Theorem elxrge0 12846

Description: Elementhood in the set of nonnegative extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elxrge0	⊢ (𝐴 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem elxrge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3an 1085	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ +∞) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 ≤ +∞))
2		0xr 10688	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ*
3		pnfxr 10695	. . 3 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
4		elicc1 12783	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ +∞)))
5	2, 3, 4	mp2an 690	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ +∞))
6		pnfge 12526	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → 𝐴 ≤ +∞)
7	6	adantr 483	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ≤ +∞)
8	7	pm4.71i 562	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 ≤ +∞))
9	1, 5, 8	3bitr4i 305	1 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴))

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5066  (class class class)co 7156  0cc0 10537  +∞cpnf 10672  ℝ^*cxr 10674   ≤ cle 10676  [,]cicc 12742

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-addrcl 10598  ax-rnegex 10608  ax-cnre 10610

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-br 5067  df-opab 5129  df-id 5460  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fv 6363  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-icc 12746

This theorem is referenced by:  0e0iccpnf  12848  ge0xaddcl  12851  ge0xmulcl  12852  xnn0xrge0  12892  xrge0subm  20586  psmetxrge0  22923  isxmet2d  22937  prdsdsf  22977  prdsxmetlem  22978  comet  23123  stdbdxmet  23125  xrge0gsumle  23441  xrge0tsms  23442  metdsf  23456  metds0  23458  metdstri  23459  metdsre  23461  metdseq0  23462  metdscnlem  23463  metnrmlem1a  23466  xrhmeo  23550  lebnumlem1  23565  xrge0f  24332  itg2const2  24342  itg2uba  24344  itg2mono  24354  itg2gt0  24361  itg2cnlem2  24363  itg2cn  24364  iblss  24405  itgle  24410  itgeqa  24414  ibladdlem  24420  iblabs  24429  iblabsr  24430  iblmulc2  24431  itgsplit  24436  bddmulibl  24439  xrge0addge  30481  xrge0infss  30484  xrge0addcld  30486  xrge0subcld  30487  xrge00  30673  xrge0tsmsd  30692  esummono  31313  gsumesum  31318  esumsnf  31323  esumrnmpt2  31327  esumpmono  31338  hashf2  31343  measge0  31466  measle0  31467  measssd  31474  measunl  31475  omssubaddlem  31557  omssubadd  31558  carsgsigalem  31573  pmeasmono  31582  sibfinima  31597  prob01  31671  dstrvprob  31729  itg2addnclem  34958  ibladdnclem  34963  iblabsnc  34971  iblmulc2nc  34972  bddiblnc  34977  ftc1anclem4  34985  ftc1anclem5  34986  ftc1anclem6  34987  ftc1anclem7  34988  ftc1anclem8  34989  ftc1anc  34990  xrge0ge0  41635  rrxsphere  44755