Theorem infxrge0gelb 32846

Description: The infimum of a set of nonnegative extended reals is greater than or equal to a lower bound. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Jul-2020.) (Revised by AV, 4-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
infxrge0glb.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (0[,]+∞))
infxrge0glb.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))

Assertion

Ref	Expression
infxrge0gelb	⊢ (𝜑 → (𝐵 ≤ inf(𝐴, (0[,]+∞), < ) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥

Proof of Theorem infxrge0gelb

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		infxrge0glb.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (0[,]+∞))
2		infxrge0glb.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
3	1, 2	infxrge0glb 32845	. . 3 ⊢ (𝜑 → (inf(𝐴, (0[,]+∞), < ) < 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝐵))
4	3	notbid 318	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ inf(𝐴, (0[,]+∞), < ) < 𝐵 ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝐵))
5		iccssxr 13346	. . . 4 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
6	5, 2	sselid 3931	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
7		xrltso 13055	. . . . . . 7 ⊢ < Or ℝ*
8		soss 5552	. . . . . . 7 ⊢ ((0[,]+∞) ⊆ ℝ* → ( < Or ℝ* → < Or (0[,]+∞)))
9	5, 7, 8	mp2 9	. . . . . 6 ⊢ < Or (0[,]+∞)
10	9	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → < Or (0[,]+∞))
11		xrge0infss 32840	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ (0[,]+∞) → ∃𝑥 ∈ (0[,]+∞)(∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ (0[,]+∞)(𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)))
12	1, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (0[,]+∞)(∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ (0[,]+∞)(𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)))
13	10, 12	infcl 9392	. . . 4 ⊢ (𝜑 → inf(𝐴, (0[,]+∞), < ) ∈ (0[,]+∞))
14	5, 13	sselid 3931	. . 3 ⊢ (𝜑 → inf(𝐴, (0[,]+∞), < ) ∈ ℝ*)
15	6, 14	xrlenltd 11198	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ≤ inf(𝐴, (0[,]+∞), < ) ↔ ¬ inf(𝐴, (0[,]+∞), < ) < 𝐵))
16	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
17	1, 5	sstrdi 3946	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ*)
18	17	sselda 3933	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ*)
19	16, 18	xrlenltd 11198	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐵 ≤ 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 < 𝐵))
20	19	ralbidva 3157	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝐵))
21		ralnex 3062	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝐵 ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝐵)
22	20, 21	bitrdi 287	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑥 ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝐵))
23	4, 15, 22	3bitr4d 311	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ≤ inf(𝐴, (0[,]+∞), < ) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑥))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113  ∀wral 3051  ∃wrex 3060   ⊆ wss 3901   class class class wbr 5098   Or wor 5531  (class class class)co 7358  infcinf 9344  0cc0 11026  +∞cpnf 11163  ℝ^*cxr 11165   < clt 11166   ≤ cle 11167  [,]cicc 13264

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9345  df-inf 9346  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-icc 13268

This theorem is referenced by: (None)