Theorem limsupub 40729

Description: If the limsup is not +∞, then the function is eventually bounded. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
limsupub.j	⊢ Ⅎ𝑗𝜑
limsupub.e	⊢ Ⅎ𝑗𝐹
limsupub.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
limsupub.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
limsupub.n	⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ≠ +∞)

Assertion

Ref	Expression
limsupub	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑘,𝑥   𝑘,𝐹,𝑥   𝜑,𝑘,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗)   𝐹(𝑗)

Proof of Theorem limsupub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limsupub.e	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗𝐹
2		limsupub.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
3	2	adantr 474	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗))) → 𝐴 ⊆ ℝ)
4		limsupub.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
5	4	adantr 474	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗))) → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
6		limsupub.j	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑗𝜑
7		nfv 2013	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑥 ∈ ℝ
8	6, 7	nfan 2002	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑗(𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ)
9		simprl 787	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗))) → 𝑘 ≤ 𝑗)
10		simpllr 793	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)) → 𝑥 ∈ ℝ)
11		rexr 10409	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
13	4	ffvelrnda 6613	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ*)
14	13	ad4ant13 757	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ*)
15		simpr 479	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)) → 𝑥 < (𝐹‘𝑗))
16	12, 14, 15	xrltled 12276	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)) → 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗))
17	16	adantrl 707	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗))) → 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗))
18	9, 17	jca 507	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗))) → (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)))
19	18	ex 403	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ((𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)) → (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗))))
20	19	ex 403	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑗 ∈ 𝐴 → ((𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)) → (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)))))
21	8, 20	reximdai 3220	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)) → ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗))))
22	21	ralimdv 3172	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)) → ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗))))
23	22	ralimdva 3171	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗))))
24	23	imp 397	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗))) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)))
25	1, 3, 5, 24	limsuppnfd 40727	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗))) → (lim sup‘𝐹) = +∞)
26		limsupub.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ≠ +∞)
27	26	neneqd 3004	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ (lim sup‘𝐹) = +∞)
28	27	adantr 474	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗))) → ¬ (lim sup‘𝐹) = +∞)
29	25, 28	pm2.65da 851	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)))
30		imnan 390	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ≤ 𝑗 → ¬ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)) ↔ ¬ (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)))
31	30	ralbii 3189	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 → ¬ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)) ↔ ∀𝑗 ∈ 𝐴 ¬ (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)))
32		ralnex 3201	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑗 ∈ 𝐴 ¬ (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)) ↔ ¬ ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)))
33	31, 32	bitri 267	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 → ¬ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)) ↔ ¬ ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)))
34	33	rexbii 3251	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 → ¬ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)) ↔ ∃𝑘 ∈ ℝ ¬ ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)))
35		rexnal 3203	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑘 ∈ ℝ ¬ ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)) ↔ ¬ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)))
36	34, 35	bitri 267	. . . . 5 ⊢ (∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 → ¬ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)) ↔ ¬ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)))
37	36	rexbii 3251	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 → ¬ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ¬ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)))
38		rexnal 3203	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ ¬ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)) ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)))
39	37, 38	bitri 267	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 → ¬ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)) ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)))
40	29, 39	sylibr 226	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 → ¬ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)))
41		nfv 2013	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑘 ∈ ℝ
42	8, 41	nfan 2002	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ)
43	13	ad4ant14 759	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ*)
44		simpllr 793	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
45	44	rexrd 10413	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ*)
46	43, 45	xrlenltd 10430	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)))
47	46	imbi2d 332	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ((𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) ↔ (𝑘 ≤ 𝑗 → ¬ 𝑥 < (𝐹‘𝑗))))
48	42, 47	ralbida 3191	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (∀𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) ↔ ∀𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 → ¬ 𝑥 < (𝐹‘𝑗))))
49	48	rexbidva 3259	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) ↔ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 → ¬ 𝑥 < (𝐹‘𝑗))))
50	49	rexbidva 3259	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 → ¬ 𝑥 < (𝐹‘𝑗))))
51	40, 50	mpbird 249	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1656  Ⅎwnf 1882   ∈ wcel 2164  Ⅎwnfc 2956   ≠ wne 2999  ∀wral 3117  ∃wrex 3118   ⊆ wss 3798   class class class wbr 4875  ⟶wf 6123  ‘cfv 6127  ℝcr 10258  +∞cpnf 10395  ℝ^*cxr 10397   < clt 10398   ≤ cle 10399  lim supclsp 14585

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336  ax-pre-sup 10337

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-op 4406  df-uni 4661  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-id 5252  df-po 5265  df-so 5266  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-er 8014  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-sup 8623  df-inf 8624  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-ico 12476  df-limsup 14586

This theorem is referenced by:  limsupubuz  40738