Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pimdecfgtioo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pimdecfgtioo 42880
 Description: Given a nondecreasing function, the preimage of an unbounded below, open interval, when the supremum of the preimage does not belong to the preimage. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
pimdecfgtioo.x 𝑥𝜑
pimdecfgtioo.h 𝑦𝜑
pimdecfgtioo.a (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
pimdecfgtioo.f (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ*)
pimdecfgtioo.d (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥)))
pimdecfgtioo.r (𝜑𝑅 ∈ ℝ*)
pimdecfgtioo.y 𝑌 = {𝑥𝐴𝑅 < (𝐹𝑥)}
pimdecfgtioo.c 𝑆 = sup(𝑌, ℝ*, < )
pimdecfgtioo.e (𝜑 → ¬ 𝑆𝑌)
pimdecfgtioo.i 𝐼 = (-∞(,)𝑆)
Assertion
Ref Expression
pimdecfgtioo (𝜑𝑌 = (𝐼𝐴))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐼,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑦,𝑌
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝑆(𝑥,𝑦)   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem pimdecfgtioo
StepHypRef Expression
1 pimdecfgtioo.y . . . . . . 7 𝑌 = {𝑥𝐴𝑅 < (𝐹𝑥)}
2 ssrab2 4060 . . . . . . 7 {𝑥𝐴𝑅 < (𝐹𝑥)} ⊆ 𝐴
31, 2eqsstri 4005 . . . . . 6 𝑌𝐴
43a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝑌𝐴)
5 pimdecfgtioo.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
64, 5sstrd 3981 . . . 4 (𝜑𝑌 ⊆ ℝ)
7 pimdecfgtioo.c . . . 4 𝑆 = sup(𝑌, ℝ*, < )
8 pimdecfgtioo.e . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝑆𝑌)
9 pimdecfgtioo.i . . . 4 𝐼 = (-∞(,)𝑆)
106, 7, 8, 9ressioosup 41715 . . 3 (𝜑𝑌𝐼)
1110, 4ssind 4213 . 2 (𝜑𝑌 ⊆ (𝐼𝐴))
12 pimdecfgtioo.x . . . 4 𝑥𝜑
13 elinel2 4177 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝐼𝐴) → 𝑥𝐴)
1413adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝑥𝐴)
15 mnfxr 10692 . . . . . . . . . . 11 -∞ ∈ ℝ*
1615a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → -∞ ∈ ℝ*)
17 ressxr 10679 . . . . . . . . . . . . . 14 ℝ ⊆ ℝ*
186, 17sstrdi 3983 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑌 ⊆ ℝ*)
1918supxrcld 41258 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → sup(𝑌, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
207, 19eqeltrid 2922 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑆 ∈ ℝ*)
2120adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝑆 ∈ ℝ*)
22 elinel1 4176 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (𝐼𝐴) → 𝑥𝐼)
2322, 9syl6eleq 2928 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (𝐼𝐴) → 𝑥 ∈ (-∞(,)𝑆))
2423adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝑥 ∈ (-∞(,)𝑆))
25 iooltub 41670 . . . . . . . . . 10 ((-∞ ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (-∞(,)𝑆)) → 𝑥 < 𝑆)
2616, 21, 24, 25syl3anc 1365 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝑥 < 𝑆)
2726adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ ¬ 𝑅 < (𝐹𝑥)) → 𝑥 < 𝑆)
28 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ ¬ 𝑅 < (𝐹𝑥)) → ¬ 𝑅 < (𝐹𝑥))
29 pimdecfgtioo.f . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ*)
3029adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
3130, 14ffvelrnd 6850 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ*)
3231adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ ¬ 𝑅 < (𝐹𝑥)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ*)
33 pimdecfgtioo.r . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑅 ∈ ℝ*)
3433adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝑅 ∈ ℝ*)
3534adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ ¬ 𝑅 < (𝐹𝑥)) → 𝑅 ∈ ℝ*)
3632, 35xrlenltd 10701 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ ¬ 𝑅 < (𝐹𝑥)) → ((𝐹𝑥) ≤ 𝑅 ↔ ¬ 𝑅 < (𝐹𝑥)))
3728, 36mpbird 258 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ ¬ 𝑅 < (𝐹𝑥)) → (𝐹𝑥) ≤ 𝑅)
