Theorem limsupub 43135

Description: If the limsup is not +∞, then the function is eventually bounded. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
limsupub.j	⊢ Ⅎ𝑗𝜑
limsupub.e	⊢ Ⅎ𝑗𝐹
limsupub.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
limsupub.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
limsupub.n	⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ≠ +∞)

Assertion

Ref	Expression
limsupub	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑘,𝑥   𝑘,𝐹,𝑥   𝜑,𝑘,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗)   𝐹(𝑗)

Proof of Theorem limsupub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limsupub.e	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗𝐹
2		limsupub.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
3	2	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗))) → 𝐴 ⊆ ℝ)
4		limsupub.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
5	4	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗))) → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
6		limsupub.j	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑗𝜑
7		nfv 1918	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑥 ∈ ℝ
8	6, 7	nfan 1903	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑗(𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ)
9		simprl 767	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗))) → 𝑘 ≤ 𝑗)
10		simpllr 772	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)) → 𝑥 ∈ ℝ)
11		rexr 10952	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
13	4	ffvelrnda 6943	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ*)
14	13	ad4ant13 747	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ*)
15		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)) → 𝑥 < (𝐹‘𝑗))
16	12, 14, 15	xrltled 12813	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)) → 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗))
17	16	adantrl 712	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗))) → 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗))
18	9, 17	jca 511	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗))) → (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)))
19	18	ex 412	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ((𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)) → (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗))))
20	19	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑗 ∈ 𝐴 → ((𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)) → (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)))))
21	8, 20	reximdai 3239	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)) → ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗))))
22	21	ralimdv 3103	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)) → ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗))))
23	22	ralimdva 3102	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗))))
24	23	imp 406	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗))) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)))
25	1, 3, 5, 24	limsuppnfd 43133	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗))) → (lim sup‘𝐹) = +∞)
26		limsupub.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ≠ +∞)
27	26	neneqd 2947	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ (lim sup‘𝐹) = +∞)
28	27	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗))) → ¬ (lim sup‘𝐹) = +∞)
29	25, 28	pm2.65da 813	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)))
30		imnan 399	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ≤ 𝑗 → ¬ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)) ↔ ¬ (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)))
31	30	ralbii 3090	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 → ¬ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)) ↔ ∀𝑗 ∈ 𝐴 ¬ (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)))
32		ralnex 3163	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑗 ∈ 𝐴 ¬ (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)) ↔ ¬ ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)))
33	31, 32	bitri 274	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 → ¬ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)) ↔ ¬ ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)))
34	33	rexbii 3177	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 → ¬ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)) ↔ ∃𝑘 ∈ ℝ ¬ ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)))
35		rexnal 3165	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑘 ∈ ℝ ¬ ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)) ↔ ¬ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)))
36	34, 35	bitri 274	. . . . 5 ⊢ (∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 → ¬ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)) ↔ ¬ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)))
37	36	rexbii 3177	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 → ¬ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ¬ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)))
38		rexnal 3165	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ ¬ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)) ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)))
39	37, 38	bitri 274	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 → ¬ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)) ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)))
40	29, 39	sylibr 233	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 → ¬ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)))
41		nfv 1918	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑘 ∈ ℝ
42	8, 41	nfan 1903	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ)
43	13	ad4ant14 748	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ*)
44		simpllr 772	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
45	44	rexrd 10956	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ*)
46	43, 45	xrlenltd 10972	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)))
47	46	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ((𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) ↔ (𝑘 ≤ 𝑗 → ¬ 𝑥 < (𝐹‘𝑗))))
48	42, 47	ralbida 3156	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (∀𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) ↔ ∀𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 → ¬ 𝑥 < (𝐹‘𝑗))))
49	48	rexbidva 3224	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) ↔ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 → ¬ 𝑥 < (𝐹‘𝑗))))
50	49	rexbidva 3224	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 → ¬ 𝑥 < (𝐹‘𝑗))))
51	40, 50	mpbird 256	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539  Ⅎwnf 1787   ∈ wcel 2108  Ⅎwnfc 2886   ≠ wne 2942  ∀wral 3063  ∃wrex 3064   ⊆ wss 3883   class class class wbr 5070  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  ℝcr 10801  +∞cpnf 10937  ℝ^*cxr 10939   < clt 10940   ≤ cle 10941  lim supclsp 15107

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-sup 9131  df-inf 9132  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-ico 13014  df-limsup 15108

This theorem is referenced by:  limsupubuz  43144  limsupub2  43243