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Theorem pimincfltioo 42862
Description: Given a nondecreasing function, the preimage of an unbounded below, open interval, when the supremum of the preimage does not belong to the preimage. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
pimincfltioo.x 𝑥𝜑
pimincfltioo.h 𝑦𝜑
pimincfltioo.a (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
pimincfltioo.f (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ*)
pimincfltioo.i (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦)))
pimincfltioo.r (𝜑𝑅 ∈ ℝ*)
pimincfltioo.y 𝑌 = {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑅}
pimincfltioo.c 𝑆 = sup(𝑌, ℝ*, < )
pimincfltioo.e (𝜑 → ¬ 𝑆𝑌)
pimincfltioo.d 𝐼 = (-∞(,)𝑆)
Assertion
Ref Expression
pimincfltioo (𝜑𝑌 = (𝐼𝐴))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐼,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑦,𝑌
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝑆(𝑥,𝑦)   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem pimincfltioo
Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pimincfltioo.y . . . . . . 7 𝑌 = {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑅}
2 ssrab2 4060 . . . . . . 7 {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑅} ⊆ 𝐴
31, 2eqsstri 4005 . . . . . 6 𝑌𝐴
43a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝑌𝐴)
5 pimincfltioo.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
64, 5sstrd 3981 . . . 4 (𝜑𝑌 ⊆ ℝ)
7 pimincfltioo.c . . . 4 𝑆 = sup(𝑌, ℝ*, < )
8 pimincfltioo.e . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝑆𝑌)
9 pimincfltioo.d . . . 4 𝐼 = (-∞(,)𝑆)
106, 7, 8, 9ressioosup 41696 . . 3 (𝜑𝑌𝐼)
1110, 4ssind 4213 . 2 (𝜑𝑌 ⊆ (𝐼𝐴))
12 pimincfltioo.x . . . 4 𝑥𝜑
13 elinel2 4177 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝐼𝐴) → 𝑥𝐴)
1413adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝑥𝐴)
15 mnfxr 10687 . . . . . . . . . . 11 -∞ ∈ ℝ*
1615a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → -∞ ∈ ℝ*)
17 ressxr 10674 . . . . . . . . . . . . . 14 ℝ ⊆ ℝ*
186, 17syl6ss 3983 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑌 ⊆ ℝ*)
1918supxrcld 41239 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → sup(𝑌, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
207, 19eqeltrid 2922 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑆 ∈ ℝ*)
2120adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝑆 ∈ ℝ*)
22 elinel1 4176 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (𝐼𝐴) → 𝑥𝐼)
2322, 9syl6eleq 2928 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (𝐼𝐴) → 𝑥 ∈ (-∞(,)𝑆))
2423adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝑥 ∈ (-∞(,)𝑆))
25 iooltub 41651 . . . . . . . . . 10 ((-∞ ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (-∞(,)𝑆)) → 𝑥 < 𝑆)
2616, 21, 24, 25syl3anc 1365 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝑥 < 𝑆)
2726adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ ¬ (𝐹𝑥) < 𝑅) → 𝑥 < 𝑆)
28 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ ¬ (𝐹𝑥) < 𝑅) → ¬ (𝐹𝑥) < 𝑅)
29 pimincfltioo.r . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑅 ∈ ℝ*)
3029adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝑅 ∈ ℝ*)
3130adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ ¬ (𝐹𝑥) < 𝑅) → 𝑅 ∈ ℝ*)
32 pimincfltioo.f . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ*)
3332adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
3433, 14ffvelrnd 6848 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ*)
3534adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ ¬ (𝐹𝑥) < 𝑅) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ*)
3631, 35xrlenltd 10696 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ ¬ (𝐹𝑥) < 𝑅) → (𝑅 ≤ (𝐹𝑥) ↔ ¬ (𝐹𝑥) < 𝑅))
3728, 36mpbird 258 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ ¬ (𝐹𝑥) < 𝑅) → 𝑅 ≤ (𝐹𝑥))
38 pimincfltioo.h . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑦𝜑
39 nfv 1908 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑦 𝑥 ∈ (𝐼𝐴)
4038, 39nfan 1893 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑦(𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴))
41 nfv 1908 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑦 𝑅 ≤ (𝐹𝑥)
4240, 41nfan 1893 . . . . . . . . . . . . 13 𝑦((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑅 ≤ (𝐹𝑥))
43 fveq2 6667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = 𝑦 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦))
4443breq1d 5073 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐹𝑥) < 𝑅 ↔ (𝐹𝑦) < 𝑅))
