Theorem pimdecfgtioo 44305

Description: Given a nondecreasing function, the preimage of an unbounded below, open interval, when the supremum of the preimage does not belong to the preimage. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
pimdecfgtioo.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
pimdecfgtioo.h	⊢ Ⅎ𝑦𝜑
pimdecfgtioo.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
pimdecfgtioo.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
pimdecfgtioo.d	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥)))
pimdecfgtioo.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ*)
pimdecfgtioo.y	⊢ 𝑌 = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑅 < (𝐹‘𝑥)}
pimdecfgtioo.c	⊢ 𝑆 = sup(𝑌, ℝ*, < )
pimdecfgtioo.e	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑆 ∈ 𝑌)
pimdecfgtioo.i	⊢ 𝐼 = (-∞(,)𝑆)

Assertion

Ref	Expression
pimdecfgtioo	⊢ (𝜑 → 𝑌 = (𝐼 ∩ 𝐴))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐼,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑦,𝑌

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝑆(𝑥,𝑦)   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem pimdecfgtioo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pimdecfgtioo.y	. . . . . . 7 ⊢ 𝑌 = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑅 < (𝐹‘𝑥)}
2		ssrab2 4019	. . . . . . 7 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑅 < (𝐹‘𝑥)} ⊆ 𝐴
3	1, 2	eqsstri 3960	. . . . . 6 ⊢ 𝑌 ⊆ 𝐴
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝐴)
5		pimdecfgtioo.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
6	4, 5	sstrd 3936	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ ℝ)
7		pimdecfgtioo.c	. . . 4 ⊢ 𝑆 = sup(𝑌, ℝ*, < )
8		pimdecfgtioo.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑆 ∈ 𝑌)
9		pimdecfgtioo.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (-∞(,)𝑆)
10	6, 7, 8, 9	ressioosup 43142	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝐼)
11	10, 4	ssind 4172	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ (𝐼 ∩ 𝐴))
12		pimdecfgtioo.x	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
13		elinel2 4136	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
14	13	adantl 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
15		mnfxr 11078	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
16	15	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → -∞ ∈ ℝ*)
17		ressxr 11065	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
18	6, 17	sstrdi 3938	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ ℝ*)
19	18	supxrcld 42695	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → sup(𝑌, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
20	7, 19	eqeltrid 2841	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ*)
21	20	adantr 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝑆 ∈ ℝ*)
22		elinel1 4135	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐼)
23	22, 9	eleqtrdi 2847	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴) → 𝑥 ∈ (-∞(,)𝑆))
24	23	adantl 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝑥 ∈ (-∞(,)𝑆))
25		iooltub 43097	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝑆)) → 𝑥 < 𝑆)
26	16, 21, 24, 25	syl3anc 1371	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝑥 < 𝑆)
27	26	adantr 482	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ ¬ 𝑅 < (𝐹‘𝑥)) → 𝑥 < 𝑆)
28		simpr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ ¬ 𝑅 < (𝐹‘𝑥)) → ¬ 𝑅 < (𝐹‘𝑥))
29		pimdecfgtioo.f	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
30	29	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
31	30, 14	ffvelcdmd 6994	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ*)
32	31	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ ¬ 𝑅 < (𝐹‘𝑥)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ*)
33		pimdecfgtioo.r	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ*)
34	33	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝑅 ∈ ℝ*)
35	34	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ ¬ 𝑅 < (𝐹‘𝑥)) → 𝑅 ∈ ℝ*)
36	32, 35	xrlenltd 11087	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ ¬ 𝑅 < (𝐹‘𝑥)) → ((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑅 ↔ ¬ 𝑅 < (𝐹‘𝑥)))
37	28, 36	mpbird 257	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ ¬ 𝑅 < (𝐹‘𝑥)) → (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑅)
38		pimdecfgtioo.h	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑦𝜑
39		nfv 1915	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)
40	38, 39	nfan 1900	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑦(𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴))
41		nfv 1915	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑦(𝐹‘𝑥) ≤ 𝑅
42	40, 41	nfan 1900	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑦((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑅)
43		fveq2 6804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦))
44	43	breq2d 5093	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑅 < (𝐹‘𝑥) ↔ 𝑅 < (𝐹‘𝑦)))
45	44, 1	elrab2 3632	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑌 ↔ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 < (𝐹‘𝑦)))
46	45	biimpi 215	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑌 → (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 < (𝐹‘𝑦)))
47	46	simprd 497	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑌 → 𝑅 < (𝐹‘𝑦))
48	47	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥) → 𝑅 < (𝐹‘𝑦))
49	5	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
50	49, 14	sseldd 3927	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝑥 ∈ ℝ)
51	50	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
52	6	sselda 3926	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → 𝑦 ∈ ℝ)
53	52	ad4ant13 749	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥) → 𝑦 ∈ ℝ)
54		simpr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥) → ¬ 𝑦 ≤ 𝑥)
55	51, 53	ltnled 11168	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥) → (𝑥 < 𝑦 ↔ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥))
