Theorem sge0xaddlem1 46462

Description: The extended addition of two generalized sums of nonnegative extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0xaddlem1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
sge0xaddlem1.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
sge0xaddlem1.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,)+∞))
sge0xaddlem1.rp	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
sge0xaddlem1.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ 𝐴)
sge0xaddlem1.ufi	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Fin)
sge0xaddlem1.7	⊢ (𝜑 → 𝑊 ⊆ 𝐴)
sge0xaddlem1.wfi	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Fin)
sge0xaddlem1.ltb	⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑈 𝐵 + (𝐸 / 2)))
sge0xaddlem1.ltc	⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑊 𝐶 + (𝐸 / 2)))
sge0xaddlem1.xr	⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) ∈ (0[,]+∞))
sge0xaddlem1.sb	⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ)
sge0xaddlem1.sc	⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
sge0xaddlem1	⊢ (𝜑 → ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) + (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))) ≤ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) +𝑒 𝐸))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑥   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑈,𝑘,𝑥   𝑘,𝑊,𝑥   𝜑,𝑘,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝐸(𝑥,𝑘)   𝑉(𝑥,𝑘)

Proof of Theorem sge0xaddlem1

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1914	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		sge0xaddlem1.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
3		sge0xaddlem1.b	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
4	1, 2, 3	sge0revalmpt 46407	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵), ℝ*, < ))
5		sge0xaddlem1.c	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,)+∞))
6	1, 2, 5	sge0revalmpt 46407	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = sup(ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑧 𝐶), ℝ*, < ))
7	4, 6	oveq12d 7423	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) + (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))) = (sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵), ℝ*, < ) + sup(ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑧 𝐶), ℝ*, < )))
8	4	eqcomd 2741	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵), ℝ*, < ) = (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))
9		sge0xaddlem1.sb	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ)
10	8, 9	eqeltrd 2834	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵), ℝ*, < ) ∈ ℝ)
11		sge0xaddlem1.sc	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ ℝ)
12	6, 11	eqeltrrd 2835	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑧 𝐶), ℝ*, < ) ∈ ℝ)
13	10, 12	readdcld 11264	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵), ℝ*, < ) + sup(ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑧 𝐶), ℝ*, < )) ∈ ℝ)
14	13	rexrd 11285	. . 3 ⊢ (𝜑 → (sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑦 𝐵), ℝ*, < ) + sup(ran (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑧 𝐶), ℝ*, < )) ∈ ℝ*)
15	7, 14	eqeltrd 2834	. 2 ⊢ (𝜑 → ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) + (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))) ∈ ℝ*)
16		elinel2 4177	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ Fin)
17	16	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ Fin)
18		simpll 766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) → 𝜑)
19		elpwinss 45073	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑥 ⊆ 𝐴)
20	19	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) → 𝑥 ⊆ 𝐴)
21		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) → 𝑘 ∈ 𝑥)
22	20, 21	sseldd 3959	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) → 𝑘 ∈ 𝐴)
23	22	adantll 714	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) → 𝑘 ∈ 𝐴)
24		rge0ssre 13473	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
