MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1divmo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ply1divmo 25888
Description: Uniqueness of a quotient in a polynomial division. For polynomials 𝐹, 𝐺 such that 𝐺 β‰  0 and the leading coefficient of 𝐺 is not a zero divisor, there is at most one polynomial π‘ž which satisfies 𝐹 = (𝐺 Β· π‘ž) + π‘Ÿ where the degree of π‘Ÿ is less than the degree of 𝐺. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.) (Revised by NM, 17-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1divalg.p 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
ply1divalg.d 𝐷 = ( deg1 β€˜π‘…)
ply1divalg.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
ply1divalg.m βˆ’ = (-gβ€˜π‘ƒ)
ply1divalg.z 0 = (0gβ€˜π‘ƒ)
ply1divalg.t βˆ™ = (.rβ€˜π‘ƒ)
ply1divalg.r1 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
ply1divalg.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
ply1divalg.g1 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐡)
ply1divalg.g2 (πœ‘ β†’ 𝐺 β‰  0 )
ply1divmo.g3 (πœ‘ β†’ ((coe1β€˜πΊ)β€˜(π·β€˜πΊ)) ∈ 𝐸)
ply1divmo.e 𝐸 = (RLRegβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
ply1divmo (πœ‘ β†’ βˆƒ*π‘ž ∈ 𝐡 (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘ž))) < (π·β€˜πΊ))
Distinct variable groups:   πœ‘,π‘ž   𝐡,π‘ž   𝐷,π‘ž   𝐹,π‘ž   𝐺,π‘ž   βˆ’ ,π‘ž   βˆ™ ,π‘ž
Allowed substitution hints:   𝑃(π‘ž)   𝑅(π‘ž)   𝐸(π‘ž)   0 (π‘ž)

Proof of Theorem ply1divmo
Dummy variable π‘Ÿ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ply1divalg.r1 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
21adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡)) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
3 ply1divalg.p . . . . . . . . . . . . 13 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
43ply1ring 21990 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑃 ∈ Ring)
52, 4syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡)) β†’ 𝑃 ∈ Ring)
6 ringgrp 20132 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ Ring β†’ 𝑃 ∈ Grp)
75, 6syl 17 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡)) β†’ 𝑃 ∈ Grp)
8 ply1divalg.f . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
98adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡)) β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
10 ply1divalg.g1 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐡)
1110adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡)) β†’ 𝐺 ∈ 𝐡)
12 simprl 767 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡)) β†’ π‘ž ∈ 𝐡)
13 ply1divalg.b . . . . . . . . . . . . 13 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
14 ply1divalg.t . . . . . . . . . . . . 13 βˆ™ = (.rβ€˜π‘ƒ)
1513, 14ringcl 20144 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐡 ∧ π‘ž ∈ 𝐡) β†’ (𝐺 βˆ™ π‘ž) ∈ 𝐡)
165, 11, 12, 15syl3anc 1369 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡)) β†’ (𝐺 βˆ™ π‘ž) ∈ 𝐡)
17 ply1divalg.m . . . . . . . . . . . 12 βˆ’ = (-gβ€˜π‘ƒ)
1813, 17grpsubcl 18939 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ (𝐺 βˆ™ π‘ž) ∈ 𝐡) β†’ (𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘ž)) ∈ 𝐡)
197, 9, 16, 18syl3anc 1369 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡)) β†’ (𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘ž)) ∈ 𝐡)
20 simprr 769 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡)) β†’ π‘Ÿ ∈ 𝐡)
2113, 14ringcl 20144 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡) β†’ (𝐺 βˆ™ π‘Ÿ) ∈ 𝐡)
225, 11, 20, 21syl3anc 1369 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡)) β†’ (𝐺 βˆ™ π‘Ÿ) ∈ 𝐡)
2313, 17grpsubcl 18939 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ (𝐺 βˆ™ π‘Ÿ) ∈ 𝐡) β†’ (𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘Ÿ)) ∈ 𝐡)
247, 9, 22, 23syl3anc 1369 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡)) β†’ (𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘Ÿ)) ∈ 𝐡)
2513, 17grpsubcl 18939 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ Grp ∧ (𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘ž)) ∈ 𝐡 ∧ (𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘Ÿ)) ∈ 𝐡) β†’ ((𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘ž)) βˆ’ (𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘Ÿ))) ∈ 𝐡)
267, 19, 24, 25syl3anc 1369 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡)) β†’ ((𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘ž)) βˆ’ (𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘Ÿ))) ∈ 𝐡)
27 ply1divalg.d . . . . . . . . . 10 𝐷 = ( deg1 β€˜π‘…)
