Theorem infxrge0gelb 30991

Description: The infimum of a set of nonnegative extended reals is greater than or equal to a lower bound. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Jul-2020.) (Revised by AV, 4-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
infxrge0glb.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (0[,]+∞))
infxrge0glb.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))

Assertion

Ref	Expression
infxrge0gelb	⊢ (𝜑 → (𝐵 ≤ inf(𝐴, (0[,]+∞), < ) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥

Proof of Theorem infxrge0gelb

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		infxrge0glb.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (0[,]+∞))
2		infxrge0glb.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
3	1, 2	infxrge0glb 30990	. . 3 ⊢ (𝜑 → (inf(𝐴, (0[,]+∞), < ) < 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝐵))
4	3	notbid 317	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ inf(𝐴, (0[,]+∞), < ) < 𝐵 ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝐵))
5		iccssxr 13091	. . . 4 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
6	5, 2	sselid 3915	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
7		xrltso 12804	. . . . . . 7 ⊢ < Or ℝ*
8		soss 5514	. . . . . . 7 ⊢ ((0[,]+∞) ⊆ ℝ* → ( < Or ℝ* → < Or (0[,]+∞)))
9	5, 7, 8	mp2 9	. . . . . 6 ⊢ < Or (0[,]+∞)
10	9	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → < Or (0[,]+∞))
11		xrge0infss 30985	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ (0[,]+∞) → ∃𝑥 ∈ (0[,]+∞)(∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ (0[,]+∞)(𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)))
12	1, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (0[,]+∞)(∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ (0[,]+∞)(𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)))
13	10, 12	infcl 9177	. . . 4 ⊢ (𝜑 → inf(𝐴, (0[,]+∞), < ) ∈ (0[,]+∞))
14	5, 13	sselid 3915	. . 3 ⊢ (𝜑 → inf(𝐴, (0[,]+∞), < ) ∈ ℝ*)
15	6, 14	xrlenltd 10972	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ≤ inf(𝐴, (0[,]+∞), < ) ↔ ¬ inf(𝐴, (0[,]+∞), < ) < 𝐵))
16	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
17	1, 5	sstrdi 3929	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ*)
18	17	sselda 3917	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ*)
19	16, 18	xrlenltd 10972	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐵 ≤ 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 < 𝐵))
20	19	ralbidva 3119	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝐵))
21		ralnex 3163	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝐵 ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝐵)
22	20, 21	bitrdi 286	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑥 ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝐵))
23	4, 15, 22	3bitr4d 310	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ≤ inf(𝐴, (0[,]+∞), < ) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑥))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063  ∃wrex 3064   ⊆ wss 3883   class class class wbr 5070   Or wor 5493  (class class class)co 7255  infcinf 9130  0cc0 10802  +∞cpnf 10937  ℝ^*cxr 10939   < clt 10940   ≤ cle 10941  [,]cicc 13011

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-sup 9131  df-inf 9132  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-icc 13015

This theorem is referenced by: (None)