| Step | Hyp | Ref | Expression | 
|---|
| 1 |  | ply1divalg.r1 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring) | 
| 2 | 1 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → 𝑅 ∈ Ring) | 
| 3 |  | ply1divalg.p | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅) | 
| 4 | 3 | ply1ring 22250 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring) | 
| 5 | 2, 4 | syl 17 | . . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → 𝑃 ∈ Ring) | 
| 6 |  | ringgrp 20236 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Grp) | 
| 7 | 5, 6 | syl 17 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → 𝑃 ∈ Grp) | 
| 8 |  | ply1divalg.f | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵) | 
| 9 | 8 | adantr 480 | . . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → 𝐹 ∈ 𝐵) | 
| 10 |  | ply1divalg.g1 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵) | 
| 11 | 10 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → 𝐺 ∈ 𝐵) | 
| 12 |  | simprl 770 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → 𝑞 ∈ 𝐵) | 
| 13 |  | ply1divalg.b | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃) | 
| 14 |  | ply1divalg.t | . . . . . . . . . . . . 13
⊢  ∙ =
(.r‘𝑃) | 
| 15 | 13, 14 | ringcl 20248 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → (𝐺 ∙ 𝑞) ∈ 𝐵) | 
| 16 | 5, 11, 12, 15 | syl3anc 1372 | . . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → (𝐺 ∙ 𝑞) ∈ 𝐵) | 
| 17 |  | ply1divalg.m | . . . . . . . . . . . 12
⊢  − =
(-g‘𝑃) | 
| 18 | 13, 17 | grpsubcl 19039 | . . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ (𝐺 ∙ 𝑞) ∈ 𝐵) → (𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞)) ∈ 𝐵) | 
| 19 | 7, 9, 16, 18 | syl3anc 1372 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → (𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞)) ∈ 𝐵) | 
| 20 |  | simprr 772 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → 𝑟 ∈ 𝐵) | 
| 21 | 13, 14 | ringcl 20248 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) → (𝐺 ∙ 𝑟) ∈ 𝐵) | 
| 22 | 5, 11, 20, 21 | syl3anc 1372 | . . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → (𝐺 ∙ 𝑟) ∈ 𝐵) | 
| 23 | 13, 17 | grpsubcl 19039 | . . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ (𝐺 ∙ 𝑟) ∈ 𝐵) → (𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑟)) ∈ 𝐵) | 
| 24 | 7, 9, 22, 23 | syl3anc 1372 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → (𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑟)) ∈ 𝐵) | 
| 25 | 13, 17 | grpsubcl 19039 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑃 ∈ Grp ∧ (𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞)) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑟)) ∈ 𝐵) → ((𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞)) − (𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑟))) ∈ 𝐵) | 
| 26 | 7, 19, 24, 25 | syl3anc 1372 | . . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → ((𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞)) − (𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑟))) ∈ 𝐵) | 
| 27 |  | ply1divalg.d | . . . . . . . . . 10
⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅) | 
| 28 | 27, 3, 13 | deg1xrcl 26122 | . . . . . . . . 9
⊢ (((𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞)) − (𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑟))) ∈ 𝐵 → (𝐷‘((𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞)) − (𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑟)))) ∈
ℝ*) | 
| 29 | 26, 28 | syl 17 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → (𝐷‘((𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞)) − (𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑟)))) ∈
ℝ*) | 
| 30 | 27, 3, 13 | deg1xrcl 26122 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑟)) ∈ 𝐵 → (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑟))) ∈
ℝ*) | 
| 31 | 24, 30 | syl 17 | . . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑟))) ∈
ℝ*) | 
| 32 | 27, 3, 13 | deg1xrcl 26122 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞)) ∈ 𝐵 → (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞))) ∈
ℝ*) | 
| 33 | 19, 32 | syl 17 | . . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞))) ∈
ℝ*) | 
| 34 | 31, 33 | ifcld 4571 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → if((𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞))) ≤ (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑟))), (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑟))), (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞)))) ∈
ℝ*) | 
| 35 | 27, 3, 13 | deg1xrcl 26122 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝐺 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝐺) ∈
ℝ*) | 
| 36 | 11, 35 | syl 17 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → (𝐷‘𝐺) ∈
