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Theorem ioorcl2 25529

Description: An open interval with finite volume has real endpoints. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.)

**Assertion**
Ref	Expression
ioorcl2	⊢ (((𝐴(,)𝐵) ≠ ∅ ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))

Proof of Theorem ioorcl2 Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0 4305	. . 3 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵))
2		elioore 13291	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑧 ∈ ℝ)
3	2	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℝ)
4		peano2re 11306	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ → ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1) ∈ ℝ)
5	4	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1) ∈ ℝ)
6	3, 5	resubcld 11565	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (𝑧 − ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ∈ ℝ)
7	6	rexrd 11182	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (𝑧 − ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ∈ ℝ^*)
8		eliooxr 13320	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^*))
9	8	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ℝ^ ∧ 𝐵 ∈ ℝ^*))
10	9	simpld 494	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ^)
11	3	rexrd 11182	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℝ^)
12		ltp1 11981	. . . . . . . . 9 ⊢ ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) < ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))
13	12	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) < ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))
14		0red 11135	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → 0 ∈ ℝ)
15		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ)
16		ioossre 13323	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
17		ovolge0 25438	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ → 0 ≤ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)))
18	16, 17	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → 0 ≤ (vol‘(𝐴(,)𝐵)))
19		lep1 11982	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ≤ ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))
20	19	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ≤ ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))
21	14, 15, 5, 18, 20	letrd 11290	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → 0 ≤ ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))
22	3, 5	subge02d 11729	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (0 ≤ ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1) ↔ (𝑧 − ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ≤ 𝑧))
23	21, 22	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (𝑧 − ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ≤ 𝑧)
24		ovolioo 25525	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑧 − ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑧 − ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ≤ 𝑧) → (vol‘((𝑧 − ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))(,)𝑧)) = (𝑧 − (𝑧 − ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))))
25	6, 3, 23, 24	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (vol‘((𝑧 − ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))(,)𝑧)) = (𝑧 − (𝑧 − ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))))
26	3	recnd 11160	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℂ)
27	5	recnd 11160	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1) ∈ ℂ)
28	26, 27	nncand 11497	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (𝑧 − (𝑧 − ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))) = ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))
29	25, 28	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (vol‘((𝑧 − ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))(,)𝑧)) = ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))
30	29	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ (𝑧 − ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))) → (vol‘((𝑧 − ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))(,)𝑧)) = ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))
31		iooss1 13296	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≤ (𝑧 − ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))) → ((𝑧 − ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))(,)𝑧) ⊆ (𝐴(,)𝑧))
32	10, 31	sylan 580	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ (𝑧 − ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))) → ((𝑧 − ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))(,)𝑧) ⊆ (𝐴(,)𝑧))
33	9	simprd 495	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ^)
34		eliooord 13321	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝐵))
35	34	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝐵))
36	35	simprd 495	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → 𝑧 < 𝐵)
37	11, 33, 36	xrltled 13064	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → 𝑧 ≤ 𝐵)
38		iooss2 13297	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝑧 ≤ 𝐵) → (𝐴(,)𝑧) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
39	33, 37, 38	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (𝐴(,)𝑧) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
40	39	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ (𝑧 − ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))) → (𝐴(,)𝑧) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
41	32, 40	sstrd 3944	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ (𝑧 − ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))) → ((𝑧 − ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))(,)𝑧) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
42		ovolss 25442	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑧 − ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))(,)𝑧) ⊆ (𝐴(,)𝐵) ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ) → (vol‘((𝑧 − ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))(,)𝑧)) ≤ (vol‘(𝐴(,)𝐵)))
43	41, 16, 42	sylancl 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ (𝑧 − ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))) → (vol‘((𝑧 − ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))(,)𝑧)) ≤ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)))
44	30, 43	eqbrtrrd 5122	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ (𝑧 − ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))) → ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1) ≤ (vol‘(𝐴(,)𝐵)))
45	44	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ (𝑧 − ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) → ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1) ≤ (vol‘(𝐴(,)𝐵))))
46	10, 7	xrlenltd 11198	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ (𝑧 − ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ↔ ¬ (𝑧 − ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) < 𝐴))
