ioorcl2 - Metamath Proof Explorer

	Metamath Proof Explorer		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > ioorcl2		Structured version Visualization version GIF version

Theorem ioorcl2 25549

Description: An open interval with finite volume has real endpoints. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.)

**Assertion**
Ref	Expression
ioorcl2	⊢ (((𝐴(,)𝐵) ≠ ∅ ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))

Proof of Theorem ioorcl2 Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0 4294	. . 3 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵))
2		elioore 13319	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑧 ∈ ℝ)
3	2	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℝ)
4		peano2re 11310	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ → ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1) ∈ ℝ)
5	4	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1) ∈ ℝ)
6	3, 5	resubcld 11569	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (𝑧 − ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ∈ ℝ)
7	6	rexrd 11186	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (𝑧 − ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ∈ ℝ^*)
8		eliooxr 13348	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^*))
9	8	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ℝ^ ∧ 𝐵 ∈ ℝ^*))
10	9	simpld 494	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ^)
11	3	rexrd 11186	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℝ^)
12		ltp1 11986	. . . . . . . . 9 ⊢ ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) < ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))
13	12	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) < ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))
14		0red 11138	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → 0 ∈ ℝ)
15		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ)
16		ioossre 13351	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
17		ovolge0 25458	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ → 0 ≤ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)))
18	16, 17	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → 0 ≤ (vol‘(𝐴(,)𝐵)))
19		lep1 11987	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ≤ ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))
20	19	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ≤ ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))
21	14, 15, 5, 18, 20	letrd 11294	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → 0 ≤ ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))
22	3, 5	subge02d 11733	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (0 ≤ ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1) ↔ (𝑧 − ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ≤ 𝑧))
23	21, 22	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (𝑧 − ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ≤ 𝑧)
24		ovolioo 25545	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑧 − ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑧 − ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ≤ 𝑧) → (vol‘((𝑧 − ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))(,)𝑧)) = (𝑧 − (𝑧 − ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))))
25	6, 3, 23, 24	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (vol‘((𝑧 − ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))(,)𝑧)) = (𝑧 − (𝑧 − ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))))
26	3	recnd 11164	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℂ)
27	5	recnd 11164	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1) ∈ ℂ)
28	26, 27	nncand 11501	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (𝑧 − (𝑧 − ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))) = ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))
29	25, 28	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (vol‘((𝑧 − ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))(,)𝑧)) = ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))
30	29	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ (𝑧 − ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))) → (vol‘((𝑧 − ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))(,)𝑧)) = ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))
31		iooss1 13324	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≤ (𝑧 − ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))) → ((𝑧 − ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))(,)𝑧) ⊆ (𝐴(,)𝑧))
32	10, 31	sylan 581	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ (𝑧 − ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))) → ((𝑧 − ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))(,)𝑧) ⊆ (𝐴(,)𝑧))
33	9	simprd 495	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ^)
34		eliooord 13349	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝐵))
35	34	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝐵))
36	35	simprd 495	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → 𝑧 < 𝐵)
37	11, 33, 36	xrltled 13092	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → 𝑧 ≤ 𝐵)
38		iooss2 13325	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝑧 ≤ 𝐵) → (𝐴(,)𝑧) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
39	33, 37, 38	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (𝐴(,)𝑧) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
40	39	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ (𝑧 − ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))) → (𝐴(,)𝑧) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
41	32, 40	sstrd 3933	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ (𝑧 − ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))) → ((𝑧 − ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))(,)𝑧) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
42		ovolss 25462	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑧 − ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))(,)𝑧) ⊆ (𝐴(,)𝐵) ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ) → (vol‘((𝑧 − ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))(,)𝑧)) ≤ (vol‘(𝐴(,)𝐵)))
43	41, 16, 42	sylancl 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ (𝑧 − ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))) → (vol‘((𝑧 − ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))(,)𝑧)) ≤ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)))
44	30, 43	eqbrtrrd 5110	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ (𝑧 − ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))) → ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1) ≤ (vol‘(𝐴(,)𝐵)))
45	44	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ (𝑧 − ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) → ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1) ≤ (vol‘(𝐴(,)𝐵))))
46	10, 7	xrlenltd 11202	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ (𝑧 − ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ↔ ¬ (𝑧 − ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) < 𝐴))
47	5, 15	lenltd 11283	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1) ≤ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ↔ ¬ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) < ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)))
48	45, 46, 47	3imtr3d 293	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (¬ (𝑧 − ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) < 𝐴 → ¬ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) < ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)))
49	13, 48	mt4d 117	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (𝑧 − ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) < 𝐴)
50	35	simpld 494	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → 𝐴 < 𝑧)
51		xrre2 13113	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑧 − ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ∈ ℝ^ ∧ 𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝑧 ∈ ℝ^) ∧ ((𝑧 − ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝑧)) → 𝐴 ∈ ℝ)
52	7, 10, 11, 49, 50, 51	syl32anc 1381	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
53	3, 5	readdcld 11165	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (𝑧 + ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ∈ ℝ)
54	53	rexrd 11186	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (𝑧 + ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ∈ ℝ^*)
55	3, 5	addge01d 11729	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (0 ≤ ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1) ↔ 𝑧 ≤ (𝑧 + ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))))
56	21, 55	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → 𝑧 ≤ (𝑧 + ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)))
57		ovolioo 25545	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑧 + ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ∈ ℝ ∧ 𝑧 ≤ (𝑧 + ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))) → (vol‘(𝑧(,)(𝑧 + ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)))) = ((𝑧 + ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) − 𝑧))
58	3, 53, 56, 57	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (vol‘(𝑧(,)(𝑧 + ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)))) = ((𝑧 + ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) − 𝑧))
59	26, 27	pncan2d 11498	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → ((𝑧 + ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) − 𝑧) = ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))
60	58, 59	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (vol‘(𝑧(,)(𝑧 + ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)))) = ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))
61	60	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 + ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ≤ 𝐵) → (vol‘(𝑧(,)(𝑧 + ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)))) = ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))
62		iooss2 13325	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ^* ∧ (𝑧 + ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ≤ 𝐵) → (𝑧(,)(𝑧 + ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))) ⊆ (𝑧(,)𝐵))
63	33, 62	sylan 581	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 + ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ≤ 𝐵) → (𝑧(,)(𝑧 + ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))) ⊆ (𝑧(,)𝐵))
64	10, 11, 50	xrltled 13092	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → 𝐴 ≤ 𝑧)
65		iooss1 13324	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≤ 𝑧) → (𝑧(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
66	10, 64, 65	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (𝑧(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
67	66	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 + ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ≤ 𝐵) → (𝑧(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
68	63, 67	sstrd 3933	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 + ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ≤ 𝐵) → (𝑧(,)(𝑧 + ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
69		ovolss 25462	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑧(,)(𝑧 + ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))) ⊆ (𝐴(,)𝐵) ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ) → (vol‘(𝑧(,)(𝑧 + ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)))) ≤ (vol‘(𝐴(,)𝐵)))
70	68, 16, 69	sylancl 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 + ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ≤ 𝐵) → (vol‘(𝑧(,)(𝑧 + ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)))) ≤ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)))
71	61, 70	eqbrtrrd 5110	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 + ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ≤ 𝐵) → ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1) ≤ (vol‘(𝐴(,)𝐵)))
72	71	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → ((𝑧 + ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ≤ 𝐵 → ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1) ≤ (vol‘(𝐴(,)𝐵))))
73	54, 33	xrlenltd 11202	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → ((𝑧 + ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < (𝑧 + ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))))
74	72, 73, 47	3imtr3d 293	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (¬ 𝐵 < (𝑧 + ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) → ¬ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) < ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)))
75	13, 74	mt4d 117	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → 𝐵 < (𝑧 + ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)))
76		xrre2 13113	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑧 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ (𝑧 + ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ∈ ℝ^) ∧ (𝑧 < 𝐵 ∧ 𝐵 < (𝑧 + ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)))) → 𝐵 ∈ ℝ)
77	11, 33, 54, 36, 75, 76	syl32anc 1381	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
78	52, 77	jca 511	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
79	78	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)))
80	79	exlimiv 1932	. . 3 ⊢ (∃𝑧 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)))
81	1, 80	sylbi 217	. 2 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ≠ ∅ → ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)))
82	81	imp 406	1 ⊢ (((𝐴(,)𝐵) ≠ ∅ ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ∧ wa 395 = wceq 1542 ∃wex 1781 ∈ wcel 2114 ≠ wne 2933 ⊆ wss 3890 ∅c0 4274 class class class wbr 5086 ‘cfv 6492 (class class class)co 7360 ℝcr 11028 0cc0 11029 1c1 11030 + caddc 11032 ℝ^*cxr 11169 < clt 11170 ≤ cle 11171 − cmin 11368 (,)cioo 13289 vol*covol 25439

