Theorem elxrge0 13354

Description: Elementhood in the set of nonnegative extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elxrge0	⊢ (𝐴 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem elxrge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3an 1088	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ +∞) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 ≤ +∞))
2		0xr 11156	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ*
3		pnfxr 11163	. . 3 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
4		elicc1 13286	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ +∞)))
5	2, 3, 4	mp2an 692	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ +∞))
6		pnfge 13026	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → 𝐴 ≤ +∞)
7	6	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ≤ +∞)
8	7	pm4.71i 559	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 ≤ +∞))
9	1, 5, 8	3bitr4i 303	1 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5091  (class class class)co 7346  0cc0 11003  +∞cpnf 11140  ℝ^*cxr 11142   ≤ cle 11144  [,]cicc 13245

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-addrcl 11064  ax-rnegex 11074  ax-cnre 11076

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-br 5092  df-opab 5154  df-id 5511  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fv 6489  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-icc 13249

This theorem is referenced by:  0e0iccpnf  13356  ge0xaddcl  13359  ge0xmulcl  13360  xnn0xrge0  13403  xrge0subm  21378  psmetxrge0  24226  isxmet2d  24240  prdsdsf  24280  prdsxmetlem  24281  comet  24426  stdbdxmet  24428  xrge0gsumle  24747  xrge0tsms  24748  metdsf  24762  metds0  24764  metdstri  24765  metdsre  24767  metdseq0  24768  metdscnlem  24769  metnrmlem1a  24772  xrhmeo  24869  lebnumlem1  24885  xrge0f  25657  itg2const2  25667  itg2uba  25669  itg2mono  25679  itg2gt0  25686  itg2cnlem2  25688  itg2cn  25689  iblss  25731  itgle  25736  itgeqa  25740  ibladdlem  25746  iblabs  25755  iblabsr  25756  iblmulc2  25757  itgsplit  25762  bddmulibl  25765  bddiblnc  25768  xrge0addge  32736  xrge0infss  32738  xrge0addcld  32740  xrge0subcld  32741  xrge00  32990  xrge0tsmsd  33037  fldextrspundglemul  33687  esummono  34062  gsumesum  34067  esumsnf  34072  esumrnmpt2  34076  esumpmono  34087  hashf2  34092  measge0  34215  measle0  34216  measssd  34223  measunl  34224  omssubaddlem  34307  omssubadd  34308  carsgsigalem  34323  pmeasmono  34332  sibfinima  34347  prob01  34421  dstrvprob  34480  itg2addnclem  37710  ibladdnclem  37715  iblabsnc  37723  iblmulc2nc  37724  ftc1anclem4  37735  ftc1anclem5  37736  ftc1anclem6  37737  ftc1anclem7  37738  ftc1anclem8  37739  ftc1anc  37740  xrge0ge0  45385  rrxsphere  48779