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Theorem pimincfltioo 43927
Description: Given a nondecreasing function, the preimage of an unbounded below, open interval, when the supremum of the preimage does not belong to the preimage. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
pimincfltioo.x 𝑥𝜑
pimincfltioo.h 𝑦𝜑
pimincfltioo.a (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
pimincfltioo.f (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ*)
pimincfltioo.i (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦)))
pimincfltioo.r (𝜑𝑅 ∈ ℝ*)
pimincfltioo.y 𝑌 = {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑅}
pimincfltioo.c 𝑆 = sup(𝑌, ℝ*, < )
pimincfltioo.e (𝜑 → ¬ 𝑆𝑌)
pimincfltioo.d 𝐼 = (-∞(,)𝑆)
Assertion
Ref Expression
pimincfltioo (𝜑𝑌 = (𝐼𝐴))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐼,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑦,𝑌
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝑆(𝑥,𝑦)   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem pimincfltioo
Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pimincfltioo.y . . . . . . 7 𝑌 = {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑅}
2 ssrab2 3993 . . . . . . 7 {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑅} ⊆ 𝐴
31, 2eqsstri 3935 . . . . . 6 𝑌𝐴
43a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝑌𝐴)
5 pimincfltioo.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
64, 5sstrd 3911 . . . 4 (𝜑𝑌 ⊆ ℝ)
7 pimincfltioo.c . . . 4 𝑆 = sup(𝑌, ℝ*, < )
8 pimincfltioo.e . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝑆𝑌)
9 pimincfltioo.d . . . 4 𝐼 = (-∞(,)𝑆)
106, 7, 8, 9ressioosup 42768 . . 3 (𝜑𝑌𝐼)
1110, 4ssind 4147 . 2 (𝜑𝑌 ⊆ (𝐼𝐴))
12 pimincfltioo.x . . . 4 𝑥𝜑
13 elinel2 4110 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝐼𝐴) → 𝑥𝐴)
1413adantl 485 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝑥𝐴)
15 mnfxr 10890 . . . . . . . . . . 11 -∞ ∈ ℝ*
1615a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → -∞ ∈ ℝ*)
17 ressxr 10877 . . . . . . . . . . . . . 14 ℝ ⊆ ℝ*
186, 17sstrdi 3913 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑌 ⊆ ℝ*)
1918supxrcld 42330 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → sup(𝑌, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
207, 19eqeltrid 2842 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑆 ∈ ℝ*)
2120adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝑆 ∈ ℝ*)
22 elinel1 4109 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (𝐼𝐴) → 𝑥𝐼)
2322, 9eleqtrdi 2848 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (𝐼𝐴) → 𝑥 ∈ (-∞(,)𝑆))
2423adantl 485 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝑥 ∈ (-∞(,)𝑆))
25 iooltub 42723 . . . . . . . . . 10 ((-∞ ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (-∞(,)𝑆)) → 𝑥 < 𝑆)
2616, 21, 24, 25syl3anc 1373 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝑥 < 𝑆)
2726adantr 484 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ ¬ (𝐹𝑥) < 𝑅) → 𝑥 < 𝑆)
28 simpr 488 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ ¬ (𝐹𝑥) < 𝑅) → ¬ (𝐹𝑥) < 𝑅)
29 pimincfltioo.r . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑅 ∈ ℝ*)
3029adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝑅 ∈ ℝ*)
3130adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ ¬ (𝐹𝑥) < 𝑅) → 𝑅 ∈ ℝ*)
32 pimincfltioo.f . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ*)
3332adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
3433, 14ffvelrnd 6905 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ*)
3534adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ ¬ (𝐹𝑥) < 𝑅) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ*)
3631, 35xrlenltd 10899 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ ¬ (𝐹𝑥) < 𝑅) → (𝑅 ≤ (𝐹𝑥) ↔ ¬ (𝐹𝑥) < 𝑅))
3728, 36mpbird 260 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ ¬ (𝐹𝑥) < 𝑅) → 𝑅 ≤ (𝐹𝑥))
38 pimincfltioo.h . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑦𝜑
39 nfv 1922 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑦 𝑥 ∈ (𝐼𝐴)
4038, 39nfan 1907 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑦(𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴))
41 nfv 1922 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑦 𝑅 ≤ (𝐹𝑥)
4240, 41nfan 1907 . . . . . . . . . . . . 13 𝑦((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑅 ≤ (𝐹𝑥))
43 fveq2 6717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = 𝑦 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦))
