Theorem elxrge0 13189

Description: Elementhood in the set of nonnegative extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elxrge0	⊢ (𝐴 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem elxrge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3an 1088	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ +∞) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 ≤ +∞))
2		0xr 11022	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ*
3		pnfxr 11029	. . 3 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
4		elicc1 13123	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ +∞)))
5	2, 3, 4	mp2an 689	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ +∞))
6		pnfge 12866	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → 𝐴 ≤ +∞)
7	6	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ≤ +∞)
8	7	pm4.71i 560	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 ≤ +∞))
9	1, 5, 8	3bitr4i 303	1 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴))

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5074  (class class class)co 7275  0cc0 10871  +∞cpnf 11006  ℝ^*cxr 11008   ≤ cle 11010  [,]cicc 13082

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-addrcl 10932  ax-rnegex 10942  ax-cnre 10944

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fv 6441  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-icc 13086

This theorem is referenced by:  0e0iccpnf  13191  ge0xaddcl  13194  ge0xmulcl  13195  xnn0xrge0  13238  xrge0subm  20639  psmetxrge0  23466  isxmet2d  23480  prdsdsf  23520  prdsxmetlem  23521  comet  23669  stdbdxmet  23671  xrge0gsumle  23996  xrge0tsms  23997  metdsf  24011  metds0  24013  metdstri  24014  metdsre  24016  metdseq0  24017  metdscnlem  24018  metnrmlem1a  24021  xrhmeo  24109  lebnumlem1  24124  xrge0f  24896  itg2const2  24906  itg2uba  24908  itg2mono  24918  itg2gt0  24925  itg2cnlem2  24927  itg2cn  24928  iblss  24969  itgle  24974  itgeqa  24978  ibladdlem  24984  iblabs  24993  iblabsr  24994  iblmulc2  24995  itgsplit  25000  bddmulibl  25003  bddiblnc  25006  xrge0addge  31080  xrge0infss  31083  xrge0addcld  31085  xrge0subcld  31086  xrge00  31295  xrge0tsmsd  31317  esummono  32022  gsumesum  32027  esumsnf  32032  esumrnmpt2  32036  esumpmono  32047  hashf2  32052  measge0  32175  measle0  32176  measssd  32183  measunl  32184  omssubaddlem  32266  omssubadd  32267  carsgsigalem  32282  pmeasmono  32291  sibfinima  32306  prob01  32380  dstrvprob  32438  itg2addnclem  35828  ibladdnclem  35833  iblabsnc  35841  iblmulc2nc  35842  ftc1anclem4  35853  ftc1anclem5  35854  ftc1anclem6  35855  ftc1anclem7  35856  ftc1anclem8  35857  ftc1anc  35858  xrge0ge0  42886  rrxsphere  46094