Theorem elxrge0 13378

Description: Elementhood in the set of nonnegative extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elxrge0	⊢ (𝐴 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem elxrge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3an 1088	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ +∞) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 ≤ +∞))
2		0xr 11181	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ*
3		pnfxr 11188	. . 3 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
4		elicc1 13310	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ +∞)))
5	2, 3, 4	mp2an 692	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ +∞))
6		pnfge 13050	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → 𝐴 ≤ +∞)
7	6	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ≤ +∞)
8	7	pm4.71i 559	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 ≤ +∞))
9	1, 5, 8	3bitr4i 303	1 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5095  (class class class)co 7353  0cc0 11028  +∞cpnf 11165  ℝ^*cxr 11167   ≤ cle 11169  [,]cicc 13269

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-addrcl 11089  ax-rnegex 11099  ax-cnre 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-id 5518  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fv 6494  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-icc 13273

This theorem is referenced by:  0e0iccpnf  13380  ge0xaddcl  13383  ge0xmulcl  13384  xnn0xrge0  13427  xrge0subm  21368  psmetxrge0  24217  isxmet2d  24231  prdsdsf  24271  prdsxmetlem  24272  comet  24417  stdbdxmet  24419  xrge0gsumle  24738  xrge0tsms  24739  metdsf  24753  metds0  24755  metdstri  24756  metdsre  24758  metdseq0  24759  metdscnlem  24760  metnrmlem1a  24763  xrhmeo  24860  lebnumlem1  24876  xrge0f  25648  itg2const2  25658  itg2uba  25660  itg2mono  25670  itg2gt0  25677  itg2cnlem2  25679  itg2cn  25680  iblss  25722  itgle  25727  itgeqa  25731  ibladdlem  25737  iblabs  25746  iblabsr  25747  iblmulc2  25748  itgsplit  25753  bddmulibl  25756  bddiblnc  25759  xrge0addge  32714  xrge0infss  32716  xrge0addcld  32718  xrge0subcld  32719  xrge00  32981  xrge0tsmsd  33028  fldextrspundglemul  33650  esummono  34020  gsumesum  34025  esumsnf  34030  esumrnmpt2  34034  esumpmono  34045  hashf2  34050  measge0  34173  measle0  34174  measssd  34181  measunl  34182  omssubaddlem  34266  omssubadd  34267  carsgsigalem  34282  pmeasmono  34291  sibfinima  34306  prob01  34380  dstrvprob  34439  itg2addnclem  37650  ibladdnclem  37655  iblabsnc  37663  iblmulc2nc  37664  ftc1anclem4  37675  ftc1anclem5  37676  ftc1anclem6  37677  ftc1anclem7  37678  ftc1anclem8  37679  ftc1anc  37680  xrge0ge0  45327  rrxsphere  48734