Theorem pimincfltioo 47650

Description: Given a nondecreasing function, the preimage of an unbounded below, open interval, when the supremum of the preimage does not belong to the preimage. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
pimincfltioo.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
pimincfltioo.h	⊢ Ⅎ𝑦𝜑
pimincfltioo.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
pimincfltioo.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
pimincfltioo.i	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑦)))
pimincfltioo.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ*)
pimincfltioo.y	⊢ 𝑌 = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑅}
pimincfltioo.c	⊢ 𝑆 = sup(𝑌, ℝ*, < )
pimincfltioo.e	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑆 ∈ 𝑌)
pimincfltioo.d	⊢ 𝐼 = (-∞(,)𝑆)

Assertion

Ref	Expression
pimincfltioo	⊢ (𝜑 → 𝑌 = (𝐼 ∩ 𝐴))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐼,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑦,𝑌

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑦)   𝑆(𝑥, 𝑦)   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem pimincfltioo

Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pimincfltioo.y	. . . . . . 7 ⊢ 𝑌 = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑅}
2		ssrab2 4027	. . . . . . 7 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑅} ⊆ 𝐴
3	1, 2	eqsstri 3976	. . . . . 6 ⊢ 𝑌 ⊆ 𝐴
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝐴)
5		pimincfltioo.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
6	4, 5	sstrd 3940	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ ℝ)
7		pimincfltioo.c	. . . 4 ⊢ 𝑆 = sup(𝑌, ℝ*, < )
8		pimincfltioo.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑆 ∈ 𝑌)
9		pimincfltioo.d	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (-∞(,)𝑆)
10	6, 7, 8, 9	ressioosup 46489	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝐼)
11	10, 4	ssind 4185	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ (𝐼 ∩ 𝐴))
12		pimincfltioo.x	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
13		elinel2 4147	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
14	13	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
15		mnfxr 11338	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
16	15	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → -∞ ∈ ℝ*)
17		ressxr 11325	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
18	6, 17	sstrdi 3942	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ ℝ*)
19	18	supxrcld 46043	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → sup(𝑌, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
20	7, 19	eqeltrid 2864	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ*)
21	20	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝑆 ∈ ℝ*)
22		elinel1 4146	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐼)
23	22, 9	eleqtrdi 2870	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴) → 𝑥 ∈ (-∞(,)𝑆))
24	23	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝑥 ∈ (-∞(,)𝑆))
25		iooltub 46444	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝑆)) → 𝑥 < 𝑆)
26	16, 21, 24, 25	syl3anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝑥 < 𝑆)
27	26	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ ¬ (𝐹‘𝑥) < 𝑅) → 𝑥 < 𝑆)
28		simpr 490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ ¬ (𝐹‘𝑥) < 𝑅) → ¬ (𝐹‘𝑥) < 𝑅)
29		pimincfltioo.r	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ*)
30	29	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝑅 ∈ ℝ*)
31	30	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ ¬ (𝐹‘𝑥) < 𝑅) → 𝑅 ∈ ℝ*)
32		pimincfltioo.f	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
33	32	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
34	33, 14	ffvelcdmd 7073	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ*)
35	34	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ ¬ (𝐹‘𝑥) < 𝑅) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ*)
36	31, 35	xrlenltd 11347	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ ¬ (𝐹‘𝑥) < 𝑅) → (𝑅 ≤ (𝐹‘𝑥) ↔ ¬ (𝐹‘𝑥) < 𝑅))
37	28, 36	mpbird 260	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ ¬ (𝐹‘𝑥) < 𝑅) → 𝑅 ≤ (𝐹‘𝑥))
38		pimincfltioo.h	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑦𝜑
39		nfv 1947	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)
40	38, 39	nfan 1932	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑦(𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴))
41		nfv 1947	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑅 ≤ (𝐹‘𝑥)
42	40, 41	nfan 1932	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑦((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑅 ≤ (𝐹‘𝑥))
43		fveq2 6873	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦))
