Theorem elxrge0 12835

Description: Elementhood in the set of nonnegative extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elxrge0	⊢ (𝐴 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem elxrge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3an 1086	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ +∞) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 ≤ +∞))
2		0xr 10677	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ*
3		pnfxr 10684	. . 3 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
4		elicc1 12770	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ +∞)))
5	2, 3, 4	mp2an 691	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ +∞))
6		pnfge 12513	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → 𝐴 ≤ +∞)
7	6	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ≤ +∞)
8	7	pm4.71i 563	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 ≤ +∞))
9	1, 5, 8	3bitr4i 306	1 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴))

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5030  (class class class)co 7135  0cc0 10526  +∞cpnf 10661  ℝ^*cxr 10663   ≤ cle 10665  [,]cicc 12729

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-addrcl 10587  ax-rnegex 10597  ax-cnre 10599

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fv 6332  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-icc 12733

This theorem is referenced by:  0e0iccpnf  12837  ge0xaddcl  12840  ge0xmulcl  12841  xnn0xrge0  12884  xrge0subm  20132  psmetxrge0  22920  isxmet2d  22934  prdsdsf  22974  prdsxmetlem  22975  comet  23120  stdbdxmet  23122  xrge0gsumle  23438  xrge0tsms  23439  metdsf  23453  metds0  23455  metdstri  23456  metdsre  23458  metdseq0  23459  metdscnlem  23460  metnrmlem1a  23463  xrhmeo  23551  lebnumlem1  23566  xrge0f  24335  itg2const2  24345  itg2uba  24347  itg2mono  24357  itg2gt0  24364  itg2cnlem2  24366  itg2cn  24367  iblss  24408  itgle  24413  itgeqa  24417  ibladdlem  24423  iblabs  24432  iblabsr  24433  iblmulc2  24434  itgsplit  24439  bddmulibl  24442  bddiblnc  24445  xrge0addge  30507  xrge0infss  30510  xrge0addcld  30512  xrge0subcld  30513  xrge00  30720  xrge0tsmsd  30742  esummono  31423  gsumesum  31428  esumsnf  31433  esumrnmpt2  31437  esumpmono  31448  hashf2  31453  measge0  31576  measle0  31577  measssd  31584  measunl  31585  omssubaddlem  31667  omssubadd  31668  carsgsigalem  31683  pmeasmono  31692  sibfinima  31707  prob01  31781  dstrvprob  31839  itg2addnclem  35108  ibladdnclem  35113  iblabsnc  35121  iblmulc2nc  35122  ftc1anclem4  35133  ftc1anclem5  35134  ftc1anclem6  35135  ftc1anclem7  35136  ftc1anclem8  35137  ftc1anc  35138  xrge0ge0  41979  rrxsphere  45162