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Theorem ioorcl2 25564

Description: An open interval with finite volume has real endpoints. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.)

**Assertion**
Ref	Expression
ioorcl2	⊢ (((𝐴(,)𝐵) ≠ ∅ ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))

Proof of Theorem ioorcl2 Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0 4288	. . 3 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵))
2		elioore 13326	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑧 ∈ ℝ)
3	2	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℝ)
4		peano2re 11317	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ → ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1) ∈ ℝ)
5	4	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1) ∈ ℝ)
6	3, 5	resubcld 11576	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (𝑧 − ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ∈ ℝ)
7	6	rexrd 11193	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (𝑧 − ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ∈ ℝ^*)
8		eliooxr 13355	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^*))
9	8	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ℝ^ ∧ 𝐵 ∈ ℝ^*))
10	9	simpld 495	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ^)
11	3	rexrd 11193	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℝ^)
12		ltp1 11993	. . . . . . . . 9 ⊢ ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) < ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))
13	12	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) < ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))
14		0red 11145	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → 0 ∈ ℝ)
15		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ)
16		ioossre 13358	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
17		ovolge0 25473	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ → 0 ≤ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)))
18	16, 17	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → 0 ≤ (vol‘(𝐴(,)𝐵)))
19		lep1 11994	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ≤ ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))
20	19	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ≤ ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))
21	14, 15, 5, 18, 20	letrd 11301	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → 0 ≤ ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))
22	3, 5	subge02d 11740	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (0 ≤ ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1) ↔ (𝑧 − ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ≤ 𝑧))
23	21, 22	mpbid 233	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (𝑧 − ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ≤ 𝑧)
24		ovolioo 25560	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑧 − ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑧 − ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ≤ 𝑧) → (vol‘((𝑧 − ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))(,)𝑧)) = (𝑧 − (𝑧 − ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))))
25	6, 3, 23, 24	syl3anc 1379	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (vol‘((𝑧 − ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))(,)𝑧)) = (𝑧 − (𝑧 − ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))))
26	3	recnd 11171	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℂ)
27	5	recnd 11171	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1) ∈ ℂ)
28	26, 27	nncand 11508	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (𝑧 − (𝑧 − ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))) = ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))
29	25, 28	eqtrd 2775	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (vol‘((𝑧 − ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))(,)𝑧)) = ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))
30	29	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ (𝑧 − ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))) → (vol‘((𝑧 − ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))(,)𝑧)) = ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))
31		iooss1 13331	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≤ (𝑧 − ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))) → ((𝑧 − ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))(,)𝑧) ⊆ (𝐴(,)𝑧))
32	10, 31	sylan 586	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ (𝑧 − ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))) → ((𝑧 − ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))(,)𝑧) ⊆ (𝐴(,)𝑧))
33	9	simprd 496	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ^)
34		eliooord 13356	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝐵))
35	34	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝐵))
36	35	simprd 496	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → 𝑧 < 𝐵)
37	11, 33, 36	xrltled 13099	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → 𝑧 ≤ 𝐵)
38		iooss2 13332	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝑧 ≤ 𝐵) → (𝐴(,)𝑧) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
39	33, 37, 38	syl2anc 590	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (𝐴(,)𝑧) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
40	39	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ (𝑧 − ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))) → (𝐴(,)𝑧) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
41	32, 40	sstrd 3932	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ (𝑧 − ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))) → ((𝑧 − ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))(,)𝑧) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
42		ovolss 25477	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑧 − ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))(,)𝑧) ⊆ (𝐴(,)𝐵) ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ) → (vol‘((𝑧 − ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))(,)𝑧)) ≤ (vol‘(𝐴(,)𝐵)))
43	41, 16, 42	sylancl 592	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ (𝑧 − ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))) → (vol‘((𝑧 − ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))(,)𝑧)) ≤ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)))
44	30, 43	eqbrtrrd 5103	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ (𝑧 − ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))) → ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1) ≤ (vol‘(𝐴(,)𝐵)))
45	44	ex 413	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ (𝑧 − ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) → ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1) ≤ (vol‘(𝐴(,)𝐵))))
46	10, 7	xrlenltd 11209	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ (𝑧 − ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ↔ ¬ (𝑧 − ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) < 𝐴))
