MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1divmo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ply1divmo 26190
Description: Uniqueness of a quotient in a polynomial division. For polynomials 𝐹, 𝐺 such that 𝐺 ≠ 0 and the leading coefficient of 𝐺 is not a zero divisor, there is at most one polynomial 𝑞 which satisfies 𝐹 = (𝐺 · 𝑞) + 𝑟 where the degree of 𝑟 is less than the degree of 𝐺. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.) (Revised by NM, 17-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1divalg.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
ply1divalg.d 𝐷 = (deg1𝑅)
ply1divalg.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
ply1divalg.m = (-g𝑃)
ply1divalg.z 0 = (0g𝑃)
ply1divalg.t = (.r𝑃)
ply1divalg.r1 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
ply1divalg.f (𝜑𝐹𝐵)
ply1divalg.g1 (𝜑𝐺𝐵)
ply1divalg.g2 (𝜑𝐺0 )
ply1divmo.g3 (𝜑 → ((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) ∈ 𝐸)
ply1divmo.e 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
ply1divmo (𝜑 → ∃*𝑞𝐵 (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑞   𝐵,𝑞   𝐷,𝑞   𝐹,𝑞   𝐺,𝑞   ,𝑞   ,𝑞
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑞)   𝑅(𝑞)   𝐸(𝑞)   0 (𝑞)

Proof of Theorem ply1divmo
Dummy variable 𝑟 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ply1divalg.r1 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
21adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → 𝑅 ∈ Ring)
3 ply1divalg.p . . . . . . . . . . . . 13 𝑃 = (Poly1𝑅)
43ply1ring 22265 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
52, 4syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → 𝑃 ∈ Ring)
6 ringgrp 20256 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Grp)
75, 6syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → 𝑃 ∈ Grp)
8 ply1divalg.f . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹𝐵)
98adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → 𝐹𝐵)
10 ply1divalg.g1 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐺𝐵)
1110adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → 𝐺𝐵)
12 simprl 771 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → 𝑞𝐵)
13 ply1divalg.b . . . . . . . . . . . . 13 𝐵 = (Base‘𝑃)
14 ply1divalg.t . . . . . . . . . . . . 13 = (.r𝑃)
1513, 14ringcl 20268 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐺𝐵𝑞𝐵) → (𝐺 𝑞) ∈ 𝐵)
165, 11, 12, 15syl3anc 1370 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → (𝐺 𝑞) ∈ 𝐵)
17 ply1divalg.m . . . . . . . . . . . 12 = (-g𝑃)
1813, 17grpsubcl 19051 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝐹𝐵 ∧ (𝐺 𝑞) ∈ 𝐵) → (𝐹 (𝐺 𝑞)) ∈ 𝐵)
197, 9, 16, 18syl3anc 1370 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → (𝐹 (𝐺 𝑞)) ∈ 𝐵)
20 simprr 773 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → 𝑟𝐵)
2113, 14ringcl 20268 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐺𝐵𝑟𝐵) → (𝐺 𝑟) ∈ 𝐵)
225, 11, 20, 21syl3anc 1370 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → (𝐺 𝑟) ∈ 𝐵)
2313, 17grpsubcl 19051 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝐹𝐵 ∧ (𝐺 𝑟) ∈ 𝐵) → (𝐹 (𝐺 𝑟)) ∈ 𝐵)
247, 9, 22, 23syl3anc 1370 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → (𝐹 (𝐺 𝑟)) ∈ 𝐵)
2513, 17grpsubcl 19051 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ Grp ∧ (𝐹 (𝐺 𝑞)) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹 (𝐺 𝑟)) ∈ 𝐵) → ((𝐹 (𝐺 𝑞)) (𝐹 (𝐺 𝑟))) ∈ 𝐵)
267, 19, 24, 25syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → ((𝐹 (𝐺 𝑞)) (𝐹 (𝐺 𝑟))) ∈ 𝐵)
27 ply1divalg.d . . . . . . . . . 10 𝐷 = (deg1𝑅)
2827, 3, 13deg1xrcl 26136 . . . . . . . . 9 (((𝐹 (𝐺 𝑞)) (𝐹 (𝐺 𝑟))) ∈ 𝐵 → (𝐷‘((𝐹 (𝐺 𝑞)) (𝐹 (𝐺 𝑟)))) ∈ ℝ*)
2926, 28syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → (𝐷‘((𝐹 (𝐺 𝑞)) (𝐹 (𝐺 𝑟)))) ∈ ℝ*)
3027, 3, 13deg1xrcl 26136 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 (𝐺 𝑟)) ∈ 𝐵 → (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑟))) ∈ ℝ*)
3124, 30syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑟))) ∈ ℝ*)
3227, 3, 13deg1xrcl 26136 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 (𝐺 𝑞)) ∈ 𝐵 → (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞))) ∈ ℝ*)
