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Theorem supxrgelem 41035
Description: If an extended real number can be approximated from below by members of a set, then it is less than or equal to the supremum of the set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
supxrgelem.xph 𝑥𝜑
supxrgelem.a (𝜑𝐴 ⊆ ℝ*)
supxrgelem.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
supxrgelem.y ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦𝐴 𝐵 < (𝑦 +𝑒 𝑥))
Assertion
Ref Expression
supxrgelem (𝜑𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝜑,𝑦
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem supxrgelem
StepHypRef Expression
1 supxrgelem.b . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
2 pnfge 12345 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≤ +∞)
31, 2syl 17 . . . 4 (𝜑𝐵 ≤ +∞)
43adantr 473 . . 3 ((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → 𝐵 ≤ +∞)
5 id 22 . . . . 5 (sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞ → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
65eqcomd 2784 . . . 4 (sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞ → +∞ = sup(𝐴, ℝ*, < ))
76adantl 474 . . 3 ((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → +∞ = sup(𝐴, ℝ*, < ))
84, 7breqtrd 4956 . 2 ((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
9 simpl 475 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → 𝜑)
10 1rp 12211 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ+
11 nfcv 2932 . . . . . . . . . 10 𝑥1
12 supxrgelem.xph . . . . . . . . . . . 12 𝑥𝜑
13 nfv 1873 . . . . . . . . . . . 12 𝑥1 ∈ ℝ+
1412, 13nfan 1862 . . . . . . . . . . 11 𝑥(𝜑 ∧ 1 ∈ ℝ+)
15 nfv 1873 . . . . . . . . . . 11 𝑥𝑦𝐴 𝐵 < (𝑦 +𝑒 1)
1614, 15nfim 1859 . . . . . . . . . 10 𝑥((𝜑 ∧ 1 ∈ ℝ+) → ∃𝑦𝐴 𝐵 < (𝑦 +𝑒 1))
17 eleq1 2853 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 1 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↔ 1 ∈ ℝ+))
1817anbi2d 619 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 1 → ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ↔ (𝜑 ∧ 1 ∈ ℝ+)))
19 oveq2 6986 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 1 → (𝑦 +𝑒 𝑥) = (𝑦 +𝑒 1))
2019breq2d 4942 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 1 → (𝐵 < (𝑦 +𝑒 𝑥) ↔ 𝐵 < (𝑦 +𝑒 1)))
2120rexbidv 3242 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 1 → (∃𝑦𝐴 𝐵 < (𝑦 +𝑒 𝑥) ↔ ∃𝑦𝐴 𝐵 < (𝑦 +𝑒 1)))
2218, 21imbi12d 337 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 1 → (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦𝐴 𝐵 < (𝑦 +𝑒 𝑥)) ↔ ((𝜑 ∧ 1 ∈ ℝ+) → ∃𝑦𝐴 𝐵 < (𝑦 +𝑒 1))))
23 supxrgelem.y . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦𝐴 𝐵 < (𝑦 +𝑒 𝑥))
2411, 16, 22, 23vtoclgf 3484 . . . . . . . . 9 (1 ∈ ℝ+ → ((𝜑 ∧ 1 ∈ ℝ+) → ∃𝑦𝐴 𝐵 < (𝑦 +𝑒 1)))
2510, 24ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 1 ∈ ℝ+) → ∃𝑦𝐴 𝐵 < (𝑦 +𝑒 1))
2610, 25mpan2 678 . . . . . . 7 (𝜑 → ∃𝑦𝐴 𝐵 < (𝑦 +𝑒 1))
2726adantr 473 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → ∃𝑦𝐴 𝐵 < (𝑦 +𝑒 1))
28 mnfxr 10500 . . . . . . . . . . 11 -∞ ∈ ℝ*
2928a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝐴𝐵 < (𝑦 +𝑒 1)) → -∞ ∈ ℝ*)
30 supxrgelem.a . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ*)
3130sselda 3860 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
32313adant3 1112 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝐴𝐵 < (𝑦 +𝑒 1)) → 𝑦 ∈ ℝ*)
33 supxrcl 12527 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ⊆ ℝ* → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
3430, 33syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
35343ad2ant1 1113 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝐴𝐵 < (𝑦 +𝑒 1)) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
36 simpl3 1173 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦𝐴𝐵 < (𝑦 +𝑒 1)) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → 𝐵 < (𝑦 +𝑒 1))
37 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑦𝐴) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → ¬ -∞ < 𝑦)
3831adantr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑦𝐴) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ*)
39 ngtmnft 12379 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ ℝ* → (𝑦 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝑦))
4038, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑦𝐴) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → (𝑦 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝑦))
4137, 40mpbird 249 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦𝐴) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → 𝑦 = -∞)
4241oveq1d 6993 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦𝐴) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → (𝑦 +𝑒 1) = (-∞ +𝑒 1))
43 1xr 10502 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℝ*
4443a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦𝐴) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → 1 ∈ ℝ*)
45 1re 10441 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ∈ ℝ
46 renepnf 10490 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 ∈ ℝ → 1 ≠ +∞)
4745, 46ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ≠ +∞
4847a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦𝐴) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → 1 ≠ +∞)