47	5, 15	lenltd 11290	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1) ≤ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ↔ ¬ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) < ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)))
48	45, 46, 47	3imtr3d 294	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (¬ (𝑧 − ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) < 𝐴 → ¬ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) < ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)))
49	13, 48	mt4d 117	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (𝑧 − ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) < 𝐴)
50	35	simpld 495	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → 𝐴 < 𝑧)
51		xrre2 13120	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑧 − ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ∈ ℝ^ ∧ 𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝑧 ∈ ℝ^) ∧ ((𝑧 − ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝑧)) → 𝐴 ∈ ℝ)
52	7, 10, 11, 49, 50, 51	syl32anc 1386	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
53	3, 5	readdcld 11172	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (𝑧 + ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ∈ ℝ)
54	53	rexrd 11193	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (𝑧 + ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ∈ ℝ^*)
55	3, 5	addge01d 11736	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (0 ≤ ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1) ↔ 𝑧 ≤ (𝑧 + ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))))
56	21, 55	mpbid 233	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → 𝑧 ≤ (𝑧 + ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)))
57		ovolioo 25560	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑧 + ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ∈ ℝ ∧ 𝑧 ≤ (𝑧 + ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))) → (vol‘(𝑧(,)(𝑧 + ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)))) = ((𝑧 + ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) − 𝑧))
58	3, 53, 56, 57	syl3anc 1379	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (vol‘(𝑧(,)(𝑧 + ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)))) = ((𝑧 + ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) − 𝑧))
59	26, 27	pncan2d 11505	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → ((𝑧 + ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) − 𝑧) = ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))
60	58, 59	eqtrd 2775	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (vol‘(𝑧(,)(𝑧 + ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)))) = ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))
61	60	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 + ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ≤ 𝐵) → (vol‘(𝑧(,)(𝑧 + ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)))) = ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))
62		iooss2 13332	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ^* ∧ (𝑧 + ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ≤ 𝐵) → (𝑧(,)(𝑧 + ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))) ⊆ (𝑧(,)𝐵))
63	33, 62	sylan 586	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 + ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ≤ 𝐵) → (𝑧(,)(𝑧 + ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))) ⊆ (𝑧(,)𝐵))
64	10, 11, 50	xrltled 13099	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → 𝐴 ≤ 𝑧)
65		iooss1 13331	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≤ 𝑧) → (𝑧(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
66	10, 64, 65	syl2anc 590	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (𝑧(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
67	66	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 + ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ≤ 𝐵) → (𝑧(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
68	63, 67	sstrd 3932	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 + ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ≤ 𝐵) → (𝑧(,)(𝑧 + ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
69		ovolss 25477	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑧(,)(𝑧 + ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))) ⊆ (𝐴(,)𝐵) ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ) → (vol‘(𝑧(,)(𝑧 + ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)))) ≤ (vol‘(𝐴(,)𝐵)))
70	68, 16, 69	sylancl 592	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 + ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ≤ 𝐵) → (vol‘(𝑧(,)(𝑧 + ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)))) ≤ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)))
71	61, 70	eqbrtrrd 5103	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 + ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ≤ 𝐵) → ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1) ≤ (vol‘(𝐴(,)𝐵)))
72	71	ex 413	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → ((𝑧 + ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ≤ 𝐵 → ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1) ≤ (vol‘(𝐴(,)𝐵))))
73	54, 33	xrlenltd 11209	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → ((𝑧 + ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < (𝑧 + ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))))
74	72, 73, 47	3imtr3d 294	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (¬ 𝐵 < (𝑧 + ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) → ¬ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) < ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)))
75	13, 74	mt4d 117	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → 𝐵 < (𝑧 + ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)))
76		xrre2 13120	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑧 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ (𝑧 + ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ∈ ℝ^) ∧ (𝑧 < 𝐵 ∧ 𝐵 < (𝑧 + ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)))) → 𝐵 ∈ ℝ)
77	11, 33, 54, 36, 75, 76	syl32anc 1386	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
78	52, 77	jca 516	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
79	78	ex 413	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)))
80	79	exlimiv 1937	. . 3 ⊢ (∃𝑧 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)))
81	1, 80	sylbi 218	. 2 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ≠ ∅ → ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)))
82	81	imp 407	1 ⊢ (((𝐴(,)𝐵) ≠ ∅ ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ∧ wa 396 = wceq 1547 ∃wex 1786 ∈ wcel 2119 ≠ wne 2935 ⊆ wss 3890 ∅c0 4268 class class class wbr 5079 ‘cfv 6492 (class class class)co 7363 ℝcr 11035 0cc0 11036 1c1 11037 + caddc 11039 ℝ^*cxr 11176 < clt 11177 ≤ cle 11178 − cmin 11375 (,)cioo 13296 vol*covol 25454

