Theorem pimincfltioo 46998

Description: Given a nondecreasing function, the preimage of an unbounded below, open interval, when the supremum of the preimage does not belong to the preimage. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
pimincfltioo.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
pimincfltioo.h	⊢ Ⅎ𝑦𝜑
pimincfltioo.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
pimincfltioo.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
pimincfltioo.i	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑦)))
pimincfltioo.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ*)
pimincfltioo.y	⊢ 𝑌 = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑅}
pimincfltioo.c	⊢ 𝑆 = sup(𝑌, ℝ*, < )
pimincfltioo.e	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑆 ∈ 𝑌)
pimincfltioo.d	⊢ 𝐼 = (-∞(,)𝑆)

Assertion

Ref	Expression
pimincfltioo	⊢ (𝜑 → 𝑌 = (𝐼 ∩ 𝐴))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐼,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑦,𝑌

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝑆(𝑥,𝑦)   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem pimincfltioo

Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pimincfltioo.y	. . . . . . 7 ⊢ 𝑌 = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑅}
2		ssrab2 4033	. . . . . . 7 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑅} ⊆ 𝐴
3	1, 2	eqsstri 3981	. . . . . 6 ⊢ 𝑌 ⊆ 𝐴
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝐴)
5		pimincfltioo.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
6	4, 5	sstrd 3945	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ ℝ)
7		pimincfltioo.c	. . . 4 ⊢ 𝑆 = sup(𝑌, ℝ*, < )
8		pimincfltioo.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑆 ∈ 𝑌)
9		pimincfltioo.d	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (-∞(,)𝑆)
10	6, 7, 8, 9	ressioosup 45837	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝐼)
11	10, 4	ssind 4194	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ (𝐼 ∩ 𝐴))
12		pimincfltioo.x	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
13		elinel2 4155	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
14	13	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
15		mnfxr 11193	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
16	15	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → -∞ ∈ ℝ*)
17		ressxr 11180	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
18	6, 17	sstrdi 3947	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ ℝ*)
19	18	supxrcld 45387	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → sup(𝑌, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
20	7, 19	eqeltrid 2841	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ*)
21	20	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝑆 ∈ ℝ*)
22		elinel1 4154	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐼)
23	22, 9	eleqtrdi 2847	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴) → 𝑥 ∈ (-∞(,)𝑆))
24	23	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝑥 ∈ (-∞(,)𝑆))
25		iooltub 45792	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝑆)) → 𝑥 < 𝑆)
26	16, 21, 24, 25	syl3anc 1374	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝑥 < 𝑆)
27	26	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ ¬ (𝐹‘𝑥) < 𝑅) → 𝑥 < 𝑆)
28		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ ¬ (𝐹‘𝑥) < 𝑅) → ¬ (𝐹‘𝑥) < 𝑅)
29		pimincfltioo.r	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ*)
30	29	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝑅 ∈ ℝ*)
31	30	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ ¬ (𝐹‘𝑥) < 𝑅) → 𝑅 ∈ ℝ*)
32		pimincfltioo.f	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
33	32	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
34	33, 14	ffvelcdmd 7032	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ*)
35	34	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ ¬ (𝐹‘𝑥) < 𝑅) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ*)
36	31, 35	xrlenltd 11202	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ ¬ (𝐹‘𝑥) < 𝑅) → (𝑅 ≤ (𝐹‘𝑥) ↔ ¬ (𝐹‘𝑥) < 𝑅))
37	28, 36	mpbird 257	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ ¬ (𝐹‘𝑥) < 𝑅) → 𝑅 ≤ (𝐹‘𝑥))
38		pimincfltioo.h	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑦𝜑
39		nfv 1916	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)
40	38, 39	nfan 1901	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑦(𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴))
41		nfv 1916	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑅 ≤ (𝐹‘𝑥)
42	40, 41	nfan 1901	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑦((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑅 ≤ (𝐹‘𝑥))
43		fveq2 6835	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦))
44	43	breq1d 5109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐹‘𝑥) < 𝑅 ↔ (𝐹‘𝑦) < 𝑅))
45	44, 1	elrab2 3650	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑌 ↔ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑦) < 𝑅))
46	45	biimpi 216	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑌 → (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑦) < 𝑅))
47	46	simprd 495	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑌 → (𝐹‘𝑦) < 𝑅)
48	47	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → (𝐹‘𝑦) < 𝑅)
49	48	ad5ant14 758	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑅 ≤ (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥) → (𝐹‘𝑦) < 𝑅)
50	5	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
51	50, 14	sseldd 3935	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝑥 ∈ ℝ)
52	51	ad3antrrr 731	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑅 ≤ (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
53	6	sselda 3934	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → 𝑦 ∈ ℝ)
54	53	ad5ant14 758	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑅 ≤ (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥) → 𝑦 ∈ ℝ)
55		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥) → ¬ 𝑦 ≤ 𝑥)
56	51	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
57	53	ad4ant13 752	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥) → 𝑦 ∈ ℝ)
58	56, 57	ltnled 11284	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥) → (𝑥 < 𝑦 ↔ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥))
59	55, 58	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥) → 𝑥 < 𝑦)
60	59	adantllr 720	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑅 ≤ (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥) → 𝑥 < 𝑦)
61	52, 54, 60	ltled 11285	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑅 ≤ (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥) → 𝑥 ≤ 𝑦)
62	30	ad3antrrr 731	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑅 ≤ (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → 𝑅 ∈ ℝ*)
63	34	ad3antrrr 731	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑅 ≤ (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ*)