2827, 3, 13deg1xrcl 25835 . . . . . . . . 9 (((𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘ž)) βˆ’ (𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘Ÿ))) ∈ 𝐡 β†’ (π·β€˜((𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘ž)) βˆ’ (𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘Ÿ)))) ∈ ℝ*)
2926, 28syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡)) β†’ (π·β€˜((𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘ž)) βˆ’ (𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘Ÿ)))) ∈ ℝ*)
3027, 3, 13deg1xrcl 25835 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘Ÿ)) ∈ 𝐡 β†’ (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘Ÿ))) ∈ ℝ*)
3124, 30syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡)) β†’ (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘Ÿ))) ∈ ℝ*)
3227, 3, 13deg1xrcl 25835 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘ž)) ∈ 𝐡 β†’ (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘ž))) ∈ ℝ*)
3319, 32syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡)) β†’ (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘ž))) ∈ ℝ*)
3431, 33ifcld 4573 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡)) β†’ if((π·β€˜(𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘ž))) ≀ (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘Ÿ))), (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘Ÿ))), (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘ž)))) ∈ ℝ*)
3527, 3, 13deg1xrcl 25835 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ 𝐡 β†’ (π·β€˜πΊ) ∈ ℝ*)
3611, 35syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡)) β†’ (π·β€˜πΊ) ∈ ℝ*)
3729, 34, 363jca 1126 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡)) β†’ ((π·β€˜((𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘ž)) βˆ’ (𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘Ÿ)))) ∈ ℝ* ∧ if((π·β€˜(𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘ž))) ≀ (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘Ÿ))), (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘Ÿ))), (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘ž)))) ∈ ℝ* ∧ (π·β€˜πΊ) ∈ ℝ*))
3837adantr 479 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡)) ∧ ((π·β€˜(𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘ž))) < (π·β€˜πΊ) ∧ (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘Ÿ))) < (π·β€˜πΊ))) β†’ ((π·β€˜((𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘ž)) βˆ’ (𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘Ÿ)))) ∈ ℝ* ∧ if((π·β€˜(𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘ž))) ≀ (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘Ÿ))), (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘Ÿ))), (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘ž)))) ∈ ℝ* ∧ (π·β€˜πΊ) ∈ ℝ*))
393, 27, 2, 13, 17, 19, 24deg1suble 25860 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡)) β†’ (π·β€˜((𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘ž)) βˆ’ (𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘Ÿ)))) ≀ if((π·β€˜(𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘ž))) ≀ (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘Ÿ))), (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘Ÿ))), (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘ž)))))
4039adantr 479 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡)) ∧ ((π·β€˜(𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘ž))) < (π·β€˜πΊ) ∧ (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘Ÿ))) < (π·β€˜πΊ))) β†’ (π·β€˜((𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘ž)) βˆ’ (𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘Ÿ)))) ≀ if((π·β€˜(𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘ž))) ≀ (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘Ÿ))), (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘Ÿ))), (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘ž)))))
41 xrmaxlt 13164 . . . . . . . . 9 (((π·β€˜(𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘ž))) ∈ ℝ* ∧ (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘Ÿ))) ∈ ℝ* ∧ (π·β€˜πΊ) ∈ ℝ*) β†’ (if((π·β€˜(𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘ž))) ≀ (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘Ÿ))), (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘Ÿ))), (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘ž)))) < (π·β€˜πΊ) ↔ ((π·β€˜(𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘ž))) < (π·β€˜πΊ) ∧ (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘Ÿ))) < (π·β€˜πΊ))))
