Theorem fge0iccico 43908

Description: A range of nonnegative extended reals without plus infinity. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fge0iccico.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
fge0iccico.re	⊢ (𝜑 → ¬ +∞ ∈ ran 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
fge0iccico	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,)+∞))

Proof of Theorem fge0iccico

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fge0iccico.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
2	1	ffnd 6601	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝑋)
3		0xr 11022	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ*
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 0 ∈ ℝ*)
5		pnfxr 11029	. . . . . 6 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
6	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → +∞ ∈ ℝ*)
7		iccssxr 13162	. . . . . 6 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
8	1	ffvelrnda 6961	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,]+∞))
9	7, 8	sselid 3919	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ*)
10		iccgelb 13135	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ (𝐹‘𝑥))
11	4, 6, 8, 10	syl3anc 1370	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝐹‘𝑥))
12	9	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ ¬ (𝐹‘𝑥) < +∞) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ*)
13		simpr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ ¬ (𝐹‘𝑥) < +∞) → ¬ (𝐹‘𝑥) < +∞)
14	5	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ ¬ (𝐹‘𝑥) < +∞) → +∞ ∈ ℝ*)
15	14, 12	xrlenltd 11041	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ ¬ (𝐹‘𝑥) < +∞) → (+∞ ≤ (𝐹‘𝑥) ↔ ¬ (𝐹‘𝑥) < +∞))
16	13, 15	mpbird 256	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ ¬ (𝐹‘𝑥) < +∞) → +∞ ≤ (𝐹‘𝑥))
17	12, 16	xrgepnfd 42870	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ ¬ (𝐹‘𝑥) < +∞) → (𝐹‘𝑥) = +∞)
18	17	eqcomd 2744	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ ¬ (𝐹‘𝑥) < +∞) → +∞ = (𝐹‘𝑥))
19	1	ffund 6604	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
20	19	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → Fun 𝐹)
21		simpr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ 𝑋)
22		fdm 6609	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞) → dom 𝐹 = 𝑋)
23	22	eqcomd 2744	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞) → 𝑋 = dom 𝐹)
24	1, 23	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = dom 𝐹)
25	24	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑋 = dom 𝐹)
26	21, 25	eleqtrd 2841	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
27		fvelrn 6954	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝑥) ∈ ran 𝐹)
28	20, 26, 27	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑥) ∈ ran 𝐹)
29	28	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ ¬ (𝐹‘𝑥) < +∞) → (𝐹‘𝑥) ∈ ran 𝐹)
30	18, 29	eqeltrd 2839	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ ¬ (𝐹‘𝑥) < +∞) → +∞ ∈ ran 𝐹)
31		fge0iccico.re	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ +∞ ∈ ran 𝐹)
32	31	ad2antrr 723	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ ¬ (𝐹‘𝑥) < +∞) → ¬ +∞ ∈ ran 𝐹)
33	30, 32	condan 815	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑥) < +∞)
34	4, 6, 9, 11, 33	elicod 13129	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,)+∞))
35	34	ralrimiva 3103	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,)+∞))
36	2, 35	jca 512	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,)+∞)))
37		ffnfv 6992	. 2 ⊢ (𝐹:𝑋⟶(0[,)+∞) ↔ (𝐹 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,)+∞)))
38	36, 37	sylibr 233	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,)+∞))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064   class class class wbr 5074  dom cdm 5589  ran crn 5590  Fun wfun 6427   Fn wfn 6428  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  0cc0 10871  +∞cpnf 11006  ℝ^*cxr 11008   < clt 11009   ≤ cle 11010  [,)cico 13081  [,]cicc 13082

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-addrcl 10932  ax-rnegex 10942  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-ico 13085  df-icc 13086

This theorem is referenced by:  fge0iccre  43912  sge00  43914  sge0sn  43917  sge0tsms  43918  sge0cl  43919  sge0supre  43927  sge0sup  43929  sge0less  43930  sge0rnbnd  43931  sge0ltfirp  43938  sge0resplit  43944  sge0le  43945  sge0split  43947  sge0iunmptlemre  43953