56	54, 55	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥) → 𝑥 < 𝑦)
57	51, 53, 56	ltled 11169	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥) → 𝑥 ≤ 𝑦)
58	57	adantllr 717	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥) → 𝑥 ≤ 𝑦)
59	29	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
60	4	sselda 3926	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → 𝑦 ∈ 𝐴)
61	59, 60	ffvelcdmd 6994	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ*)
62	61	ad5ant14 756	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ*)
63	31	ad3antrrr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ*)
64	34	ad3antrrr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → 𝑅 ∈ ℝ*)
65		simpr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → 𝑥 ≤ 𝑦)
66		pimdecfgtioo.d	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥)))
67		rspa 3228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥)))
68	66, 13, 67	syl2an 597	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥)))
69	68	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥)))
70	60	ad4ant13 749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝐴)
71		rspa 3228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥)))
72	69, 70, 71	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥)))
73	65, 72	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥))
74	73	adantllr 717	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥))
75		simpllr 774	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑅)
76	62, 63, 64, 74, 75	xrletrd 12942	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → (𝐹‘𝑦) ≤ 𝑅)
77	62, 64	xrlenltd 11087	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → ((𝐹‘𝑦) ≤ 𝑅 ↔ ¬ 𝑅 < (𝐹‘𝑦)))
78	76, 77	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → ¬ 𝑅 < (𝐹‘𝑦))
79	58, 78	syldan 592	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥) → ¬ 𝑅 < (𝐹‘𝑦))
80	48, 79	condan 816	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → 𝑦 ≤ 𝑥)
81	80	ex 414	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑅) → (𝑦 ∈ 𝑌 → 𝑦 ≤ 𝑥))
82	42, 81	ralrimi 3237	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑅) → ∀𝑦 ∈ 𝑌 𝑦 ≤ 𝑥)
83	37, 82	syldan 592	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ ¬ 𝑅 < (𝐹‘𝑥)) → ∀𝑦 ∈ 𝑌 𝑦 ≤ 𝑥)
84	18	adantr 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝑌 ⊆ ℝ*)
85	17, 50	sselid 3924	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
86		supxrleub 13106	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑌 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (sup(𝑌, ℝ*, < ) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑌 𝑦 ≤ 𝑥))
87	84, 85, 86	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → (sup(𝑌, ℝ*, < ) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑌 𝑦 ≤ 𝑥))
88	87	adantr 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ ¬ 𝑅 < (𝐹‘𝑥)) → (sup(𝑌, ℝ*, < ) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑌 𝑦 ≤ 𝑥))
89	83, 88	mpbird 257	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ ¬ 𝑅 < (𝐹‘𝑥)) → sup(𝑌, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)
90	7, 89	eqbrtrid 5116	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ ¬ 𝑅 < (𝐹‘𝑥)) → 𝑆 ≤ 𝑥)
91	21	adantr 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ ¬ 𝑅 < (𝐹‘𝑥)) → 𝑆 ∈ ℝ*)
92	85	adantr 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ ¬ 𝑅 < (𝐹‘𝑥)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
93	91, 92	xrlenltd 11087	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ ¬ 𝑅 < (𝐹‘𝑥)) → (𝑆 ≤ 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 < 𝑆))
94	90, 93	mpbid 231	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ ¬ 𝑅 < (𝐹‘𝑥)) → ¬ 𝑥 < 𝑆)
95	27, 94	condan 816	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝑅 < (𝐹‘𝑥))
96	14, 95	jca 513	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 < (𝐹‘𝑥)))
97	1	rabeq2i 3429	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑌 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 < (𝐹‘𝑥)))
98	96, 97	sylibr 233	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝑥 ∈ 𝑌)
99	98	ex 414	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝑌))
100	12, 99	ralrimi 3237	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)𝑥 ∈ 𝑌)
101		nfcv 2905	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐼 ∩ 𝐴)
102		nfrab1 3329	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑅 < (𝐹‘𝑥)}
103	1, 102	nfcxfr 2903	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝑌
104	101, 103	dfss3f 3917	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∩ 𝐴) ⊆ 𝑌 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)𝑥 ∈ 𝑌)
105	100, 104	sylibr 233	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∩ 𝐴) ⊆ 𝑌)
106	11, 105	eqssd 3943	1 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = (𝐼 ∩ 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1539  Ⅎwnf 1783   ∈ wcel 2104  ∀wral 3062  {crab 3284   ∩ cin 3891   ⊆ wss 3892   class class class wbr 5081  ⟶wf 6454  ‘cfv 6458  (class class class)co 7307  supcsup 9243  ℝcr 10916  -∞cmnf 11053  ℝ^*cxr 11054   < clt 11055   ≤ cle 11056  (,)cioo 13125

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-cnex 10973  ax-resscn 10974  ax-1cn 10975  ax-icn 10976  ax-addcl 10977  ax-addrcl 10978  ax-mulcl 10979  ax-mulrcl 10980  ax-mulcom 10981  ax-addass 10982  ax-mulass 10983  ax-distr 10984  ax-i2m1 10985  ax-1ne0 10986  ax-1rid 10987  ax-rnegex 10988  ax-rrecex 10989  ax-cnre 10990  ax-pre-lttri 10991  ax-pre-lttrn 10992  ax-pre-ltadd 10993  ax-pre-mulgt0 10994  ax-pre-sup 10995

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3285  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-id 5500  df-po 5514  df-so 5515  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-1st 7863  df-2nd 7864  df-er 8529  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-sup 9245  df-pnf 11057  df-mnf 11058  df-xr 11059  df-ltxr 11060  df-le 11061  df-sub 11253  df-neg 11254  df-ioo 13129

This theorem is referenced by:  decsmflem  44354