Theorem ply1divmo 25653

Description: Uniqueness of a quotient in a polynomial division. For polynomials 𝐹, 𝐺 such that 𝐺 ≠ 0 and the leading coefficient of 𝐺 is not a zero divisor, there is at most one polynomial 𝑞 which satisfies 𝐹 = (𝐺 · 𝑞) + 𝑟 where the degree of 𝑟 is less than the degree of 𝐺. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.) (Revised by NM, 17-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1divalg.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1divalg.d	⊢ 𝐷 = ( deg1 ‘𝑅)
ply1divalg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
ply1divalg.m	⊢ − = (-g‘𝑃)
ply1divalg.z	⊢ 0 = (0g‘𝑃)
ply1divalg.t	⊢ ∙ = (.r‘𝑃)
ply1divalg.r1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
ply1divalg.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
ply1divalg.g1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
ply1divalg.g2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ 0 )
ply1divmo.g3	⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)) ∈ 𝐸)
ply1divmo.e	⊢ 𝐸 = (RLReg‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ply1divmo	⊢ (𝜑 → ∃*𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞))) < (𝐷‘𝐺))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑞   𝐵,𝑞   𝐷,𝑞   𝐹,𝑞   𝐺,𝑞   − ,𝑞   ∙ ,𝑞

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑞)   𝑅(𝑞)   𝐸(𝑞)   0 (𝑞)

Proof of Theorem ply1divmo

Dummy variable 𝑟 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1divalg.r1	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2	1	adantr 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → 𝑅 ∈ Ring)
3		ply1divalg.p	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
4	3	ply1ring 21770	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
5	2, 4	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → 𝑃 ∈ Ring)
6		ringgrp 20061	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Grp)
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → 𝑃 ∈ Grp)
8		ply1divalg.f	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
9	8	adantr 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → 𝐹 ∈ 𝐵)
10		ply1divalg.g1	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
11	10	adantr 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → 𝐺 ∈ 𝐵)
12		simprl 770	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → 𝑞 ∈ 𝐵)
13		ply1divalg.b	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
14		ply1divalg.t	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∙ = (.r‘𝑃)
15	13, 14	ringcl 20073	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → (𝐺 ∙ 𝑞) ∈ 𝐵)
16	5, 11, 12, 15	syl3anc 1372	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → (𝐺 ∙ 𝑞) ∈ 𝐵)
17		ply1divalg.m	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ − = (-g‘𝑃)
18	13, 17	grpsubcl 18903	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ (𝐺 ∙ 𝑞) ∈ 𝐵) → (𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞)) ∈ 𝐵)
19	7, 9, 16, 18	syl3anc 1372	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → (𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞)) ∈ 𝐵)
20		simprr 772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → 𝑟 ∈ 𝐵)
21	13, 14	ringcl 20073	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵) → (𝐺 ∙ 𝑟) ∈ 𝐵)
22	5, 11, 20, 21	syl3anc 1372	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → (𝐺 ∙ 𝑟) ∈ 𝐵)
23	13, 17	grpsubcl 18903	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ (𝐺 ∙ 𝑟) ∈ 𝐵) → (𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑟)) ∈ 𝐵)
24	7, 9, 22, 23	syl3anc 1372	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → (𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑟)) ∈ 𝐵)
25	13, 17	grpsubcl 18903	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ Grp ∧ (𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞)) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑟)) ∈ 𝐵) → ((𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞)) − (𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑟))) ∈ 𝐵)
26	7, 19, 24, 25	syl3anc 1372	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → ((𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞)) − (𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑟))) ∈ 𝐵)
27		ply1divalg.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐷 = ( deg1 ‘𝑅)
28	27, 3, 13	deg1xrcl 25600	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞)) − (𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑟))) ∈ 𝐵 → (𝐷‘((𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞)) − (𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑟)))) ∈ ℝ*)
29	26, 28	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → (𝐷‘((𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞)) − (𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑟)))) ∈ ℝ*)
30	27, 3, 13	deg1xrcl 25600	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑟)) ∈ 𝐵 → (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑟))) ∈ ℝ*)
31	24, 30	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑟))) ∈ ℝ*)
32	27, 3, 13	deg1xrcl 25600	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞)) ∈ 𝐵 → (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞))) ∈ ℝ*)
