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Theorem supxrgelem 44952
Description: If an extended real number can be approximated from below by members of a set, then it is less than or equal to the supremum of the set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
supxrgelem.xph 𝑥𝜑
supxrgelem.a (𝜑𝐴 ⊆ ℝ*)
supxrgelem.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
supxrgelem.y ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦𝐴 𝐵 < (𝑦 +𝑒 𝑥))
Assertion
Ref Expression
supxrgelem (𝜑𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝜑,𝑦
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem supxrgelem
StepHypRef Expression
1 supxrgelem.b . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
2 pnfge 13164 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≤ +∞)
31, 2syl 17 . . . 4 (𝜑𝐵 ≤ +∞)
43adantr 479 . . 3 ((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → 𝐵 ≤ +∞)
5 id 22 . . . . 5 (sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞ → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
65eqcomd 2732 . . . 4 (sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞ → +∞ = sup(𝐴, ℝ*, < ))
76adantl 480 . . 3 ((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → +∞ = sup(𝐴, ℝ*, < ))
84, 7breqtrd 5179 . 2 ((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
9 simpl 481 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → 𝜑)
10 1rp 13032 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ+
11 nfcv 2892 . . . . . . . . . 10 𝑥1
12 supxrgelem.xph . . . . . . . . . . . 12 𝑥𝜑
13 nfv 1910 . . . . . . . . . . . 12 𝑥1 ∈ ℝ+
1412, 13nfan 1895 . . . . . . . . . . 11 𝑥(𝜑 ∧ 1 ∈ ℝ+)
15 nfv 1910 . . . . . . . . . . 11 𝑥𝑦𝐴 𝐵 < (𝑦 +𝑒 1)
1614, 15nfim 1892 . . . . . . . . . 10 𝑥((𝜑 ∧ 1 ∈ ℝ+) → ∃𝑦𝐴 𝐵 < (𝑦 +𝑒 1))
17 eleq1 2814 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 1 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↔ 1 ∈ ℝ+))
1817anbi2d 628 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 1 → ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ↔ (𝜑 ∧ 1 ∈ ℝ+)))
19 oveq2 7432 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 1 → (𝑦 +𝑒 𝑥) = (𝑦 +𝑒 1))
2019breq2d 5165 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 1 → (𝐵 < (𝑦 +𝑒 𝑥) ↔ 𝐵 < (𝑦 +𝑒 1)))
2120rexbidv 3169 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 1 → (∃𝑦𝐴 𝐵 < (𝑦 +𝑒 𝑥) ↔ ∃𝑦𝐴 𝐵 < (𝑦 +𝑒 1)))
2218, 21imbi12d 343 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 1 → (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦𝐴 𝐵 < (𝑦 +𝑒 𝑥)) ↔ ((𝜑 ∧ 1 ∈ ℝ+) → ∃𝑦𝐴 𝐵 < (𝑦 +𝑒 1))))
23 supxrgelem.y . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦𝐴 𝐵 < (𝑦 +𝑒 𝑥))
2411, 16, 22, 23vtoclgf 3550 . . . . . . . . 9 (1 ∈ ℝ+ → ((𝜑 ∧ 1 ∈ ℝ+) → ∃𝑦𝐴 𝐵 < (𝑦 +𝑒 1)))
2510, 24ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 1 ∈ ℝ+) → ∃𝑦𝐴 𝐵 < (𝑦 +𝑒 1))
2610, 25mpan2 689 . . . . . . 7 (𝜑 → ∃𝑦𝐴 𝐵 < (𝑦 +𝑒 1))
2726adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → ∃𝑦𝐴 𝐵 < (𝑦 +𝑒 1))
28 mnfxr 11321 . . . . . . . . . . 11 -∞ ∈ ℝ*
2928a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝐴𝐵 < (𝑦 +𝑒 1)) → -∞ ∈ ℝ*)
30 supxrgelem.a . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ*)
3130sselda 3979 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
32313adant3 1129 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝐴𝐵 < (𝑦 +𝑒 1)) → 𝑦 ∈ ℝ*)
33 supxrcl 13348 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ⊆ ℝ* → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
3430, 33syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
35343ad2ant1 1130 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝐴𝐵 < (𝑦 +𝑒 1)) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
36 simpl3 1190 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦𝐴𝐵 < (𝑦 +𝑒 1)) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → 𝐵 < (𝑦 +𝑒 1))
37 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑦𝐴) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → ¬ -∞ < 𝑦)
3831adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑦𝐴) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ*)
39 ngtmnft 13199 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ ℝ* → (𝑦 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝑦))
4038, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑦𝐴) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → (𝑦 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝑦))
4137, 40mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦𝐴) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → 𝑦 = -∞)
4241oveq1d 7439 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦𝐴) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → (𝑦 +𝑒 1) = (-∞ +𝑒 1))
43 1xr 11323 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℝ*
4443a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦𝐴) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → 1 ∈ ℝ*)
45 1re 11264 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ∈ ℝ
46 renepnf 11312 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 ∈ ℝ → 1 ≠ +∞)
4745, 46ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ≠ +∞
4847a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦𝐴) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → 1 ≠ +∞)
49 xaddmnf2 13262 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 ∈ ℝ* ∧ 1 ≠ +∞) → (-∞ +𝑒 1) = -∞)
5044, 48, 49syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦𝐴) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → (-∞ +𝑒 1) = -∞)
5142, 50eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦𝐴) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → (𝑦 +𝑒 1) = -∞)
52513adantl3 1165 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦𝐴𝐵 < (𝑦 +𝑒 1)) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → (𝑦 +𝑒 1) = -∞)
5336, 52breqtrd 5179 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦𝐴𝐵 < (𝑦 +𝑒 1)) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → 𝐵 < -∞)