3319, 32syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞))) ∈ ℝ*)
3431, 33ifcld 4577 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → if((𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞))) ≤ (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑟))), (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑟))), (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞)))) ∈ ℝ*)
3527, 3, 13deg1xrcl 26136 . . . . . . . . 9 (𝐺𝐵 → (𝐷𝐺) ∈ ℝ*)
3611, 35syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → (𝐷𝐺) ∈ ℝ*)
3729, 34, 363jca 1127 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → ((𝐷‘((𝐹 (𝐺 𝑞)) (𝐹 (𝐺 𝑟)))) ∈ ℝ* ∧ if((𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞))) ≤ (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑟))), (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑟))), (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞)))) ∈ ℝ* ∧ (𝐷𝐺) ∈ ℝ*))
3837adantr 480 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) ∧ ((𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺) ∧ (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑟))) < (𝐷𝐺))) → ((𝐷‘((𝐹 (𝐺 𝑞)) (𝐹 (𝐺 𝑟)))) ∈ ℝ* ∧ if((𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞))) ≤ (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑟))), (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑟))), (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞)))) ∈ ℝ* ∧ (𝐷𝐺) ∈ ℝ*))
393, 27, 2, 13, 17, 19, 24deg1suble 26161 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → (𝐷‘((𝐹 (𝐺 𝑞)) (𝐹 (𝐺 𝑟)))) ≤ if((𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞))) ≤ (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑟))), (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑟))), (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞)))))
4039adantr 480 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) ∧ ((𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺) ∧ (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑟))) < (𝐷𝐺))) → (𝐷‘((𝐹 (𝐺 𝑞)) (𝐹 (𝐺 𝑟)))) ≤ if((𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞))) ≤ (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑟))), (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑟))), (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞)))))
41 xrmaxlt 13220 . . . . . . . . 9 (((𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞))) ∈ ℝ* ∧ (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑟))) ∈ ℝ* ∧ (𝐷𝐺) ∈ ℝ*) → (if((𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞))) ≤ (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑟))), (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑟))), (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞)))) < (𝐷𝐺) ↔ ((𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺) ∧ (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑟))) < (𝐷𝐺))))
4233, 31, 36, 41syl3anc 1370 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → (if((𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞))) ≤ (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑟))), (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑟))), (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞)))) < (𝐷𝐺) ↔ ((𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺) ∧ (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑟))) < (𝐷𝐺))))
4342biimpar 477 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) ∧ ((𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺) ∧ (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑟))) < (𝐷𝐺))) → if((𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞))) ≤ (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑟))), (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑟))), (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞)))) < (𝐷𝐺))
