Theorem pimdecfgtioo 47696

Description: Given a nondecreasing function, the preimage of an unbounded below, open interval, when the supremum of the preimage does not belong to the preimage. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
pimdecfgtioo.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
pimdecfgtioo.h	⊢ Ⅎ𝑦𝜑
pimdecfgtioo.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
pimdecfgtioo.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
pimdecfgtioo.d	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥)))
pimdecfgtioo.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ*)
pimdecfgtioo.y	⊢ 𝑌 = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑅 < (𝐹‘𝑥)}
pimdecfgtioo.c	⊢ 𝑆 = sup(𝑌, ℝ*, < )
pimdecfgtioo.e	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑆 ∈ 𝑌)
pimdecfgtioo.i	⊢ 𝐼 = (-∞(,)𝑆)

Assertion

Ref	Expression
pimdecfgtioo	⊢ (𝜑 → 𝑌 = (𝐼 ∩ 𝐴))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐼,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑦,𝑌

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑦)   𝑆(𝑥, 𝑦)   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem pimdecfgtioo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pimdecfgtioo.y	. . . . . . 7 ⊢ 𝑌 = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑅 < (𝐹‘𝑥)}
2		ssrab2 4028	. . . . . . 7 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑅 < (𝐹‘𝑥)} ⊆ 𝐴
3	1, 2	eqsstri 3977	. . . . . 6 ⊢ 𝑌 ⊆ 𝐴
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝐴)
5		pimdecfgtioo.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
6	4, 5	sstrd 3941	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ ℝ)
7		pimdecfgtioo.c	. . . 4 ⊢ 𝑆 = sup(𝑌, ℝ*, < )
8		pimdecfgtioo.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑆 ∈ 𝑌)
9		pimdecfgtioo.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (-∞(,)𝑆)
10	6, 7, 8, 9	ressioosup 46536	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝐼)
11	10, 4	ssind 4186	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ (𝐼 ∩ 𝐴))
12		pimdecfgtioo.x	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
13		elinel2 4148	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
14	13	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
15		mnfxr 11359	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
16	15	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → -∞ ∈ ℝ*)
17		ressxr 11346	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
18	6, 17	sstrdi 3943	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ ℝ*)
19	18	supxrcld 46091	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → sup(𝑌, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
20	7, 19	eqeltrid 2865	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ*)
21	20	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝑆 ∈ ℝ*)
22		elinel1 4147	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐼)
23	22, 9	eleqtrdi 2871	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴) → 𝑥 ∈ (-∞(,)𝑆))
24	23	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝑥 ∈ (-∞(,)𝑆))
25		iooltub 46491	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝑆)) → 𝑥 < 𝑆)
26	16, 21, 24, 25	syl3anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝑥 < 𝑆)
27	26	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ ¬ 𝑅 < (𝐹‘𝑥)) → 𝑥 < 𝑆)
28		simpr 490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ ¬ 𝑅 < (𝐹‘𝑥)) → ¬ 𝑅 < (𝐹‘𝑥))
29		pimdecfgtioo.f	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
30	29	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
31	30, 14	ffvelcdmd 7083	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ*)
32	31	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ ¬ 𝑅 < (𝐹‘𝑥)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ*)
33		pimdecfgtioo.r	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ*)
34	33	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝑅 ∈ ℝ*)
35	34	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ ¬ 𝑅 < (𝐹‘𝑥)) → 𝑅 ∈ ℝ*)
36	32, 35	xrlenltd 11368	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ ¬ 𝑅 < (𝐹‘𝑥)) → ((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑅 ↔ ¬ 𝑅 < (𝐹‘𝑥)))
37	28, 36	mpbird 260	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ ¬ 𝑅 < (𝐹‘𝑥)) → (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑅)
38		pimdecfgtioo.h	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑦𝜑
39		nfv 1947	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)
40	38, 39	nfan 1932	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑦(𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴))
41		nfv 1947	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑦(𝐹‘𝑥) ≤ 𝑅
42	40, 41	nfan 1932	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑦((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑅)
43		fveq2 6883	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦))
44	43	breq2d 5115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑅 < (𝐹‘𝑥) ↔ 𝑅 < (𝐹‘𝑦)))
45	44, 1	elrab2 3649	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑌 ↔ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 < (𝐹‘𝑦)))
46	45	biimpi 219	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑌 → (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 < (𝐹‘𝑦)))
47	46	simprd 501	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑌 → 𝑅 < (𝐹‘𝑦))
48	47	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥) → 𝑅 < (𝐹‘𝑦))
49	5	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
50	49, 14	sseldd 3932	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝑥 ∈ ℝ)
51	50	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
52	6	sselda 3931	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → 𝑦 ∈ ℝ)