54 nltmnf 13163 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵 ∈ ℝ* → ¬ 𝐵 < -∞)
551, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ¬ 𝐵 < -∞)
5655adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → ¬ 𝐵 < -∞)
57563ad2antl1 1182 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦𝐴𝐵 < (𝑦 +𝑒 1)) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → ¬ 𝐵 < -∞)
5853, 57condan 816 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝐴𝐵 < (𝑦 +𝑒 1)) → -∞ < 𝑦)
5930adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
60 simpr 483 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦𝐴)
61 supxrub 13357 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝑦𝐴) → 𝑦 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
6259, 60, 61syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
63623adant3 1129 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝐴𝐵 < (𝑦 +𝑒 1)) → 𝑦 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
6429, 32, 35, 58, 63xrltletrd 13194 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝐴𝐵 < (𝑦 +𝑒 1)) → -∞ < sup(𝐴, ℝ*, < ))
65643exp 1116 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑦𝐴 → (𝐵 < (𝑦 +𝑒 1) → -∞ < sup(𝐴, ℝ*, < ))))
6665adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → (𝑦𝐴 → (𝐵 < (𝑦 +𝑒 1) → -∞ < sup(𝐴, ℝ*, < ))))
6766rexlimdv 3143 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → (∃𝑦𝐴 𝐵 < (𝑦 +𝑒 1) → -∞ < sup(𝐴, ℝ*, < )))
6827, 67mpd 15 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → -∞ < sup(𝐴, ℝ*, < ))
69 simpr 483 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
70 nltpnft 13197 . . . . . . . . 9 (sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ* → (sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞ ↔ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞))
7134, 70syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞ ↔ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞))
7271adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞ ↔ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞))
7369, 72mtbid 323 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → ¬ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞)
7473notnotrd 133 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞)
7568, 74jca 510 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → (-∞ < sup(𝐴, ℝ*, < ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞))
7634adantr 479 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
77 xrrebnd 13201 . . . . 5 (sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ* → (sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ (-∞ < sup(𝐴, ℝ*, < ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞)))
7876, 77syl 17 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ (-∞ < sup(𝐴, ℝ*, < ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞)))
7975, 78mpbird 256 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
80 simpl 481 . . . . 5 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < )) → (𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ))
81 simpr 483 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < )) → ¬ 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
8234adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < )) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
831adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < )) → 𝐵 ∈ ℝ*)
84 xrltnle 11331 . . . . . . . 8 ((sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < )))
8582, 83, 84syl2anc 582 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < )) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < )))
8685adantlr 713 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < )) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < )))
8781, 86mpbird 256 . . . . 5 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < )) → sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵)
88 simpll 765 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) → 𝜑)
8928a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) → -∞ ∈ ℝ*)
9088, 34syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
9188, 1syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
92 mnfle 13168 . . . . . . . . . . . . . 14 (sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ* → -∞ ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
9334, 92syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → -∞ ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
9493ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) → -∞ ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
95 simpr 483 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) → sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵)
9689, 90, 91, 94, 95xrlelttrd 13193 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) → -∞ < 𝐵)
97 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝜑)
9810a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 1 ∈ ℝ+)
9997, 98, 25syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∃𝑦𝐴 𝐵 < (𝑦 +𝑒 1))
10099ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) → ∃𝑦𝐴 𝐵 < (𝑦 +𝑒 1))
10113ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦𝐴𝐵 < (𝑦 +𝑒 1)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
10243a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑦𝐴𝐵 < (𝑦 +𝑒 1)) → 1 ∈ ℝ*)
10332, 102jca 510 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑦𝐴𝐵 < (𝑦 +𝑒 1)) → (𝑦 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*))
104 xaddcl 13272 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → (𝑦 +𝑒 1) ∈ ℝ*)
105103, 104syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦𝐴𝐵 < (𝑦 +𝑒 1)) → (𝑦 +𝑒 1) ∈ ℝ*)
106 pnfxr 11318 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 +∞ ∈ ℝ*
107106a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦𝐴𝐵 < (𝑦 +𝑒 1)) → +∞ ∈ ℝ*)
108 simp3 1135 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦𝐴𝐵 < (𝑦 +𝑒 1)) → 𝐵 < (𝑦 +𝑒 1))
10931, 43, 104sylancl 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑦𝐴) → (𝑦 +𝑒 1) ∈ ℝ*)
