Theorem infxrge0gelb 32968

Description: The infimum of a set of nonnegative extended reals is greater than or equal to a lower bound. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Jul-2020.) (Revised by AV, 4-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
infxrge0glb.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (0[,]+∞))
infxrge0glb.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))

Assertion

Ref	Expression
infxrge0gelb	⊢ (𝜑 → (𝐵 ≤ inf(𝐴, (0[,]+∞), < ) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥

Proof of Theorem infxrge0gelb

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		infxrge0glb.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (0[,]+∞))
2		infxrge0glb.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
3	1, 2	infxrge0glb 32967	. . 3 ⊢ (𝜑 → (inf(𝐴, (0[,]+∞), < ) < 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝐵))
4	3	notbid 320	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ inf(𝐴, (0[,]+∞), < ) < 𝐵 ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝐵))
5		iccssxr 13434	. . . 4 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
6	5, 2	sselid 3934	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
7		xrltso 13143	. . . . . . 7 ⊢ < Or ℝ*
8		soss 5575	. . . . . . 7 ⊢ ((0[,]+∞) ⊆ ℝ* → ( < Or ℝ* → < Or (0[,]+∞)))
9	5, 7, 8	mp2 9	. . . . . 6 ⊢ < Or (0[,]+∞)
10	9	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → < Or (0[,]+∞))
11		xrge0infss 32962	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ (0[,]+∞) → ∃𝑥 ∈ (0[,]+∞)(∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ (0[,]+∞)(𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)))
12	1, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (0[,]+∞)(∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ (0[,]+∞)(𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)))
13	10, 12	infcl 9435	. . . 4 ⊢ (𝜑 → inf(𝐴, (0[,]+∞), < ) ∈ (0[,]+∞))
14	5, 13	sselid 3934	. . 3 ⊢ (𝜑 → inf(𝐴, (0[,]+∞), < ) ∈ ℝ*)
15	6, 14	xrlenltd 11248	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ≤ inf(𝐴, (0[,]+∞), < ) ↔ ¬ inf(𝐴, (0[,]+∞), < ) < 𝐵))
16	6	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
17	1, 5	sstrdi 3948	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ*)
18	17	sselda 3936	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ*)
19	16, 18	xrlenltd 11248	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐵 ≤ 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 < 𝐵))
20	19	ralbidva 3183	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝐵))
21		ralnex 3088	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝐵 ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝐵)
22	20, 21	bitrdi 289	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑥 ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝐵))
23	4, 15, 22	3bitr4d 313	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ≤ inf(𝐴, (0[,]+∞), < ) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑥))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∈ wcel 2142  ∀wral 3076  ∃wrex 3086   ⊆ wss 3904   class class class wbr 5100   Or wor 5554  (class class class)co 7396  infcinf 9387  0cc0 11073  +∞cpnf 11213  ℝ^*cxr 11215   < clt 11216   ≤ cle 11217  [,]cicc 13352

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150  ax-pre-sup 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5542  df-po 5555  df-so 5556  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-sup 9388  df-inf 9389  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-icc 13356

This theorem is referenced by: (None)