33	19, 32	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞))) ∈ ℝ*)
34	31, 33	ifcld 4575	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → if((𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞))) ≤ (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑟))), (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑟))), (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞)))) ∈ ℝ*)
35	27, 3, 13	deg1xrcl 25600	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝐺) ∈ ℝ*)
36	11, 35	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → (𝐷‘𝐺) ∈ ℝ*)
37	29, 34, 36	3jca 1129	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → ((𝐷‘((𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞)) − (𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑟)))) ∈ ℝ* ∧ if((𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞))) ≤ (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑟))), (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑟))), (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞)))) ∈ ℝ* ∧ (𝐷‘𝐺) ∈ ℝ*))
38	37	adantr 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) ∧ ((𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞))) < (𝐷‘𝐺) ∧ (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑟))) < (𝐷‘𝐺))) → ((𝐷‘((𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞)) − (𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑟)))) ∈ ℝ* ∧ if((𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞))) ≤ (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑟))), (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑟))), (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞)))) ∈ ℝ* ∧ (𝐷‘𝐺) ∈ ℝ*))
39	3, 27, 2, 13, 17, 19, 24	deg1suble 25625	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → (𝐷‘((𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞)) − (𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑟)))) ≤ if((𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞))) ≤ (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑟))), (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑟))), (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞)))))
40	39	adantr 482	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) ∧ ((𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞))) < (𝐷‘𝐺) ∧ (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑟))) < (𝐷‘𝐺))) → (𝐷‘((𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞)) − (𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑟)))) ≤ if((𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞))) ≤ (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑟))), (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑟))), (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞)))))
41		xrmaxlt 13160	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞))) ∈ ℝ* ∧ (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑟))) ∈ ℝ* ∧ (𝐷‘𝐺) ∈ ℝ*) → (if((𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞))) ≤ (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑟))), (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑟))), (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞)))) < (𝐷‘𝐺) ↔ ((𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞))) < (𝐷‘𝐺) ∧ (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑟))) < (𝐷‘𝐺))))
42	33, 31, 36, 41	syl3anc 1372	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → (if((𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞))) ≤ (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑟))), (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑟))), (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞)))) < (𝐷‘𝐺) ↔ ((𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞))) < (𝐷‘𝐺) ∧ (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑟))) < (𝐷‘𝐺))))
43	42	biimpar 479	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) ∧ ((𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞))) < (𝐷‘𝐺) ∧ (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑟))) < (𝐷‘𝐺))) → if((𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞))) ≤ (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑟))), (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑟))), (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞)))) < (𝐷‘𝐺))
44	40, 43	jca 513	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) ∧ ((𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞))) < (𝐷‘𝐺) ∧ (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑟))) < (𝐷‘𝐺))) → ((𝐷‘((𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞)) − (𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑟)))) ≤ if((𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞))) ≤ (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑟))), (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑟))), (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞)))) ∧ if((𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞))) ≤ (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑟))), (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑟))), (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞)))) < (𝐷‘𝐺)))
