pimincfltioo - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem pimincfltioo 46019

Description: Given a nondecreasing function, the preimage of an unbounded below, open interval, when the supremum of the preimage does not belong to the preimage. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
pimincfltioo.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
pimincfltioo.h	⊢ Ⅎ𝑦𝜑
pimincfltioo.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
pimincfltioo.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ^*)
pimincfltioo.i	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑦)))
pimincfltioo.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ^*)
pimincfltioo.y	⊢ 𝑌 = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑅}
pimincfltioo.c	⊢ 𝑆 = sup(𝑌, ℝ^*, < )
pimincfltioo.e	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑆 ∈ 𝑌)
pimincfltioo.d	⊢ 𝐼 = (-∞(,)𝑆)

**Assertion**
Ref	Expression
pimincfltioo	⊢ (𝜑 → 𝑌 = (𝐼 ∩ 𝐴))

Distinct variable groups: 𝑥,𝐴,𝑦 𝑥,𝐹,𝑦 𝑥,𝐼,𝑦 𝑥,𝑅,𝑦 𝑦,𝑌 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑥,𝑦) 𝑆(𝑥,𝑦) 𝑌(𝑥)

Proof of Theorem pimincfltioo Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pimincfltioo.y	. . . . . . 7 ⊢ 𝑌 = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑅}
2		ssrab2 4073	. . . . . . 7 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑅} ⊆ 𝐴
3	1, 2	eqsstri 4012	. . . . . 6 ⊢ 𝑌 ⊆ 𝐴
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝐴)
5		pimincfltioo.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
6	4, 5	sstrd 3988	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ ℝ)
7		pimincfltioo.c	. . . 4 ⊢ 𝑆 = sup(𝑌, ℝ^*, < )
8		pimincfltioo.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑆 ∈ 𝑌)
9		pimincfltioo.d	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (-∞(,)𝑆)
10	6, 7, 8, 9	ressioosup 44853	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝐼)
11	10, 4	ssind 4228	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ (𝐼 ∩ 𝐴))
12		pimincfltioo.x	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
13		elinel2 4192	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
14	13	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
15		mnfxr 11287	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -∞ ∈ ℝ^*
16	15	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → -∞ ∈ ℝ^*)
17		ressxr 11274	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℝ ⊆ ℝ^*
18	6, 17	sstrdi 3990	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ ℝ^*)
19	18	supxrcld 44386	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → sup(𝑌, ℝ^, < ) ∈ ℝ^)
20	7, 19	eqeltrid 2832	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ^*)
21	20	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝑆 ∈ ℝ^*)
22		elinel1 4191	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐼)
23	22, 9	eleqtrdi 2838	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴) → 𝑥 ∈ (-∞(,)𝑆))
24	23	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝑥 ∈ (-∞(,)𝑆))
25		iooltub 44808	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ^* ∧ 𝑆 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝑆)) → 𝑥 < 𝑆)
26	16, 21, 24, 25	syl3anc 1369	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝑥 < 𝑆)
27	26	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ ¬ (𝐹‘𝑥) < 𝑅) → 𝑥 < 𝑆)
28		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ ¬ (𝐹‘𝑥) < 𝑅) → ¬ (𝐹‘𝑥) < 𝑅)
29		pimincfltioo.r	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ^*)
30	29	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝑅 ∈ ℝ^*)
31	30	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ ¬ (𝐹‘𝑥) < 𝑅) → 𝑅 ∈ ℝ^*)
32		pimincfltioo.f	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ^*)
33	32	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝐹:𝐴⟶ℝ^*)
34	33, 14	ffvelcdmd 7089	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ^*)
35	34	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ ¬ (𝐹‘𝑥) < 𝑅) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ^*)
36	31, 35	xrlenltd 11296	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ ¬ (𝐹‘𝑥) < 𝑅) → (𝑅 ≤ (𝐹‘𝑥) ↔ ¬ (𝐹‘𝑥) < 𝑅))
37	28, 36	mpbird 257	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ ¬ (𝐹‘𝑥) < 𝑅) → 𝑅 ≤ (𝐹‘𝑥))
38		pimincfltioo.h	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑦𝜑
39		nfv 1910	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)
40	38, 39	nfan 1895	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑦(𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴))
41		nfv 1910	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑅 ≤ (𝐹‘𝑥)
42	40, 41	nfan 1895	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑦((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑅 ≤ (𝐹‘𝑥))
43		fveq2 6891	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦))
44	43	breq1d 5152	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐹‘𝑥) < 𝑅 ↔ (𝐹‘𝑦) < 𝑅))
45	44, 1	elrab2 3683	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑌 ↔ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑦) < 𝑅))
46	45	biimpi 215	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑌 → (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑦) < 𝑅))
47	46	simprd 495	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑌 → (𝐹‘𝑦) < 𝑅)
48	47	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → (𝐹‘𝑦) < 𝑅)
49	48	ad5ant14 757	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑅 ≤ (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥) → (𝐹‘𝑦) < 𝑅)
50	5	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
51	50, 14	sseldd 3979	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝑥 ∈ ℝ)
52	51	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑅 ≤ (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
53	6	sselda 3978	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → 𝑦 ∈ ℝ)
54	53	ad5ant14 757	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑅 ≤ (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥) → 𝑦 ∈ ℝ)
55		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥) → ¬ 𝑦 ≤ 𝑥)
56	51	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
57	53	ad4ant13 750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥) → 𝑦 ∈ ℝ)
58	56, 57	ltnled 11377	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥) → (𝑥 < 𝑦 ↔ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥))
59	55, 58	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥) → 𝑥 < 𝑦)
60	59	adantllr 718	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑅 ≤ (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥) → 𝑥 < 𝑦)
61	52, 54, 60	ltled 11378	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑅 ≤ (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥) → 𝑥 ≤ 𝑦)
62	30	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑅 ≤ (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → 𝑅 ∈ ℝ^*)