64	32	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
65	4	sselda 3934	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → 𝑦 ∈ 𝐴)
66	64, 65	ffvelcdmd 7032	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ*)
67	66	ad5ant14 758	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑅 ≤ (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ*)
68		simpllr 776	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑅 ≤ (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → 𝑅 ≤ (𝐹‘𝑥))
69		nfv 1916	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑤(((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)
70		nfv 1916	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑧(((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)
71		pimincfltioo.i	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑦)))
72		breq1 5102	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (𝑤 ≤ 𝑧 ↔ 𝑥 ≤ 𝑧))
73		fveq2 6835	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘𝑥))
74	73	breq1d 5109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → ((𝐹‘𝑤) ≤ (𝐹‘𝑧) ↔ (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑧)))
75	72, 74	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → ((𝑤 ≤ 𝑧 → (𝐹‘𝑤) ≤ (𝐹‘𝑧)) ↔ (𝑥 ≤ 𝑧 → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑧))))
76		breq2 5103	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝑥 ≤ 𝑧 ↔ 𝑥 ≤ 𝑦))
77		fveq2 6835	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝑦))
78	77	breq2d 5111	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ((𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑧) ↔ (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑦)))
79	76, 78	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ((𝑥 ≤ 𝑧 → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑧)) ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑦))))
80	75, 79	cbvral2vw 3219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (∀𝑤 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑤 ≤ 𝑧 → (𝐹‘𝑤) ≤ (𝐹‘𝑧)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑦)))
81	71, 80	sylibr 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → ∀𝑤 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑤 ≤ 𝑧 → (𝐹‘𝑤) ≤ (𝐹‘𝑧)))
82	81	ad3antrrr 731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → ∀𝑤 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑤 ≤ 𝑧 → (𝐹‘𝑤) ≤ (𝐹‘𝑧)))
83	14	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → 𝑥 ∈ 𝐴)
84	65	ad4ant13 752	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝐴)
85		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → 𝑥 ≤ 𝑦)
86	69, 70, 82, 83, 84, 85	dmrelrnrel 45506	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑦))
87	86	adantllr 720	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑅 ≤ (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑦))
88	62, 63, 67, 68, 87	xrletrd 13080	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑅 ≤ (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → 𝑅 ≤ (𝐹‘𝑦))
89	62, 67	xrlenltd 11202	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑅 ≤ (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → (𝑅 ≤ (𝐹‘𝑦) ↔ ¬ (𝐹‘𝑦) < 𝑅))
90	88, 89	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑅 ≤ (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → ¬ (𝐹‘𝑦) < 𝑅)
91	61, 90	syldan 592	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑅 ≤ (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥) → ¬ (𝐹‘𝑦) < 𝑅)
92	49, 91	condan 818	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑅 ≤ (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → 𝑦 ≤ 𝑥)
93	92	ex 412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑅 ≤ (𝐹‘𝑥)) → (𝑦 ∈ 𝑌 → 𝑦 ≤ 𝑥))
94	42, 93	ralrimi 3235	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑅 ≤ (𝐹‘𝑥)) → ∀𝑦 ∈ 𝑌 𝑦 ≤ 𝑥)
95	37, 94	syldan 592	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ ¬ (𝐹‘𝑥) < 𝑅) → ∀𝑦 ∈ 𝑌 𝑦 ≤ 𝑥)
96	18	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝑌 ⊆ ℝ*)
97	17, 51	sselid 3932	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
98		supxrleub 13245	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑌 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (sup(𝑌, ℝ*, < ) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑌 𝑦 ≤ 𝑥))
99	96, 97, 98	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → (sup(𝑌, ℝ*, < ) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑌 𝑦 ≤ 𝑥))
100	99	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ ¬ (𝐹‘𝑥) < 𝑅) → (sup(𝑌, ℝ*, < ) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑌 𝑦 ≤ 𝑥))
101	95, 100	mpbird 257	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ ¬ (𝐹‘𝑥) < 𝑅) → sup(𝑌, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)
102	7, 101	eqbrtrid 5134	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ ¬ (𝐹‘𝑥) < 𝑅) → 𝑆 ≤ 𝑥)
103	21	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ ¬ (𝐹‘𝑥) < 𝑅) → 𝑆 ∈ ℝ*)
104	97	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ ¬ (𝐹‘𝑥) < 𝑅) → 𝑥 ∈ ℝ*)
105	103, 104	xrlenltd 11202	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ ¬ (𝐹‘𝑥) < 𝑅) → (𝑆 ≤ 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 < 𝑆))
106	102, 105	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ ¬ (𝐹‘𝑥) < 𝑅) → ¬ 𝑥 < 𝑆)
107	27, 106	condan 818	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → (𝐹‘𝑥) < 𝑅)
108	14, 107	jca 511	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) < 𝑅))
109	1	reqabi 3423	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑌 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) < 𝑅))
110	108, 109	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝑥 ∈ 𝑌)
111	110	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝑌))
112	12, 111	ralrimi 3235	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)𝑥 ∈ 𝑌)
113		nfcv 2899	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐼 ∩ 𝐴)
114		nfrab1 3420	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑅}
115	1, 114	nfcxfr 2897	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝑌
116	113, 115	dfss3f 3926	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∩ 𝐴) ⊆ 𝑌 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)𝑥 ∈ 𝑌)
117	112, 116	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∩ 𝐴) ⊆ 𝑌)
118	11, 117	eqssd 3952	1 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = (𝐼 ∩ 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  {crab 3400   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902   class class class wbr 5099  ⟶wf 6489  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  supcsup 9347  ℝcr 11029  -∞cmnf 11168  ℝ^*cxr 11169   < clt 11170   ≤ cle 11171  (,)cioo 13265

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-pre-sup 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-sup 9349  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-ioo 13269

This theorem is referenced by:  incsmflem  47021