pimdecfgtioo - Mathbox for Glauco Siliprandi

	Mathbox for Glauco Siliprandi		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > pimdecfgtioo		Structured version Visualization version GIF version

Theorem pimdecfgtioo 45731

Description: Given a nondecreasing function, the preimage of an unbounded below, open interval, when the supremum of the preimage does not belong to the preimage. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
pimdecfgtioo.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
pimdecfgtioo.h	⊢ Ⅎ𝑦𝜑
pimdecfgtioo.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
pimdecfgtioo.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ^*)
pimdecfgtioo.d	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥)))
pimdecfgtioo.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ^*)
pimdecfgtioo.y	⊢ 𝑌 = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑅 < (𝐹‘𝑥)}
pimdecfgtioo.c	⊢ 𝑆 = sup(𝑌, ℝ^*, < )
pimdecfgtioo.e	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑆 ∈ 𝑌)
pimdecfgtioo.i	⊢ 𝐼 = (-∞(,)𝑆)

**Assertion**
Ref	Expression
pimdecfgtioo	⊢ (𝜑 → 𝑌 = (𝐼 ∩ 𝐴))

Distinct variable groups: 𝑥,𝐴,𝑦 𝑥,𝐹,𝑦 𝑥,𝐼,𝑦 𝑥,𝑅,𝑦 𝑦,𝑌 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑥,𝑦) 𝑆(𝑥,𝑦) 𝑌(𝑥)