45		xrlelttr 13135	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷‘((𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞)) − (𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑟)))) ∈ ℝ* ∧ if((𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞))) ≤ (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑟))), (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑟))), (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞)))) ∈ ℝ* ∧ (𝐷‘𝐺) ∈ ℝ*) → (((𝐷‘((𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞)) − (𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑟)))) ≤ if((𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞))) ≤ (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑟))), (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑟))), (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞)))) ∧ if((𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞))) ≤ (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑟))), (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑟))), (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞)))) < (𝐷‘𝐺)) → (𝐷‘((𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞)) − (𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑟)))) < (𝐷‘𝐺)))
46	38, 44, 45	sylc 65	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) ∧ ((𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞))) < (𝐷‘𝐺) ∧ (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑟))) < (𝐷‘𝐺))) → (𝐷‘((𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞)) − (𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑟)))) < (𝐷‘𝐺))
47	46	ex 414	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → (((𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞))) < (𝐷‘𝐺) ∧ (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑟))) < (𝐷‘𝐺)) → (𝐷‘((𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞)) − (𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑟)))) < (𝐷‘𝐺)))
48		ply1divalg.g2	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ 0 )
49		ply1divalg.z	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 = (0g‘𝑃)
50	27, 3, 49, 13	deg1nn0cl 25606	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ≠ 0 ) → (𝐷‘𝐺) ∈ ℕ0)
51	1, 10, 48, 50	syl3anc 1372	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) ∈ ℕ0)
52	51	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → (𝐷‘𝐺) ∈ ℕ0)
53	52	nn0red 12533	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → (𝐷‘𝐺) ∈ ℝ)
54	1	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → 𝑅 ∈ Ring)
55	13, 17	grpsubcl 18903	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑟 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → (𝑟 − 𝑞) ∈ 𝐵)
56	7, 20, 12, 55	syl3anc 1372	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → (𝑟 − 𝑞) ∈ 𝐵)
57	56	adantr 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → (𝑟 − 𝑞) ∈ 𝐵)
58	13, 49, 17	grpsubeq0 18909	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑟 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → ((𝑟 − 𝑞) = 0 ↔ 𝑟 = 𝑞))
59	7, 20, 12, 58	syl3anc 1372	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → ((𝑟 − 𝑞) = 0 ↔ 𝑟 = 𝑞))
60		equcom 2022	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑟 = 𝑞 ↔ 𝑞 = 𝑟)
61	59, 60	bitrdi 287	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → ((𝑟 − 𝑞) = 0 ↔ 𝑞 = 𝑟))
62	61	necon3bid 2986	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → ((𝑟 − 𝑞) ≠ 0 ↔ 𝑞 ≠ 𝑟))
63	62	biimpar 479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → (𝑟 − 𝑞) ≠ 0 )
64	27, 3, 49, 13	deg1nn0cl 25606	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑟 − 𝑞) ∈ 𝐵 ∧ (𝑟 − 𝑞) ≠ 0 ) → (𝐷‘(𝑟 − 𝑞)) ∈ ℕ0)
65	54, 57, 63, 64	syl3anc 1372	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → (𝐷‘(𝑟 − 𝑞)) ∈ ℕ0)
66		nn0addge1 12518	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐷‘𝐺) ∈ ℝ ∧ (𝐷‘(𝑟 − 𝑞)) ∈ ℕ0) → (𝐷‘𝐺) ≤ ((𝐷‘𝐺) + (𝐷‘(𝑟 − 𝑞))))
67	53, 65, 66	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → (𝐷‘𝐺) ≤ ((𝐷‘𝐺) + (𝐷‘(𝑟 − 𝑞))))
68		ply1divmo.e	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
69	10	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → 𝐺 ∈ 𝐵)
70	48	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → 𝐺 ≠ 0 )
71		ply1divmo.g3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)) ∈ 𝐸)
72	71	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → ((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)) ∈ 𝐸)
73	27, 3, 68, 13, 14, 49, 54, 69, 70, 72, 57, 63	deg1mul2 25632	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → (𝐷‘(𝐺 ∙ (𝑟 − 𝑞))) = ((𝐷‘𝐺) + (𝐷‘(𝑟 − 𝑞))))
74	67, 73	breqtrrd 5177	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → (𝐷‘𝐺) ≤ (𝐷‘(𝐺 ∙ (𝑟 − 𝑞))))
75		ringabl 20098	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Abel)
76	5, 75	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → 𝑃 ∈ Abel)
77	13, 17, 76, 9, 16, 22	ablnnncan1 19691	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → ((𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞)) − (𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑟))) = ((𝐺 ∙ 𝑟) − (𝐺 ∙ 𝑞)))
78	13, 14, 17, 5, 11, 20, 12	ringsubdi 20119	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → (𝐺 ∙ (𝑟 − 𝑞)) = ((𝐺 ∙ 𝑟) − (𝐺 ∙ 𝑞)))