4443breq1d 5063 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐹𝑥) < 𝑅 ↔ (𝐹𝑦) < 𝑅))
4544, 1elrab2 3605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦𝑌 ↔ (𝑦𝐴 ∧ (𝐹𝑦) < 𝑅))
4645biimpi 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦𝑌 → (𝑦𝐴 ∧ (𝐹𝑦) < 𝑅))
4746simprd 499 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦𝑌 → (𝐹𝑦) < 𝑅)
4847adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦𝑌) → (𝐹𝑦) < 𝑅)
4948ad5ant14 758 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑅 ≤ (𝐹𝑥)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ ¬ 𝑦𝑥) → (𝐹𝑦) < 𝑅)
505adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
5150, 14sseldd 3902 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝑥 ∈ ℝ)
5251ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑅 ≤ (𝐹𝑥)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ ¬ 𝑦𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
536sselda 3901 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑦𝑌) → 𝑦 ∈ ℝ)
5453ad5ant14 758 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑅 ≤ (𝐹𝑥)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ ¬ 𝑦𝑥) → 𝑦 ∈ ℝ)
55 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ ¬ 𝑦𝑥) → ¬ 𝑦𝑥)
5651ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ ¬ 𝑦𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
5753ad4ant13 751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ ¬ 𝑦𝑥) → 𝑦 ∈ ℝ)
5856, 57ltnled 10979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ ¬ 𝑦𝑥) → (𝑥 < 𝑦 ↔ ¬ 𝑦𝑥))
5955, 58mpbird 260 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ ¬ 𝑦𝑥) → 𝑥 < 𝑦)
6059adantllr 719 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑅 ≤ (𝐹𝑥)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ ¬ 𝑦𝑥) → 𝑥 < 𝑦)
6152, 54, 60ltled 10980 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑅 ≤ (𝐹𝑥)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ ¬ 𝑦𝑥) → 𝑥𝑦)
6230ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑅 ≤ (𝐹𝑥)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ 𝑥𝑦) → 𝑅 ∈ ℝ*)
6334ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑅 ≤ (𝐹𝑥)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ 𝑥𝑦) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ*)
6432adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑦𝑌) → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
654sselda 3901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑦𝑌) → 𝑦𝐴)
6664, 65ffvelrnd 6905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑦𝑌) → (𝐹𝑦) ∈ ℝ*)
6766ad5ant14 758 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑅 ≤ (𝐹𝑥)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ 𝑥𝑦) → (𝐹𝑦) ∈ ℝ*)
68 simpllr 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑅 ≤ (𝐹𝑥)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ 𝑥𝑦) → 𝑅 ≤ (𝐹𝑥))
69 nfv 1922 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑤(((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ 𝑥𝑦)
70 nfv 1922 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑧(((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ 𝑥𝑦)
71 pimincfltioo.i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦)))
72 breq1 5056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑤 = 𝑥 → (𝑤𝑧𝑥𝑧))
73 fveq2 6717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑤 = 𝑥 → (𝐹𝑤) = (𝐹𝑥))
7473breq1d 5063 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑤 = 𝑥 → ((𝐹𝑤) ≤ (𝐹𝑧) ↔ (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑧)))
7572, 74imbi12d 348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑤 = 𝑥 → ((𝑤𝑧 → (𝐹𝑤) ≤ (𝐹𝑧)) ↔ (𝑥𝑧 → (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑧))))
76 breq2 5057 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑧 = 𝑦 → (𝑥𝑧𝑥𝑦))
77 fveq2 6717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑧 = 𝑦 → (𝐹𝑧) = (𝐹𝑦))
7877breq2d 5065 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑧 = 𝑦 → ((𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑧) ↔ (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦)))
7976, 78imbi12d 348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑧 = 𝑦 → ((𝑥𝑧 → (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑧)) ↔ (𝑥𝑦 → (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦))))
8075, 79cbvral2vw 3371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (∀𝑤𝐴𝑧𝐴 (𝑤𝑧 → (𝐹𝑤) ≤ (𝐹𝑧)) ↔ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦)))
