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Theorem supxrgelem 43561
Description: If an extended real number can be approximated from below by members of a set, then it is less than or equal to the supremum of the set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
supxrgelem.xph 𝑥𝜑
supxrgelem.a (𝜑𝐴 ⊆ ℝ*)
supxrgelem.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
supxrgelem.y ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦𝐴 𝐵 < (𝑦 +𝑒 𝑥))
Assertion
Ref Expression
supxrgelem (𝜑𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝜑,𝑦
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem supxrgelem
StepHypRef Expression
1 supxrgelem.b . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
2 pnfge 13051 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≤ +∞)
31, 2syl 17 . . . 4 (𝜑𝐵 ≤ +∞)
43adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → 𝐵 ≤ +∞)
5 id 22 . . . . 5 (sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞ → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
65eqcomd 2742 . . . 4 (sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞ → +∞ = sup(𝐴, ℝ*, < ))
76adantl 482 . . 3 ((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → +∞ = sup(𝐴, ℝ*, < ))
84, 7breqtrd 5131 . 2 ((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
9 simpl 483 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → 𝜑)
10 1rp 12919 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ+
11 nfcv 2907 . . . . . . . . . 10 𝑥1
12 supxrgelem.xph . . . . . . . . . . . 12 𝑥𝜑
13 nfv 1917 . . . . . . . . . . . 12 𝑥1 ∈ ℝ+
1412, 13nfan 1902 . . . . . . . . . . 11 𝑥(𝜑 ∧ 1 ∈ ℝ+)
15 nfv 1917 . . . . . . . . . . 11 𝑥𝑦𝐴 𝐵 < (𝑦 +𝑒 1)
1614, 15nfim 1899 . . . . . . . . . 10 𝑥((𝜑 ∧ 1 ∈ ℝ+) → ∃𝑦𝐴 𝐵 < (𝑦 +𝑒 1))
17 eleq1 2825 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 1 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↔ 1 ∈ ℝ+))
1817anbi2d 629 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 1 → ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ↔ (𝜑 ∧ 1 ∈ ℝ+)))
19 oveq2 7365 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 1 → (𝑦 +𝑒 𝑥) = (𝑦 +𝑒 1))
2019breq2d 5117 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 1 → (𝐵 < (𝑦 +𝑒 𝑥) ↔ 𝐵 < (𝑦 +𝑒 1)))
2120rexbidv 3175 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 1 → (∃𝑦𝐴 𝐵 < (𝑦 +𝑒 𝑥) ↔ ∃𝑦𝐴 𝐵 < (𝑦 +𝑒 1)))
2218, 21imbi12d 344 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 1 → (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦𝐴 𝐵 < (𝑦 +𝑒 𝑥)) ↔ ((𝜑 ∧ 1 ∈ ℝ+) → ∃𝑦𝐴 𝐵 < (𝑦 +𝑒 1))))
23 supxrgelem.y . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦𝐴 𝐵 < (𝑦 +𝑒 𝑥))
2411, 16, 22, 23vtoclgf 3523 . . . . . . . . 9 (1 ∈ ℝ+ → ((𝜑 ∧ 1 ∈ ℝ+) → ∃𝑦𝐴 𝐵 < (𝑦 +𝑒 1)))
2510, 24ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 1 ∈ ℝ+) → ∃𝑦𝐴 𝐵 < (𝑦 +𝑒 1))
2610, 25mpan2 689 . . . . . . 7 (𝜑 → ∃𝑦𝐴 𝐵 < (𝑦 +𝑒 1))
2726adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → ∃𝑦𝐴 𝐵 < (𝑦 +𝑒 1))
28 mnfxr 11212 . . . . . . . . . . 11 -∞ ∈ ℝ*
2928a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝐴𝐵 < (𝑦 +𝑒 1)) → -∞ ∈ ℝ*)
30 supxrgelem.a . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ*)
3130sselda 3944 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
32313adant3 1132 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝐴𝐵 < (𝑦 +𝑒 1)) → 𝑦 ∈ ℝ*)
33 supxrcl 13234 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ⊆ ℝ* → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
3430, 33syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
35343ad2ant1 1133 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝐴𝐵 < (𝑦 +𝑒 1)) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
36 simpl3 1193 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦𝐴𝐵 < (𝑦 +𝑒 1)) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → 𝐵 < (𝑦 +𝑒 1))
37 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑦𝐴) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → ¬ -∞ < 𝑦)
3831adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑦𝐴) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ*)
39 ngtmnft 13085 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ ℝ* → (𝑦 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝑦))
4038, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑦𝐴) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → (𝑦 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝑦))
4137, 40mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦𝐴) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → 𝑦 = -∞)
4241oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦𝐴) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → (𝑦 +𝑒 1) = (-∞ +𝑒 1))
43 1xr 11214 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℝ*
4443a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦𝐴) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → 1 ∈ ℝ*)
45 1re 11155 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ∈ ℝ
46 renepnf 11203 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 ∈ ℝ → 1 ≠ +∞)
4745, 46ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ≠ +∞
4847a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦𝐴) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → 1 ≠ +∞)
49 xaddmnf2 13148 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 ∈ ℝ* ∧ 1 ≠ +∞) → (-∞ +𝑒 1) = -∞)
5044, 48, 49syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦𝐴) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → (-∞ +𝑒 1) = -∞)
5142, 50eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦𝐴) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → (𝑦 +𝑒 1) = -∞)
52513adantl3 1168 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦𝐴𝐵 < (𝑦 +𝑒 1)) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → (𝑦 +𝑒 1) = -∞)
5336, 52breqtrd 5131 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦𝐴𝐵 < (𝑦 +𝑒 1)) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → 𝐵 < -∞)
