Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limsupub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limsupub 42948
Description: If the limsup is not +∞, then the function is eventually bounded. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
limsupub.j 𝑗𝜑
limsupub.e 𝑗𝐹
limsupub.a (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
limsupub.f (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ*)
limsupub.n (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ≠ +∞)
Assertion
Ref Expression
limsupub (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑘,𝑥   𝑘,𝐹,𝑥   𝜑,𝑘,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗)   𝐹(𝑗)

Proof of Theorem limsupub
StepHypRef Expression
1 limsupub.e . . . . 5 𝑗𝐹
2 limsupub.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
32adantr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 < (𝐹𝑗))) → 𝐴 ⊆ ℝ)
4 limsupub.f . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ*)
54adantr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 < (𝐹𝑗))) → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
6 limsupub.j . . . . . . . . . 10 𝑗𝜑
7 nfv 1922 . . . . . . . . . 10 𝑗 𝑥 ∈ ℝ
86, 7nfan 1907 . . . . . . . . 9 𝑗(𝜑𝑥 ∈ ℝ)
9 simprl 771 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ (𝑘𝑗𝑥 < (𝐹𝑗))) → 𝑘𝑗)
10 simpllr 776 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑥 < (𝐹𝑗)) → 𝑥 ∈ ℝ)
11 rexr 10903 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
1210, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑥 < (𝐹𝑗)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
134ffvelrnda 6922 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗𝐴) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ*)
1413ad4ant13 751 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑥 < (𝐹𝑗)) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ*)
15 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑥 < (𝐹𝑗)) → 𝑥 < (𝐹𝑗))
1612, 14, 15xrltled 12764 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑥 < (𝐹𝑗)) → 𝑥 ≤ (𝐹𝑗))
1716adantrl 716 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ (𝑘𝑗𝑥 < (𝐹𝑗))) → 𝑥 ≤ (𝐹𝑗))
189, 17jca 515 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ (𝑘𝑗𝑥 < (𝐹𝑗))) → (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
1918ex 416 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) → ((𝑘𝑗𝑥 < (𝐹𝑗)) → (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗))))
2019ex 416 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑗𝐴 → ((𝑘𝑗𝑥 < (𝐹𝑗)) → (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))))
218, 20reximdai 3238 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 < (𝐹𝑗)) → ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗))))
2221ralimdv 3102 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 < (𝐹𝑗)) → ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗))))
2322ralimdva 3101 . . . . . 6 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 < (𝐹𝑗)) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗))))
2423imp 410 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 < (𝐹𝑗))) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
251, 3, 5, 24limsuppnfd 42946 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 < (𝐹𝑗))) → (lim sup‘𝐹) = +∞)
26 limsupub.n . . . . . 6 (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ≠ +∞)
2726neneqd 2946 . . . . 5 (𝜑 → ¬ (lim sup‘𝐹) = +∞)
2827adantr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 < (𝐹𝑗))) → ¬ (lim sup‘𝐹) = +∞)
2925, 28pm2.65da 817 . . 3 (𝜑 → ¬ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 < (𝐹𝑗)))
30 imnan 403 . . . . . . . . 9 ((𝑘𝑗 → ¬ 𝑥 < (𝐹𝑗)) ↔ ¬ (𝑘𝑗𝑥 < (𝐹𝑗)))
3130ralbii 3089 . . . . . . . 8 (∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → ¬ 𝑥 < (𝐹𝑗)) ↔ ∀𝑗𝐴 ¬ (𝑘𝑗𝑥 < (𝐹𝑗)))
32 ralnex 3162 . . . . . . . 8 (∀𝑗𝐴 ¬ (𝑘𝑗𝑥 < (𝐹𝑗)) ↔ ¬ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 < (𝐹𝑗)))
3331, 32bitri 278 . . . . . . 7 (∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → ¬ 𝑥 < (𝐹𝑗)) ↔ ¬ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 < (𝐹𝑗)))
