Theorem fge0iccico 47379

Description: A range of nonnegative extended reals without plus infinity. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fge0iccico.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
fge0iccico.re	⊢ (𝜑 → ¬ +∞ ∈ ran 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
fge0iccico	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,)+∞))

Proof of Theorem fge0iccico

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fge0iccico.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
2	1	ffnd 6710	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝑋)
3		0xr 11356	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ*
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 0 ∈ ℝ*)
5		pnfxr 11363	. . . . . 6 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
6	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → +∞ ∈ ℝ*)
7		iccssxr 13561	. . . . . 6 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
8	1	ffvelcdmda 7084	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,]+∞))
9	7, 8	sselid 3929	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ*)
10		iccgelb 13533	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ (𝐹‘𝑥))
11	4, 6, 8, 10	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝐹‘𝑥))
12	9	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ ¬ (𝐹‘𝑥) < +∞) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ*)
13		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ ¬ (𝐹‘𝑥) < +∞) → ¬ (𝐹‘𝑥) < +∞)
14	5	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ ¬ (𝐹‘𝑥) < +∞) → +∞ ∈ ℝ*)
15	14, 12	xrlenltd 11375	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ ¬ (𝐹‘𝑥) < +∞) → (+∞ ≤ (𝐹‘𝑥) ↔ ¬ (𝐹‘𝑥) < +∞))
16	13, 15	mpbird 260	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ ¬ (𝐹‘𝑥) < +∞) → +∞ ≤ (𝐹‘𝑥))
17	12, 16	xrgepnfd 46342	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ ¬ (𝐹‘𝑥) < +∞) → (𝐹‘𝑥) = +∞)
18	17	eqcomd 2767	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ ¬ (𝐹‘𝑥) < +∞) → +∞ = (𝐹‘𝑥))
19	1	ffund 6714	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
20	19	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → Fun 𝐹)
21		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ 𝑋)
22		fdm 6719	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞) → dom 𝐹 = 𝑋)
23	22	eqcomd 2767	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞) → 𝑋 = dom 𝐹)
24	1, 23	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = dom 𝐹)
25	24	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑋 = dom 𝐹)
26	21, 25	eleqtrd 2863	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
27		fvelrn 7076	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝑥) ∈ ran 𝐹)
28	20, 26, 27	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑥) ∈ ran 𝐹)
29	28	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ ¬ (𝐹‘𝑥) < +∞) → (𝐹‘𝑥) ∈ ran 𝐹)
30	18, 29	eqeltrd 2861	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ ¬ (𝐹‘𝑥) < +∞) → +∞ ∈ ran 𝐹)
31		fge0iccico.re	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ +∞ ∈ ran 𝐹)
32	31	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ ¬ (𝐹‘𝑥) < +∞) → ¬ +∞ ∈ ran 𝐹)
33	30, 32	condan 830	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑥) < +∞)
34	4, 6, 9, 11, 33	elicod 13526	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,)+∞))
35	34	ralrimiva 3155	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,)+∞))
36	2, 35	jca 521	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,)+∞)))
37		ffnfv 7119	. 2 ⊢ (𝐹:𝑋⟶(0[,)+∞) ↔ (𝐹 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,)+∞)))
38	36, 37	sylibr 237	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,)+∞))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077   class class class wbr 5103  dom cdm 5651  ran crn 5652  Fun wfun 6532   Fn wfn 6533  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  0cc0 11200  +∞cpnf 11340  ℝ^*cxr 11342   < clt 11343   ≤ cle 11344  [,)cico 13478  [,]cicc 13479

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-addrcl 11261  ax-rnegex 11271  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-ico 13482  df-icc 13483

This theorem is used by:  fge0iccre  47383  sge00  47385  sge0sn  47388  sge0tsms  47389  sge0cl  47390  sge0supre  47398  sge0sup  47400  sge0less  47401  sge0rnbnd  47402  sge0ltfirp  47409  sge0resplit  47415  sge0le  47416  sge0split  47418  sge0iunmptlemre  47424