Theorem fge0iccico 45021

Description: A range of nonnegative extended reals without plus infinity. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fge0iccico.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
fge0iccico.re	⊢ (𝜑 → ¬ +∞ ∈ ran 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
fge0iccico	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,)+∞))

Proof of Theorem fge0iccico

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fge0iccico.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
2	1	ffnd 6715	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝑋)
3		0xr 11257	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ*
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 0 ∈ ℝ*)
5		pnfxr 11264	. . . . . 6 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
6	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → +∞ ∈ ℝ*)
7		iccssxr 13403	. . . . . 6 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
8	1	ffvelcdmda 7082	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,]+∞))
9	7, 8	sselid 3979	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ*)
10		iccgelb 13376	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ (𝐹‘𝑥))
11	4, 6, 8, 10	syl3anc 1372	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝐹‘𝑥))
12	9	adantr 482	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ ¬ (𝐹‘𝑥) < +∞) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ*)
13		simpr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ ¬ (𝐹‘𝑥) < +∞) → ¬ (𝐹‘𝑥) < +∞)
14	5	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ ¬ (𝐹‘𝑥) < +∞) → +∞ ∈ ℝ*)
15	14, 12	xrlenltd 11276	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ ¬ (𝐹‘𝑥) < +∞) → (+∞ ≤ (𝐹‘𝑥) ↔ ¬ (𝐹‘𝑥) < +∞))
16	13, 15	mpbird 257	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ ¬ (𝐹‘𝑥) < +∞) → +∞ ≤ (𝐹‘𝑥))
17	12, 16	xrgepnfd 43976	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ ¬ (𝐹‘𝑥) < +∞) → (𝐹‘𝑥) = +∞)
18	17	eqcomd 2739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ ¬ (𝐹‘𝑥) < +∞) → +∞ = (𝐹‘𝑥))
19	1	ffund 6718	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
20	19	adantr 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → Fun 𝐹)
21		simpr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ 𝑋)
22		fdm 6723	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞) → dom 𝐹 = 𝑋)
23	22	eqcomd 2739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞) → 𝑋 = dom 𝐹)
24	1, 23	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = dom 𝐹)
25	24	adantr 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑋 = dom 𝐹)
26	21, 25	eleqtrd 2836	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
27		fvelrn 7074	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝑥) ∈ ran 𝐹)
28	20, 26, 27	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑥) ∈ ran 𝐹)
29	28	adantr 482	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ ¬ (𝐹‘𝑥) < +∞) → (𝐹‘𝑥) ∈ ran 𝐹)
30	18, 29	eqeltrd 2834	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ ¬ (𝐹‘𝑥) < +∞) → +∞ ∈ ran 𝐹)
31		fge0iccico.re	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ +∞ ∈ ran 𝐹)
32	31	ad2antrr 725	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ ¬ (𝐹‘𝑥) < +∞) → ¬ +∞ ∈ ran 𝐹)
33	30, 32	condan 817	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑥) < +∞)
34	4, 6, 9, 11, 33	elicod 13370	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,)+∞))
35	34	ralrimiva 3147	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,)+∞))
36	2, 35	jca 513	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,)+∞)))
37		ffnfv 7113	. 2 ⊢ (𝐹:𝑋⟶(0[,)+∞) ↔ (𝐹 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,)+∞)))
38	36, 37	sylibr 233	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,)+∞))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ∀wral 3062   class class class wbr 5147  dom cdm 5675  ran crn 5676  Fun wfun 6534   Fn wfn 6535  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7404  0cc0 11106  +∞cpnf 11241  ℝ^*cxr 11243   < clt 11244   ≤ cle 11245  [,)cico 13322  [,]cicc 13323

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-addrcl 11167  ax-rnegex 11177  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-ico 13326  df-icc 13327

This theorem is referenced by:  fge0iccre  45025  sge00  45027  sge0sn  45030  sge0tsms  45031  sge0cl  45032  sge0supre  45040  sge0sup  45042  sge0less  45043  sge0rnbnd  45044  sge0ltfirp  45051  sge0resplit  45057  sge0le  45058  sge0split  45060  sge0iunmptlemre  45066