Theorem elxrge0 13434

Description: Elementhood in the set of nonnegative extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elxrge0	⊢ (𝐴 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem elxrge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3an 1090	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ +∞) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 ≤ +∞))
2		0xr 11261	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ*
3		pnfxr 11268	. . 3 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
4		elicc1 13368	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ +∞)))
5	2, 3, 4	mp2an 691	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ +∞))
6		pnfge 13110	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → 𝐴 ≤ +∞)
7	6	adantr 482	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ≤ +∞)
8	7	pm4.71i 561	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 ≤ +∞))
9	1, 5, 8	3bitr4i 303	1 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴))

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5149  (class class class)co 7409  0cc0 11110  +∞cpnf 11245  ℝ^*cxr 11247   ≤ cle 11249  [,]cicc 13327

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-addrcl 11171  ax-rnegex 11181  ax-cnre 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-icc 13331

This theorem is referenced by:  0e0iccpnf  13436  ge0xaddcl  13439  ge0xmulcl  13440  xnn0xrge0  13483  xrge0subm  20986  psmetxrge0  23819  isxmet2d  23833  prdsdsf  23873  prdsxmetlem  23874  comet  24022  stdbdxmet  24024  xrge0gsumle  24349  xrge0tsms  24350  metdsf  24364  metds0  24366  metdstri  24367  metdsre  24369  metdseq0  24370  metdscnlem  24371  metnrmlem1a  24374  xrhmeo  24462  lebnumlem1  24477  xrge0f  25249  itg2const2  25259  itg2uba  25261  itg2mono  25271  itg2gt0  25278  itg2cnlem2  25280  itg2cn  25281  iblss  25322  itgle  25327  itgeqa  25331  ibladdlem  25337  iblabs  25346  iblabsr  25347  iblmulc2  25348  itgsplit  25353  bddmulibl  25356  bddiblnc  25359  xrge0addge  31970  xrge0infss  31973  xrge0addcld  31975  xrge0subcld  31976  xrge00  32187  xrge0tsmsd  32209  esummono  33052  gsumesum  33057  esumsnf  33062  esumrnmpt2  33066  esumpmono  33077  hashf2  33082  measge0  33205  measle0  33206  measssd  33213  measunl  33214  omssubaddlem  33298  omssubadd  33299  carsgsigalem  33314  pmeasmono  33323  sibfinima  33338  prob01  33412  dstrvprob  33470  itg2addnclem  36539  ibladdnclem  36544  iblabsnc  36552  iblmulc2nc  36553  ftc1anclem4  36564  ftc1anclem5  36565  ftc1anclem6  36566  ftc1anclem7  36567  ftc1anclem8  36568  ftc1anc  36569  xrge0ge0  44057  rrxsphere  47434