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Theorem pimincfltioo 41592
Description: Given a nondecreasing function, the preimage of an unbounded below, open interval, when the supremum of the preimage does not belong to the preimage. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
pimincfltioo.x 𝑥𝜑
pimincfltioo.h 𝑦𝜑
pimincfltioo.a (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
pimincfltioo.f (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ*)
pimincfltioo.i (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦)))
pimincfltioo.r (𝜑𝑅 ∈ ℝ*)
pimincfltioo.y 𝑌 = {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑅}
pimincfltioo.c 𝑆 = sup(𝑌, ℝ*, < )
pimincfltioo.e (𝜑 → ¬ 𝑆𝑌)
pimincfltioo.d 𝐼 = (-∞(,)𝑆)
Assertion
Ref Expression
pimincfltioo (𝜑𝑌 = (𝐼𝐴))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐼,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑦,𝑌
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝑆(𝑥,𝑦)   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem pimincfltioo
Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pimincfltioo.y . . . . . . 7 𝑌 = {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑅}
2 ssrab2 3849 . . . . . . 7 {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑅} ⊆ 𝐴
31, 2eqsstri 3797 . . . . . 6 𝑌𝐴
43a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝑌𝐴)
5 pimincfltioo.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
64, 5sstrd 3773 . . . 4 (𝜑𝑌 ⊆ ℝ)
7 pimincfltioo.c . . . 4 𝑆 = sup(𝑌, ℝ*, < )
8 pimincfltioo.e . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝑆𝑌)
9 pimincfltioo.d . . . 4 𝐼 = (-∞(,)𝑆)
106, 7, 8, 9ressioosup 40444 . . 3 (𝜑𝑌𝐼)
1110, 4ssind 3998 . 2 (𝜑𝑌 ⊆ (𝐼𝐴))
12 pimincfltioo.x . . . 4 𝑥𝜑
13 elinel2 3964 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝐼𝐴) → 𝑥𝐴)
1413adantl 473 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝑥𝐴)
15 mnfxr 10354 . . . . . . . . . . 11 -∞ ∈ ℝ*
1615a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → -∞ ∈ ℝ*)
17 ressxr 10341 . . . . . . . . . . . . . 14 ℝ ⊆ ℝ*
186, 17syl6ss 3775 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑌 ⊆ ℝ*)
1918supxrcld 39964 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → sup(𝑌, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
207, 19syl5eqel 2848 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑆 ∈ ℝ*)
2120adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝑆 ∈ ℝ*)
22 elinel1 3963 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (𝐼𝐴) → 𝑥𝐼)
2322, 9syl6eleq 2854 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (𝐼𝐴) → 𝑥 ∈ (-∞(,)𝑆))
2423adantl 473 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝑥 ∈ (-∞(,)𝑆))
25 iooltub 40399 . . . . . . . . . 10 ((-∞ ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (-∞(,)𝑆)) → 𝑥 < 𝑆)
2616, 21, 24, 25syl3anc 1490 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝑥 < 𝑆)
2726adantr 472 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ ¬ (𝐹𝑥) < 𝑅) → 𝑥 < 𝑆)
28 simpr 477 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ ¬ (𝐹𝑥) < 𝑅) → ¬ (𝐹𝑥) < 𝑅)
29 pimincfltioo.r . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑅 ∈ ℝ*)
3029adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝑅 ∈ ℝ*)
3130adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ ¬ (𝐹𝑥) < 𝑅) → 𝑅 ∈ ℝ*)
32 pimincfltioo.f . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ*)
3332adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
3433, 14ffvelrnd 6554 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ*)
3534adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ ¬ (𝐹𝑥) < 𝑅) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ*)
3631, 35xrlenltd 10362 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ ¬ (𝐹𝑥) < 𝑅) → (𝑅 ≤ (𝐹𝑥) ↔ ¬ (𝐹𝑥) < 𝑅))
3728, 36mpbird 248 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ ¬ (𝐹𝑥) < 𝑅) → 𝑅 ≤ (𝐹𝑥))
38 pimincfltioo.h . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑦𝜑
39 nfv 2009 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑦 𝑥 ∈ (𝐼𝐴)
4038, 39nfan 1998 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑦(𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴))
41 nfv 2009 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑦 𝑅 ≤ (𝐹𝑥)
4240, 41nfan 1998 . . . . . . . . . . . . 13 𝑦((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑅 ≤ (𝐹𝑥))
43 fveq2 6379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = 𝑦 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦))
4443breq1d 4821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐹𝑥) < 𝑅 ↔ (𝐹𝑦) < 𝑅))
4544, 1elrab2 3525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦𝑌 ↔ (𝑦𝐴 ∧ (𝐹𝑦) < 𝑅))