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1802 ax-4 1816 ax-5 1917 ax-6 1974 ax-7 2015 ax-8 2121 ax-9 2129 ax-10 2152 ax-11 2168 ax-12 2189 ax-ext 2712 ax-rep 5206 ax-sep 5225 ax-nul 5235 ax-pow 5301 ax-pr 5369 ax-un 7685 ax-inf2 9560 ax-cnex 11092 ax-resscn 11093 ax-1cn 11094 ax-icn 11095 ax-addcl 11096 ax-addrcl 11097 ax-mulcl 11098 ax-mulrcl 11099 ax-mulcom 11100 ax-addass 11101 ax-mulass 11102 ax-distr 11103 ax-i2m1 11104 ax-1ne0 11105 ax-1rid 11106 ax-rnegex 11107 ax-rrecex 11108 ax-cnre 11109 ax-pre-lttri 11110 ax-pre-lttrn 11111 ax-pre-ltadd 11112 ax-pre-mulgt0 11113 ax-pre-sup 11114

This theorem depends on definitions: df-bi 208 df-an 397 df-or 854 df-3or 1093 df-3an 1094 df-tru 1550 df-fal 1560 df-ex 1787 df-nf 1791 df-sb 2074 df-mo 2543 df-eu 2573 df-clab 2719 df-cleq 2732 df-clel 2815 df-nfc 2889 df-ne 2936 df-nel 3040 df-ral 3055 df-rex 3065 df-rmo 3345 df-reu 3346 df-rab 3393 df-v 3434 df-sbc 3731 df-csb 3839 df-dif 3893 df-un 3895 df-in 3897 df-ss 3907 df-pss 3910 df-nul 4269 df-if 4462 df-pw 4538 df-sn 4563 df-pr 4565 df-op 4569 df-uni 4846 df-int 4885 df-iun 4930 df-br 5080 df-opab 5142 df-mpt 5161 df-tr 5187 df-id 5520 df-eprel 5525 df-po 5533 df-so 5534 df-fr 5578 df-se 5579 df-we 5580 df-xp 5631 df-rel 5632 df-cnv 5633 df-co 5634 df-dm 5635 df-rn 5636 df-res 5637 df-ima 5638 df-pred 6259 df-ord 6320 df-on 6321 df-lim 6322 df-suc 6323 df-iota 6448 df-fun 6494 df-fn 6495 df-f 6496 df-f1 6497 df-fo 6498 df-f1o 6499 df-fv 6500 df-isom 6501 df-riota 7320 df-ov 7366 df-oprab 7367 df-mpo 7368 df-of 7627 df-om 7814 df-1st 7938 df-2nd 7939 df-frecs 8228 df-wrecs 8259 df-recs 8308 df-rdg 8346 df-1o 8402 df-2o 8403 df-er 8640 df-map 8772 df-pm 8773 df-en 8891 df-dom 8892 df-sdom 8893 df-fin 8894 df-fi 9321 df-sup 9352 df-inf 9353 df-oi 9422 df-dju 9823 df-card 9861 df-pnf 11179 df-mnf 11180 df-xr 11181 df-ltxr 11182 df-le 11183 df-sub 11377 df-neg 11378 df-div 11806 df-nn 12173 df-2 12242 df-3 12243 df-n0 12436 df-z 12523 df-uz 12787 df-q 12897 df-rp 12941 df-xneg 13061 df-xadd 13062 df-xmul 13063 df-ioo 13300 df-ico 13302 df-icc 13303 df-fz 13460 df-fzo 13607 df-fl 13749 df-seq 13962 df-exp 14022 df-hash 14291 df-cj 15059 df-re 15060 df-im 15061 df-sqrt 15195 df-abs 15196 df-clim 15448 df-rlim 15449 df-sum 15647 df-rest 17383 df-topgen 17404 df-psmet 21346 df-xmet 21347 df-met 21348 df-bl 21349 df-mopn 21350 df-top 22884 df-topon 22901 df-bases 22936 df-cmp 23377 df-ovol 25456 df-vol 25457

This theorem is referenced by: ioorcl 25569

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