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Theorem pimdecfgtioo 46673
Description: Given a nondecreasing function, the preimage of an unbounded below, open interval, when the supremum of the preimage does not belong to the preimage. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
pimdecfgtioo.x 𝑥𝜑
pimdecfgtioo.h 𝑦𝜑
pimdecfgtioo.a (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
pimdecfgtioo.f (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ*)
pimdecfgtioo.d (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥)))
pimdecfgtioo.r (𝜑𝑅 ∈ ℝ*)
pimdecfgtioo.y 𝑌 = {𝑥𝐴𝑅 < (𝐹𝑥)}
pimdecfgtioo.c 𝑆 = sup(𝑌, ℝ*, < )
pimdecfgtioo.e (𝜑 → ¬ 𝑆𝑌)
pimdecfgtioo.i 𝐼 = (-∞(,)𝑆)
Assertion
Ref Expression
pimdecfgtioo (𝜑𝑌 = (𝐼𝐴))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐼,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑦,𝑌
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝑆(𝑥,𝑦)   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem pimdecfgtioo
StepHypRef Expression
1 pimdecfgtioo.y . . . . . . 7 𝑌 = {𝑥𝐴𝑅 < (𝐹𝑥)}
2 ssrab2 4090 . . . . . . 7 {𝑥𝐴𝑅 < (𝐹𝑥)} ⊆ 𝐴
31, 2eqsstri 4030 . . . . . 6 𝑌𝐴
43a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝑌𝐴)
5 pimdecfgtioo.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
64, 5sstrd 4006 . . . 4 (𝜑𝑌 ⊆ ℝ)
7 pimdecfgtioo.c . . . 4 𝑆 = sup(𝑌, ℝ*, < )
8 pimdecfgtioo.e . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝑆𝑌)
9 pimdecfgtioo.i . . . 4 𝐼 = (-∞(,)𝑆)
106, 7, 8, 9ressioosup 45508 . . 3 (𝜑𝑌𝐼)
1110, 4ssind 4249 . 2 (𝜑𝑌 ⊆ (𝐼𝐴))
12 pimdecfgtioo.x . . . 4 𝑥𝜑
13 elinel2 4212 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝐼𝐴) → 𝑥𝐴)
1413adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝑥𝐴)
15 mnfxr 11316 . . . . . . . . . . 11 -∞ ∈ ℝ*
1615a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → -∞ ∈ ℝ*)
17 ressxr 11303 . . . . . . . . . . . . . 14 ℝ ⊆ ℝ*
186, 17sstrdi 4008 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑌 ⊆ ℝ*)
1918supxrcld 45047 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → sup(𝑌, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
207, 19eqeltrid 2843 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑆 ∈ ℝ*)
2120adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝑆 ∈ ℝ*)
22 elinel1 4211 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (𝐼𝐴) → 𝑥𝐼)
2322, 9eleqtrdi 2849 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (𝐼𝐴) → 𝑥 ∈ (-∞(,)𝑆))
2423adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝑥 ∈ (-∞(,)𝑆))
25 iooltub 45463 . . . . . . . . . 10 ((-∞ ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (-∞(,)𝑆)) → 𝑥 < 𝑆)
2616, 21, 24, 25syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝑥 < 𝑆)
2726adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ ¬ 𝑅 < (𝐹𝑥)) → 𝑥 < 𝑆)
28 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ ¬ 𝑅 < (𝐹𝑥)) → ¬ 𝑅 < (𝐹𝑥))
29 pimdecfgtioo.f . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ*)
3029adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
3130, 14ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ*)
3231adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ ¬ 𝑅 < (𝐹𝑥)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ*)
33 pimdecfgtioo.r . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑅 ∈ ℝ*)
3433adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝑅 ∈ ℝ*)
3534adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ ¬ 𝑅 < (𝐹𝑥)) → 𝑅 ∈ ℝ*)
3632, 35xrlenltd 11325 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ ¬ 𝑅 < (𝐹𝑥)) → ((𝐹𝑥) ≤ 𝑅 ↔ ¬ 𝑅 < (𝐹𝑥)))
3728, 36mpbird 257 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ ¬ 𝑅 < (𝐹𝑥)) → (𝐹𝑥) ≤ 𝑅)
