Theorem elxrge0 13401

Description: Elementhood in the set of nonnegative extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elxrge0	⊢ (𝐴 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem elxrge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3an 1089	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ +∞) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 ≤ +∞))
2		0xr 11183	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ*
3		pnfxr 11190	. . 3 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
4		elicc1 13333	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ +∞)))
5	2, 3, 4	mp2an 693	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ +∞))
6		pnfge 13072	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → 𝐴 ≤ +∞)
7	6	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ≤ +∞)
8	7	pm4.71i 559	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 ≤ +∞))
9	1, 5, 8	3bitr4i 303	1 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  (class class class)co 7360  0cc0 11029  +∞cpnf 11167  ℝ^*cxr 11169   ≤ cle 11171  [,]cicc 13292

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-addrcl 11090  ax-rnegex 11100  ax-cnre 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fv 6500  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-icc 13296

This theorem is referenced by:  0e0iccpnf  13403  ge0xaddcl  13406  ge0xmulcl  13407  xnn0xrge0  13450  xrge0subm  21433  psmetxrge0  24288  isxmet2d  24302  prdsdsf  24342  prdsxmetlem  24343  comet  24488  stdbdxmet  24490  xrge0gsumle  24809  xrge0tsms  24810  metdsf  24824  metds0  24826  metdstri  24827  metdsre  24829  metdseq0  24830  metdscnlem  24831  metnrmlem1a  24834  xrhmeo  24923  lebnumlem1  24938  xrge0f  25708  itg2const2  25718  itg2uba  25720  itg2mono  25730  itg2gt0  25737  itg2cnlem2  25739  itg2cn  25740  iblss  25782  itgle  25787  itgeqa  25791  ibladdlem  25797  iblabs  25806  iblabsr  25807  iblmulc2  25808  itgsplit  25813  bddmulibl  25816  bddiblnc  25819  xrge0addge  32846  xrge0infss  32848  xrge0addcld  32850  xrge0subcld  32851  xrge00  33089  xrge0tsmsd  33149  fldextrspundglemul  33839  esummono  34214  gsumesum  34219  esumsnf  34224  esumrnmpt2  34228  esumpmono  34239  hashf2  34244  measge0  34367  measle0  34368  measssd  34375  measunl  34376  omssubaddlem  34459  omssubadd  34460  carsgsigalem  34475  pmeasmono  34484  sibfinima  34499  prob01  34573  dstrvprob  34632  itg2addnclem  38006  ibladdnclem  38011  iblabsnc  38019  iblmulc2nc  38020  ftc1anclem4  38031  ftc1anclem5  38032  ftc1anclem6  38033  ftc1anclem7  38034  ftc1anclem8  38035  ftc1anc  38036  xrge0ge0  45795  rrxsphere  49236