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Theorem ioorcl2 25088

Description: An open interval with finite volume has real endpoints. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.)

**Assertion**
Ref	Expression
ioorcl2	⊢ (((𝐴(,)𝐵) ≠ ∅ ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))

Proof of Theorem ioorcl2 Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0 4346	. . 3 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵))
2		elioore 13353	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑧 ∈ ℝ)
3	2	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℝ)
4		peano2re 11386	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ → ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1) ∈ ℝ)
5	4	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1) ∈ ℝ)
6	3, 5	resubcld 11641	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (𝑧 − ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ∈ ℝ)
7	6	rexrd 11263	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (𝑧 − ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ∈ ℝ^*)
8		eliooxr 13381	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^*))
9	8	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ℝ^ ∧ 𝐵 ∈ ℝ^*))
10	9	simpld 495	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ^)
11	3	rexrd 11263	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℝ^)
12		ltp1 12053	. . . . . . . . 9 ⊢ ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) < ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))
13	12	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) < ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))
14		0red 11216	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → 0 ∈ ℝ)
15		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ)
16		ioossre 13384	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
17		ovolge0 24997	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ → 0 ≤ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)))
18	16, 17	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → 0 ≤ (vol‘(𝐴(,)𝐵)))
19		lep1 12054	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ≤ ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))
20	19	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ≤ ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))
21	14, 15, 5, 18, 20	letrd 11370	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → 0 ≤ ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))
22	3, 5	subge02d 11805	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (0 ≤ ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1) ↔ (𝑧 − ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ≤ 𝑧))
23	21, 22	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (𝑧 − ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ≤ 𝑧)
24		ovolioo 25084	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑧 − ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑧 − ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ≤ 𝑧) → (vol‘((𝑧 − ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))(,)𝑧)) = (𝑧 − (𝑧 − ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))))
25	6, 3, 23, 24	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (vol‘((𝑧 − ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))(,)𝑧)) = (𝑧 − (𝑧 − ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))))
26	3	recnd 11241	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℂ)
27	5	recnd 11241	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1) ∈ ℂ)
28	26, 27	nncand 11575	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (𝑧 − (𝑧 − ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))) = ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))
29	25, 28	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (vol‘((𝑧 − ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))(,)𝑧)) = ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))
30	29	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ (𝑧 − ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))) → (vol‘((𝑧 − ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))(,)𝑧)) = ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))
31		iooss1 13358	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≤ (𝑧 − ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))) → ((𝑧 − ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))(,)𝑧) ⊆ (𝐴(,)𝑧))
32	10, 31	sylan 580	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ (𝑧 − ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))) → ((𝑧 − ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))(,)𝑧) ⊆ (𝐴(,)𝑧))
33	9	simprd 496	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ^)
34		eliooord 13382	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝐵))
35	34	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝐵))
36	35	simprd 496	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → 𝑧 < 𝐵)
37	11, 33, 36	xrltled 13128	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → 𝑧 ≤ 𝐵)
38		iooss2 13359	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝑧 ≤ 𝐵) → (𝐴(,)𝑧) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
39	33, 37, 38	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (𝐴(,)𝑧) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
40	39	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ (𝑧 − ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))) → (𝐴(,)𝑧) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
41	32, 40	sstrd 3992	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ (𝑧 − ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))) → ((𝑧 − ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))(,)𝑧) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
42		ovolss 25001	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑧 − ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))(,)𝑧) ⊆ (𝐴(,)𝐵) ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ) → (vol‘((𝑧 − ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))(,)𝑧)) ≤ (vol‘(𝐴(,)𝐵)))
43	41, 16, 42	sylancl 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ (𝑧 − ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))) → (vol‘((𝑧 − ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))(,)𝑧)) ≤ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)))
44	30, 43	eqbrtrrd 5172	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ (𝑧 − ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))) → ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1) ≤ (vol‘(𝐴(,)𝐵)))
45	44	ex 413	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ (𝑧 − ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) → ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1) ≤ (vol‘(𝐴(,)𝐵))))
46	10, 7	xrlenltd 11279	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ (𝑧 − ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ↔ ¬ (𝑧 − ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) < 𝐴))
