Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  infxrge0gelb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem infxrge0gelb 30048
Description: The infimum of a set of nonnegative extended reals is greater than or equal to a lower bound. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Jul-2020.) (Revised by AV, 4-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
infxrge0glb.a (𝜑𝐴 ⊆ (0[,]+∞))
infxrge0glb.b (𝜑𝐵 ∈ (0[,]+∞))
Assertion
Ref Expression
infxrge0gelb (𝜑 → (𝐵 ≤ inf(𝐴, (0[,]+∞), < ) ↔ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥

Proof of Theorem infxrge0gelb
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 infxrge0glb.a . . . 4 (𝜑𝐴 ⊆ (0[,]+∞))
2 infxrge0glb.b . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ (0[,]+∞))
31, 2infxrge0glb 30047 . . 3 (𝜑 → (inf(𝐴, (0[,]+∞), < ) < 𝐵 ↔ ∃𝑥𝐴 𝑥 < 𝐵))
43notbid 310 . 2 (𝜑 → (¬ inf(𝐴, (0[,]+∞), < ) < 𝐵 ↔ ¬ ∃𝑥𝐴 𝑥 < 𝐵))
5 iccssxr 12504 . . . 4 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
65, 2sseldi 3797 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
7 xrltso 12220 . . . . . . 7 < Or ℝ*
8 soss 5252 . . . . . . 7 ((0[,]+∞) ⊆ ℝ* → ( < Or ℝ* → < Or (0[,]+∞)))
95, 7, 8mp2 9 . . . . . 6 < Or (0[,]+∞)
109a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → < Or (0[,]+∞))
11 xrge0infss 30042 . . . . . 6 (𝐴 ⊆ (0[,]+∞) → ∃𝑥 ∈ (0[,]+∞)(∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ (0[,]+∞)(𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))
121, 11syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (0[,]+∞)(∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ (0[,]+∞)(𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))
1310, 12infcl 8637 . . . 4 (𝜑 → inf(𝐴, (0[,]+∞), < ) ∈ (0[,]+∞))
145, 13sseldi 3797 . . 3 (𝜑 → inf(𝐴, (0[,]+∞), < ) ∈ ℝ*)
156, 14xrlenltd 10395 . 2 (𝜑 → (𝐵 ≤ inf(𝐴, (0[,]+∞), < ) ↔ ¬ inf(𝐴, (0[,]+∞), < ) < 𝐵))
166adantr 473 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
171, 5syl6ss 3811 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ*)
1817sselda 3799 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ*)
1916, 18xrlenltd 10395 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐵𝑥 ↔ ¬ 𝑥 < 𝐵))
2019ralbidva 3167 . . 3 (𝜑 → (∀𝑥𝐴 𝐵𝑥 ↔ ∀𝑥𝐴 ¬ 𝑥 < 𝐵))
21 ralnex 3174 . . 3 (∀𝑥𝐴 ¬ 𝑥 < 𝐵 ↔ ¬ ∃𝑥𝐴 𝑥 < 𝐵)
2220, 21syl6bb 279 . 2 (𝜑 → (∀𝑥𝐴 𝐵𝑥 ↔ ¬ ∃𝑥𝐴 𝑥 < 𝐵))
234, 15, 223bitr4d 303 1 (𝜑 → (𝐵 ≤ inf(𝐴, (0[,]+∞), < ) ↔ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 385  wcel 2157  wral 3090  wrex 3091  wss 3770   class class class wbr 4844   Or wor 5233  (class class class)co 6879  infcinf 8590  0cc0 10225  +∞cpnf 10361  *cxr 10363   < clt 10364  cle 10365  [,]cicc 12426
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2378  ax-ext 2778  ax-sep 4976  ax-nul 4984  ax-pow 5036  ax-pr 5098  ax-un 7184  ax-cnex 10281  ax-resscn 10282  ax-1cn 10283  ax-icn 10284  ax-addcl 10285  ax-addrcl 10286  ax-mulcl 10287  ax-mulrcl 10288  ax-mulcom 10289  ax-addass 10290  ax-mulass 10291  ax-distr 10292  ax-i2m1 10293  ax-1ne0 10294  ax-1rid 10295  ax-rnegex 10296  ax-rrecex 10297  ax-cnre 10298  ax-pre-lttri 10299  ax-pre-lttrn 10300  ax-pre-ltadd 10301  ax-pre-mulgt0 10302  ax-pre-sup 10303
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2592  df-eu 2610  df-clab 2787  df-cleq 2793  df-clel 2796  df-nfc 2931  df-ne 2973  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3388  df-sbc 3635  df-csb 3730  df-dif 3773  df-un 3775  df-in 3777  df-ss 3784  df-nul 4117  df-if 4279  df-pw 4352  df-sn 4370  df-pr 4372  df-op 4376  df-uni 4630  df-iun 4713  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-id 5221  df-po 5234  df-so 5235  df-xp 5319  df-rel 5320  df-cnv 5321  df-co 5322  df-dm 5323  df-rn 5324  df-res 5325  df-ima 5326  df-iota 6065  df-fun 6104  df-fn 6105  df-f 6106  df-f1 6107  df-fo 6108  df-f1o 6109  df-fv 6110  df-riota 6840  df-ov 6882  df-oprab 6883  df-mpt2 6884  df-1st 7402  df-2nd 7403  df-er 7983  df-en 8197  df-dom 8198  df-sdom 8199  df-sup 8591  df-inf 8592  df-pnf 10366  df-mnf 10367  df-xr 10368  df-ltxr 10369  df-le 10370  df-sub 10559  df-neg 10560  df-icc 12430
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator