Theorem elxrge0 13628

Description: Elementhood in the set of nonnegative extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elxrge0	⊢ (𝐴 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem elxrge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3an 1105	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ +∞) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 ≤ +∞))
2		0xr 11395	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ*
3		pnfxr 11402	. . 3 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
4		elicc1 13560	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ +∞)))
5	2, 3, 4	mp2an 705	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ +∞))
6		pnfge 13299	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → 𝐴 ≤ +∞)
7	6	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ≤ +∞)
8	7	pm4.71i 569	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 ≤ +∞))
9	1, 5, 8	3bitr4i 306	1 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5108  (class class class)co 7451  0cc0 11239  +∞cpnf 11379  ℝ^*cxr 11381   ≤ cle 11383  [,]cicc 13519

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-addrcl 11300  ax-rnegex 11310  ax-cnre 11312

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-id 5553  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fv 6574  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-icc 13523

This theorem is used by:  0e0iccpnf  13630  ge0xaddcl  13633  ge0xmulcl  13634  xnn0xrge0  13677  xrge0subm  21803  psmetxrge0  24687  isxmet2d  24701  prdsdsf  24741  prdsxmetlem  24742  comet  24887  stdbdxmet  24889  xrge0gsumle  25208  xrge0tsms  25209  metdsf  25223  metds0  25225  metdstri  25226  metdsre  25228  metdseq0  25229  metdscnlem  25230  metnrmlem1a  25233  xrhmeo  25322  lebnumlem1  25337  xrge0f  26107  itg2const2  26117  itg2uba  26119  itg2mono  26129  itg2gt0  26136  itg2cnlem2  26138  itg2cn  26139  iblss  26180  itgle  26185  itgeqa  26189  ibladdlem  26195  iblabs  26204  iblabsr  26205  iblmulc2  26206  itgsplit  26211  bddmulibl  26214  bddiblnc  26217  xrge0addge  33446  xrge0infss  33448  xrge0addcld  33450  xrge0subcld  33451  xrge00  33674  xrge0tsmsd  33733  fldextrspundglemul  34422  esummono  34797  gsumesum  34802  esumsnf  34807  esumrnmpt2  34811  esumpmono  34822  hashf2  34827  measge0  34951  measle0  34952  measssd  34959  measunl  34960  omssubaddlem  35042  omssubadd  35043  carsgsigalem  35058  pmeasmono  35067  sibfinima  35082  prob01  35156  dstrvprob  35215  itg2addnclem  38857  ibladdnclem  38862  iblabsnc  38870  iblmulc2nc  38871  ftc1anclem4  38882  ftc1anclem5  38883  ftc1anclem6  38884  ftc1anclem7  38885  ftc1anclem8  38886  ftc1anc  38887  xrge0ge0  46632  rrxsphere  50191