47	5, 15	lenltd 11359	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1) ≤ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ↔ ¬ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) < ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)))
48	45, 46, 47	3imtr3d 292	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (¬ (𝑧 − ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) < 𝐴 → ¬ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) < ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)))
49	13, 48	mt4d 117	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (𝑧 − ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) < 𝐴)
50	35	simpld 495	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → 𝐴 < 𝑧)
51		xrre2 13148	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑧 − ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ∈ ℝ^ ∧ 𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝑧 ∈ ℝ^) ∧ ((𝑧 − ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝑧)) → 𝐴 ∈ ℝ)
52	7, 10, 11, 49, 50, 51	syl32anc 1378	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
53	3, 5	readdcld 11242	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (𝑧 + ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ∈ ℝ)
54	53	rexrd 11263	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (𝑧 + ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ∈ ℝ^*)
55	3, 5	addge01d 11801	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (0 ≤ ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1) ↔ 𝑧 ≤ (𝑧 + ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))))
56	21, 55	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → 𝑧 ≤ (𝑧 + ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)))
57		ovolioo 25084	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑧 + ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ∈ ℝ ∧ 𝑧 ≤ (𝑧 + ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))) → (vol‘(𝑧(,)(𝑧 + ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)))) = ((𝑧 + ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) − 𝑧))
58	3, 53, 56, 57	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (vol‘(𝑧(,)(𝑧 + ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)))) = ((𝑧 + ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) − 𝑧))
59	26, 27	pncan2d 11572	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → ((𝑧 + ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) − 𝑧) = ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))
60	58, 59	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (vol‘(𝑧(,)(𝑧 + ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)))) = ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))
61	60	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 + ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ≤ 𝐵) → (vol‘(𝑧(,)(𝑧 + ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)))) = ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))
62		iooss2 13359	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ^* ∧ (𝑧 + ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ≤ 𝐵) → (𝑧(,)(𝑧 + ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))) ⊆ (𝑧(,)𝐵))
63	33, 62	sylan 580	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 + ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ≤ 𝐵) → (𝑧(,)(𝑧 + ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))) ⊆ (𝑧(,)𝐵))
64	10, 11, 50	xrltled 13128	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → 𝐴 ≤ 𝑧)
65		iooss1 13358	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≤ 𝑧) → (𝑧(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
66	10, 64, 65	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (𝑧(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
67	66	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 + ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ≤ 𝐵) → (𝑧(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
68	63, 67	sstrd 3992	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 + ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ≤ 𝐵) → (𝑧(,)(𝑧 + ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
69		ovolss 25001	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑧(,)(𝑧 + ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))) ⊆ (𝐴(,)𝐵) ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ) → (vol‘(𝑧(,)(𝑧 + ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)))) ≤ (vol‘(𝐴(,)𝐵)))
70	68, 16, 69	sylancl 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 + ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ≤ 𝐵) → (vol‘(𝑧(,)(𝑧 + ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)))) ≤ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)))
71	61, 70	eqbrtrrd 5172	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 + ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ≤ 𝐵) → ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1) ≤ (vol‘(𝐴(,)𝐵)))
72	71	ex 413	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → ((𝑧 + ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ≤ 𝐵 → ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1) ≤ (vol‘(𝐴(,)𝐵))))
73	54, 33	xrlenltd 11279	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → ((𝑧 + ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < (𝑧 + ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))))
74	72, 73, 47	3imtr3d 292	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (¬ 𝐵 < (𝑧 + ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) → ¬ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) < ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)))
75	13, 74	mt4d 117	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → 𝐵 < (𝑧 + ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)))
76		xrre2 13148	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑧 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ (𝑧 + ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ∈ ℝ^) ∧ (𝑧 < 𝐵 ∧ 𝐵 < (𝑧 + ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)))) → 𝐵 ∈ ℝ)
77	11, 33, 54, 36, 75, 76	syl32anc 1378	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
78	52, 77	jca 512	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
79	78	ex 413	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)))
80	79	exlimiv 1933	. . 3 ⊢ (∃𝑧 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)))
81	1, 80	sylbi 216	. 2 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ≠ ∅ → ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)))
82	81	imp 407	1 ⊢ (((𝐴(,)𝐵) ≠ ∅ ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ∧ wa 396 = wceq 1541 ∃wex 1781 ∈ wcel 2106 ≠ wne 2940 ⊆ wss 3948 ∅c0 4322 class class class wbr 5148 ‘cfv 6543 (class class class)co 7408 ℝcr 11108 0cc0 11109 1c1 11110 + caddc 11112 ℝ^*cxr 11246 < clt 11247 ≤ cle 11248 − cmin 11443 (,)cioo 13323 vol*covol 24978

