Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  infxrge0gelb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem infxrge0gelb 32557
Description: The infimum of a set of nonnegative extended reals is greater than or equal to a lower bound. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Jul-2020.) (Revised by AV, 4-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
infxrge0glb.a (𝜑𝐴 ⊆ (0[,]+∞))
infxrge0glb.b (𝜑𝐵 ∈ (0[,]+∞))
Assertion
Ref Expression
infxrge0gelb (𝜑 → (𝐵 ≤ inf(𝐴, (0[,]+∞), < ) ↔ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥

Proof of Theorem infxrge0gelb
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 infxrge0glb.a . . . 4 (𝜑𝐴 ⊆ (0[,]+∞))
2 infxrge0glb.b . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ (0[,]+∞))
31, 2infxrge0glb 32556 . . 3 (𝜑 → (inf(𝐴, (0[,]+∞), < ) < 𝐵 ↔ ∃𝑥𝐴 𝑥 < 𝐵))
43notbid 317 . 2 (𝜑 → (¬ inf(𝐴, (0[,]+∞), < ) < 𝐵 ↔ ¬ ∃𝑥𝐴 𝑥 < 𝐵))
5 iccssxr 13447 . . . 4 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
65, 2sselid 3980 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
7 xrltso 13160 . . . . . . 7 < Or ℝ*
8 soss 5614 . . . . . . 7 ((0[,]+∞) ⊆ ℝ* → ( < Or ℝ* → < Or (0[,]+∞)))
95, 7, 8mp2 9 . . . . . 6 < Or (0[,]+∞)
109a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → < Or (0[,]+∞))
11 xrge0infss 32551 . . . . . 6 (𝐴 ⊆ (0[,]+∞) → ∃𝑥 ∈ (0[,]+∞)(∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ (0[,]+∞)(𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))
121, 11syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (0[,]+∞)(∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ (0[,]+∞)(𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))
1310, 12infcl 9519 . . . 4 (𝜑 → inf(𝐴, (0[,]+∞), < ) ∈ (0[,]+∞))
145, 13sselid 3980 . . 3 (𝜑 → inf(𝐴, (0[,]+∞), < ) ∈ ℝ*)
156, 14xrlenltd 11318 . 2 (𝜑 → (𝐵 ≤ inf(𝐴, (0[,]+∞), < ) ↔ ¬ inf(𝐴, (0[,]+∞), < ) < 𝐵))
166adantr 479 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
171, 5sstrdi 3994 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ*)
1817sselda 3982 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ*)
1916, 18xrlenltd 11318 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐵𝑥 ↔ ¬ 𝑥 < 𝐵))
2019ralbidva 3173 . . 3 (𝜑 → (∀𝑥𝐴 𝐵𝑥 ↔ ∀𝑥𝐴 ¬ 𝑥 < 𝐵))
21 ralnex 3069 . . 3 (∀𝑥𝐴 ¬ 𝑥 < 𝐵 ↔ ¬ ∃𝑥𝐴 𝑥 < 𝐵)
2220, 21bitrdi 286 . 2 (𝜑 → (∀𝑥𝐴 𝐵𝑥 ↔ ¬ ∃𝑥𝐴 𝑥 < 𝐵))
234, 15, 223bitr4d 310 1 (𝜑 → (𝐵 ≤ inf(𝐴, (0[,]+∞), < ) ↔ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394  wcel 2098  wral 3058  wrex 3067  wss 3949   class class class wbr 5152   Or wor 5593  (class class class)co 7426  infcinf 9472  0cc0 11146  +∞cpnf 11283  *cxr 11285   < clt 11286  cle 11287  [,]cicc 13367
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-po 5594  df-so 5595  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-sup 9473  df-inf 9474  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-icc 13371
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator