Theorem fge0iccico 46821

Description: A range of nonnegative extended reals without plus infinity. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fge0iccico.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
fge0iccico.re	⊢ (𝜑 → ¬ +∞ ∈ ran 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
fge0iccico	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,)+∞))

Proof of Theorem fge0iccico

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fge0iccico.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
2	1	ffnd 6657	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝑋)
3		0xr 11184	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ*
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 0 ∈ ℝ*)
5		pnfxr 11191	. . . . . 6 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
6	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → +∞ ∈ ℝ*)
7		iccssxr 13375	. . . . . 6 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
8	1	ffvelcdmda 7026	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,]+∞))
9	7, 8	sselid 3913	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ*)
10		iccgelb 13347	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ (𝐹‘𝑥))
11	4, 6, 8, 10	syl3anc 1379	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝐹‘𝑥))
12	9	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ ¬ (𝐹‘𝑥) < +∞) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ*)
13		simpr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ ¬ (𝐹‘𝑥) < +∞) → ¬ (𝐹‘𝑥) < +∞)
14	5	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ ¬ (𝐹‘𝑥) < +∞) → +∞ ∈ ℝ*)
15	14, 12	xrlenltd 11203	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ ¬ (𝐹‘𝑥) < +∞) → (+∞ ≤ (𝐹‘𝑥) ↔ ¬ (𝐹‘𝑥) < +∞))
16	13, 15	mpbird 258	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ ¬ (𝐹‘𝑥) < +∞) → +∞ ≤ (𝐹‘𝑥))
17	12, 16	xrgepnfd 45784	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ ¬ (𝐹‘𝑥) < +∞) → (𝐹‘𝑥) = +∞)
18	17	eqcomd 2745	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ ¬ (𝐹‘𝑥) < +∞) → +∞ = (𝐹‘𝑥))
19	1	ffund 6660	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
20	19	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → Fun 𝐹)
21		simpr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ 𝑋)
22		fdm 6665	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞) → dom 𝐹 = 𝑋)
23	22	eqcomd 2745	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞) → 𝑋 = dom 𝐹)
24	1, 23	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = dom 𝐹)
25	24	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑋 = dom 𝐹)
26	21, 25	eleqtrd 2841	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
27		fvelrn 7018	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝑥) ∈ ran 𝐹)
28	20, 26, 27	syl2anc 590	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑥) ∈ ran 𝐹)
29	28	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ ¬ (𝐹‘𝑥) < +∞) → (𝐹‘𝑥) ∈ ran 𝐹)
30	18, 29	eqeltrd 2839	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ ¬ (𝐹‘𝑥) < +∞) → +∞ ∈ ran 𝐹)
31		fge0iccico.re	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ +∞ ∈ ran 𝐹)
32	31	ad2antrr 732	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ ¬ (𝐹‘𝑥) < +∞) → ¬ +∞ ∈ ran 𝐹)
33	30, 32	condan 823	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑥) < +∞)
34	4, 6, 9, 11, 33	elicod 13340	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,)+∞))
35	34	ralrimiva 3131	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,)+∞))
36	2, 35	jca 516	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,)+∞)))
37		ffnfv 7061	. 2 ⊢ (𝐹:𝑋⟶(0[,)+∞) ↔ (𝐹 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,)+∞)))
38	36, 37	sylibr 235	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,)+∞))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∀wral 3053   class class class wbr 5073  dom cdm 5619  ran crn 5620  Fun wfun 6480   Fn wfn 6481  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  (class class class)co 7357  0cc0 11030  +∞cpnf 11168  ℝ^*cxr 11170   < clt 11171   ≤ cle 11172  [,)cico 13292  [,]cicc 13293

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-addrcl 11091  ax-rnegex 11101  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-op 4563  df-uni 4840  df-iun 4924  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-id 5514  df-po 5527  df-so 5528  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-1st 7932  df-2nd 7933  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-ico 13296  df-icc 13297

This theorem is referenced by:  fge0iccre  46825  sge00  46827  sge0sn  46830  sge0tsms  46831  sge0cl  46832  sge0supre  46840  sge0sup  46842  sge0less  46843  sge0rnbnd  46844  sge0ltfirp  46851  sge0resplit  46857  sge0le  46858  sge0split  46860  sge0iunmptlemre  46866