Theorem pimdecfgtioo 42994

Description: Given a nondecreasing function, the preimage of an unbounded below, open interval, when the supremum of the preimage does not belong to the preimage. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
pimdecfgtioo.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
pimdecfgtioo.h	⊢ Ⅎ𝑦𝜑
pimdecfgtioo.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
pimdecfgtioo.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
pimdecfgtioo.d	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥)))
pimdecfgtioo.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ*)
pimdecfgtioo.y	⊢ 𝑌 = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑅 < (𝐹‘𝑥)}
pimdecfgtioo.c	⊢ 𝑆 = sup(𝑌, ℝ*, < )
pimdecfgtioo.e	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑆 ∈ 𝑌)
pimdecfgtioo.i	⊢ 𝐼 = (-∞(,)𝑆)

Assertion

Ref	Expression
pimdecfgtioo	⊢ (𝜑 → 𝑌 = (𝐼 ∩ 𝐴))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐼,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑦,𝑌

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝑆(𝑥,𝑦)   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem pimdecfgtioo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pimdecfgtioo.y	. . . . . . 7 ⊢ 𝑌 = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑅 < (𝐹‘𝑥)}
2		ssrab2 4055	. . . . . . 7 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑅 < (𝐹‘𝑥)} ⊆ 𝐴
3	1, 2	eqsstri 4000	. . . . . 6 ⊢ 𝑌 ⊆ 𝐴
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝐴)
5		pimdecfgtioo.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
6	4, 5	sstrd 3976	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ ℝ)
7		pimdecfgtioo.c	. . . 4 ⊢ 𝑆 = sup(𝑌, ℝ*, < )
8		pimdecfgtioo.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑆 ∈ 𝑌)
9		pimdecfgtioo.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (-∞(,)𝑆)
10	6, 7, 8, 9	ressioosup 41829	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝐼)
11	10, 4	ssind 4208	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ (𝐼 ∩ 𝐴))
12		pimdecfgtioo.x	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
13		elinel2 4172	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
14	13	adantl 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
15		mnfxr 10697	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
16	15	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → -∞ ∈ ℝ*)
17		ressxr 10684	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
18	6, 17	sstrdi 3978	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ ℝ*)
19	18	supxrcld 41371	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → sup(𝑌, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
20	7, 19	eqeltrid 2917	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ*)
21	20	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝑆 ∈ ℝ*)
22		elinel1 4171	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐼)
23	22, 9	eleqtrdi 2923	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴) → 𝑥 ∈ (-∞(,)𝑆))
24	23	adantl 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝑥 ∈ (-∞(,)𝑆))
25		iooltub 41784	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)𝑆)) → 𝑥 < 𝑆)
26	16, 21, 24, 25	syl3anc 1367	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝑥 < 𝑆)
27	26	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ ¬ 𝑅 < (𝐹‘𝑥)) → 𝑥 < 𝑆)
28		simpr 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ ¬ 𝑅 < (𝐹‘𝑥)) → ¬ 𝑅 < (𝐹‘𝑥))
29		pimdecfgtioo.f	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
30	29	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
31	30, 14	ffvelrnd 6851	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ*)
32	31	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ ¬ 𝑅 < (𝐹‘𝑥)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ*)
33		pimdecfgtioo.r	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ*)
34	33	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝑅 ∈ ℝ*)
35	34	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ ¬ 𝑅 < (𝐹‘𝑥)) → 𝑅 ∈ ℝ*)
36	32, 35	xrlenltd 10706	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ ¬ 𝑅 < (𝐹‘𝑥)) → ((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑅 ↔ ¬ 𝑅 < (𝐹‘𝑥)))
37	28, 36	mpbird 259	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ ¬ 𝑅 < (𝐹‘𝑥)) → (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑅)
38		pimdecfgtioo.h	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑦𝜑
39		nfv 1911	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)
40	38, 39	nfan 1896	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑦(𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴))
41		nfv 1911	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑦(𝐹‘𝑥) ≤ 𝑅
42	40, 41	nfan 1896	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑦((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑅)
43		fveq2 6669	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦))
44	43	breq2d 5077	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑅 < (𝐹‘𝑥) ↔ 𝑅 < (𝐹‘𝑦)))
45	44, 1	elrab2 3682	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑌 ↔ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 < (𝐹‘𝑦)))
46	45	biimpi 218	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑌 → (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 < (𝐹‘𝑦)))
47	46	simprd 498	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑌 → 𝑅 < (𝐹‘𝑦))
48	47	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥) → 𝑅 < (𝐹‘𝑦))
49	5	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
50	49, 14	sseldd 3967	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝑥 ∈ ℝ)
51	50	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
52	6	sselda 3966	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → 𝑦 ∈ ℝ)
53	52	ad4ant13 749	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥) → 𝑦 ∈ ℝ)