4440, 43jca 511 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) ∧ ((𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺) ∧ (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑟))) < (𝐷𝐺))) → ((𝐷‘((𝐹 (𝐺 𝑞)) (𝐹 (𝐺 𝑟)))) ≤ if((𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞))) ≤ (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑟))), (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑟))), (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞)))) ∧ if((𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞))) ≤ (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑟))), (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑟))), (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞)))) < (𝐷𝐺)))
45 xrlelttr 13195 . . . . . 6 (((𝐷‘((𝐹 (𝐺 𝑞)) (𝐹 (𝐺 𝑟)))) ∈ ℝ* ∧ if((𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞))) ≤ (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑟))), (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑟))), (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞)))) ∈ ℝ* ∧ (𝐷𝐺) ∈ ℝ*) → (((𝐷‘((𝐹 (𝐺 𝑞)) (𝐹 (𝐺 𝑟)))) ≤ if((𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞))) ≤ (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑟))), (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑟))), (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞)))) ∧ if((𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞))) ≤ (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑟))), (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑟))), (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞)))) < (𝐷𝐺)) → (𝐷‘((𝐹 (𝐺 𝑞)) (𝐹 (𝐺 𝑟)))) < (𝐷𝐺)))
4638, 44, 45sylc 65 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) ∧ ((𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺) ∧ (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑟))) < (𝐷𝐺))) → (𝐷‘((𝐹 (𝐺 𝑞)) (𝐹 (𝐺 𝑟)))) < (𝐷𝐺))
4746ex 412 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → (((𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺) ∧ (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑟))) < (𝐷𝐺)) → (𝐷‘((𝐹 (𝐺 𝑞)) (𝐹 (𝐺 𝑟)))) < (𝐷𝐺)))
48 ply1divalg.g2 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐺0 )
49 ply1divalg.z . . . . . . . . . . . . . 14 0 = (0g𝑃)
5027, 3, 49, 13deg1nn0cl 26142 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺𝐵𝐺0 ) → (𝐷𝐺) ∈ ℕ0)
511, 10, 48, 50syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐷𝐺) ∈ ℕ0)
5251ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) ∧ 𝑞𝑟) → (𝐷𝐺) ∈ ℕ0)
5352nn0red 12586 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) ∧ 𝑞𝑟) → (𝐷𝐺) ∈ ℝ)
541ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) ∧ 𝑞𝑟) → 𝑅 ∈ Ring)
5513, 17grpsubcl 19051 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑟𝐵𝑞𝐵) → (𝑟 𝑞) ∈ 𝐵)
567, 20, 12, 55syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → (𝑟 𝑞) ∈ 𝐵)
5756adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) ∧ 𝑞𝑟) → (𝑟 𝑞) ∈ 𝐵)
5813, 49, 17grpsubeq0 19057 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑟𝐵𝑞𝐵) → ((𝑟 𝑞) = 0𝑟 = 𝑞))
597, 20, 12, 58syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → ((𝑟 𝑞) = 0𝑟 = 𝑞))
60 equcom 2015 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑟 = 𝑞𝑞 = 𝑟)
6159, 60bitrdi 287 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → ((𝑟 𝑞) = 0𝑞 = 𝑟))
6261necon3bid 2983 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → ((𝑟 𝑞) ≠ 0𝑞𝑟))
6362biimpar 477 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) ∧ 𝑞𝑟) → (𝑟 𝑞) ≠ 0 )
6427, 3, 49, 13deg1nn0cl 26142 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑟 𝑞) ∈ 𝐵 ∧ (𝑟 𝑞) ≠ 0 ) → (𝐷‘(𝑟 𝑞)) ∈ ℕ0)
6554, 57, 63, 64syl3anc 1370 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) ∧ 𝑞𝑟) → (𝐷‘(𝑟 𝑞)) ∈ ℕ0)
66 nn0addge1 12570 . . . . . . . . . 10 (((𝐷𝐺) ∈ ℝ ∧ (𝐷‘(𝑟 𝑞)) ∈ ℕ0) → (𝐷𝐺) ≤ ((𝐷𝐺) + (𝐷‘(𝑟 𝑞))))
6753, 65, 66syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) ∧ 𝑞𝑟) → (𝐷𝐺) ≤ ((𝐷𝐺) + (𝐷‘(𝑟 𝑞))))
68 ply1divmo.e . . . . . . . . . 10 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
6910ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) ∧ 𝑞𝑟) → 𝐺𝐵)
7048ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) ∧ 𝑞𝑟) → 𝐺0 )
71 ply1divmo.g3 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) ∈ 𝐸)
7271ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) ∧ 𝑞𝑟) → ((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) ∈ 𝐸)