25	24, 3	sselid 3956	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
26	18, 23, 25	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) → 𝐵 ∈ ℝ)
27	24, 5	sselid 3956	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
28	18, 23, 27	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) → 𝐶 ∈ ℝ)
29	26, 28	readdcld 11264	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ)
30	17, 29	fsumrecl 15750	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ)
31	30	rexrd 11285	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ*)
32	31	ralrimiva 3132	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ*)
33		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)) = (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶))
34	33	rnmptss 7113	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ* → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)) ⊆ ℝ*)
35	32, 34	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)) ⊆ ℝ*)
36		supxrcl 13331	. . . 4 ⊢ (ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)) ⊆ ℝ* → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
37	35, 36	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
38		sge0xaddlem1.rp	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
39	38	rpxrd 13052	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ*)
40	37, 39	xaddcld 13317	. 2 ⊢ (𝜑 → (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) +𝑒 𝐸) ∈ ℝ*)
41		sge0xaddlem1.ufi	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Fin)
42		simpl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → 𝜑)
43		sge0xaddlem1.u	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ 𝐴)
44	43	sselda 3958	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → 𝑘 ∈ 𝐴)
45	42, 44, 3	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
46	24, 45	sselid 3956	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → 𝐵 ∈ ℝ)
47	41, 46	fsumrecl 15750	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝑈 𝐵 ∈ ℝ)
48	38	rpred 13051	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
49	48	rehalfcld 12488	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐸 / 2) ∈ ℝ)
50	47, 49	readdcld 11264	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝑈 𝐵 + (𝐸 / 2)) ∈ ℝ)
51		sge0xaddlem1.wfi	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Fin)
52	24	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → (0[,)+∞) ⊆ ℝ)
53		simpl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → 𝜑)
54		sge0xaddlem1.7	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ⊆ 𝐴)
55	54	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → 𝑊 ⊆ 𝐴)
56		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → 𝑘 ∈ 𝑊)
57	55, 56	sseldd 3959	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → 𝑘 ∈ 𝐴)
58	53, 57, 5	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → 𝐶 ∈ (0[,)+∞))
59	52, 58	sseldd 3959	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → 𝐶 ∈ ℝ)
60	51, 59	fsumrecl 15750	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝑊 𝐶 ∈ ℝ)
61	60, 49	readdcld 11264	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝑊 𝐶 + (𝐸 / 2)) ∈ ℝ)
62	50, 61	readdcld 11264	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ 𝑈 𝐵 + (𝐸 / 2)) + (Σ𝑘 ∈ 𝑊 𝐶 + (𝐸 / 2))) ∈ ℝ)
63	62	rexrd 11285	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ 𝑈 𝐵 + (𝐸 / 2)) + (Σ𝑘 ∈ 𝑊 𝐶 + (𝐸 / 2))) ∈ ℝ*)
64		sge0xaddlem1.ltb	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑈 𝐵 + (𝐸 / 2)))
65		sge0xaddlem1.ltc	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) < (Σ𝑘 ∈ 𝑊 𝐶 + (𝐸 / 2)))
66	9, 11, 50, 61, 64, 65	ltadd12dd 45370	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) + (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))) < ((Σ𝑘 ∈ 𝑈 𝐵 + (𝐸 / 2)) + (Σ𝑘 ∈ 𝑊 𝐶 + (𝐸 / 2))))
67	47	recnd 11263	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝑈 𝐵 ∈ ℂ)
68	49	recnd 11263	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐸 / 2) ∈ ℂ)
69	60	recnd 11263	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝑊 𝐶 ∈ ℂ)