4233, 31, 36, 41syl3anc 1369 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡)) β†’ (if((π·β€˜(𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘ž))) ≀ (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘Ÿ))), (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘Ÿ))), (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘ž)))) < (π·β€˜πΊ) ↔ ((π·β€˜(𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘ž))) < (π·β€˜πΊ) ∧ (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘Ÿ))) < (π·β€˜πΊ))))
4342biimpar 476 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡)) ∧ ((π·β€˜(𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘ž))) < (π·β€˜πΊ) ∧ (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘Ÿ))) < (π·β€˜πΊ))) β†’ if((π·β€˜(𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘ž))) ≀ (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘Ÿ))), (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘Ÿ))), (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘ž)))) < (π·β€˜πΊ))
4440, 43jca 510 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡)) ∧ ((π·β€˜(𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘ž))) < (π·β€˜πΊ) ∧ (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘Ÿ))) < (π·β€˜πΊ))) β†’ ((π·β€˜((𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘ž)) βˆ’ (𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘Ÿ)))) ≀ if((π·β€˜(𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘ž))) ≀ (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘Ÿ))), (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘Ÿ))), (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘ž)))) ∧ if((π·β€˜(𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘ž))) ≀ (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘Ÿ))), (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘Ÿ))), (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘ž)))) < (π·β€˜πΊ)))
45 xrlelttr 13139 . . . . . 6 (((π·β€˜((𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘ž)) βˆ’ (𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘Ÿ)))) ∈ ℝ* ∧ if((π·β€˜(𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘ž))) ≀ (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘Ÿ))), (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘Ÿ))), (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘ž)))) ∈ ℝ* ∧ (π·β€˜πΊ) ∈ ℝ*) β†’ (((π·β€˜((𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘ž)) βˆ’ (𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘Ÿ)))) ≀ if((π·β€˜(𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘ž))) ≀ (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘Ÿ))), (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘Ÿ))), (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘ž)))) ∧ if((π·β€˜(𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘ž))) ≀ (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘Ÿ))), (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘Ÿ))), (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘ž)))) < (π·β€˜πΊ)) β†’ (π·β€˜((𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘ž)) βˆ’ (𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘Ÿ)))) < (π·β€˜πΊ)))
4638, 44, 45sylc 65 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡)) ∧ ((π·β€˜(𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘ž))) < (π·β€˜πΊ) ∧ (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘Ÿ))) < (π·β€˜πΊ))) β†’ (π·β€˜((𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘ž)) βˆ’ (𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘Ÿ)))) < (π·β€˜πΊ))
4746ex 411 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡)) β†’ (((π·β€˜(𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘ž))) < (π·β€˜πΊ) ∧ (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘Ÿ))) < (π·β€˜πΊ)) β†’ (π·β€˜((𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘ž)) βˆ’ (𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘Ÿ)))) < (π·β€˜πΊ)))
48 ply1divalg.g2 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐺 β‰  0 )
49 ply1divalg.z . . . . . . . . . . . . . 14 0 = (0gβ€˜π‘ƒ)
5027, 3, 49, 13deg1nn0cl 25841 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 β‰  0 ) β†’ (π·β€˜πΊ) ∈ β„•0)
511, 10, 48, 50syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (π·β€˜πΊ) ∈ β„•0)
5251ad2antrr 722 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡)) ∧ π‘ž β‰  π‘Ÿ) β†’ (π·β€˜πΊ) ∈ β„•0)
5352nn0red 12537 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡)) ∧ π‘ž β‰  π‘Ÿ) β†’ (π·β€˜πΊ) ∈ ℝ)