4645biimpi 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦𝑌 → (𝑦𝐴 ∧ (𝐹𝑦) < 𝑅))
4746simprd 489 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦𝑌 → (𝐹𝑦) < 𝑅)
4847adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦𝑌) → (𝐹𝑦) < 𝑅)
4948ad5ant14 769 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑅 ≤ (𝐹𝑥)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ ¬ 𝑦𝑥) → (𝐹𝑦) < 𝑅)
505adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
5150, 14sseldd 3764 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝑥 ∈ ℝ)
5251ad3antrrr 721 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑅 ≤ (𝐹𝑥)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ ¬ 𝑦𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
536sselda 3763 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑦𝑌) → 𝑦 ∈ ℝ)
5453ad5ant14 769 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑅 ≤ (𝐹𝑥)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ ¬ 𝑦𝑥) → 𝑦 ∈ ℝ)
55 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ ¬ 𝑦𝑥) → ¬ 𝑦𝑥)
5651ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ ¬ 𝑦𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
5753ad4ant13 757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ ¬ 𝑦𝑥) → 𝑦 ∈ ℝ)
5856, 57ltnled 10442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ ¬ 𝑦𝑥) → (𝑥 < 𝑦 ↔ ¬ 𝑦𝑥))
5955, 58mpbird 248 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ ¬ 𝑦𝑥) → 𝑥 < 𝑦)
6059adantllr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑅 ≤ (𝐹𝑥)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ ¬ 𝑦𝑥) → 𝑥 < 𝑦)
6152, 54, 60ltled 10443 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑅 ≤ (𝐹𝑥)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ ¬ 𝑦𝑥) → 𝑥𝑦)
6230ad3antrrr 721 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑅 ≤ (𝐹𝑥)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ 𝑥𝑦) → 𝑅 ∈ ℝ*)
6334ad3antrrr 721 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑅 ≤ (𝐹𝑥)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ 𝑥𝑦) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ*)
6432adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑦𝑌) → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
654sselda 3763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑦𝑌) → 𝑦𝐴)
6664, 65ffvelrnd 6554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑦𝑌) → (𝐹𝑦) ∈ ℝ*)
6766ad5ant14 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑅 ≤ (𝐹𝑥)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ 𝑥𝑦) → (𝐹𝑦) ∈ ℝ*)
68 simpllr 793 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑅 ≤ (𝐹𝑥)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ 𝑥𝑦) → 𝑅 ≤ (𝐹𝑥))
69 nfv 2009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑤(((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ 𝑥𝑦)
70 nfv 2009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑧(((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ 𝑥𝑦)
71 pimincfltioo.i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦)))
72 breq1 4814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑤 = 𝑥 → (𝑤𝑧𝑥𝑧))
73 fveq2 6379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑤 = 𝑥 → (𝐹𝑤) = (𝐹𝑥))
7473breq1d 4821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑤 = 𝑥 → ((𝐹𝑤) ≤ (𝐹𝑧) ↔ (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑧)))
7572, 74imbi12d 335 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑤 = 𝑥 → ((𝑤𝑧 → (𝐹𝑤) ≤ (𝐹𝑧)) ↔ (𝑥𝑧 → (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑧))))
76 breq2 4815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑧 = 𝑦 → (𝑥𝑧𝑥𝑦))
77 fveq2 6379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑧 = 𝑦 → (𝐹𝑧) = (𝐹𝑦))
7877breq2d 4823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑧 = 𝑦 → ((𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑧) ↔ (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦)))
7976, 78imbi12d 335 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑧 = 𝑦 → ((𝑥𝑧 → (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑧)) ↔ (𝑥𝑦 → (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦))))
8075, 79cbvral2v 3327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (∀𝑤𝐴𝑧𝐴 (𝑤𝑧 → (𝐹𝑤) ≤ (𝐹𝑧)) ↔ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦)))
8171, 80sylibr 225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ∀𝑤𝐴𝑧𝐴 (𝑤𝑧 → (𝐹𝑤) ≤ (𝐹𝑧)))
8281ad3antrrr 721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ 𝑥𝑦) → ∀𝑤𝐴𝑧𝐴 (𝑤𝑧 → (𝐹𝑤) ≤ (𝐹𝑧)))
8314ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ 𝑥𝑦) → 𝑥𝐴)
8465ad4ant13 757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ 𝑥𝑦) → 𝑦𝐴)
85 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ 𝑥𝑦) → 𝑥𝑦)
8669, 70, 82, 83, 84, 85dmrelrnrel 40088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ 𝑥𝑦) → (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦))