38 pimdecfgtioo.h . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑦𝜑
39 nfv 1908 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑦 𝑥 ∈ (𝐼𝐴)
4038, 39nfan 1893 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑦(𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴))
41 nfv 1908 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑦(𝐹𝑥) ≤ 𝑅
4240, 41nfan 1893 . . . . . . . . . . . . 13 𝑦((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝐹𝑥) ≤ 𝑅)
43 fveq2 6669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 𝑦 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦))
4443breq2d 5075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑦 → (𝑅 < (𝐹𝑥) ↔ 𝑅 < (𝐹𝑦)))
4544, 1elrab2 3687 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦𝑌 ↔ (𝑦𝐴𝑅 < (𝐹𝑦)))
4645biimpi 217 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦𝑌 → (𝑦𝐴𝑅 < (𝐹𝑦)))
4746simprd 496 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦𝑌𝑅 < (𝐹𝑦))
4847ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝐹𝑥) ≤ 𝑅) ∧ 𝑦𝑌) ∧ ¬ 𝑦𝑥) → 𝑅 < (𝐹𝑦))
495adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
5049, 14sseldd 3972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝑥 ∈ ℝ)
5150ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ ¬ 𝑦𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
526sselda 3971 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑦𝑌) → 𝑦 ∈ ℝ)
5352ad4ant13 747 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ ¬ 𝑦𝑥) → 𝑦 ∈ ℝ)
54 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ ¬ 𝑦𝑥) → ¬ 𝑦𝑥)
5551, 53ltnled 10781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ ¬ 𝑦𝑥) → (𝑥 < 𝑦 ↔ ¬ 𝑦𝑥))
5654, 55mpbird 258 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ ¬ 𝑦𝑥) → 𝑥 < 𝑦)
5751, 53, 56ltled 10782 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ ¬ 𝑦𝑥) → 𝑥𝑦)
5857adantllr 715 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝐹𝑥) ≤ 𝑅) ∧ 𝑦𝑌) ∧ ¬ 𝑦𝑥) → 𝑥𝑦)
5929adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑦𝑌) → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
604sselda 3971 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑦𝑌) → 𝑦𝐴)
6159, 60ffvelrnd 6850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑦𝑌) → (𝐹𝑦) ∈ ℝ*)
6261ad5ant14 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝐹𝑥) ≤ 𝑅) ∧ 𝑦𝑌) ∧ 𝑥𝑦) → (𝐹𝑦) ∈ ℝ*)
6331ad3antrrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝐹𝑥) ≤ 𝑅) ∧ 𝑦𝑌) ∧ 𝑥𝑦) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ*)
6434ad3antrrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝐹𝑥) ≤ 𝑅) ∧ 𝑦𝑌) ∧ 𝑥𝑦) → 𝑅 ∈ ℝ*)
65 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ 𝑥𝑦) → 𝑥𝑦)
66 pimdecfgtioo.d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥)))
67 rspa 3211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥)) ∧ 𝑥𝐴) → ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥)))
6866, 13, 67syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥)))
6968ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ 𝑥𝑦) → ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥)))
7060ad4ant13 747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ 𝑥𝑦) → 𝑦𝐴)
71 rspa 3211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((∀𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥)) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑥𝑦 → (𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥)))
7269, 70, 71syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ 𝑥𝑦) → (𝑥𝑦 → (𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥)))
7365, 72mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ 𝑥𝑦) → (𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥))
7473adantllr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝐹𝑥) ≤ 𝑅) ∧ 𝑦𝑌) ∧ 𝑥𝑦) → (𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥))