47	5, 15	lenltd 11279	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1) ≤ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ↔ ¬ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) < ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)))
48	45, 46, 47	3imtr3d 293	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (¬ (𝑧 − ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) < 𝐴 → ¬ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) < ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)))
49	13, 48	mt4d 117	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (𝑧 − ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) < 𝐴)
50	35	simpld 494	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → 𝐴 < 𝑧)
51		xrre2 13085	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑧 − ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ∈ ℝ^ ∧ 𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝑧 ∈ ℝ^) ∧ ((𝑧 − ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝑧)) → 𝐴 ∈ ℝ)
52	7, 10, 11, 49, 50, 51	syl32anc 1380	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
53	3, 5	readdcld 11161	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (𝑧 + ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ∈ ℝ)
54	53	rexrd 11182	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (𝑧 + ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ∈ ℝ^*)
55	3, 5	addge01d 11725	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (0 ≤ ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1) ↔ 𝑧 ≤ (𝑧 + ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))))
56	21, 55	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → 𝑧 ≤ (𝑧 + ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)))
57		ovolioo 25525	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑧 + ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ∈ ℝ ∧ 𝑧 ≤ (𝑧 + ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))) → (vol‘(𝑧(,)(𝑧 + ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)))) = ((𝑧 + ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) − 𝑧))
58	3, 53, 56, 57	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (vol‘(𝑧(,)(𝑧 + ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)))) = ((𝑧 + ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) − 𝑧))
59	26, 27	pncan2d 11494	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → ((𝑧 + ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) − 𝑧) = ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))
60	58, 59	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (vol‘(𝑧(,)(𝑧 + ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)))) = ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))
61	60	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 + ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ≤ 𝐵) → (vol‘(𝑧(,)(𝑧 + ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)))) = ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))
62		iooss2 13297	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ^* ∧ (𝑧 + ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ≤ 𝐵) → (𝑧(,)(𝑧 + ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))) ⊆ (𝑧(,)𝐵))
63	33, 62	sylan 580	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 + ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ≤ 𝐵) → (𝑧(,)(𝑧 + ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))) ⊆ (𝑧(,)𝐵))
64	10, 11, 50	xrltled 13064	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → 𝐴 ≤ 𝑧)
65		iooss1 13296	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≤ 𝑧) → (𝑧(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
66	10, 64, 65	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (𝑧(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
67	66	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 + ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ≤ 𝐵) → (𝑧(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
68	63, 67	sstrd 3944	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 + ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ≤ 𝐵) → (𝑧(,)(𝑧 + ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
69		ovolss 25442	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑧(,)(𝑧 + ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))) ⊆ (𝐴(,)𝐵) ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ) → (vol‘(𝑧(,)(𝑧 + ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)))) ≤ (vol‘(𝐴(,)𝐵)))
70	68, 16, 69	sylancl 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 + ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ≤ 𝐵) → (vol‘(𝑧(,)(𝑧 + ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)))) ≤ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)))
71	61, 70	eqbrtrrd 5122	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 + ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ≤ 𝐵) → ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1) ≤ (vol‘(𝐴(,)𝐵)))
72	71	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → ((𝑧 + ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ≤ 𝐵 → ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1) ≤ (vol‘(𝐴(,)𝐵))))
73	54, 33	xrlenltd 11198	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → ((𝑧 + ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < (𝑧 + ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))))
74	72, 73, 47	3imtr3d 293	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (¬ 𝐵 < (𝑧 + ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) → ¬ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) < ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)))
75	13, 74	mt4d 117	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → 𝐵 < (𝑧 + ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)))
76		xrre2 13085	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑧 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ (𝑧 + ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ∈ ℝ^) ∧ (𝑧 < 𝐵 ∧ 𝐵 < (𝑧 + ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)))) → 𝐵 ∈ ℝ)
77	11, 33, 54, 36, 75, 76	syl32anc 1380	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
78	52, 77	jca 511	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
79	78	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)))
80	79	exlimiv 1931	. . 3 ⊢ (∃𝑧 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)))
81	1, 80	sylbi 217	. 2 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ≠ ∅ → ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)))
82	81	imp 406	1 ⊢ (((𝐴(,)𝐵) ≠ ∅ ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ∧ wa 395 = wceq 1541 ∃wex 1780 ∈ wcel 2113 ≠ wne 2932 ⊆ wss 3901 ∅c0 4285 class class class wbr 5098 ‘cfv 6492 (class class class)co 7358 ℝcr 11025 0cc0 11026 1c1 11027 + caddc 11029 ℝ^*cxr 11165 < clt 11166 ≤ cle 11167 − cmin 11364 (,)cioo 13261 vol*covol 25419

