Theorem fge0iccico 43009

Description: A range of nonnegative extended reals without plus infinity. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fge0iccico.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
fge0iccico.re	⊢ (𝜑 → ¬ +∞ ∈ ran 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
fge0iccico	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,)+∞))

Proof of Theorem fge0iccico

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fge0iccico.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
2	1	ffnd 6488	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝑋)
3		0xr 10677	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ*
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 0 ∈ ℝ*)
5		pnfxr 10684	. . . . . 6 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
6	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → +∞ ∈ ℝ*)
7		iccssxr 12808	. . . . . 6 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
8	1	ffvelrnda 6828	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,]+∞))
9	7, 8	sseldi 3913	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ*)
10		iccgelb 12781	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ (𝐹‘𝑥))
11	4, 6, 8, 10	syl3anc 1368	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝐹‘𝑥))
12	9	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ ¬ (𝐹‘𝑥) < +∞) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ*)
13		simpr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ ¬ (𝐹‘𝑥) < +∞) → ¬ (𝐹‘𝑥) < +∞)
14	5	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ ¬ (𝐹‘𝑥) < +∞) → +∞ ∈ ℝ*)
15	14, 12	xrlenltd 10696	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ ¬ (𝐹‘𝑥) < +∞) → (+∞ ≤ (𝐹‘𝑥) ↔ ¬ (𝐹‘𝑥) < +∞))
16	13, 15	mpbird 260	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ ¬ (𝐹‘𝑥) < +∞) → +∞ ≤ (𝐹‘𝑥))
17	12, 16	xrgepnfd 41963	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ ¬ (𝐹‘𝑥) < +∞) → (𝐹‘𝑥) = +∞)
18	17	eqcomd 2804	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ ¬ (𝐹‘𝑥) < +∞) → +∞ = (𝐹‘𝑥))
19	1	ffund 6491	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
20	19	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → Fun 𝐹)
21		simpr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ 𝑋)
22		fdm 6495	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞) → dom 𝐹 = 𝑋)
23	22	eqcomd 2804	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞) → 𝑋 = dom 𝐹)
24	1, 23	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = dom 𝐹)
25	24	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑋 = dom 𝐹)
26	21, 25	eleqtrd 2892	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
27		fvelrn 6821	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝑥) ∈ ran 𝐹)
28	20, 26, 27	syl2anc 587	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑥) ∈ ran 𝐹)
29	28	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ ¬ (𝐹‘𝑥) < +∞) → (𝐹‘𝑥) ∈ ran 𝐹)
30	18, 29	eqeltrd 2890	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ ¬ (𝐹‘𝑥) < +∞) → +∞ ∈ ran 𝐹)
31		fge0iccico.re	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ +∞ ∈ ran 𝐹)
32	31	ad2antrr 725	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ ¬ (𝐹‘𝑥) < +∞) → ¬ +∞ ∈ ran 𝐹)
33	30, 32	condan 817	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑥) < +∞)
34	4, 6, 9, 11, 33	elicod 12775	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,)+∞))
35	34	ralrimiva 3149	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,)+∞))
36	2, 35	jca 515	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,)+∞)))
37		ffnfv 6859	. 2 ⊢ (𝐹:𝑋⟶(0[,)+∞) ↔ (𝐹 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,)+∞)))
38	36, 37	sylibr 237	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,)+∞))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106   class class class wbr 5030  dom cdm 5519  ran crn 5520  Fun wfun 6318   Fn wfn 6319  ⟶wf 6320  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  0cc0 10526  +∞cpnf 10661  ℝ^*cxr 10663   < clt 10664   ≤ cle 10665  [,)cico 12728  [,]cicc 12729

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-addrcl 10587  ax-rnegex 10597  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-ico 12732  df-icc 12733

This theorem is referenced by:  fge0iccre  43013  sge00  43015  sge0sn  43018  sge0tsms  43019  sge0cl  43020  sge0supre  43028  sge0sup  43030  sge0less  43031  sge0rnbnd  43032  sge0ltfirp  43039  sge0resplit  43045  sge0le  43046  sge0split  43048  sge0iunmptlemre  43054