3433rexbii 3176 . . . . . 6 (∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → ¬ 𝑥 < (𝐹𝑗)) ↔ ∃𝑘 ∈ ℝ ¬ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 < (𝐹𝑗)))
35 rexnal 3164 . . . . . 6 (∃𝑘 ∈ ℝ ¬ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 < (𝐹𝑗)) ↔ ¬ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 < (𝐹𝑗)))
3634, 35bitri 278 . . . . 5 (∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → ¬ 𝑥 < (𝐹𝑗)) ↔ ¬ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 < (𝐹𝑗)))
3736rexbii 3176 . . . 4 (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → ¬ 𝑥 < (𝐹𝑗)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ¬ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 < (𝐹𝑗)))
38 rexnal 3164 . . . 4 (∃𝑥 ∈ ℝ ¬ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 < (𝐹𝑗)) ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 < (𝐹𝑗)))
3937, 38bitri 278 . . 3 (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → ¬ 𝑥 < (𝐹𝑗)) ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 < (𝐹𝑗)))
4029, 39sylibr 237 . 2 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → ¬ 𝑥 < (𝐹𝑗)))
41 nfv 1922 . . . . . 6 𝑗 𝑘 ∈ ℝ
428, 41nfan 1907 . . . . 5 𝑗((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ)
4313ad4ant14 752 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ*)
44 simpllr 776 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
4544rexrd 10907 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ*)
4643, 45xrlenltd 10923 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) → ((𝐹𝑗) ≤ 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 < (𝐹𝑗)))
4746imbi2d 344 . . . . 5 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) → ((𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) ↔ (𝑘𝑗 → ¬ 𝑥 < (𝐹𝑗))))
4842, 47ralbida 3155 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) ↔ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → ¬ 𝑥 < (𝐹𝑗))))
4948rexbidva 3223 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) ↔ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → ¬ 𝑥 < (𝐹𝑗))))
5049rexbidva 3223 . 2 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → ¬ 𝑥 < (𝐹𝑗))))
5140, 50mpbird 260 1 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399   = wceq 1543  wnf 1791  wcel 2111  wnfc 2885  wne 2941  wral 3062  wrex 3063  wss 3880   class class class wbr 5067  wf 6393  cfv 6397  cr 10752  +∞cpnf 10888  *cxr 10890   < clt 10891  cle 10892  lim supclsp 15055
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2709  ax-rep 5193  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5272  ax-pr 5336  ax-un 7541  ax-cnex 10809  ax-resscn 10810  ax-1cn 10811  ax-icn 10812  ax-addcl 10813  ax-addrcl 10814  ax-mulcl 10815  ax-mulrcl 10816  ax-mulcom 10817  ax-addass 10818  ax-mulass 10819  ax-distr 10820  ax-i2m1 10821  ax-1ne0 10822  ax-1rid 10823  ax-rnegex 10824  ax-rrecex 10825  ax-cnre 10826  ax-pre-lttri 10827  ax-pre-lttrn 10828  ax-pre-ltadd 10829  ax-pre-mulgt0 10830  ax-pre-sup 10831
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2072  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3067  df-rex 3068  df-reu 3069  df-rmo 3070  df-rab 3071  df-v 3422  df-sbc 3709  df-csb 3826  df-dif 3883  df-un 3885  df-in 3887  df-ss 3897  df-nul 4252  df-if 4454  df-pw 4529  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4834  df-iun 4920  df-br 5068  df-opab 5130  df-mpt 5150  df-id 5469  df-po 5482  df-so 5483  df-xp 5571  df-rel 5572  df-cnv 5573  df-co 5574  df-dm 5575  df-rn 5576  df-res 5577  df-ima 5578  df-iota 6355  df-fun 6399  df-fn 6400  df-f 6401  df-f1 6402  df-fo 6403  df-f1o 6404  df-fv 6405  df-riota 7188  df-ov 7234  df-oprab 7235  df-mpo 7236  df-er 8411  df-en 8647  df-dom 8648  df-sdom 8649  df-sup 9082  df-inf 9083  df-pnf 10893  df-mnf 10894  df-xr 10895  df-ltxr 10896  df-le 10897  df-sub 11088  df-neg 11089  df-ico 12965  df-limsup 15056
This theorem is referenced by:  limsupubuz  42957  limsupub2  43056
  Copyright terms: Public domain W3C validator