Theorem xrssre 46105

Description: A subset of extended reals that does not contain +∞ and -∞ is a subset of the reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrssre.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ*)
xrssre.2	⊢ (𝜑 → ¬ +∞ ∈ 𝐴)
xrssre.3	⊢ (𝜑 → ¬ -∞ ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
xrssre	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)

Proof of Theorem xrssre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrssre.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ*)
2		ssxr 11297	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (𝐴 ⊆ ℝ ∨ +∞ ∈ 𝐴 ∨ -∞ ∈ 𝐴))
3	1, 2	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ ℝ ∨ +∞ ∈ 𝐴 ∨ -∞ ∈ 𝐴))
4		3orass 1106	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∨ +∞ ∈ 𝐴 ∨ -∞ ∈ 𝐴) ↔ (𝐴 ⊆ ℝ ∨ (+∞ ∈ 𝐴 ∨ -∞ ∈ 𝐴)))
5	3, 4	sylib 221	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ ℝ ∨ (+∞ ∈ 𝐴 ∨ -∞ ∈ 𝐴)))
6	5	orcomd 885	. 2 ⊢ (𝜑 → ((+∞ ∈ 𝐴 ∨ -∞ ∈ 𝐴) ∨ 𝐴 ⊆ ℝ))
7		xrssre.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ +∞ ∈ 𝐴)
8		xrssre.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ -∞ ∈ 𝐴)
9	7, 8	jca 521	. . 3 ⊢ (𝜑 → (¬ +∞ ∈ 𝐴 ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴))
10		ioran 999	. . 3 ⊢ (¬ (+∞ ∈ 𝐴 ∨ -∞ ∈ 𝐴) ↔ (¬ +∞ ∈ 𝐴 ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴))
11	9, 10	sylibr 237	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ (+∞ ∈ 𝐴 ∨ -∞ ∈ 𝐴))
12		df-or 862	. . 3 ⊢ (((+∞ ∈ 𝐴 ∨ -∞ ∈ 𝐴) ∨ 𝐴 ⊆ ℝ) ↔ (¬ (+∞ ∈ 𝐴 ∨ -∞ ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ))
13	12	biimpi 219	. 2 ⊢ (((+∞ ∈ 𝐴 ∨ -∞ ∈ 𝐴) ∨ 𝐴 ⊆ ℝ) → (¬ (+∞ ∈ 𝐴 ∨ -∞ ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ))
14	6, 11, 13	sylc 66	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∨ w3o 1102   ∈ wcel 2146   ⊆ wss 3908  ℝcr 11117  +∞cpnf 11258  -∞cmnf 11259  ℝ^*cxr 11260

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-resscn 11175

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5561  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265

This theorem is used by:  supminfxr2  46224