Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fge0iccico Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fge0iccico 44697
Description: A range of nonnegative extended reals without plus infinity. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fge0iccico.f (𝜑𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
fge0iccico.re (𝜑 → ¬ +∞ ∈ ran 𝐹)
Assertion
Ref Expression
fge0iccico (𝜑𝐹:𝑋⟶(0[,)+∞))

Proof of Theorem fge0iccico
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fge0iccico.f . . . 4 (𝜑𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
21ffnd 6670 . . 3 (𝜑𝐹 Fn 𝑋)
3 0xr 11207 . . . . . 6 0 ∈ ℝ*
43a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → 0 ∈ ℝ*)
5 pnfxr 11214 . . . . . 6 +∞ ∈ ℝ*
65a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → +∞ ∈ ℝ*)
7 iccssxr 13353 . . . . . 6 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
81ffvelcdmda 7036 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐹𝑥) ∈ (0[,]+∞))
97, 8sselid 3943 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ*)
10 iccgelb 13326 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝑥) ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ (𝐹𝑥))
114, 6, 8, 10syl3anc 1372 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → 0 ≤ (𝐹𝑥))
129adantr 482 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ ¬ (𝐹𝑥) < +∞) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ*)
13 simpr 486 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ ¬ (𝐹𝑥) < +∞) → ¬ (𝐹𝑥) < +∞)
145a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ ¬ (𝐹𝑥) < +∞) → +∞ ∈ ℝ*)
1514, 12xrlenltd 11226 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ ¬ (𝐹𝑥) < +∞) → (+∞ ≤ (𝐹𝑥) ↔ ¬ (𝐹𝑥) < +∞))
1613, 15mpbird 257 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ ¬ (𝐹𝑥) < +∞) → +∞ ≤ (𝐹𝑥))
1712, 16xrgepnfd 43652 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ ¬ (𝐹𝑥) < +∞) → (𝐹𝑥) = +∞)
1817eqcomd 2739 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ ¬ (𝐹𝑥) < +∞) → +∞ = (𝐹𝑥))
191ffund 6673 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → Fun 𝐹)
2019adantr 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑋) → Fun 𝐹)
21 simpr 486 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑥𝑋)
22 fdm 6678 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞) → dom 𝐹 = 𝑋)
2322eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞) → 𝑋 = dom 𝐹)
241, 23syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋 = dom 𝐹)
2524adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑋 = dom 𝐹)
2621, 25eleqtrd 2836 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
27 fvelrn 7028 . . . . . . . . 9 ((Fun 𝐹𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝐹𝑥) ∈ ran 𝐹)
2820, 26, 27syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐹𝑥) ∈ ran 𝐹)
2928adantr 482 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ ¬ (𝐹𝑥) < +∞) → (𝐹𝑥) ∈ ran 𝐹)
3018, 29eqeltrd 2834 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ ¬ (𝐹𝑥) < +∞) → +∞ ∈ ran 𝐹)
31 fge0iccico.re . . . . . . 7 (𝜑 → ¬ +∞ ∈ ran 𝐹)
3231ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ ¬ (𝐹𝑥) < +∞) → ¬ +∞ ∈ ran 𝐹)
3330, 32condan 817 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐹𝑥) < +∞)
344, 6, 9, 11, 33elicod 13320 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐹𝑥) ∈ (0[,)+∞))
3534ralrimiva 3140 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝑋 (𝐹𝑥) ∈ (0[,)+∞))
362, 35jca 513 . 2 (𝜑 → (𝐹 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑥𝑋 (𝐹𝑥) ∈ (0[,)+∞)))
37 ffnfv 7067 . 2 (𝐹:𝑋⟶(0[,)+∞) ↔ (𝐹 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑥𝑋 (𝐹𝑥) ∈ (0[,)+∞)))
3836, 37sylibr 233 1 (𝜑𝐹:𝑋⟶(0[,)+∞))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wral 3061   class class class wbr 5106  dom cdm 5634  ran crn 5635  Fun wfun 6491   Fn wfn 6492  wf 6493  cfv 6497  (class class class)co 7358  0cc0 11056  +∞cpnf 11191  *cxr 11193   < clt 11194  cle 11195  [,)cico 13272  [,]cicc 13273
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-addrcl 11117  ax-rnegex 11127  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-ico 13276  df-icc 13277
This theorem is referenced by:  fge0iccre  44701  sge00  44703  sge0sn  44706  sge0tsms  44707  sge0cl  44708  sge0supre  44716  sge0sup  44718  sge0less  44719  sge0rnbnd  44720  sge0ltfirp  44727  sge0resplit  44733  sge0le  44734  sge0split  44736  sge0iunmptlemre  44742
  Copyright terms: Public domain W3C validator