**Proof of Theorem pimdecfgtioo**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		pimdecfgtioo.y	. . . . . . 7 ⊢ 𝑌 = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑅 < (𝐹‘𝑥)}
2		ssrab2 4076	. . . . . . 7 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑅 < (𝐹‘𝑥)} ⊆ 𝐴
3	1, 2	eqsstri 4015	. . . . . 6 ⊢ 𝑌 ⊆ 𝐴
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝐴)
5		pimdecfgtioo.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
6	4, 5	sstrd 3991	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ ℝ)
7		pimdecfgtioo.c	. . . 4 ⊢ 𝑆 = sup(𝑌, ℝ^*, < )
8		pimdecfgtioo.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑆 ∈ 𝑌)
9		pimdecfgtioo.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (-∞(,)𝑆)
10	6, 7, 8, 9	ressioosup 44566	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝐼)
11	10, 4	ssind 4231	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ (𝐼 ∩ 𝐴))
12		pimdecfgtioo.x	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
13		elinel2 4195	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
14	13	adantl 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
15		mnfxr 11275	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -∞ ∈ ℝ^*
16	15	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → -∞ ∈ ℝ^*)
17		ressxr 11262	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℝ ⊆ ℝ^*
18	6, 17	sstrdi 3993	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ ℝ^*)
19	18	supxrcld 44097	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → sup(𝑌, ℝ^, < ) ∈ ℝ^)
20	7, 19	eqeltrid 2835	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ^*)
21	20	adantr 479	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝑆 ∈ ℝ^*)
22		elinel1 4194	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐼)
23	22, 9	eleqtrdi 2841	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴) → 𝑥 ∈ (-∞(,)𝑆))
24	23	adantl 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝑥 ∈ (-∞(,)𝑆))
25		iooltub 44521	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ^* ∧ 𝑆 ∈ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝑆)) → 𝑥 < 𝑆)
26	16, 21, 24, 25	syl3anc 1369	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝑥 < 𝑆)
27	26	adantr 479	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ ¬ 𝑅 < (𝐹‘𝑥)) → 𝑥 < 𝑆)
28		simpr 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ ¬ 𝑅 < (𝐹‘𝑥)) → ¬ 𝑅 < (𝐹‘𝑥))
29		pimdecfgtioo.f	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ^*)
30	29	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝐹:𝐴⟶ℝ^*)
31	30, 14	ffvelcdmd 7086	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ^*)
32	31	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ ¬ 𝑅 < (𝐹‘𝑥)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ^*)
33		pimdecfgtioo.r	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ^*)
34	33	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝑅 ∈ ℝ^*)
35	34	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ ¬ 𝑅 < (𝐹‘𝑥)) → 𝑅 ∈ ℝ^*)
36	32, 35	xrlenltd 11284	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ ¬ 𝑅 < (𝐹‘𝑥)) → ((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑅 ↔ ¬ 𝑅 < (𝐹‘𝑥)))
37	28, 36	mpbird 256	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ ¬ 𝑅 < (𝐹‘𝑥)) → (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑅)
38		pimdecfgtioo.h	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑦𝜑
39		nfv 1915	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)
40	38, 39	nfan 1900	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑦(𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴))
41		nfv 1915	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑦(𝐹‘𝑥) ≤ 𝑅
42	40, 41	nfan 1900	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑦((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑅)
43		fveq2 6890	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦))
44	43	breq2d 5159	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑅 < (𝐹‘𝑥) ↔ 𝑅 < (𝐹‘𝑦)))
45	44, 1	elrab2 3685	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑌 ↔ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 < (𝐹‘𝑦)))
46	45	biimpi 215	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑌 → (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 < (𝐹‘𝑦)))
47	46	simprd 494	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑌 → 𝑅 < (𝐹‘𝑦))
48	47	ad2antlr 723	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥) → 𝑅 < (𝐹‘𝑦))
49	5	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
50	49, 14	sseldd 3982	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝑥 ∈ ℝ)
51	50	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
52	6	sselda 3981	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → 𝑦 ∈ ℝ)
53	52	ad4ant13 747	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥) → 𝑦 ∈ ℝ)
54		simpr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥) → ¬ 𝑦 ≤ 𝑥)
55	51, 53	ltnled 11365	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥) → (𝑥 < 𝑦 ↔ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥))
56	54, 55	mpbird 256	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥) → 𝑥 < 𝑦)
57	51, 53, 56	ltled 11366	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥) → 𝑥 ≤ 𝑦)
58	57	adantllr 715	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥) → 𝑥 ≤ 𝑦)
59	29	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → 𝐹:𝐴⟶ℝ^*)
60	4	sselda 3981	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → 𝑦 ∈ 𝐴)
61	59, 60	ffvelcdmd 7086	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ^*)
62	61	ad5ant14 754	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ^*)
63	31	ad3antrrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ^*)
64	34	ad3antrrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → 𝑅 ∈ ℝ^*)
65		simpr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → 𝑥 ≤ 𝑦)
66		pimdecfgtioo.d	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥)))
67		rspa 3243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥)))
68	66, 13, 67	syl2an 594	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥)))
69	68	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥)))
70	60	ad4ant13 747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝐴)
71		rspa 3243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥)))
72	69, 70, 71	syl2anc 582	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥)))
73	65, 72	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥))
74	73	adantllr 715	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥))
75		simpllr 772	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑅)
76	62, 63, 64, 74, 75	xrletrd 13145	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → (𝐹‘𝑦) ≤ 𝑅)
77	62, 64	xrlenltd 11284	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → ((𝐹‘𝑦) ≤ 𝑅 ↔ ¬ 𝑅 < (𝐹‘𝑦)))
78	76, 77	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → ¬ 𝑅 < (𝐹‘𝑦))
79	58, 78	syldan 589	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥) → ¬ 𝑅 < (𝐹‘𝑦))
80	48, 79	condan 814	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → 𝑦 ≤ 𝑥)
81	80	ex 411	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑅) → (𝑦 ∈ 𝑌 → 𝑦 ≤ 𝑥))
82	42, 81	ralrimi 3252	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑅) → ∀𝑦 ∈ 𝑌 𝑦 ≤ 𝑥)
83	37, 82	syldan 589	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ ¬ 𝑅 < (𝐹‘𝑥)) → ∀𝑦 ∈ 𝑌 𝑦 ≤ 𝑥)
84	18	adantr 479	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝑌 ⊆ ℝ^*)
85	17, 50	sselid 3979	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝑥 ∈ ℝ^*)
86		supxrleub 13309	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑌 ⊆ ℝ^* ∧ 𝑥 ∈ ℝ^) → (sup(𝑌, ℝ^, < ) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑌 𝑦 ≤ 𝑥))
87	84, 85, 86	syl2anc 582	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → (sup(𝑌, ℝ^*, < ) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑌 𝑦 ≤ 𝑥))
88	87	adantr 479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ ¬ 𝑅 < (𝐹‘𝑥)) → (sup(𝑌, ℝ^*, < ) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑌 𝑦 ≤ 𝑥))
89	83, 88	mpbird 256	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ ¬ 𝑅 < (𝐹‘𝑥)) → sup(𝑌, ℝ^*, < ) ≤ 𝑥)
90	7, 89	eqbrtrid 5182	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ ¬ 𝑅 < (𝐹‘𝑥)) → 𝑆 ≤ 𝑥)
91	21	adantr 479	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ ¬ 𝑅 < (𝐹‘𝑥)) → 𝑆 ∈ ℝ^*)
92	85	adantr 479	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ ¬ 𝑅 < (𝐹‘𝑥)) → 𝑥 ∈ ℝ^*)
93	91, 92	xrlenltd 11284	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ ¬ 𝑅 < (𝐹‘𝑥)) → (𝑆 ≤ 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 < 𝑆))
94	90, 93	mpbid 231	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ ¬ 𝑅 < (𝐹‘𝑥)) → ¬ 𝑥 < 𝑆)
95	27, 94	condan 814	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝑅 < (𝐹‘𝑥))
96	14, 95	jca 510	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 < (𝐹‘𝑥)))
97	1	reqabi 3452	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑌 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 < (𝐹‘𝑥)))
98	96, 97	sylibr 233	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝑥 ∈ 𝑌)
99	98	ex 411	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝑌))
100	12, 99	ralrimi 3252	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)𝑥 ∈ 𝑌)
101		nfcv 2901	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐼 ∩ 𝐴)
102		nfrab1 3449	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑅 < (𝐹‘𝑥)}
103	1, 102	nfcxfr 2899	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝑌
104	101, 103	dfss3f 3972	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∩ 𝐴) ⊆ 𝑌 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)𝑥 ∈ 𝑌)
105	100, 104	sylibr 233	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∩ 𝐴) ⊆ 𝑌)
106	11, 105	eqssd 3998	1 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = (𝐼 ∩ 𝐴))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 394 = wceq 1539 Ⅎwnf 1783 ∈ wcel 2104 ∀wral 3059 {crab 3430 ∩ cin 3946 ⊆ wss 3947 class class class wbr 5147 ⟶wf 6538 ‘cfv 6542 (class class class)co 7411 supcsup 9437 ℝcr 11111 -∞cmnf 11250 ℝ^*cxr 11251 < clt 11252 ≤ cle 11253 (,)cioo 13328

