Theorem xrssre 45888

Description: A subset of extended reals that does not contain +∞ and -∞ is a subset of the reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrssre.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ*)
xrssre.2	⊢ (𝜑 → ¬ +∞ ∈ 𝐴)
xrssre.3	⊢ (𝜑 → ¬ -∞ ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
xrssre	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)

Proof of Theorem xrssre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrssre.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ*)
2		ssxr 11249	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (𝐴 ⊆ ℝ ∨ +∞ ∈ 𝐴 ∨ -∞ ∈ 𝐴))
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ ℝ ∨ +∞ ∈ 𝐴 ∨ -∞ ∈ 𝐴))
4		3orass 1100	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∨ +∞ ∈ 𝐴 ∨ -∞ ∈ 𝐴) ↔ (𝐴 ⊆ ℝ ∨ (+∞ ∈ 𝐴 ∨ -∞ ∈ 𝐴)))
5	3, 4	sylib 220	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ ℝ ∨ (+∞ ∈ 𝐴 ∨ -∞ ∈ 𝐴)))
6	5	orcomd 882	. 2 ⊢ (𝜑 → ((+∞ ∈ 𝐴 ∨ -∞ ∈ 𝐴) ∨ 𝐴 ⊆ ℝ))
7		xrssre.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ +∞ ∈ 𝐴)
8		xrssre.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ -∞ ∈ 𝐴)
9	7, 8	jca 519	. . 3 ⊢ (𝜑 → (¬ +∞ ∈ 𝐴 ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴))
10		ioran 996	. . 3 ⊢ (¬ (+∞ ∈ 𝐴 ∨ -∞ ∈ 𝐴) ↔ (¬ +∞ ∈ 𝐴 ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴))
11	9, 10	sylibr 236	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ (+∞ ∈ 𝐴 ∨ -∞ ∈ 𝐴))
12		df-or 859	. . 3 ⊢ (((+∞ ∈ 𝐴 ∨ -∞ ∈ 𝐴) ∨ 𝐴 ⊆ ℝ) ↔ (¬ (+∞ ∈ 𝐴 ∨ -∞ ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ))
13	12	biimpi 218	. 2 ⊢ (((+∞ ∈ 𝐴 ∨ -∞ ∈ 𝐴) ∨ 𝐴 ⊆ ℝ) → (¬ (+∞ ∈ 𝐴 ∨ -∞ ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ))
14	6, 11, 13	sylc 65	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∨ wo 858   ∨ w3o 1096   ∈ wcel 2141   ⊆ wss 3904  ℝcr 11069  +∞cpnf 11210  -∞cmnf 11211  ℝ^*cxr 11212

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-resscn 11127

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5540  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217

This theorem is referenced by:  supminfxr2  46007