Theorem elxrge0 13359

Description: Elementhood in the set of nonnegative extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elxrge0	⊢ (𝐴 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem elxrge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3an 1088	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ +∞) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 ≤ +∞))
2		0xr 11166	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ*
3		pnfxr 11173	. . 3 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
4		elicc1 13291	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ +∞)))
5	2, 3, 4	mp2an 692	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ +∞))
6		pnfge 13031	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → 𝐴 ≤ +∞)
7	6	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ≤ +∞)
8	7	pm4.71i 559	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 ≤ +∞))
9	1, 5, 8	3bitr4i 303	1 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5093  (class class class)co 7352  0cc0 11013  +∞cpnf 11150  ℝ^*cxr 11152   ≤ cle 11154  [,]cicc 13250

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-addrcl 11074  ax-rnegex 11084  ax-cnre 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-br 5094  df-opab 5156  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fv 6494  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-icc 13254

This theorem is referenced by:  0e0iccpnf  13361  ge0xaddcl  13364  ge0xmulcl  13365  xnn0xrge0  13408  xrge0subm  21382  psmetxrge0  24229  isxmet2d  24243  prdsdsf  24283  prdsxmetlem  24284  comet  24429  stdbdxmet  24431  xrge0gsumle  24750  xrge0tsms  24751  metdsf  24765  metds0  24767  metdstri  24768  metdsre  24770  metdseq0  24771  metdscnlem  24772  metnrmlem1a  24775  xrhmeo  24872  lebnumlem1  24888  xrge0f  25660  itg2const2  25670  itg2uba  25672  itg2mono  25682  itg2gt0  25689  itg2cnlem2  25691  itg2cn  25692  iblss  25734  itgle  25739  itgeqa  25743  ibladdlem  25749  iblabs  25758  iblabsr  25759  iblmulc2  25760  itgsplit  25765  bddmulibl  25768  bddiblnc  25771  xrge0addge  32745  xrge0infss  32747  xrge0addcld  32749  xrge0subcld  32750  xrge00  33002  xrge0tsmsd  33049  fldextrspundglemul  33713  esummono  34088  gsumesum  34093  esumsnf  34098  esumrnmpt2  34102  esumpmono  34113  hashf2  34118  measge0  34241  measle0  34242  measssd  34249  measunl  34250  omssubaddlem  34333  omssubadd  34334  carsgsigalem  34349  pmeasmono  34358  sibfinima  34373  prob01  34447  dstrvprob  34506  itg2addnclem  37731  ibladdnclem  37736  iblabsnc  37744  iblmulc2nc  37745  ftc1anclem4  37756  ftc1anclem5  37757  ftc1anclem6  37758  ftc1anclem7  37759  ftc1anclem8  37760  ftc1anc  37761  xrge0ge0  45470  rrxsphere  48873