53	52	ad4ant13 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥) → 𝑦 ∈ ℝ)
54		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥) → ¬ 𝑦 ≤ 𝑥)
55	51, 53	ltnled 11450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥) → (𝑥 < 𝑦 ↔ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥))
56	54, 55	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥) → 𝑥 < 𝑦)
57	51, 53, 56	ltled 11451	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥) → 𝑥 ≤ 𝑦)
58	57	adantllr 732	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥) → 𝑥 ≤ 𝑦)
59	29	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
60	4	sselda 3931	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → 𝑦 ∈ 𝐴)
61	59, 60	ffvelcdmd 7083	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ*)
62	61	ad5ant14 770	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ*)
63	31	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ*)
64	34	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → 𝑅 ∈ ℝ*)
65		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → 𝑥 ≤ 𝑦)
66		pimdecfgtioo.d	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥)))
67		rspa 3252	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥)))
68	66, 13, 67	syl2an 608	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥)))
69	68	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥)))
70	60	ad4ant13 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝐴)
71		rspa 3252	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥)))
72	69, 70, 71	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥)))
73	65, 72	mpd 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥))
74	73	adantllr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥))
75		simpllr 788	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑅)
76	62, 63, 64, 74, 75	xrletrd 13284	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → (𝐹‘𝑦) ≤ 𝑅)
77	62, 64	xrlenltd 11368	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → ((𝐹‘𝑦) ≤ 𝑅 ↔ ¬ 𝑅 < (𝐹‘𝑦)))
78	76, 77	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → ¬ 𝑅 < (𝐹‘𝑦))
79	58, 78	syldan 603	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥) → ¬ 𝑅 < (𝐹‘𝑦))
80	48, 79	condan 830	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → 𝑦 ≤ 𝑥)
81	80	ex 418	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑅) → (𝑦 ∈ 𝑌 → 𝑦 ≤ 𝑥))
82	42, 81	ralrimi 3261	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑅) → ∀𝑦 ∈ 𝑌 𝑦 ≤ 𝑥)
83	37, 82	syldan 603	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ ¬ 𝑅 < (𝐹‘𝑥)) → ∀𝑦 ∈ 𝑌 𝑦 ≤ 𝑥)
84	18	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝑌 ⊆ ℝ*)
85	17, 50	sselid 3929	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
86		supxrleub 13449	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑌 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (sup(𝑌, ℝ*, < ) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑌 𝑦 ≤ 𝑥))
87	84, 85, 86	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → (sup(𝑌, ℝ*, < ) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑌 𝑦 ≤ 𝑥))
88	87	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ ¬ 𝑅 < (𝐹‘𝑥)) → (sup(𝑌, ℝ*, < ) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑌 𝑦 ≤ 𝑥))
89	83, 88	mpbird 260	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ ¬ 𝑅 < (𝐹‘𝑥)) → sup(𝑌, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)
90	7, 89	eqbrtrid 5140	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ ¬ 𝑅 < (𝐹‘𝑥)) → 𝑆 ≤ 𝑥)
91	21	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ ¬ 𝑅 < (𝐹‘𝑥)) → 𝑆 ∈ ℝ*)
92	85	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ ¬ 𝑅 < (𝐹‘𝑥)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
93	91, 92	xrlenltd 11368	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ ¬ 𝑅 < (𝐹‘𝑥)) → (𝑆 ≤ 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 < 𝑆))
94	90, 93	mpbid 235	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ ¬ 𝑅 < (𝐹‘𝑥)) → ¬ 𝑥 < 𝑆)
95	27, 94	condan 830	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝑅 < (𝐹‘𝑥))
96	14, 95	jca 521	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 < (𝐹‘𝑥)))
97	1	reqabi 3435	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑌 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 < (𝐹‘𝑥)))
98	96, 97	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝑥 ∈ 𝑌)
99	98	ex 418	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝑌))
100	12, 99	ralrimi 3261	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)𝑥 ∈ 𝑌)
101		nfcv 2923	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐼 ∩ 𝐴)
102		nfrab1 3432	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑅 < (𝐹‘𝑥)}
103	1, 102	nfcxfr 2921	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝑌
104	101, 103	dfss3f 3923	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∩ 𝐴) ⊆ 𝑌 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)𝑥 ∈ 𝑌)
105	100, 104	sylibr 237	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∩ 𝐴) ⊆ 𝑌)
106	11, 105	eqssd 3948	1 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = (𝐼 ∩ 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570  Ⅎwnf 1816   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077  {crab 3413   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5103  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  supcsup 9425  ℝcr 11192  -∞cmnf 11334  ℝ^*cxr 11335   < clt 11336   ≤ cle 11337  (,)cioo 13469

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270  ax-pre-sup 11271

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-sup 9427  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-ioo 13473

This theorem is used by:  decsmflem  47745