Theorem sge0xaddlem1 44664

Description: The extended addition of two generalized sums of nonnegative extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0xaddlem1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
sge0xaddlem1.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
sge0xaddlem1.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,)+∞))
sge0xaddlem1.rp	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
sge0xaddlem1.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ 𝐴)
sge0xaddlem1.ufi	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Fin)
sge0xaddlem1.7	⊢ (𝜑 → 𝑊 ⊆ 𝐴)
sge0xaddlem1.wfi	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Fin)
sge0xaddlem1.ltb	⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑈 𝐵 + (𝐸 / 2)))
sge0xaddlem1.ltc	⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑊 𝐶 + (𝐸 / 2)))
sge0xaddlem1.xr	⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) ∈ (0[,]+∞))
sge0xaddlem1.sb	⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ)
sge0xaddlem1.sc	⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
sge0xaddlem1	⊢ (𝜑 → ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) + (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))) ≤ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) +𝑒 𝐸))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑥   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑈,𝑘,𝑥   𝑘,𝑊,𝑥   𝜑,𝑘,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝐸(𝑥,𝑘)   𝑉(𝑥,𝑘)

Proof of Theorem sge0xaddlem1

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1917	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		sge0xaddlem1.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
3		sge0xaddlem1.b	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
4	1, 2, 3	sge0revalmpt 44609	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵), ℝ*, < ))
5		sge0xaddlem1.c	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,)+∞))
6	1, 2, 5	sge0revalmpt 44609	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = sup(ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑧 𝐶), ℝ*, < ))
7	4, 6	oveq12d 7375	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) + (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))) = (sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵), ℝ*, < ) + sup(ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑧 𝐶), ℝ*, < )))
8	4	eqcomd 2742	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵), ℝ*, < ) = (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))
9		sge0xaddlem1.sb	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ)
10	8, 9	eqeltrd 2838	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵), ℝ*, < ) ∈ ℝ)
11		sge0xaddlem1.sc	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ)
12	6, 11	eqeltrrd 2839	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑧 𝐶), ℝ*, < ) ∈ ℝ)
13	10, 12	readdcld 11184	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵), ℝ*, < ) + sup(ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑧 𝐶), ℝ*, < )) ∈ ℝ)
14	13	rexrd 11205	. . 3 ⊢ (𝜑 → (sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵), ℝ*, < ) + sup(ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑧 𝐶), ℝ*, < )) ∈ ℝ*)
15	7, 14	eqeltrd 2838	. 2 ⊢ (𝜑 → ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) + (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))) ∈ ℝ*)
16		elinel2 4156	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ Fin)
17	16	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ Fin)
18		simpll 765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) → 𝜑)
19		elpwinss 43247	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑥 ⊆ 𝐴)
20	19	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) → 𝑥 ⊆ 𝐴)
21		simpr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) → 𝑘 ∈ 𝑥)
22	20, 21	sseldd 3945	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) → 𝑘 ∈ 𝐴)
23	22	adantll 712	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) → 𝑘 ∈ 𝐴)
