Theorem elxrge0 13373

Description: Elementhood in the set of nonnegative extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elxrge0	⊢ (𝐴 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem elxrge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3an 1088	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ +∞) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 ≤ +∞))
2		0xr 11179	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ*
3		pnfxr 11186	. . 3 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
4		elicc1 13305	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ +∞)))
5	2, 3, 4	mp2an 692	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ +∞))
6		pnfge 13044	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → 𝐴 ≤ +∞)
7	6	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ≤ +∞)
8	7	pm4.71i 559	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 ≤ +∞))
9	1, 5, 8	3bitr4i 303	1 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5098  (class class class)co 7358  0cc0 11026  +∞cpnf 11163  ℝ^*cxr 11165   ≤ cle 11167  [,]cicc 13264

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-addrcl 11087  ax-rnegex 11097  ax-cnre 11099

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fv 6500  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-icc 13268

This theorem is referenced by:  0e0iccpnf  13375  ge0xaddcl  13378  ge0xmulcl  13379  xnn0xrge0  13422  xrge0subm  21398  psmetxrge0  24257  isxmet2d  24271  prdsdsf  24311  prdsxmetlem  24312  comet  24457  stdbdxmet  24459  xrge0gsumle  24778  xrge0tsms  24779  metdsf  24793  metds0  24795  metdstri  24796  metdsre  24798  metdseq0  24799  metdscnlem  24800  metnrmlem1a  24803  xrhmeo  24900  lebnumlem1  24916  xrge0f  25688  itg2const2  25698  itg2uba  25700  itg2mono  25710  itg2gt0  25717  itg2cnlem2  25719  itg2cn  25720  iblss  25762  itgle  25767  itgeqa  25771  ibladdlem  25777  iblabs  25786  iblabsr  25787  iblmulc2  25788  itgsplit  25793  bddmulibl  25796  bddiblnc  25799  xrge0addge  32838  xrge0infss  32840  xrge0addcld  32842  xrge0subcld  32843  xrge00  33096  xrge0tsmsd  33155  fldextrspundglemul  33836  esummono  34211  gsumesum  34216  esumsnf  34221  esumrnmpt2  34225  esumpmono  34236  hashf2  34241  measge0  34364  measle0  34365  measssd  34372  measunl  34373  omssubaddlem  34456  omssubadd  34457  carsgsigalem  34472  pmeasmono  34481  sibfinima  34496  prob01  34570  dstrvprob  34629  itg2addnclem  37868  ibladdnclem  37873  iblabsnc  37881  iblmulc2nc  37882  ftc1anclem4  37893  ftc1anclem5  37894  ftc1anclem6  37895  ftc1anclem7  37896  ftc1anclem8  37897  ftc1anc  37898  xrge0ge0  45588  rrxsphere  48990