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1912 ax-6 1969 ax-7 2010 ax-8 2116 ax-9 2124 ax-10 2147 ax-11 2163 ax-12 2185 ax-ext 2709 ax-rep 5212 ax-sep 5231 ax-nul 5241 ax-pow 5302 ax-pr 5370 ax-un 7682 ax-inf2 9553 ax-cnex 11085 ax-resscn 11086 ax-1cn 11087 ax-icn 11088 ax-addcl 11089 ax-addrcl 11090 ax-mulcl 11091 ax-mulrcl 11092 ax-mulcom 11093 ax-addass 11094 ax-mulass 11095 ax-distr 11096 ax-i2m1 11097 ax-1ne0 11098 ax-1rid 11099 ax-rnegex 11100 ax-rrecex 11101 ax-cnre 11102 ax-pre-lttri 11103 ax-pre-lttrn 11104 ax-pre-ltadd 11105 ax-pre-mulgt0 11106 ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 849 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2069 df-mo 2540 df-eu 2570 df-clab 2716 df-cleq 2729 df-clel 2812 df-nfc 2886 df-ne 2934 df-nel 3038 df-ral 3053 df-rex 3063 df-rmo 3343 df-reu 3344 df-rab 3391 df-v 3432 df-sbc 3730 df-csb 3839 df-dif 3893 df-un 3895 df-in 3897 df-ss 3907 df-pss 3910 df-nul 4275 df-if 4468 df-pw 4544 df-sn 4569 df-pr 4571 df-op 4575 df-uni 4852 df-int 4891 df-iun 4936 df-br 5087 df-opab 5149 df-mpt 5168 df-tr 5194 df-id 5519 df-eprel 5524 df-po 5532 df-so 5533 df-fr 5577 df-se 5578 df-we 5579 df-xp 5630 df-rel 5631 df-cnv 5632 df-co 5633 df-dm 5634 df-rn 5635 df-res 5636 df-ima 5637 df-pred 6259 df-ord 6320 df-on 6321 df-lim 6322 df-suc 6323 df-iota 6448 df-fun 6494 df-fn 6495 df-f 6496 df-f1 6497 df-fo 6498 df-f1o 6499 df-fv 6500 df-isom 6501 df-riota 7317 df-ov 7363 df-oprab 7364 df-mpo 7365 df-of 7624 df-om 7811 df-1st 7935 df-2nd 7936 df-frecs 8224 df-wrecs 8255 df-recs 8304 df-rdg 8342 df-1o 8398 df-2o 8399 df-er 8636 df-map 8768 df-pm 8769 df-en 8887 df-dom 8888 df-sdom 8889 df-fin 8890 df-fi 9317 df-sup 9348 df-inf 9349 df-oi 9418 df-dju 9816 df-card 9854 df-pnf 11172 df-mnf 11173 df-xr 11174 df-ltxr 11175 df-le 11176 df-sub 11370 df-neg 11371 df-div 11799 df-nn 12166 df-2 12235 df-3 12236 df-n0 12429 df-z 12516 df-uz 12780 df-q 12890 df-rp 12934 df-xneg 13054 df-xadd 13055 df-xmul 13056 df-ioo 13293 df-ico 13295 df-icc 13296 df-fz 13453 df-fzo 13600 df-fl 13742 df-seq 13955 df-exp 14015 df-hash 14284 df-cj 15052 df-re 15053 df-im 15054 df-sqrt 15188 df-abs 15189 df-clim 15441 df-rlim 15442 df-sum 15640 df-rest 17376 df-topgen 17397 df-psmet 21336 df-xmet 21337 df-met 21338 df-bl 21339 df-mopn 21340 df-top 22869 df-topon 22886 df-bases 22921 df-cmp 23362 df-ovol 25441 df-vol 25442

This theorem is referenced by: ioorcl 25554

W3C validator