MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elxrge0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elxrge0 12833
Description: Elementhood in the set of nonnegative extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
elxrge0 (𝐴 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem elxrge0
StepHypRef Expression
1 df-3an 1086 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ +∞) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 ≤ +∞))
2 0xr 10673 . . 3 0 ∈ ℝ*
3 pnfxr 10680 . . 3 +∞ ∈ ℝ*
4 elicc1 12768 . . 3 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ +∞)))
52, 3, 4mp2an 691 . 2 (𝐴 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ +∞))
6 pnfge 12511 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≤ +∞)
76adantr 484 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ≤ +∞)
87pm4.71i 563 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 ≤ +∞))
91, 5, 83bitr4i 306 1 (𝐴 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 209  wa 399  w3a 1084  wcel 2115   class class class wbr 5047  (class class class)co 7138  0cc0 10522  +∞cpnf 10657  *cxr 10659  cle 10661  [,]cicc 12727
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7444  ax-cnex 10578  ax-resscn 10579  ax-1cn 10580  ax-addrcl 10583  ax-rnegex 10593  ax-cnre 10595
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-op 4555  df-uni 4820  df-br 5048  df-opab 5110  df-id 5441  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fv 6344  df-ov 7141  df-oprab 7142  df-mpo 7143  df-pnf 10662  df-mnf 10663  df-xr 10664  df-ltxr 10665  df-le 10666  df-icc 12731
This theorem is referenced by:  0e0iccpnf  12835  ge0xaddcl  12838  ge0xmulcl  12839  xnn0xrge0  12882  xrge0subm  20572  psmetxrge0  22909  isxmet2d  22923  prdsdsf  22963  prdsxmetlem  22964  comet  23109  stdbdxmet  23111  xrge0gsumle  23427  xrge0tsms  23428  metdsf  23442  metds0  23444  metdstri  23445  metdsre  23447  metdseq0  23448  metdscnlem  23449  metnrmlem1a  23452  xrhmeo  23540  lebnumlem1  23555  xrge0f  24324  itg2const2  24334  itg2uba  24336  itg2mono  24346  itg2gt0  24353  itg2cnlem2  24355  itg2cn  24356  iblss  24397  itgle  24402  itgeqa  24406  ibladdlem  24412  iblabs  24421  iblabsr  24422  iblmulc2  24423  itgsplit  24428  bddmulibl  24431  bddiblnc  24434  xrge0addge  30478  xrge0infss  30481  xrge0addcld  30483  xrge0subcld  30484  xrge00  30691  xrge0tsmsd  30710  esummono  31331  gsumesum  31336  esumsnf  31341  esumrnmpt2  31345  esumpmono  31356  hashf2  31361  measge0  31484  measle0  31485  measssd  31492  measunl  31493  omssubaddlem  31575  omssubadd  31576  carsgsigalem  31591  pmeasmono  31600  sibfinima  31615  prob01  31689  dstrvprob  31747  itg2addnclem  35008  ibladdnclem  35013  iblabsnc  35021  iblmulc2nc  35022  ftc1anclem4  35033  ftc1anclem5  35034  ftc1anclem6  35035  ftc1anclem7  35036  ftc1anclem8  35037  ftc1anc  35038  xrge0ge0  41821  rrxsphere  44992
  Copyright terms: Public domain W3C validator