110 pnfge 13164 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 +𝑒 1) ∈ ℝ* → (𝑦 +𝑒 1) ≤ +∞)
111109, 110syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑦𝐴) → (𝑦 +𝑒 1) ≤ +∞)
1121113adant3 1129 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦𝐴𝐵 < (𝑦 +𝑒 1)) → (𝑦 +𝑒 1) ≤ +∞)
113101, 105, 107, 108, 112xrltletrd 13194 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦𝐴𝐵 < (𝑦 +𝑒 1)) → 𝐵 < +∞)
1141133exp 1116 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑦𝐴 → (𝐵 < (𝑦 +𝑒 1) → 𝐵 < +∞)))
115114rexlimdv 3143 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (∃𝑦𝐴 𝐵 < (𝑦 +𝑒 1) → 𝐵 < +∞))
11688, 115syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) → (∃𝑦𝐴 𝐵 < (𝑦 +𝑒 1) → 𝐵 < +∞))
117100, 116mpd 15 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) → 𝐵 < +∞)
11896, 117jca 510 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) → (-∞ < 𝐵𝐵 < +∞))
119 xrrebnd 13201 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ ℝ* → (𝐵 ∈ ℝ ↔ (-∞ < 𝐵𝐵 < +∞)))
12091, 119syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) → (𝐵 ∈ ℝ ↔ (-∞ < 𝐵𝐵 < +∞)))
121118, 120mpbird 256 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
122 simpr 483 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
123122adantr 479 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
124121, 123resubcld 11692 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) → (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )) ∈ ℝ)
12526, 115mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐵 < +∞)
126125ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) → 𝐵 < +∞)
12796, 126jca 510 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) → (-∞ < 𝐵𝐵 < +∞))
128127, 120mpbird 256 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
129123, 128posdifd 11851 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))))
13095, 129mpbid 231 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) → 0 < (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )))
131124, 130elrpd 13067 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) → (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )) ∈ ℝ+)
132 ovex 7457 . . . . . . . 8 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )) ∈ V
133 nfcv 2892 . . . . . . . . 9 𝑥(𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))
134 nfv 1910 . . . . . . . . . . 11 𝑥(𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )) ∈ ℝ+
13512, 134nfan 1895 . . . . . . . . . 10 𝑥(𝜑 ∧ (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )) ∈ ℝ+)
136 nfv 1910 . . . . . . . . . 10 𝑥𝑦𝐴 𝐵 < (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )))
137135, 136nfim 1892 . . . . . . . . 9 𝑥((𝜑 ∧ (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )) ∈ ℝ+) → ∃𝑦𝐴 𝐵 < (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))))
138 eleq1 2814 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↔ (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )) ∈ ℝ+))
139138anbi2d 628 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )) → ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ↔ (𝜑 ∧ (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )) ∈ ℝ+)))
140 oveq2 7432 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )) → (𝑦 +𝑒 𝑥) = (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))))
141140breq2d 5165 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )) → (𝐵 < (𝑦 +𝑒 𝑥) ↔ 𝐵 < (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )))))
142141rexbidv 3169 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )) → (∃𝑦𝐴 𝐵 < (𝑦 +𝑒 𝑥) ↔ ∃𝑦𝐴 𝐵 < (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )))))
143139, 142imbi12d 343 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )) → (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦𝐴 𝐵 < (𝑦 +𝑒 𝑥)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )) ∈ ℝ+) → ∃𝑦𝐴 𝐵 < (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))))))
144133, 137, 143, 23vtoclgf 3550 . . . . . . . 8 ((𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )) ∈ V → ((𝜑 ∧ (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )) ∈ ℝ+) → ∃𝑦𝐴 𝐵 < (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )))))
145132, 144ax-mp 5 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )) ∈ ℝ+) → ∃𝑦𝐴 𝐵 < (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))))
14688, 131, 145syl2anc 582 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) → ∃𝑦𝐴 𝐵 < (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))))
147 ltpnf 13154 . . . . . . . . . . . . 13 (sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ → sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞)
148147adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ ∧ 𝑦 = +∞) → sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞)
149 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = +∞ → 𝑦 = +∞)
150149eqcomd 2732 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = +∞ → +∞ = 𝑦)
151150adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 ((sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ ∧ 𝑦 = +∞) → +∞ = 𝑦)
152148, 151breqtrd 5179 . . . . . . . . . . 11 ((sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ ∧ 𝑦 = +∞) → sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝑦)
153152adantll 712 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 = +∞) → sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝑦)
154153ad5ant15 757 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝐵 < (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )))) ∧ 𝑦 = +∞) → sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝑦)
155 simplll 773 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝐵 < (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )))) ∧ ¬ 𝑦 = +∞) → ((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵))
