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Theorem pimdecfgtioo 45270
Description: Given a nondecreasing function, the preimage of an unbounded below, open interval, when the supremum of the preimage does not belong to the preimage. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
pimdecfgtioo.x 𝑥𝜑
pimdecfgtioo.h 𝑦𝜑
pimdecfgtioo.a (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
pimdecfgtioo.f (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ*)
pimdecfgtioo.d (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥)))
pimdecfgtioo.r (𝜑𝑅 ∈ ℝ*)
pimdecfgtioo.y 𝑌 = {𝑥𝐴𝑅 < (𝐹𝑥)}
pimdecfgtioo.c 𝑆 = sup(𝑌, ℝ*, < )
pimdecfgtioo.e (𝜑 → ¬ 𝑆𝑌)
pimdecfgtioo.i 𝐼 = (-∞(,)𝑆)
Assertion
Ref Expression
pimdecfgtioo (𝜑𝑌 = (𝐼𝐴))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐼,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑦,𝑌
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝑆(𝑥,𝑦)   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem pimdecfgtioo
StepHypRef Expression
1 pimdecfgtioo.y . . . . . . 7 𝑌 = {𝑥𝐴𝑅 < (𝐹𝑥)}
2 ssrab2 4074 . . . . . . 7 {𝑥𝐴𝑅 < (𝐹𝑥)} ⊆ 𝐴
31, 2eqsstri 4013 . . . . . 6 𝑌𝐴
43a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝑌𝐴)
5 pimdecfgtioo.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
64, 5sstrd 3989 . . . 4 (𝜑𝑌 ⊆ ℝ)
7 pimdecfgtioo.c . . . 4 𝑆 = sup(𝑌, ℝ*, < )
8 pimdecfgtioo.e . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝑆𝑌)
9 pimdecfgtioo.i . . . 4 𝐼 = (-∞(,)𝑆)
106, 7, 8, 9ressioosup 44105 . . 3 (𝜑𝑌𝐼)
1110, 4ssind 4229 . 2 (𝜑𝑌 ⊆ (𝐼𝐴))
12 pimdecfgtioo.x . . . 4 𝑥𝜑
13 elinel2 4193 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝐼𝐴) → 𝑥𝐴)
1413adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝑥𝐴)
15 mnfxr 11255 . . . . . . . . . . 11 -∞ ∈ ℝ*
1615a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → -∞ ∈ ℝ*)
17 ressxr 11242 . . . . . . . . . . . . . 14 ℝ ⊆ ℝ*
186, 17sstrdi 3991 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑌 ⊆ ℝ*)
1918supxrcld 43631 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → sup(𝑌, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
207, 19eqeltrid 2837 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑆 ∈ ℝ*)
2120adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝑆 ∈ ℝ*)
22 elinel1 4192 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (𝐼𝐴) → 𝑥𝐼)
2322, 9eleqtrdi 2843 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (𝐼𝐴) → 𝑥 ∈ (-∞(,)𝑆))
2423adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝑥 ∈ (-∞(,)𝑆))
25 iooltub 44060 . . . . . . . . . 10 ((-∞ ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (-∞(,)𝑆)) → 𝑥 < 𝑆)
2616, 21, 24, 25syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝑥 < 𝑆)
2726adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ ¬ 𝑅 < (𝐹𝑥)) → 𝑥 < 𝑆)
28 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ ¬ 𝑅 < (𝐹𝑥)) → ¬ 𝑅 < (𝐹𝑥))
29 pimdecfgtioo.f . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ*)
3029adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
3130, 14ffvelcdmd 7073 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ*)
3231adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ ¬ 𝑅 < (𝐹𝑥)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ*)
33 pimdecfgtioo.r . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑅 ∈ ℝ*)
3433adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝑅 ∈ ℝ*)
3534adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ ¬ 𝑅 < (𝐹𝑥)) → 𝑅 ∈ ℝ*)
3632, 35xrlenltd 11264 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ ¬ 𝑅 < (𝐹𝑥)) → ((𝐹𝑥) ≤ 𝑅 ↔ ¬ 𝑅 < (𝐹𝑥)))
3728, 36mpbird 256 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ ¬ 𝑅 < (𝐹𝑥)) → (𝐹𝑥) ≤ 𝑅)
38 pimdecfgtioo.h . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑦𝜑
39 nfv 1917 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑦 𝑥 ∈ (𝐼𝐴)
4038, 39nfan 1902 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑦(𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴))