24		rge0ssre 13373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
25	24, 3	sselid 3942	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
26	18, 23, 25	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) → 𝐵 ∈ ℝ)
27	24, 5	sselid 3942	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
28	18, 23, 27	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) → 𝐶 ∈ ℝ)
29	26, 28	readdcld 11184	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ)
30	17, 29	fsumrecl 15619	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ)
31	30	rexrd 11205	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ*)
32	31	ralrimiva 3143	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ*)
33		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)) = (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶))
34	33	rnmptss 7070	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ* → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)) ⊆ ℝ*)
35	32, 34	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)) ⊆ ℝ*)
36		supxrcl 13234	. . . 4 ⊢ (ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)) ⊆ ℝ* → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
37	35, 36	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
38		sge0xaddlem1.rp	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
39	38	rpxrd 12958	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ*)
40	37, 39	xaddcld 13220	. 2 ⊢ (𝜑 → (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) +𝑒 𝐸) ∈ ℝ*)
41		sge0xaddlem1.ufi	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Fin)
42		simpl 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → 𝜑)
43		sge0xaddlem1.u	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ 𝐴)
44	43	sselda 3944	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → 𝑘 ∈ 𝐴)
45	42, 44, 3	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
46	24, 45	sselid 3942	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → 𝐵 ∈ ℝ)
47	41, 46	fsumrecl 15619	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝑈 𝐵 ∈ ℝ)
48	38	rpred 12957	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
49	48	rehalfcld 12400	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐸 / 2) ∈ ℝ)
50	47, 49	readdcld 11184	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝑈 𝐵 + (𝐸 / 2)) ∈ ℝ)
51		sge0xaddlem1.wfi	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Fin)
52	24	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → (0[,)+∞) ⊆ ℝ)
53		simpl 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → 𝜑)
54		sge0xaddlem1.7	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ⊆ 𝐴)
55	54	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → 𝑊 ⊆ 𝐴)
56		simpr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → 𝑘 ∈ 𝑊)
57	55, 56	sseldd 3945	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → 𝑘 ∈ 𝐴)
58	53, 57, 5	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → 𝐶 ∈ (0[,)+∞))
59	52, 58	sseldd 3945	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → 𝐶 ∈ ℝ)
60	51, 59	fsumrecl 15619	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝑊 𝐶 ∈ ℝ)
61	60, 49	readdcld 11184	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝑊 𝐶 + (𝐸 / 2)) ∈ ℝ)
62	50, 61	readdcld 11184	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ 𝑈 𝐵 + (𝐸 / 2)) + (Σ𝑘 ∈ 𝑊 𝐶 + (𝐸 / 2))) ∈ ℝ)
63	62	rexrd 11205	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ 𝑈 𝐵 + (𝐸 / 2)) + (Σ𝑘 ∈ 𝑊 𝐶 + (𝐸 / 2))) ∈ ℝ*)
64		sge0xaddlem1.ltb	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑈 𝐵 + (𝐸 / 2)))
65		sge0xaddlem1.ltc	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑊 𝐶 + (𝐸 / 2)))
66	9, 11, 50, 61, 64, 65	ltadd12dd 43567	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) + (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))) < ((Σ𝑘 ∈ 𝑈 𝐵 + (𝐸 / 2)) + (Σ𝑘 ∈ 𝑊 𝐶 + (𝐸 / 2))))
67	47	recnd 11183	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝑈 𝐵 ∈ ℂ)
68	49	recnd 11183	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐸 / 2) ∈ ℂ)