7327, 3, 68, 13, 14, 49, 54, 69, 70, 72, 57, 63deg1mul2 26168 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) ∧ 𝑞𝑟) → (𝐷‘(𝐺 (𝑟 𝑞))) = ((𝐷𝐺) + (𝐷‘(𝑟 𝑞))))
7467, 73breqtrrd 5176 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) ∧ 𝑞𝑟) → (𝐷𝐺) ≤ (𝐷‘(𝐺 (𝑟 𝑞))))
75 ringabl 20295 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Abel)
765, 75syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → 𝑃 ∈ Abel)
7713, 17, 76, 9, 16, 22ablnnncan1 19856 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → ((𝐹 (𝐺 𝑞)) (𝐹 (𝐺 𝑟))) = ((𝐺 𝑟) (𝐺 𝑞)))
7813, 14, 17, 5, 11, 20, 12ringsubdi 20321 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → (𝐺 (𝑟 𝑞)) = ((𝐺 𝑟) (𝐺 𝑞)))
7977, 78eqtr4d 2778 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → ((𝐹 (𝐺 𝑞)) (𝐹 (𝐺 𝑟))) = (𝐺 (𝑟 𝑞)))
8079fveq2d 6911 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → (𝐷‘((𝐹 (𝐺 𝑞)) (𝐹 (𝐺 𝑟)))) = (𝐷‘(𝐺 (𝑟 𝑞))))
8180adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) ∧ 𝑞𝑟) → (𝐷‘((𝐹 (𝐺 𝑞)) (𝐹 (𝐺 𝑟)))) = (𝐷‘(𝐺 (𝑟 𝑞))))
8274, 81breqtrrd 5176 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) ∧ 𝑞𝑟) → (𝐷𝐺) ≤ (𝐷‘((𝐹 (𝐺 𝑞)) (𝐹 (𝐺 𝑟)))))
8336, 29xrlenltd 11325 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → ((𝐷𝐺) ≤ (𝐷‘((𝐹 (𝐺 𝑞)) (𝐹 (𝐺 𝑟)))) ↔ ¬ (𝐷‘((𝐹 (𝐺 𝑞)) (𝐹 (𝐺 𝑟)))) < (𝐷𝐺)))
8483adantr 480 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) ∧ 𝑞𝑟) → ((𝐷𝐺) ≤ (𝐷‘((𝐹 (𝐺 𝑞)) (𝐹 (𝐺 𝑟)))) ↔ ¬ (𝐷‘((𝐹 (𝐺 𝑞)) (𝐹 (𝐺 𝑟)))) < (𝐷𝐺)))
8582, 84mpbid 232 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) ∧ 𝑞𝑟) → ¬ (𝐷‘((𝐹 (𝐺 𝑞)) (𝐹 (𝐺 𝑟)))) < (𝐷𝐺))
8685ex 412 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → (𝑞𝑟 → ¬ (𝐷‘((𝐹 (𝐺 𝑞)) (𝐹 (𝐺 𝑟)))) < (𝐷𝐺)))
8786necon4ad 2957 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → ((𝐷‘((𝐹 (𝐺 𝑞)) (𝐹 (𝐺 𝑟)))) < (𝐷𝐺) → 𝑞 = 𝑟))
8847, 87syld 47 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → (((𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺) ∧ (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑟))) < (𝐷𝐺)) → 𝑞 = 𝑟))
8988ralrimivva 3200 . 2 (𝜑 → ∀𝑞𝐵𝑟𝐵 (((𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺) ∧ (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑟))) < (𝐷𝐺)) → 𝑞 = 𝑟))
90 oveq2 7439 . . . . . 6 (𝑞 = 𝑟 → (𝐺 𝑞) = (𝐺 𝑟))
9190oveq2d 7447 . . . . 5 (𝑞 = 𝑟 → (𝐹 (𝐺 𝑞)) = (𝐹 (𝐺 𝑟)))
9291fveq2d 6911 . . . 4 (𝑞 = 𝑟 → (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞))) = (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑟))))
9392breq1d 5158 . . 3 (𝑞 = 𝑟 → ((𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺) ↔ (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑟))) < (𝐷𝐺)))
9493rmo4 3739 . 2 (∃*𝑞𝐵 (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺) ↔ ∀𝑞𝐵𝑟𝐵 (((𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺) ∧ (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑟))) < (𝐷𝐺)) → 𝑞 = 𝑟))
9589, 94sylibr 234 1 (𝜑 → ∃*𝑞𝐵 (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wral 3059  ∃*wrmo 3377  ifcif 4531   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431  cr 11152   + caddc 11156  *cxr 11292   < clt 11293  cle 11294  0cn0 12524  Basecbs 17245  .rcmulr 17299  0gc0g 17486  Grpcgrp 18964  -gcsg 18966  Abelcabl 19814  Ringcrg 20251  RLRegcrlreg 20708  Poly1cpl1 22194  coe1cco1 22195  deg1cdg1 26108
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-sup 9480  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-hash 14367  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-prds 17494  df-pws 17496  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-mulg 19099  df-subg 19154  df-ghm 19244  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-cring 20254  df-oppr 20351  df-dvdsr 20374  df-unit 20375  df-invr 20405  df-subrng 20563  df-subrg 20587  df-rlreg 20711  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-cnfld 21383  df-psr 21947  df-mpl 21949  df-opsr 21951  df-psr1 22197  df-ply1 22199  df-coe1 22200  df-mdeg 26109  df-deg1 26110
This theorem is referenced by:  ply1divalg  26192
  Copyright terms: Public domain W3C validator