| Step | Hyp | Ref | Expression | 
|---|
| 1 |  | n0 4353 | . . 3
⊢ ((𝐴(,)𝐵) ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) | 
| 2 |  | elioore 13417 | . . . . . . . . . 10
⊢ (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑧 ∈ ℝ) | 
| 3 | 2 | adantr 480 | . . . . . . . . 9
⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℝ) | 
| 4 |  | peano2re 11434 | . . . . . . . . . 10
⊢
((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ → ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1) ∈ ℝ) | 
| 5 | 4 | adantl 481 | . . . . . . . . 9
⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) →
((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1) ∈
ℝ) | 
| 6 | 3, 5 | resubcld 11691 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (𝑧 − ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ∈ ℝ) | 
| 7 | 6 | rexrd 11311 | . . . . . . 7
⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (𝑧 − ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ∈
ℝ*) | 
| 8 |  | eliooxr 13445 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈
ℝ*)) | 
| 9 | 8 | adantr 480 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈
ℝ*)) | 
| 10 | 9 | simpld 494 | . . . . . . 7
⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → 𝐴 ∈
ℝ*) | 
| 11 | 3 | rexrd 11311 | . . . . . . 7
⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℝ*) | 
| 12 |  | ltp1 12107 | . . . . . . . . 9
⊢
((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ → (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) < ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) | 
| 13 | 12 | adantl 481 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) < ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) | 
| 14 |  | 0red 11264 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → 0 ∈
ℝ) | 
| 15 |  | simpr 484 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) | 
| 16 |  | ioossre 13448 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ | 
| 17 |  | ovolge0 25516 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ → 0 ≤
(vol*‘(𝐴(,)𝐵))) | 
| 18 | 16, 17 | mp1i 13 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → 0 ≤
(vol*‘(𝐴(,)𝐵))) | 
| 19 |  | lep1 12108 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ → (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ≤ ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) | 
| 20 | 19 | adantl 481 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ≤ ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) | 
| 21 | 14, 15, 5, 18, 20 | letrd 11418 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → 0 ≤
((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) | 
| 22 | 3, 5 | subge02d 11855 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (0 ≤
((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1) ↔ (𝑧 − ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ≤ 𝑧)) | 
| 23 | 21, 22 | mpbid 232 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (𝑧 − ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ≤ 𝑧) | 
| 24 |  | ovolioo 25603 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝑧 − ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑧 − ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ≤ 𝑧) → (vol*‘((𝑧 − ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))(,)𝑧)) = (𝑧 − (𝑧 − ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)))) | 
| 25 | 6, 3, 23, 24 | syl3anc 1373 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) →
(vol*‘((𝑧 −
((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))(,)𝑧)) = (𝑧 − (𝑧 − ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)))) | 
| 26 | 3 | recnd 11289 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℂ) | 
| 27 | 5 | recnd 11289 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) →
((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1) ∈
ℂ) | 
| 28 | 26, 27 | nncand 11625 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (𝑧 − (𝑧 − ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))) = ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) | 
| 29 | 25, 28 | eqtrd 2777 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) →
(vol*‘((𝑧 −
((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))(,)𝑧)) = ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) | 
| 30 | 29 | adantr 480 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ (𝑧 − ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))) → (vol*‘((𝑧 − ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))(,)𝑧)) = ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) | 
| 31 |  | iooss1 13422 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐴 ≤ (𝑧 − ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))) → ((𝑧 − ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))(,)𝑧) ⊆ (𝐴(,)𝑧)) | 
| 32 | 10, 31 | sylan 580 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ (𝑧 − ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))) → ((𝑧 − ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))(,)𝑧) ⊆ (𝐴(,)𝑧)) | 
| 33 | 9 | simprd 495 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → 𝐵 ∈
ℝ*) | 
| 34 |  | eliooord 13446 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝐵)) | 
| 35 | 34 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝐵)) | 
| 36 | 35 | simprd 495 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → 𝑧 < 𝐵) | 
| 37 | 11, 33, 36 | xrltled 13192 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → 𝑧 ≤ 𝐵) | 
| 38 |  | iooss2 13423 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝐵 ∈ ℝ*
∧ 𝑧 ≤ 𝐵) → (𝐴(,)𝑧) ⊆ (𝐴(,)𝐵)) | 
| 39 | 33, 37, 38 | syl2anc 584 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (𝐴(,)𝑧) ⊆ (𝐴(,)𝐵)) | 
| 40 | 39 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ (𝑧 − ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))) → (𝐴(,)𝑧) ⊆ (𝐴(,)𝐵)) | 
| 41 | 32, 40 | sstrd 3994 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ (𝑧 − ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))) → ((𝑧 − ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))(,)𝑧) ⊆ (𝐴(,)𝐵)) | 
| 42 |  | ovolss 25520 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝑧 − ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))(,)𝑧) ⊆ (𝐴(,)𝐵) ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ) →
(vol*‘((𝑧 −
((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))(,)𝑧)) ≤ (vol*‘(𝐴(,)𝐵))) | 
| 43 | 41, 16, 42 | sylancl 586 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ (𝑧 − ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))) → (vol*‘((𝑧 − ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))(,)𝑧)) ≤ (vol*‘(𝐴(,)𝐵))) | 
| 44 | 30, 43 | eqbrtrrd 5167 | . . . . . . . . . 10
⊢ (((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ (𝑧 − ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))) → ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1) ≤ (vol*‘(𝐴(,)𝐵))) | 
| 45 | 44 | ex 412 | . . . . . . . . 9
⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ (𝑧 − ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) → ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1) ≤ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)))) | 
| 46 | 10, 7 | xrlenltd 11327 | . . . . . . . . 9
⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ (𝑧 − ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ↔ ¬ (𝑧 − ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) < 𝐴)) | 
| 47 | 5, 15 | lenltd 11407 | . . . . . . . . 9
⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) →
(((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1) ≤ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ↔ ¬ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) < ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))) | 
| 48 | 45, 46, 47 | 3imtr3d 293 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (¬ (𝑧 − ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) < 𝐴 → ¬ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) < ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))) | 
| 49 | 13, 48 | mt4d 117 | . . . . . . 7
⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (𝑧 − ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) < 𝐴) | 
| 50 | 35 | simpld 494 | . . . . . . 7
⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → 𝐴 < 𝑧) | 
| 51 |  | xrre2 13212 | . . . . . . 7
⊢ ((((𝑧 − ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ∈ ℝ* ∧
𝐴 ∈
ℝ* ∧ 𝑧
∈ ℝ*) ∧ ((𝑧 − ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝑧)) → 𝐴 ∈ ℝ) | 
| 52 | 7, 10, 11, 49, 50, 51 | syl32anc 1380 | . . . . . 6
⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ) | 
| 53 | 3, 5 | readdcld 11290 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (𝑧 + ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ∈ ℝ) | 
| 54 | 53 | rexrd 11311 | . . . . . . 7
⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (𝑧 + ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ∈
ℝ*) | 
| 55 | 3, 5 | addge01d 11851 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (0 ≤
((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1) ↔ 𝑧 ≤ (𝑧 + ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)))) | 
| 56 | 21, 55 | mpbid 232 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → 𝑧 ≤ (𝑧 + ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))) | 
| 57 |  | ovolioo 25603 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑧 + ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ∈ ℝ ∧ 𝑧 ≤ (𝑧 + ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))) → (vol*‘(𝑧(,)(𝑧 + ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)))) = ((𝑧 + ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) − 𝑧)) | 
| 58 | 3, 53, 56, 57 | syl3anc 1373 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝑧(,)(𝑧 + ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)))) = ((𝑧 + ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) − 𝑧)) | 
| 59 | 26, 27 | pncan2d 11622 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → ((𝑧 + ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) − 𝑧) = ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) | 
| 60 | 58, 59 | eqtrd 2777 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝑧(,)(𝑧 + ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)))) = ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) | 
| 61 | 60 | adantr 480 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 + ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ≤ 𝐵) → (vol*‘(𝑧(,)(𝑧 + ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)))) = ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) | 
| 62 |  | iooss2 13423 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝐵 ∈ ℝ*
∧ (𝑧 +
((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ≤ 𝐵) → (𝑧(,)(𝑧 + ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))) ⊆ (𝑧(,)𝐵)) | 
| 63 | 33, 62 | sylan 580 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 + ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ≤ 𝐵) → (𝑧(,)(𝑧 + ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))) ⊆ (𝑧(,)𝐵)) | 
| 64 | 10, 11, 50 | xrltled 13192 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → 𝐴 ≤ 𝑧) | 
| 65 |  | iooss1 13422 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐴 ≤ 𝑧) → (𝑧(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐵)) | 
| 66 | 10, 64, 65 | syl2anc 584 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (𝑧(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐵)) | 
| 67 | 66 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 + ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ≤ 𝐵) → (𝑧(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐵)) | 
| 68 | 63, 67 | sstrd 3994 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 + ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ≤ 𝐵) → (𝑧(,)(𝑧 + ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))) ⊆ (𝐴(,)𝐵)) | 
| 69 |  | ovolss 25520 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝑧(,)(𝑧 + ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))) ⊆ (𝐴(,)𝐵) ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ) → (vol*‘(𝑧(,)(𝑧 + ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)))) ≤ (vol*‘(𝐴(,)𝐵))) | 
| 70 | 68, 16, 69 | sylancl 586 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 + ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ≤ 𝐵) → (vol*‘(𝑧(,)(𝑧 + ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)))) ≤ (vol*‘(𝐴(,)𝐵))) | 
| 71 | 61, 70 | eqbrtrrd 5167 | . . . . . . . . . 10
⊢ (((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 + ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ≤ 𝐵) → ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1) ≤ (vol*‘(𝐴(,)𝐵))) | 
| 72 | 71 | ex 412 | . . . . . . . . 9
⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → ((𝑧 + ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ≤ 𝐵 → ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1) ≤ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)))) | 
| 73 | 54, 33 | xrlenltd 11327 | . . . . . . . . 9
⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → ((𝑧 + ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < (𝑧 + ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)))) | 
| 74 | 72, 73, 47 | 3imtr3d 293 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (¬ 𝐵 < (𝑧 + ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) → ¬ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) < ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))) | 
| 75 | 13, 74 | mt4d 117 | . . . . . . 7
⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → 𝐵 < (𝑧 + ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))) | 
| 76 |  | xrre2 13212 | . . . . . . 7
⊢ (((𝑧 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ (𝑧 + ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ∈ ℝ*) ∧
(𝑧 < 𝐵 ∧ 𝐵 < (𝑧 + ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)))) → 𝐵 ∈ ℝ) | 
| 77 | 11, 33, 54, 36, 75, 76 | syl32anc 1380 | . . . . . 6
⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ) | 
| 78 | 52, 77 | jca 511 | . . . . 5
⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) | 
| 79 | 78 | ex 412 | . . . 4
⊢ (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))) | 
| 80 | 79 | exlimiv 1930 | . . 3
⊢
(∃𝑧 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))) | 
| 81 | 1, 80 | sylbi 217 | . 2
⊢ ((𝐴(,)𝐵) ≠ ∅ → ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))) | 
| 82 | 81 | imp 406 | 1
⊢ (((𝐴(,)𝐵) ≠ ∅ ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) |