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1911 ax-6 1969 ax-7 2009 ax-8 2106 ax-9 2114 ax-10 2135 ax-11 2152 ax-12 2169 ax-ext 2701 ax-sep 5298 ax-nul 5305 ax-pow 5362 ax-pr 5426 ax-un 7727 ax-cnex 11168 ax-resscn 11169 ax-1cn 11170 ax-icn 11171 ax-addcl 11172 ax-addrcl 11173 ax-mulcl 11174 ax-mulrcl 11175 ax-mulcom 11176 ax-addass 11177 ax-mulass 11178 ax-distr 11179 ax-i2m1 11180 ax-1ne0 11181 ax-1rid 11182 ax-rnegex 11183 ax-rrecex 11184 ax-cnre 11185 ax-pre-lttri 11186 ax-pre-lttrn 11187 ax-pre-ltadd 11188 ax-pre-mulgt0 11189 ax-pre-sup 11190

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 844 df-3or 1086 df-3an 1087 df-tru 1542 df-fal 1552 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2066 df-mo 2532 df-eu 2561 df-clab 2708 df-cleq 2722 df-clel 2808 df-nfc 2883 df-ne 2939 df-nel 3045 df-ral 3060 df-rex 3069 df-rmo 3374 df-reu 3375 df-rab 3431 df-v 3474 df-sbc 3777 df-csb 3893 df-dif 3950 df-un 3952 df-in 3954 df-ss 3964 df-nul 4322 df-if 4528 df-pw 4603 df-sn 4628 df-pr 4630 df-op 4634 df-uni 4908 df-iun 4998 df-br 5148 df-opab 5210 df-mpt 5231 df-id 5573 df-po 5587 df-so 5588 df-xp 5681 df-rel 5682 df-cnv 5683 df-co 5684 df-dm 5685 df-rn 5686 df-res 5687 df-ima 5688 df-iota 6494 df-fun 6544 df-fn 6545 df-f 6546 df-f1 6547 df-fo 6548 df-f1o 6549 df-fv 6550 df-riota 7367 df-ov 7414 df-oprab 7415 df-mpo 7416 df-1st 7977 df-2nd 7978 df-er 8705 df-en 8942 df-dom 8943 df-sdom 8944 df-sup 9439 df-pnf 11254 df-mnf 11255 df-xr 11256 df-ltxr 11257 df-le 11258 df-sub 11450 df-neg 11451 df-ioo 13332

This theorem is referenced by: decsmflem 45780

W3C validator