Theorem elxrge0 13497

Description: Elementhood in the set of nonnegative extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elxrge0	⊢ (𝐴 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem elxrge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3an 1089	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ +∞) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 ≤ +∞))
2		0xr 11308	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ*
3		pnfxr 11315	. . 3 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
4		elicc1 13431	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ +∞)))
5	2, 3, 4	mp2an 692	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ +∞))
6		pnfge 13172	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → 𝐴 ≤ +∞)
7	6	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ≤ +∞)
8	7	pm4.71i 559	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 ≤ +∞))
9	1, 5, 8	3bitr4i 303	1 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431  0cc0 11155  +∞cpnf 11292  ℝ^*cxr 11294   ≤ cle 11296  [,]cicc 13390

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-addrcl 11216  ax-rnegex 11226  ax-cnre 11228

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-icc 13394

This theorem is referenced by:  0e0iccpnf  13499  ge0xaddcl  13502  ge0xmulcl  13503  xnn0xrge0  13546  xrge0subm  21425  psmetxrge0  24323  isxmet2d  24337  prdsdsf  24377  prdsxmetlem  24378  comet  24526  stdbdxmet  24528  xrge0gsumle  24855  xrge0tsms  24856  metdsf  24870  metds0  24872  metdstri  24873  metdsre  24875  metdseq0  24876  metdscnlem  24877  metnrmlem1a  24880  xrhmeo  24977  lebnumlem1  24993  xrge0f  25766  itg2const2  25776  itg2uba  25778  itg2mono  25788  itg2gt0  25795  itg2cnlem2  25797  itg2cn  25798  iblss  25840  itgle  25845  itgeqa  25849  ibladdlem  25855  iblabs  25864  iblabsr  25865  iblmulc2  25866  itgsplit  25871  bddmulibl  25874  bddiblnc  25877  xrge0addge  32761  xrge0infss  32764  xrge0addcld  32766  xrge0subcld  32767  xrge00  33017  xrge0tsmsd  33065  fldextrspundglemul  33729  esummono  34055  gsumesum  34060  esumsnf  34065  esumrnmpt2  34069  esumpmono  34080  hashf2  34085  measge0  34208  measle0  34209  measssd  34216  measunl  34217  omssubaddlem  34301  omssubadd  34302  carsgsigalem  34317  pmeasmono  34326  sibfinima  34341  prob01  34415  dstrvprob  34474  itg2addnclem  37678  ibladdnclem  37683  iblabsnc  37691  iblmulc2nc  37692  ftc1anclem4  37703  ftc1anclem5  37704  ftc1anclem6  37705  ftc1anclem7  37706  ftc1anclem8  37707  ftc1anc  37708  xrge0ge0  45358  rrxsphere  48669