Theorem limsupub 46418

Description: If the limsup is not +∞, then the function is eventually bounded. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
limsupub.j	⊢ Ⅎ𝑗𝜑
limsupub.e	⊢ Ⅎ𝑗𝐹
limsupub.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
limsupub.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
limsupub.n	⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ≠ +∞)

Assertion

Ref	Expression
limsupub	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑘,𝑥   𝑘,𝐹,𝑥   𝜑,𝑘,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗)   𝐹(𝑗)

Proof of Theorem limsupub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limsupub.e	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗𝐹
2		limsupub.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
3	2	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗))) → 𝐴 ⊆ ℝ)
4		limsupub.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
5	4	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗))) → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
6		limsupub.j	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑗𝜑
7		nfv 1944	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑥 ∈ ℝ
8	6, 7	nfan 1929	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑗(𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ)
9		simprl 782	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗))) → 𝑘 ≤ 𝑗)
10		simpllr 787	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)) → 𝑥 ∈ ℝ)
11		rexr 11250	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
12	10, 11	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
13	4	ffvelcdmda 7079	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ*)
14	13	ad4ant13 763	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ*)
15		simpr 489	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)) → 𝑥 < (𝐹‘𝑗))
16	12, 14, 15	xrltled 13170	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)) → 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗))
17	16	adantrl 728	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗))) → 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗))
18	9, 17	jca 520	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗))) → (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)))
19	18	ex 417	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ((𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)) → (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗))))
20	19	ex 417	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑗 ∈ 𝐴 → ((𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)) → (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)))))
21	8, 20	reximdai 3267	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)) → ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗))))
22	21	ralimdv 3179	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)) → ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗))))
23	22	ralimdva 3177	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗))))
24	23	imp 411	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗))) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)))
25	1, 3, 5, 24	limsuppnfd 46416	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗))) → (lim sup‘𝐹) = +∞)
26		limsupub.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ≠ +∞)
27	26	neneqd 2963	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ (lim sup‘𝐹) = +∞)
28	27	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗))) → ¬ (lim sup‘𝐹) = +∞)
29	25, 28	pm2.65da 828	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)))
30		imnan 404	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ≤ 𝑗 → ¬ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)) ↔ ¬ (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)))
31	30	ralbii 3111	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 → ¬ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)) ↔ ∀𝑗 ∈ 𝐴 ¬ (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)))
32		ralnex 3091	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑗 ∈ 𝐴 ¬ (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)) ↔ ¬ ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)))
33	31, 32	bitri 278	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 → ¬ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)) ↔ ¬ ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)))
34	33	rexbii 3112	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 → ¬ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)) ↔ ∃𝑘 ∈ ℝ ¬ ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)))
35		rexnal 3117	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑘 ∈ ℝ ¬ ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)) ↔ ¬ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)))
36	34, 35	bitri 278	. . . . 5 ⊢ (∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 → ¬ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)) ↔ ¬ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)))
37	36	rexbii 3112	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 → ¬ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ¬ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)))
38		rexnal 3117	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ ¬ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)) ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)))
39	37, 38	bitri 278	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 → ¬ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)) ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 ∧ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)))
40	29, 39	sylibr 237	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 → ¬ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)))
41		nfv 1944	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑘 ∈ ℝ
42	8, 41	nfan 1929	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ)
43	13	ad4ant14 764	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ*)
44		simpllr 787	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
45	44	rexrd 11254	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ*)
46	43, 45	xrlenltd 11270	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 < (𝐹‘𝑗)))
47	46	imbi2d 343	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ((𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) ↔ (𝑘 ≤ 𝑗 → ¬ 𝑥 < (𝐹‘𝑗))))
48	42, 47	ralbida 3276	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (∀𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) ↔ ∀𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 → ¬ 𝑥 < (𝐹‘𝑗))))
49	48	rexbidva 3187	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) ↔ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 → ¬ 𝑥 < (𝐹‘𝑗))))
50	49	rexbidva 3187	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 → ¬ 𝑥 < (𝐹‘𝑗))))
51	40, 50	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570  Ⅎwnf 1813   ∈ wcel 2143  Ⅎwnfc 2910   ≠ wne 2958  ∀wral 3079  ∃wrex 3089   ⊆ wss 3905   class class class wbr 5109  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  ℝcr 11094  +∞cpnf 11235  ℝ^*cxr 11237   < clt 11238   ≤ cle 11239  lim supclsp 15517

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-po 5569  df-so 5570  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9398  df-inf 9399  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-ico 13373  df-limsup 15518

This theorem is referenced by:  limsupubuz  46427  limsupub2  46526