49 xaddmnf2 12442 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 ∈ ℝ* ∧ 1 ≠ +∞) → (-∞ +𝑒 1) = -∞)
5044, 48, 49syl2anc 576 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦𝐴) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → (-∞ +𝑒 1) = -∞)
5142, 50eqtrd 2814 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦𝐴) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → (𝑦 +𝑒 1) = -∞)
52513adantl3 1148 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦𝐴𝐵 < (𝑦 +𝑒 1)) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → (𝑦 +𝑒 1) = -∞)
5336, 52breqtrd 4956 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦𝐴𝐵 < (𝑦 +𝑒 1)) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → 𝐵 < -∞)
54 nltmnf 12344 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵 ∈ ℝ* → ¬ 𝐵 < -∞)
551, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ¬ 𝐵 < -∞)
5655adantr 473 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → ¬ 𝐵 < -∞)
57563ad2antl1 1165 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦𝐴𝐵 < (𝑦 +𝑒 1)) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → ¬ 𝐵 < -∞)
5853, 57condan 805 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝐴𝐵 < (𝑦 +𝑒 1)) → -∞ < 𝑦)
5930adantr 473 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
60 simpr 477 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦𝐴)
61 supxrub 12536 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝑦𝐴) → 𝑦 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
6259, 60, 61syl2anc 576 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
63623adant3 1112 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝐴𝐵 < (𝑦 +𝑒 1)) → 𝑦 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
6429, 32, 35, 58, 63xrltletrd 12374 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝐴𝐵 < (𝑦 +𝑒 1)) → -∞ < sup(𝐴, ℝ*, < ))
65643exp 1099 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑦𝐴 → (𝐵 < (𝑦 +𝑒 1) → -∞ < sup(𝐴, ℝ*, < ))))
6665adantr 473 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → (𝑦𝐴 → (𝐵 < (𝑦 +𝑒 1) → -∞ < sup(𝐴, ℝ*, < ))))
6766rexlimdv 3228 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → (∃𝑦𝐴 𝐵 < (𝑦 +𝑒 1) → -∞ < sup(𝐴, ℝ*, < )))
6827, 67mpd 15 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → -∞ < sup(𝐴, ℝ*, < ))
69 simpr 477 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
70 nltpnft 12377 . . . . . . . . 9 (sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ* → (sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞ ↔ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞))
7134, 70syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞ ↔ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞))
7271adantr 473 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞ ↔ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞))
7369, 72mtbid 316 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → ¬ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞)
7473notnotrd 131 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞)
7568, 74jca 504 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → (-∞ < sup(𝐴, ℝ*, < ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞))
7634adantr 473 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
77 xrrebnd 12381 . . . . 5 (sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ* → (sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ (-∞ < sup(𝐴, ℝ*, < ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞)))
7876, 77syl 17 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ (-∞ < sup(𝐴, ℝ*, < ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞)))
7975, 78mpbird 249 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
80 simpl 475 . . . . 5 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < )) → (𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ))
81 simpr 477 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < )) → ¬ 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
8234adantr 473 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < )) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
831adantr 473 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < )) → 𝐵 ∈ ℝ*)
84 xrltnle 10510 . . . . . . . 8 ((sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < )))
8582, 83, 84syl2anc 576 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < )) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < )))
8685adantlr 702 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < )) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < )))
8781, 86mpbird 249 . . . . 5 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < )) → sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵)
88 simpll 754 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) → 𝜑)
8928a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) → -∞ ∈ ℝ*)
9088, 34syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
9188, 1syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
92 mnfle 12349 . . . . . . . . . . . . . 14 (sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ* → -∞ ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
