Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xrssre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrssre 44730
Description: A subset of extended reals that does not contain +∞ and -∞ is a subset of the reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
xrssre.1 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ*)
xrssre.2 (𝜑 → ¬ +∞ ∈ 𝐴)
xrssre.3 (𝜑 → ¬ -∞ ∈ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
xrssre (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)

Proof of Theorem xrssre
StepHypRef Expression
1 xrssre.1 . . . . 5 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ*)
2 ssxr 11314 . . . . 5 (𝐴 ⊆ ℝ* → (𝐴 ⊆ ℝ ∨ +∞ ∈ 𝐴 ∨ -∞ ∈ 𝐴))
31, 2syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 ⊆ ℝ ∨ +∞ ∈ 𝐴 ∨ -∞ ∈ 𝐴))
4 3orass 1088 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ ∨ +∞ ∈ 𝐴 ∨ -∞ ∈ 𝐴) ↔ (𝐴 ⊆ ℝ ∨ (+∞ ∈ 𝐴 ∨ -∞ ∈ 𝐴)))
53, 4sylib 217 . . 3 (𝜑 → (𝐴 ⊆ ℝ ∨ (+∞ ∈ 𝐴 ∨ -∞ ∈ 𝐴)))
65orcomd 870 . 2 (𝜑 → ((+∞ ∈ 𝐴 ∨ -∞ ∈ 𝐴) ∨ 𝐴 ⊆ ℝ))
7 xrssre.2 . . . 4 (𝜑 → ¬ +∞ ∈ 𝐴)
8 xrssre.3 . . . 4 (𝜑 → ¬ -∞ ∈ 𝐴)
97, 8jca 511 . . 3 (𝜑 → (¬ +∞ ∈ 𝐴 ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴))
10 ioran 982 . . 3 (¬ (+∞ ∈ 𝐴 ∨ -∞ ∈ 𝐴) ↔ (¬ +∞ ∈ 𝐴 ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴))
119, 10sylibr 233 . 2 (𝜑 → ¬ (+∞ ∈ 𝐴 ∨ -∞ ∈ 𝐴))
12 df-or 847 . . 3 (((+∞ ∈ 𝐴 ∨ -∞ ∈ 𝐴) ∨ 𝐴 ⊆ ℝ) ↔ (¬ (+∞ ∈ 𝐴 ∨ -∞ ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ))
1312biimpi 215 . 2 (((+∞ ∈ 𝐴 ∨ -∞ ∈ 𝐴) ∨ 𝐴 ⊆ ℝ) → (¬ (+∞ ∈ 𝐴 ∨ -∞ ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ))
146, 11, 13sylc 65 1 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  wo 846  w3o 1084  wcel 2099  wss 3947  cr 11138  +∞cpnf 11276  -∞cmnf 11277  *cxr 11278
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-resscn 11196
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283
This theorem is referenced by:  supminfxr2  44851
  Copyright terms: Public domain W3C validator