541ad2antrr 722 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡)) ∧ π‘ž β‰  π‘Ÿ) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
5513, 17grpsubcl 18939 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ Grp ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡 ∧ π‘ž ∈ 𝐡) β†’ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž) ∈ 𝐡)
567, 20, 12, 55syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡)) β†’ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž) ∈ 𝐡)
5756adantr 479 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡)) ∧ π‘ž β‰  π‘Ÿ) β†’ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž) ∈ 𝐡)
5813, 49, 17grpsubeq0 18945 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 ∈ Grp ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡 ∧ π‘ž ∈ 𝐡) β†’ ((π‘Ÿ βˆ’ π‘ž) = 0 ↔ π‘Ÿ = π‘ž))
597, 20, 12, 58syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘Ÿ βˆ’ π‘ž) = 0 ↔ π‘Ÿ = π‘ž))
60 equcom 2019 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Ÿ = π‘ž ↔ π‘ž = π‘Ÿ)
6159, 60bitrdi 286 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘Ÿ βˆ’ π‘ž) = 0 ↔ π‘ž = π‘Ÿ))
6261necon3bid 2983 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘Ÿ βˆ’ π‘ž) β‰  0 ↔ π‘ž β‰  π‘Ÿ))
6362biimpar 476 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡)) ∧ π‘ž β‰  π‘Ÿ) β†’ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž) β‰  0 )
6427, 3, 49, 13deg1nn0cl 25841 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž) ∈ 𝐡 ∧ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž) β‰  0 ) β†’ (π·β€˜(π‘Ÿ βˆ’ π‘ž)) ∈ β„•0)
6554, 57, 63, 64syl3anc 1369 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡)) ∧ π‘ž β‰  π‘Ÿ) β†’ (π·β€˜(π‘Ÿ βˆ’ π‘ž)) ∈ β„•0)
66 nn0addge1 12522 . . . . . . . . . 10 (((π·β€˜πΊ) ∈ ℝ ∧ (π·β€˜(π‘Ÿ βˆ’ π‘ž)) ∈ β„•0) β†’ (π·β€˜πΊ) ≀ ((π·β€˜πΊ) + (π·β€˜(π‘Ÿ βˆ’ π‘ž))))
6753, 65, 66syl2anc 582 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡)) ∧ π‘ž β‰  π‘Ÿ) β†’ (π·β€˜πΊ) ≀ ((π·β€˜πΊ) + (π·β€˜(π‘Ÿ βˆ’ π‘ž))))
68 ply1divmo.e . . . . . . . . . 10 𝐸 = (RLRegβ€˜π‘…)
6910ad2antrr 722 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡)) ∧ π‘ž β‰  π‘Ÿ) β†’ 𝐺 ∈ 𝐡)
7048ad2antrr 722 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡)) ∧ π‘ž β‰  π‘Ÿ) β†’ 𝐺 β‰  0 )
71 ply1divmo.g3 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((coe1β€˜πΊ)β€˜(π·β€˜πΊ)) ∈ 𝐸)
7271ad2antrr 722 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡)) ∧ π‘ž β‰  π‘Ÿ) β†’ ((coe1β€˜πΊ)β€˜(π·β€˜πΊ)) ∈ 𝐸)
7327, 3, 68, 13, 14, 49, 54, 69, 70, 72, 57, 63deg1mul2 25867 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡)) ∧ π‘ž β‰  π‘Ÿ) β†’ (π·β€˜(𝐺 βˆ™ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž))) = ((π·β€˜πΊ) + (π·β€˜(π‘Ÿ βˆ’ π‘ž))))
7467, 73breqtrrd 5175 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡)) ∧ π‘ž β‰  π‘Ÿ) β†’ (π·β€˜πΊ) ≀ (π·β€˜(𝐺 βˆ™ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž))))
75 ringabl 20169 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ Ring β†’ 𝑃 ∈ Abel)
765, 75syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡)) β†’ 𝑃 ∈ Abel)
7713, 17, 76, 9, 16, 22ablnnncan1 19732 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡)) β†’ ((𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘ž)) βˆ’ (𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘Ÿ))) = ((𝐺 βˆ™ π‘Ÿ) βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘ž)))
7813, 14, 17, 5, 11, 20, 12ringsubdi 20195 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡)) β†’ (𝐺 βˆ™ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž)) = ((𝐺 βˆ™ π‘Ÿ) βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘ž)))
7977, 78eqtr4d 2773 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡)) β†’ ((𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘ž)) βˆ’ (𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘Ÿ))) = (𝐺 βˆ™ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž)))
8079fveq2d 6894 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡)) β†’ (π·β€˜((𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘ž)) βˆ’ (𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘Ÿ)))) = (π·β€˜(𝐺 βˆ™ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž))))
8180adantr 479 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡)) ∧ π‘ž β‰  π‘Ÿ) β†’ (π·β€˜((𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘ž)) βˆ’ (𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘Ÿ)))) = (π·β€˜(𝐺 βˆ™ (π‘Ÿ βˆ’ π‘ž))))