9334, 92syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → -∞ ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
9493ad2antrr 713 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) → -∞ ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
95 simpr 477 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) → sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵)
9689, 90, 91, 94, 95xrlelttrd 12373 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) → -∞ < 𝐵)
97 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝜑)
9810a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 1 ∈ ℝ+)
9997, 98, 25syl2anc 576 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∃𝑦𝐴 𝐵 < (𝑦 +𝑒 1))
10099ad2antrr 713 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) → ∃𝑦𝐴 𝐵 < (𝑦 +𝑒 1))
10113ad2ant1 1113 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦𝐴𝐵 < (𝑦 +𝑒 1)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
10243a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑦𝐴𝐵 < (𝑦 +𝑒 1)) → 1 ∈ ℝ*)
10332, 102jca 504 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑦𝐴𝐵 < (𝑦 +𝑒 1)) → (𝑦 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*))
104 xaddcl 12452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → (𝑦 +𝑒 1) ∈ ℝ*)
105103, 104syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦𝐴𝐵 < (𝑦 +𝑒 1)) → (𝑦 +𝑒 1) ∈ ℝ*)
106 pnfxr 10496 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 +∞ ∈ ℝ*
107106a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦𝐴𝐵 < (𝑦 +𝑒 1)) → +∞ ∈ ℝ*)
108 simp3 1118 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦𝐴𝐵 < (𝑦 +𝑒 1)) → 𝐵 < (𝑦 +𝑒 1))
10931, 43, 104sylancl 577 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑦𝐴) → (𝑦 +𝑒 1) ∈ ℝ*)
110 pnfge 12345 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 +𝑒 1) ∈ ℝ* → (𝑦 +𝑒 1) ≤ +∞)
111109, 110syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑦𝐴) → (𝑦 +𝑒 1) ≤ +∞)
1121113adant3 1112 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦𝐴𝐵 < (𝑦 +𝑒 1)) → (𝑦 +𝑒 1) ≤ +∞)
113101, 105, 107, 108, 112xrltletrd 12374 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦𝐴𝐵 < (𝑦 +𝑒 1)) → 𝐵 < +∞)
1141133exp 1099 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑦𝐴 → (𝐵 < (𝑦 +𝑒 1) → 𝐵 < +∞)))
115114rexlimdv 3228 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (∃𝑦𝐴 𝐵 < (𝑦 +𝑒 1) → 𝐵 < +∞))
11688, 115syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) → (∃𝑦𝐴 𝐵 < (𝑦 +𝑒 1) → 𝐵 < +∞))
117100, 116mpd 15 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) → 𝐵 < +∞)
11896, 117jca 504 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) → (-∞ < 𝐵𝐵 < +∞))
119 xrrebnd 12381 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ ℝ* → (𝐵 ∈ ℝ ↔ (-∞ < 𝐵𝐵 < +∞)))
12091, 119syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) → (𝐵 ∈ ℝ ↔ (-∞ < 𝐵𝐵 < +∞)))
121118, 120mpbird 249 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
122 simpr 477 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
123122adantr 473 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
124121, 123resubcld 10871 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) → (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )) ∈ ℝ)
12526, 115mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐵 < +∞)
126125ad2antrr 713 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) → 𝐵 < +∞)
12796, 126jca 504 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) → (-∞ < 𝐵𝐵 < +∞))
128127, 120mpbird 249 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
129123, 128posdifd 11030 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))))
13095, 129mpbid 224 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) → 0 < (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )))
131124, 130elrpd 12248 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) → (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )) ∈ ℝ+)
132 ovex 7010 . . . . . . . 8 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )) ∈ V
133 nfcv 2932 . . . . . . . . 9 𝑥(𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))
134 nfv 1873 . . . . . . . . . . 11 𝑥(𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )) ∈ ℝ+
13512, 134nfan 1862 . . . . . . . . . 10 𝑥(𝜑 ∧ (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )) ∈ ℝ+)
136 nfv 1873 . . . . . . . . . 10 𝑥𝑦𝐴 𝐵 < (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )))
137135, 136nfim 1859 . . . . . . . . 9 𝑥((𝜑 ∧ (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )) ∈ ℝ+) → ∃𝑦𝐴 𝐵 < (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))))
138 eleq1 2853 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↔ (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )) ∈ ℝ+))
139138anbi2d 619 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )) → ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ↔ (𝜑 ∧ (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )) ∈ ℝ+)))
140 oveq2 6986 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )) → (𝑦 +𝑒 𝑥) = (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))))
141140breq2d 4942 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )) → (𝐵 < (𝑦 +𝑒 𝑥) ↔ 𝐵 < (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )))))