70	67, 68, 69, 68	add4d 11464	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ 𝑈 𝐵 + (𝐸 / 2)) + (Σ𝑘 ∈ 𝑊 𝐶 + (𝐸 / 2))) = ((Σ𝑘 ∈ 𝑈 𝐵 + Σ𝑘 ∈ 𝑊 𝐶) + ((𝐸 / 2) + (𝐸 / 2))))
71	48	recnd 11263	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
72	71	2halvesd 12487	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 / 2) + (𝐸 / 2)) = 𝐸)
73	72	oveq2d 7421	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ 𝑈 𝐵 + Σ𝑘 ∈ 𝑊 𝐶) + ((𝐸 / 2) + (𝐸 / 2))) = ((Σ𝑘 ∈ 𝑈 𝐵 + Σ𝑘 ∈ 𝑊 𝐶) + 𝐸))
74	70, 73	eqtrd 2770	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ 𝑈 𝐵 + (𝐸 / 2)) + (Σ𝑘 ∈ 𝑊 𝐶 + (𝐸 / 2))) = ((Σ𝑘 ∈ 𝑈 𝐵 + Σ𝑘 ∈ 𝑊 𝐶) + 𝐸))
75	74, 63	eqeltrrd 2835	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ 𝑈 𝐵 + Σ𝑘 ∈ 𝑊 𝐶) + 𝐸) ∈ ℝ*)
76		pnfxr 11289	. . . . . . . . 9 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
77	76	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
78	74, 62	eqeltrrd 2835	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ 𝑈 𝐵 + Σ𝑘 ∈ 𝑊 𝐶) + 𝐸) ∈ ℝ)
79		ltpnf 13136	. . . . . . . . 9 ⊢ (((Σ𝑘 ∈ 𝑈 𝐵 + Σ𝑘 ∈ 𝑊 𝐶) + 𝐸) ∈ ℝ → ((Σ𝑘 ∈ 𝑈 𝐵 + Σ𝑘 ∈ 𝑊 𝐶) + 𝐸) < +∞)
80	78, 79	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ 𝑈 𝐵 + Σ𝑘 ∈ 𝑊 𝐶) + 𝐸) < +∞)
81	75, 77, 80	xrltled 13166	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ 𝑈 𝐵 + Σ𝑘 ∈ 𝑊 𝐶) + 𝐸) ≤ +∞)
82	81	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) = +∞) → ((Σ𝑘 ∈ 𝑈 𝐵 + Σ𝑘 ∈ 𝑊 𝐶) + 𝐸) ≤ +∞)
83		oveq1 7412	. . . . . . . 8 ⊢ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) = +∞ → (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) +𝑒 𝐸) = (+∞ +𝑒 𝐸))
84	83	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) = +∞) → (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) +𝑒 𝐸) = (+∞ +𝑒 𝐸))
85	48	renemnfd 11287	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ≠ -∞)
86		xaddpnf2 13243	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐸 ∈ ℝ* ∧ 𝐸 ≠ -∞) → (+∞ +𝑒 𝐸) = +∞)
87	39, 85, 86	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (+∞ +𝑒 𝐸) = +∞)
88	87	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) = +∞) → (+∞ +𝑒 𝐸) = +∞)
89	84, 88	eqtr2d 2771	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) = +∞) → +∞ = (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) +𝑒 𝐸))
90	82, 89	breqtrd 5145	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) = +∞) → ((Σ𝑘 ∈ 𝑈 𝐵 + Σ𝑘 ∈ 𝑊 𝐶) + 𝐸) ≤ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) +𝑒 𝐸))
91		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) = +∞) → 𝜑)
92		sge0xaddlem1.xr	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) ∈ (0[,]+∞))
93	91, 92	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) = +∞) → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) ∈ (0[,]+∞))
94		neqne 2940	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) = +∞ → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) ≠ +∞)
95	94	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) = +∞) → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) ≠ +∞)
96		ge0xrre 45560	. . . . . . 7 ⊢ ((sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) ∈ (0[,]+∞) ∧ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) ≠ +∞) → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) ∈ ℝ)
97	93, 95, 96	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) = +∞) → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) ∈ ℝ)
98	47, 60	readdcld 11264	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝑈 𝐵 + Σ𝑘 ∈ 𝑊 𝐶) ∈ ℝ)
99	98	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) ∈ ℝ) → (Σ𝑘 ∈ 𝑈 𝐵 + Σ𝑘 ∈ 𝑊 𝐶) ∈ ℝ)
100		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) ∈ ℝ) → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) ∈ ℝ)
101	48	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) ∈ ℝ) → 𝐸 ∈ ℝ)
102	41, 51	jca 511	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ Fin ∧ 𝑊 ∈ Fin))
103		unfi 9185	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑈 ∈ Fin ∧ 𝑊 ∈ Fin) → (𝑈 ∪ 𝑊) ∈ Fin)
104	102, 103	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∪ 𝑊) ∈ Fin)
105		simpl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑈 ∪ 𝑊)) → 𝜑)