69	60	recnd 11183	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝑊 𝐶 ∈ ℂ)
70	67, 68, 69, 68	add4d 11383	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ 𝑈 𝐵 + (𝐸 / 2)) + (Σ𝑘 ∈ 𝑊 𝐶 + (𝐸 / 2))) = ((Σ𝑘 ∈ 𝑈 𝐵 + Σ𝑘 ∈ 𝑊 𝐶) + ((𝐸 / 2) + (𝐸 / 2))))
71	48	recnd 11183	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
72	71	2halvesd 12399	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 / 2) + (𝐸 / 2)) = 𝐸)
73	72	oveq2d 7373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ 𝑈 𝐵 + Σ𝑘 ∈ 𝑊 𝐶) + ((𝐸 / 2) + (𝐸 / 2))) = ((Σ𝑘 ∈ 𝑈 𝐵 + Σ𝑘 ∈ 𝑊 𝐶) + 𝐸))
74	70, 73	eqtrd 2776	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ 𝑈 𝐵 + (𝐸 / 2)) + (Σ𝑘 ∈ 𝑊 𝐶 + (𝐸 / 2))) = ((Σ𝑘 ∈ 𝑈 𝐵 + Σ𝑘 ∈ 𝑊 𝐶) + 𝐸))
75	74, 63	eqeltrrd 2839	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ 𝑈 𝐵 + Σ𝑘 ∈ 𝑊 𝐶) + 𝐸) ∈ ℝ*)
76		pnfxr 11209	. . . . . . . . 9 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
77	76	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
78	74, 62	eqeltrrd 2839	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ 𝑈 𝐵 + Σ𝑘 ∈ 𝑊 𝐶) + 𝐸) ∈ ℝ)
79		ltpnf 13041	. . . . . . . . 9 ⊢ (((Σ𝑘 ∈ 𝑈 𝐵 + Σ𝑘 ∈ 𝑊 𝐶) + 𝐸) ∈ ℝ → ((Σ𝑘 ∈ 𝑈 𝐵 + Σ𝑘 ∈ 𝑊 𝐶) + 𝐸) < +∞)
80	78, 79	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ 𝑈 𝐵 + Σ𝑘 ∈ 𝑊 𝐶) + 𝐸) < +∞)
81	75, 77, 80	xrltled 13069	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ 𝑈 𝐵 + Σ𝑘 ∈ 𝑊 𝐶) + 𝐸) ≤ +∞)
82	81	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) = +∞) → ((Σ𝑘 ∈ 𝑈 𝐵 + Σ𝑘 ∈ 𝑊 𝐶) + 𝐸) ≤ +∞)
83		oveq1 7364	. . . . . . . 8 ⊢ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) = +∞ → (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) +𝑒 𝐸) = (+∞ +𝑒 𝐸))
84	83	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) = +∞) → (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) +𝑒 𝐸) = (+∞ +𝑒 𝐸))
85	48	renemnfd 11207	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ≠ -∞)
86		xaddpnf2 13146	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐸 ∈ ℝ* ∧ 𝐸 ≠ -∞) → (+∞ +𝑒 𝐸) = +∞)
87	39, 85, 86	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (+∞ +𝑒 𝐸) = +∞)
88	87	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) = +∞) → (+∞ +𝑒 𝐸) = +∞)
89	84, 88	eqtr2d 2777	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) = +∞) → +∞ = (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) +𝑒 𝐸))
90	82, 89	breqtrd 5131	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) = +∞) → ((Σ𝑘 ∈ 𝑈 𝐵 + Σ𝑘 ∈ 𝑊 𝐶) + 𝐸) ≤ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) +𝑒 𝐸))
91		simpl 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) = +∞) → 𝜑)
92		sge0xaddlem1.xr	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) ∈ (0[,]+∞))
93	91, 92	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) = +∞) → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) ∈ (0[,]+∞))
94		neqne 2951	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) = +∞ → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) ≠ +∞)
95	94	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) = +∞) → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) ≠ +∞)
96		ge0xrre 43759	. . . . . . 7 ⊢ ((sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) ∈ (0[,]+∞) ∧ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) ≠ +∞) → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) ∈ ℝ)
97	93, 95, 96	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) = +∞) → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) ∈ ℝ)
98	47, 60	readdcld 11184	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝑈 𝐵 + Σ𝑘 ∈ 𝑊 𝐶) ∈ ℝ)
99	98	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) ∈ ℝ) → (Σ𝑘 ∈ 𝑈 𝐵 + Σ𝑘 ∈ 𝑊 𝐶) ∈ ℝ)
100		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) ∈ ℝ) → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) ∈ ℝ)
101	48	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) ∈ ℝ) → 𝐸 ∈ ℝ)
102	41, 51	jca 512	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ Fin ∧ 𝑊 ∈ Fin))
103		unfi 9116	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑈 ∈ Fin ∧ 𝑊 ∈ Fin) → (𝑈 ∪ 𝑊) ∈ Fin)