8274, 81breqtrrd 5175 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡)) ∧ π‘ž β‰  π‘Ÿ) β†’ (π·β€˜πΊ) ≀ (π·β€˜((𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘ž)) βˆ’ (𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘Ÿ)))))
8336, 29xrlenltd 11284 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡)) β†’ ((π·β€˜πΊ) ≀ (π·β€˜((𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘ž)) βˆ’ (𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘Ÿ)))) ↔ Β¬ (π·β€˜((𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘ž)) βˆ’ (𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘Ÿ)))) < (π·β€˜πΊ)))
8483adantr 479 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡)) ∧ π‘ž β‰  π‘Ÿ) β†’ ((π·β€˜πΊ) ≀ (π·β€˜((𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘ž)) βˆ’ (𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘Ÿ)))) ↔ Β¬ (π·β€˜((𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘ž)) βˆ’ (𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘Ÿ)))) < (π·β€˜πΊ)))
8582, 84mpbid 231 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡)) ∧ π‘ž β‰  π‘Ÿ) β†’ Β¬ (π·β€˜((𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘ž)) βˆ’ (𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘Ÿ)))) < (π·β€˜πΊ))
8685ex 411 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡)) β†’ (π‘ž β‰  π‘Ÿ β†’ Β¬ (π·β€˜((𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘ž)) βˆ’ (𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘Ÿ)))) < (π·β€˜πΊ)))
8786necon4ad 2957 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡)) β†’ ((π·β€˜((𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘ž)) βˆ’ (𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘Ÿ)))) < (π·β€˜πΊ) β†’ π‘ž = π‘Ÿ))
8847, 87syld 47 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡)) β†’ (((π·β€˜(𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘ž))) < (π·β€˜πΊ) ∧ (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘Ÿ))) < (π·β€˜πΊ)) β†’ π‘ž = π‘Ÿ))
8988ralrimivva 3198 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝐡 (((π·β€˜(𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘ž))) < (π·β€˜πΊ) ∧ (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘Ÿ))) < (π·β€˜πΊ)) β†’ π‘ž = π‘Ÿ))
90 oveq2 7419 . . . . . 6 (π‘ž = π‘Ÿ β†’ (𝐺 βˆ™ π‘ž) = (𝐺 βˆ™ π‘Ÿ))
9190oveq2d 7427 . . . . 5 (π‘ž = π‘Ÿ β†’ (𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘ž)) = (𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘Ÿ)))
9291fveq2d 6894 . . . 4 (π‘ž = π‘Ÿ β†’ (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘ž))) = (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘Ÿ))))
9392breq1d 5157 . . 3 (π‘ž = π‘Ÿ β†’ ((π·β€˜(𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘ž))) < (π·β€˜πΊ) ↔ (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘Ÿ))) < (π·β€˜πΊ)))
9493rmo4 3725 . 2 (βˆƒ*π‘ž ∈ 𝐡 (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘ž))) < (π·β€˜πΊ) ↔ βˆ€π‘ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝐡 (((π·β€˜(𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘ž))) < (π·β€˜πΊ) ∧ (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘Ÿ))) < (π·β€˜πΊ)) β†’ π‘ž = π‘Ÿ))
9589, 94sylibr 233 1 (πœ‘ β†’ βˆƒ*π‘ž ∈ 𝐡 (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (𝐺 βˆ™ π‘ž))) < (π·β€˜πΊ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938  βˆ€wral 3059  βˆƒ*wrmo 3373  ifcif 4527   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  β„cr 11111   + caddc 11115  β„*cxr 11251   < clt 11252   ≀ cle 11253  β„•0cn0 12476  Basecbs 17148  .rcmulr 17202  0gc0g 17389  Grpcgrp 18855  -gcsg 18857  Abelcabl 19690  Ringcrg 20127  RLRegcrlreg 21095  Poly1cpl1 21920  coe1cco1 21921   deg1 cdg1 25804
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-ofr 7673  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-tpos 8213  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-seq 13971  df-hash 14295  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-prds 17397  df-pws 17399  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18705  df-submnd 18706  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-mulg 18987  df-subg 19039  df-ghm 19128  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-cring 20130  df-oppr 20225  df-dvdsr 20248  df-unit 20249  df-invr 20279  df-subrng 20434  df-subrg 20459  df-lmod 20616  df-lss 20687  df-rlreg 21099  df-cnfld 21145  df-psr 21681  df-mpl 21683  df-opsr 21685  df-psr1 21923  df-ply1 21925  df-coe1 21926  df-mdeg 25805  df-deg1 25806
This theorem is referenced by:  ply1divalg  25890
  Copyright terms: Public domain W3C validator