Theorem infxrge0gelb 32771

Description: The infimum of a set of nonnegative extended reals is greater than or equal to a lower bound. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Jul-2020.) (Revised by AV, 4-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
infxrge0glb.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (0[,]+∞))
infxrge0glb.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))

Assertion

Ref	Expression
infxrge0gelb	⊢ (𝜑 → (𝐵 ≤ inf(𝐴, (0[,]+∞), < ) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥

Proof of Theorem infxrge0gelb

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		infxrge0glb.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (0[,]+∞))
2		infxrge0glb.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
3	1, 2	infxrge0glb 32770	. . 3 ⊢ (𝜑 → (inf(𝐴, (0[,]+∞), < ) < 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝐵))
4	3	notbid 318	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ inf(𝐴, (0[,]+∞), < ) < 𝐵 ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝐵))
5		iccssxr 13471	. . . 4 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
6	5, 2	sselid 3980	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
7		xrltso 13184	. . . . . . 7 ⊢ < Or ℝ*
8		soss 5611	. . . . . . 7 ⊢ ((0[,]+∞) ⊆ ℝ* → ( < Or ℝ* → < Or (0[,]+∞)))
9	5, 7, 8	mp2 9	. . . . . 6 ⊢ < Or (0[,]+∞)
10	9	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → < Or (0[,]+∞))
11		xrge0infss 32765	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ (0[,]+∞) → ∃𝑥 ∈ (0[,]+∞)(∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ (0[,]+∞)(𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)))
12	1, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (0[,]+∞)(∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ (0[,]+∞)(𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)))
13	10, 12	infcl 9529	. . . 4 ⊢ (𝜑 → inf(𝐴, (0[,]+∞), < ) ∈ (0[,]+∞))
14	5, 13	sselid 3980	. . 3 ⊢ (𝜑 → inf(𝐴, (0[,]+∞), < ) ∈ ℝ*)
15	6, 14	xrlenltd 11328	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ≤ inf(𝐴, (0[,]+∞), < ) ↔ ¬ inf(𝐴, (0[,]+∞), < ) < 𝐵))
16	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
17	1, 5	sstrdi 3995	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ*)
18	17	sselda 3982	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ*)
19	16, 18	xrlenltd 11328	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐵 ≤ 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 < 𝐵))
20	19	ralbidva 3175	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝐵))
21		ralnex 3071	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝐵 ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝐵)
22	20, 21	bitrdi 287	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑥 ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝐵))
23	4, 15, 22	3bitr4d 311	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ≤ inf(𝐴, (0[,]+∞), < ) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑥))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2107  ∀wral 3060  ∃wrex 3069   ⊆ wss 3950   class class class wbr 5142   Or wor 5590  (class class class)co 7432  infcinf 9482  0cc0 11156  +∞cpnf 11293  ℝ^*cxr 11295   < clt 11296   ≤ cle 11297  [,]cicc 13391

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-po 5591  df-so 5592  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-sup 9483  df-inf 9484  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-icc 13395

This theorem is referenced by: (None)