156 simpl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝐵 < (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )))) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → ((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝐵 < (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )))))
15788, 41sylanl1 678 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦𝐴) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → 𝑦 = -∞)
158157adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝐵 < (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )))) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → 𝑦 = -∞)
159 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝐵 < (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )))) ∧ 𝑦 = -∞) → 𝐵 < (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))))
160 oveq1 7431 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = -∞ → (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))) = (-∞ +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))))
161160adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝐵 < (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )))) ∧ 𝑦 = -∞) → (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))) = (-∞ +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))))
162128, 123resubcld 11692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) → (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )) ∈ ℝ)
163162rexrd 11314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) → (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )) ∈ ℝ*)
164163ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝐵 < (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )))) ∧ 𝑦 = -∞) → (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )) ∈ ℝ*)
165 renepnf 11312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )) ∈ ℝ → (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )) ≠ +∞)
166124, 165syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) → (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )) ≠ +∞)
167166ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝐵 < (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )))) ∧ 𝑦 = -∞) → (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )) ≠ +∞)
168 xaddmnf2 13262 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )) ∈ ℝ* ∧ (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )) ≠ +∞) → (-∞ +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))) = -∞)
169164, 167, 168syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝐵 < (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )))) ∧ 𝑦 = -∞) → (-∞ +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))) = -∞)
170161, 169eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝐵 < (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )))) ∧ 𝑦 = -∞) → (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))) = -∞)
171159, 170breqtrd 5179 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝐵 < (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )))) ∧ 𝑦 = -∞) → 𝐵 < -∞)
172156, 158, 171syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝐵 < (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )))) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → 𝐵 < -∞)
17355ad5antr 732 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝐵 < (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )))) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → ¬ 𝐵 < -∞)
174172, 173condan 816 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝐵 < (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )))) → -∞ < 𝑦)
175174adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝐵 < (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )))) ∧ ¬ 𝑦 = +∞) → -∞ < 𝑦)
176 simp3 1135 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 = +∞) → ¬ 𝑦 = +∞)
177313adant3 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 = +∞) → 𝑦 ∈ ℝ*)
178 nltpnft 13197 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ ℝ* → (𝑦 = +∞ ↔ ¬ 𝑦 < +∞))
179177, 178syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 = +∞) → (𝑦 = +∞ ↔ ¬ 𝑦 < +∞))
180176, 179mtbid 323 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 = +∞) → ¬ ¬ 𝑦 < +∞)
181180notnotrd 133 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 = +∞) → 𝑦 < +∞)
1821813adant1r 1174 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 = +∞) → 𝑦 < +∞)
183182ad5ant135 1365 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝐵 < (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )))) ∧ ¬ 𝑦 = +∞) → 𝑦 < +∞)
184175, 183jca 510 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝐵 < (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )))) ∧ ¬ 𝑦 = +∞) → (-∞ < 𝑦𝑦 < +∞))
18531adantlr 713 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
186185ad5ant13 755 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝐵 < (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )))) ∧ ¬ 𝑦 = +∞) → 𝑦 ∈ ℝ*)
187 xrrebnd 13201 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℝ* → (𝑦 ∈ ℝ ↔ (-∞ < 𝑦𝑦 < +∞)))
188186, 187syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝐵 < (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )))) ∧ ¬ 𝑦 = +∞) → (𝑦 ∈ ℝ ↔ (-∞ < 𝑦𝑦 < +∞)))
189184, 188mpbird 256 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝐵 < (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )))) ∧ ¬ 𝑦 = +∞) → 𝑦 ∈ ℝ)
190 simplr 767 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝐵 < (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )))) ∧ ¬ 𝑦 = +∞) → 𝐵 < (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))))
191121ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )))) → 𝐵 ∈ ℝ)
192 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
193124adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )) ∈ ℝ)
194 rexadd 13265 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )) ∈ ℝ) → (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))) = (𝑦 + (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))))