106	43, 54	unssd 4167	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∪ 𝑊) ⊆ 𝐴)
107	106	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑈 ∪ 𝑊)) → (𝑈 ∪ 𝑊) ⊆ 𝐴)
108		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑈 ∪ 𝑊)) → 𝑘 ∈ (𝑈 ∪ 𝑊))
109	107, 108	sseldd 3959	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑈 ∪ 𝑊)) → 𝑘 ∈ 𝐴)
110	105, 109, 25	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑈 ∪ 𝑊)) → 𝐵 ∈ ℝ)
111	109, 27	syldan 591	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑈 ∪ 𝑊)) → 𝐶 ∈ ℝ)
112	110, 111	readdcld 11264	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑈 ∪ 𝑊)) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ)
113	104, 112	fsumrecl 15750	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑈 ∪ 𝑊)(𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ)
114	113	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) ∈ ℝ) → Σ𝑘 ∈ (𝑈 ∪ 𝑊)(𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ)
115	104, 110	fsumrecl 15750	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑈 ∪ 𝑊)𝐵 ∈ ℝ)
116	104, 111	fsumrecl 15750	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑈 ∪ 𝑊)𝐶 ∈ ℝ)
117		icossicc 13453	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
118	117, 3	sselid 3956	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
119		xrge0ge0 45374	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐵 ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ 𝐵)
120	118, 119	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
121	109, 120	syldan 591	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑈 ∪ 𝑊)) → 0 ≤ 𝐵)
122		ssun1 4153	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑈 ⊆ (𝑈 ∪ 𝑊)
123	122	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (𝑈 ∪ 𝑊))
124	104, 110, 121, 123	fsumless 15812	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝑈 𝐵 ≤ Σ𝑘 ∈ (𝑈 ∪ 𝑊)𝐵)
125	117, 5	sselid 3956	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
126		xrge0ge0 45374	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐶 ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ 𝐶)
127	125, 126	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ≤ 𝐶)
128	109, 127	syldan 591	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑈 ∪ 𝑊)) → 0 ≤ 𝐶)
129		ssun2 4154	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑊 ⊆ (𝑈 ∪ 𝑊)
130	129	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ⊆ (𝑈 ∪ 𝑊))
131	104, 111, 128, 130	fsumless 15812	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝑊 𝐶 ≤ Σ𝑘 ∈ (𝑈 ∪ 𝑊)𝐶)
132	47, 60, 115, 116, 124, 131	le2addd 11856	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝑈 𝐵 + Σ𝑘 ∈ 𝑊 𝐶) ≤ (Σ𝑘 ∈ (𝑈 ∪ 𝑊)𝐵 + Σ𝑘 ∈ (𝑈 ∪ 𝑊)𝐶))
133	110	recnd 11263	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑈 ∪ 𝑊)) → 𝐵 ∈ ℂ)
134	111	recnd 11263	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑈 ∪ 𝑊)) → 𝐶 ∈ ℂ)
135	104, 133, 134	fsumadd 15756	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑈 ∪ 𝑊)(𝐵 + 𝐶) = (Σ𝑘 ∈ (𝑈 ∪ 𝑊)𝐵 + Σ𝑘 ∈ (𝑈 ∪ 𝑊)𝐶))
136	135	eqcomd 2741	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑈 ∪ 𝑊)𝐵 + Σ𝑘 ∈ (𝑈 ∪ 𝑊)𝐶) = Σ𝑘 ∈ (𝑈 ∪ 𝑊)(𝐵 + 𝐶))
137	132, 136	breqtrd 5145	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝑈 𝐵 + Σ𝑘 ∈ 𝑊 𝐶) ≤ Σ𝑘 ∈ (𝑈 ∪ 𝑊)(𝐵 + 𝐶))
138	137	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) ∈ ℝ) → (Σ𝑘 ∈ 𝑈 𝐵 + Σ𝑘 ∈ 𝑊 𝐶) ≤ Σ𝑘 ∈ (𝑈 ∪ 𝑊)(𝐵 + 𝐶))
139	35	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) ∈ ℝ) → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)) ⊆ ℝ*)
140	104, 106	elpwd 4581	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∪ 𝑊) ∈ 𝒫 𝐴)
141	140, 104	elind 4175	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∪ 𝑊) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
142	113	elexd 3483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑈 ∪ 𝑊)(𝐵 + 𝐶) ∈ V)
143		sumeq1 15705	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (𝑈 ∪ 𝑊) → Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶) = Σ𝑘 ∈ (𝑈 ∪ 𝑊)(𝐵 + 𝐶))