54 nltmnf 13050 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵 ∈ ℝ* → ¬ 𝐵 < -∞)
551, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ¬ 𝐵 < -∞)
5655adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → ¬ 𝐵 < -∞)
57563ad2antl1 1185 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦𝐴𝐵 < (𝑦 +𝑒 1)) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → ¬ 𝐵 < -∞)
5853, 57condan 816 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝐴𝐵 < (𝑦 +𝑒 1)) → -∞ < 𝑦)
5930adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
60 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦𝐴)
61 supxrub 13243 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝑦𝐴) → 𝑦 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
6259, 60, 61syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
63623adant3 1132 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝐴𝐵 < (𝑦 +𝑒 1)) → 𝑦 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
6429, 32, 35, 58, 63xrltletrd 13080 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝐴𝐵 < (𝑦 +𝑒 1)) → -∞ < sup(𝐴, ℝ*, < ))
65643exp 1119 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑦𝐴 → (𝐵 < (𝑦 +𝑒 1) → -∞ < sup(𝐴, ℝ*, < ))))
6665adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → (𝑦𝐴 → (𝐵 < (𝑦 +𝑒 1) → -∞ < sup(𝐴, ℝ*, < ))))
6766rexlimdv 3150 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → (∃𝑦𝐴 𝐵 < (𝑦 +𝑒 1) → -∞ < sup(𝐴, ℝ*, < )))
6827, 67mpd 15 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → -∞ < sup(𝐴, ℝ*, < ))
69 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
70 nltpnft 13083 . . . . . . . . 9 (sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ* → (sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞ ↔ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞))
7134, 70syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞ ↔ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞))
7271adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞ ↔ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞))
7369, 72mtbid 323 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → ¬ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞)
7473notnotrd 133 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞)
7568, 74jca 512 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → (-∞ < sup(𝐴, ℝ*, < ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞))
7634adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
77 xrrebnd 13087 . . . . 5 (sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ* → (sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ (-∞ < sup(𝐴, ℝ*, < ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞)))
7876, 77syl 17 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ (-∞ < sup(𝐴, ℝ*, < ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞)))
7975, 78mpbird 256 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
80 simpl 483 . . . . 5 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < )) → (𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ))
81 simpr 485 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < )) → ¬ 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
8234adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < )) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
831adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < )) → 𝐵 ∈ ℝ*)
84 xrltnle 11222 . . . . . . . 8 ((sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < )))
8582, 83, 84syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < )) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < )))
8685adantlr 713 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < )) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < )))
8781, 86mpbird 256 . . . . 5 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < )) → sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵)
88 simpll 765 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) → 𝜑)
8928a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) → -∞ ∈ ℝ*)
9088, 34syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
9188, 1syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
92 mnfle 13055 . . . . . . . . . . . . . 14 (sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ* → -∞ ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
9334, 92syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → -∞ ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
9493ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) → -∞ ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
95 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) → sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵)
9689, 90, 91, 94, 95xrlelttrd 13079 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) → -∞ < 𝐵)
97 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝜑)
9810a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 1 ∈ ℝ+)
9997, 98, 25syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∃𝑦𝐴 𝐵 < (𝑦 +𝑒 1))
10099ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) → ∃𝑦𝐴 𝐵 < (𝑦 +𝑒 1))
10113ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦𝐴𝐵 < (𝑦 +𝑒 1)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
10243a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑦𝐴𝐵 < (𝑦 +𝑒 1)) → 1 ∈ ℝ*)
10332, 102jca 512 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑦𝐴𝐵 < (𝑦 +𝑒 1)) → (𝑦 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*))
104 xaddcl 13158 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → (𝑦 +𝑒 1) ∈ ℝ*)
105103, 104syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦𝐴𝐵 < (𝑦 +𝑒 1)) → (𝑦 +𝑒 1) ∈ ℝ*)
106 pnfxr 11209 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 +∞ ∈ ℝ*
107106a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦𝐴𝐵 < (𝑦 +𝑒 1)) → +∞ ∈ ℝ*)
108 simp3 1138 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦𝐴𝐵 < (𝑦 +𝑒 1)) → 𝐵 < (𝑦 +𝑒 1))