79	77, 78	eqtr4d 2776	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → ((𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞)) − (𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑟))) = (𝐺 ∙ (𝑟 − 𝑞)))
80	79	fveq2d 6896	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → (𝐷‘((𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞)) − (𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑟)))) = (𝐷‘(𝐺 ∙ (𝑟 − 𝑞))))
81	80	adantr 482	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → (𝐷‘((𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞)) − (𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑟)))) = (𝐷‘(𝐺 ∙ (𝑟 − 𝑞))))
82	74, 81	breqtrrd 5177	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → (𝐷‘𝐺) ≤ (𝐷‘((𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞)) − (𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑟)))))
83	36, 29	xrlenltd 11280	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → ((𝐷‘𝐺) ≤ (𝐷‘((𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞)) − (𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑟)))) ↔ ¬ (𝐷‘((𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞)) − (𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑟)))) < (𝐷‘𝐺)))
84	83	adantr 482	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → ((𝐷‘𝐺) ≤ (𝐷‘((𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞)) − (𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑟)))) ↔ ¬ (𝐷‘((𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞)) − (𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑟)))) < (𝐷‘𝐺)))
85	82, 84	mpbid 231	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑞 ≠ 𝑟) → ¬ (𝐷‘((𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞)) − (𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑟)))) < (𝐷‘𝐺))
86	85	ex 414	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → (𝑞 ≠ 𝑟 → ¬ (𝐷‘((𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞)) − (𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑟)))) < (𝐷‘𝐺)))
87	86	necon4ad 2960	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → ((𝐷‘((𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞)) − (𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑟)))) < (𝐷‘𝐺) → 𝑞 = 𝑟))
88	47, 87	syld 47	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → (((𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞))) < (𝐷‘𝐺) ∧ (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑟))) < (𝐷‘𝐺)) → 𝑞 = 𝑟))
89	88	ralrimivva 3201	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ 𝐵 ∀𝑟 ∈ 𝐵 (((𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞))) < (𝐷‘𝐺) ∧ (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑟))) < (𝐷‘𝐺)) → 𝑞 = 𝑟))
90		oveq2 7417	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = 𝑟 → (𝐺 ∙ 𝑞) = (𝐺 ∙ 𝑟))
91	90	oveq2d 7425	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = 𝑟 → (𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞)) = (𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑟)))
92	91	fveq2d 6896	. . . 4 ⊢ (𝑞 = 𝑟 → (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞))) = (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑟))))
93	92	breq1d 5159	. . 3 ⊢ (𝑞 = 𝑟 → ((𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞))) < (𝐷‘𝐺) ↔ (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑟))) < (𝐷‘𝐺)))
94	93	rmo4 3727	. 2 ⊢ (∃*𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞))) < (𝐷‘𝐺) ↔ ∀𝑞 ∈ 𝐵 ∀𝑟 ∈ 𝐵 (((𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞))) < (𝐷‘𝐺) ∧ (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑟))) < (𝐷‘𝐺)) → 𝑞 = 𝑟))
95	89, 94	sylibr 233	1 ⊢ (𝜑 → ∃*𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞))) < (𝐷‘𝐺))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941  ∀wral 3062  ∃*wrmo 3376  ifcif 4529   class class class wbr 5149  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  ℝcr 11109   + caddc 11113  ℝ^*cxr 11247   < clt 11248   ≤ cle 11249  ℕ₀cn0 12472  Basecbs 17144  ._rcmulr 17198  0_gc0g 17385  Grpcgrp 18819  -_gcsg 18821  Abelcabl 19649  Ringcrg 20056  RLRegcrlreg 20895  Poly₁cpl1 21701  coe₁cco1 21702   deg₁ cdg1 25569

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-ofr 7671  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-tpos 8211  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-sup 9437  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-hash 14291  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-prds 17393  df-pws 17395  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-mhm 18671  df-submnd 18672  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-mulg 18951  df-subg 19003  df-ghm 19090  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-abl 19651  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-cring 20059  df-oppr 20150  df-dvdsr 20171  df-unit 20172  df-invr 20202  df-subrg 20317  df-lmod 20473  df-lss 20543  df-rlreg 20899  df-cnfld 20945  df-psr 21462  df-mpl 21464  df-opsr 21466  df-psr1 21704  df-ply1 21706  df-coe1 21707  df-mdeg 25570  df-deg1 25571

This theorem is referenced by:  ply1divalg  25655