38 pimdecfgtioo.h . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑦𝜑
39 nfv 1912 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑦 𝑥 ∈ (𝐼𝐴)
4038, 39nfan 1897 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑦(𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴))
41 nfv 1912 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑦(𝐹𝑥) ≤ 𝑅
4240, 41nfan 1897 . . . . . . . . . . . . 13 𝑦((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝐹𝑥) ≤ 𝑅)
43 fveq2 6907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 𝑦 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦))
4443breq2d 5160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑦 → (𝑅 < (𝐹𝑥) ↔ 𝑅 < (𝐹𝑦)))
4544, 1elrab2 3698 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦𝑌 ↔ (𝑦𝐴𝑅 < (𝐹𝑦)))
4645biimpi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦𝑌 → (𝑦𝐴𝑅 < (𝐹𝑦)))
4746simprd 495 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦𝑌𝑅 < (𝐹𝑦))
4847ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝐹𝑥) ≤ 𝑅) ∧ 𝑦𝑌) ∧ ¬ 𝑦𝑥) → 𝑅 < (𝐹𝑦))
495adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
5049, 14sseldd 3996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝑥 ∈ ℝ)
5150ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ ¬ 𝑦𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
526sselda 3995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑦𝑌) → 𝑦 ∈ ℝ)
5352ad4ant13 751 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ ¬ 𝑦𝑥) → 𝑦 ∈ ℝ)
54 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ ¬ 𝑦𝑥) → ¬ 𝑦𝑥)
5551, 53ltnled 11406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ ¬ 𝑦𝑥) → (𝑥 < 𝑦 ↔ ¬ 𝑦𝑥))
5654, 55mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ ¬ 𝑦𝑥) → 𝑥 < 𝑦)
5751, 53, 56ltled 11407 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ ¬ 𝑦𝑥) → 𝑥𝑦)
5857adantllr 719 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝐹𝑥) ≤ 𝑅) ∧ 𝑦𝑌) ∧ ¬ 𝑦𝑥) → 𝑥𝑦)
5929adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑦𝑌) → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
604sselda 3995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑦𝑌) → 𝑦𝐴)
6159, 60ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑦𝑌) → (𝐹𝑦) ∈ ℝ*)
6261ad5ant14 758 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝐹𝑥) ≤ 𝑅) ∧ 𝑦𝑌) ∧ 𝑥𝑦) → (𝐹𝑦) ∈ ℝ*)
6331ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝐹𝑥) ≤ 𝑅) ∧ 𝑦𝑌) ∧ 𝑥𝑦) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ*)
6434ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝐹𝑥) ≤ 𝑅) ∧ 𝑦𝑌) ∧ 𝑥𝑦) → 𝑅 ∈ ℝ*)
65 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ 𝑥𝑦) → 𝑥𝑦)
66 pimdecfgtioo.d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥)))
67 rspa 3246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥)) ∧ 𝑥𝐴) → ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥)))
6866, 13, 67syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥)))
6968ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ 𝑥𝑦) → ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥)))
7060ad4ant13 751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ 𝑥𝑦) → 𝑦𝐴)
71 rspa 3246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((∀𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥)) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑥𝑦 → (𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥)))
7269, 70, 71syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ 𝑥𝑦) → (𝑥𝑦 → (𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥)))
7365, 72mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ 𝑥𝑦) → (𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥))