10931, 43, 104sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑦𝐴) → (𝑦 +𝑒 1) ∈ ℝ*)
110 pnfge 13051 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 +𝑒 1) ∈ ℝ* → (𝑦 +𝑒 1) ≤ +∞)
111109, 110syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑦𝐴) → (𝑦 +𝑒 1) ≤ +∞)
1121113adant3 1132 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦𝐴𝐵 < (𝑦 +𝑒 1)) → (𝑦 +𝑒 1) ≤ +∞)
113101, 105, 107, 108, 112xrltletrd 13080 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦𝐴𝐵 < (𝑦 +𝑒 1)) → 𝐵 < +∞)
1141133exp 1119 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑦𝐴 → (𝐵 < (𝑦 +𝑒 1) → 𝐵 < +∞)))
115114rexlimdv 3150 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (∃𝑦𝐴 𝐵 < (𝑦 +𝑒 1) → 𝐵 < +∞))
11688, 115syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) → (∃𝑦𝐴 𝐵 < (𝑦 +𝑒 1) → 𝐵 < +∞))
117100, 116mpd 15 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) → 𝐵 < +∞)
11896, 117jca 512 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) → (-∞ < 𝐵𝐵 < +∞))
119 xrrebnd 13087 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ ℝ* → (𝐵 ∈ ℝ ↔ (-∞ < 𝐵𝐵 < +∞)))
12091, 119syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) → (𝐵 ∈ ℝ ↔ (-∞ < 𝐵𝐵 < +∞)))
121118, 120mpbird 256 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
122 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
123122adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
124121, 123resubcld 11583 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) → (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )) ∈ ℝ)
12526, 115mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐵 < +∞)
126125ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) → 𝐵 < +∞)
12796, 126jca 512 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) → (-∞ < 𝐵𝐵 < +∞))
128127, 120mpbird 256 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
129123, 128posdifd 11742 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))))
13095, 129mpbid 231 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) → 0 < (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )))
131124, 130elrpd 12954 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) → (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )) ∈ ℝ+)
132 ovex 7390 . . . . . . . 8 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )) ∈ V
133 nfcv 2907 . . . . . . . . 9 𝑥(𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))
134 nfv 1917 . . . . . . . . . . 11 𝑥(𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )) ∈ ℝ+
13512, 134nfan 1902 . . . . . . . . . 10 𝑥(𝜑 ∧ (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )) ∈ ℝ+)
136 nfv 1917 . . . . . . . . . 10 𝑥𝑦𝐴 𝐵 < (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )))
137135, 136nfim 1899 . . . . . . . . 9 𝑥((𝜑 ∧ (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )) ∈ ℝ+) → ∃𝑦𝐴 𝐵 < (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))))
138 eleq1 2825 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↔ (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )) ∈ ℝ+))
139138anbi2d 629 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )) → ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ↔ (𝜑 ∧ (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )) ∈ ℝ+)))
140 oveq2 7365 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )) → (𝑦 +𝑒 𝑥) = (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))))
141140breq2d 5117 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )) → (𝐵 < (𝑦 +𝑒 𝑥) ↔ 𝐵 < (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )))))
142141rexbidv 3175 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )) → (∃𝑦𝐴 𝐵 < (𝑦 +𝑒 𝑥) ↔ ∃𝑦𝐴 𝐵 < (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )))))
143139, 142imbi12d 344 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )) → (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦𝐴 𝐵 < (𝑦 +𝑒 𝑥)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )) ∈ ℝ+) → ∃𝑦𝐴 𝐵 < (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))))))
144133, 137, 143, 23vtoclgf 3523 . . . . . . . 8 ((𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )) ∈ V → ((𝜑 ∧ (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )) ∈ ℝ+) → ∃𝑦𝐴 𝐵 < (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )))))
145132, 144ax-mp 5 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )) ∈ ℝ+) → ∃𝑦𝐴 𝐵 < (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))))
14688, 131, 145syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) → ∃𝑦𝐴 𝐵 < (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))))
147 ltpnf 13041 . . . . . . . . . . . . 13 (sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ → sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞)
148147adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ ∧ 𝑦 = +∞) → sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞)
149 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = +∞ → 𝑦 = +∞)
150149eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = +∞ → +∞ = 𝑦)
151150adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ ∧ 𝑦 = +∞) → +∞ = 𝑦)
152148, 151breqtrd 5131 . . . . . . . . . . 11 ((sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ ∧ 𝑦 = +∞) → sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝑦)
153152adantll 712 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑦 = +∞) → sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝑦)
154153ad5ant15 757 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝐵 < (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )))) ∧ 𝑦 = +∞) → sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝑦)
155 simplll 773 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝐵 < (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )))) ∧ ¬ 𝑦 = +∞) → ((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵))