8171, 80sylibr 237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ∀𝑤𝐴𝑧𝐴 (𝑤𝑧 → (𝐹𝑤) ≤ (𝐹𝑧)))
8281ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ 𝑥𝑦) → ∀𝑤𝐴𝑧𝐴 (𝑤𝑧 → (𝐹𝑤) ≤ (𝐹𝑧)))
8314ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ 𝑥𝑦) → 𝑥𝐴)
8465ad4ant13 751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ 𝑥𝑦) → 𝑦𝐴)
85 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ 𝑥𝑦) → 𝑥𝑦)
8669, 70, 82, 83, 84, 85dmrelrnrel 42438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ 𝑥𝑦) → (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦))
8786adantllr 719 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑅 ≤ (𝐹𝑥)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ 𝑥𝑦) → (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦))
8862, 63, 67, 68, 87xrletrd 12752 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑅 ≤ (𝐹𝑥)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ 𝑥𝑦) → 𝑅 ≤ (𝐹𝑦))
8962, 67xrlenltd 10899 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑅 ≤ (𝐹𝑥)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ 𝑥𝑦) → (𝑅 ≤ (𝐹𝑦) ↔ ¬ (𝐹𝑦) < 𝑅))
9088, 89mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑅 ≤ (𝐹𝑥)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ 𝑥𝑦) → ¬ (𝐹𝑦) < 𝑅)
9161, 90syldan 594 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑅 ≤ (𝐹𝑥)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ ¬ 𝑦𝑥) → ¬ (𝐹𝑦) < 𝑅)
9249, 91condan 818 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑅 ≤ (𝐹𝑥)) ∧ 𝑦𝑌) → 𝑦𝑥)
9392ex 416 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑅 ≤ (𝐹𝑥)) → (𝑦𝑌𝑦𝑥))
9442, 93ralrimi 3137 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑅 ≤ (𝐹𝑥)) → ∀𝑦𝑌 𝑦𝑥)
9537, 94syldan 594 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ ¬ (𝐹𝑥) < 𝑅) → ∀𝑦𝑌 𝑦𝑥)
9618adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝑌 ⊆ ℝ*)
9717, 51sseldi 3899 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
98 supxrleub 12916 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑌 ⊆ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) → (sup(𝑌, ℝ*, < ) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦𝑌 𝑦𝑥))
9996, 97, 98syl2anc 587 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → (sup(𝑌, ℝ*, < ) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦𝑌 𝑦𝑥))
10099adantr 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ ¬ (𝐹𝑥) < 𝑅) → (sup(𝑌, ℝ*, < ) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦𝑌 𝑦𝑥))
10195, 100mpbird 260 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ ¬ (𝐹𝑥) < 𝑅) → sup(𝑌, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)
1027, 101eqbrtrid 5088 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ ¬ (𝐹𝑥) < 𝑅) → 𝑆𝑥)
10321adantr 484 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ ¬ (𝐹𝑥) < 𝑅) → 𝑆 ∈ ℝ*)
10497adantr 484 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ ¬ (𝐹𝑥) < 𝑅) → 𝑥 ∈ ℝ*)
105103, 104xrlenltd 10899 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ ¬ (𝐹𝑥) < 𝑅) → (𝑆𝑥 ↔ ¬ 𝑥 < 𝑆))
106102, 105mpbid 235 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ ¬ (𝐹𝑥) < 𝑅) → ¬ 𝑥 < 𝑆)
10727, 106condan 818 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → (𝐹𝑥) < 𝑅)
10814, 107jca 515 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → (𝑥𝐴 ∧ (𝐹𝑥) < 𝑅))
1091rabeq2i 3398 . . . . . 6 (𝑥𝑌 ↔ (𝑥𝐴 ∧ (𝐹𝑥) < 𝑅))
110108, 109sylibr 237 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝑥𝑌)
111110ex 416 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐼𝐴) → 𝑥𝑌))
11212, 111ralrimi 3137 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐼𝐴)𝑥𝑌)
113 nfcv 2904 . . . 4 𝑥(𝐼𝐴)
114 nfrab1 3296 . . . . 5 𝑥{𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑅}
1151, 114nfcxfr 2902 . . . 4 𝑥𝑌
116113, 115dfss3f 3891 . . 3 ((𝐼𝐴) ⊆ 𝑌 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐼𝐴)𝑥𝑌)
117112, 116sylibr 237 . 2 (𝜑 → (𝐼𝐴) ⊆ 𝑌)
11811, 117eqssd 3918 1 (𝜑𝑌 = (𝐼𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1543  wnf 1791  wcel 2110  wral 3061  {crab 3065  cin 3865  wss 3866   class class class wbr 5053  wf 6376  cfv 6380  (class class class)co 7213  supcsup 9056  cr 10728  -∞cmnf 10865  *cxr 10866   < clt 10867  cle 10868  (,)cioo 12935
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-id 5455  df-po 5468  df-so 5469  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-sup 9058  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-ioo 12939
This theorem is referenced by:  incsmflem  43949
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