Theorem elxrge0 13581

Description: Elementhood in the set of nonnegative extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elxrge0	⊢ (𝐴 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem elxrge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3an 1105	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ +∞) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 ≤ +∞))
2		0xr 11349	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ*
3		pnfxr 11356	. . 3 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
4		elicc1 13513	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ +∞)))
5	2, 3, 4	mp2an 705	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ +∞))
6		pnfge 13252	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → 𝐴 ≤ +∞)
7	6	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ≤ +∞)
8	7	pm4.71i 569	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 ≤ +∞))
9	1, 5, 8	3bitr4i 306	1 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  (class class class)co 7418  0cc0 11193  +∞cpnf 11333  ℝ^*cxr 11335   ≤ cle 11337  [,]cicc 13472

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-addrcl 11254  ax-rnegex 11264  ax-cnre 11266

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fv 6545  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-icc 13476

This theorem is used by:  0e0iccpnf  13583  ge0xaddcl  13586  ge0xmulcl  13587  xnn0xrge0  13630  xrge0subm  21742  psmetxrge0  24625  isxmet2d  24639  prdsdsf  24679  prdsxmetlem  24680  comet  24825  stdbdxmet  24827  xrge0gsumle  25146  xrge0tsms  25147  metdsf  25161  metds0  25163  metdstri  25164  metdsre  25166  metdseq0  25167  metdscnlem  25168  metnrmlem1a  25171  xrhmeo  25260  lebnumlem1  25275  xrge0f  26045  itg2const2  26055  itg2uba  26057  itg2mono  26067  itg2gt0  26074  itg2cnlem2  26076  itg2cn  26077  iblss  26118  itgle  26123  itgeqa  26127  ibladdlem  26133  iblabs  26142  iblabsr  26143  iblmulc2  26144  itgsplit  26149  bddmulibl  26152  bddiblnc  26155  xrge0addge  33343  xrge0infss  33345  xrge0addcld  33347  xrge0subcld  33348  xrge00  33568  xrge0tsmsd  33627  fldextrspundglemul  34304  esummono  34679  gsumesum  34684  esumsnf  34689  esumrnmpt2  34693  esumpmono  34704  hashf2  34709  measge0  34833  measle0  34834  measssd  34841  measunl  34842  omssubaddlem  34924  omssubadd  34925  carsgsigalem  34940  pmeasmono  34949  sibfinima  34964  prob01  35038  dstrvprob  35097  itg2addnclem  38569  ibladdnclem  38574  iblabsnc  38582  iblmulc2nc  38583  ftc1anclem4  38594  ftc1anclem5  38595  ftc1anclem6  38596  ftc1anclem7  38597  ftc1anclem8  38598  ftc1anc  38599  xrge0ge0  46328  rrxsphere  49829