7473adantllr 719 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝐹𝑥) ≤ 𝑅) ∧ 𝑦𝑌) ∧ 𝑥𝑦) → (𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥))
75 simpllr 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝐹𝑥) ≤ 𝑅) ∧ 𝑦𝑌) ∧ 𝑥𝑦) → (𝐹𝑥) ≤ 𝑅)
7662, 63, 64, 74, 75xrletrd 13201 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝐹𝑥) ≤ 𝑅) ∧ 𝑦𝑌) ∧ 𝑥𝑦) → (𝐹𝑦) ≤ 𝑅)
7762, 64xrlenltd 11325 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝐹𝑥) ≤ 𝑅) ∧ 𝑦𝑌) ∧ 𝑥𝑦) → ((𝐹𝑦) ≤ 𝑅 ↔ ¬ 𝑅 < (𝐹𝑦)))
7876, 77mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝐹𝑥) ≤ 𝑅) ∧ 𝑦𝑌) ∧ 𝑥𝑦) → ¬ 𝑅 < (𝐹𝑦))
7958, 78syldan 591 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝐹𝑥) ≤ 𝑅) ∧ 𝑦𝑌) ∧ ¬ 𝑦𝑥) → ¬ 𝑅 < (𝐹𝑦))
8048, 79condan 818 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝐹𝑥) ≤ 𝑅) ∧ 𝑦𝑌) → 𝑦𝑥)
8180ex 412 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝐹𝑥) ≤ 𝑅) → (𝑦𝑌𝑦𝑥))
8242, 81ralrimi 3255 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝐹𝑥) ≤ 𝑅) → ∀𝑦𝑌 𝑦𝑥)
8337, 82syldan 591 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ ¬ 𝑅 < (𝐹𝑥)) → ∀𝑦𝑌 𝑦𝑥)
8418adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝑌 ⊆ ℝ*)
8517, 50sselid 3993 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
86 supxrleub 13365 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑌 ⊆ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) → (sup(𝑌, ℝ*, < ) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦𝑌 𝑦𝑥))
8784, 85, 86syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → (sup(𝑌, ℝ*, < ) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦𝑌 𝑦𝑥))
8887adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ ¬ 𝑅 < (𝐹𝑥)) → (sup(𝑌, ℝ*, < ) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦𝑌 𝑦𝑥))
8983, 88mpbird 257 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ ¬ 𝑅 < (𝐹𝑥)) → sup(𝑌, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)
907, 89eqbrtrid 5183 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ ¬ 𝑅 < (𝐹𝑥)) → 𝑆𝑥)
9121adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ ¬ 𝑅 < (𝐹𝑥)) → 𝑆 ∈ ℝ*)
9285adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ ¬ 𝑅 < (𝐹𝑥)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
9391, 92xrlenltd 11325 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ ¬ 𝑅 < (𝐹𝑥)) → (𝑆𝑥 ↔ ¬ 𝑥 < 𝑆))
9490, 93mpbid 232 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ ¬ 𝑅 < (𝐹𝑥)) → ¬ 𝑥 < 𝑆)
9527, 94condan 818 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝑅 < (𝐹𝑥))
9614, 95jca 511 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → (𝑥𝐴𝑅 < (𝐹𝑥)))
971reqabi 3457 . . . . . 6 (𝑥𝑌 ↔ (𝑥𝐴𝑅 < (𝐹𝑥)))
9896, 97sylibr 234 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝑥𝑌)
9998ex 412 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐼𝐴) → 𝑥𝑌))
10012, 99ralrimi 3255 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐼𝐴)𝑥𝑌)
101 nfcv 2903 . . . 4 𝑥(𝐼𝐴)
102 nfrab1 3454 . . . . 5 𝑥{𝑥𝐴𝑅 < (𝐹𝑥)}
1031, 102nfcxfr 2901 . . . 4 𝑥𝑌
104101, 103dfss3f 3987 . . 3 ((𝐼𝐴) ⊆ 𝑌 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐼𝐴)𝑥𝑌)
105100, 104sylibr 234 . 2 (𝜑 → (𝐼𝐴) ⊆ 𝑌)
10611, 105eqssd 4013 1 (𝜑𝑌 = (𝐼𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wnf 1780  wcel 2106  wral 3059  {crab 3433  cin 3962  wss 3963   class class class wbr 5148  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  supcsup 9478  cr 11152  -∞cmnf 11291  *cxr 11292   < clt 11293  cle 11294  (,)cioo 13384
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-ioo 13388
This theorem is referenced by:  decsmflem  46722
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