142141rexbidv 3242 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )) → (∃𝑦𝐴 𝐵 < (𝑦 +𝑒 𝑥) ↔ ∃𝑦𝐴 𝐵 < (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )))))
143139, 142imbi12d 337 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )) → (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦𝐴 𝐵 < (𝑦 +𝑒 𝑥)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )) ∈ ℝ+) → ∃𝑦𝐴 𝐵 < (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))))))
144133, 137, 143, 23vtoclgf 3484 . . . . . . . 8 ((𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )) ∈ V → ((𝜑 ∧ (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )) ∈ ℝ+) → ∃𝑦𝐴 𝐵 < (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )))))
145132, 144ax-mp 5 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )) ∈ ℝ+) → ∃𝑦𝐴 𝐵 < (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))))
14688, 131, 145syl2anc 576 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) → ∃𝑦𝐴 𝐵 < (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))))
147 ltpnf 12335 . . . . . . . . . . . . 13 (sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ → sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞)
148147adantr 473 . . . . . . . . . . . 12 ((sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ ∧ 𝑦 = +∞) → sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞)
149 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = +∞ → 𝑦 = +∞)
150149eqcomd 2784 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = +∞ → +∞ = 𝑦)
151150adantl 474 . . . . . . . . . . . 12 ((sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ ∧ 𝑦 = +∞) → +∞ = 𝑦)
152148, 151breqtrd 4956 . . . . . . . . . . 11 ((sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ ∧ 𝑦 = +∞) → sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝑦)
153152adantll 701 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 = +∞) → sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝑦)
154153ad5ant15 746 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝐵 < (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )))) ∧ 𝑦 = +∞) → sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝑦)
155 simplll 762 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝐵 < (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )))) ∧ ¬ 𝑦 = +∞) → ((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵))
156 simpl 475 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝐵 < (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )))) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → ((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝐵 < (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )))))
15788, 41sylanl1 667 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦𝐴) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → 𝑦 = -∞)
158157adantlr 702 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝐵 < (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )))) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → 𝑦 = -∞)
159 simplr 756 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝐵 < (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )))) ∧ 𝑦 = -∞) → 𝐵 < (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))))
160 oveq1 6985 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = -∞ → (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))) = (-∞ +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))))
161160adantl 474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝐵 < (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )))) ∧ 𝑦 = -∞) → (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))) = (-∞ +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))))
162128, 123resubcld 10871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) → (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )) ∈ ℝ)
163162rexrd 10492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) → (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )) ∈ ℝ*)
164163ad3antrrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝐵 < (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )))) ∧ 𝑦 = -∞) → (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )) ∈ ℝ*)
165 renepnf 10490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )) ∈ ℝ → (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )) ≠ +∞)
166124, 165syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) → (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )) ≠ +∞)
167166ad3antrrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝐵 < (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )))) ∧ 𝑦 = -∞) → (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )) ≠ +∞)
168 xaddmnf2 12442 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )) ∈ ℝ* ∧ (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )) ≠ +∞) → (-∞ +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))) = -∞)
169164, 167, 168syl2anc 576 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝐵 < (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )))) ∧ 𝑦 = -∞) → (-∞ +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))) = -∞)
170161, 169eqtrd 2814 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝐵 < (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )))) ∧ 𝑦 = -∞) → (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))) = -∞)
