Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pimincfltioo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pimincfltioo 46165
Description: Given a nondecreasing function, the preimage of an unbounded below, open interval, when the supremum of the preimage does not belong to the preimage. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
pimincfltioo.x β„²π‘₯πœ‘
pimincfltioo.h β„²π‘¦πœ‘
pimincfltioo.a (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
pimincfltioo.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„*)
pimincfltioo.i (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘¦)))
pimincfltioo.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
pimincfltioo.y π‘Œ = {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝑅}
pimincfltioo.c 𝑆 = sup(π‘Œ, ℝ*, < )
pimincfltioo.e (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑆 ∈ π‘Œ)
pimincfltioo.d 𝐼 = (-∞(,)𝑆)
Assertion
Ref Expression
pimincfltioo (πœ‘ β†’ π‘Œ = (𝐼 ∩ 𝐴))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴,𝑦   π‘₯,𝐹,𝑦   π‘₯,𝐼,𝑦   π‘₯,𝑅,𝑦   𝑦,π‘Œ
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑦)   𝑆(π‘₯,𝑦)   π‘Œ(π‘₯)

Proof of Theorem pimincfltioo
Dummy variables 𝑀 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pimincfltioo.y . . . . . . 7 π‘Œ = {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝑅}
2 ssrab2 4070 . . . . . . 7 {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝑅} βŠ† 𝐴
31, 2eqsstri 4008 . . . . . 6 π‘Œ βŠ† 𝐴
43a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ βŠ† 𝐴)
5 pimincfltioo.a . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
64, 5sstrd 3984 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ βŠ† ℝ)
7 pimincfltioo.c . . . 4 𝑆 = sup(π‘Œ, ℝ*, < )
8 pimincfltioo.e . . . 4 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑆 ∈ π‘Œ)
9 pimincfltioo.d . . . 4 𝐼 = (-∞(,)𝑆)
106, 7, 8, 9ressioosup 44999 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Œ βŠ† 𝐼)
1110, 4ssind 4228 . 2 (πœ‘ β†’ π‘Œ βŠ† (𝐼 ∩ 𝐴))
12 pimincfltioo.x . . . 4 β„²π‘₯πœ‘
13 elinel2 4191 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (𝐼 ∩ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
1413adantl 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
15 mnfxr 11296 . . . . . . . . . . 11 -∞ ∈ ℝ*
1615a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) β†’ -∞ ∈ ℝ*)
17 ressxr 11283 . . . . . . . . . . . . . 14 ℝ βŠ† ℝ*
186, 17sstrdi 3986 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ π‘Œ βŠ† ℝ*)
1918supxrcld 44534 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ sup(π‘Œ, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
207, 19eqeltrid 2829 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ ℝ*)
2120adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) β†’ 𝑆 ∈ ℝ*)
22 elinel1 4190 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ (𝐼 ∩ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ 𝐼)
2322, 9eleqtrdi 2835 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ (𝐼 ∩ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ (-∞(,)𝑆))
2423adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) β†’ π‘₯ ∈ (-∞(,)𝑆))
25 iooltub 44954 . . . . . . . . . 10 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ (-∞(,)𝑆)) β†’ π‘₯ < 𝑆)
2616, 21, 24, 25syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) β†’ π‘₯ < 𝑆)
2726adantr 479 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝑅) β†’ π‘₯ < 𝑆)
28 simpr 483 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝑅) β†’ Β¬ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝑅)
29 pimincfltioo.r . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
3029adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
3130adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝑅) β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
32 pimincfltioo.f . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„*)
3332adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„*)
3433, 14ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ*)
3534adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝑅) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ*)
3631, 35xrlenltd 11305 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝑅) β†’ (𝑅 ≀ (πΉβ€˜π‘₯) ↔ Β¬ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝑅))
3728, 36mpbird 256 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝑅) β†’ 𝑅 ≀ (πΉβ€˜π‘₯))
38 pimincfltioo.h . . . . . . . . . . . . . . 15 β„²π‘¦πœ‘
39 nfv 1909 . . . . . . . . . . . . . . 15 Ⅎ𝑦 π‘₯ ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)
4038, 39nfan 1894 . . . . . . . . . . . . . 14 Ⅎ𝑦(πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 ∩ 𝐴))
41 nfv 1909 . . . . . . . . . . . . . 14 Ⅎ𝑦 𝑅 ≀ (πΉβ€˜π‘₯)
4240, 41nfan 1894 . . . . . . . . . . . . 13 Ⅎ𝑦((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑅 ≀ (πΉβ€˜π‘₯))
43 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘¦))
4443breq1d 5154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) < 𝑅 ↔ (πΉβ€˜π‘¦) < 𝑅))
