Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fge0iccico Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fge0iccico 45021
Description: A range of nonnegative extended reals without plus infinity. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fge0iccico.f (𝜑𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
fge0iccico.re (𝜑 → ¬ +∞ ∈ ran 𝐹)
Assertion
Ref Expression
fge0iccico (𝜑𝐹:𝑋⟶(0[,)+∞))

Proof of Theorem fge0iccico
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fge0iccico.f . . . 4 (𝜑𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
21ffnd 6715 . . 3 (𝜑𝐹 Fn 𝑋)
3 0xr 11257 . . . . . 6 0 ∈ ℝ*
43a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → 0 ∈ ℝ*)
5 pnfxr 11264 . . . . . 6 +∞ ∈ ℝ*
65a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → +∞ ∈ ℝ*)
7 iccssxr 13403 . . . . . 6 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
81ffvelcdmda 7082 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐹𝑥) ∈ (0[,]+∞))
97, 8sselid 3979 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ*)
10 iccgelb 13376 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝑥) ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ (𝐹𝑥))
114, 6, 8, 10syl3anc 1372 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → 0 ≤ (𝐹𝑥))
129adantr 482 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ ¬ (𝐹𝑥) < +∞) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ*)
13 simpr 486 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ ¬ (𝐹𝑥) < +∞) → ¬ (𝐹𝑥) < +∞)
145a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ ¬ (𝐹𝑥) < +∞) → +∞ ∈ ℝ*)
1514, 12xrlenltd 11276 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ ¬ (𝐹𝑥) < +∞) → (+∞ ≤ (𝐹𝑥) ↔ ¬ (𝐹𝑥) < +∞))
1613, 15mpbird 257 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ ¬ (𝐹𝑥) < +∞) → +∞ ≤ (𝐹𝑥))
1712, 16xrgepnfd 43976 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ ¬ (𝐹𝑥) < +∞) → (𝐹𝑥) = +∞)
1817eqcomd 2739 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ ¬ (𝐹𝑥) < +∞) → +∞ = (𝐹𝑥))
191ffund 6718 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → Fun 𝐹)
2019adantr 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑋) → Fun 𝐹)
21 simpr 486 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑥𝑋)
22 fdm 6723 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞) → dom 𝐹 = 𝑋)
2322eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞) → 𝑋 = dom 𝐹)
241, 23syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋 = dom 𝐹)
2524adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑋 = dom 𝐹)
2621, 25eleqtrd 2836 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
27 fvelrn 7074 . . . . . . . . 9 ((Fun 𝐹𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝐹𝑥) ∈ ran 𝐹)
2820, 26, 27syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐹𝑥) ∈ ran 𝐹)
2928adantr 482 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ ¬ (𝐹𝑥) < +∞) → (𝐹𝑥) ∈ ran 𝐹)
3018, 29eqeltrd 2834 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ ¬ (𝐹𝑥) < +∞) → +∞ ∈ ran 𝐹)
31 fge0iccico.re . . . . . . 7 (𝜑 → ¬ +∞ ∈ ran 𝐹)
3231ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ ¬ (𝐹𝑥) < +∞) → ¬ +∞ ∈ ran 𝐹)
3330, 32condan 817 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐹𝑥) < +∞)
344, 6, 9, 11, 33elicod 13370 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐹𝑥) ∈ (0[,)+∞))
3534ralrimiva 3147 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝑋 (𝐹𝑥) ∈ (0[,)+∞))
362, 35jca 513 . 2 (𝜑 → (𝐹 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑥𝑋 (𝐹𝑥) ∈ (0[,)+∞)))
37 ffnfv 7113 . 2 (𝐹:𝑋⟶(0[,)+∞) ↔ (𝐹 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑥𝑋 (𝐹𝑥) ∈ (0[,)+∞)))
3836, 37sylibr 233 1 (𝜑𝐹:𝑋⟶(0[,)+∞))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wral 3062   class class class wbr 5147  dom cdm 5675  ran crn 5676  Fun wfun 6534   Fn wfn 6535  wf 6536  cfv 6540  (class class class)co 7404  0cc0 11106  +∞cpnf 11241  *cxr 11243   < clt 11244  cle 11245  [,)cico 13322  [,]cicc 13323
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-addrcl 11167  ax-rnegex 11177  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-ico 13326  df-icc 13327
This theorem is referenced by:  fge0iccre  45025  sge00  45027  sge0sn  45030  sge0tsms  45031  sge0cl  45032  sge0supre  45040  sge0sup  45042  sge0less  45043  sge0rnbnd  45044  sge0ltfirp  45051  sge0resplit  45057  sge0le  45058  sge0split  45060  sge0iunmptlemre  45066
  Copyright terms: Public domain W3C validator