156 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝐵 < (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )))) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → ((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝐵 < (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )))))
15788, 41sylanl1 678 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦𝐴) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → 𝑦 = -∞)
158157adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝐵 < (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )))) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → 𝑦 = -∞)
159 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝐵 < (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )))) ∧ 𝑦 = -∞) → 𝐵 < (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))))
160 oveq1 7364 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = -∞ → (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))) = (-∞ +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))))
161160adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝐵 < (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )))) ∧ 𝑦 = -∞) → (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))) = (-∞ +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))))
162128, 123resubcld 11583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) → (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )) ∈ ℝ)
163162rexrd 11205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) → (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )) ∈ ℝ*)
164163ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝐵 < (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )))) ∧ 𝑦 = -∞) → (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )) ∈ ℝ*)
165 renepnf 11203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )) ∈ ℝ → (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )) ≠ +∞)
166124, 165syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) → (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )) ≠ +∞)
167166ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝐵 < (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )))) ∧ 𝑦 = -∞) → (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )) ≠ +∞)
168 xaddmnf2 13148 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )) ∈ ℝ* ∧ (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )) ≠ +∞) → (-∞ +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))) = -∞)
169164, 167, 168syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝐵 < (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )))) ∧ 𝑦 = -∞) → (-∞ +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))) = -∞)
170161, 169eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝐵 < (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )))) ∧ 𝑦 = -∞) → (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))) = -∞)
171159, 170breqtrd 5131 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝐵 < (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )))) ∧ 𝑦 = -∞) → 𝐵 < -∞)
172156, 158, 171syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝐵 < (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )))) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → 𝐵 < -∞)
17355ad5antr 732 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝐵 < (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )))) ∧ ¬ -∞ < 𝑦) → ¬ 𝐵 < -∞)
174172, 173condan 816 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝐵 < (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )))) → -∞ < 𝑦)
175174adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝐵 < (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )))) ∧ ¬ 𝑦 = +∞) → -∞ < 𝑦)
176 simp3 1138 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 = +∞) → ¬ 𝑦 = +∞)
177313adant3 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 = +∞) → 𝑦 ∈ ℝ*)
178 nltpnft 13083 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ ℝ* → (𝑦 = +∞ ↔ ¬ 𝑦 < +∞))
179177, 178syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 = +∞) → (𝑦 = +∞ ↔ ¬ 𝑦 < +∞))
180176, 179mtbid 323 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 = +∞) → ¬ ¬ 𝑦 < +∞)
181180notnotrd 133 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 = +∞) → 𝑦 < +∞)
1821813adant1r 1177 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦 = +∞) → 𝑦 < +∞)
183182ad5ant135 1368 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝐵 < (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )))) ∧ ¬ 𝑦 = +∞) → 𝑦 < +∞)
184175, 183jca 512 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝐵 < (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )))) ∧ ¬ 𝑦 = +∞) → (-∞ < 𝑦𝑦 < +∞))
18531adantlr 713 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
186185ad5ant13 755 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝐵 < (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )))) ∧ ¬ 𝑦 = +∞) → 𝑦 ∈ ℝ*)
187 xrrebnd 13087 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℝ* → (𝑦 ∈ ℝ ↔ (-∞ < 𝑦𝑦 < +∞)))
188186, 187syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝐵 < (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )))) ∧ ¬ 𝑦 = +∞) → (𝑦 ∈ ℝ ↔ (-∞ < 𝑦𝑦 < +∞)))
189184, 188mpbird 256 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝐵 < (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )))) ∧ ¬ 𝑦 = +∞) → 𝑦 ∈ ℝ)
190 simplr 767 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝐵 < (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )))) ∧ ¬ 𝑦 = +∞) → 𝐵 < (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))))
191121ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )))) → 𝐵 ∈ ℝ)
192 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
193124adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )) ∈ ℝ)
194 rexadd 13151 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )) ∈ ℝ) → (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))) = (𝑦 + (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))))