171159, 170breqtrd 4956 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝐵 < (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )))) ∧ 𝑦 = -∞) → 𝐵 < -∞)
172156, 158, 171syl2anc 576 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝐵 < (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )))) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → 𝐵 < -∞)
17355ad5antr 721 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝐵 < (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )))) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → ¬ 𝐵 < -∞)
174172, 173condan 805 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝐵 < (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )))) → -∞ < 𝑦)
175174adantr 473 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝐵 < (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )))) ∧ ¬ 𝑦 = +∞) → -∞ < 𝑦)
176 simp3 1118 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 = +∞) → ¬ 𝑦 = +∞)
177313adant3 1112 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 = +∞) → 𝑦 ∈ ℝ*)
178 nltpnft 12377 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ ℝ* → (𝑦 = +∞ ↔ ¬ 𝑦 < +∞))
179177, 178syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 = +∞) → (𝑦 = +∞ ↔ ¬ 𝑦 < +∞))
180176, 179mtbid 316 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 = +∞) → ¬ ¬ 𝑦 < +∞)
181180notnotrd 131 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 = +∞) → 𝑦 < +∞)
1821813adant1r 1157 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 = +∞) → 𝑦 < +∞)
183182ad5ant135 1348 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝐵 < (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )))) ∧ ¬ 𝑦 = +∞) → 𝑦 < +∞)
184175, 183jca 504 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝐵 < (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )))) ∧ ¬ 𝑦 = +∞) → (-∞ < 𝑦𝑦 < +∞))
18531adantlr 702 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
186185ad5ant13 744 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝐵 < (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )))) ∧ ¬ 𝑦 = +∞) → 𝑦 ∈ ℝ*)
187 xrrebnd 12381 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℝ* → (𝑦 ∈ ℝ ↔ (-∞ < 𝑦𝑦 < +∞)))
188186, 187syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝐵 < (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )))) ∧ ¬ 𝑦 = +∞) → (𝑦 ∈ ℝ ↔ (-∞ < 𝑦𝑦 < +∞)))
189184, 188mpbird 249 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝐵 < (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )))) ∧ ¬ 𝑦 = +∞) → 𝑦 ∈ ℝ)
190 simplr 756 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝐵 < (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )))) ∧ ¬ 𝑦 = +∞) → 𝐵 < (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))))
191121ad2antrr 713 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )))) → 𝐵 ∈ ℝ)
192 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
193124adantr 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )) ∈ ℝ)
194 rexadd 12445 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )) ∈ ℝ) → (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))) = (𝑦 + (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))))
195192, 193, 194syl2anc 576 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))) = (𝑦 + (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))))
196192, 193readdcld 10471 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 + (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))) ∈ ℝ)
197195, 196eqeltrd 2866 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))) ∈ ℝ)
198197adantr 473 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )))) → (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))) ∈ ℝ)
199 simpr 477 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )))) → 𝐵 < (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))))
200191, 198, 191, 199ltsub1dd 11055 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )))) → (𝐵𝐵) < ((𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))) − 𝐵))
201121recnd 10470 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℂ)
202201subidd 10788 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) → (𝐵𝐵) = 0)
203202ad2antrr 713 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )))) → (𝐵𝐵) = 0)
204201adantr 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
205192recnd 10470 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℂ)
206122recnd 10470 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℂ)
207206ad2antrr 713 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℂ)
208205, 207subcld 10800 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 − sup(𝐴, ℝ*, < )) ∈ ℂ)
209205, 204, 207addsub12d 10823 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 + (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))) = (𝐵 + (𝑦 − sup(𝐴, ℝ*, < ))))
210195, 209eqtrd 2814 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))) = (𝐵 + (𝑦 − sup(𝐴, ℝ*, < ))))
211204, 208, 210mvrladdd 10856 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))) − 𝐵) = (𝑦 − sup(𝐴, ℝ*, < )))