195192, 193, 194syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))) = (𝑦 + (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))))
196192, 193readdcld 11293 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 + (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))) ∈ ℝ)
197195, 196eqeltrd 2826 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))) ∈ ℝ)
198197adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )))) → (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))) ∈ ℝ)
199 simpr 483 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )))) → 𝐵 < (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))))
200191, 198, 191, 199ltsub1dd 11876 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )))) → (𝐵𝐵) < ((𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))) − 𝐵))
201121recnd 11292 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℂ)
202201subidd 11609 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) → (𝐵𝐵) = 0)
203202ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )))) → (𝐵𝐵) = 0)
204201adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
205192recnd 11292 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℂ)
206122recnd 11292 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℂ)
207206ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℂ)
208205, 207subcld 11621 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 − sup(𝐴, ℝ*, < )) ∈ ℂ)
209205, 204, 207addsub12d 11644 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 + (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))) = (𝐵 + (𝑦 − sup(𝐴, ℝ*, < ))))
210195, 209eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))) = (𝐵 + (𝑦 − sup(𝐴, ℝ*, < ))))
211204, 208, 210mvrladdd 11677 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))) − 𝐵) = (𝑦 − sup(𝐴, ℝ*, < )))
212211adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )))) → ((𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))) − 𝐵) = (𝑦 − sup(𝐴, ℝ*, < )))
213203, 212breq12d 5166 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )))) → ((𝐵𝐵) < ((𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))) − 𝐵) ↔ 0 < (𝑦 − sup(𝐴, ℝ*, < ))))
214200, 213mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )))) → 0 < (𝑦 − sup(𝐴, ℝ*, < )))
215123ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )))) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
216 simplr 767 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )))) → 𝑦 ∈ ℝ)
217215, 216posdifd 11851 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )))) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝑦 ↔ 0 < (𝑦 − sup(𝐴, ℝ*, < ))))
218214, 217mpbird 256 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )))) → sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝑦)
219155, 189, 190, 218syl21anc 836 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝐵 < (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )))) ∧ ¬ 𝑦 = +∞) → sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝑦)
220154, 219pm2.61dan 811 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝐵 < (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )))) → sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝑦)
221220ex 411 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦𝐴) → (𝐵 < (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))) → sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝑦))
222221reximdva 3158 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) → (∃𝑦𝐴 𝐵 < (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))) → ∃𝑦𝐴 sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝑦))
223146, 222mpd 15 . . . . 5 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) → ∃𝑦𝐴 sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝑦)
22480, 87, 223syl2anc 582 . . . 4 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < )) → ∃𝑦𝐴 sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝑦)
22559, 33syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝐴) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
22631, 225xrlenltd 11330 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐴) → (𝑦 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ) ↔ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝑦))
22762, 226mpbid 231 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐴) → ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝑦)
228227ralrimiva 3136 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑦𝐴 ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝑦)
229 ralnex 3062 . . . . . 6 (∀𝑦𝐴 ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝑦 ↔ ¬ ∃𝑦𝐴 sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝑦)
230228, 229sylib 217 . . . . 5 (𝜑 → ¬ ∃𝑦𝐴 sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝑦)
231230ad2antrr 724 . . . 4 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < )) → ¬ ∃𝑦𝐴 sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝑦)
232224, 231condan 816 . . 3 ((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) → 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
2339, 79, 232syl2anc 582 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
2348, 233pm2.61dan 811 1 (𝜑𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1534  wnf 1778  wcel 2099  wne 2930  wral 3051  wrex 3060  Vcvv 3462  wss 3947   class class class wbr 5153  (class class class)co 7424  supcsup 9483  cc 11156  cr 11157  0cc0 11158  1c1 11159   + caddc 11161  +∞cpnf 11295  -∞cmnf 11296  *cxr 11297   < clt 11298  cle 11299  cmin 11494  +crp 13028   +𝑒 cxad 13144
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235  ax-pre-sup 11236
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-id 5580  df-po 5594  df-so 5595  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-sup 9485  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-rp 13029  df-xadd 13147
This theorem is referenced by:  supxrge  44953
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