Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fge0iccico Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fge0iccico 45384
Description: A range of nonnegative extended reals without plus infinity. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fge0iccico.f (𝜑𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
fge0iccico.re (𝜑 → ¬ +∞ ∈ ran 𝐹)
Assertion
Ref Expression
fge0iccico (𝜑𝐹:𝑋⟶(0[,)+∞))

Proof of Theorem fge0iccico
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fge0iccico.f . . . 4 (𝜑𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
21ffnd 6717 . . 3 (𝜑𝐹 Fn 𝑋)
3 0xr 11265 . . . . . 6 0 ∈ ℝ*
43a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → 0 ∈ ℝ*)
5 pnfxr 11272 . . . . . 6 +∞ ∈ ℝ*
65a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → +∞ ∈ ℝ*)
7 iccssxr 13411 . . . . . 6 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
81ffvelcdmda 7085 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐹𝑥) ∈ (0[,]+∞))
97, 8sselid 3979 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ*)
10 iccgelb 13384 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝑥) ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ (𝐹𝑥))
114, 6, 8, 10syl3anc 1369 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → 0 ≤ (𝐹𝑥))
129adantr 479 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ ¬ (𝐹𝑥) < +∞) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ*)
13 simpr 483 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ ¬ (𝐹𝑥) < +∞) → ¬ (𝐹𝑥) < +∞)
145a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ ¬ (𝐹𝑥) < +∞) → +∞ ∈ ℝ*)
1514, 12xrlenltd 11284 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ ¬ (𝐹𝑥) < +∞) → (+∞ ≤ (𝐹𝑥) ↔ ¬ (𝐹𝑥) < +∞))
1613, 15mpbird 256 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ ¬ (𝐹𝑥) < +∞) → +∞ ≤ (𝐹𝑥))
1712, 16xrgepnfd 44339 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ ¬ (𝐹𝑥) < +∞) → (𝐹𝑥) = +∞)
1817eqcomd 2736 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ ¬ (𝐹𝑥) < +∞) → +∞ = (𝐹𝑥))
191ffund 6720 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → Fun 𝐹)
2019adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑋) → Fun 𝐹)
21 simpr 483 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑥𝑋)
22 fdm 6725 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞) → dom 𝐹 = 𝑋)
2322eqcomd 2736 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞) → 𝑋 = dom 𝐹)
241, 23syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋 = dom 𝐹)
2524adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑋 = dom 𝐹)
2621, 25eleqtrd 2833 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
27 fvelrn 7077 . . . . . . . . 9 ((Fun 𝐹𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝐹𝑥) ∈ ran 𝐹)
2820, 26, 27syl2anc 582 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐹𝑥) ∈ ran 𝐹)
2928adantr 479 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ ¬ (𝐹𝑥) < +∞) → (𝐹𝑥) ∈ ran 𝐹)
3018, 29eqeltrd 2831 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ ¬ (𝐹𝑥) < +∞) → +∞ ∈ ran 𝐹)
31 fge0iccico.re . . . . . . 7 (𝜑 → ¬ +∞ ∈ ran 𝐹)
3231ad2antrr 722 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ ¬ (𝐹𝑥) < +∞) → ¬ +∞ ∈ ran 𝐹)
3330, 32condan 814 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐹𝑥) < +∞)
344, 6, 9, 11, 33elicod 13378 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐹𝑥) ∈ (0[,)+∞))
3534ralrimiva 3144 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝑋 (𝐹𝑥) ∈ (0[,)+∞))
362, 35jca 510 . 2 (𝜑 → (𝐹 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑥𝑋 (𝐹𝑥) ∈ (0[,)+∞)))
37 ffnfv 7119 . 2 (𝐹:𝑋⟶(0[,)+∞) ↔ (𝐹 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑥𝑋 (𝐹𝑥) ∈ (0[,)+∞)))
3836, 37sylibr 233 1 (𝜑𝐹:𝑋⟶(0[,)+∞))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 394   = wceq 1539  wcel 2104  wral 3059   class class class wbr 5147  dom cdm 5675  ran crn 5676  Fun wfun 6536   Fn wfn 6537  wf 6538  cfv 6542  (class class class)co 7411  0cc0 11112  +∞cpnf 11249  *cxr 11251   < clt 11252  cle 11253  [,)cico 13330  [,]cicc 13331
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-addrcl 11173  ax-rnegex 11183  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-ico 13334  df-icc 13335
This theorem is referenced by:  fge0iccre  45388  sge00  45390  sge0sn  45393  sge0tsms  45394  sge0cl  45395  sge0supre  45403  sge0sup  45405  sge0less  45406  sge0rnbnd  45407  sge0ltfirp  45414  sge0resplit  45420  sge0le  45421  sge0split  45423  sge0iunmptlemre  45429
  Copyright terms: Public domain W3C validator