41 nfv 1917 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑦(𝐹𝑥) ≤ 𝑅
4240, 41nfan 1902 . . . . . . . . . . . . 13 𝑦((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝐹𝑥) ≤ 𝑅)
43 fveq2 6879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 𝑦 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦))
4443breq2d 5154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑦 → (𝑅 < (𝐹𝑥) ↔ 𝑅 < (𝐹𝑦)))
4544, 1elrab2 3683 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦𝑌 ↔ (𝑦𝐴𝑅 < (𝐹𝑦)))
4645biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦𝑌 → (𝑦𝐴𝑅 < (𝐹𝑦)))
4746simprd 496 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦𝑌𝑅 < (𝐹𝑦))
4847ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝐹𝑥) ≤ 𝑅) ∧ 𝑦𝑌) ∧ ¬ 𝑦𝑥) → 𝑅 < (𝐹𝑦))
495adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
5049, 14sseldd 3980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝑥 ∈ ℝ)
5150ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ ¬ 𝑦𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
526sselda 3979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑦𝑌) → 𝑦 ∈ ℝ)
5352ad4ant13 749 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ ¬ 𝑦𝑥) → 𝑦 ∈ ℝ)
54 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ ¬ 𝑦𝑥) → ¬ 𝑦𝑥)
5551, 53ltnled 11345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ ¬ 𝑦𝑥) → (𝑥 < 𝑦 ↔ ¬ 𝑦𝑥))
5654, 55mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ ¬ 𝑦𝑥) → 𝑥 < 𝑦)
5751, 53, 56ltled 11346 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ ¬ 𝑦𝑥) → 𝑥𝑦)
5857adantllr 717 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝐹𝑥) ≤ 𝑅) ∧ 𝑦𝑌) ∧ ¬ 𝑦𝑥) → 𝑥𝑦)
5929adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑦𝑌) → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
604sselda 3979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑦𝑌) → 𝑦𝐴)
6159, 60ffvelcdmd 7073 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑦𝑌) → (𝐹𝑦) ∈ ℝ*)
6261ad5ant14 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝐹𝑥) ≤ 𝑅) ∧ 𝑦𝑌) ∧ 𝑥𝑦) → (𝐹𝑦) ∈ ℝ*)
6331ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝐹𝑥) ≤ 𝑅) ∧ 𝑦𝑌) ∧ 𝑥𝑦) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ*)
6434ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝐹𝑥) ≤ 𝑅) ∧ 𝑦𝑌) ∧ 𝑥𝑦) → 𝑅 ∈ ℝ*)
65 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ 𝑥𝑦) → 𝑥𝑦)
66 pimdecfgtioo.d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥)))
67 rspa 3245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥)) ∧ 𝑥𝐴) → ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥)))
6866, 13, 67syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥)))
6968ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ 𝑥𝑦) → ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥)))
7060ad4ant13 749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ 𝑥𝑦) → 𝑦𝐴)
71 rspa 3245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((∀𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥)) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑥𝑦 → (𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥)))
7269, 70, 71syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ 𝑥𝑦) → (𝑥𝑦 → (𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥)))
7365, 72mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ 𝑥𝑦) → (𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥))
7473adantllr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝐹𝑥) ≤ 𝑅) ∧ 𝑦𝑌) ∧ 𝑥𝑦) → (𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥))
75 simpllr 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝐹𝑥) ≤ 𝑅) ∧ 𝑦𝑌) ∧ 𝑥𝑦) → (𝐹𝑥) ≤ 𝑅)
7662, 63, 64, 74, 75xrletrd 13125 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝐹𝑥) ≤ 𝑅) ∧ 𝑦𝑌) ∧ 𝑥𝑦) → (𝐹𝑦) ≤ 𝑅)
7762, 64xrlenltd 11264 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝐹𝑥) ≤ 𝑅) ∧ 𝑦𝑌) ∧ 𝑥𝑦) → ((𝐹𝑦) ≤ 𝑅 ↔ ¬ 𝑅 < (𝐹𝑦)))
