Theorem elxrge0 13493

Description: Elementhood in the set of nonnegative extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elxrge0	⊢ (𝐴 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem elxrge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3an 1088	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ +∞) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 ≤ +∞))
2		0xr 11305	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ*
3		pnfxr 11312	. . 3 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
4		elicc1 13427	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ +∞)))
5	2, 3, 4	mp2an 692	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ +∞))
6		pnfge 13169	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → 𝐴 ≤ +∞)
7	6	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ≤ +∞)
8	7	pm4.71i 559	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 ≤ +∞))
9	1, 5, 8	3bitr4i 303	1 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2105   class class class wbr 5147  (class class class)co 7430  0cc0 11152  +∞cpnf 11289  ℝ^*cxr 11291   ≤ cle 11293  [,]cicc 13386

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-addrcl 11213  ax-rnegex 11223  ax-cnre 11225

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-br 5148  df-opab 5210  df-id 5582  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fv 6570  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-icc 13390

This theorem is referenced by:  0e0iccpnf  13495  ge0xaddcl  13498  ge0xmulcl  13499  xnn0xrge0  13542  xrge0subm  21442  psmetxrge0  24338  isxmet2d  24352  prdsdsf  24392  prdsxmetlem  24393  comet  24541  stdbdxmet  24543  xrge0gsumle  24868  xrge0tsms  24869  metdsf  24883  metds0  24885  metdstri  24886  metdsre  24888  metdseq0  24889  metdscnlem  24890  metnrmlem1a  24893  xrhmeo  24990  lebnumlem1  25006  xrge0f  25780  itg2const2  25790  itg2uba  25792  itg2mono  25802  itg2gt0  25809  itg2cnlem2  25811  itg2cn  25812  iblss  25854  itgle  25859  itgeqa  25863  ibladdlem  25869  iblabs  25878  iblabsr  25879  iblmulc2  25880  itgsplit  25885  bddmulibl  25888  bddiblnc  25891  xrge0addge  32767  xrge0infss  32770  xrge0addcld  32772  xrge0subcld  32773  xrge00  32999  xrge0tsmsd  33047  esummono  34034  gsumesum  34039  esumsnf  34044  esumrnmpt2  34048  esumpmono  34059  hashf2  34064  measge0  34187  measle0  34188  measssd  34195  measunl  34196  omssubaddlem  34280  omssubadd  34281  carsgsigalem  34296  pmeasmono  34305  sibfinima  34320  prob01  34394  dstrvprob  34452  itg2addnclem  37657  ibladdnclem  37662  iblabsnc  37670  iblmulc2nc  37671  ftc1anclem4  37682  ftc1anclem5  37683  ftc1anclem6  37684  ftc1anclem7  37685  ftc1anclem8  37686  ftc1anc  37687  xrge0ge0  45296  rrxsphere  48597