63	34	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑅 ≤ (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ^*)
64	32	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → 𝐹:𝐴⟶ℝ^*)
65	4	sselda 3978	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → 𝑦 ∈ 𝐴)
66	64, 65	ffvelcdmd 7089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ^*)
67	66	ad5ant14 757	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑅 ≤ (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ^*)
68		simpllr 775	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑅 ≤ (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → 𝑅 ≤ (𝐹‘𝑥))
69		nfv 1910	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑤(((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)
70		nfv 1910	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑧(((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)
71		pimincfltioo.i	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑦)))
72		breq1 5145	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (𝑤 ≤ 𝑧 ↔ 𝑥 ≤ 𝑧))
73		fveq2 6891	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘𝑥))
74	73	breq1d 5152	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → ((𝐹‘𝑤) ≤ (𝐹‘𝑧) ↔ (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑧)))
75	72, 74	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → ((𝑤 ≤ 𝑧 → (𝐹‘𝑤) ≤ (𝐹‘𝑧)) ↔ (𝑥 ≤ 𝑧 → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑧))))
76		breq2 5146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝑥 ≤ 𝑧 ↔ 𝑥 ≤ 𝑦))
77		fveq2 6891	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝑦))
78	77	breq2d 5154	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ((𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑧) ↔ (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑦)))
79	76, 78	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ((𝑥 ≤ 𝑧 → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑧)) ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑦))))
80	75, 79	cbvral2vw 3233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (∀𝑤 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑤 ≤ 𝑧 → (𝐹‘𝑤) ≤ (𝐹‘𝑧)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑦)))
81	71, 80	sylibr 233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → ∀𝑤 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑤 ≤ 𝑧 → (𝐹‘𝑤) ≤ (𝐹‘𝑧)))
82	81	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → ∀𝑤 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑤 ≤ 𝑧 → (𝐹‘𝑤) ≤ (𝐹‘𝑧)))
83	14	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → 𝑥 ∈ 𝐴)
84	65	ad4ant13 750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝐴)
85		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → 𝑥 ≤ 𝑦)
86	69, 70, 82, 83, 84, 85	dmrelrnrel 44512	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑦))
87	86	adantllr 718	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑅 ≤ (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑦))
88	62, 63, 67, 68, 87	xrletrd 13159	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑅 ≤ (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → 𝑅 ≤ (𝐹‘𝑦))
89	62, 67	xrlenltd 11296	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑅 ≤ (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → (𝑅 ≤ (𝐹‘𝑦) ↔ ¬ (𝐹‘𝑦) < 𝑅))
90	88, 89	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑅 ≤ (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → ¬ (𝐹‘𝑦) < 𝑅)
91	61, 90	syldan 590	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑅 ≤ (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥) → ¬ (𝐹‘𝑦) < 𝑅)
92	49, 91	condan 817	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑅 ≤ (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → 𝑦 ≤ 𝑥)
93	92	ex 412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑅 ≤ (𝐹‘𝑥)) → (𝑦 ∈ 𝑌 → 𝑦 ≤ 𝑥))
94	42, 93	ralrimi 3249	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑅 ≤ (𝐹‘𝑥)) → ∀𝑦 ∈ 𝑌 𝑦 ≤ 𝑥)
95	37, 94	syldan 590	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ ¬ (𝐹‘𝑥) < 𝑅) → ∀𝑦 ∈ 𝑌 𝑦 ≤ 𝑥)
96	18	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝑌 ⊆ ℝ^*)
97	17, 51	sselid 3976	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝑥 ∈ ℝ^*)
98		supxrleub 13323	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑌 ⊆ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ ℝ^) → (sup(𝑌, ℝ^, < ) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑌 𝑦 ≤ 𝑥))
99	96, 97, 98	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → (sup(𝑌, ℝ^*, < ) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑌 𝑦 ≤ 𝑥))
100	99	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ ¬ (𝐹‘𝑥) < 𝑅) → (sup(𝑌, ℝ^*, < ) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑌 𝑦 ≤ 𝑥))
101	95, 100	mpbird 257	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ ¬ (𝐹‘𝑥) < 𝑅) → sup(𝑌, ℝ^*, < ) ≤ 𝑥)
102	7, 101	eqbrtrid 5177	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ ¬ (𝐹‘𝑥) < 𝑅) → 𝑆 ≤ 𝑥)
103	21	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ ¬ (𝐹‘𝑥) < 𝑅) → 𝑆 ∈ ℝ^*)
104	97	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ ¬ (𝐹‘𝑥) < 𝑅) → 𝑥 ∈ ℝ^*)
105	103, 104	xrlenltd 11296	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ ¬ (𝐹‘𝑥) < 𝑅) → (𝑆 ≤ 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 < 𝑆))
106	102, 105	mpbid 231	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ ¬ (𝐹‘𝑥) < 𝑅) → ¬ 𝑥 < 𝑆)
107	27, 106	condan 817	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → (𝐹‘𝑥) < 𝑅)
108	14, 107	jca 511	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) < 𝑅))
109	1	reqabi 3449	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑌 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) < 𝑅))
110	108, 109	sylibr 233	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝑥 ∈ 𝑌)
111	110	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝑌))
112	12, 111	ralrimi 3249	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)𝑥 ∈ 𝑌)
113		nfcv 2898	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐼 ∩ 𝐴)
114		nfrab1 3446	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑅}
115	1, 114	nfcxfr 2896	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝑌
116	113, 115	dfss3f 3969	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∩ 𝐴) ⊆ 𝑌 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)𝑥 ∈ 𝑌)
117	112, 116	sylibr 233	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∩ 𝐴) ⊆ 𝑌)
118	11, 117	eqssd 3995	1 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = (𝐼 ∩ 𝐴))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 395 = wceq 1534 Ⅎwnf 1778 ∈ wcel 2099 ∀wral 3056 {crab 3427 ∩ cin 3943 ⊆ wss 3944 class class class wbr 5142 ⟶wf 6538 ‘cfv 6542 (class class class)co 7414 supcsup 9449 ℝcr 11123 -∞cmnf 11262 ℝ^*cxr 11263 < clt 11264 ≤ cle 11265 (,)cioo 13342