44	43	breq1d 5112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐹‘𝑥) < 𝑅 ↔ (𝐹‘𝑦) < 𝑅))
45	44, 1	elrab2 3648	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑌 ↔ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑦) < 𝑅))
46	45	biimpi 219	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑌 → (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑦) < 𝑅))
47	46	simprd 501	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑌 → (𝐹‘𝑦) < 𝑅)
48	47	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → (𝐹‘𝑦) < 𝑅)
49	48	ad5ant14 770	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑅 ≤ (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥) → (𝐹‘𝑦) < 𝑅)
50	5	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
51	50, 14	sseldd 3931	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝑥 ∈ ℝ)
52	51	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑅 ≤ (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
53	6	sselda 3930	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → 𝑦 ∈ ℝ)
54	53	ad5ant14 770	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑅 ≤ (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥) → 𝑦 ∈ ℝ)
55		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥) → ¬ 𝑦 ≤ 𝑥)
56	51	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
57	53	ad4ant13 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥) → 𝑦 ∈ ℝ)
58	56, 57	ltnled 11429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥) → (𝑥 < 𝑦 ↔ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥))
59	55, 58	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥) → 𝑥 < 𝑦)
60	59	adantllr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑅 ≤ (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥) → 𝑥 < 𝑦)
61	52, 54, 60	ltled 11430	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑅 ≤ (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥) → 𝑥 ≤ 𝑦)
62	30	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑅 ≤ (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → 𝑅 ∈ ℝ*)
63	34	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑅 ≤ (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ*)
64	32	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
65	4	sselda 3930	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → 𝑦 ∈ 𝐴)
66	64, 65	ffvelcdmd 7073	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ*)
67	66	ad5ant14 770	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑅 ≤ (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ*)
68		simpllr 788	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑅 ≤ (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → 𝑅 ≤ (𝐹‘𝑥))
69		nfv 1947	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑤(((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)
70		nfv 1947	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑧(((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)
71		pimincfltioo.i	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑦)))
72		breq1 5105	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (𝑤 ≤ 𝑧 ↔ 𝑥 ≤ 𝑧))
73		fveq2 6873	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘𝑥))
74	73	breq1d 5112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → ((𝐹‘𝑤) ≤ (𝐹‘𝑧) ↔ (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑧)))
75	72, 74	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → ((𝑤 ≤ 𝑧 → (𝐹‘𝑤) ≤ (𝐹‘𝑧)) ↔ (𝑥 ≤ 𝑧 → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑧))))
76		breq2 5106	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝑥 ≤ 𝑧 ↔ 𝑥 ≤ 𝑦))
77		fveq2 6873	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝑦))
78	77	breq2d 5114	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ((𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑧) ↔ (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑦)))
79	76, 78	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ((𝑥 ≤ 𝑧 → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑧)) ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑦))))
80	75, 79	cbvral2vw 3244	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (∀𝑤 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑤 ≤ 𝑧 → (𝐹‘𝑤) ≤ (𝐹‘𝑧)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑦)))
81	71, 80	sylibr 237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → ∀𝑤 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑤 ≤ 𝑧 → (𝐹‘𝑤) ≤ (𝐹‘𝑧)))
82	81	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → ∀𝑤 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑤 ≤ 𝑧 → (𝐹‘𝑤) ≤ (𝐹‘𝑧)))
83	14	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → 𝑥 ∈ 𝐴)
84	65	ad4ant13 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝐴)
85		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → 𝑥 ≤ 𝑦)
86	69, 70, 82, 83, 84, 85	dmrelrnrel 46160	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑦))