8786adantllr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑅 ≤ (𝐹𝑥)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ 𝑥𝑦) → (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦))
8862, 63, 67, 68, 87xrletrd 12200 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑅 ≤ (𝐹𝑥)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ 𝑥𝑦) → 𝑅 ≤ (𝐹𝑦))
8962, 67xrlenltd 10362 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑅 ≤ (𝐹𝑥)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ 𝑥𝑦) → (𝑅 ≤ (𝐹𝑦) ↔ ¬ (𝐹𝑦) < 𝑅))
9088, 89mpbid 223 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑅 ≤ (𝐹𝑥)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ 𝑥𝑦) → ¬ (𝐹𝑦) < 𝑅)
9161, 90syldan 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑅 ≤ (𝐹𝑥)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ ¬ 𝑦𝑥) → ¬ (𝐹𝑦) < 𝑅)
9249, 91condan 852 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑅 ≤ (𝐹𝑥)) ∧ 𝑦𝑌) → 𝑦𝑥)
9392ex 401 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑅 ≤ (𝐹𝑥)) → (𝑦𝑌𝑦𝑥))
9442, 93ralrimi 3104 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑅 ≤ (𝐹𝑥)) → ∀𝑦𝑌 𝑦𝑥)
9537, 94syldan 585 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ ¬ (𝐹𝑥) < 𝑅) → ∀𝑦𝑌 𝑦𝑥)
9618adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝑌 ⊆ ℝ*)
9717, 51sseldi 3761 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
98 supxrleub 12363 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑌 ⊆ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) → (sup(𝑌, ℝ*, < ) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦𝑌 𝑦𝑥))
9996, 97, 98syl2anc 579 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → (sup(𝑌, ℝ*, < ) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦𝑌 𝑦𝑥))
10099adantr 472 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ ¬ (𝐹𝑥) < 𝑅) → (sup(𝑌, ℝ*, < ) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦𝑌 𝑦𝑥))
10195, 100mpbird 248 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ ¬ (𝐹𝑥) < 𝑅) → sup(𝑌, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)
1027, 101syl5eqbr 4846 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ ¬ (𝐹𝑥) < 𝑅) → 𝑆𝑥)
10321adantr 472 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ ¬ (𝐹𝑥) < 𝑅) → 𝑆 ∈ ℝ*)
10497adantr 472 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ ¬ (𝐹𝑥) < 𝑅) → 𝑥 ∈ ℝ*)
105103, 104xrlenltd 10362 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ ¬ (𝐹𝑥) < 𝑅) → (𝑆𝑥 ↔ ¬ 𝑥 < 𝑆))
106102, 105mpbid 223 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ ¬ (𝐹𝑥) < 𝑅) → ¬ 𝑥 < 𝑆)
10727, 106condan 852 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → (𝐹𝑥) < 𝑅)
10814, 107jca 507 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → (𝑥𝐴 ∧ (𝐹𝑥) < 𝑅))
1091rabeq2i 3346 . . . . . 6 (𝑥𝑌 ↔ (𝑥𝐴 ∧ (𝐹𝑥) < 𝑅))
110108, 109sylibr 225 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝑥𝑌)
111110ex 401 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐼𝐴) → 𝑥𝑌))
11212, 111ralrimi 3104 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐼𝐴)𝑥𝑌)
113 nfcv 2907 . . . 4 𝑥(𝐼𝐴)
114 nfrab1 3270 . . . . 5 𝑥{𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑅}
1151, 114nfcxfr 2905 . . . 4 𝑥𝑌
116113, 115dfss3f 3755 . . 3 ((𝐼𝐴) ⊆ 𝑌 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐼𝐴)𝑥𝑌)
117112, 116sylibr 225 . 2 (𝜑 → (𝐼𝐴) ⊆ 𝑌)
11811, 117eqssd 3780 1 (𝜑𝑌 = (𝐼𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1652  wnf 1878  wcel 2155  wral 3055  {crab 3059  cin 3733  wss 3734   class class class wbr 4811  wf 6066  cfv 6070  (class class class)co 6846  supcsup 8557  cr 10192  -∞cmnf 10330  *cxr 10331   < clt 10332  cle 10333  (,)cioo 12382
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7151  ax-cnex 10249  ax-resscn 10250  ax-1cn 10251  ax-icn 10252  ax-addcl 10253  ax-addrcl 10254  ax-mulcl 10255  ax-mulrcl 10256  ax-mulcom 10257  ax-addass 10258  ax-mulass 10259  ax-distr 10260  ax-i2m1 10261  ax-1ne0 10262  ax-1rid 10263  ax-rnegex 10264  ax-rrecex 10265  ax-cnre 10266  ax-pre-lttri 10267  ax-pre-lttrn 10268  ax-pre-ltadd 10269  ax-pre-mulgt0 10270  ax-pre-sup 10271
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-op 4343  df-uni 4597  df-iun 4680  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-id 5187  df-po 5200  df-so 5201  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-riota 6807  df-ov 6849  df-oprab 6850  df-mpt2 6851  df-1st 7370  df-2nd 7371  df-er 7951  df-en 8165  df-dom 8166  df-sdom 8167  df-sup 8559  df-pnf 10334  df-mnf 10335  df-xr 10336  df-ltxr 10337  df-le 10338  df-sub 10526  df-neg 10527  df-ioo 12386
This theorem is referenced by:  incsmflem  41614
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