75 simpllr 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝐹𝑥) ≤ 𝑅) ∧ 𝑦𝑌) ∧ 𝑥𝑦) → (𝐹𝑥) ≤ 𝑅)
7662, 63, 64, 74, 75xrletrd 12550 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝐹𝑥) ≤ 𝑅) ∧ 𝑦𝑌) ∧ 𝑥𝑦) → (𝐹𝑦) ≤ 𝑅)
7762, 64xrlenltd 10701 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝐹𝑥) ≤ 𝑅) ∧ 𝑦𝑌) ∧ 𝑥𝑦) → ((𝐹𝑦) ≤ 𝑅 ↔ ¬ 𝑅 < (𝐹𝑦)))
7876, 77mpbid 233 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝐹𝑥) ≤ 𝑅) ∧ 𝑦𝑌) ∧ 𝑥𝑦) → ¬ 𝑅 < (𝐹𝑦))
7958, 78syldan 591 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝐹𝑥) ≤ 𝑅) ∧ 𝑦𝑌) ∧ ¬ 𝑦𝑥) → ¬ 𝑅 < (𝐹𝑦))
8048, 79condan 814 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝐹𝑥) ≤ 𝑅) ∧ 𝑦𝑌) → 𝑦𝑥)
8180ex 413 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝐹𝑥) ≤ 𝑅) → (𝑦𝑌𝑦𝑥))
8242, 81ralrimi 3221 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝐹𝑥) ≤ 𝑅) → ∀𝑦𝑌 𝑦𝑥)
8337, 82syldan 591 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ ¬ 𝑅 < (𝐹𝑥)) → ∀𝑦𝑌 𝑦𝑥)
8418adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝑌 ⊆ ℝ*)
8517, 50sseldi 3969 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
86 supxrleub 12714 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑌 ⊆ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) → (sup(𝑌, ℝ*, < ) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦𝑌 𝑦𝑥))
8784, 85, 86syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → (sup(𝑌, ℝ*, < ) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦𝑌 𝑦𝑥))
8887adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ ¬ 𝑅 < (𝐹𝑥)) → (sup(𝑌, ℝ*, < ) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦𝑌 𝑦𝑥))
8983, 88mpbird 258 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ ¬ 𝑅 < (𝐹𝑥)) → sup(𝑌, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)
907, 89eqbrtrid 5098 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ ¬ 𝑅 < (𝐹𝑥)) → 𝑆𝑥)
9121adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ ¬ 𝑅 < (𝐹𝑥)) → 𝑆 ∈ ℝ*)
9285adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ ¬ 𝑅 < (𝐹𝑥)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
9391, 92xrlenltd 10701 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ ¬ 𝑅 < (𝐹𝑥)) → (𝑆𝑥 ↔ ¬ 𝑥 < 𝑆))
9490, 93mpbid 233 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ ¬ 𝑅 < (𝐹𝑥)) → ¬ 𝑥 < 𝑆)
9527, 94condan 814 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝑅 < (𝐹𝑥))
9614, 95jca 512 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → (𝑥𝐴𝑅 < (𝐹𝑥)))
971rabeq2i 3493 . . . . . 6 (𝑥𝑌 ↔ (𝑥𝐴𝑅 < (𝐹𝑥)))
9896, 97sylibr 235 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝑥𝑌)
9998ex 413 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐼𝐴) → 𝑥𝑌))
10012, 99ralrimi 3221 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐼𝐴)𝑥𝑌)
101 nfcv 2982 . . . 4 𝑥(𝐼𝐴)
102 nfrab1 3390 . . . . 5 𝑥{𝑥𝐴𝑅 < (𝐹𝑥)}
1031, 102nfcxfr 2980 . . . 4 𝑥𝑌
104101, 103dfss3f 3963 . . 3 ((𝐼𝐴) ⊆ 𝑌 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐼𝐴)𝑥𝑌)
105100, 104sylibr 235 . 2 (𝜑 → (𝐼𝐴) ⊆ 𝑌)
10611, 105eqssd 3988 1 (𝜑𝑌 = (𝐼𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1530  Ⅎwnf 1777   ∈ wcel 2107  ∀wral 3143  {crab 3147   ∩ cin 3939   ⊆ wss 3940   class class class wbr 5063  ⟶wf 6350  ‘cfv 6354  (class class class)co 7150  supcsup 8898  ℝcr 10530  -∞cmnf 10667  ℝ*cxr 10668   < clt 10669   ≤ cle 10670  (,)cioo 12733 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609 This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4838  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-id 5459  df-po 5473  df-so 5474  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-er 8284  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-sup 8900  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-ioo 12737 This theorem is referenced by:  decsmflem  42927
 Copyright terms: Public domain W3C validator