ℝ*) | 
| 37 | 29, 34, 36 | 3jca 1128 | . . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → ((𝐷‘((𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞)) − (𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑟)))) ∈ ℝ* ∧
if((𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞))) ≤ (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑟))), (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑟))), (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞)))) ∈ ℝ* ∧ (𝐷‘𝐺) ∈
ℝ*)) | 
| 38 | 37 | adantr 480 | . . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) ∧ ((𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞))) < (𝐷‘𝐺) ∧ (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑟))) < (𝐷‘𝐺))) → ((𝐷‘((𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞)) − (𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑟)))) ∈ ℝ* ∧
if((𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞))) ≤ (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑟))), (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑟))), (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞)))) ∈ ℝ* ∧ (𝐷‘𝐺) ∈
ℝ*)) | 
| 39 | 3, 27, 2, 13, 17, 19, 24 | deg1suble 26147 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → (𝐷‘((𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞)) − (𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑟)))) ≤ if((𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞))) ≤ (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑟))), (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑟))), (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞))))) | 
| 40 | 39 | adantr 480 | . . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) ∧ ((𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞))) < (𝐷‘𝐺) ∧ (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑟))) < (𝐷‘𝐺))) → (𝐷‘((𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞)) − (𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑟)))) ≤ if((𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞))) ≤ (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑟))), (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑟))), (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞))))) | 
| 41 |  | xrmaxlt 13224 | . . . . . . . . 9
⊢ (((𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞))) ∈ ℝ* ∧ (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑟))) ∈ ℝ* ∧ (𝐷‘𝐺) ∈ ℝ*) →
(if((𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞))) ≤ (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑟))), (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑟))), (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞)))) < (𝐷‘𝐺) ↔ ((𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞))) < (𝐷‘𝐺) ∧ (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑟))) < (𝐷‘𝐺)))) | 
| 42 | 33, 31, 36, 41 | syl3anc 1372 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → (if((𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞))) ≤ (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑟))), (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑟))), (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞)))) < (𝐷‘𝐺) ↔ ((𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞))) < (𝐷‘𝐺) ∧ (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑟))) < (𝐷‘𝐺)))) | 
| 43 | 42 | biimpar 477 | . . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) ∧ ((𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞))) < (𝐷‘𝐺) ∧ (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑟))) < (𝐷‘𝐺))) → if((𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞))) ≤ (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑟))), (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑟))), (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞)))) < (𝐷‘𝐺)) | 
| 44 | 40, 43 | jca 511 | . . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) ∧ ((𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞))) < (𝐷‘𝐺) ∧ (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑟))) < (𝐷‘𝐺))) → ((𝐷‘((𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞)) − (𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑟)))) ≤ if((𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞))) ≤ (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑟))), (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑟))), (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞)))) ∧ if((𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞))) ≤ (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑟))), (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑟))), (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞)))) < (𝐷‘𝐺))) | 
| 45 |  | xrlelttr 13199 | . . . . . 6