4544, 1elrab2 3687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦𝑌 ↔ (𝑦𝐴 ∧ (𝐹𝑦) < 𝑅))
4645biimpi 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦𝑌 → (𝑦𝐴 ∧ (𝐹𝑦) < 𝑅))
4746simprd 496 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦𝑌 → (𝐹𝑦) < 𝑅)
4847adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦𝑌) → (𝐹𝑦) < 𝑅)
4948ad5ant14 754 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑅 ≤ (𝐹𝑥)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ ¬ 𝑦𝑥) → (𝐹𝑦) < 𝑅)
505adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
5150, 14sseldd 3972 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝑥 ∈ ℝ)
5251ad3antrrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑅 ≤ (𝐹𝑥)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ ¬ 𝑦𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
536sselda 3971 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑦𝑌) → 𝑦 ∈ ℝ)
5453ad5ant14 754 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑅 ≤ (𝐹𝑥)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ ¬ 𝑦𝑥) → 𝑦 ∈ ℝ)
55 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ ¬ 𝑦𝑥) → ¬ 𝑦𝑥)
5651ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ ¬ 𝑦𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
5753ad4ant13 747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ ¬ 𝑦𝑥) → 𝑦 ∈ ℝ)
5856, 57ltnled 10776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ ¬ 𝑦𝑥) → (𝑥 < 𝑦 ↔ ¬ 𝑦𝑥))
5955, 58mpbird 258 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ ¬ 𝑦𝑥) → 𝑥 < 𝑦)
6059adantllr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑅 ≤ (𝐹𝑥)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ ¬ 𝑦𝑥) → 𝑥 < 𝑦)
6152, 54, 60ltled 10777 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑅 ≤ (𝐹𝑥)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ ¬ 𝑦𝑥) → 𝑥𝑦)
6230ad3antrrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑅 ≤ (𝐹𝑥)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ 𝑥𝑦) → 𝑅 ∈ ℝ*)
6334ad3antrrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑅 ≤ (𝐹𝑥)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ 𝑥𝑦) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ*)
6432adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑦𝑌) → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
654sselda 3971 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑦𝑌) → 𝑦𝐴)
6664, 65ffvelrnd 6848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑦𝑌) → (𝐹𝑦) ∈ ℝ*)
6766ad5ant14 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑅 ≤ (𝐹𝑥)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ 𝑥𝑦) → (𝐹𝑦) ∈ ℝ*)
68 simpllr 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑅 ≤ (𝐹𝑥)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ 𝑥𝑦) → 𝑅 ≤ (𝐹𝑥))
69 nfv 1908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑤(((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ 𝑥𝑦)
70 nfv 1908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑧(((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ 𝑥𝑦)
71 pimincfltioo.i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦)))
72 breq1 5066 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑤 = 𝑥 → (𝑤𝑧𝑥𝑧))
73 fveq2 6667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑤 = 𝑥 → (𝐹𝑤) = (𝐹𝑥))
7473breq1d 5073 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑤 = 𝑥 → ((𝐹𝑤) ≤ (𝐹𝑧) ↔ (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑧)))
7572, 74imbi12d 346 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑤 = 𝑥 → ((𝑤𝑧 → (𝐹𝑤) ≤ (𝐹𝑧)) ↔ (𝑥𝑧 → (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑧))))
76 breq2 5067 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑧 = 𝑦 → (𝑥𝑧𝑥𝑦))
77 fveq2 6667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑧 = 𝑦 → (𝐹𝑧) = (𝐹𝑦))
7877breq2d 5075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑧 = 𝑦 → ((𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑧) ↔ (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦)))
7976, 78imbi12d 346 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑧 = 𝑦 → ((𝑥𝑧 → (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑧)) ↔ (𝑥𝑦 → (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦))))
8075, 79cbvral2v 3470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (∀𝑤𝐴𝑧𝐴 (𝑤𝑧 → (𝐹𝑤) ≤ (𝐹𝑧)) ↔ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦)))
8171, 80sylibr 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ∀𝑤𝐴𝑧𝐴 (𝑤𝑧 → (𝐹𝑤) ≤ (𝐹𝑧)))
8281ad3antrrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ 𝑥𝑦) → ∀𝑤𝐴𝑧𝐴 (𝑤𝑧 → (𝐹𝑤) ≤ (𝐹𝑧)))