4544, 1elrab2 3679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ π‘Œ ↔ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (πΉβ€˜π‘¦) < 𝑅))
4645biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ π‘Œ β†’ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (πΉβ€˜π‘¦) < 𝑅))
4746simprd 494 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ π‘Œ β†’ (πΉβ€˜π‘¦) < 𝑅)
4847adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) < 𝑅)
4948ad5ant14 756 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑅 ≀ (πΉβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) ∧ Β¬ 𝑦 ≀ π‘₯) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) < 𝑅)
505adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
5150, 14sseldd 3974 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
5251ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑅 ≀ (πΉβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) ∧ Β¬ 𝑦 ≀ π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
536sselda 3973 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
5453ad5ant14 756 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑅 ≀ (πΉβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) ∧ Β¬ 𝑦 ≀ π‘₯) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
55 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) ∧ Β¬ 𝑦 ≀ π‘₯) β†’ Β¬ 𝑦 ≀ π‘₯)
5651ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) ∧ Β¬ 𝑦 ≀ π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
5753ad4ant13 749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) ∧ Β¬ 𝑦 ≀ π‘₯) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
5856, 57ltnled 11386 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) ∧ Β¬ 𝑦 ≀ π‘₯) β†’ (π‘₯ < 𝑦 ↔ Β¬ 𝑦 ≀ π‘₯))
5955, 58mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) ∧ Β¬ 𝑦 ≀ π‘₯) β†’ π‘₯ < 𝑦)
6059adantllr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑅 ≀ (πΉβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) ∧ Β¬ 𝑦 ≀ π‘₯) β†’ π‘₯ < 𝑦)
6152, 54, 60ltled 11387 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑅 ≀ (πΉβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) ∧ Β¬ 𝑦 ≀ π‘₯) β†’ π‘₯ ≀ 𝑦)
6230ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑅 ≀ (πΉβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) ∧ π‘₯ ≀ 𝑦) β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
6334ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑅 ≀ (πΉβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) ∧ π‘₯ ≀ 𝑦) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ*)
6432adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„*)
654sselda 3973 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ 𝑦 ∈ 𝐴)
6664, 65ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ ℝ*)
6766ad5ant14 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑅 ≀ (πΉβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) ∧ π‘₯ ≀ 𝑦) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ ℝ*)
68 simpllr 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑅 ≀ (πΉβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) ∧ π‘₯ ≀ 𝑦) β†’ 𝑅 ≀ (πΉβ€˜π‘₯))
69 nfv 1909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Ⅎ𝑀(((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)
70 nfv 1909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Ⅎ𝑧(((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) ∧ π‘₯ ≀ 𝑦)
71 pimincfltioo.i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘¦)))
72 breq1 5147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑀 = π‘₯ β†’ (𝑀 ≀ 𝑧 ↔ π‘₯ ≀ 𝑧))
73 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑀 = π‘₯ β†’ (πΉβ€˜π‘€) = (πΉβ€˜π‘₯))
7473breq1d 5154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑀 = π‘₯ β†’ ((πΉβ€˜π‘€) ≀ (πΉβ€˜π‘§) ↔ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘§)))
7572, 74imbi12d 343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑀 = π‘₯ β†’ ((𝑀 ≀ 𝑧 β†’ (πΉβ€˜π‘€) ≀ (πΉβ€˜π‘§)) ↔ (π‘₯ ≀ 𝑧 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘§))))
76 breq2 5148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑧 = 𝑦 β†’ (π‘₯ ≀ 𝑧 ↔ π‘₯ ≀ 𝑦))
77 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑧 = 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘§) = (πΉβ€˜π‘¦))
7877breq2d 5156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑧 = 𝑦 β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘§) ↔ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘¦)))
7976, 78imbi12d 343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑧 = 𝑦 β†’ ((π‘₯ ≀ 𝑧 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘§)) ↔ (π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘¦))))
8075, 79cbvral2vw 3229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 (𝑀 ≀ 𝑧 β†’ (πΉβ€˜π‘€) ≀ (πΉβ€˜π‘§)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘¦)))
8171, 80sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 (𝑀 ≀ 𝑧 β†’ (πΉβ€˜π‘€) ≀ (πΉβ€˜π‘§)))
8281ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) ∧ π‘₯ ≀ 𝑦) β†’ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 (𝑀 ≀ 𝑧 β†’ (πΉβ€˜π‘€) ≀ (πΉβ€˜π‘§)))