7876, 77mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝐹𝑥) ≤ 𝑅) ∧ 𝑦𝑌) ∧ 𝑥𝑦) → ¬ 𝑅 < (𝐹𝑦))
7958, 78syldan 591 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝐹𝑥) ≤ 𝑅) ∧ 𝑦𝑌) ∧ ¬ 𝑦𝑥) → ¬ 𝑅 < (𝐹𝑦))
8048, 79condan 816 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝐹𝑥) ≤ 𝑅) ∧ 𝑦𝑌) → 𝑦𝑥)
8180ex 413 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝐹𝑥) ≤ 𝑅) → (𝑦𝑌𝑦𝑥))
8242, 81ralrimi 3254 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝐹𝑥) ≤ 𝑅) → ∀𝑦𝑌 𝑦𝑥)
8337, 82syldan 591 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ ¬ 𝑅 < (𝐹𝑥)) → ∀𝑦𝑌 𝑦𝑥)
8418adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝑌 ⊆ ℝ*)
8517, 50sselid 3977 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
86 supxrleub 13289 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑌 ⊆ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) → (sup(𝑌, ℝ*, < ) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦𝑌 𝑦𝑥))
8784, 85, 86syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → (sup(𝑌, ℝ*, < ) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦𝑌 𝑦𝑥))
8887adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ ¬ 𝑅 < (𝐹𝑥)) → (sup(𝑌, ℝ*, < ) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦𝑌 𝑦𝑥))
8983, 88mpbird 256 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ ¬ 𝑅 < (𝐹𝑥)) → sup(𝑌, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)
907, 89eqbrtrid 5177 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ ¬ 𝑅 < (𝐹𝑥)) → 𝑆𝑥)
9121adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ ¬ 𝑅 < (𝐹𝑥)) → 𝑆 ∈ ℝ*)
9285adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ ¬ 𝑅 < (𝐹𝑥)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
9391, 92xrlenltd 11264 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ ¬ 𝑅 < (𝐹𝑥)) → (𝑆𝑥 ↔ ¬ 𝑥 < 𝑆))
9490, 93mpbid 231 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ ¬ 𝑅 < (𝐹𝑥)) → ¬ 𝑥 < 𝑆)
9527, 94condan 816 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝑅 < (𝐹𝑥))
9614, 95jca 512 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → (𝑥𝐴𝑅 < (𝐹𝑥)))
971reqabi 3454 . . . . . 6 (𝑥𝑌 ↔ (𝑥𝐴𝑅 < (𝐹𝑥)))
9896, 97sylibr 233 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝑥𝑌)
9998ex 413 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐼𝐴) → 𝑥𝑌))
10012, 99ralrimi 3254 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐼𝐴)𝑥𝑌)
101 nfcv 2903 . . . 4 𝑥(𝐼𝐴)
102 nfrab1 3451 . . . . 5 𝑥{𝑥𝐴𝑅 < (𝐹𝑥)}
1031, 102nfcxfr 2901 . . . 4 𝑥𝑌
104101, 103dfss3f 3970 . . 3 ((𝐼𝐴) ⊆ 𝑌 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐼𝐴)𝑥𝑌)
105100, 104sylibr 233 . 2 (𝜑 → (𝐼𝐴) ⊆ 𝑌)
10611, 105eqssd 3996 1 (𝜑𝑌 = (𝐼𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wnf 1785  wcel 2106  wral 3061  {crab 3432  cin 3944  wss 3945   class class class wbr 5142  wf 6529  cfv 6533  (class class class)co 7394  supcsup 9419  cr 11093  -∞cmnf 11230  *cxr 11231   < clt 11232  cle 11233  (,)cioo 13308
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5357  ax-pr 5421  ax-un 7709  ax-cnex 11150  ax-resscn 11151  ax-1cn 11152  ax-icn 11153  ax-addcl 11154  ax-addrcl 11155  ax-mulcl 11156  ax-mulrcl 11157  ax-mulcom 11158  ax-addass 11159  ax-mulass 11160  ax-distr 11161  ax-i2m1 11162  ax-1ne0 11163  ax-1rid 11164  ax-rnegex 11165  ax-rrecex 11166  ax-cnre 11167  ax-pre-lttri 11168  ax-pre-lttrn 11169  ax-pre-ltadd 11170  ax-pre-mulgt0 11171  ax-pre-sup 11172
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4320  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5568  df-po 5582  df-so 5583  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7350  df-ov 7397  df-oprab 7398  df-mpo 7399  df-1st 7959  df-2nd 7960  df-er 8688  df-en 8925  df-dom 8926  df-sdom 8927  df-sup 9421  df-pnf 11234  df-mnf 11235  df-xr 11236  df-ltxr 11237  df-le 11238  df-sub 11430  df-neg 11431  df-ioo 13312
This theorem is referenced by:  decsmflem  45319
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