212211adantr 473 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )))) → ((𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))) − 𝐵) = (𝑦 − sup(𝐴, ℝ*, < )))
213203, 212breq12d 4943 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )))) → ((𝐵𝐵) < ((𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))) − 𝐵) ↔ 0 < (𝑦 − sup(𝐴, ℝ*, < ))))
214200, 213mpbid 224 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )))) → 0 < (𝑦 − sup(𝐴, ℝ*, < )))
215123ad2antrr 713 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )))) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
216 simplr 756 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )))) → 𝑦 ∈ ℝ)
217215, 216posdifd 11030 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )))) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝑦 ↔ 0 < (𝑦 − sup(𝐴, ℝ*, < ))))
218214, 217mpbird 249 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )))) → sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝑦)
219155, 189, 190, 218syl21anc 825 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝐵 < (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )))) ∧ ¬ 𝑦 = +∞) → sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝑦)
220154, 219pm2.61dan 800 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝐵 < (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )))) → sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝑦)
221220ex 405 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦𝐴) → (𝐵 < (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))) → sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝑦))
222221reximdva 3219 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) → (∃𝑦𝐴 𝐵 < (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))) → ∃𝑦𝐴 sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝑦))
223146, 222mpd 15 . . . . 5 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) → ∃𝑦𝐴 sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝑦)
22480, 87, 223syl2anc 576 . . . 4 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < )) → ∃𝑦𝐴 sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝑦)
22559, 33syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝐴) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
22631, 225xrlenltd 10509 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐴) → (𝑦 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ) ↔ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝑦))
22762, 226mpbid 224 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐴) → ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝑦)
228227ralrimiva 3132 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑦𝐴 ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝑦)
229 ralnex 3183 . . . . . 6 (∀𝑦𝐴 ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝑦 ↔ ¬ ∃𝑦𝐴 sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝑦)
230228, 229sylib 210 . . . . 5 (𝜑 → ¬ ∃𝑦𝐴 sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝑦)
231230ad2antrr 713 . . . 4 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < )) → ¬ ∃𝑦𝐴 sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝑦)
232224, 231condan 805 . . 3 ((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) → 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
2339, 79, 232syl2anc 576 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
2348, 233pm2.61dan 800 1 (𝜑𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 387  w3a 1068   = wceq 1507  wnf 1746  wcel 2050  wne 2967  wral 3088  wrex 3089  Vcvv 3415  wss 3831   class class class wbr 4930  (class class class)co 6978  supcsup 8701  cc 10335  cr 10336  0cc0 10337  1c1 10338   + caddc 10340  +∞cpnf 10473  -∞cmnf 10474  *cxr 10475   < clt 10476  cle 10477  cmin 10672  +crp 12207   +𝑒 cxad 12325
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-sep 5061  ax-nul 5068  ax-pow 5120  ax-pr 5187  ax-un 7281  ax-cnex 10393  ax-resscn 10394  ax-1cn 10395  ax-icn 10396  ax-addcl 10397  ax-addrcl 10398  ax-mulcl 10399  ax-mulrcl 10400  ax-mulcom 10401  ax-addass 10402  ax-mulass 10403  ax-distr 10404  ax-i2m1 10405  ax-1ne0 10406  ax-1rid 10407  ax-rnegex 10408  ax-rrecex 10409  ax-cnre 10410  ax-pre-lttri 10411  ax-pre-lttrn 10412  ax-pre-ltadd 10413  ax-pre-mulgt0 10414  ax-pre-sup 10415
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2583  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3684  df-csb 3789  df-dif 3834  df-un 3836  df-in 3838  df-ss 3845  df-nul 4181  df-if 4352  df-pw 4425  df-sn 4443  df-pr 4445  df-op 4449  df-uni 4714  df-iun 4795  df-br 4931  df-opab 4993  df-mpt 5010  df-id 5313  df-po 5327  df-so 5328  df-xp 5414  df-rel 5415  df-cnv 5416  df-co 5417  df-dm 5418  df-rn 5419  df-res 5420  df-ima 5421  df-iota 6154  df-fun 6192  df-fn 6193  df-f 6194  df-f1 6195  df-fo 6196  df-f1o 6197  df-fv 6198  df-riota 6939  df-ov 6981  df-oprab 6982  df-mpo 6983  df-1st 7503  df-2nd 7504  df-er 8091  df-en 8309  df-dom 8310  df-sdom 8311  df-sup 8703  df-pnf 10478  df-mnf 10479  df-xr 10480  df-ltxr 10481  df-le 10482  df-sub 10674  df-neg 10675  df-rp 12208  df-xadd 12328
This theorem is referenced by:  supxrge  41036
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