8314ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) ∧ π‘₯ ≀ 𝑦) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
8465ad4ant13 749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) ∧ π‘₯ ≀ 𝑦) β†’ 𝑦 ∈ 𝐴)
85 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) ∧ π‘₯ ≀ 𝑦) β†’ π‘₯ ≀ 𝑦)
8669, 70, 82, 83, 84, 85dmrelrnrel 44659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) ∧ π‘₯ ≀ 𝑦) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘¦))
8786adantllr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑅 ≀ (πΉβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) ∧ π‘₯ ≀ 𝑦) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘¦))
8862, 63, 67, 68, 87xrletrd 13168 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑅 ≀ (πΉβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) ∧ π‘₯ ≀ 𝑦) β†’ 𝑅 ≀ (πΉβ€˜π‘¦))
8962, 67xrlenltd 11305 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑅 ≀ (πΉβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) ∧ π‘₯ ≀ 𝑦) β†’ (𝑅 ≀ (πΉβ€˜π‘¦) ↔ Β¬ (πΉβ€˜π‘¦) < 𝑅))
9088, 89mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑅 ≀ (πΉβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) ∧ π‘₯ ≀ 𝑦) β†’ Β¬ (πΉβ€˜π‘¦) < 𝑅)
9161, 90syldan 589 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑅 ≀ (πΉβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) ∧ Β¬ 𝑦 ≀ π‘₯) β†’ Β¬ (πΉβ€˜π‘¦) < 𝑅)
9249, 91condan 816 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑅 ≀ (πΉβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ 𝑦 ≀ π‘₯)
9392ex 411 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑅 ≀ (πΉβ€˜π‘₯)) β†’ (𝑦 ∈ π‘Œ β†’ 𝑦 ≀ π‘₯))
9442, 93ralrimi 3245 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑅 ≀ (πΉβ€˜π‘₯)) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ 𝑦 ≀ π‘₯)
9537, 94syldan 589 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝑅) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ 𝑦 ≀ π‘₯)
9618adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) β†’ π‘Œ βŠ† ℝ*)
9717, 51sselid 3971 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
98 supxrleub 13332 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Œ βŠ† ℝ* ∧ π‘₯ ∈ ℝ*) β†’ (sup(π‘Œ, ℝ*, < ) ≀ π‘₯ ↔ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ 𝑦 ≀ π‘₯))
9996, 97, 98syl2anc 582 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) β†’ (sup(π‘Œ, ℝ*, < ) ≀ π‘₯ ↔ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ 𝑦 ≀ π‘₯))
10099adantr 479 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝑅) β†’ (sup(π‘Œ, ℝ*, < ) ≀ π‘₯ ↔ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ 𝑦 ≀ π‘₯))
10195, 100mpbird 256 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝑅) β†’ sup(π‘Œ, ℝ*, < ) ≀ π‘₯)
1027, 101eqbrtrid 5179 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝑅) β†’ 𝑆 ≀ π‘₯)
10321adantr 479 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝑅) β†’ 𝑆 ∈ ℝ*)
10497adantr 479 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝑅) β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
105103, 104xrlenltd 11305 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝑅) β†’ (𝑆 ≀ π‘₯ ↔ Β¬ π‘₯ < 𝑆))
106102, 105mpbid 231 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝑅) β†’ Β¬ π‘₯ < 𝑆)
10727, 106condan 816 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝑅)
10814, 107jca 510 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝑅))
1091reqabi 3442 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ π‘Œ ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝑅))
110108, 109sylibr 233 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) β†’ π‘₯ ∈ π‘Œ)
111110ex 411 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐼 ∩ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ π‘Œ))
11212, 111ralrimi 3245 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)π‘₯ ∈ π‘Œ)
113 nfcv 2892 . . . 4 β„²π‘₯(𝐼 ∩ 𝐴)
114 nfrab1 3439 . . . . 5 β„²π‘₯{π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝑅}
1151, 114nfcxfr 2890 . . . 4 β„²π‘₯π‘Œ
116113, 115dfss3f 3965 . . 3 ((𝐼 ∩ 𝐴) βŠ† π‘Œ ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)π‘₯ ∈ π‘Œ)
117112, 116sylibr 233 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐼 ∩ 𝐴) βŠ† π‘Œ)
11811, 117eqssd 3991 1 (πœ‘ β†’ π‘Œ = (𝐼 ∩ 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533  β„²wnf 1777   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3051  {crab 3419   ∩ cin 3940   βŠ† wss 3941   class class class wbr 5144  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7413  supcsup 9458  β„cr 11132  -∞cmnf 11271  β„*cxr 11272   < clt 11273   ≀ cle 11274  (,)cioo 13351
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-pre-sup 11211
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-id 5571  df-po 5585  df-so 5586  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-sup 9460  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-ioo 13355
This theorem is referenced by:  incsmflem  46188
  Copyright terms: Public domain W3C validator