195192, 193, 194syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))) = (𝑦 + (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))))
196192, 193readdcld 11184 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 + (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))) ∈ ℝ)
197195, 196eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))) ∈ ℝ)
198197adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )))) → (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))) ∈ ℝ)
199 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )))) → 𝐵 < (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))))
200191, 198, 191, 199ltsub1dd 11767 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )))) → (𝐵𝐵) < ((𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))) − 𝐵))
201121recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℂ)
202201subidd 11500 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) → (𝐵𝐵) = 0)
203202ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )))) → (𝐵𝐵) = 0)
204201adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
205192recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℂ)
206122recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℂ)
207206ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℂ)
208205, 207subcld 11512 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 − sup(𝐴, ℝ*, < )) ∈ ℂ)
209205, 204, 207addsub12d 11535 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 + (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))) = (𝐵 + (𝑦 − sup(𝐴, ℝ*, < ))))
210195, 209eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))) = (𝐵 + (𝑦 − sup(𝐴, ℝ*, < ))))
211204, 208, 210mvrladdd 11568 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))) − 𝐵) = (𝑦 − sup(𝐴, ℝ*, < )))
212211adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )))) → ((𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))) − 𝐵) = (𝑦 − sup(𝐴, ℝ*, < )))
213203, 212breq12d 5118 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )))) → ((𝐵𝐵) < ((𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))) − 𝐵) ↔ 0 < (𝑦 − sup(𝐴, ℝ*, < ))))
214200, 213mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )))) → 0 < (𝑦 − sup(𝐴, ℝ*, < )))
215123ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )))) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
216 simplr 767 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )))) → 𝑦 ∈ ℝ)
217215, 216posdifd 11742 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )))) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝑦 ↔ 0 < (𝑦 − sup(𝐴, ℝ*, < ))))
218214, 217mpbird 256 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )))) → sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝑦)
219155, 189, 190, 218syl21anc 836 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝐵 < (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )))) ∧ ¬ 𝑦 = +∞) → sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝑦)
220154, 219pm2.61dan 811 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝐵 < (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < )))) → sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝑦)
221220ex 413 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) ∧ 𝑦𝐴) → (𝐵 < (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))) → sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝑦))
222221reximdva 3165 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) → (∃𝑦𝐴 𝐵 < (𝑦 +𝑒 (𝐵 − sup(𝐴, ℝ*, < ))) → ∃𝑦𝐴 sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝑦))
223146, 222mpd 15 . . . . 5 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝐵) → ∃𝑦𝐴 sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝑦)
22480, 87, 223syl2anc 584 . . . 4 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < )) → ∃𝑦𝐴 sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝑦)
22559, 33syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝐴) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
22631, 225xrlenltd 11221 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐴) → (𝑦 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ) ↔ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝑦))
22762, 226mpbid 231 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐴) → ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝑦)
228227ralrimiva 3143 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑦𝐴 ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝑦)
229 ralnex 3075 . . . . . 6 (∀𝑦𝐴 ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝑦 ↔ ¬ ∃𝑦𝐴 sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝑦)
230228, 229sylib 217 . . . . 5 (𝜑 → ¬ ∃𝑦𝐴 sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝑦)
231230ad2antrr 724 . . . 4 (((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < )) → ¬ ∃𝑦𝐴 sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝑦)
232224, 231condan 816 . . 3 ((𝜑 ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) → 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
2339, 79, 232syl2anc 584 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
2348, 233pm2.61dan 811 1 (𝜑𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wnf 1785  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  wrex 3073  Vcvv 3445  wss 3910   class class class wbr 5105  (class class class)co 7357  supcsup 9376  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054  +∞cpnf 11186  -∞cmnf 11187  *cxr 11188   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385  +crp 12915   +𝑒 cxad 13031
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-po 5545  df-so 5546  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9378  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-rp 12916  df-xadd 13034
This theorem is referenced by:  supxrge  43562
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