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1796 ax-4 1810 ax-5 1911 ax-6 1968 ax-7 2009 ax-8 2115 ax-9 2123 ax-10 2146 ax-11 2162 ax-12 2184 ax-ext 2708 ax-rep 5224 ax-sep 5241 ax-nul 5251 ax-pow 5310 ax-pr 5377 ax-un 7680 ax-inf2 9550 ax-cnex 11082 ax-resscn 11083 ax-1cn 11084 ax-icn 11085 ax-addcl 11086 ax-addrcl 11087 ax-mulcl 11088 ax-mulrcl 11089 ax-mulcom 11090 ax-addass 11091 ax-mulass 11092 ax-distr 11093 ax-i2m1 11094 ax-1ne0 11095 ax-1rid 11096 ax-rnegex 11097 ax-rrecex 11098 ax-cnre 11099 ax-pre-lttri 11100 ax-pre-lttrn 11101 ax-pre-ltadd 11102 ax-pre-mulgt0 11103 ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1781 df-nf 1785 df-sb 2068 df-mo 2539 df-eu 2569 df-clab 2715 df-cleq 2728 df-clel 2811 df-nfc 2885 df-ne 2933 df-nel 3037 df-ral 3052 df-rex 3061 df-rmo 3350 df-reu 3351 df-rab 3400 df-v 3442 df-sbc 3741 df-csb 3850 df-dif 3904 df-un 3906 df-in 3908 df-ss 3918 df-pss 3921 df-nul 4286 df-if 4480 df-pw 4556 df-sn 4581 df-pr 4583 df-op 4587 df-uni 4864 df-int 4903 df-iun 4948 df-br 5099 df-opab 5161 df-mpt 5180 df-tr 5206 df-id 5519 df-eprel 5524 df-po 5532 df-so 5533 df-fr 5577 df-se 5578 df-we 5579 df-xp 5630 df-rel 5631 df-cnv 5632 df-co 5633 df-dm 5634 df-rn 5635 df-res 5636 df-ima 5637 df-pred 6259 df-ord 6320 df-on 6321 df-lim 6322 df-suc 6323 df-iota 6448 df-fun 6494 df-fn 6495 df-f 6496 df-f1 6497 df-fo 6498 df-f1o 6499 df-fv 6500 df-isom 6501 df-riota 7315 df-ov 7361 df-oprab 7362 df-mpo 7363 df-of 7622 df-om 7809 df-1st 7933 df-2nd 7934 df-frecs 8223 df-wrecs 8254 df-recs 8303 df-rdg 8341 df-1o 8397 df-2o 8398 df-er 8635 df-map 8765 df-pm 8766 df-en 8884 df-dom 8885 df-sdom 8886 df-fin 8887 df-fi 9314 df-sup 9345 df-inf 9346 df-oi 9415 df-dju 9813 df-card 9851 df-pnf 11168 df-mnf 11169 df-xr 11170 df-ltxr 11171 df-le 11172 df-sub 11366 df-neg 11367 df-div 11795 df-nn 12146 df-2 12208 df-3 12209 df-n0 12402 df-z 12489 df-uz 12752 df-q 12862 df-rp 12906 df-xneg 13026 df-xadd 13027 df-xmul 13028 df-ioo 13265 df-ico 13267 df-icc 13268 df-fz 13424 df-fzo 13571 df-fl 13712 df-seq 13925 df-exp 13985 df-hash 14254 df-cj 15022 df-re 15023 df-im 15024 df-sqrt 15158 df-abs 15159 df-clim 15411 df-rlim 15412 df-sum 15610 df-rest 17342 df-topgen 17363 df-psmet 21301 df-xmet 21302 df-met 21303 df-bl 21304 df-mopn 21305 df-top 22838 df-topon 22855 df-bases 22890 df-cmp 23331 df-ovol 25421 df-vol 25422

This theorem is referenced by: ioorcl 25534

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