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2703 ax-rep 5285 ax-sep 5299 ax-nul 5306 ax-pow 5363 ax-pr 5427 ax-un 7724 ax-inf2 9635 ax-cnex 11165 ax-resscn 11166 ax-1cn 11167 ax-icn 11168 ax-addcl 11169 ax-addrcl 11170 ax-mulcl 11171 ax-mulrcl 11172 ax-mulcom 11173 ax-addass 11174 ax-mulass 11175 ax-distr 11176 ax-i2m1 11177 ax-1ne0 11178 ax-1rid 11179 ax-rnegex 11180 ax-rrecex 11181 ax-cnre 11182 ax-pre-lttri 11183 ax-pre-lttrn 11184 ax-pre-ltadd 11185 ax-pre-mulgt0 11186 ax-pre-sup 11187

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 846 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2068 df-mo 2534 df-eu 2563 df-clab 2710 df-cleq 2724 df-clel 2810 df-nfc 2885 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3062 df-rex 3071 df-rmo 3376 df-reu 3377 df-rab 3433 df-v 3476 df-sbc 3778 df-csb 3894 df-dif 3951 df-un 3953 df-in 3955 df-ss 3965 df-pss 3967 df-nul 4323 df-if 4529 df-pw 4604 df-sn 4629 df-pr 4631 df-op 4635 df-uni 4909 df-int 4951 df-iun 4999 df-br 5149 df-opab 5211 df-mpt 5232 df-tr 5266 df-id 5574 df-eprel 5580 df-po 5588 df-so 5589 df-fr 5631 df-se 5632 df-we 5633 df-xp 5682 df-rel 5683 df-cnv 5684 df-co 5685 df-dm 5686 df-rn 5687 df-res 5688 df-ima 5689 df-pred 6300 df-ord 6367 df-on 6368 df-lim 6369 df-suc 6370 df-iota 6495 df-fun 6545 df-fn 6546 df-f 6547 df-f1 6548 df-fo 6549 df-f1o 6550 df-fv 6551 df-isom 6552 df-riota 7364 df-ov 7411 df-oprab 7412 df-mpo 7413 df-of 7669 df-om 7855 df-1st 7974 df-2nd 7975 df-frecs 8265 df-wrecs 8296 df-recs 8370 df-rdg 8409 df-1o 8465 df-2o 8466 df-er 8702 df-map 8821 df-pm 8822 df-en 8939 df-dom 8940 df-sdom 8941 df-fin 8942 df-fi 9405 df-sup 9436 df-inf 9437 df-oi 9504 df-dju 9895 df-card 9933 df-pnf 11249 df-mnf 11250 df-xr 11251 df-ltxr 11252 df-le 11253 df-sub 11445 df-neg 11446 df-div 11871 df-nn 12212 df-2 12274 df-3 12275 df-n0 12472 df-z 12558 df-uz 12822 df-q 12932 df-rp 12974 df-xneg 13091 df-xadd 13092 df-xmul 13093 df-ioo 13327 df-ico 13329 df-icc 13330 df-fz 13484 df-fzo 13627 df-fl 13756 df-seq 13966 df-exp 14027 df-hash 14290 df-cj 15045 df-re 15046 df-im 15047 df-sqrt 15181 df-abs 15182 df-clim 15431 df-rlim 15432 df-sum 15632 df-rest 17367 df-topgen 17388 df-psmet 20935 df-xmet 20936 df-met 20937 df-bl 20938 df-mopn 20939 df-top 22395 df-topon 22412 df-bases 22448 df-cmp 22890 df-ovol 24980 df-vol 24981

This theorem is referenced by: ioorcl 25093

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