Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xrssre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrssre 43669
Description: A subset of extended reals that does not contain +∞ and -∞ is a subset of the reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
xrssre.1 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ*)
xrssre.2 (𝜑 → ¬ +∞ ∈ 𝐴)
xrssre.3 (𝜑 → ¬ -∞ ∈ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
xrssre (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)

Proof of Theorem xrssre
StepHypRef Expression
1 xrssre.1 . . . . 5 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ*)
2 ssxr 11229 . . . . 5 (𝐴 ⊆ ℝ* → (𝐴 ⊆ ℝ ∨ +∞ ∈ 𝐴 ∨ -∞ ∈ 𝐴))
31, 2syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 ⊆ ℝ ∨ +∞ ∈ 𝐴 ∨ -∞ ∈ 𝐴))
4 3orass 1091 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ ∨ +∞ ∈ 𝐴 ∨ -∞ ∈ 𝐴) ↔ (𝐴 ⊆ ℝ ∨ (+∞ ∈ 𝐴 ∨ -∞ ∈ 𝐴)))
53, 4sylib 217 . . 3 (𝜑 → (𝐴 ⊆ ℝ ∨ (+∞ ∈ 𝐴 ∨ -∞ ∈ 𝐴)))
65orcomd 870 . 2 (𝜑 → ((+∞ ∈ 𝐴 ∨ -∞ ∈ 𝐴) ∨ 𝐴 ⊆ ℝ))
7 xrssre.2 . . . 4 (𝜑 → ¬ +∞ ∈ 𝐴)
8 xrssre.3 . . . 4 (𝜑 → ¬ -∞ ∈ 𝐴)
97, 8jca 513 . . 3 (𝜑 → (¬ +∞ ∈ 𝐴 ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴))
10 ioran 983 . . 3 (¬ (+∞ ∈ 𝐴 ∨ -∞ ∈ 𝐴) ↔ (¬ +∞ ∈ 𝐴 ∧ ¬ -∞ ∈ 𝐴))
119, 10sylibr 233 . 2 (𝜑 → ¬ (+∞ ∈ 𝐴 ∨ -∞ ∈ 𝐴))
12 df-or 847 . . 3 (((+∞ ∈ 𝐴 ∨ -∞ ∈ 𝐴) ∨ 𝐴 ⊆ ℝ) ↔ (¬ (+∞ ∈ 𝐴 ∨ -∞ ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ))
1312biimpi 215 . 2 (((+∞ ∈ 𝐴 ∨ -∞ ∈ 𝐴) ∨ 𝐴 ⊆ ℝ) → (¬ (+∞ ∈ 𝐴 ∨ -∞ ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ))
146, 11, 13sylc 65 1 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 397  wo 846  w3o 1087  wcel 2107  wss 3911  cr 11055  +∞cpnf 11191  -∞cmnf 11192  *cxr 11193
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-resscn 11113
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198
This theorem is referenced by:  supminfxr2  43790
  Copyright terms: Public domain W3C validator