54		simpr 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥) → ¬ 𝑦 ≤ 𝑥)
55	51, 53	ltnled 10786	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥) → (𝑥 < 𝑦 ↔ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥))
56	54, 55	mpbird 259	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥) → 𝑥 < 𝑦)
57	51, 53, 56	ltled 10787	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥) → 𝑥 ≤ 𝑦)
58	57	adantllr 717	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥) → 𝑥 ≤ 𝑦)
59	29	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
60	4	sselda 3966	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → 𝑦 ∈ 𝐴)
61	59, 60	ffvelrnd 6851	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ*)
62	61	ad5ant14 756	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ*)
63	31	ad3antrrr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ*)
64	34	ad3antrrr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → 𝑅 ∈ ℝ*)
65		simpr 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → 𝑥 ≤ 𝑦)
66		pimdecfgtioo.d	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥)))
67		rspa 3206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥)))
68	66, 13, 67	syl2an 597	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥)))
69	68	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥)))
70	60	ad4ant13 749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝐴)
71		rspa 3206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥)))
72	69, 70, 71	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥)))
73	65, 72	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥))
74	73	adantllr 717	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥))
75		simpllr 774	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑅)
76	62, 63, 64, 74, 75	xrletrd 12554	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → (𝐹‘𝑦) ≤ 𝑅)
77	62, 64	xrlenltd 10706	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → ((𝐹‘𝑦) ≤ 𝑅 ↔ ¬ 𝑅 < (𝐹‘𝑦)))
78	76, 77	mpbid 234	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → ¬ 𝑅 < (𝐹‘𝑦))
79	58, 78	syldan 593	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ¬ 𝑦 ≤ 𝑥) → ¬ 𝑅 < (𝐹‘𝑦))
80	48, 79	condan 816	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → 𝑦 ≤ 𝑥)
81	80	ex 415	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑅) → (𝑦 ∈ 𝑌 → 𝑦 ≤ 𝑥))
82	42, 81	ralrimi 3216	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑅) → ∀𝑦 ∈ 𝑌 𝑦 ≤ 𝑥)
83	37, 82	syldan 593	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ ¬ 𝑅 < (𝐹‘𝑥)) → ∀𝑦 ∈ 𝑌 𝑦 ≤ 𝑥)
84	18	adantr 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝑌 ⊆ ℝ*)
85	17, 50	sseldi 3964	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
86		supxrleub 12718	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑌 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (sup(𝑌, ℝ*, < ) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑌 𝑦 ≤ 𝑥))
87	84, 85, 86	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → (sup(𝑌, ℝ*, < ) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑌 𝑦 ≤ 𝑥))
88	87	adantr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ ¬ 𝑅 < (𝐹‘𝑥)) → (sup(𝑌, ℝ*, < ) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑌 𝑦 ≤ 𝑥))
89	83, 88	mpbird 259	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ ¬ 𝑅 < (𝐹‘𝑥)) → sup(𝑌, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)
90	7, 89	eqbrtrid 5100	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ ¬ 𝑅 < (𝐹‘𝑥)) → 𝑆 ≤ 𝑥)
91	21	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ ¬ 𝑅 < (𝐹‘𝑥)) → 𝑆 ∈ ℝ*)
92	85	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ ¬ 𝑅 < (𝐹‘𝑥)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
93	91, 92	xrlenltd 10706	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ ¬ 𝑅 < (𝐹‘𝑥)) → (𝑆 ≤ 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 < 𝑆))
94	90, 93	mpbid 234	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ ¬ 𝑅 < (𝐹‘𝑥)) → ¬ 𝑥 < 𝑆)
95	27, 94	condan 816	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝑅 < (𝐹‘𝑥))
96	14, 95	jca 514	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 < (𝐹‘𝑥)))
97	1	rabeq2i 3487	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑌 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 < (𝐹‘𝑥)))
98	96, 97	sylibr 236	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝑥 ∈ 𝑌)
99	98	ex 415	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝑌))
100	12, 99	ralrimi 3216	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)𝑥 ∈ 𝑌)
101		nfcv 2977	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐼 ∩ 𝐴)
102		nfrab1 3384	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑅 < (𝐹‘𝑥)}
103	1, 102	nfcxfr 2975	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝑌
104	101, 103	dfss3f 3958	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∩ 𝐴) ⊆ 𝑌 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)𝑥 ∈ 𝑌)
105	100, 104	sylibr 236	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∩ 𝐴) ⊆ 𝑌)
106	11, 105	eqssd 3983	1 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = (𝐼 ∩ 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1533  Ⅎwnf 1780   ∈ wcel 2110  ∀wral 3138  {crab 3142   ∩ cin 3934   ⊆ wss 3935   class class class wbr 5065  ⟶wf 6350  ‘cfv 6354  (class class class)co 7155  supcsup 8903  ℝcr 10535  -∞cmnf 10672  ℝ^*cxr 10673   < clt 10674   ≤ cle 10675  (,)cioo 12737

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613  ax-pre-sup 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4838  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-id 5459  df-po 5473  df-so 5474  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-er 8288  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-sup 8905  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-ioo 12741

This theorem is referenced by:  decsmflem  43041