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1790 ax-4 1804 ax-5 1906 ax-6 1964 ax-7 2004 ax-8 2101 ax-9 2109 ax-10 2130 ax-11 2147 ax-12 2164 ax-ext 2698 ax-sep 5293 ax-nul 5300 ax-pow 5359 ax-pr 5423 ax-un 7732 ax-cnex 11180 ax-resscn 11181 ax-1cn 11182 ax-icn 11183 ax-addcl 11184 ax-addrcl 11185 ax-mulcl 11186 ax-mulrcl 11187 ax-mulcom 11188 ax-addass 11189 ax-mulass 11190 ax-distr 11191 ax-i2m1 11192 ax-1ne0 11193 ax-1rid 11194 ax-rnegex 11195 ax-rrecex 11196 ax-cnre 11197 ax-pre-lttri 11198 ax-pre-lttrn 11199 ax-pre-ltadd 11200 ax-pre-mulgt0 11201 ax-pre-sup 11202

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 847 df-3or 1086 df-3an 1087 df-tru 1537 df-fal 1547 df-ex 1775 df-nf 1779 df-sb 2061 df-mo 2529 df-eu 2558 df-clab 2705 df-cleq 2719 df-clel 2805 df-nfc 2880 df-ne 2936 df-nel 3042 df-ral 3057 df-rex 3066 df-rmo 3371 df-reu 3372 df-rab 3428 df-v 3471 df-sbc 3775 df-csb 3890 df-dif 3947 df-un 3949 df-in 3951 df-ss 3961 df-nul 4319 df-if 4525 df-pw 4600 df-sn 4625 df-pr 4627 df-op 4631 df-uni 4904 df-iun 4993 df-br 5143 df-opab 5205 df-mpt 5226 df-id 5570 df-po 5584 df-so 5585 df-xp 5678 df-rel 5679 df-cnv 5680 df-co 5681 df-dm 5682 df-rn 5683 df-res 5684 df-ima 5685 df-iota 6494 df-fun 6544 df-fn 6545 df-f 6546 df-f1 6547 df-fo 6548 df-f1o 6549 df-fv 6550 df-riota 7370 df-ov 7417 df-oprab 7418 df-mpo 7419 df-1st 7985 df-2nd 7986 df-er 8716 df-en 8954 df-dom 8955 df-sdom 8956 df-sup 9451 df-pnf 11266 df-mnf 11267 df-xr 11268 df-ltxr 11269 df-le 11270 df-sub 11462 df-neg 11463 df-ioo 13346

This theorem is referenced by: incsmflem 46042

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