⊢ (((𝐷‘((𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞)) − (𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑟)))) ∈ ℝ* ∧
if((𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞))) ≤ (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑟))), (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑟))), (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞)))) ∈ ℝ* ∧ (𝐷‘𝐺) ∈ ℝ*) →
(((𝐷‘((𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞)) − (𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑟)))) ≤ if((𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞))) ≤ (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑟))), (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑟))), (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞)))) ∧ if((𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞))) ≤ (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑟))), (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑟))), (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞)))) < (𝐷‘𝐺)) → (𝐷‘((𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞)) − (𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑟)))) < (𝐷‘𝐺))) | 
| 46 | 38, 44, 45 | sylc 65 | . . . . 5
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) ∧ ((𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞))) < (𝐷‘𝐺) ∧ (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑟))) < (𝐷‘𝐺))) → (𝐷‘((𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞)) − (𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑟)))) < (𝐷‘𝐺)) | 
| 47 | 46 | ex 412 | . . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → (((𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞))) < (𝐷‘𝐺) ∧ (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑟))) < (𝐷‘𝐺)) → (𝐷‘((𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞)) − (𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑟)))) < (𝐷‘𝐺))) | 
| 48 |  | ply1divalg.g2 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ 0 ) | 
| 49 |  | ply1divalg.z | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢  0 =
(0g‘𝑃) | 
| 50 | 27, 3, 49, 13 | deg1nn0cl 26128 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ≠ 0 ) → (𝐷‘𝐺) ∈
ℕ0) | 
| 51 | 1, 10, 48, 50 | syl3anc 1372 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) ∈
ℕ0) | 
| 52 | 51 | ad2antrr 726 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → (𝐷‘𝐺) ∈
ℕ0) | 
| 53 | 52 | nn0red 12590 | . . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → (𝐷‘𝐺) ∈ ℝ) | 
| 54 | 1 | ad2antrr 726 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → 𝑅 ∈ Ring) | 
| 55 | 13, 17 | grpsubcl 19039 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑟 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → (𝑟 − 𝑞) ∈ 𝐵) | 
| 56 | 7, 20, 12, 55 | syl3anc 1372 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → (𝑟 − 𝑞) ∈ 𝐵) | 
| 57 | 56 | adantr 480 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → (𝑟 − 𝑞) ∈ 𝐵) | 
| 58 | 13, 49, 17 | grpsubeq0 19045 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑟 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → ((𝑟 − 𝑞) = 0 ↔ 𝑟 = 𝑞)) | 
| 59 | 7, 20, 12, 58 | syl3anc 1372 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → ((𝑟 − 𝑞) = 0 ↔ 𝑟 = 𝑞)) | 
| 60 |  | equcom 2016 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑟 = 𝑞 ↔ 𝑞 = 𝑟) | 
| 61 | 59, 60 | bitrdi 287 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → ((𝑟 − 𝑞) = 0 ↔ 𝑞 = 𝑟)) | 
| 62 | 61 | necon3bid 2984 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → ((𝑟 − 𝑞) ≠ 0 ↔ 𝑞 ≠ 𝑟)) | 
| 63 | 62 | biimpar 477 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → (𝑟 − 𝑞) ≠ 0 ) | 
| 64 | 27, 3, 49, 13 | deg1nn0cl 26128 | . . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑟 − 𝑞) ∈ 𝐵 ∧ (𝑟 − 𝑞) ≠ 0 ) → (𝐷‘(𝑟 − 𝑞)) ∈
ℕ0) | 
| 65 | 54, 57, 63, 64 | syl3anc 1372 | . . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → (𝐷‘(𝑟 − 𝑞)) ∈
ℕ0) | 
| 66 |  | nn0addge1 12574 | . . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐷‘𝐺) ∈ ℝ ∧ (𝐷‘(𝑟 − 𝑞)) ∈ ℕ0) → (𝐷‘𝐺) ≤ ((𝐷‘𝐺) + (𝐷‘(𝑟 − 𝑞)))) | 
| 67 | 53, 65, 66 | syl2anc 584 | . . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → (𝐷‘𝐺) ≤ ((𝐷‘𝐺) + (𝐷‘(𝑟 − 𝑞)))) | 
| 68 |  | ply1divmo.e | . . . . . . . . . 10
⊢ 𝐸 = (RLReg‘𝑅) | 
| 69 | 10 | ad2antrr 726 | . . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → 𝐺 ∈ 𝐵) | 
| 70 | 48 | ad2antrr 726 | . . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → 𝐺 ≠ 0 ) | 
| 71 |  | ply1divmo.g3 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 →
((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)) ∈ 𝐸) | 
| 72 | 71 | ad2antrr 726 | . . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → ((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)) ∈ 𝐸) | 
