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) +𝑒 𝐸) = (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) + 𝐸))
153152eqcomd 2741 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) ∈ ℝ) → (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) + 𝐸) = (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) +𝑒 𝐸))
154150, 153breqtrd 5174 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) ∈ ℝ) → ((Σ𝑘𝑈 𝐵 + Σ𝑘𝑊 𝐶) + 𝐸) ≤ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) +𝑒 𝐸))
15591, 97, 154syl2anc 584 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) = +∞) → ((Σ𝑘𝑈 𝐵 + Σ𝑘𝑊 𝐶) + 𝐸) ≤ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) +𝑒 𝐸))
15690, 155pm2.61dan 813 . . . 4 (𝜑 → ((Σ𝑘𝑈 𝐵 + Σ𝑘𝑊 𝐶) + 𝐸) ≤ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) +𝑒 𝐸))
15774, 156eqbrtrd 5170 . . 3 (𝜑 → ((Σ𝑘𝑈 𝐵 + (𝐸 / 2)) + (Σ𝑘𝑊 𝐶 + (𝐸 / 2))) ≤ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) +𝑒 𝐸))
15815, 63, 40, 66, 157xrltletrd 13200 . 2 (𝜑 → ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) + (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶))) < (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) +𝑒 𝐸))
15915, 40, 158xrltled 13189 1 (𝜑 → ((Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) + (Σ^‘(𝑘𝐴𝐶))) ≤ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) +𝑒 𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wral 3059  Vcvv 3478  cun 3961  cin 3962  wss 3963  𝒫 cpw 4605   class class class wbr 5148  cmpt 5231  ran crn 5690  cfv 6563  (class class class)co 7431  Fincfn 8984  supcsup 9478  cr 11152  0cc0 11153   + caddc 11156  +∞cpnf 11290  -∞cmnf 11291  *cxr 11292   < clt 11293  cle 11294   / cdiv 11918  2c2 12319  +crp 13032   +𝑒 cxad 13150  [,)cico 13386  [,]cicc 13387  Σcsu 15719  Σ^csumge0 46318
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-xadd 13153  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-sum 15720  df-sumge0 46319
This theorem is referenced by:  sge0xaddlem2  46390
  Copyright terms: Public domain W3C validator