104	102, 103	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∪ 𝑊) ∈ Fin)
105		simpl 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑈 ∪ 𝑊)) → 𝜑)
106	43, 54	unssd 4146	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∪ 𝑊) ⊆ 𝐴)
107	106	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑈 ∪ 𝑊)) → (𝑈 ∪ 𝑊) ⊆ 𝐴)
108		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑈 ∪ 𝑊)) → 𝑘 ∈ (𝑈 ∪ 𝑊))
109	107, 108	sseldd 3945	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑈 ∪ 𝑊)) → 𝑘 ∈ 𝐴)
110	105, 109, 25	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑈 ∪ 𝑊)) → 𝐵 ∈ ℝ)
111	109, 27	syldan 591	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑈 ∪ 𝑊)) → 𝐶 ∈ ℝ)
112	110, 111	readdcld 11184	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑈 ∪ 𝑊)) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ)
113	104, 112	fsumrecl 15619	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑈 ∪ 𝑊)(𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ)
114	113	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) ∈ ℝ) → Σ𝑘 ∈ (𝑈 ∪ 𝑊)(𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ)
115	104, 110	fsumrecl 15619	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑈 ∪ 𝑊)𝐵 ∈ ℝ)
116	104, 111	fsumrecl 15619	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑈 ∪ 𝑊)𝐶 ∈ ℝ)
117		icossicc 13353	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
118	117, 3	sselid 3942	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
119		xrge0ge0 43571	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐵 ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ 𝐵)
120	118, 119	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
121	109, 120	syldan 591	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑈 ∪ 𝑊)) → 0 ≤ 𝐵)
122		ssun1 4132	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑈 ⊆ (𝑈 ∪ 𝑊)
123	122	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (𝑈 ∪ 𝑊))
124	104, 110, 121, 123	fsumless 15681	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝑈 𝐵 ≤ Σ𝑘 ∈ (𝑈 ∪ 𝑊)𝐵)
125	117, 5	sselid 3942	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
126		xrge0ge0 43571	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐶 ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ 𝐶)
127	125, 126	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ≤ 𝐶)
128	109, 127	syldan 591	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑈 ∪ 𝑊)) → 0 ≤ 𝐶)
129		ssun2 4133	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑊 ⊆ (𝑈 ∪ 𝑊)
130	129	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ⊆ (𝑈 ∪ 𝑊))
131	104, 111, 128, 130	fsumless 15681	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝑊 𝐶 ≤ Σ𝑘 ∈ (𝑈 ∪ 𝑊)𝐶)
132	47, 60, 115, 116, 124, 131	leadd12dd 43540	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝑈 𝐵 + Σ𝑘 ∈ 𝑊 𝐶) ≤ (Σ𝑘 ∈ (𝑈 ∪ 𝑊)𝐵 + Σ𝑘 ∈ (𝑈 ∪ 𝑊)𝐶))
133	110	recnd 11183	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑈 ∪ 𝑊)) → 𝐵 ∈ ℂ)
134	111	recnd 11183	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑈 ∪ 𝑊)) → 𝐶 ∈ ℂ)
135	104, 133, 134	fsumadd 15625	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑈 ∪ 𝑊)(𝐵 + 𝐶) = (Σ𝑘 ∈ (𝑈 ∪ 𝑊)𝐵 + Σ𝑘 ∈ (𝑈 ∪ 𝑊)𝐶))
136	135	eqcomd 2742	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑈 ∪ 𝑊)𝐵 + Σ𝑘 ∈ (𝑈 ∪ 𝑊)𝐶) = Σ𝑘 ∈ (𝑈 ∪ 𝑊)(𝐵 + 𝐶))
137	132, 136	breqtrd 5131	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝑈 𝐵 + Σ𝑘 ∈ 𝑊 𝐶) ≤ Σ𝑘 ∈ (𝑈 ∪ 𝑊)(𝐵 + 𝐶))
138	137	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) ∈ ℝ) → (Σ𝑘 ∈ 𝑈 𝐵 + Σ𝑘 ∈ 𝑊 𝐶) ≤ Σ𝑘 ∈ (𝑈 ∪ 𝑊)(𝐵 + 𝐶))
139	35	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) ∈ ℝ) → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)) ⊆ ℝ*)
140	104, 106	elpwd 4566	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∪ 𝑊) ∈ 𝒫 𝐴)
141	140, 104	elind 4154	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∪ 𝑊) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
142	113	elexd 3465	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑈 ∪ 𝑊)(𝐵 + 𝐶) ∈ V)
143		sumeq1 15573	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (𝑈 ∪ 𝑊) → Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶) = Σ𝑘 ∈ (𝑈 ∪ 𝑊)(𝐵 + 𝐶))
144	33, 143	elrnmpt1s 5912	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑈 ∪ 𝑊) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ Σ𝑘 ∈ (𝑈 ∪ 𝑊)(𝐵 + 𝐶) ∈ V) → Σ𝑘 ∈ (𝑈 ∪ 𝑊)(𝐵 + 𝐶) ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)))
145	141, 142, 144	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑈 ∪ 𝑊)(𝐵 + 𝐶) ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)))
146	145	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) ∈ ℝ) → Σ𝑘 ∈ (𝑈 ∪ 𝑊)(𝐵 + 𝐶) ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)))
147		supxrub 13243	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)) ⊆ ℝ* ∧ Σ𝑘 ∈ (𝑈 ∪ 𝑊)(𝐵 + 𝐶) ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶))) → Σ𝑘 ∈ (𝑈 ∪ 𝑊)(𝐵 + 𝐶) ≤ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ))
148	139, 146, 147	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) ∈ ℝ) → Σ𝑘 ∈ (𝑈 ∪ 𝑊)(𝐵 + 𝐶) ≤ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ))
149	99, 114, 100, 138, 148	letrd 11312	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) ∈ ℝ) → (Σ𝑘 ∈ 𝑈 𝐵 + Σ𝑘 ∈ 𝑊 𝐶) ≤ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ))
150	99, 100, 101, 149	leadd1dd 11769	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) ∈ ℝ) → ((Σ𝑘 ∈ 𝑈 𝐵 + Σ𝑘 ∈ 𝑊 𝐶) + 𝐸) ≤ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) + 𝐸))
151		rexadd 13151	. . . . . . . . 9 ⊢ ((sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ) → (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) +𝑒 𝐸) = (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) + 𝐸))
152	100, 101, 151	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) ∈ ℝ) → (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) +𝑒 𝐸) = (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) + 𝐸))
153	152	eqcomd 2742	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) ∈ ℝ) → (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) + 𝐸) = (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) +𝑒 𝐸))
154	150, 153	breqtrd 5131	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) ∈ ℝ) → ((Σ𝑘 ∈ 𝑈 𝐵 + Σ𝑘 ∈ 𝑊 𝐶) + 𝐸) ≤ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) +𝑒 𝐸))
155	91, 97, 154	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) = +∞) → ((Σ𝑘 ∈ 𝑈 𝐵 + Σ𝑘 ∈ 𝑊 𝐶) + 𝐸) ≤ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) +𝑒 𝐸))
156	90, 155	pm2.61dan 811	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ 𝑈 𝐵 + Σ𝑘 ∈ 𝑊 𝐶) + 𝐸) ≤ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) +𝑒 𝐸))
157	74, 156	eqbrtrd 5127	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ 𝑈 𝐵 + (𝐸 / 2)) + (Σ𝑘 ∈ 𝑊 𝐶 + (𝐸 / 2))) ≤ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) +𝑒 𝐸))
158	15, 63, 40, 66, 157	xrltletrd 13080	. 2 ⊢ (𝜑 → ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) + (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))) < (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) +𝑒 𝐸))
159	15, 40, 158	xrltled 13069	1 ⊢ (𝜑 → ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) + (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))) ≤ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) +𝑒 𝐸))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∀wral 3064  Vcvv 3445   ∪ cun 3908   ∩ cin 3909   ⊆ wss 3910  𝒫 cpw 4560   class class class wbr 5105   ↦ cmpt 5188  ran crn 5634  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  Fincfn 8883  supcsup 9376  ℝcr 11050  0cc0 11051   + caddc 11054  +∞cpnf 11186  -∞cmnf 11187  ℝ^*cxr 11188   < clt 11189   ≤ cle 11190   / cdiv 11812  2c2 12208  ℝ⁺crp 12915   +_𝑒 cxad 13031  [,)cico 13266  [,]cicc 13267  Σcsu 15570  Σ^{^}csumge0 44593

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-xadd 13034  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-sum 15571  df-sumge0 44594

This theorem is referenced by:  sge0xaddlem2  44665