| 73 | 27, 3, 68, 13, 14, 49, 54, 69, 70, 72, 57, 63 | deg1mul2 26154 | . . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → (𝐷‘(𝐺 ∙ (𝑟 − 𝑞))) = ((𝐷‘𝐺) + (𝐷‘(𝑟 − 𝑞)))) | 
| 74 | 67, 73 | breqtrrd 5170 | . . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → (𝐷‘𝐺) ≤ (𝐷‘(𝐺 ∙ (𝑟 − 𝑞)))) | 
| 75 |  | ringabl 20279 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Abel) | 
| 76 | 5, 75 | syl 17 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → 𝑃 ∈ Abel) | 
| 77 | 13, 17, 76, 9, 16, 22 | ablnnncan1 19842 | . . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → ((𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞)) − (𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑟))) = ((𝐺 ∙ 𝑟) − (𝐺 ∙ 𝑞))) | 
| 78 | 13, 14, 17, 5, 11, 20, 12 | ringsubdi 20305 | . . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → (𝐺 ∙ (𝑟 − 𝑞)) = ((𝐺 ∙ 𝑟) − (𝐺 ∙ 𝑞))) | 
| 79 | 77, 78 | eqtr4d 2779 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → ((𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞)) − (𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑟))) = (𝐺 ∙ (𝑟 − 𝑞))) | 
| 80 | 79 | fveq2d 6909 | . . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → (𝐷‘((𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞)) − (𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑟)))) = (𝐷‘(𝐺 ∙ (𝑟 − 𝑞)))) | 
| 81 | 80 | adantr 480 | . . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → (𝐷‘((𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞)) − (𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑟)))) = (𝐷‘(𝐺 ∙ (𝑟 − 𝑞)))) | 
| 82 | 74, 81 | breqtrrd 5170 | . . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → (𝐷‘𝐺) ≤ (𝐷‘((𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞)) − (𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑟))))) | 
| 83 | 36, 29 | xrlenltd 11328 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → ((𝐷‘𝐺) ≤ (𝐷‘((𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞)) − (𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑟)))) ↔ ¬ (𝐷‘((𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞)) − (𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑟)))) < (𝐷‘𝐺))) | 
| 84 | 83 | adantr 480 | . . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → ((𝐷‘𝐺) ≤ (𝐷‘((𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞)) − (𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑟)))) ↔ ¬ (𝐷‘((𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞)) − (𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑟)))) < (𝐷‘𝐺))) | 
| 85 | 82, 84 | mpbid 232 | . . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → ¬ (𝐷‘((𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞)) − (𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑟)))) < (𝐷‘𝐺)) | 
| 86 | 85 | ex 412 | . . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → (𝑞 ≠ 𝑟 → ¬ (𝐷‘((𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞)) − (𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑟)))) < (𝐷‘𝐺))) | 
| 87 | 86 | necon4ad 2958 | . . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → ((𝐷‘((𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞)) − (𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑟)))) < (𝐷‘𝐺) → 𝑞 = 𝑟)) | 
| 88 | 47, 87 | syld 47 | . . 3
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → (((𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞))) < (𝐷‘𝐺) ∧ (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑟))) < (𝐷‘𝐺)) → 𝑞 = 𝑟)) | 
| 89 | 88 | ralrimivva 3201 | . 2
⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ 𝐵 ∀𝑟 ∈ 𝐵 (((𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞))) < (𝐷‘𝐺) ∧ (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑟))) < (𝐷‘𝐺)) → 𝑞 = 𝑟)) | 
| 90 |  | oveq2 7440 | . . . . . 6
⊢ (𝑞 = 𝑟 → (𝐺 ∙ 𝑞) = (𝐺 ∙ 𝑟)) | 
| 91 | 90 | oveq2d 7448 | . . . . 5
⊢ (𝑞 = 𝑟 → (𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞)) = (𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑟))) | 
| 92 | 91 | fveq2d 6909 | . . . 4
⊢ (𝑞 = 𝑟 → (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞))) = (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑟)))) | 
| 93 | 92 | breq1d 5152 | . . 3
⊢ (𝑞 = 𝑟 → ((𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞))) < (𝐷‘𝐺) ↔ (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑟))) < (𝐷‘𝐺))) | 
| 94 | 93 | rmo4 3735 | . 2
⊢
(∃*𝑞 ∈
𝐵 (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞))) < (𝐷‘𝐺) ↔ ∀𝑞 ∈ 𝐵 ∀𝑟 ∈ 𝐵 (((𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞))) < (𝐷‘𝐺) ∧ (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑟))) < (𝐷‘𝐺)) → 𝑞 = 𝑟)) | 
| 95 | 89, 94 | sylibr 234 | 1
⊢ (𝜑 → ∃*𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞))) < (𝐷‘𝐺)) |