87	86	adantllr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑅 ≤ (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑦))
88	62, 63, 67, 68, 87	xrletrd 13261	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑅 ≤ (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → 𝑅 ≤ (𝐹‘𝑦))
89	62, 67	xrlenltd 11347	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑅 ≤ (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → (𝑅 ≤ (𝐹‘𝑦) ↔ ¬ (𝐹‘𝑦) < 𝑅))
90	88, 89	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑅 ≤ (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → ¬ (𝐹‘𝑦) < 𝑅)
91	61, 90	syldan 603	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑅 ≤ (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥) → ¬ (𝐹‘𝑦) < 𝑅)
92	49, 91	condan 830	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑅 ≤ (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → 𝑦 ≤ 𝑥)
93	92	ex 418	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑅 ≤ (𝐹‘𝑥)) → (𝑦 ∈ 𝑌 → 𝑦 ≤ 𝑥))
94	42, 93	ralrimi 3260	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑅 ≤ (𝐹‘𝑥)) → ∀𝑦 ∈ 𝑌 𝑦 ≤ 𝑥)
95	37, 94	syldan 603	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ ¬ (𝐹‘𝑥) < 𝑅) → ∀𝑦 ∈ 𝑌 𝑦 ≤ 𝑥)
96	18	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝑌 ⊆ ℝ*)
97	17, 51	sselid 3928	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
98		supxrleub 13426	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑌 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (sup(𝑌, ℝ*, < ) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑌 𝑦 ≤ 𝑥))
99	96, 97, 98	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → (sup(𝑌, ℝ*, < ) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑌 𝑦 ≤ 𝑥))
100	99	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ ¬ (𝐹‘𝑥) < 𝑅) → (sup(𝑌, ℝ*, < ) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑌 𝑦 ≤ 𝑥))
101	95, 100	mpbird 260	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ ¬ (𝐹‘𝑥) < 𝑅) → sup(𝑌, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)
102	7, 101	eqbrtrid 5139	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ ¬ (𝐹‘𝑥) < 𝑅) → 𝑆 ≤ 𝑥)
103	21	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ ¬ (𝐹‘𝑥) < 𝑅) → 𝑆 ∈ ℝ*)
104	97	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ ¬ (𝐹‘𝑥) < 𝑅) → 𝑥 ∈ ℝ*)
105	103, 104	xrlenltd 11347	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ ¬ (𝐹‘𝑥) < 𝑅) → (𝑆 ≤ 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 < 𝑆))
106	102, 105	mpbid 235	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ ¬ (𝐹‘𝑥) < 𝑅) → ¬ 𝑥 < 𝑆)
107	27, 106	condan 830	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → (𝐹‘𝑥) < 𝑅)
108	14, 107	jca 521	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) < 𝑅))
109	1	reqabi 3434	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑌 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) < 𝑅))
110	108, 109	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝑥 ∈ 𝑌)
111	110	ex 418	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝑌))
112	12, 111	ralrimi 3260	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)𝑥 ∈ 𝑌)
113		nfcv 2922	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐼 ∩ 𝐴)
114		nfrab1 3431	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑅}
115	1, 114	nfcxfr 2920	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝑌
116	113, 115	dfss3f 3922	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∩ 𝐴) ⊆ 𝑌 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)𝑥 ∈ 𝑌)
117	112, 116	sylibr 237	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∩ 𝐴) ⊆ 𝑌)
118	11, 117	eqssd 3947	1 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = (𝐼 ∩ 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570  Ⅎwnf 1816   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  {crab 3412   ∩ cin 3897   ⊆ wss 3898   class class class wbr 5102  ⟶wf 6523  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  supcsup 9410  ℝcr 11171  -∞cmnf 11313  ℝ^*cxr 11314   < clt 11315   ≤ cle 11316  (,)cioo 13446

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11228  ax-resscn 11229  ax-1cn 11230  ax-icn 11231  ax-addcl 11232  ax-addrcl 11233  ax-mulcl 11234  ax-mulrcl 11235  ax-mulcom 11236  ax-addass 11237  ax-mulass 11238  ax-distr 11239  ax-i2m1 11240  ax-1ne0 11241  ax-1rid 11242  ax-rnegex 11243  ax-rrecex 11244  ax-cnre 11245  ax-pre-lttri 11246  ax-pre-lttrn 11247  ax-pre-ltadd 11248  ax-pre-mulgt0 11249  ax-pre-sup 11250

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5542  df-po 5555  df-so 5556  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-er 8695  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-sup 9412  df-pnf 11317  df-mnf 11318  df-xr 11319  df-ltxr 11320  df-le 11321  df-sub 11515  df-neg 11516  df-ioo 13450

This theorem is used by:  incsmflem  47673