144	33, 143	elrnmpt1s 5939	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑈 ∪ 𝑊) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ Σ𝑘 ∈ (𝑈 ∪ 𝑊)(𝐵 + 𝐶) ∈ V) → Σ𝑘 ∈ (𝑈 ∪ 𝑊)(𝐵 + 𝐶) ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)))
145	141, 142, 144	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑈 ∪ 𝑊)(𝐵 + 𝐶) ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)))
146	145	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) ∈ ℝ) → Σ𝑘 ∈ (𝑈 ∪ 𝑊)(𝐵 + 𝐶) ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)))
147		supxrub 13340	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)) ⊆ ℝ* ∧ Σ𝑘 ∈ (𝑈 ∪ 𝑊)(𝐵 + 𝐶) ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶))) → Σ𝑘 ∈ (𝑈 ∪ 𝑊)(𝐵 + 𝐶) ≤ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ))
148	139, 146, 147	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) ∈ ℝ) → Σ𝑘 ∈ (𝑈 ∪ 𝑊)(𝐵 + 𝐶) ≤ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ))
149	99, 114, 100, 138, 148	letrd 11392	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) ∈ ℝ) → (Σ𝑘 ∈ 𝑈 𝐵 + Σ𝑘 ∈ 𝑊 𝐶) ≤ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ))
150	99, 100, 101, 149	leadd1dd 11851	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) ∈ ℝ) → ((Σ𝑘 ∈ 𝑈 𝐵 + Σ𝑘 ∈ 𝑊 𝐶) + 𝐸) ≤ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) + 𝐸))
151		rexadd 13248	. . . . . . . . 9 ⊢ ((sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ) → (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) +𝑒 𝐸) = (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) + 𝐸))
152	100, 101, 151	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) ∈ ℝ) → (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) +𝑒 𝐸) = (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) + 𝐸))
153	152	eqcomd 2741	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) ∈ ℝ) → (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) + 𝐸) = (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) +𝑒 𝐸))
154	150, 153	breqtrd 5145	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) ∈ ℝ) → ((Σ𝑘 ∈ 𝑈 𝐵 + Σ𝑘 ∈ 𝑊 𝐶) + 𝐸) ≤ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) +𝑒 𝐸))
155	91, 97, 154	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) = +∞) → ((Σ𝑘 ∈ 𝑈 𝐵 + Σ𝑘 ∈ 𝑊 𝐶) + 𝐸) ≤ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) +𝑒 𝐸))
156	90, 155	pm2.61dan 812	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ 𝑈 𝐵 + Σ𝑘 ∈ 𝑊 𝐶) + 𝐸) ≤ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) +𝑒 𝐸))
157	74, 156	eqbrtrd 5141	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ 𝑈 𝐵 + (𝐸 / 2)) + (Σ𝑘 ∈ 𝑊 𝐶 + (𝐸 / 2))) ≤ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) +𝑒 𝐸))
158	15, 63, 40, 66, 157	xrltletrd 13177	. 2 ⊢ (𝜑 → ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) + (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))) < (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) +𝑒 𝐸))
159	15, 40, 158	xrltled 13166	1 ⊢ (𝜑 → ((Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) + (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))) ≤ (sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵 + 𝐶)), ℝ*, < ) +𝑒 𝐸))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  Vcvv 3459   ∪ cun 3924   ∩ cin 3925   ⊆ wss 3926  𝒫 cpw 4575   class class class wbr 5119   ↦ cmpt 5201  ran crn 5655  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  Fincfn 8959  supcsup 9452  ℝcr 11128  0cc0 11129   + caddc 11132  +∞cpnf 11266  -∞cmnf 11267  ℝ^*cxr 11268   < clt 11269   ≤ cle 11270   / cdiv 11894  2c2 12295  ℝ⁺crp 13008   +_𝑒 cxad 13126  [,)cico 13364  [,]cicc 13365  Σcsu 15702  Σ^{^}csumge0 46391

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-inf2 9655  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-pre-sup 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-sup 9454  df-oi 9524  df-card 9953  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13009  df-xadd 13129  df-ico 13368  df-icc 13369  df-fz 13525  df-fzo 13672  df-seq 14020  df-exp 14080  df-hash 14349  df-cj 15118  df-re 15119  df-im 15120  df-sqrt 15254  df-abs 15255  df-clim 15504  df-sum 15703  df-sumge0 46392

This theorem is referenced by:  sge0xaddlem2  46463