Theorem xrssre 44611

Description: A subset of extended reals that does not contain +∞ and -∞ is a subset of the reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrssre.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ*)
xrssre.2	⊢ (𝜑 → ¬ +∞ ∈ 𝐴)
xrssre.3	⊢ (𝜑 → ¬ -∞ ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
xrssre	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)

Proof of Theorem xrssre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrssre.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ*)
2		ssxr 11284	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (𝐴 ⊆ ℝ ∨ +∞ ∈ 𝐴 ∨ -∞ ∈ 𝐴))
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ ℝ ∨ +∞ ∈ 𝐴 ∨ -∞ ∈ 𝐴))
4		3orass 1087	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∨ +∞ ∈ 𝐴 ∨ -∞ ∈ 𝐴) ↔ (𝐴 ⊆ ℝ ∨ (+∞ ∈ 𝐴 ∨ -∞ ∈ 𝐴)))
5	3, 4	sylib 217	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ ℝ ∨ (+∞ ∈ 𝐴 ∨ -∞ ∈ 𝐴)))
6	5	orcomd 868	. 2 ⊢ (𝜑 → ((+∞ ∈ 𝐴 ∨ -∞ ∈ 𝐴) ∨ 𝐴 ⊆ ℝ))
7		xrssre.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ +∞ ∈ 𝐴)
8		xrssre.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ -∞ ∈ 𝐴)
9	7, 8	jca 511	. . 3 ⊢ (𝜑 → (¬ +∞ ∈ 𝐴 ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴))
10		ioran 980	. . 3 ⊢ (¬ (+∞ ∈ 𝐴 ∨ -∞ ∈ 𝐴) ↔ (¬ +∞ ∈ 𝐴 ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴))
11	9, 10	sylibr 233	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ (+∞ ∈ 𝐴 ∨ -∞ ∈ 𝐴))
12		df-or 845	. . 3 ⊢ (((+∞ ∈ 𝐴 ∨ -∞ ∈ 𝐴) ∨ 𝐴 ⊆ ℝ) ↔ (¬ (+∞ ∈ 𝐴 ∨ -∞ ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ))
13	12	biimpi 215	. 2 ⊢ (((+∞ ∈ 𝐴 ∨ -∞ ∈ 𝐴) ∨ 𝐴 ⊆ ℝ) → (¬ (+∞ ∈ 𝐴 ∨ -∞ ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ))
14	6, 11, 13	sylc 65	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 844   ∨ w3o 1083   ∈ wcel 2098   ⊆ wss 3943  ℝcr 11108  +∞cpnf 11246  -∞cmnf 11247  ℝ^*cxr 11248

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-resscn 11166

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253

This theorem is referenced by:  supminfxr2  44732