Theorem elxrge0 12532

Description: Elementhood in the set of nonnegative extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elxrge0	⊢ (𝐴 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem elxrge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3an 1110	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ +∞) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 ≤ +∞))
2		0xr 10375	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ*
3		pnfxr 10382	. . 3 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
4		elicc1 12468	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ +∞)))
5	2, 3, 4	mp2an 684	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ +∞))
6		pnfge 12211	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → 𝐴 ≤ +∞)
7	6	adantr 473	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ≤ +∞)
8	7	pm4.71i 556	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 ≤ +∞))
9	1, 5, 8	3bitr4i 295	1 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴))

Syntax hints:   ↔ wb 198   ∧ wa 385   ∧ w3a 1108   ∈ wcel 2157   class class class wbr 4843  (class class class)co 6878  0cc0 10224  +∞cpnf 10360  ℝ^*cxr 10362   ≤ cle 10364  [,]cicc 12427

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-addrcl 10285  ax-rnegex 10295  ax-cnre 10297

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-op 4375  df-uni 4629  df-br 4844  df-opab 4906  df-id 5220  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fv 6109  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-icc 12431

This theorem is referenced by:  0e0iccpnf  12534  ge0xaddcl  12537  ge0xmulcl  12538  xnn0xrge0  12579  xrge0subm  20109  psmetxrge0  22446  isxmet2d  22460  prdsdsf  22500  prdsxmetlem  22501  comet  22646  stdbdxmet  22648  xrge0gsumle  22964  xrge0tsms  22965  metdsf  22979  metds0  22981  metdstri  22982  metdsre  22984  metdseq0  22985  metdscnlem  22986  metnrmlem1a  22989  metnrmlem1  22990  xrhmeo  23073  lebnumlem1  23088  xrge0f  23839  itg2const2  23849  itg2uba  23851  itg2mono  23861  itg2gt0  23868  itg2cnlem2  23870  itg2cn  23871  iblss  23912  itgle  23917  itgeqa  23921  ibladdlem  23927  iblabs  23936  iblabsr  23937  iblmulc2  23938  itgsplit  23943  bddmulibl  23946  xrge0addge  30040  xrge0infss  30043  xrge0addcld  30045  xrge0subcld  30046  xrge00  30202  xrge0tsmsd  30301  esummono  30632  gsumesum  30637  esumsnf  30642  esumrnmpt2  30646  esumpmono  30657  hashf2  30662  measge0  30786  measle0  30787  measssd  30794  measunl  30795  omssubaddlem  30877  omssubadd  30878  carsgsigalem  30893  pmeasmono  30902  sibfinima  30917  prob01  30992  dstrvprob  31050  itg2addnclem  33949  ibladdnclem  33954  iblabsnc  33962  iblmulc2nc  33963  bddiblnc  33968  ftc1anclem4  33976  ftc1anclem5  33977  ftc1anclem6  33978  ftc1anclem7  33979  ftc1anclem8  33980  ftc1anc  33981  xrge0ge0  40307