8314ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ 𝑥𝑦) → 𝑥𝐴)
8465ad4ant13 747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ 𝑥𝑦) → 𝑦𝐴)
85 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ 𝑥𝑦) → 𝑥𝑦)
8669, 70, 82, 83, 84, 85dmrelrnrel 41355 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ 𝑥𝑦) → (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦))
8786adantllr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑅 ≤ (𝐹𝑥)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ 𝑥𝑦) → (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦))
8862, 63, 67, 68, 87xrletrd 12545 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑅 ≤ (𝐹𝑥)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ 𝑥𝑦) → 𝑅 ≤ (𝐹𝑦))
8962, 67xrlenltd 10696 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑅 ≤ (𝐹𝑥)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ 𝑥𝑦) → (𝑅 ≤ (𝐹𝑦) ↔ ¬ (𝐹𝑦) < 𝑅))
9088, 89mpbid 233 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑅 ≤ (𝐹𝑥)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ 𝑥𝑦) → ¬ (𝐹𝑦) < 𝑅)
9161, 90syldan 591 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑅 ≤ (𝐹𝑥)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ ¬ 𝑦𝑥) → ¬ (𝐹𝑦) < 𝑅)
9249, 91condan 814 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑅 ≤ (𝐹𝑥)) ∧ 𝑦𝑌) → 𝑦𝑥)
9392ex 413 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑅 ≤ (𝐹𝑥)) → (𝑦𝑌𝑦𝑥))
9442, 93ralrimi 3221 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑅 ≤ (𝐹𝑥)) → ∀𝑦𝑌 𝑦𝑥)
9537, 94syldan 591 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ ¬ (𝐹𝑥) < 𝑅) → ∀𝑦𝑌 𝑦𝑥)
9618adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝑌 ⊆ ℝ*)
9717, 51sseldi 3969 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
98 supxrleub 12709 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑌 ⊆ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) → (sup(𝑌, ℝ*, < ) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦𝑌 𝑦𝑥))
9996, 97, 98syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → (sup(𝑌, ℝ*, < ) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦𝑌 𝑦𝑥))
10099adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ ¬ (𝐹𝑥) < 𝑅) → (sup(𝑌, ℝ*, < ) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦𝑌 𝑦𝑥))
10195, 100mpbird 258 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ ¬ (𝐹𝑥) < 𝑅) → sup(𝑌, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)
1027, 101eqbrtrid 5098 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ ¬ (𝐹𝑥) < 𝑅) → 𝑆𝑥)
10321adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ ¬ (𝐹𝑥) < 𝑅) → 𝑆 ∈ ℝ*)
10497adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ ¬ (𝐹𝑥) < 𝑅) → 𝑥 ∈ ℝ*)
105103, 104xrlenltd 10696 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ ¬ (𝐹𝑥) < 𝑅) → (𝑆𝑥 ↔ ¬ 𝑥 < 𝑆))
106102, 105mpbid 233 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ ¬ (𝐹𝑥) < 𝑅) → ¬ 𝑥 < 𝑆)
10727, 106condan 814 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → (𝐹𝑥) < 𝑅)
10814, 107jca 512 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → (𝑥𝐴 ∧ (𝐹𝑥) < 𝑅))
1091rabeq2i 3493 . . . . . 6 (𝑥𝑌 ↔ (𝑥𝐴 ∧ (𝐹𝑥) < 𝑅))
110108, 109sylibr 235 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝑥𝑌)
111110ex 413 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐼𝐴) → 𝑥𝑌))
11212, 111ralrimi 3221 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐼𝐴)𝑥𝑌)
113 nfcv 2982 . . . 4 𝑥(𝐼𝐴)
114 nfrab1 3390 . . . . 5 𝑥{𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑅}
1151, 114nfcxfr 2980 . . . 4 𝑥𝑌
116113, 115dfss3f 3963 . . 3 ((𝐼𝐴) ⊆ 𝑌 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐼𝐴)𝑥𝑌)
117112, 116sylibr 235 . 2 (𝜑 → (𝐼𝐴) ⊆ 𝑌)
11811, 117eqssd 3988 1 (𝜑𝑌 = (𝐼𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1530  wnf 1777  wcel 2107  wral 3143  {crab 3147  cin 3939  wss 3940   class class class wbr 5063  wf 6348  cfv 6352  (class class class)co 7148  supcsup 8893  cr 10525  -∞cmnf 10662  *cxr 10663   < clt 10664  cle 10665  (,)cioo 12728
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-13 2385  ax-ext 2798  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4838  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-id 5459  df-po 5473  df-so 5474  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-er 8279  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-sup 8895  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-ioo 12732
This theorem is referenced by:  incsmflem  42884
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